Řešení systému na příkladech Cramerovy metody. Lineární rovnice

Cramerova metoda neboli tzv. Cramerovo pravidlo je způsob, jak hledat neznámé veličiny ze soustav rovnic. Lze jej použít pouze v případě, že počet hodnot, které hledáte, je ekvivalentní číslu algebraické rovnice v systému, to znamená, že hlavní matice vytvořená ze systému musí být čtvercová a nesmí obsahovat nula řádků, a také pokud její determinant nesmí být nulový.

Věta 1

Cramerův teorém Pokud se hlavní determinant $D$ hlavní matice, sestavený na základě koeficientů rovnic, nerovná nule, pak je soustava rovnic konzistentní a má jedinečné řešení. Řešení takové soustavy se vypočítává prostřednictvím tzv. Cramerových vzorců pro řešení soustav lineární rovnice: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Co je Cramerova metoda

Podstata Cramerovy metody je následující:

1. Abychom našli řešení systému Cramerovou metodou, nejprve vypočteme hlavní determinant matice $D$. Když se vypočítaný determinant hlavní matice při výpočtu Cramerovou metodou rovná nule, pak systém nemá jediné řešení nebo má nekonečný počet řešení. V tomto případě se pro nalezení obecné nebo nějaké základní odpovědi pro systém doporučuje použít Gaussovu metodu.
2. Poté musíte vyměnit poslední sloupec hlavní matice na sloupci volných termínů a vypočítejte determinant $D_1$.
3. Opakujte totéž pro všechny sloupce a získáte determinanty od $D_1$ do $D_n$, kde $n$ je číslo sloupce zcela vpravo.
4. Po nalezení všech determinantů $D_1$...$D_n$ lze neznámé proměnné vypočítat pomocí vzorce $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Techniky výpočtu determinantu matice

K výpočtu determinantu matice s rozměrem větším než 2 x 2 lze použít několik metod:

• Pravidlo trojúhelníků nebo pravidlo Sarrus, připomínající stejné pravidlo. Podstata trojúhelníkové metody spočívá v tom, že při výpočtu determinantu součinu všech čísel spojených na obrázku červenou čarou vpravo se zapisují se znaménkem plus a všechna čísla jsou na obrázku spojena podobným způsobem na Obr. vlevo - se znaménkem mínus. Obě pravidla jsou vhodná pro matice 3 x 3. V případě Sarrusova pravidla se nejprve přepíše samotná matice a vedle ní se znovu přepíše její první a druhý sloupec. Maticí se kreslí úhlopříčky a tyto další sloupce, členy matice ležící na hlavní diagonále nebo rovnoběžně s ní se píší se znaménkem plus a prvky ležící na vedlejší diagonále nebo rovnoběžně s ní se píší se znaménkem mínus.

Obrázek 1. Pravidlo trojúhelníků pro výpočet determinantu pro Cramerovu metodu

• U metody známé jako Gaussova metoda se tato metoda také někdy označuje jako redukce determinantu. V tomto případě je matice transformována a převedena do trojúhelníkového tvaru a poté jsou vynásobena všechna čísla na hlavní diagonále. Je třeba mít na paměti, že při takovém hledání determinantu nelze násobit nebo dělit řádky nebo sloupce čísly, aniž bychom je vyňali jako faktor nebo dělitel. V případě hledání determinantu je možné pouze vzájemně odečítat a sčítat řádky a sloupce s tím, že se odečtený řádek předem vynásobí nenulovým faktorem. Také s každou permutací řádků nebo sloupců matice je třeba pamatovat na nutnost změnit konečné znaménko matice.
• Při řešení Cramerova SLAE se 4 neznámými je nejlepší použít k hledání a nalezení determinantů Gaussovu metodu nebo určit determinant prostřednictvím hledání nezletilých.

Řešení soustav rovnic Cramerovou metodou

Aplikujeme Cramerovu metodu pro systém 2 rovnic a dvou požadovaných veličin:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Pro větší pohodlí si jej zobrazíme v rozšířené podobě:

$A = \begin(pole)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(pole)$

Najděte determinant hlavní matice, nazývaný také hlavní determinant systému:

$D = \begin(pole)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(pole) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Pokud se hlavní determinant nerovná nule, pak pro vyřešení slough Cramerovou metodou je nutné vypočítat několik dalších determinantů ze dvou matic se sloupci hlavní matice nahrazenými řadou volných členů:

$D_1 = \begin(pole)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(pole) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(pole)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(pole) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Nyní najdeme neznámé $x_1$ a $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Příklad 1

Cramerova metoda pro řešení SLAE s hlavní maticí 3. řádu (3 x 3) a třemi požadovanými.

Řešte soustavu rovnic:

$\začátek(případů) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Hlavní determinant matice vypočítáme pomocí výše uvedeného pravidla pod odstavcem číslo 1:

$D = \begin(pole)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(pole) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $

A nyní tři další determinanty:

$D_1 = \begin(pole)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(pole) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 USD

$D_2 = \begin(pole)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(pole) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \begin(pole)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(pole) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 \u003d – 60 USD

Najdeme požadované hodnoty:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Cramerova metoda je založena na použití determinantů při řešení soustav lineárních rovnic. To značně urychluje proces řešení.

Cramerovu metodu lze použít k řešení soustavy tolika lineárních rovnic, kolik je v každé rovnici neznámých. Není-li determinant soustavy roven nule, pak lze v řešení použít Cramerovu metodu, je-li roven nule, pak nikoli. Cramerovu metodu lze navíc použít k řešení soustav lineárních rovnic, které mají jedinečné řešení.

