Limita funkce bez použití lopitálního pravidla. Online kalkulačka Řešení limitů

27.09.2019 | krása

L'Hopitalovo pravidlo a odhalení nejistot
Zveřejnění nejistot typu "nula dělená nulou" a "nekonečno děleno nekonečnem"
Zveřejnění nejistot tvaru "nula násobená nekonečnem"
Zveřejnění nejistot typu "nula až mocnina nuly", "nekonečno mocnina nuly" a "jedna mocnina nekonečna"
Zveřejnění nejistot tvaru "nekonečno mínus nekonečno"

L'Hopitalovo pravidlo a odhalení nejistot

Zveřejnění nejistot ve tvaru 0/0 nebo ∞/∞ a některých dalších nejistot je značně zjednodušeno pomocí L'Hopitalova pravidla.

podstata lopitální pravidla je, že v případě, kdy výpočet limity poměrů dvou funkcí dává nejistoty tvaru 0/0 nebo ∞/∞, lze limitu poměru dvou funkcí nahradit limitou poměru jejich derivací a lze tedy dosáhnout určitého výsledku.

Obecně platí, že L'Hopitalova pravidla znamenají několik teorémů, které lze vyjádřit v následující formulaci.

L'Hopitalovo pravidlo. Pokud funkce F(X) a G(X) jsou diferencovatelné v určitém okolí bodu , s možnou výjimkou samotného bodu, a v tomto sousedství

(1)

Jinými slovy, pro nejistoty tvaru 0/0 nebo ∞/∞ je limita poměru dvou funkcí rovna limitě poměru jejich derivací, pokud ta druhá existuje (konečná nebo nekonečná).

V rovnosti (1) může být hodnota , ke které proměnná směřuje, buď konečné číslo, nebo nekonečno nebo mínus nekonečno.

Nejistoty jiných typů lze také redukovat na nejistoty typů 0/0 a ∞/∞.

Zveřejnění nejistot typu "nula dělená nulou" a "nekonečno děleno nekonečnem"

Příklad 1 Vypočítat

X=2 vede k neurčitosti tvaru 0/0. Proto použijeme L'Hopitalovo pravidlo:

Příklad 2 Vypočítat

Rozhodnutí. Náhrada v danou funkci hodnoty X

Příklad 3 Vypočítat

Rozhodnutí. Substituce do dané hodnotové funkce X=0 vede k neurčitosti tvaru 0/0. Proto použijeme L'Hopitalovo pravidlo:

Příklad 4 Vypočítat

Rozhodnutí. Dosazení hodnoty x rovné plus nekonečnu do dané funkce vede k neurčitosti tvaru ∞/∞. Proto použijeme L'Hopitalovo pravidlo:

Komentář. Je-li limitou poměru derivací nejistota tvaru 0/0 nebo ∞/∞, pak lze znovu použít L'Hopitalovo pravidlo, tzn. jít na hranici poměru druhých derivací atp.

Příklad 5 Vypočítat

Rozhodnutí. Shledáváme

Zde L'Hospitalovo pravidlo platí dvakrát, protože jak limita poměru funkcí, tak limita poměru derivací dávají neurčitost tvaru ∞/∞.

Příklad 6 Vypočítat

Návod

Přímý výpočet limit souvisí především s limitami racionálních Qm(x)/Rn(x), kde Q a R jsou polynomy. Pokud je limita vypočítána v x → a (a je číslo), pak může vzniknout například nejistota. Chcete-li to odstranit, vydělte čitatele a jmenovatele (x-a). Opakujte operaci, dokud nejistota nezmizí. Dělení polynomů se provádí téměř stejným způsobem jako dělení čísel. Vychází z toho, že dělení a násobení jsou inverzní operace. Příklad je znázorněn na Obr. 1.

Aplikace prvního pozoruhodného limitu. Vzorec pro první pozoruhodnou limitu je znázorněn na obr. 2a. Chcete-li jej použít, uveďte svůj vzorový výraz do příslušného tvaru. To lze vždy provést čistě algebraicky nebo změnou proměnné. Hlavní věc - nezapomeňte, že pokud je sinus od kx, pak je jmenovatel také kx. Příklad je znázorněn na Obr. 2e. Pokud navíc vezmeme v úvahu, že tgx=sinx/cosx, cos0=1, pak se jako důsledek objeví (viz obr. 2b). arcsin(sinx)=x a arctg(tgx)=x. Proto jsou zde ještě dva důsledky (obr. 2c a 2d). Objevila se také poměrně široká škála metod.

