Jednačina tangente na graf koji prolazi kroz tačku. Jednadžba tangente na graf funkcije - Hipermarket znanja
Uputstvo
Određujemo nagib tangente na krivu u tački M.
Kriva koja predstavlja grafik funkcije y = f(x) je kontinuirana u nekom susjedstvu tačke M (uključujući i samu tačku M).
Ako vrijednost f‘(x0) ne postoji, onda ili nema tangente, ili prolazi okomito. S obzirom na to, prisustvo derivacije funkcije u tački x0 je zbog postojanja nevertikalne tangente koja je u kontaktu sa grafikom funkcije u tački (x0, f(x0)). U ovom slučaju, nagib tangente će biti jednak f "(x0). Dakle, geometrijsko značenje derivacije postaje jasno - izračunavanje nagiba tangente.
Pronađite vrijednost apscise dodirne točke, koja je označena slovom "a". Ako se poklapa sa datom tačkom tangente, tada će "a" biti njena x-koordinata. Odredite vrijednost funkcije f(a), zamjenjujući u jednačinu funkcije veličina apscise.
Odrediti prvi izvod jednačine funkcije f'(x) i u njega ubaciti vrijednost tačke "a".
Uzmite opću tangentnu jednadžbu, koja je definirana kao y = f (a) = f (a) (x - a), i zamijenite pronađene vrijednosti a, f (a), f "( a) u njega.Kao rezultat, rješenje grafa će biti pronađeno i tangentno.
Zadatak riješite na drugačiji način ako se data tačka tangente ne poklapa sa tačkom tangente. U ovom slučaju, potrebno je zamijeniti "a" umjesto brojeva u jednadžbi tangente. Nakon toga, umjesto slova "x" i "y", zamijenite vrijednost koordinata date tačke. Riješi rezultirajuću jednačinu u kojoj je "a" nepoznata. Stavite rezultujuću vrijednost u jednadžbu tangente.
Napišite jednačinu za tangentu sa slovom "a", ako je jednačina data u uslovu zadatka funkcije i jednadžba paralelne prave u odnosu na željenu tangentu. Nakon toga, potreban vam je derivat funkcije
On sadašnjoj fazi razvoj obrazovanja kao jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za kreativnost kod učenika se može razviti samo ako su sistematski uključeni u osnove istraživačke aktivnosti. Osnova da učenici koriste svoje kreativne snage, sposobnosti i talente su formirana punopravna znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sistema osnovnih znanja i vještina za svaku temu školskog predmeta matematike je od velikog značaja. Istovremeno, potpune vještine trebaju biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već njihovog pažljivo osmišljenog sistema. U najširem smislu, sistem se shvata kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju integritet i stabilnu strukturu.
Razmotrimo metodologiju za podučavanje učenika kako da sastave jednadžbu tangente na graf funkcije. U suštini, svi zadaci za pronalaženje jednačine tangente svode se na potrebu da se iz skupa (snop, familija) linija izaberu one od njih koje zadovoljavaju određeni zahtjev – tangente su na graf određene funkcije. U ovom slučaju, skup linija iz kojih se vrši odabir može se specificirati na dva načina:
a) tačka koja leži na ravni xOy (centralna olovka pravih);
b) ugaoni koeficijent (paralelni snop linija).
S tim u vezi, prilikom proučavanja teme "Tangensa na graf funkcije" u cilju izolacije elemenata sistema, identificirali smo dvije vrste zadataka:
1) zadaci na tangentu zadanu tačkom kroz koju ona prolazi;
2) zadaci na tangentu zadanu njenim nagibom.
Učenje rješavanja problema na tangenti provedeno je pomoću algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njegova temeljna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne točke označena slovom a (umjesto x0), u vezi s tim jednadžba tangente ima oblik
y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)
(uporedi sa y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ova metodološka tehnika, po našem mišljenju, omogućava studentima da brzo i jednostavno shvate gdje su upisane koordinate trenutne tačke u opštoj jednačini tangente, i gde su dodirne tačke.
Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f(x)
1. Označite slovom a apscisu dodirne tačke.
2. Naći f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f (a), f "(a) u opću jednadžbu tangente y = f (a) = f "(a) (x - a).
Ovaj algoritam se može sastaviti na osnovu samostalnog odabira operacija od strane učenika i redosleda njihovog izvođenja.