Definice. Determinant složený z koeficientů neznámých se nazývá determinant systému a značí se (delta).

Determinanty

se získají nahrazením koeficientů u odpovídajících neznámých volnými členy:

;

.

Cramerův teorém. Je-li determinant soustavy nenulový, pak soustava lineárních rovnic má jediné řešení a neznámá je rovna poměru determinantů. Jmenovatel je determinant systému a čitatel je determinant získaný z determinantu systému nahrazením koeficientů neznámým volnými členy. Tato věta platí pro soustavu lineárních rovnic libovolného řádu.

Příklad 1Řešte soustavu lineárních rovnic:

Podle Cramerův teorém my máme:

Takže řešení soustavy (2):

online kalkulačka, rozhodující metoda Kramer.

Tři případy při řešení soustav lineárních rovnic

Jak vyplývá z Cramerovy věty, při řešení soustavy lineárních rovnic mohou nastat tři případy:

První případ: soustava lineárních rovnic má jedinečné řešení

(systém je konzistentní a jednoznačný)

Druhý případ: soustava lineárních rovnic má nekonečný počet řešení

(systém je konzistentní a neurčitý)

** ,

těch. koeficienty neznámých a volných členů jsou úměrné.

Třetí případ: soustava lineárních rovnic nemá řešení

(systém nekonzistentní)

Takže systém m lineární rovnice s n se nazývá proměnné nekompatibilní pokud nemá řešení a kloub pokud má alespoň jedno řešení. Společná soustava rovnic, která má pouze jedno řešení, se nazývá určitý, a více než jeden nejistý.

Příklady řešení soustav lineárních rovnic Cramerovou metodou

Nechte systém

.

Na základě Cramerovy věty

………….
,

Kde
-

systémový identifikátor. Zbývající determinanty se získají nahrazením sloupce koeficienty odpovídající proměnné (neznámé) volnými členy:

Příklad 2

.

Proto je systém definitivní. Abychom našli jeho řešení, vypočítáme determinanty

Podle Cramerových vzorců zjistíme:

Takže (1; 0; -1) je jediné řešení systému.

Pro kontrolu řešení soustav rovnic 3 X 3 a 4 X 4 můžete použít online kalkulačku, Cramerovu metodu řešení.

Pokud v soustavě lineárních rovnic v jedné nebo více rovnicích nejsou žádné proměnné, pak v determinantu jsou jim odpovídající prvky rovny nule! Toto je další příklad.

Příklad 3 Vyřešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou:

.

Řešení. Najdeme determinant systému:

Pozorně si prohlédněte soustavu rovnic a determinant soustavy a zopakujte odpověď na otázku, ve kterých případech se jeden nebo více prvků determinantu rovná nule. Takže determinant není roven nule, proto je systém určitý. Abychom našli jeho řešení, vypočítáme determinanty pro neznámé

Podle Cramerových vzorců zjistíme:

Řešení soustavy je tedy (2; -1; 1).

Pro kontrolu řešení soustav rovnic 3 X 3 a 4 X 4 můžete použít online kalkulačku, Cramerovu metodu řešení.

Začátek stránky

Pokračujeme v řešení systémů Cramerovou metodou společně

Jak již bylo zmíněno, pokud je determinant systému roven nule a determinanty pro neznámé nejsou rovny nule, systém je nekonzistentní, to znamená, že nemá řešení. Ukažme si to na následujícím příkladu.

Příklad 6 Vyřešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou:

Řešení. Najdeme determinant systému:

Determinant systému je roven nule, proto je systém lineárních rovnic buď nekonzistentní a určitý, nebo nekonzistentní, to znamená, že nemá řešení. Pro upřesnění vypočítáme determinanty pro neznámé

Determinanty pro neznámé se nerovnají nule, proto je systém nekonzistentní, to znamená, že nemá řešení.

Pro kontrolu řešení soustav rovnic 3 X 3 a 4 X 4 můžete použít online kalkulačku, Cramerovu metodu řešení.

V úlohách o soustavách lineárních rovnic jsou i takové, kde jsou kromě písmen označujících proměnné i další písmena. Tato písmena znamenají nějaké číslo, nejčastěji skutečné číslo. V praxi takové rovnice a soustavy rovnic vedou k problémům při hledání obecných vlastností jakýchkoli jevů a objektů. To znamená, že jste nějaké vymysleli nový materiál nebo zařízení, a k popisu jeho vlastností, které jsou běžné bez ohledu na velikost či počet kopií, je potřeba řešit soustavu lineárních rovnic, kde místo nějakých koeficientů pro proměnné jsou písmena. Příklady nemusíte hledat daleko.

Další příklad je pro podobný problém, jen se zvyšuje počet rovnic, proměnných a písmen označujících nějaké reálné číslo.

Příklad 8 Vyřešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou:

Řešení. Najdeme determinant systému:

Hledání determinantů pro neznámé

Nechť soustava lineárních rovnic obsahuje tolik rovnic, kolik je nezávisle proměnných, tzn. má formu

Takové soustavy lineárních rovnic se nazývají kvadratické. Determinant složený z koeficientů nezávislých proměnných systému (1.5) se nazývá hlavní determinant systému. Označíme jej Řecké písmeno D. Takže

. (1.6)

Pokud je v hlavním determinantu libovolný ( j th) sloupec, nahraďte jej sloupcem volných členů systému (1.5), pak můžeme získat další n pomocné determinanty:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravidlořešení kvadratických soustav lineárních rovnic je následující. Pokud je hlavní determinant D soustavy (1.5) nenulový, pak má soustava jednoznačné řešení, které lze nalézt pomocí vzorců:

(1.8)

Příklad 1.5.Řešte soustavu rovnic Cramerovou metodou

.

