Algebraická forma evidence komplexní číslo................................................................
		Rovina komplexních čísel ................................................................ ...................................................................... ...............................
		Komplexně konjugovaná čísla ................................................................ ...................................................................... .............................
	Operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru ................................................ ..........
		Sčítání komplexních čísel ................................................................ .............................................................. .................
		Odečítání komplexních čísel ................................................................ ...................................................................... ......................
		Násobení komplexních čísel ................................................................ ...................................................................... ...................
		Dělení komplexních čísel ................................................................ ...................................................................... ...........................
	Trigonometrický tvar zápisu komplexního čísla................................................ ...........
	Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru .................................................. .........
		Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru................................................ ........
		Dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru............................................ ........
		Zvýšení komplexního čísla na kladné celé číslo................................................ ...........
		Extrahování odmocniny stupně kladného celého čísla z komplexního čísla...................................
		Zvýšení komplexního čísla na racionální mocninu................................................ ...........................
		Komplexní série ................................................ ...................................................... .............................
		Složitá číselná řada ................................................................ ...................................................................... .............................
		Mocninné řady v komplexní rovině ................................................ ......................................................
		Dvoustranná mocninná řada v komplexní rovině................................................ ...........
		Funkce komplexní proměnné ............................................................ .......................................................
		Základní elementární funkce ................................................ ............................................................. .
		Eulerovy vzorce................................................................ ...................................................... .............................
		Exponenciální forma reprezentace komplexního čísla................................................ ......................
		Vztah mezi goniometrickými a hyperbolickými funkcemi................................................
		Logaritmická funkce ................................................................ ...................................................... ..........
		Obecná exponenciální a obecná mocninná funkce............................................ ........................
	Diferenciace funkcí komplexní proměnné................................................................ ..........
		Cauchy-Riemannovy podmínky ................................................ ..................................................... ..............................
		Vzorce pro výpočet derivace................................................................ ......................................................
		Vlastnosti operace diferenciace................................................................ ......................................................................
		Vlastnosti reálné a imaginární části analytické funkce................................................

	Rekonstrukce funkce komplexní proměnné z její reálné nebo imaginární
		Metoda číslo 1. Použití křivkového integrálu ................................................................ ...........
		Metoda č. 2. Přímá aplikace Cauchy-Riemannových podmínek................................
		Metoda číslo 3. Prostřednictvím derivace hledané funkce................................................. ...........
	Integrace funkcí komplexní proměnné................................................................ ...........
	Integrální Cauchyho vzorec ................................................ ..................................................... ..............
	Rozšíření funkcí v Taylorově a Laurentově řadě.................................. ..............................................
	Nuly a singulární body funkce komplexní proměnné...................................... ...............
		Nuly funkce komplexní proměnné................................................ ..............................
		Izolované singulární body funkce komplexní proměnné................................................

14.3 Bod v nekonečnu jako singulární bod funkce komplexní proměnné

	Srážky ................................................. ....................................................... ............................................................. ...
		Odpočet na konci ................................................................ ...................................................... ...............
		Zbytek funkce v bodě v nekonečnu................................................ ..............................
	Výpočet integrálů pomocí reziduí ................................................ .......................................
	Otázky autotestu ................................................................ ...................................................................... .............................................
	Literatura................................................. ...................................................... ......................................................
	Předmětový rejstřík ................................................................ ...................................................... .............................

Předmluva

Správně rozdělit čas a úsilí při přípravě na teoretickou a praktickou část zkoušky nebo certifikace modulu je poměrně obtížné, zejména proto, že během sezení není vždy dostatek času. A jak ukazuje praxe, ne každý se s tím dokáže vyrovnat. Výsledkem je, že někteří studenti při zkoušce řeší úlohy správně, ale obtížně odpovídají na nejjednodušší teoretické otázky, zatímco jiní dokážou formulovat větu, ale neumí ji aplikovat.