Praksa je to pokazala konzistentno rješenje svaki od ključnih zadataka uz pomoć algoritma omogućava vam da formirate sposobnost pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao jake tačke za radnje. Ovaj pristup odgovara teoriji postupnog formiranja mentalnih radnji koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.
U prvoj vrsti zadataka identifikovana su dva ključna zadatka:
- tangenta prolazi kroz tačku koja leži na krivulji (problem 1);
- tangenta prolazi kroz tačku koja ne leži na krivulji (problem 2).
Zadatak 1. Izjednačiti tangentu na graf funkcije 
u tački M(3; – 2).
Rješenje. Tačka M(3; – 2) je dodirna tačka, pošto
1. a = 3 - apscisa dodirne tačke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 je tangentna jednadžba.
Zadatak 2. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2, prolazeći kroz tačku M(- 3; 6).
Rješenje. Tačka M(– 3; 6) nije tangentna tačka, jer je f(– 3) 6 (slika 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentna jednadžba.
Tangenta prolazi kroz tačku M(– 3; 6), pa njene koordinate zadovoljavaju jednačinu tangente.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.
Ako je a = – 4, onda je tangentna jednadžba y = 4x + 18.
Ako je a \u003d - 2, tada tangentna jednadžba ima oblik y = 6.
U drugoj vrsti ključni zadaci će biti sljedeći:
- tangenta je paralelna nekoj pravoj liniji (problem 3);
- tangenta prolazi pod nekim uglom na datu pravu (problem 4).
Zadatak 3. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = x 3 - 3x 2 + 3, paralelno s pravom y = 9x + 1.
1. a - apscisa dodirne tačke.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.
Ali, s druge strane, f "(a) = 9 (uslov paralelizma). Dakle, moramo riješiti jednačinu 3a 2 - 6a = 9. Njeni korijeni a = 1, a = 3 (sl. 3).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 je tangentna jednačina;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);
y = 9x – 24 je tangentna jednačina.
Zadatak 4. Napišite jednačinu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, koja prolazi pod uglom od 45° na pravu liniju y = 0 (slika 4).
Rješenje. Iz uslova f "(a) = tg 45 ° nalazimo a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.
1. a = 4 - apscisa dodirne tačke.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).
y \u003d x - 7 - jednadžba tangente.
Lako je pokazati da se rješenje bilo kojeg drugog problema svodi na rješenje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.
1. Napišite jednačine tangenti na parabolu y = 2x 2 - 5x - 2, ako se tangente seku pod pravim uglom i jedna od njih dodiruje parabolu u tački sa apscisom 3 (slika 5).
Rješenje. Pošto je data apscisa dodirne tačke, prvi dio rješenja svodi se na ključni problem 1.
1. a = 3 - apscisa dodirne tačke jedne od strana pravi ugao.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - jednadžba prve tangente.
Neka je a nagib prve tangente. Pošto su tangente okomite, onda je ugao nagiba druge tangente. Iz jednačine y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Pronađite
To znači da je nagib druge tangente .
Dalje rješenje se svodi na ključni zadatak 3.
Neka je B(c; f(c)) tačka tangente druge linije
1. - apscisa druge dodirne tačke.
2. 
3. 
4. 
je jednadžba druge tangente.
Bilješka. Ugaoni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravih k 1 k 2 = - 1.
2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija
Rješenje. Problem se svodi na pronalaženje apscisa zajedničkih tangentnih tačaka, odnosno na rješavanje ključnog problema 1 u opšti pogled, sastavljanje sistema jednačina i njegovo naknadno rješenje (slika 6).
1. Neka je a apscisa dodirne tačke koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.
1. Neka je c apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije 
2. 
3. f "(c) = c.
4.
Pošto su tangente uobičajene, onda
Dakle, y = x + 1 i y = - 3x - 3 su zajedničke tangente.
Osnovni cilj razmatranih zadataka je priprema učenika za samoprepoznavanje tipa ključnog zadatka pri rješavanju složenijih zadataka koji zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, upoređivanja, generalizacije, postavljanja hipoteze i sl.). Takvi zadaci uključuju svaki zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem ( inverzni problem 1) pronaći funkciju po porodici njenih tangenta.
3. Za koje su b i c linije y = x i y = - 2x tangente na graf funkcije y = x 2 + bx + c?
Neka je t apscisa tačke dodira prave y = x sa parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa dodirne tačke prave y = - 2x sa parabolom y = x 2 + bx + c. Tada će jednačina tangente y = x poprimiti oblik y = (2t + b)x + c - t 2 , a jednačina tangente y = - 2x će imati oblik y = (2p + b)x + c - p 2 .