Vypočítejme hlavní determinant systému:

Od D¹0 má systém jedinečné řešení, které lze nalézt pomocí vzorců (1.8):

Tím pádem,

Maticové akce

1. Násobení matice číslem. Operace násobení matice číslem je definována následovně.

2. Abyste mohli matici vynásobit číslem, musíte tímto číslem vynásobit všechny její prvky. To znamená

. (1.9)

Příklad 1.6. .

Přidání matice.

Tato operace je zavedena pouze pro matice stejného řádu.

Aby bylo možné přidat dvě matice, je nutné přidat odpovídající prvky druhé matice k prvkům jedné matice:

(1.10)
Operace sčítání matic má vlastnosti asociativnosti a komutativnosti.

Příklad 1.7. .

Maticové násobení.

Pokud počet sloupců matice A odpovídá počtu řádků matice V, pak pro takové matice je zavedena operace násobení:

2

Tedy při násobení matice A rozměry m´ n do matrice V rozměry n´ k dostaneme matrici S rozměry m´ k. V tomto případě prvky matice S se počítají podle následujících vzorců:

Problém 1.8. Najděte, pokud je to možné, součin matic AB A BA:

Řešení. 1) Najít práci AB, potřebujete řádky matice A vynásobte sloupci matice B:

2) Umělecké dílo BA neexistuje, protože počet sloupců matice B neodpovídá počtu řádků matice A.

Inverzní matice. Řešení soustav lineárních rovnic maticovým způsobem

Matice A- 1 se nazývá inverzní matice čtvercové A pokud platí rovnost:

kam skrz já označuje matici identity stejného řádu jako matice A:

.

Aby čtvercová matice měla inverzi, je nutné a postačující, aby její determinant byl nenulový. Inverzní matici najdeme podle vzorce:

, (1.13)

Kde A ij- algebraické sčítání prvků aij matrice A(všimněte si, že algebraické sčítání do řádků matice A jsou uspořádány v inverzní matici ve formě odpovídajících sloupců).

Příklad 1.9. Najděte inverzní matici A- 1 do matice

.

Inverzní matici najdeme vzorcem (1.13), který pro případ n= 3 vypadá takto:

.

Pojďme najít det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Protože determinant původní matice je odlišný od nuly, existuje inverzní matice.

1) Najděte algebraická sčítání A ij:

Pro usnadnění nalezení inverzní matice jsme umístili algebraické doplňky k řádkům původní matice do odpovídajících sloupců.

Ze získaných algebraických sčítání sestavíme novou matici a vydělíme ji determinantem det A. Dostaneme tedy inverzní matici:

Kvadratické soustavy lineárních rovnic s nenulovým hlavním determinantem lze řešit pomocí inverzní matice. Za tímto účelem je systém (1.5) napsán v maticovém tvaru:

Kde

Vynásobením obou stran rovnosti (1,14) vlevo A- 1, dostaneme řešení soustavy:

, kde

Abyste tedy našli řešení čtvercové soustavy, musíte najít inverzní matici k hlavní matici soustavy a vynásobit ji vpravo sloupcovou maticí volných členů.

Problém 1.10.Řešte soustavu lineárních rovnic

pomocí inverzní matice.

Řešení. Systém zapíšeme v maticovém tvaru: ,

Kde je hlavní maticí systému, je sloupcem neznámých a je sloupcem volných členů. Protože hlavní determinant systému , pak hlavní matice systému A má inverzní matici A-1. Najít inverzní matici A-1 , vypočítat algebraické doplňky ke všem prvkům matice A:

Ze získaných čísel skládáme matici (navíc algebraické sčítání do řádků matice A napište do příslušných sloupců) a vydělte determinantem D. Našli jsme tedy inverzní matici:

Řešení soustavy najdeme podle vzorce (1.15):

Tím pádem,

Řešení soustav lineárních rovnic pomocí obyčejných Jordanových výjimek

Nechť je dán libovolný (ne nutně čtvercový) systém lineárních rovnic:

(1.16)

Je potřeba najít řešení systému, tzn. taková množina proměnných, která splňuje všechny rovnosti systému (1.16). V obecný případ systém (1.16) může mít nejen jedno řešení, ale i nekonečný počet řešení. Také to nemusí mít vůbec žádná řešení.

Při řešení takových úloh se používá metoda eliminace neznámých dobře známá ze školního kurzu, které se také říká metoda obyčejných Jordanových eliminací. Podstata této metody spočívá v tom, že v jedné z rovnic soustavy (1.16) je jedna z proměnných vyjádřena pomocí jiných proměnných. Poté se tato proměnná dosadí do jiných rovnic systému. Výsledkem je systém, který obsahuje o jednu rovnici a o jednu proměnnou méně než původní systém. Zapamatuje se rovnice, ze které byla proměnná vyjádřena.

Tento proces se opakuje, dokud v systému nezůstane poslední rovnice. V procesu eliminace neznámých se některé rovnice mohou proměnit například ve skutečné identity. Takové rovnice jsou ze systému vyloučeny, protože jsou platné pro jakékoli hodnoty proměnných, a proto neovlivňují řešení systému. Pokud se v procesu eliminace neznámých stane alespoň jedna rovnice rovností, kterou nelze splnit pro žádné hodnoty proměnných (například ), docházíme k závěru, že systém nemá řešení.

