Jednadžba harmonijskih oscilacija. Jednadžba harmonijskih oscilacija i njen značaj u proučavanju prirode oscilatornih procesa

Osnove Maxwellove teorije za elektromagnetno polje

Vrtložno električno polje

Iz Faradejevog zakona ξ=dF/dt sledi to bilo koji promjena toka magnetske indukcije spojene na krug dovodi do pojave elektromotorne sile indukcije i, kao rezultat, pojavljuje se indukcijska struja. Dakle, pojava emf. elektromagnetna indukcija je moguća i u fiksnom kolu smještenom u naizmjeničnom magnetskom polju. Međutim, emf. u bilo kom kolu se javlja samo kada spoljne sile deluju na nosioce struje u njemu - sile neelektrostatičkog porekla (videti § 97). Stoga se postavlja pitanje o prirodi stranih sila u ovom slučaju.

Iskustvo pokazuje da ove strane sile nisu povezane ni sa termičkim ni sa hemijskim procesima u kolu; njihov nastanak se također ne može objasniti Lorentzovim silama, jer one ne djeluju na nepokretne naboje. Maxwell je pretpostavio da svako naizmjenično magnetsko polje pobuđuje električno polje u okolnom prostoru, što

i uzrok je indukcijske struje u kolu. Prema Maxwellovim zamislima, kolo u kojem se pojavljuje emf igra sekundarnu ulogu, jer je neka vrsta jedinog "uređaja" koji detektuje ovo polje.

prva jednačina Maxwell tvrdi da promjene u električnom polju stvaraju vrtložno magnetno polje.

Druga jednadžba Maxwell izražava Faradejev zakon elektromagnetne indukcije: EMF u bilo kojem zatvorenom kolu jednaka je brzini promjene (tj. vremenskoj derivaciji) magnetnog fluksa. Ali EMF je jednaka tangencijalnoj komponenti vektora jakosti električnog polja E, pomnoženoj sa dužinom kola. Za prelazak na rotor, kao u prvoj Maxwellovoj jednačini, dovoljno je podijeliti EMF sa površinom kruga, a potonji pustiti na nulu, tj. uzeti mali krug koji pokriva razmatranu tačku u prostoru (slika 9, c). Tada na desnoj strani jednadžbe više neće biti fluksa, već magnetske indukcije, budući da je fluks jednak indukciji pomnoženoj s površinom kruga.
Dakle, dobijamo: rotE = - dB/dt.
Dakle, vrtložno električno polje nastaje promjenama u magnetskom polju, što je prikazano na sl. 9c i predstavljen je upravo datom formulom.
Treća i četvrta jednačina Maxwell se bavi naelektrisanjem i poljima koja oni stvaraju. Oni se zasnivaju na Gaussovom teoremu, koji kaže da je tok vektora električne indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak naboju unutar ove površine.

Čitava nauka se zasniva na Maksvelovim jednačinama - elektrodinamici, koja dozvoljava stroge matematičke metode riješiti mnoge korisne praktične probleme. Moguće je izračunati, na primjer, polje zračenja različitih antena kako u slobodnom prostoru tako i blizu površine Zemlje ili blizu tijela zrakoplova, na primjer, aviona ili rakete. Elektrodinamika vam omogućava da izračunate dizajn valovoda i rezonatora šupljina - uređaja koji se koriste na vrlo visokim frekvencijama centimetarskog i milimetarskog raspona valova, gdje konvencionalni prijenosni vodovi i oscilatorni krugovi više nisu prikladni. Bez elektrodinamike bilo bi nemoguće razviti radar, svemirske radio komunikacije, antensku tehnologiju i mnoge druge grane moderne radiotehnike.

Bias current

STRUJA POMAKA, veličina proporcionalna brzini promjene naizmjeničnog električnog polja u dielektriku ili vakuumu. Naziv "struja" je zbog činjenice da struja pomaka, kao i struja provodljivosti, stvara magnetsko polje.