Sastavite i riješite sistem jednačina
odgovor: 
Primjer 1 Zadata funkcija f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Napišimo jednačinu tangente na graf funkcije f(x) u tački grafika sa apscisom x 0 = 1.
Rješenje. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga pronađemo:
= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.
Onda f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentna jednadžba ima oblik:
y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),
y = 10(x – 1) + 2,
y = 10x – 8.
Odgovori. y = 10x – 8.
Primjer 2 Zadata funkcija f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Napišimo jednačinu tangente na graf funkcije f(x), paralelno sa pravom y = 2x – 11.
Rješenje. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga pronađemo:
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.
Budući da je tangenta na graf funkcije f(x) u tački sa apscisom x 0 je paralelno sa pravom y = 2x– 11, tada je njegov nagib 2, tj. ( x 0) = 2. Nađi ovu apscisu iz uslova da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ova jednakost vrijedi samo za x 0 = 0 i x 0 = 2. Pošto je u oba slučaja f(x 0) = 5, zatim prava linija y = 2x + b dodiruje graf funkcije ili u tački (0; 5) ili u tački (2; 5).
U prvom slučaju, numerička jednakost je tačna 5 = 2×0 + b, gdje b= 5, au drugom slučaju brojčana jednakost je tačna 5 = 2 × 2 + b, gdje b = 1.
Dakle, postoje dvije tangente y = 2x+ 5 i y = 2x+ 1 na graf funkcije f(x) paralelno sa pravom y = 2x – 11.
Odgovori. y = 2x + 5, y = 2x + 1.
Primjer 3 Zadata funkcija f(x) = x 2 – 6x+ 7. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) prolazeći kroz tačku A (2; –5).
Rješenje. Jer f(2) –5, zatim tačka A ne pripada grafu funkcije f(x). Neka x 0 - apscisa dodirne tačke.
Izvod funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga pronađemo:
= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.
Onda f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Tangentna jednadžba ima oblik:
y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Od tačke A pripada tangenti, tada je numerička jednakost tačna
–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,
gdje x 0 = 0 ili x 0 = 4. To znači da kroz tačku A moguće je nacrtati dvije tangente na graf funkcije f(x).
Ako x 0 = 0, tada tangentna jednadžba ima oblik y = –6x+ 7. Ako x 0 = 4, tada tangentna jednačina ima oblik y = 2x – 9.
Odgovori. y = –6x + 7, y = 2x – 9.
Primjer 4 Zadane funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 i g(x) = –x 2 - 3. Napišimo jednačinu zajedničke tangente na grafove ovih funkcija.
Rješenje. Neka x 1 - apscisa tačke kontakta željene linije sa grafikom funkcije f(x), A x 2 - apscisa dodirne tačke iste prave sa grafikom funkcije g(x).
Izvod funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga pronađemo:
= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.
Onda f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Tangentna jednadžba ima oblik:
y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Nađimo derivaciju funkcije g(x):
= (–x 2 – 3)′ = –2 x.
Y \u003d f (x) i ako se u ovom trenutku može nacrtati tangenta na graf funkcije koja nije okomita na x-os, tada je nagib tangente f "(a). Ovo smo već koristili nekoliko Na primjer, u § 33 je utvrđeno da grafik funkcije y = sin x (sinusoida) u početku formira ugao od 45 ° sa osom apscise (tačnije, tangenta na graf na ishodište čini ugao od 45° sa pozitivnim smerom x ose), a u primeru 5 § 33 tačke su pronađene na datom rasporedu funkcije, u kojem je tangenta paralelna s x-osi. U primjeru 2 § 33, sastavljena je jednadžba za tangentu na graf funkcije y = x 2 u tački x = 1 (tačnije, u tački (1; 1), ali češće samo Naznačuje se vrijednost apscise, pod pretpostavkom da ako je vrijednost apscise poznata, onda se vrijednost ordinate može naći iz jednačine y = f(x)). U ovom dijelu ćemo razviti algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf bilo koje funkcije.
Neka su data funkcija y \u003d f (x) i tačka M (a; f (a)), a poznato je i da f "(a) postoji. Sastavimo jednadžbu tangente na graf datu funkciju u datoj tački. Ova jednadžba, kao i jednadžba bilo koje prave linije koja nije paralelna sa y-osi, ima oblik y = kx + m, pa je problem pronaći vrijednosti koeficijenata k i m.