Tyto pokyny pro přípravu ke zkoušce z předmětu „Teorie funkcí komplexní proměnné“ (TFCP) jsou pokusem tento rozpor vyřešit a zajistit současné opakování teoretické a praktické látky z předmětu. Řídí se zásadou „Teorie bez praxe je mrtvá, praxe bez teorie je slepá“ obsahují jak teoretická ustanovení kurzu na úrovni definic a formulací, tak i příklady ilustrující aplikaci každé dané teoretické pozice, a tím usnadňují jeho zapamatování a pochopení.

Účelem navržených metodických doporučení je pomoci studentovi připravit se na zkoušku základní úroveň. Jinými slovy, byla sestavena rozšířená pracovní příručka obsahující hlavní body používané ve třídách na kurzu TFKP a nezbytné při provádění domácí úkol a příprava na kontrolní akce. Kromě samostatná práce studentům lze tuto elektronickou výukovou publikaci využít při vedení výuky interaktivní formou pomocí elektronické tabule nebo pro zařazení do systému distančního vzdělávání.

Upozorňujeme, že tato práce nenahrazuje učebnice ani poznámky z přednášek. Pro hloubkové studium materiálu se doporučuje nahlédnout do příslušných sekcí publikovaných MSTU. N.E. Bauman základní učebnice.

Na konci příručky je seznam doporučené literatury a věcný rejstřík, který zahrnuje vše zvýrazněné v textu tučná kurzíva podmínky. Rejstřík se skládá z hypertextových odkazů na sekce, ve kterých jsou tyto pojmy přesně definovány nebo popsány a kde jsou uvedeny příklady pro ilustraci jejich použití.

Příručka je určena studentům 2. ročníku všech fakult MSTU. N.E. Bauman.

1. Algebraická forma zápisu komplexního čísla

Zápis tvaru z = x + iy, kde x,y jsou reálná čísla, i je imaginární jednotka (tj. i 2 = − 1)

se nazývá algebraická forma zápisu komplexního čísla z. V tomto případě se x nazývá reálná část komplexního čísla a značí se Re z (x = Re z), y se nazývá imaginární část komplexního čísla a značí se Im z (y = Im z).

Příklad. Komplexní číslo z = 4− 3i má reálnou část Rez = 4 a imaginární část Imz = − 3.

2. Komplexní číselná rovina

V jsou uvažovány teorie funkcí komplexní proměnnékomplexní číselná rovina, který se označuje buď nebo pomocí písmen označujících komplexní čísla z, w atd.

Vodorovná osa komplexní roviny se nazývá reálná osa, jsou na něm umístěna reálná čísla z = x + 0i = x.

Vertikální osa komplexní roviny se nazývá imaginární osa;

3. Komplexně sdružená čísla

Nazývají se čísla z = x + iy az = x − iy komplexní konjugát. V komplexní rovině odpovídají bodům, které jsou symetrické podle skutečné osy.

4. Operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru

4.1 Sčítání komplexních čísel

Součet dvou komplexních čísel

z 1= x 1+ iy 1

az 2 = x 2 + iy 2 se nazývá komplexní číslo

z 1+ z 2

= (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y2).

operace

přidání

komplexní čísla je podobná operaci sčítání algebraických binomů.

Příklad. Součet dvou komplexních čísel z 1 = 3+ 7i a z 2

= -1 +2 i

bude komplexní číslo

z 1 +z 2 =(3 +7 i) +(−1 +2 i) =(3 −1) +(7 +2) i =2 +9 i.

Samozřejmě,

celková částka

konjugovat

je

nemovitý

z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z.

4.2 Odčítání komplexních čísel

Rozdíl dvou komplexních čísel z 1 = x 1 + iy 1

X 2 + iy 2

volal

komplexní

číslo z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) .

Příklad. Rozdíl dvou komplexních čísel

z 1 = 3 −4 i

a z 2

= -1 +2 i

bude komplexní

číslo z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i .

Rozdílem

komplexní konjugát

je

z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z.

