Definice 8.4. Diferenciální rovnice tvaru

Kde
se nazývá totální diferenciální rovnice.

Všimněte si, že levá strana takové rovnice je totální diferenciál nějaké funkce
.

Obecně lze rovnici (8.4) znázornit jako

Místo rovnice (8.5) můžeme uvažovat rovnici

,

jehož řešením je obecný integrál rovnice (8.4). Pro řešení rovnice (8.4) je tedy nutné najít funkci
. V souladu s definicí rovnice (8.4) máme

(8.6)

Funkce
budeme hledat funkci, která splňuje jednu z těchto podmínek (8.6):

Kde - libovolná funkce nezávislá na .

Funkce
je definována tak, aby byla splněna druhá podmínka výrazu (8.6).

(8.7)

Z výrazu (8.7) je určena funkce
. Dosazením do výrazu pro
a získat obecný integrál původní rovnice.

Problém 8.3. Integrujte rovnici

Zde
.

Proto tato rovnice patří k typu diferenciálních rovnic v totálních diferenciálech. Funkce
budeme hledat ve formuláři

.

na druhé straně

.

V některých případech stav
nemusí být splněny.

Pak se takové rovnice redukují na uvažovaný typ násobením tzv. integračním faktorem, který v obecný případ, je pouze funkce nebo .

Má-li některá rovnice integrační faktor, který závisí pouze na , pak se určí podle vzorce

kde je vztah by měla být pouze funkce .

Podobně integrační faktor závisí pouze na , je určeno vzorcem

kde je vztah
by měla být pouze funkce .

Absence v daných relacích, v prvním případě, proměnné a ve druhém - proměnná , jsou známkou existence integračního faktoru pro danou rovnici.

Problém 8.4. Redukujte tuto rovnici na rovnici v totálních diferenciálech.

.

Zvažte vztah:

.

Téma 8.2. Lineární diferenciální rovnice

Definice 8.5. Diferenciální rovnice
se nazývá lineární, pokud je lineární vzhledem k požadované funkci , jeho derivát a neobsahuje součin požadované funkce a její derivace.

Obecný tvar lineární diferenciální rovnice je reprezentován následujícím vztahem:

(8.8)

Je-li ve vztahu (8.8) pravá strana
, pak se taková rovnice nazývá lineární homogenní. V případě pravá strana
, pak se taková rovnice nazývá lineární nehomogenní.

Ukažme, že rovnici (8.8) lze integrovat do kvadratur.

V první fázi uvažujeme lineární homogenní rovnici.

Taková rovnice je rovnice s oddělitelnými proměnnými. Opravdu,

;

/

Poslední vztah určuje obecné řešení lineární homogenní rovnice.

K nalezení obecného řešení lineární nehomogenní rovnice se používá metoda změny derivace konstanty. Myšlenka metody spočívá v tom, že obecné řešení lineární nehomogenní rovnice má stejnou formu jako řešení odpovídající homogenní rovnice, ale libovolná konstanta nahrazena nějakou funkcí
být určeno. Takže máme:

(8.9)

Dosazením odpovídajících výrazů do vztahu (8.8).
A
, dostáváme

Dosazením posledního výrazu do vztahu (8.9) získáme obecný integrál lineární nehomogenní rovnice.

Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice je tedy určeno dvěma kvadraturami: obecným řešením lineární homogenní rovnice a partikulárním řešením lineární nehomogenní rovnice.

Problém 8.5. Integrujte rovnici

Původní rovnice tedy patří k typu lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic.

V první fázi najdeme obecné řešení lineární homogenní rovnice.

;

Ve druhé fázi určíme obecné řešení lineární nehomogenní rovnice, která se nachází ve tvaru

,

Kde
- funkce, která má být určena.

Takže máme:

Nahrazení vztahů za A do původní lineární nehomogenní rovnice dostaneme:

;

;

.

Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice bude mít tvar:

.

Definice: Rovnice formuláře

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

kde levá strana je úplný diferenciál nějaké funkce dvou proměnných, se nazývá totální diferenciální rovnice.

Označme tuto funkci dvou proměnných F(x,y). Potom lze rovnici (9) přepsat jako dF(x,y) = 0 a tato rovnice má obecné řešení F(x,y) = C.