Nema problema s nagibom k: znamo da je k = f "(a). Za izračunavanje vrijednosti m koristimo činjenicu da željena linija prolazi kroz tačku M (a; f (a)). To znači da ako zamenimo koordinate tačaka M u jednadžbu ravne linije, dobijamo tačnu jednakost: f (a) = ka + m, odakle nalazimo da je m = f (a) - ka.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata kita jednačina ravno:
Dobili smo jednadžbu tangente na graf funkcije y = f (x) u tački x \u003d a.
ako, recimo,
Zamjenom u jednadžbi (1) pronađene vrijednosti a = 1, f (a) = 1 f "(a) = 2, dobivamo: y = 1 + 2 (x-f), tj. y = 2x -1.
Uporedite ovaj rezultat sa onim dobijenim u Primeru 2 iz § 33. Naravno, desilo se isto.
Sastavimo jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d tg x na početku. Imamo: 
dakle cos x f "(0) = 1. Zamjenom pronađenih vrijednosti a = 0, f (a) = 0, f "(a) = 1 u jednadžbu (1), dobivamo: y = x .
Zato smo povukli tangentoid u § 15 (vidi sliku 62) kroz ishodište koordinata pod uglom od 45° u odnosu na osu apscise.
Rješavajući ove prilično jednostavne primjere, zapravo smo koristili određeni algoritam, koji je ugrađen u formulu (1). Učinimo ovaj algoritam eksplicitnim.
ALGORITAM ZA SASTAVLJANJE JEDNAČINE FUNKCIJE TANGENTE NA GRAFIK y = f (x)
1) Apscisu dodirne tačke označiti slovom a.
2) Izračunajte 1 (a).
3) Pronađite f "(x) i izračunajte f" (a).
4) Pronađene brojeve a, f(a), (a) zamijeniti u formulu (1).
Primjer 1 Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u tački x = 1.
Koristimo algoritam, s obzirom na to u ovom primjeru
Na sl. 126 prikazuje hiperbolu, izgrađena je ravna linija y = 2x.
Crtež potvrđuje gornje proračune: zaista, prava y = 2-x dodiruje hiperbolu u tački (1; 1).
odgovor: y \u003d 2-x.
Primjer 2 Nacrtajte tangentu na graf funkcije tako da bude paralelna pravoj liniji y = 4x - 5.
Pročistimo formulaciju problema. Zahtjev da se "nacrta tangenta" obično znači "napraviti jednadžbu za tangentu". Ovo je logično, jer ako je osoba bila u stanju da sastavi jednadžbu za tangentu, onda je malo vjerovatno da će imati poteškoća da gradi na koordinatna ravan prava linija prema njenoj jednačini.
Koristimo algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente, s obzirom da u ovom primjeru, ali, za razliku od prethodnog primjera, ovdje postoji nejasnoća: apscisa tačke tangente nije eksplicitno naznačena.
Počnimo ovako. Željena tangenta mora biti paralelna pravoj liniji y = 4x-5. Dvije prave su paralelne ako i samo ako su im nagibi jednaki. To znači da nagib tangente mora biti jednak nagibu date prave linije: 
Dakle, možemo pronaći vrijednost a iz jednadžbe f "(a) \u003d 4.
Imamo: 
Iz jednačine, dakle, postoje dvije tangente koje zadovoljavaju uslove zadatka: jedna u tački sa apscisom 2, druga u tački sa apscisom -2.
Sada možete djelovati prema algoritmu.
Primjer 3 Iz tačke (0; 1) nacrtajte tangentu na graf funkcije
Koristimo algoritam za sastavljanje jednačine tangente, s obzirom da u ovom primjeru Imajte na umu da ovdje, kao u primjeru 2, apscisa tačke tangente nije eksplicitno naznačena. Ipak, postupamo prema algoritmu.
