Rovnice jsou zlomková čísla. Pravidla řešení rovnic se zlomky

28.09.2019 | Počítače

Rovnice obsahující proměnnou ve jmenovateli lze řešit dvěma způsoby:

Redukce zlomků na společného jmenovatele

Použití základní vlastnosti proporce

Bez ohledu na zvolenou metodu je po nalezení kořenů rovnice nutné vybrat z nalezených hodnot přijatelné hodnoty, tedy takové, které nemění jmenovatele na $0$.

1 způsob. Přivedení zlomků ke společnému jmenovateli.

Příklad 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Řešení:

1. Přesuňte zlomek z pravé strany rovnice doleva

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Abychom to udělali správně, připomeneme si, že při přesunu prvků do jiné části rovnice se znaménko před výrazy změní na opačné. Pokud tedy na pravé straně bylo znaménko „+“ před zlomkem, pak na levé straně bude před ním znaménko „-.“ Pak na levé straně dostaneme rozdíl zlomků.

2. Nyní si všimneme, že zlomky mají různé jmenovatele, což znamená, že k vyrovnání rozdílu je nutné přivést zlomky ke společnému jmenovateli. Společný jmenovatel bude součin polynomů ve jmenovatelích původních zlomků: $(2x-1)(x+3)$

Abychom získali identický výraz, musí být čitatel a jmenovatel prvního zlomku vynásoben polynomem $(x+3)$ a druhý polynomem $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Proveďme transformaci v čitateli prvního zlomku – budeme násobit polynomy. Připomeňme, že k tomu je nutné vynásobit první člen prvního polynomu, vynásobit každým členem druhého polynomu, potom vynásobit druhý člen prvního polynomu každým členem druhého polynomu a sečíst výsledky

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Ve výsledném výrazu uvádíme podobné pojmy

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Proveďte podobnou transformaci v čitateli druhého zlomku – budeme násobit polynomy

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Potom bude mít rovnice tvar:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Nyní zlomky se stejným jmenovatelem, takže můžete odečítat. Připomeňme, že při odečítání zlomků se stejným jmenovatelem od čitatele prvního zlomku je nutné odečíst čitatele druhého zlomku, přičemž jmenovatel zůstane stejný

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Transformujme výraz v čitateli. Aby bylo možné otevřít závorky před znaménkem „-“, musí být všechna znaménka před výrazy v závorkách obrácena

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Uvádíme podobné termíny

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\vpravo)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Pak zlomek získá tvar

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Zlomek se rovná $0$, pokud je jeho čitatel 0. Čitatel zlomku tedy přirovnáme k $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Pojďme vyřešit lineární rovnici:

4. Odebereme vzorky kořenů. To znamená, že je nutné zkontrolovat, zda se jmenovatelé původních zlomků při nalezení kořenů změní na $0$.

Nastavíme podmínku, že jmenovatelé nebudou rovni $0$

x$\ne 0,5 $ x $\ne -3 $

To znamená, že jsou povoleny všechny hodnoty proměnných, kromě $-3$ a $0.5$.

Odmocnina, kterou jsme našli, je platná hodnota, takže ji lze bezpečně považovat za kořen rovnice. Pokud by nalezený kořen nebyl platnou hodnotou, pak by takový kořen byl cizí a samozřejmě by nebyl zahrnut do odpovědi.

Odpovědět:$-0,2.$

Nyní můžeme napsat algoritmus pro řešení rovnice, která obsahuje proměnnou ve jmenovateli

Algoritmus pro řešení rovnice, která obsahuje proměnnou ve jmenovateli

Přesuňte všechny prvky z pravé strany rovnice na levou stranu. Pro získání shodné rovnice je nutné změnit všechna znaménka před výrazy na pravé straně na opačné

Pokud na levé straně dostaneme výraz s různými jmenovateli, pak je pomocí hlavní vlastnosti zlomku přivedeme ke společnému. Proveďte transformace pomocí identických transformací a získejte konečný zlomek rovný $0$.