Aplikace druhé pozoruhodné meze (viz obr. 3a) Limity tohoto typu slouží k eliminaci typu . Chcete-li vyřešit odpovídající problémy, jednoduše transformujte podmínku na strukturu odpovídající typu limity. Pamatujte si, že když zvýšíte na moc výraz, který už je v moci, dojde k jejich znásobení. Odpovídající je znázorněn na Obr. 2e. Aplikujte substituci α=1/x a získejte důsledek druhé pozoruhodné limity (obr. 2b). Po logaritmování v základu a, obou částech tohoto důsledku, se dostanete k druhému důsledku, v a s \u003d e (viz obr. 2c). Proveďte substituci a^x-1=y. Potom x=log(a)(1+y). Jak x má tendenci k nule, y má také tendenci k nule. Vzniká tedy i třetí důsledek (viz obr. 2d).

Aplikace ekvivalentních infinitezimálů Nekonečně malé funkce jsou ekvivalentní jako x → a, jestliže limita jejich poměru α(x)/γ(x) je rovna jedné. Při výpočtu limit pomocí takových infinitesimál jednoduše napište γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) je nekonečně malý více vysoký řád menší než α(x). Pro to lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Chcete-li zjistit ekvivalenci, použijte stejné úžasné limity. Metoda umožňuje výrazně zjednodušit proces a učinit jej transparentnějším.

Zdroje:

Shipachev V.S. algebra pro pokročilé. Proč. pro univerzity. - 3. vyd., vymazáno. - M.: Vyšší. škola, 1996. - 496 s.: nemoc.

Funkce je jedním ze základních matematických pojmů. Její omezit je hodnota, ke které argument směřuje omezit hodnota. Lze jej vypočítat pomocí některých triků, například Bernoulliho-L'Hopitalova pravidla.

Návod

Vypočítat omezit v daném bodě x0 by tato hodnota argumentu měla být dosazena do výrazu funkce pod znaménkem lim. Není vůbec nutné, aby tato patřila do oblasti omezit funkce. Li omezit o omezit je rovna jedné číslici, pak se říká, že funkce konverguje. Pokud nemůže být omezit en, nebo nekonečný v určitém bodě, pak nesoulad.

Řešení Dosaďte do výrazu hodnotu x = -2:lim (x² - 6 x - 14) / (2 x² + 3 x - 6) = -1/2.

Řešení není vždy tak zřejmé a jednoduché, zvláště pokud je výraz příliš těžkopádný. V tomto případě byste měli nejprve zjednodušit jeho redukci, seskupování nebo substituci proměnných: lim_(x→-8) (10 x - 1)/(2 x + ∛x) = [y= ∛x] = lim_(y→- 2) (10 y³ - 1) / (2 y³ + y) \u003d 9/2.

Často situace nemožnosti o omezit eniya omezit a, zvláště pokud má argument sklon k nekonečnu nebo nule. Střídání nepřináší očekávaný výsledek, vedoucí k omezit hodnoty formuláře nebo [∞/∞]. Pak je použitelný L'Hospital-Bernoulli, což zahrnuje nalezení první derivace. Například vypočítat omezit lim (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) s x → -2.

Solution.lim (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) =.

Najděte derivaci: lim (2 x - 5) / (4 x + 1) = 9/7.

lim (sinx/x) = 1 jako x → 0, platí to i obráceně: lim (x/sinx) = 1; x → 0. Argumentem může být jakákoliv konstrukce, hlavní je, že její hodnota směřuje k nule: lim (x³ - 5 x² + x) / sin(x³ - 5 x² + x) = 1; x → 0.

Související videa

Teorie limity je poměrně široká oblast matematické analýzy. Tento koncept je použitelný pro funkci a je konstrukcí tří prvků: označení lim, výrazu pod limitním znakem a limitní hodnoty argumentu.

Návod

K výpočtu limity potřebujete, čemu se funkce rovná v bodě odpovídajícím limitní hodnotě argumentu. V některých případech nemá konečné řešení a dosazením hodnoty, ke které proměnná směřuje, dostaneme tvar „nula nulou“ nebo „nekonečno nekonečnem“. V tomto případě je použitelný, odvozený Bernoullim a L'Hopitalem, což znamená vzít si první derivaci.