Po uslovu, tangenta prolazi kroz tačku (0; 1). Zamjenom u jednačinu (2) vrijednosti x = 0, y = 1, dobijamo: 
Kao što vidite, u ovom primjeru, tek u četvrtom koraku algoritma uspjeli smo pronaći apscisu dodirne tačke. Zamjenom vrijednosti a \u003d 4 u jednadžbu (2), dobivamo:
Na sl. 127 prikazuje geometrijsku ilustraciju razmatranog primjera: graf funkcije
U § 32 smo primijetili da za funkciju y = f(x), koja ima izvod u fiksnoj tački x, vrijedi približna jednakost:
Radi pogodnosti daljeg razmišljanja, mijenjamo notaciju: umjesto x pisaćemo a, umjesto toga ćemo pisati x, i u skladu s tim ćemo umjesto toga pisati x-a. Tada će približna jednakost koja je gore napisana poprimiti oblik:
Sada pogledajte sl. 128. Tangenta je nacrtana na graf funkcije y = f (x) u tački M (a; f (a)). Označena tačka x na x-osi blizu a. Jasno je da je f(x) ordinata grafa funkcije u navedenoj tački x. A šta je f (a) + f "(a) (x-a)? Ovo je ordinata tangente koja odgovara istoj tački x - vidi formulu (1). Šta znači približna jednakost (3)? To je izračunati približnu vrijednost funkcije, uzima se vrijednost tangentne ordinate.
Primjer 4 Odrediti približnu vrijednost numeričkog izraza 1,02 7 .
Govorimo o pronalaženju vrijednosti funkcije y = x 7 u tački x = 1,02. Koristimo formulu (3), uzimajući u obzir to u ovom primjeru
Kao rezultat, dobijamo:
Ako koristimo kalkulator, dobijamo: 1,02 7 = 1,148685667...
Kao što vidite, tačnost aproksimacije je sasvim prihvatljiva.
odgovor: 1,02 7 =1,14.
A.G. Mordkovich algebra 10 razred
Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, matematika u školi preuzimanje
Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir prezentacije lekcije akcelerativne metode interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike grafike, tabele, šeme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjenom zastarjelih znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu metodološke preporuke programa diskusije Integrisane lekcijeTangenta je prava linija koja prolazi kroz tačku krive i poklapa se s njom u ovoj tački do prvog reda (slika 1).
Druga definicija: ovo je granična pozicija sekante na Δ x→0.
Objašnjenje: Uzmite pravu koja siječe krivu u dvije tačke: A I b(vidi sliku). Ovo je sekansa. Rotirati ćemo ga u smjeru kazaljke na satu dok ne bude imala samo jednu zajedničku tačku sa krivom. Tako da dobijamo tangentu.
Stroga definicija tangente:
Tangenta na graf funkcije f, diferencibilan u jednoj tački xO, je prava koja prolazi kroz tačku ( xO; f(xO)) i ima nagib f′( xO).
Nagib ima ravnu liniju y=kx +b. Koeficijent k i je faktor nagiba ovu pravu liniju.
Ugaoni koeficijent jednak je tangenti oštrog ugla koji formira ova prava linija sa x-osom:
|
Ovdje je ugao α ugao između prave y=kx +b i pozitivan (tj. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) smjer x-ose. To se zove ugao nagiba ravno(Sl.1 i 2). 
Ako je ugao nagiba ravan y=kx +b akutna, tada je nagib pozitivan broj. Grafikon se povećava (slika 1).
Ako je ugao nagiba ravan y=kx +b tupo, tada je nagib negativan broj. Grafikon se smanjuje (slika 2).
Ako je prava paralelna sa x-osi, tada je nagib prave nula. U ovom slučaju, nagib prave je također nula (pošto je tangenta nule nula). Jednačina prave linije će izgledati kao y = b (slika 3).
Ako je ugao nagiba prave linije 90º (π/2), odnosno okomit je na os x, tada je ta prava data jednakošću x=c, Gdje c- neki realni broj (slika 4).
Jednadžba tangente na graf funkcijey = f(x) u tački xO:
primjer: Nađimo jednačinu tangenta na graf funkcije f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 u tački sa apscisom 2.
Rješenje .
Pratimo algoritam.
1) Točka dodira xO jednako 2. Izračunaj f(xO):
f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Nađi f′( x). Da bismo to učinili, koristimo formule diferencijacije navedene u prethodnom odjeljku. Prema ovim formulama, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. znači:
f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Sada, koristeći rezultirajuću vrijednost f′( x), izračunati f′( xO):
f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Dakle, imamo sve potrebne podatke: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Zamjenjujemo ove brojeve u tangentnu jednadžbu i nalazimo konačno rješenje:
y= f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x - 2) = 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x = 4x - 7.
Odgovor: y \u003d 4x - 7.