4.3 Násobení komplexních čísel

Součin dvou komplexních čísel

z 1= x 1+ iy 1

a z2= x2+ iy2

nazývané komplexní

z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2

= (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) .

Operace násobení komplexních čísel je tedy podobná operaci násobení algebraických binomů, vezmeme-li v úvahu skutečnost, že i 2 = − 1.

Strana 2 ze 3

Algebraický tvar komplexního čísla.
Sčítání, odčítání, násobení a dělení komplexních čísel.

S algebraickým tvarem komplexního čísla jsme se již seznámili – jedná se o algebraický tvar komplexního čísla. Proč mluvíme o formě? Faktem je, že existují také trigonometrické a exponenciální formy komplexních čísel, o kterých bude řeč v dalším odstavci.

Operace s komplexními čísly nejsou nijak zvlášť obtížné a příliš se neliší od běžné algebry.

Sčítání komplexních čísel

Příklad 1

Přidejte dvě komplexní čísla,

Chcete-li sečíst dvě komplexní čísla, musíte sečíst jejich skutečné a imaginární části:

Jednoduché, že? Akce je tak zřejmá, že nevyžaduje další komentáře.

Tímto jednoduchým způsobem můžete najít součet libovolného počtu členů: sečtěte skutečné části a sečtěte části imaginární.

Pro komplexní čísla platí pravidlo první třídy: – přeuspořádání podmínek nemění součet.

Odečítání komplexních čísel

Příklad 2

Najděte rozdíly mezi komplexními čísly a pokud ,

Akce je podobná sčítání, jedinou zvláštností je, že subtrahend musí být uveden do závorky a poté musí být závorky otevřeny standardním způsobem se změnou znaménka:

Výsledek by neměl být matoucí; výsledné číslo má dvě, nikoli tři části. Prostě skutečná část je sloučenina: . Pro názornost lze odpověď přepsat takto: .

Vypočítejme druhý rozdíl:

Zde je skutečná část také složená:

Abych se vyhnul jakémukoli podceňování, uvedu krátký příklad se „špatnou“ imaginární částí: . Zde se již bez závorek neobejdete.

Násobení komplexních čísel

Nastal čas představit vám slavnou rovnost:

Příklad 3

Najděte součin komplexních čísel,

Je zřejmé, že práce by měla být napsána takto:

Co z toho vyplývá? Prosí o otevření závorek podle pravidla násobení polynomů. To je to, co musíte udělat! Všechny algebraické operace jsou vám známé, hlavní je si to zapamatovat a buďte opatrní.

Zopakujme si, omg, školní pravidlo pro násobení polynomů: Chcete-li vynásobit polynom polynomem, musíte vynásobit každý člen jednoho polynomu každým členem jiného polynomu.

Napíšu to podrobně:

Doufám, že to bylo všem jasné

Pozor a opět pozor, chyby se nejčastěji dělají ve znameních.

Stejně jako součet je součin komplexních čísel zaměnitelný, to znamená, že rovnost platí: .

V naučné literatuře a na internetu lze snadno najít speciální vzorec pro výpočet součinu komplexních čísel. Pokud chcete, použijte to, ale zdá se mi, že přístup s násobením polynomů je univerzálnější a přehlednější. Nebudu uvádět vzorec, myslím, že v tomto případě je to zaplnění vaší hlavy pilinami.

Dělení komplexních čísel

Příklad 4

Daná komplexní čísla, . Najděte kvocient.

Udělejme kvocient:

Dělení čísel se provádí vynásobením jmenovatele a čitatele sdruženým vyjádřením jmenovatele.

Vzpomeňme si na vousatý vzorec a podívejme se na našeho jmenovatele: . Jmenovatel již má , takže konjugovaný výraz v tomto případě je , tzn

Podle pravidla musí být jmenovatel vynásoben a aby se nic nezměnilo, musí být čitatel vynásoben stejným číslem:

Napíšu to podrobně:

Vybral jsem „dobrý“ příklad: pokud vezmete dvě čísla „od začátku“, pak v důsledku dělení téměř vždy dostanete zlomky, něco jako .