Pokud v průběhu řešení nekonzistentních rovnic nevznikly, pak jedna ze zbývajících proměnných v ní je nalezena z poslední rovnice. Pokud v poslední rovnici zůstane pouze jedna proměnná, pak je vyjádřena jako číslo. Pokud v poslední rovnici zůstanou další proměnné, pak jsou považovány za parametry a proměnná vyjádřená prostřednictvím nich bude funkcí těchto parametrů. Poté se provede tzv. "reverzní pohyb". Nalezená proměnná je dosazena do poslední zapamatované rovnice a je nalezena druhá proměnná. Poté jsou dvě nalezené proměnné dosazeny do předposlední zapamatované rovnice a je nalezena třetí proměnná a tak dále, až k první zapamatované rovnici.

Výsledkem je řešení systému. Toto řešení bude jediné, pokud jsou nalezené proměnné čísla. Pokud na parametrech závisí první nalezená proměnná a poté všechny ostatní, pak bude mít systém nekonečný počet řešení (každá sada parametrů odpovídá novému řešení). Vzorce, které umožňují najít řešení systému v závislosti na konkrétní sadě parametrů, se nazývají obecné řešení systému.

Příklad 1.11.

X

Po zapamatování první rovnice a uvedením podobných členů do druhé a třetí rovnice dospějeme k systému:

Vyjádřit y z druhé rovnice a dosaďte ji do rovnice první:

Zapamatujte si druhou rovnici a z první najdeme z:

Provedením zpětného pohybu postupně nacházíme y A z. K tomu nejprve dosadíme do poslední zapamatované rovnice , ze které najdeme y:

.

Poté dosadíme a do první zapamatované rovnice odkud najdeme X:

Problém 1.12. Vyřešte soustavu lineárních rovnic eliminací neznámých:

. (1.17)

Řešení. Vyjádřeme proměnnou z první rovnice X a dosaďte jej do druhé a třetí rovnice:

.

Pamatujte na první rovnici

V tomto systému si první a druhá rovnice odporují. Opravdu, vyjadřující y , dostaneme, že 14 = 17. Tato rovnost není splněna pro žádné hodnoty proměnných X, y, A z. V důsledku toho je systém (1.17) nekonzistentní, tj. nemá řešení.

Čtenáři jsou vyzváni, aby nezávisle ověřili, že hlavní determinant původního systému (1.17) je roven nule.

Uvažujme systém, který se od systému (1.17) liší pouze jedním volným členem.

Problém 1.13. Vyřešte soustavu lineárních rovnic eliminací neznámých:

. (1.18)

Řešení. Stejně jako dříve vyjádříme proměnnou z první rovnice X a dosaďte jej do druhé a třetí rovnice:

.

Pamatujte na první rovnici a podobné členy uvádíme ve druhé a třetí rovnici. Dostáváme se k systému:

vyjadřující y z první rovnice a její dosazení do druhé rovnice , dostaneme identitu 14 = 14, která nemá vliv na řešení systému, a proto může být ze systému vyloučena.

V poslední zapamatované rovnosti proměnná z bude považován za parametr. Věříme . Pak

Nahradit y A z do první zapamatované rovnosti a najít X:

.

Systém (1.18) má tedy nekonečnou množinu řešení a libovolné řešení lze najít ze vzorců (1.19) výběrem libovolné hodnoty parametru t:

(1.19)
Řešením soustavy jsou tedy např. následující množiny proměnných (1; 2; 0), (2; 26; 14) atd. Vzorce (1.19) vyjadřují obecné (libovolné) řešení soustavy (1.18 ).

V případě, že původní systém (1.16) má dost velký počet rovnic a neznámých, zdá se zadaná metoda obyčejných jordánských eliminací těžkopádná. Nicméně není. Stačí v jednom kroku odvodit algoritmus pro přepočet koeficientů systému obecný pohled a formalizovat řešení problému ve formě speciálních Jordanových tabulek.

Nechť je dána soustava lineárních forem (rovnic):

, (1.20)
Kde x j- nezávislé (požadované) proměnné, aij- konstantní koeficienty
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Pravé části systému y i (i = 1, 2,…, m) mohou být jak proměnné (závislé), tak konstanty. Je nutné najít řešení tohoto systému odstraněním neznámých.

Uvažujme následující operaci, dále označovanou jako „jeden krok běžných výjimek Jordánska“. Z libovolného ( r th) rovnost, vyjadřujeme libovolnou proměnnou ( x s) a dosadit do všech ostatních rovností. To je samozřejmě možné pouze v případě a rs¹ 0. Koeficient a rs se nazývá rozlišovací (někdy vodící nebo hlavní) prvek.

Získáme následující systém:

. (1.21)

Z s rovnosti systému (1.21), následně najdeme proměnnou x s(po nalezení dalších proměnných). S Tý řádek je zapamatován a následně vyloučen ze systému. Zbývající systém bude obsahovat o jednu rovnici a o jednu nezávislou proměnnou méně než původní systém.