Jako každá matematika může limita pod svým znaménkem obsahovat výraz funkce, což je pro jednoduchou substituci příliš těžkopádné nebo nepohodlné. Pak je potřeba to nejprve zjednodušit, pomocí obvyklých metod, seskupení, vyjmutí společného faktoru a změny proměnné, ve které se mění i mezní hodnota argumentu.

Máte štěstí, výraz funkce dává smysl vzhledem k limitní hodnotě argumentu. Toto je nejjednodušší případ výpočtu limitu. Nyní vyřešte následující problém, který zahrnuje nejednoznačný koncept nekonečna: lim_(x→∞) (5 - x).

Bernoulliho-L'Hopitalovo pravidlo: lim_(x→-2) (x^5 - 4 x³)/(x³ + 2 x²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = . Diferencujte výraz funkce: lim (5 x^4 - 12 x²) / (3 x² + 4 x) = (5 16 - 12 4) / (3 4 - 8) = 8.

Změna proměnné: lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/ ( 125 + 5) = 27/26.

Řecké písmenoπ (pi, pi) se obvykle označuje jako poměr obvodu kruhu k jeho průměru. to číslo, původně se objevující ve spisech starověkých geometrů, se později ukázal jako velmi důležitý v mnoha odvětvích matematiky. Musí se tedy umět spočítat.

Návod

π - iracionální číslo. To znamená, že jej nelze reprezentovat jako zlomek s celým číslem a jmenovatelem. Navíc π je transcendentní číslo, to znamená, že nemůže sloužit žádné algebraická rovnice. Přesnou hodnotu čísla π tedy nelze zapsat. Existují však metody, jak jej vypočítat s jakýmkoli požadovaným stupněm přesnosti.

Ve starověku používané geometry Řecka a Egypta říkají, že π je přibližně rovno odmocnina z 10 nebo zlomek 256/81. Ale tyto vzorce dávají hodnotu π rovnou 3,16, a to zjevně nestačí.

S rozvojem diferenciálního počtu a dalších nových matematických disciplín mají vědci k dispozici nový nástroj- mocninná řada. Gottfried Wilhelm Leibniz v roce 1674 zjistil, že řada
1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
konverguje v limitě rovné π/4. Výpočet tohoto součtu je jednoduchý, ale k dosažení dostatečné přesnosti vyžaduje mnoho kroků, protože řada konverguje velmi pomalu.

Následně byly objeveny další mocninné řady, které umožňovaly počítat π rychleji než pomocí Leibnizovy řady. Například je známo, že tg(π/6) = 1/√3, tedy arctg(1/√3) = π/6.
Funkce arkus tangens je rozšířena na mocninnou řadu a pro danou hodnotu dostaneme výsledek:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
S tímto a dalšími podobnými formulemi čísloπ již bylo vypočítáno s přesností na miliony desetinných míst.

Poznámka

Existuje mnoho způsobů, jak vypočítat pí. Nejjednodušší a nejsrozumitelnější je numerická metoda Monte Carlo, jejíž podstata je redukována na nejjednodušší výčet bodů na ploše. double y=poloměr*poloměr-x*x; vrátit y; ) Program zobrazí hodnotu Pi v závislosti na poloměru a počtu bodů. Čtenáři nezbývá než si to sám zkompilovat a spustit s parametry, jaké si přeje.

Užitečná rada

Ale neúnavní vědci pokračovali a pokračovali ve výpočtu desetinných míst pí, což je ve skutečnosti divoce netriviální úkol, protože to nelze spočítat jen ve sloupci: číslo je nejen iracionální, ale také transcendentální (to jsou jen taková čísla, která se nepočítají jednoduchými rovnicemi). Vědcům z Tokijské univerzity se podařilo vytvořit světový rekord ve výpočtu čísla pí až na 12 411 bilionů znaků.

Zdroje:

Historie Pi

Matematické metody aplikovaný v mnoha vědních oborech. Toto tvrzení se týká zejména diferenciálního počtu. Pokud například počítáme druhou derivát funkcí vzdálenosti od časové proměnné je možné zjistit zrychlení hmotného bodu.

Návod

Pro derivace vyššího řádu jsou zachována pravidla a způsoby diferenciace. To se týká některých elementárních funkcí, operací sčítání a dělení i komplexních funkcí tvaru u(g(x)): u’ = C’ = 0 je derivace konstanty; u’ = x’ = 1 je nejjednodušší z jednoho argumentu; u' = (x^a)' = a x^(a-1); u' = (a^x)' = a^x ln a - exponenciální funkce;

Aritmetické operace dvojice funkcí u(x) a g(x): (u + g)’ = u’ + g’; (ug)' = u' g + g' u; (u/g)’ = (u’ g – g’ u)/g².