V některých případech je před dělením zlomku vhodné jej zjednodušit, například uvažovat podíl čísel: . Před dělením se zbavíme zbytečných minusů: v čitateli a jmenovateli vyjmeme minusy ze závorek a zmenšíme tyto minusy: . Pro ty, kteří rádi řeší problémy, je zde správná odpověď:

Zřídka, ale nastává následující úkol:

Příklad 5

Je uvedeno komplexní číslo. Toto číslo zapište v algebraickém tvaru (tedy ve tvaru).

Technika je stejná – jmenovatel a čitatel vynásobíme výrazem konjugovaným na jmenovatel. Podívejme se znovu na vzorec. Jmenovatel již obsahuje , takže jmenovatel a čitatel musí být vynásobeny konjugovaným výrazem, tedy:

V praxi mohou snadno nabídnout sofistikovaný příklad, kdy potřebujete provést mnoho operací s komplexními čísly. Žádná panika: buďte opatrní, dodržujte pravidla algebry, obvyklý algebraický postup, a pamatujte, že .

Trigonometrický a exponenciální tvar komplexního čísla

V této části si povíme více o goniometrickém tvaru komplexního čísla. Demonstrativní forma v praktické úkoly vyskytuje mnohem méně často. Doporučuji stáhnout a pokud možno vytisknout trigonometrické tabulky metodický materiál naleznete na stránce Matematické vzorce a tabulky. Bez stolů se daleko nedostanete.

Jakékoli komplexní číslo (kromě nuly) lze zapsat v trigonometrickém tvaru:
, kde to je modul komplexního čísla, A - argument komplexního čísla. Neutíkejme, vše je jednodušší, než se zdá.

Představme číslo v komplexní rovině. Pro jednoznačnost a jednoduchost vysvětlení jej umístíme do prvního souřadnicového kvadrantu, tzn. věříme, že:

Modul komplexního čísla je vzdálenost od počátku k odpovídajícímu bodu v komplexní rovině. Jednoduše řečeno, modul je délka rádiusový vektor, který je na výkrese vyznačen červeně.

Modul komplexního čísla se obvykle označuje: nebo

Pomocí Pythagorovy věty lze snadno odvodit vzorec pro nalezení modulu komplexního čísla: . Tento vzorec je správný pro jakékoli významy „a“ ​​a „být“.

Poznámka: Modul komplexního čísla je zobecněním pojmu modul reálného čísla, jako vzdálenost od bodu k počátku.

Argument komplexního čísla volal roh mezi kladná poloosa skutečná osa a vektor poloměru nakreslený z počátku do odpovídajícího bodu. Argument není definován pro jednotného čísla: .

Dotyčný princip je ve skutečnosti podobný polární souřadnice, kde polární poloměr a polární úhel jednoznačně definují bod.

Argument komplexního čísla se standardně označuje: nebo

Z geometrických úvah získáme následující vzorec pro nalezení argumentu:
. Pozor! Tento vzorec funguje pouze ve správné polorovině! Pokud se komplexní číslo nenachází v 1. nebo 4. souřadnicovém kvadrantu, bude vzorec mírně odlišný. Budeme analyzovat i tyto případy.

Nejprve se však podívejme na nejjednodušší příklady, kdy jsou komplexní čísla umístěna na souřadnicových osách.

Příklad 7

Udělejme nákres:

Ve skutečnosti je úkol ústní. Pro přehlednost přepíšu trigonometrický tvar komplexního čísla:

Pamatujme si pevně, modul – délka(který je vždy nezáporný), argument je roh.

1) Představme si číslo v trigonometrickém tvaru. Pojďme najít jeho modul a argument. To je zřejmé. Formální výpočet pomocí vzorce: .
Je zřejmé, že (číslo leží přímo na skutečné kladné poloose). Takže číslo v trigonometrickém tvaru je: .