Nechť je dána rovnice tvaru (9). Abyste zjistili, zda se jedná o totální diferenciální rovnici, musíte zkontrolovat, zda se jedná o výraz

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

totální diferenciál nějaké funkce dvou proměnných. Chcete-li to provést, musíte zkontrolovat rovnost

Předpokládejme, že pro daný výraz (10) je splněna rovnost (11) v nějaké jednoduše spojené oblasti (S), a proto výraz (10) je celkovým diferenciálem nějaké funkce F(x,y) v (S). ).

Podívejme se na následující metodu nalezení tohoto primitivního derivátu. Je potřeba najít funkci F(x,y) takovou, že

kde funkce (y) bude definována níže. Ze vzorce (12) pak vyplývá, že

na všech místech regionu (S). Nyní vybereme funkci (y), aby platila rovnost

K tomu přepíšeme potřebnou rovnost (14) a místo F(x,y) dosadíme její výraz podle vzorce (12):

Derivujme podle y pod znaménkem integrálu (to lze provést, protože P(x,y) a jsou spojitými funkcemi dvou proměnných):

Protože podle (11), nahrazením znakem pod integrálem v (16), máme:

Po integraci přes y najdeme samotnou funkci (y), která je konstruována tak, že je splněna rovnost (14). Pomocí rovnosti (13) a (14) to vidíme

v oblasti (S). (18)

Příklad 5. Zkontrolujte, zda je uveden diferenciální rovnice rovnice v totálních diferenciálech a vyřešit ji.

Toto je diferenciální rovnice totálních diferenciálů. Vlastně tím, že jsme označili, jsme o tom přesvědčeni

a to je nutnou a postačující podmínkou k tomu, aby výraz

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

je totální diferenciál nějaké funkce U(x,y). Navíc se jedná o funkce, které jsou v R spojité.

Proto, abyste integrovali tuto diferenciální rovnici, musíte najít funkci, pro kterou je levá strana diferenciální rovnice totální diferenciál. Nechť pak taková funkce je U(x,y).

Integrací levé a pravé strany přes x dostaneme:

K nalezení q(y) použijeme skutečnost, že

Dosazením nalezené hodnoty μ(y) do (*) nakonec získáme funkci U(x,y):

Obecný integrál původní rovnice má tvar

Základní typy diferenciálních rovnic prvního řádu (pokračování).

Lineární diferenciální rovnice

Definice: Lineární rovnice prvního řádu je rovnice tvaru

y" + P(x)y = f(x), (21)

kde P(x) a f(x) jsou spojité funkce.

Název rovnice je vysvětlen tím, že derivace y" je lineární funkcí y, tedy pokud rovnici (21) přepíšeme ve tvaru y" = - P(x) + f(x), pak pravá strana obsahuje y pouze k první mocnině.

Pokud f(x) = 0, pak rovnice

yґ+ P(x) y = 0 (22)

nazývané lineární homogenní rovnice. Je zřejmé, že homogenní lineární rovnice je rovnice s oddělitelnými proměnnými:

y" + P(x)y = 0; ,

Pokud f(x) ? 0, pak rovnice

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

se nazývá lineární nehomogenní rovnice.

Obecně platí, že proměnné v rovnici (21) nelze oddělit.

Rovnice (21) je řešena následovně: budeme hledat řešení v podobě součinu dvou funkcí U(x) a V(x):

Pojďme najít derivát:

y" = U"V + UV" (25)

a dosaďte tyto výrazy do rovnice (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Seskupíme termíny na levé straně:

U"V + U = f(x). (26)

Položme podmínku na jeden z faktorů (24), totiž předpokládáme, že funkce V(x) je taková, že činí výraz v hranatých závorkách v (26) shodně nulový, tzn. že je řešením diferenciální rovnice

V" + P(x)V = 0. (27)

Toto je rovnice s oddělitelnými proměnnými, najdeme z ní V(x):

Nyní najdeme funkci U(x) takovou, že s již nalezenou funkcí V(x) je součin U V řešením rovnice (26). K tomu je nutné, aby U(x) bylo řešením rovnice

Toto je oddělitelná rovnice, takže

Dosazením nalezených funkcí (28) a (30) do vzorce (4) získáme obecné řešení rovnice (21):

Uvažovaná metoda (Bernoulliho metoda) tedy redukuje řešení lineární rovnice(21) k řešení dvou rovnic se separovatelnými proměnnými.

Příklad 6. Najděte obecný integrál rovnice.