Vypočítejme koeficienty výsledného systému (1.21) z hlediska koeficientů původního systému (1.20). Začněme s r rovnice, která po vyjádření proměnné x s přes zbytek proměnných bude vypadat takto:

Tedy nové koeficienty r rovnice se počítají podle následujících vzorců:

(1.23)
Nyní spočítáme nové koeficienty b ij(i¹ r) libovolná rovnice. K tomu dosadíme proměnnou vyjádřenou v (1.22) x s PROTI i rovnice soustavy (1.20):

Po uvedení podobných podmínek dostaneme:

(1.24)
Z rovnosti (1.24) získáme vzorce, podle kterých se vypočítají zbývající koeficienty soustavy (1.21) (s výjimkou r rovnice):

(1.25)
Transformace soustav lineárních rovnic metodou obyčejných Jordanových eliminací je prezentována ve formě tabulek (matic). Tyto tabulky se nazývají "Jordan tables".

Problém (1.20) je tedy spojen s následující Jordanovou tabulkou:

Tabulka 1.1

	X 1	X 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	A 11	A 12		A 1j		A 1s		A 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a je		v
…………………………………………………………………..
r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		paní		amn

Jordanova tabulka 1.1 obsahuje levý hlavičkový sloupec, ve kterém jsou zapsány pravé části systému (1.20), a horní hlavičkový řádek, ve kterém jsou zapsány nezávislé proměnné.

Zbývající prvky tabulky tvoří hlavní matici koeficientů systému (1.20). Pokud matici vynásobíme A na matici sestávající z prvků horního řádku záhlaví, pak dostaneme matici skládající se z prvků levého sloupce záhlaví. To znamená, že Jordanova tabulka je v podstatě maticová forma zápisu soustavy lineárních rovnic: . V tomto případě následující Jordanova tabulka odpovídá systému (1.21):

Tabulka 1.2

	X 1	X 2	…	x j	…	r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b v
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Permisivní prvek a rs zvýrazníme tučně. Připomeňme, že pro implementaci jednoho kroku Jordanových výjimek musí být rozlišovací prvek nenulový. Řádek tabulky obsahující permisivní prvek se nazývá permisivní řádek. Sloupec obsahující prvek enable se nazývá sloupec povolení. Při přechodu z dané tabulky do další tabulky se jedna proměnná ( x s) z horního řádku záhlaví tabulky se přesune do levého sloupce záhlaví a naopak jeden z volných členů systému ( r) se přesune z levého sloupce záhlaví tabulky do horního řádku záhlaví.

Popišme si algoritmus pro přepočet koeficientů při přechodu z Jordanovy tabulky (1.1) do tabulky (1.2), který vyplývá ze vzorců (1.23) a (1.25).

1. Povolovací prvek je nahrazen inverzním číslem:

2. Zbývající prvky permisivní linie jsou rozděleny permisivním prvkem a změňte znaménko na opačné:

3. Zbývající prvky sloupce povolení jsou rozděleny na prvek povolení:

4. Prvky, které nejsou zahrnuty v rozlišovacím řádku a rozlišovacím sloupci, se přepočítají podle vzorců:

Poslední vzorec je snadno zapamatovatelný, pokud si všimnete prvků, které tvoří zlomek , jsou na křižovatce i- oh a r-té řádky a jčt a s-té sloupce (rozlišovací řádek, rozlišovací sloupec a řádek a sloupec, na jejichž průsečíku se nachází prvek, který se má přepočítat). Přesněji při zapamatování vzorce můžete použít následující graf:

-21 -26 -13 -37

Provedení prvního kroku jordánských výjimek, jakýkoli prvek tabulky 1.3 umístěný ve sloupcích X 1 ,…, X 5 (všechny uvedené prvky se nerovnají nule). Neměli byste pouze vybrat aktivační prvek v posledním sloupci, protože potřeba najít nezávislé proměnné X 1 ,…, X 5. Zvolíme např. koeficient 1 s proměnnou X 3 ve třetím řádku tabulky 1.3 (povolovací prvek je zobrazen tučně). Při přechodu do tabulky 1.4 se proměnná X 3 z horního řádku záhlaví se zamění za konstantu 0 levého sloupce záhlaví (třetí řádek). Zároveň proměnná X 3 je vyjádřena pomocí zbývajících proměnných.

tětiva X 3 (tabulka 1.4) může být, po předchozím zapamatování, vyloučen z tabulky 1.4. Tabulka 1.4 také vylučuje třetí sloupec s nulou v horním řádku záhlaví. Jde o to, že bez ohledu na koeficienty daný sloupec b i 3 všechny členy, které tomu odpovídají v každé rovnici 0 b i 3 systémy se budou rovnat nule. Tyto koeficienty tedy nelze vypočítat. Eliminace jedné proměnné X 3 a zapamatováním jedné z rovnic dospějeme k soustavě odpovídající tabulce 1.4 (s přeškrtnutou čarou X 3). Výběr v tabulce 1.4 jako rozlišovací prvek b 14 = -5, přejděte k tabulce 1.5. V tabulce 1.5 si pamatujeme první řádek a vyloučíme jej z tabulky spolu se čtvrtým sloupcem (s nulou nahoře).

Tabulka 1.5 Tabulka 1.6

Z poslední tabulky 1.7 najdeme: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Postupným dosazením již nalezených proměnných do zapamatovaných řádků najdeme zbývající proměnné:

Systém má tedy nekonečné množství řešení. variabilní X 5 můžete přiřadit libovolné hodnoty. Tato proměnná funguje jako parametr X 5 = t. Prokázali jsme kompatibilitu systému a našli jsme ji společné rozhodnutí:

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Uvedení parametru t různé významy, dostaneme nekonečné množství řešení původní soustavy. Takže například řešením systému je následující množina proměnných (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

V první části jsme se zabývali některým teoretickým materiálem, substituční metodou a také metodou sčítání systémových rovnic po členu. Všem, kteří se na stránky dostali přes tuto stránku, doporučuji přečíst si první díl. Možná se některým návštěvníkům bude zdát látka příliš jednoduchá, ale v průběhu řešení soustav lineárních rovnic jsem učinil řadu velmi důležitých poznámek a závěrů týkajících se řešení matematické problémy obvykle.