Konstruirajući teoriju elektromagnetnog polja, J.K. Maxwell je iznio hipotezu (koja je naknadno potvrđena eksperimentom) da magnetsko polje nastaje ne samo kretanjem naboja (struja provodljivosti, ili jednostavno struja), već i bilo kojom promjenom vremena električnog polja.

Koncept struje pomaka uveo je Maxwell kako bi uspostavio kvantitativne odnose između promjenjivog električnog polja i magnetskog polja koje ono uzrokuje.

U skladu s Maxwellovom teorijom, u krugu naizmjenične struje koji sadrži kondenzator, naizmjenično električno polje u kondenzatoru u svakom trenutku stvara takvo magnetsko polje kakvo bi struja (nazvana struja pomaka) stvorila da teče između ploča kondenzator. Iz ove definicije proizilazi da J cm = J(tj. numeričke vrijednosti gustine struje provodljivosti i gustine struje pomaka su jednake), pa se, stoga, linije gustine struje provodljivosti unutar vodiča neprekidno pretvaraju u linije gustine struje pomaka između ploča kondenzator. Gustoća struje prednapona j cm karakterizira brzinu promjene električne indukcije D na vrijeme:

J cm = + ?D/?t.

Struja pomaka ne emituje džulovu toplotu, njeno glavno fizičko svojstvo je sposobnost stvaranja magnetnog polja u okolnom prostoru.

Vrtložno magnetsko polje stvara ukupna struja čija je gustina j, jednak je zbiru gustine struje provodljivosti i struje prednapona?D/?t. Zato je za vrijednost?D /?t uveden naziv struja.

Harmonski oscilator naziva se sistem koji oscilira, opisan izrazom oblika d 2 s / dt 2 + ω 0 2 s = 0 ili

gdje dvije tačke iznad označavaju dvostruku diferencijaciju u odnosu na vrijeme. Oscilacije harmonijskog oscilatora su važan primjer periodičnog kretanja i služe kao tačan ili približan model u mnogim problemima klasične i kvantne fizike. Kao primjeri harmonijskog oscilatora mogu biti opružna, fizička i matematička klatna, oscilatorno kolo (za struje i napone tako male da se elementi kola mogu smatrati linearnim).

Harmonične vibracije

Pored translacionih i rotacionih kretanja tela u mehanici, oscilatorna kretanja su takođe od velikog interesa. Mehaničke vibracije se nazivaju pokreti tijela koji se ponavljaju tačno (ili približno) u pravilnim intervalima. Neki daju zakon kretanja tijela koje oscilira periodična funkcija vrijeme x = f (t). Grafički prikaz ove funkcije daje vizuelni prikaz toka oscilatornog procesa u vremenu.

Primjeri jednostavnih oscilatornih sistema su opterećenje na oprugu ili matematičko klatno (slika 2.1.1).

Mehaničke oscilacije, poput oscilatornih procesa bilo koje druge fizičke prirode, mogu biti besplatno I prisiljen. Besplatne vibracije nastaju pod uticajem unutrašnje sile sistema nakon što je sistem izvučen iz ravnoteže. Oscilacije utega na oprugi ili oscilacije klatna su slobodne oscilacije. vibracije pod dejstvom vanjski nazivaju se sile koje se periodično mijenjaju prisiljen Najjednostavniji tip oscilatornog procesa je jednostavan harmonijske vibracije , koji su opisani jednadžbom

Frekvencija oscilovanja f pokazuje koliko se vibracija napravi u 1 s. jedinica frekvencije - herca(Hz). Frekvencija oscilovanja f je povezan sa cikličnom frekvencijom ω i periodom oscilovanja T omjeri:

daje zavisnost fluktuirajuće veličine S od vremena t; ovo je jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija u eksplicitnom obliku. Međutim, jednačina oscilacija se obično shvata kao drugačiji zapis ove jednačine, u diferencijalnom obliku. Radi određenosti, uzimamo jednačinu (1) u obliku

Razlikujte ga dvaput s obzirom na vrijeme:

Može se vidjeti da vrijedi sljedeća relacija:

koja se zove jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija (u diferencijalnom obliku). Jednačina (1) je rješenje diferencijalne jednadžbe (2). Kako je jednadžba (2) diferencijalna jednadžba drugog reda, potrebna su dva početna uvjeta da bi se dobilo potpuno rješenje (tj. da bi se odredile konstante uključene u jednačinu (1) A i j0); na primjer, položaj i brzina oscilatornog sistema na t = 0.