Docela těžký druhý derivát komplexní funkce. K tomu slouží numerické derivační metody, ačkoliv je výsledek přibližný, existuje tzv. chyba aproximace α: u''(x) = (u(x + h) - 2 u(x) + u(x - h) ) / h² + α (h²) - Newtonův interpolační polynom; – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – Strilling.

V těchto vzorcích existuje určitá hodnota h. Říká se tomu aproximace, jejíž volba musí být optimální, aby se minimalizovala chyba výpočtu. Výběr správná hodnota h se nazývá regulace po krocích: |u(х + h) – u(х)| > ε, kde ε je nekonečně malé.

Metoda pro výpočet druhé derivace se použije, když celkový diferenciál druhá objednávka. Zároveň se soukromě vypočítá pro každý argument a podílí se na výsledném vyjádření jako faktor odpovídajícího diferenciálu dx, dy atd.: /∂zd²z.

Příklad: najděte druhé derivát funkce u \u003d 2 x sin x - 7 x³ + x ^ 5 / tg x.

Řešení u' = 2 sin x + 2 x cos x - 21 x² + 5 x^4/tg x - x² / sin² x; u'' = 4 cos x - 2 x sin x - 42 x + 20 x³ / tg x - 5 x ^ 4 / sin² x - 2 x / sin² x + 2 x² cos x / sin³ x.

Při studiu podstaty chování se používají metody diferenciálního počtu funkcí v matematické analýze. Toto však není jediná oblast jejich použití, často je nutné ji najít derivát pro výpočet mezních hodnot v ekonomii, pro výpočet rychlosti nebo zrychlení ve fyzice.

Návod

Neurčitost tvaru [∞-∞] se ukáže, je-li myšlen rozdíl libovolných zlomků. Přivedením tohoto rozdílu ke společnému jmenovateli získáte určitý poměr funkcí.

Při výpočtu typu p(x)^q(x) vznikají nejistoty typu 0^∞, 1^∞, ∞^0. V tomto případě se používá předdiferenciace. Pak bude mít požadovaný limit A podobu produktu, případně s hotovým jmenovatelem. Pokud ne, pak můžete použít metodiku příkladu 3. Hlavní je nezapomenout zapsat konečnou odpověď ve tvaru e^A (viz obr. 5).

Související videa

Zdroje:

vypočítat limitu funkce bez použití lopitálního pravidla v roce 2019

Návod

Limit je číslo, ke kterému má proměnná, proměnná nebo hodnota výrazu tendenci. Obvykle proměnné nebo funkce jdou buď k nule, nebo do nekonečna. V limitu, nule, je množství považováno za nekonečně malé. Jinými slovy, veličiny, které jsou proměnlivé a blíží se nule, se nazývají infinitezimální. Pokud směřuje k nekonečnu, pak se nazývá nekonečná limita. Obvykle se píše takto:
limx=+∞.

Má řadu vlastností, z nichž některé jsou . Níže jsou uvedeny ty hlavní.
- jedna hodnota má pouze jeden limit;

Hranice konstantní hodnoty je rovna hodnotě této konstanty;

Součtová mez je rovna součtu mezí: lim(x+y)=lim x + lim y;

Limit součinu se rovná součinu limitů: lim(xy)=lim x * lim y

Konstantní faktor lze vyjmout z limitního znaménka: lim(Cx) = C * lim x, kde C=konst;

Limita kvocientu je rovna kvocientu limit: lim(x/y)=lim x / lim y.

V problémech s limitami existují jak číselné výrazy, tak tyto výrazy. Může vypadat zejména takto:
limxn=a (jako n→∞).
Níže je nekomplikovaný limit:
lim3n +1 /n+1

n→∞.
Chcete-li vyřešit tuto limitu, vydělte celý výraz n jednotkami. Je známo, že pokud je jednotka dělitelná nějakou veličinou n→∞, pak je limita 1/n rovna nule. Platí to i obráceně: pokud n→0, pak 1/0=∞. Vydělením celého příkladu n jej zapište do níže uvedeného tvaru a získáte:
lim3+1/n/1+1/n=3

Při řešení limit mohou nastat výsledky, které se nazývají nejistoty. V takových případech platí pravidla L'Hospital. K tomu je vytvořena opakovaná funkce, která uvede příklad do podoby, ve které by mohl být řešen. Existují dva typy nejistot: 0/0 a ∞/∞. Příklad s nejistotou může vypadat zejména takto:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

Související videa

Výpočet limitu funkcí- základ matematické analýzy, kterému je v učebnicích věnováno mnoho stran. Někdy však není jasná nejen definice, ale ani samotná podstata limitu. mluvící prostý jazyk, limita je aproximace jedné proměnné, která závisí na jiné na nějaké konkrétní jednotlivé hodnotě, když se tato jiná veličina mění. Pro úspěšný výpočet stačí mít na paměti jednoduchý algoritmus řešení.