A nyní si rozebereme Cramerovo pravidlo a také řešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice (maticová metoda). Všechny materiály jsou prezentovány jednoduše, podrobně a přehledně, téměř všichni čtenáři se budou moci naučit řešit systémy pomocí výše uvedených metod.

Nejprve se podrobně zabýváme Cramerovým pravidlem pro systém dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Proč? - Po všem nejjednodušší systém lze řešit školní metodou, termínovým sčítáním!

Faktem je, že i když někdy, ale existuje takový úkol - vyřešit systém dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými pomocí Cramerových vzorců. Za druhé, jednodušší příklad vám pomůže pochopit, jak použít Cramerovo pravidlo pro složitější případ – systém tří rovnic se třemi neznámými.

Navíc existují soustavy lineárních rovnic se dvěma proměnnými, které je vhodné řešit přesně podle Cramerova pravidla!

Zvažte soustavu rovnic

V prvním kroku vypočítáme determinant , je tzv hlavní determinant systému.

Gaussova metoda.

Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další dva determinanty:
A

V praxi lze označovat i výše uvedené determinanty Latinské písmeno.

Kořeny rovnice najdeme podle vzorců:
,

Příklad 7

Řešte soustavu lineárních rovnic

Řešení: Vidíme, že koeficienty rovnice jsou poměrně velké, na pravé straně jsou desetinná místa s čárkou. Čárka je v praktických úlohách z matematiky poměrně vzácným hostem, tento systém jsem převzal z ekonometrického problému.

Jak takový systém vyřešit? Můžete se pokusit vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé, ale v tomto případě se vám jistě dostanou příšerné efektní zlomky, se kterými je extrémně nepohodlné pracovat a návrh řešení bude vypadat prostě hrozně. Druhou rovnici můžete násobit 6 a odečítat člen po členu, ale zde se objeví stejné zlomky.

Co dělat? V takových případech přijdou na pomoc Cramerovy vzorce.

;

;

Odpovědět: ,

Oba kořeny mají nekonečné ocasy a nacházejí se přibližně, což je pro ekonometrické problémy docela přijatelné (a dokonce běžné).

Komentáře zde nejsou potřeba, protože úloha je řešena podle hotových vzorců, je tu však jedno upozornění. Při použití této metody povinný Fragmentem zadání je následující fragment: "takže systém má jedinečné řešení". V opačném případě vás může recenzent potrestat za nerespektování Cramerovy věty.

Nebude zbytečné kontrolovat, což je vhodné provést na kalkulačce: nahradíme přibližné hodnoty na levé straně každé rovnice systému. V důsledku toho by se s malou chybou měla získat čísla, která jsou na pravé straně.

Příklad 8

Vyjádřete svou odpověď v obyčejných nesprávných zlomcích. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad samostatného řešení (příklad jemného designu a odpovědi na konci lekce).

Přejdeme k úvahám o Cramerově pravidle pro soustavu tří rovnic se třemi neznámými:

Najdeme hlavní determinantu systému:

Jestliže , pak systém má nekonečně mnoho řešení nebo je nekonzistentní (nemá žádná řešení). V tomto případě Cramerovo pravidlo nepomůže, je třeba použít Gaussovu metodu.

Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další tři determinanty:
, ,

A nakonec se odpověď vypočítá podle vzorců:

Jak vidíte, případ „tři po třech“ se v zásadě neliší od případu „dva po dvou“, sloupec volných výrazů postupně „kráčí“ zleva doprava podél sloupců hlavního determinantu.

Příklad 9

Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců.

Řešení: Vyřešme soustavu pomocí Cramerových vzorců.

, takže systém má unikátní řešení.

Odpovědět: .

Vlastně zde není opět co komentovat, vzhledem k tomu, že se rozhoduje podle hotových vzorců. Ale je tu pár poznámek.

Stává se, že v důsledku výpočtů se získají „špatné“ neredukovatelné zlomky, například: .
Doporučuji následující "léčebný" algoritmus. Pokud není po ruce žádný počítač, uděláme toto:

1) Ve výpočtech může být chyba. Jakmile narazíte na „špatný“ výstřel, musíte okamžitě zkontrolovat, zda je podmínka přepsána správně. Pokud je podmínka přepsána bez chyb, pak je potřeba determinanty přepočítat pomocí rozšíření v jiném řádku (sloupci).

2) Pokud nebyly v důsledku kontroly nalezeny žádné chyby, pravděpodobně došlo k překlepu v podmínce zadání. V takovém případě klidně a OPATRNĚ vyřešte úkol až do konce a pak nezapomeňte zkontrolovat a po rozhodnutí jej sepsat na čistopis. Kontrola zlomkové odpovědi je samozřejmě nepříjemný úkol, ale bude to odzbrojující argument pro učitele, který, no, opravdu rád dává mínus za každou špatnou věc. Jak zacházet se zlomky je podrobně popsáno v odpovědi na příklad 8.