Sabiranje harmonijskih oscilacija istog smjera i iste frekvencije. otkucaji

Neka se dešavaju dvije harmonijske oscilacije istog smjera i iste frekvencije

Jednačina rezultujuće oscilacije će imati oblik

Ovo potvrđujemo dodavanjem jednačina sistema (4.1)

Primjena teoreme suma kosinusa i izvođenje algebarskih transformacija:

Mogu se pronaći takve veličine A i φ0 koje zadovoljavaju jednačine

Uzimajući u obzir (4.3) kao dvije jednadžbe s dvije nepoznate A i φ0, nalazimo tako što ćemo ih kvadrirati i sabirati, a zatim podijeliti drugu s prvom:

Zamjenom (4.3) u (4.2) dobijamo:

Ili konačno, koristeći teoremu suma kosinusa, imamo:

Tijelo, koje učestvuje u dvije harmonijske oscilacije istog smjera i iste frekvencije, također vrši harmonijsku oscilaciju u istom smjeru i sa istom frekvencijom kao i zbrojene oscilacije. Amplituda rezultujuće oscilacije zavisi od fazne razlike (φ2-φ1) uglađenih oscilacija.

Ovisno o razlici faza (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, ...), tada je A= A1+A2, tj. amplituda rezultujuće oscilacije A jednaka je zbiru amplituda dodanih oscilacije;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, ...), tada je A= |A1-A2|, tj. amplituda rezultujuće oscilacije jednaka je razlici u amplitudama dodatih oscilacija

Periodične promjene amplitude oscilacija koje nastaju kada se dodaju dvije harmonijske oscilacije bliskih frekvencija nazivaju se otkucaji.

Neka se dvije oscilacije malo razlikuju po frekvenciji. Tada su amplitude dodatih oscilacija jednake A, a frekvencije jednake ω i ω + Δω, a Δω je mnogo manji od ω. Referentnu tačku biramo tako da početne faze obe oscilacije budu jednake nuli:

Hajde da rešimo sistem

Sistemsko rješenje:

Rezultirajuća oscilacija se može smatrati harmoničnom sa frekvencijom ω, amplitude A, koja varira prema sljedećem periodični zakon:

Učestalost promjene A je dvostruko veća od učestalosti promjene kosinusa. Frekvencija otkucaja jednaka je razlici između frekvencija dodatih oscilacija: ωb = Δω

Period otkucaja:

Određivanje frekvencije tona (zvuk određene visine otkucaja referentnom i izmjerenim vibracijama je najčešće korištena metoda za poređenje izmjerene vrijednosti sa referentnom. Metoda otkucaja se koristi za podešavanje muzički instrumenti, analizu sluha itd.

Slične informacije.

Harmonic Wave Equation

Jednačina harmonijskih oscilacija utvrđuje ovisnost koordinata tijela o vremenu

Kosinusni graf ima maksimalnu vrijednost u početnom trenutku, a sinusni graf ima nultu vrijednost u početnom trenutku. Ako počnemo da istražujemo oscilaciju iz ravnotežnog položaja, tada će oscilacija ponoviti sinusoidu. Ako oscilaciju počnemo razmatrati s pozicije maksimalnog odstupanja, tada će oscilacija opisati kosinus. Ili se takva oscilacija može opisati sinusnom formulom sa početnom fazom.

Promjena brzine i ubrzanja tokom harmonijskih oscilacija

Ne samo da se koordinate tijela mijenjaju s vremenom prema zakonu sinusa ili kosinusa. Ali veličine kao što su sila, brzina i ubrzanje također se mijenjaju na sličan način. Sila i ubrzanje su maksimalne kada je oscilirajuće tijelo u krajnjim položajima gdje je pomak najveći, a jednaki su nuli kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj. Brzina je, naprotiv, u ekstremnim položajima jednaka nuli, a kada tijelo pređe ravnotežni položaj, dostiže svoju maksimalnu vrijednost.