Srovnejte čitatele s $0$ a najděte kořeny výsledné rovnice.

Navzorkujme kořeny, tzn. najít platné hodnoty proměnných, které nemění jmenovatele na $0$.

2 způsobem. Použití základní vlastnosti proporce

Hlavní vlastností proporce je, že součin krajních členů proporce se rovná součinu středních členů.

Příklad 2

Tuto vlastnost používáme k řešení tohoto úkolu

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Najděte a srovnejte součin krajního a středního členu podílu.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Řešením výsledné rovnice najdeme kořeny originálu

2. Pojďme najít přípustné hodnoty proměnné.

Z předchozího řešení (1. způsob) jsme již zjistili, že jsou povoleny jakékoli hodnoty kromě $-3$ a $0,5$.

Poté, co jsme zjistili, že nalezený kořen je platná hodnota, jsme zjistili, že kořenem bude $-0,2$.

Pro zjednodušení je použit nejnižší společný jmenovatel daná rovnice. Tato metoda se používá, když nemůžete napsat danou rovnici s jedním racionálním výrazem na každé straně rovnice (a použijete metodu křížového násobení). Tato metoda se používá, když dostanete racionální rovnici se 3 nebo více zlomky (v případě dvou zlomků je lepší křížové násobení).

Najděte nejmenšího společného jmenovatele zlomků (nebo nejmenšího společného násobku). NOZ je nejmenší číslo, které je rovnoměrně dělitelné každým jmenovatelem.

Někdy je NOZ samozřejmé číslo. Pokud je například dána rovnice: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, pak je zřejmé, že nejmenší společný násobek čísel 3, 2 a 6 bude 6.
Pokud NOD není zřejmý, zapište si násobky největšího jmenovatele a najděte mezi nimi ten, který je násobkem i ostatních jmenovatelů. NOD často najdete jednoduchým vynásobením dvou jmenovatelů dohromady. Pokud je například dána rovnice x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, pak NOZ = 8*9 = 72.
Pokud jeden nebo více jmenovatelů obsahuje proměnnou, pak je proces poněkud složitější (ale ne nemožný). V tomto případě je NOZ výraz (obsahující proměnnou), který je dělitelný každým jmenovatelem. Například v rovnici 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), protože tento výraz je dělitelný každým jmenovatelem: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Vynásobte čitatel i jmenovatel každého zlomku číslem rovným výsledku dělení NOZ odpovídajícím jmenovatelem každého zlomku. Protože násobíte čitatel i jmenovatel stejným číslem, efektivně násobíte zlomek 1 (například 2/2 = 1 nebo 3/3 = 1).

V našem příkladu tedy vynásobte x/3 2/2, abyste dostali 2x/6, a vynásobte 1/2 3/3, abyste dostali 3/6 (3x + 1/6 není třeba násobit, protože jmenovatel je 6).
Podobně postupujte, když je proměnná ve jmenovateli. V našem druhém příkladu NOZ = 3x(x-1), takže 5/(x-1) krát (3x)/(3x) je 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x krát 3(x-1)/3(x-1) dostanete 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) vynásobte (x-1)/(x-1) a dostanete 2(x-1)/3x(x-1).

Najděte x. Nyní, když jste zlomky zredukovali na společného jmenovatele, můžete se jmenovatele zbavit. Chcete-li to provést, vynásobte každou stranu rovnice společným jmenovatelem. Výslednou rovnici pak vyřešte, tedy najděte „x“. Chcete-li to provést, izolujte proměnnou na jedné straně rovnice.

V našem příkladu: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Můžete sečíst 2 zlomky se stejným jmenovatelem, takže rovnici napište jako: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Vynásobte obě strany rovnice 6 a zbavte se jmenovatelů: 2x+3 = 3x +1. Vyřešte a získejte x = 2.
V našem druhém příkladu (s proměnnou ve jmenovateli) rovnice vypadá (po redukci na společného jmenovatele): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Vynásobením obou stran rovnice NOZ se zbavíte jmenovatele a dostanete: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), nebo 15x = 3x - 3 + 2x -2, popř. 15x = x - 5 Vyřešte a dostanete: x = -5/14.