Máte-li po ruce počítač, pak k jeho kontrole použijte automatizovaný program, který si můžete zdarma stáhnout hned na začátku lekce. Mimochodem, nejvýhodnější je použít program hned (ještě před spuštěním řešení), hned uvidíte mezikrok, ve kterém jste udělali chybu! Stejná kalkulačka automaticky vypočítá řešení systému maticová metoda.

Druhá poznámka. Čas od času existují systémy, v jejichž rovnicích některé proměnné chybí, například:

Zde v první rovnici není žádná proměnná, ve druhé není žádná proměnná. V takových případech je velmi důležité správně a OPATRNĚ zapsat hlavní determinant:
– místo chybějících proměnných se dosadí nuly.
Mimochodem, je racionální otevírat determinanty s nulami v řádku (sloupci), ve kterém je nula umístěna, protože existuje znatelně méně výpočtů.

Příklad 10

Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců.

Toto je příklad pro samostatné řešení (dokončení ukázky a odpověď na konci lekce).

Pro případ soustavy 4 rovnic se 4 neznámými jsou Cramerovy vzorce zapsány podle podobných principů. Živý příklad můžete vidět v lekci Determinant Properties. Snížení řádu determinantu - pět determinantů 4. řádu je celkem řešitelných. I když úkol už hodně připomíná profesorovu botu na hrudi šťastného studenta.

Řešení soustavy pomocí inverzní matice

Metoda inverzní matice je v podstatě speciální případ maticová rovnice(Viz příklad č. 3 zadané lekce).

Chcete-li prostudovat tuto část, musíte být schopni rozšířit determinanty, najít inverzní matici a provést násobení matic. Příslušné odkazy budou uvedeny v průběhu výkladu.

Příklad 11

Řešte soustavu maticovou metodou

Řešení: Systém zapíšeme v maticovém tvaru:
, Kde

Podívejte se prosím na soustavu rovnic a matic. Na jakém principu zapisujeme prvky do matic, myslím každý chápe. Jediná poznámka: pokud by v rovnicích chyběly nějaké proměnné, musely by se na odpovídající místa v matici dosadit nuly.

Inverzní matici najdeme podle vzorce:
, kde je transponovaná matice algebraických doplňků odpovídajících prvků matice .

Nejprve se vypořádejme s determinantem:

Zde je determinant rozšířen o první řádek.

Pozornost! Jestliže , pak inverzní matice neexistuje a systém není možné řešit maticovou metodou. V tomto případě je systém řešen eliminací neznámých (Gaussova metoda).

Nyní je třeba vypočítat 9 nezletilých a zapsat je do matice nezletilých

Odkaz: Je užitečné znát význam dvojitých indexů v lineární algebře. První číslice je číslo řádku, na kterém je daný prvek. Druhá číslice je číslo sloupce, ve kterém se prvek nachází:

To znamená, že dvojitý dolní index označuje, že prvek je v prvním řádku, třetím sloupci, zatímco například prvek je ve 3. řádku, 2. sloupci

Abyste tento odstavec zvládli, musíte umět otevřít kvalifikátory „dva po dvou“ a „tři po třech“. Pokud jsou kvalifikace špatné, prostudujte si prosím lekci Jak vypočítat determinant?

Nejprve se podrobně zabýváme Cramerovým pravidlem pro systém dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Proč? „Vždyť nejjednodušší systém lze vyřešit školní metodou, sčítáním po semestru!

Faktem je, že i když někdy, ale existuje takový úkol - vyřešit systém dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými pomocí Cramerových vzorců. Za druhé, jednodušší příklad vám pomůže pochopit, jak použít Cramerovo pravidlo pro složitější případ – systém tří rovnic se třemi neznámými.

Navíc existují soustavy lineárních rovnic se dvěma proměnnými, které je vhodné řešit přesně podle Cramerova pravidla!

Zvažte soustavu rovnic

V prvním kroku vypočítáme determinant , je tzv hlavní determinant systému.

Gaussova metoda.

Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další dva determinanty:
A

V praxi mohou být výše uvedené kvalifikátory také označeny latinkou.

Kořeny rovnice najdeme podle vzorců:
,

Příklad 7

Řešte soustavu lineárních rovnic

Řešení: Vidíme, že koeficienty rovnice jsou poměrně velké, na pravé straně jsou desetinné zlomky s čárkou. Čárka je v praktických úlohách z matematiky poměrně vzácným hostem, tento systém jsem převzal z ekonometrického problému.

Jak takový systém vyřešit? Můžete se pokusit vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé, ale v tomto případě se vám jistě dostanou příšerné efektní zlomky, se kterými je extrémně nepohodlné pracovat a návrh řešení bude vypadat prostě hrozně. Druhou rovnici můžete násobit 6 a odečítat člen po členu, ale zde se objeví stejné zlomky.

Co dělat? V takových případech přijdou na pomoc Cramerovy vzorce.

;

;

Odpovědět: ,

Oba kořeny mají nekonečné ocasy a nacházejí se přibližně, což je pro ekonometrické problémy docela přijatelné (a dokonce běžné).

Komentáře zde nejsou potřeba, protože úloha je řešena podle hotových vzorců, je tu však jedno upozornění. Při použití této metody povinný Fragmentem zadání je následující fragment: "takže systém má jedinečné řešení". V opačném případě vás může recenzent potrestat za nerespektování Cramerovy věty.

Nebude zbytečné kontrolovat, což je vhodné provést na kalkulačce: nahradíme přibližné hodnoty na levé straně každé rovnice systému. V důsledku toho by se s malou chybou měla získat čísla, která jsou na pravé straně.