Akce zpětné kontroly je jasná jako den:

2) Představme číslo v goniometrickém tvaru. Pojďme najít jeho modul a argument. To je zřejmé. Formální výpočet pomocí vzorce: .
Samozřejmě (nebo 90 stupňů). Na výkresu je roh označen červeně. Takže číslo v trigonometrickém tvaru je: .

Pomocí tabulky hodnot goniometrických funkcí je snadné získat zpět algebraický tvar čísla (a zároveň provést kontrolu):

3) Představme číslo v goniometrickém tvaru. Pojďme najít jeho modul a argument. To je zřejmé. Formální výpočet pomocí vzorce: .
Samozřejmě (nebo 180 stupňů). Na výkresu je roh označen modře. Takže číslo v trigonometrickém tvaru je: .

Zkouška:

4) A čtvrtý zajímavý případ. Představme si číslo v goniometrickém tvaru. Pojďme najít jeho modul a argument. To je zřejmé. Formální výpočet pomocí vzorce: .

Argument lze zapsat dvěma způsoby: První způsob: (270 stupňů) a podle toho: . Zkouška:

Následující pravidlo je však standardnější: Pokud je úhel větší než 180 stupňů, pak se píše se znaménkem mínus a opačnou orientací („rolování“) úhlu: (mínus 90 stupňů), na výkrese je úhel označen zeleně. Je snadné to vidět a jsou ze stejného úhlu.

Zápis má tedy podobu:

Pozor! V žádném případě byste neměli používat paritu kosinu, lichost sinu a dále „zjednodušovat“ zápis:

Mimochodem, je užitečné si to zapamatovat vzhled a vlastnosti goniometrických a inverzních goniometrických funkcí, referenční materiály jsou v posledních odstavcích stránky Grafy a vlastnosti základních elementárních funkcí. A komplexní čísla se budou učit mnohem snadněji!

V návrhu nejjednodušších příkladů by se mělo napsat: „je zřejmé, že modul je roven... je zřejmé, že argument se rovná...“. To je opravdu zřejmé a snadno ústně řešitelné.

Pojďme k častějším případům. Jak jsem již poznamenal, s modulem nejsou žádné problémy, měli byste vždy používat vzorec. Ale vzorce pro nalezení argumentu se budou lišit, záleží na tom, ve které souřadnicové čtvrti číslo leží. V tomto případě jsou možné tři možnosti (je užitečné si je zkopírovat do poznámkového bloku):

1) Jestliže (1. a 4. souřadnicová čtvrt nebo pravá polorovina), pak je třeba argument najít pomocí vzorce.

2) Jestliže (2. souřadnicová čtvrtina), pak je třeba argument najít pomocí vzorce .

3) Jestliže (3. souřadnicová čtvrtina), pak je třeba argument najít pomocí vzorce .

Příklad 8

Reprezentují komplexní čísla v goniometrickém tvaru: , , , .

Vzhledem k tomu, že existují hotové vzorce, není nutné dokreslovat. Ale je tu jeden bod: když jste požádáni, abyste reprezentovali číslo v trigonometrickém tvaru, pak Stejně je lepší udělat kresbu. Faktem je, že řešení bez kresby učitelé často odmítají, absence kresby je vážným důvodem k mínusu a neúspěchu.

Eh, sto let jsem nic nekreslil ručně, tady to je:

Jako vždy to dopadlo trochu špinavě =)

Uvedu čísla a ve složité podobě, první a třetí číslo bude pro samostatné řešení.

Představme si číslo v goniometrickém tvaru. Pojďme najít jeho modul a argument.

Plán lekce.

1. Organizační moment.

2. Prezentace materiálu.

3. Domácí úkol.

4. Shrnutí lekce.

Postup lekce

I. Organizační moment.

II. Prezentace materiálu.

Motivace.

Rozšíření množiny reálných čísel spočívá v přidávání nových čísel (imaginárních) k reálným číslům. Zavedení těchto čísel je způsobeno nemožností extrahovat odmocninu záporného čísla v množině reálných čísel.