Tato online matematická kalkulačka vám pomůže, pokud budete potřebovat vypočítat limit funkce. Program limitní řešení nejen dává odpověď na problém, ale vede detailní řešení s vysvětlivkami, tj. zobrazuje průběh výpočtu limitu.

Tento program může být užitečný pro studenty středních škol při přípravě kontrolní práce a zkoušky, při testování znalostí před zkouškou, rodiče ovládat řešení mnoha problémů z matematiky a algebry. Nebo je pro vás možná příliš drahé najmout si lektora nebo koupit nové učebnice? Nebo to jen chcete mít hotové co nejdříve? domácí práce matematika nebo algebra? V tomto případě můžete využít i naše programy s detailním řešením.

Tímto způsobem můžete provádět vlastní školení a/nebo školení vašich mladších bratrů nebo sester, přičemž se zvýší úroveň vzdělání v oblasti úkolů, které je třeba řešit.

Zadejte výraz funkce
Vypočítat limit

Bylo zjištěno, že některé skripty potřebné k vyřešení tohoto úkolu nebyly načteny a program nemusí fungovat.
Možná máte povolený AdBlock.
V takovém případě jej deaktivujte a obnovte stránku.

V prohlížeči máte vypnutý JavaScript.
Aby se řešení objevilo, musí být povolen JavaScript.
Zde je návod, jak povolit JavaScript ve vašem prohlížeči.

Protože Existuje spousta lidí, kteří chtějí problém vyřešit, váš požadavek je ve frontě.
Po několika sekundách se řešení objeví níže.
Prosím, čekejte sek...

jestli ty zaznamenal chybu v řešení, pak o tom můžete napsat do Formuláře zpětné vazby .
Nezapomeň uveďte jaký úkol ty rozhodneš co zadejte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teorie.

Limita funkce v x-> x 0

Nechť je funkce f(x) definována na nějaké množině X a nechť bod $x_0 \in X $ nebo $x_0 \notin X $

Vezměte z X posloupnost bodů jinou než x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergující k x*. Hodnoty funkcí v bodech této sekvence také tvoří číselnou sekvenci
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
a lze si položit otázku existence jeho limitu.

Definice. Číslo A se nazývá limita funkce f (x) v bodě x \u003d x 0 (nebo v x -> x 0), pokud pro jakoukoli posloupnost (1) hodnot argumentu x že konverguje k x 0, odlišné od x 0, odpovídající funkce posloupnosti (2) hodnot konverguje k číslu A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkce f(x) může mít pouze jednu limitu v bodě x 0. Vyplývá to z toho, že posloupnost
(f(x n)) má pouze jednu limitu.

Existuje další definice limity funkce.

DefiniceČíslo A se nazývá limita funkce f(x) v bodě x = x 0, pokud pro libovolné číslo $\varepsilon > 0 $ existuje číslo $\delta > 0 $ takové, že pro všechna \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) splňující nerovnost $|x-x_0| Pomocí logických symbolů lze tuto definici zapsat jako
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Všimněte si, že nerovnosti \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| První definice je založena na představě limity číselné posloupnosti, proto se často nazývá definice „sekvenčního jazyka". Druhá definice se nazývá „\(\varepsilon - \delta $" definice.
Tyto dvě definice limity funkce jsou ekvivalentní a můžete použít kteroukoli z nich, podle toho, která je pro řešení konkrétního problému výhodnější.

Všimněte si, že definice limity funkce "v jazyce posloupností" se také nazývá definice limity funkce podle Heineho a definice limity funkce "v jazyce $\varepsilon - \delta $" se také nazývá definice limity funkce podle Cauchyho.

Limit funkce při x->x 0 - a při x->x 0 +

V následujícím budeme používat pojmy jednostranné limity funkce, které jsou definovány následovně.