Příklad 8

Vyjádřete svou odpověď v obyčejných nesprávných zlomcích. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad samostatného řešení (příklad jemného designu a odpovědi na konci lekce).

Přejdeme k úvahám o Cramerově pravidle pro soustavu tří rovnic se třemi neznámými:

Najdeme hlavní determinantu systému:

Jestliže , pak systém má nekonečně mnoho řešení nebo je nekonzistentní (nemá žádná řešení). V tomto případě Cramerovo pravidlo nepomůže, je třeba použít Gaussovu metodu.

Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další tři determinanty:
, ,

A nakonec se odpověď vypočítá podle vzorců:

Jak vidíte, případ „tři po třech“ se v zásadě neliší od případu „dva po dvou“, sloupec volných výrazů postupně „kráčí“ zleva doprava podél sloupců hlavního determinantu.

Příklad 9

Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců.

Řešení: Vyřešme soustavu pomocí Cramerových vzorců.

, takže systém má unikátní řešení.

Odpovědět: .

Vlastně zde není opět co komentovat, vzhledem k tomu, že se rozhoduje podle hotových vzorců. Ale je tu pár poznámek.

Stává se, že v důsledku výpočtů se získají „špatné“ neredukovatelné zlomky, například: .
Doporučuji následující "léčebný" algoritmus. Pokud není po ruce žádný počítač, uděláme toto:

1) Ve výpočtech může být chyba. Jakmile narazíte na „špatný“ výstřel, musíte okamžitě zkontrolovat, zda je podmínka přepsána správně. Pokud je podmínka přepsána bez chyb, pak je potřeba determinanty přepočítat pomocí rozšíření v jiném řádku (sloupci).

2) Pokud nebyly v důsledku kontroly nalezeny žádné chyby, pravděpodobně došlo k překlepu v podmínce zadání. V takovém případě klidně a OPATRNĚ vyřešte úkol až do konce a pak nezapomeňte zkontrolovat a po rozhodnutí jej sepsat na čistopis. Kontrola zlomkové odpovědi je samozřejmě nepříjemný úkol, ale bude to odzbrojující argument pro učitele, který, no, opravdu rád dává mínus za každou špatnou věc. Jak zacházet se zlomky je podrobně popsáno v odpovědi na příklad 8.

Máte-li po ruce počítač, pak k jeho kontrole použijte automatizovaný program, který si můžete zdarma stáhnout hned na začátku lekce. Mimochodem, nejvýhodnější je použít program hned (ještě před spuštěním řešení), hned uvidíte mezikrok, ve kterém jste udělali chybu! Stejná kalkulačka automaticky vypočítá řešení soustavy pomocí maticové metody.

Druhá poznámka. Čas od času existují systémy, v jejichž rovnicích některé proměnné chybí, například:

Zde v první rovnici není žádná proměnná, ve druhé není žádná proměnná. V takových případech je velmi důležité správně a OPATRNĚ zapsat hlavní determinant:
– místo chybějících proměnných se dosadí nuly.
Mimochodem, je racionální otevírat determinanty s nulami v řádku (sloupci), ve kterém je nula umístěna, protože existuje znatelně méně výpočtů.

Příklad 10

Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců.

Toto je příklad pro samostatné řešení (dokončení ukázky a odpověď na konci lekce).

Pro případ soustavy 4 rovnic se 4 neznámými jsou Cramerovy vzorce zapsány podle podobných principů. Živý příklad můžete vidět v lekci Determinant Properties. Snížení řádu determinantu - pět determinantů 4. řádu je celkem řešitelných. I když úkol už hodně připomíná profesorovu botu na hrudi šťastného studenta.

Řešení soustavy pomocí inverzní matice

Metoda inverzní matice je v podstatě speciální případ maticová rovnice(Viz příklad č. 3 zadané lekce).

Chcete-li prostudovat tuto část, musíte být schopni rozšířit determinanty, najít inverzní matici a provést násobení matic. Příslušné odkazy budou uvedeny v průběhu výkladu.

Příklad 11

Řešte soustavu maticovou metodou

Řešení: Systém zapíšeme v maticovém tvaru:
, Kde

Podívejte se prosím na soustavu rovnic a matic. Na jakém principu zapisujeme prvky do matic, myslím každý chápe. Jediná poznámka: pokud by v rovnicích chyběly nějaké proměnné, musely by se na odpovídající místa v matici dosadit nuly.

Inverzní matici najdeme podle vzorce:
, kde je transponovaná matice algebraických doplňků odpovídajících prvků matice .

Nejprve se vypořádejme s determinantem:

Zde je determinant rozšířen o první řádek.

Pozornost! Jestliže , pak inverzní matice neexistuje a systém není možné řešit maticovou metodou. V tomto případě je systém řešen eliminací neznámých (Gaussova metoda).

Nyní je třeba vypočítat 9 nezletilých a zapsat je do matice nezletilých

Odkaz: Je užitečné znát význam dvojitých indexů v lineární algebře. První číslice je číslo řádku, ve kterém se prvek nachází. Druhá číslice je číslo sloupce, ve kterém se prvek nachází:

To znamená, že dvojitý dolní index označuje, že prvek je v prvním řádku, třetím sloupci, zatímco například prvek je ve 3. řádku, 2. sloupci

V průběhu řešení je lepší podrobně popsat výpočet nezletilých, i když s jistou zkušeností je lze upravit tak, aby počítal s chybami ústně.