Úvod do pojmu komplexní číslo.

Imaginární čísla, kterými doplňujeme reálná čísla, se zapisují ve tvaru bi, Kde i je pomyslná jednotka a i 2 = - 1.

Na základě toho získáme následující definici komplexního čísla.

Definice. Komplexní číslo je vyjádřením tvaru a+bi, Kde A A b- reálná čísla. V tomto případě jsou splněny následující podmínky:

a) Dvě komplexní čísla a 1 + b 1 i A a 2 + b 2 i rovná tehdy a jen tehdy a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Sčítání komplexních čísel je určeno pravidlem:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Násobení komplexních čísel je určeno pravidlem:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebraický tvar komplexního čísla.

Zápis komplexního čísla ve tvaru a+bi se nazývá algebraická forma komplexního čísla, kde A- skutečná část, bi je imaginární část a b– skutečné číslo.

Komplexní číslo a+bi je považován za rovný nule, pokud se jeho skutečná a imaginární část rovnají nule: a = b = 0

Komplexní číslo a+bi na b = 0 považovány za stejné jako reálné číslo A: a + 0i = a.

Komplexní číslo a+bi na a = 0 se nazývá čistě imaginární a označuje se bi: 0 + bi = bi.

Dvě komplexní čísla z = a + bi A = a – bi, lišící se pouze znaménkem imaginární části, se nazývají konjugované.

Operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru.

S komplexními čísly v algebraické podobě můžete provádět následující operace.

1) Doplnění.

Definice. Součet komplexních čísel z 1 = a 1 + b 1 i A z2 = a2 + b2 i se nazývá komplexní číslo z, jehož reálná část se rovná součtu reálných částí z 1 A z 2, a imaginární část je součtem imaginárních částí čísel z 1 A z 2, to je z = (ai + a2) + (bi + b2)i.

Čísla z 1 A z 2 se nazývají termíny.

Sčítání komplexních čísel má následující vlastnosti:

1º. Komutativnost: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativita: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Komplexní číslo –a –bi nazýván opakem komplexního čísla z = a + bi. Komplexní číslo, opak komplexního čísla z, označené -z. Součet komplexních čísel z A -z rovná se nule: z + (-z) = 0

Příklad 1: Proveďte sčítání (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Odečítání.

Definice. Odečtěte od komplexního čísla z 1 komplexní číslo z 2 z, Co z + z 2 = z 1.

Teorém. Rozdíl mezi komplexními čísly existuje a je jedinečný.

Příklad 2: Proveďte odčítání (4 – 2i) – (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Násobení.

Definice. Součin komplexních čísel z 1 = a 1 + b 1 i A z 2 = a 2 + b 2 i se nazývá komplexní číslo z, definovaný rovností: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Čísla z 1 A z 2 se nazývají faktory.

Násobení komplexních čísel má následující vlastnosti:

1º. Komutativnost: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativita: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivita násobení vzhledem k sčítání:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- skutečné číslo.

V praxi se násobení komplexních čísel provádí podle pravidla násobení součtu součtem a oddělení reálné a imaginární části.

V následujícím příkladu budeme uvažovat o násobení komplexních čísel dvěma způsoby: pravidlem a násobením součtu součtem.

Příklad 3: Proveďte násobení (2 + 3i) (5 – 7i).

1 způsob. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Rozdělení.

Definice. Rozděl komplexní číslo z 1 na komplexní číslo z 2, znamená najít takové komplexní číslo z, co z · z 2 = z 1.

Teorém. Podíl komplexních čísel existuje a je jedinečný, jestliže z 2 ≠ 0 + 0i.

V praxi se podíl komplexních čísel zjistí vynásobením čitatele a jmenovatele konjugátem jmenovatele.

Nechat z 1 = a 1 + b 1 i, z2 = a2 + b2 i, Pak

.

V následujícím příkladu provedeme dělení pomocí vzorce a pravidla násobení číslem konjugovaným do jmenovatele.