Cíle lekce:

Tutorial:

tvorba konceptu zlomkových racionálních rovnic;
zvážit různé způsoby řešení zlomkových racionálních rovnic;
zvážit algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic, včetně podmínky, že zlomek je roven nule;
naučit řešení zlomkových racionálních rovnic podle algoritmu;
kontrola úrovně asimilace tématu provedením testové práce.

Rozvíjející se:

rozvoj schopnosti správně pracovat s nabytými vědomostmi, logicky myslet;
rozvoj intelektuálních dovedností a mentálních operací - analýza, syntéza, komparace a zobecnění;
rozvoj iniciativy, schopnost rozhodovat se, nezastavovat se u toho;
rozvoj kritického myšlení;
rozvoj výzkumných dovedností.

Péče:

výchova kognitivního zájmu o předmět;
výchova k samostatnosti v rozhodování Učební cíle;
výchova vůle a vytrvalosti k dosažení konečných výsledků.

Typ lekce: lekce - vysvětlení nové látky.

Během vyučování

1. Organizační moment.

Ahoj hoši! Rovnice jsou napsané na tabuli, pozorně si je prohlédněte. Dokážete vyřešit všechny tyto rovnice? Které nejsou a proč?

Rovnice, ve kterých jsou levá a pravá strana zlomkovými racionálními výrazy, se nazývají zlomkové racionální rovnice. Co si myslíte, že se dnes v lekci naučíme? Formulujte téma lekce. Otevíráme sešity a zapisujeme si téma lekce „Řešení zlomkových racionálních rovnic“.

2. Aktualizace znalostí. Frontální průzkum, ústní práce s třídou.

A nyní si zopakujeme hlavní teoretický materiál, který potřebujeme prostudovat nové téma. Odpovězte prosím na následující otázky:

Co je rovnice? ( Rovnost s proměnnou nebo proměnnými.)
Jak se nazývá rovnice #1? ( Lineární.) Způsob řešení lineární rovnice. (Přesuňte vše s neznámou na levou stranu rovnice, všechna čísla doprava. Přineste podobné podmínky. Najděte neznámý multiplikátor).
Jak se nazývá rovnice 3? ( Náměstí.) Způsoby řešení kvadratické rovnice. (Výběr plného čtverce pomocí vzorců pomocí Vietovy věty a její důsledky.)
Co je to poměr? ( Rovnost dvou vztahů.) Hlavní vlastnost proporce. ( Pokud je poměr pravdivý, pak se součin jeho extrémních členů rovná součinu středních členů.)
Jaké vlastnosti se používají k řešení rovnic? ( 1. Pokud v rovnici přeneseme člen z jedné části do druhé a změníme jeho znaménko, dostaneme rovnici ekvivalentní dané rovnici. 2. Pokud se obě části rovnice vynásobí nebo vydělí stejným nenulovým číslem, dostaneme rovnici, která je ekvivalentní danému.)
Kdy je zlomek roven nule? ( Zlomek je nula, když je čitatel nula a jmenovatel nenulový.)

3. Vysvětlení nového materiálu.

Řešte rovnici č. 2 v sešitech a na tabuli.

Odpovědět: 10.

Jakou zlomkovou racionální rovnici můžete zkusit vyřešit pomocí základní vlastnosti proporce? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2-4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Řešte rovnici č. 4 v sešitech a na tabuli.

Odpovědět: 1,5.

Jakou zlomkovou racionální rovnici můžete zkusit vyřešit vynásobením obou stran rovnice jmenovatelem? (č. 6).

x 2-7x+12 = 0

D=l>0, xi=3, x2=4.

Odpovědět: 3;4.