Tato rovnice není lineární vzhledem k y a y", ale ukáže se být lineární, pokud považujeme x za požadovanou funkci a y za argument. Přejdeme-li k, získáme

K řešení výsledné rovnice použijeme substituční metodu (Bernoulli). Budeme hledat řešení rovnice ve tvaru x(y)=U(y)V(y), tedy. Dostaneme rovnici:

Zvolme funkci V(y) tak, že. Pak

Vysokoškoláci často vyhledávají informace "Jak najít řešení rovnice v totálních diferenciálech?" Z této lekce dostanete kompletní návod plus hotová řešení. Nejprve krátký úvod - Co je to rovnice v totálních diferenciálech? Jak najít řešení totální diferenciální rovnice?
Další analýza hotové příklady, po kterém možná nebudete mít žádné dotazy na toto téma.

Rovnice v totálních diferenciálech

Definice 1. Rovnice tvaru M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 se nazývá rovnice v totálních diferenciálech, pokud je závislost před rovnítkem celkový diferenciál nějaké funkce dvou proměnných u(x,y), pak existuje spravedlivý vzorec
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx.
(1)
Původní rovnice v obsahu tedy znamená, že celkový diferenciál funkce je roven nule
du(x,y)=0. Integrací diferenciálu dostaneme obecný integrál
dálkové ovládání ve formě
u(x,y)=C.
(2) Ve výpočtech je konstanta zpravidla nastavena na nulu.
Před výpočty vždy vyvstává otázka

Nezbytná a postačující podmínka pro totální diferenciál

Nezbytnou a postačující podmínkou pro totální diferenciál je rovnost parciálních derivací
(3)
Při řešení diferenciálních rovnic se nejprve kontroluje, zda je rovnice v totálních diferenciálech nebo zda je možná jiná.
Obsahově tato podmínka znamená, že smíšené derivace funkce jsou si navzájem rovny.
Ve vzorcích s přihlédnutím k závislostem
(4)
nutnou a postačující podmínkou pro existenci totálního diferenciálu můžeme to napsat do formuláře

Dané kritérium se používá při kontrole shody rovnice s totálním diferenciálem, i když při studiu tohoto tématu se vás učitelé nebudou ptát na jiný typ rovnic.

Algoritmus pro řešení rovnic totálních diferenciálů

Ze zápisu (4) parciálních derivací totálního diferenciálu funkce vyplývá, že u(x,y) můžeme najít integrací

Tyto vzorce poskytují možnost volby ve výpočtech, proto pro integraci zvolte tu parciální derivaci, jejíž integrál se v praxi snáze hledá.
Další druhý důležitý bod - neurčitý integrál představuje primitivní derivát to znamená "+ C", které by mělo být definováno.
Pokud tedy integrujeme parciální derivaci M(x,y) vzhledem k „x“, pak derivace závisí na y a naopak - pokud integrujeme N(x,y) vzhledem k y, pak derivace závisí na „x“.
Dále pro určení konstanty vezměte derivaci u(x,y) vzhledem k jiné proměnné, než se kterou byla integrace provedena, a přirovnejte ji k druhé parciální derivaci.
Ve vzorcích to bude vypadat takto

Zpravidla se některé členy zjednoduší a získáme rovnici pro derivaci konstanty. Pro první z rovnic dostaneme

Konečně obecný integrál po určení konstanty má tvar

V symetrickém tvaru získáme odpověď na druhou rovnici.
Záznam pouze vypadá složitě, ale ve skutečnosti vše vypadá mnohem jednodušeji a přehledněji. Analyzujte následující totální diferenciální problémy.

Pohotové odpovědi na rovnice v totálních diferenciálech

Příklad 1

Řešení: Levá strana rovnice je plný diferenciál nějakou funkci, protože podmínka je splněna

Odtud napište parciální derivaci funkce dvou proměnných od "x"

a integrací nacházíme její podobu

Pro další definování konstanty najít parciální derivaci funkce vzhledem k"y" a srovnejte jej s hodnotou v rovnici

Zrušíme podobné členy na pravé a levé straně, načež najdeme konstantu integrací

Nyní máme všechna množství k zaznamenání obecné řešení diferenciální rovnice ve formuláři

Jak si můžeš být jistý schéma řešení rovnic totálních diferenciálů Není to nic složitého a naučí se to každý. Faktory v diferenciálech jsou důležité, protože je nutné je integrovat a diferencovat, aby bylo možné najít řešení.