DefiniceČíslo A se nazývá pravá (levá) limita funkce f (x) v bodě x 0, jestliže pro libovolnou posloupnost (1) konvergující k x 0, jejíž prvky x n jsou větší (menší) než x 0 , příslušná posloupnost (2) konverguje k A.

Symbolicky je to napsáno takto:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Lze dát ekvivalentní definici jednostranných limit funkce "v jazyce $\varepsilon - \delta $":

Definicečíslo A se nazývá pravá (levá) limita funkce f(x) v bodě x 0, jestliže pro libovolné $\varepsilon > 0 $ existuje $\delta > 0 $ takové, že pro všechna x vyhovující nerovnosti \(x_0 Symbolické položky:

\((\forall \varepsilon > 0) (\existuje \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Zveřejnění nejistot ve tvaru 0/0 nebo ∞/∞ a některých dalších nejistot, které při výpočtu vznikají omezit vztah dvou nekonečně malých nebo nekonečně velkých funkcí je pomocí L'Hospitalova pravidla (ve skutečnosti dvou pravidel a poznámek k nim) značně zjednodušen.

podstata pravidla L'Hospital je, že v případě, kdy výpočet limity podílů dvou nekonečně malých nebo nekonečně velkých funkcí dává nejistoty tvaru 0/0 nebo ∞/∞, lze limitu poměru dvou funkcí nahradit limitou poměr jejich deriváty a získat tak určitý výsledek.

Přejděme k formulaci L'Hopitalových pravidel.

L'Hopitalovo pravidlo pro případ hranice dvou nekonečně malých hodnot. Pokud funkce F(X) a G(X AA a v této čtvrti G"(X A sobě rovné a rovné nule

().

L'Hôpitalovo pravidlo pro případ limity dvou nekonečně velkých veličin. Pokud funkce F(X) a G(X) jsou diferencovatelné v nějakém okolí bodu A, snad s výjimkou bodu A a v této čtvrti G"(X)≠0 a jestli a jestli limity těchto funkcí jako x tíhnou k hodnotě funkce v bodě A sobě rovné a rovné nekonečnu

(),

pak se limita poměru těchto funkcí rovná limitě poměru jejich derivací

().

Jinými slovy, pro nejistoty tvaru 0/0 nebo ∞/∞ je limita poměru dvou funkcí rovna limitě poměru jejich derivací, pokud ta druhá existuje (konečná nebo nekonečná).

Poznámky.

1. L'Hopitalova pravidla platí i pro funkce F(X) a G(X) nejsou definovány na X = A.

2. Jestliže při výpočtu limity poměru derivací funkcí F(X) a G(X) opět se dostáváme k nejistotě tvaru 0/0 nebo ∞/∞, pak by měla být L'Hopitalova pravidla aplikována opakovaně (alespoň dvakrát).

3. L'Hopitalova pravidla jsou také použitelná, když argument funkcí (x) směřuje k neurčitému číslu A a do nekonečna ( X → ∞).

Nejistoty jiných typů lze také redukovat na nejistoty typů 0/0 a ∞/∞.

Zveřejnění nejistot typu "nula dělená nulou" a "nekonečno děleno nekonečnem"

Příklad 1

X=2 vede k neurčitosti tvaru 0/0. Proto derivaci každé funkce a dostaneme

V čitateli byla vypočtena derivace polynomu a ve jmenovateli - derivace komplexní logaritmické funkce. Před posledním rovnítkem obvyklé omezit, nahrazující dvojku místo x.

Příklad 2 Vypočítejte limitu poměru dvou funkcí pomocí L'Hospitalova pravidla:

Rozhodnutí. Substituce do dané hodnotové funkce X

Příklad 3 Vypočítejte limitu poměru dvou funkcí pomocí L'Hospitalova pravidla:

Rozhodnutí. Substituce do dané hodnotové funkce X=0 vede k neurčitosti tvaru 0/0. Vypočítáme tedy derivace funkcí v čitateli a jmenovateli a dostaneme:

Příklad 4 Vypočítat

Rozhodnutí. Dosazení hodnoty x rovné plus nekonečnu do dané funkce vede k neurčitosti tvaru ∞/∞. Proto použijeme L'Hopitalovo pravidlo:

Komentář. Přejděme k příkladům, ve kterých je třeba L'Hopitalovo pravidlo použít dvakrát, tedy dojít na limitu poměru druhých derivací, protože limita poměru prvních derivací je neurčitostí tvaru 0/0 nebo ∞/∞.