Příklad 4. Najděte podíl .

5) Povýšení na pozitivní celkovou sílu.

a) Mocniny imaginární jednotky.

Využití rovnosti i2 = -1, je snadné definovat libovolnou kladnou celočíselnou mocninu imaginární jednotky. máme:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 atd.

To ukazuje, že hodnoty stupně já n, Kde n– kladné celé číslo, periodicky se opakující, jak se indikátor zvyšuje o 4 .

Proto pro zvýšení počtu i na kladnou celou mocninu, musíme exponent vydělit 4 a stavět i na mocninu, jejíž exponent se rovná zbytku dělení.

Příklad 5: Vypočítejte: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Umocnění komplexního čísla na kladnou celočíselnou mocninu se provádí podle pravidla pro umocnění binomu na odpovídající mocninu, protože jde o speciální případ násobení stejných komplexních faktorů.

Příklad 6: Vypočítejte: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Komplexní čísla jsou rozšířením množiny reálných čísel, obvykle označovaných . Jakékoli komplexní číslo může být reprezentováno jako formální součet , kde a jsou reálná čísla a je imaginární jednotkou.

Zápis komplexního čísla ve tvaru , , se nazývá algebraická forma komplexního čísla.

Vlastnosti komplexních čísel. Geometrická interpretace komplexního čísla.

Akce na komplexních číslech v algebraickém tvaru:

Podívejme se na pravidla, podle kterých se provádějí aritmetické operace s komplexními čísly.

Jsou-li dána dvě komplexní čísla α = a + bi a β = c + di, pak

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (11)

Vyplývá to z definice operací sčítání a odčítání dvou uspořádaných dvojic reálných čísel (viz vzorce (1) a (3)). Dostali jsme pravidla pro sčítání a odčítání komplexních čísel: abychom sečetli dvě komplexní čísla, musíme zvlášť sečíst jejich reálné části a podle toho i jejich imaginární části; Aby bylo možné od jednoho komplexního čísla odečíst další, je nutné odečíst jejich reálnou a imaginární část.

Číslo – α = – a – bi se nazývá opakem čísla α = a + bi. Součet těchto dvou čísel je nula: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

K získání pravidla pro násobení komplexních čísel použijeme vzorec (6), tedy skutečnost, že i2 = -1. Při zohlednění tohoto vztahu zjistíme (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, tzn.

(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. (12)

Tento vzorec odpovídá vzorci (2), který určoval násobení uspořádaných dvojic reálných čísel.

Všimněte si, že součet a součin dvou komplexně sdružených čísel jsou reálná čísla. Pokud α = a + bi, = a – bi, pak α = (a + bi) (a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, tzn.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Při dělení dvou komplexních čísel v algebraickém tvaru je třeba počítat s tím, že kvocient je také vyjádřen číslem stejného typu, tedy α/β = u + vi, kde u, v R. Odvoďme pravidlo pro dělení komplexních čísel . Nechť jsou dána čísla α = a + bi, β = c + di a β ≠ ​​0, tj. c2 + d2 ≠ 0. Poslední nerovnost znamená, že c a d současně nezanikají (případ je vyloučen, když c = 0 , d = 0). Aplikováním vzorce (12) a druhé z rovnosti (13) zjistíme:

Proto je podíl dvou komplexních čísel určen vzorcem:

odpovídající vzorci (4).

Pomocí výsledného vzorce pro číslo β = c + di můžete zjistit jeho převrácené číslo β-1 = 1/β. Za předpokladu a = 1, b = 0 ve vzorci (14) dostáváme

Tento vzorec určuje inverzní hodnotu daného komplexního čísla jiného než nula; toto číslo je také složité.

Například: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru.

55. Argument komplexního čísla. Trigonometrický tvar zápisu komplexního čísla (derivace).

Arg.com.čísla. – mezi kladným směrem reálné osy X a vektorem reprezentujícím dané číslo.

Trigonový vzorec. Čísla: ,