Ako je oscilacija opisana prema zakonu kosinusa

Ako je oscilacija opisana prema sinusnom zakonu

Maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja

Nakon analize jednadžbi zavisnosti v(t) i a(t), može se pretpostaviti da se maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja uzimaju kada je trigonometrijski faktor jednak 1 ili -1. Određeno formulom

Promjene u količini se opisuju korištenjem zakona sinusa ili kosinusa, tada se takve oscilacije nazivaju harmonijskim. Razmotrimo kolo napravljeno od kondenzatora (koji je bio napunjen prije uključivanja u kolo) i induktora (slika 1).

Slika 1.

Jednačina harmonijske oscilacije može se napisati na sljedeći način:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

gdje je $t$-vrijeme; $q$ naknada, $q_0$-- maksimalno odstupanje naplate od njegove prosječne (nulte) vrijednosti tokom promjena; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- faza oscilacije; $(\alpha )_0$ - početna faza; $(\omega )_0$ - ciklična frekvencija. Tokom perioda, faza se mijenja za $2\pi $.

Jednačina tipa:

jednadžba harmonijskih oscilacija u diferencijalni oblik za oscilatorno kolo koje neće sadržavati aktivni otpor.

Bilo koja vrsta periodičnih oscilacija može se tačno predstaviti kao zbir harmonijskih oscilacija, takozvani harmonijski niz.

Za period oscilovanja kola koje se sastoji od zavojnice i kondenzatora, dobijamo Thomsonovu formulu:

Ako razlikujemo izraz (1) s obzirom na vrijeme, možemo dobiti formulu za funkciju $I(t)$:

Napon na kondenzatoru se može naći kao:

Iz formula (5) i (6) proizilazi da je jačina struje ispred napona na kondenzatoru za $\frac(\pi )(2).$

Harmonične oscilacije se mogu predstaviti i u obliku jednačina, funkcija i vektorskih dijagrama.

Jednačina (1) predstavlja slobodne neprigušene oscilacije.

Jednačina prigušenih oscilacija

Promjena naboja ($q$) na pločama kondenzatora u kolu, uzimajući u obzir otpor (slika 2), biće opisana diferencijalnom jednačinom oblika:

Slika 2.

Ako je otpor koji je dio kola $R \

gdje je $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ frekvencija ciklične oscilacije. $\beta =\frac(R)(2L)-$faktor slabljenja. Amplituda prigušenih oscilacija izražava se kao:

U slučaju da je pri $t=0$ naboj na kondenzatoru jednak $q=q_0$, nema struje u kolu, tada za $A_0$ možemo napisati:

Faza oscilovanja u početnom trenutku vremena ($(\alpha )_0$) je jednaka:

Za $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ promjena naboja nije oscilacija, pražnjenje kondenzatora se naziva aperiodično.

Primjer 1

vježba: Maksimalna vrijednost naplate je $q_0=10\ C$. Harmonično se mijenja sa periodom $T= 5 c$. Odredite maksimalnu moguću struju.

Rješenje:

Kao osnovu za rješavanje problema koristimo:

Da bismo pronašli jačinu struje, izraz (1.1) se mora razlikovati s obzirom na vrijeme:

gdje je maksimum (vrijednost amplitude) jačine struje izraz:

Iz uslova zadatka znamo amplitudnu vrijednost naboja ($q_0=10\ Kl$). Trebali biste pronaći prirodnu frekvenciju oscilacija. Izrazimo to kao:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\levo(1.4\desno).\]

U ovom slučaju, željena vrijednost će se naći pomoću jednačina (1.3) i (1.2) kao:

Pošto su sve veličine u uslovima problema prikazane u SI sistemu, izvršićemo proračune:

odgovor:$I_0=12,56\ A.$

Primjer 2

vježba: Koliki je period oscilovanja u kolu koje sadrži induktor $L=1$H i kondenzator ako se struja u kolu mijenja prema zakonu: $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t\ \left(A \right)?$ Koliki je kapacitet kondenzatora?