Příklad 2. (6.18) Najděte integrál diferenciální rovnice

Řešení: Podle teorie by levá strana rovnice měla být celkovým diferenciálem nějaké funkce dvou proměnných u(x,y) a zkontrolujeme, zda je podmínka splněna

Odtud vezmeme parciální derivaci a pomocí integrálu najdeme funkci

Vypočítáme parciální derivaci funkce dvou proměnných vzhledem k y a srovnejte jej s pravou stranou diferenciální rovnice.

Derivace je vyjádřena závislostí

S přihlédnutím ke konstantě jsme ji dostali ve formě

Tím jsou výpočty pro tento příklad dokončeny.

Příklad 3 (6.20)Řešte diferenciální rovnici

Řešení: Levá strana rovnice bude celkovým diferenciálem nějaké funkce dvou proměnných u(x; y), pokud je podmínka splněna.

Odtud začínáme řešit rovnice, respektive integraci jedné z parciálních derivací

Dále najdeme derivaci výsledné funkce vzhledem k proměnné y a přirovnáme ji k pravé straně diferenciální závislosti

To vám umožní najít konstantu jako funkci y. Pokud začneme odhalovat diferenciální závislost na pravé straně, zjistíme, že konstanta závisí na x. nezmění se pro daná rovnice vypadá jako

Tím je příklad uzavřen. Obecné řešení diferenciální rovnice můžeme napsat vzorec

Pro konsolidaci tématu vás žádáme, abyste nezávisle zkontrolovali, že tyto rovnice jsou rovnicemi totálních diferenciálů, a vyřešili je:
Zde najdete kořenové funkce, goniometrické funkce, exponenty, logaritmy, jedním slovem - vše, co vás v modulech a zkouškách může očekávat.
Poté pro vás bude mnohem snazší vyřešit tento typ rovnice.
V dalším článku se seznámíte s rovnicemi tvaru
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
které jsou dosti podobné rovnici totálních diferenciálů, ale nesplňují podmínku rovnosti parciálních derivací. Vypočítávají se hledáním integračního faktoru, jehož vynásobením se daná rovnice stane rovnicí totálních diferenciálů.

Ve standardním tvaru $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, ve kterém levá strana je celkovým diferenciálem nějaké funkce $F \left( x,y\right)$ se nazývá totální diferenciální rovnice.

Rovnici v celkových diferenciálech lze vždy přepsat jako $dF\left(x,y\right)=0$, kde $F\left(x,y\right)$ je taková funkce, že $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Pojďme integrovat obě strany rovnice $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integrál nulové pravé strany je roven libovolné konstantě $C$. Obecné řešení této rovnice v implicitní podobě je tedy $F\left(x,y\right)=C$.

Aby daná diferenciální rovnice byla rovnicí v totálních diferenciálech, je nutné a postačující, aby podmínka $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ být spokojený. Pokud je zadaná podmínka splněna, pak existuje funkce $F\left(x,y\right)$, pro kterou můžeme napsat: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, z čehož získáme dva vztahy : $\frac(\ částečné F)(\částečné x) =P\vlevo(x,y\vpravo)$ a $\frac(\částečné F)(\částečné y) =Q\vlevo(x,y\vpravo )$.

Integrujeme první vztah $\frac(\částečné F)(\částečné x) =P\left(x,y\vpravo)$ přes $x$ a dostaneme $F\left(x,y\vpravo)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kde $U\left(y\right)$ je libovolná funkce $y$.

Vyberme jej tak, aby byl splněn druhý vztah $\frac(\částečný F)(\částečný y) =Q\levý(x,y\vpravo)$. Abychom to udělali, diferencujeme výsledný vztah pro $F\left(x,y\right)$ vzhledem k $y$ a výsledek přirovnáme k $Q\left(x,y\right)$. Dostaneme: $\frac(\partial )(\částečné y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\vpravo)$.

Další řešení je:

• od poslední rovnosti najdeme $U"\left(y\right)$;
• integrujte $U"\left(y\right)$ a najděte $U\left(y\right)$;
• dosaďte $U\left(y\right)$ do rovnosti $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ a nakonec získáme funkci $F\left(x,y\right)$.

\

Najdeme rozdíl:

Integrujeme $U"\left(y\right)$ přes $y$ a najdeme $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Najděte výsledek: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Obecné řešení zapíšeme ve tvaru $F\left(x,y\right)=C$, a to:

Najděte konkrétní řešení $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Částečné řešení má tvar: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.