Nyní zkuste vyřešit rovnici #7 jedním ze způsobů.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2-2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2-3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Odpovědět: 0;5;-2.			Odpovědět: 5;-2.

Vysvětlete, proč se to stalo? Proč jsou v jednom případě tři kořeny a ve druhém dva? Jaká čísla jsou kořeny této zlomkové racionální rovnice?

Doposud se studenti s pojmem cizí kořen nesetkali, je pro ně opravdu velmi těžké pochopit, proč se tak stalo. Pokud nikdo ve třídě nedokáže tuto situaci jasně vysvětlit, učitel položí návodné otázky.

Jak se liší rovnice č. 2 a 4 od rovnic č. 5,6,7? ( V rovnicích č. 2 a 4 ve jmenovateli čísla, č. 5-7 - výrazy s proměnnou.)
Co je kořenem rovnice? ( Hodnota proměnné, při které se rovnice stává skutečnou rovností.)
Jak zjistit, zda je číslo kořenem rovnice? ( Proveďte kontrolu.)

Při provádění testu si někteří studenti všimnou, že musí dělit nulou. Došli k závěru, že čísla 0 a 5 nejsou kořeny této rovnice. Nabízí se otázka: existuje způsob, jak vyřešit zlomkové racionální rovnice, který tuto chybu eliminuje? Ano, tato metoda je založena na podmínce, že zlomek je roven nule.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jestliže x=5, pak x(x-5)=0, takže 5 je cizí kořen.

Pokud x=-2, pak x(x-5)≠0.

Odpovědět: -2.

Pokusme se tímto způsobem formulovat algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic. Děti samy formulují algoritmus.

Algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic:

Přesuňte vše doleva.
Přiveďte zlomky ke společnému jmenovateli.
Sestavte systém: zlomek je nula, když je čitatel nula a jmenovatel není nula.
Vyřešte rovnici.
Zkontrolujte nerovnost, abyste vyloučili cizí kořeny.
Zapište odpověď.

Diskuse: jak formalizovat řešení, pokud je použita základní vlastnost proporce a násobení obou stran rovnice společným jmenovatelem. (Řešení doplňte: vyřaďte z jeho kořenů ty, které otáčejí společného jmenovatele na nulu).

4. Primární porozumění novému materiálu.

Pracovat v párech. Studenti si sami volí způsob řešení rovnice v závislosti na typu rovnice. Úkoly z učebnice "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: č. 600 (b, c, i); Č. 601 (a, e, g). Učitel kontroluje plnění úkolu, odpovídá na vzniklé otázky a poskytuje pomoc žákům se slabým výkonem. Autotest: Odpovědi se zapisují na tabuli.

b) 2 je cizí kořen. Odpověď: 3.

c) 2 je cizí kořen. Odpověď: 1.5.

a) Odpověď: -12.5.

g) Odpověď: 1; 1.5.

5. Vyúčtování domácího úkolu.

Přečtěte si bod 25 z učebnice, analyzujte příklady 1-3.
Naučte se algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic.
Řešte v sešitech č. 600 (a, d, e); Č. 601 (g, h).
Zkuste vyřešit #696(a) (volitelné).

6. Splnění kontrolního úkolu na probírané téma.

Práce se provádí na listech.

Příklad práce:

A) Které z rovnic jsou zlomkové racionální?

B) Zlomek je nula, když je čitatel _______________________ a jmenovatel ________________________

Q) Je číslo -3 kořenem rovnice #6?

D) Řešte rovnici č. 7.

Kritéria hodnocení úkolů:

„5“ se udává, pokud student splnil více než 90 % úkolu správně.
"4" - 75 % -89 %
"3" - 50 % -74 %
„2“ dostane žák, který splnil méně než 50 % úkolu.
Známka 2 se do deníku neuvádí, 3 je volitelná.

7. Reflexe.

Na letáky s nezávislou prací uveďte:

1 - pokud pro vás byla lekce zajímavá a srozumitelná;
2 - zajímavé, ale nejasné;
3 - není zajímavé, ale srozumitelné;
4 - není zajímavé, není jasné.