Rješenje:

Iz jednadžbe strujnih oscilacija, koja je data u uslovima zadatka:

vidimo da je $(\omega )_0=20\pi $, stoga možemo izračunati period oscilacije koristeći formulu:

\ \

Prema Thomsonovoj formuli za kolo koje sadrži induktor i kondenzator, imamo:

Izračunajmo kapacitet:

odgovor:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

Razmotrili smo nekoliko fizički potpuno različitih sistema i pobrinuli se da se jednačine kretanja svedu na isti oblik

Razlike između fizičkih sistema se manifestuju samo u različitim definicijama količine iu drugačijem fizičkom smislu varijable x: može biti koordinata, ugao, naelektrisanje, struja itd. Imajte na umu da u ovom slučaju, kao što sledi iz same strukture jednačine (1.18), veličina uvek ima dimenziju inverznog vremena.

Jednačina (1.18) opisuje tzv harmonijske vibracije.

Jednačina harmonijskih oscilacija (1.18) je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda (jer sadrži drugi izvod varijable x). Linearnost jednačine to znači

ako ima neku funkciju x(t) je rješenje ove jednadžbe, onda funkcija Cx(t)će također biti njegovo rješenje ( C je proizvoljna konstanta);

if funkcije x 1 (t) I x 2 (t) su rješenja ove jednadžbe, zatim njihov zbir x 1 (t) + x 2 (t) također će biti rješenje iste jednačine.

Dokazana je i matematička teorema prema kojoj jednačina drugog reda ima dva nezavisne odluke. Sva ostala rješenja, prema svojstvima linearnosti, mogu se dobiti kao njihove linearne kombinacije. Lako je direktnom diferencijacijom provjeriti da nezavisne funkcioniraju i zadovoljavaju jednačinu (1.18). znači, zajednička odluka ova jednadžba ima oblik:

Gdje C1,C2 su proizvoljne konstante. Ovo rješenje se može predstaviti iu drugom obliku. Uvodimo količinu

i definisati ugao kao:

Tada se opće rješenje (1.19) zapisuje kao

Prema formulama trigonometrije, izraz u zagradama je

Konačno stižemo opšte rešenje jednačine harmonijskih oscilacija kao:

Nenegativna vrijednost A pozvao amplituda oscilovanja, - početna faza oscilacije. Poziva se cijeli kosinusni argument - kombinacija faza oscilovanja.

Izrazi (1.19) i (1.23) su savršeno ekvivalentni, tako da možemo koristiti bilo koji od njih iz razloga jednostavnosti. Oba rješenja su periodične funkcije vremena. Zaista, sinus i kosinus su periodični sa periodom . Stoga se različita stanja sistema koji vrši harmonijske oscilacije ponavljaju nakon određenog vremenskog perioda t*, za koju faza oscilovanja dobija prirast koji je višekratnik :

Otuda to sledi

Najmanje od ovih vremena

pozvao period oscilovanja (Sl. 1.8), a - njegov kružni (ciklički) frekvencija.

Rice. 1.8.

Takođe koriste frekvencija oklevanje

Prema tome, kružna frekvencija je jednaka broju oscilacija po sekundi.

Dakle, ako je sistem na vrijeme t karakteriziran vrijednošću varijable x(t), tada će istu vrijednost varijabla imati nakon određenog vremenskog perioda (slika 1.9), tj

Ista vrijednost će se, naravno, ponoviti nakon nekog vremena. 2T, ZT itd.

Rice. 1.9. Period oscilacije

Opće rješenje uključuje dvije proizvoljne konstante ( C 1 , C 2 ili A, a), čije vrijednosti treba odrediti sa dva početni uslovi. Obično (iako ne nužno) njihovu ulogu igraju početne vrijednosti varijable x(0) i njen derivat.

Uzmimo primjer. Neka rješenje (1.19) jednadžbe harmonijskih oscilacija opisuje kretanje opružnog klatna. Vrijednosti proizvoljnih konstanti zavise od načina na koji smo klatno izveli iz ravnoteže. Na primjer, povukli smo oprugu na daljinu i pustio loptu bez početne brzine. U ovom slučaju

Zamena t = 0 u (1.19) nalazimo vrijednost konstante Od 2

Rešenje tako izgleda:

Brzina opterećenja se nalazi diferenciranjem s obzirom na vrijeme

Zamena ovde t = 0, pronađite konstantu Od 1:

Konačno

Upoređujući sa (1.23), nalazimo da je amplituda oscilacije, a njena početna faza je jednaka nuli: .

Sada dovodimo klatno iz ravnoteže na drugi način. Hajde da udarimo na teret tako da dobije početna brzina, ali se praktički ne pomjera tokom udara. Tada imamo druge početne uslove:

naše rešenje izgleda tako

Brzina tereta će se mijenjati prema zakonu:

stavimo to ovdje:

Najjednostavniji tip vibracija su harmonijske vibracije- fluktuacije u kojima se pomak oscilirajuće tačke iz ravnotežnog položaja mijenja tokom vremena prema sinusnom ili kosinusnom zakonu.

Dakle, ravnomernom rotacijom lopte oko obima, njena projekcija (senka u paralelnim zracima svetlosti) vrši harmonijsko oscilatorno kretanje na vertikalnom ekranu (slika 1).

Pomak iz ravnotežnog položaja tokom harmonijskih vibracija opisuje se jednadžbom (naziva se kinematičkim zakonom harmonijskog kretanja) oblika:

gdje je x - pomak - vrijednost koja karakterizira položaj oscilirajuće točke u trenutku t u odnosu na ravnotežni položaj i mjerena rastojanjem od ravnotežnog položaja do položaja tačke u datom trenutku; A - amplituda oscilacije - maksimalni pomak tijela iz ravnotežnog položaja; T - period oscilacije - vrijeme jedne potpune oscilacije; one. najkraći vremenski period nakon kojeg se vrijednosti ponavljaju fizičke veličine karakteriziranje oscilacije; - početna faza;

Faza oscilacije u trenutku t. Faza oscilovanja je argument periodične funkcije, koja za datu amplitudu oscilovanja određuje stanje oscilatornog sistema (pomeraj, brzinu, ubrzanje) tela u bilo kom trenutku.

Ako je u početnom trenutku oscilirajuća tačka maksimalno pomaknuta iz ravnotežnog položaja, tada se , a pomak točke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

Ako je oscilirajuća tačka u položaju stabilne ravnoteže, tada se pomak tačke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

Vrijednost V, recipročna vrijednost perioda i jednaka broju kompletnih oscilacija izvedenih u 1 s, naziva se frekvencija oscilovanja:

Ako u vremenu t tijelo napravi N potpunih oscilacija, tada

vrijednost , koji pokazuje koliko oscilacija napravi tijelo u s, naziva se ciklička (kružna) frekvencija.

Kinematički zakon harmonijskog kretanja može se zapisati kao:

Grafički, zavisnost pomaka oscilirajuće tačke o vremenu je predstavljena kosinusom (ili sinusoidom).

Slika 2, a prikazuje vremensku zavisnost pomaka oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja za slučaj .

Hajde da saznamo kako se brzina oscilirajuće tačke mijenja s vremenom. Da bismo to učinili, nalazimo vremenski izvod ovog izraza:

gdje je amplituda projekcije brzine na x-osi.

Ova formula pokazuje da se tokom harmonijskih oscilacija projekcija brzine tijela na x-osu također mijenja duž harmonijski zakon sa istom frekvencijom, sa različitom amplitudom, i ispred faze miješanja za (slika 2b).

Da bismo saznali zavisnost ubrzanja, nalazimo vremenski izvod projekcije brzine:

gdje je amplituda projekcije ubrzanja na x-osi.

Za harmonijske oscilacije, projekcija ubrzanja vodi fazni pomak za k (slika 2, c).

Slično, možete izgraditi grafove zavisnosti