8. Shrnutí lekce.

Dnes jsme se tedy v lekci seznámili se zlomkovými racionálními rovnicemi, naučili jsme se tyto rovnice řešit různé způsoby, ověřili své znalosti pomocí školení samostatná práce. Výsledky samostatné práce se dozvíte v další lekci, doma budete mít možnost si získané znalosti upevnit.

Jaká metoda řešení zlomkových racionálních rovnic je podle vás jednodušší, dostupnější, racionálnější? Na co by se bez ohledu na způsob řešení zlomkových racionálních rovnic nemělo zapomínat? V čem spočívá „mazanost“ zlomkových racionálních rovnic?

Děkuji všem, lekce je u konce.

Návod

Snad nejzřetelnějším bodem je zde samozřejmě . Číselné zlomky nepředstavují žádné nebezpečí (zlomkové rovnice, kde jsou ve všech jmenovatelích pouze čísla, budou obecně lineární), ale pokud je ve jmenovateli proměnná, pak je třeba s tím počítat a předepisovat. Jednak jde o to, že x, které mění jmenovatele na 0, nemůže být a obecně je nutné samostatně registrovat, že x se tomuto číslu nemůže rovnat. I když se vám to podaří, při dosazení do čitatele vše dokonale konverguje a splňuje podmínky. Za druhé, nemůžeme vynásobit jednu nebo obě strany rovnice nulou.

Poté je taková rovnice redukována na přenesení všech jejích členů na levou stranu tak, aby 0 zůstala na pravé straně.

Je nutné uvést všechny termíny do společného jmenovatele, případně vynásobit čitatele chybějícími výrazy.
Dále řešíme obvyklou rovnici zapsanou v čitateli. Můžeme vyjmout společné činitele ze závorek, použít zkrácené násobení, dát podobné, vypočítat kořeny kvadratické rovnice přes diskriminant atd.

Výsledkem by měla být faktorizace ve formě součinu závorek (x-(i-tá odmocnina)). To může také zahrnovat polynomy, které nemají kořeny, například čtvercový trinom s diskriminantem menším než nula (pokud ovšem v problému nejsou pouze skutečné kořeny, jak se nejčastěji stává).
Ujistěte se, že faktorizujte a jmenovatele z umístění závorek tam, které jsou již obsaženy v čitateli. Pokud jmenovatel obsahuje výrazy jako (x-(číslo)), pak při redukci na společného jmenovatele je lepší závorky v něm nenásobit „hlavou“, ale ponechat je ve formě součinu originální jednoduché výrazy.
Stejné závorky v čitateli a jmenovateli lze zmenšit předpsáním, jak je uvedeno výše, podmínek na x.
Odpověď se zapisuje ve složených závorkách, jako množina hodnot x, nebo jednoduše výčtem: x1=..., x2=... atd.

Prameny:

Zlomkové racionální rovnice

Něco, co se nedá obejít ve fyzice, matematice, chemii. Nejméně. Učíme se základy jejich řešení.

Návod

V nejobecnější a nejjednodušší klasifikaci ji lze dělit podle počtu proměnných, které obsahují, a podle stupně, ve kterém tyto proměnné stojí.

Vyřešte všechny její kořeny rovnice nebo dokažte, že neexistují.

Libovolná rovnice má nejvýše P kořenů, kde P je maximum dané rovnice.

Ale některé z těchto kořenů se mohou shodovat. Takže například rovnice x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, kde ^ je ikona umocnění, se složí do druhé mocniny výrazu (x + 1), tedy do součinu dvou stejných závorek, z nichž každý dává x = - 1 jako řešení.

Pokud je v rovnici pouze jedna neznámá, znamená to, že budete moci explicitně najít její kořeny (skutečné nebo komplexní).

K tomu budete nejspíš potřebovat různé transformace: zkrácené násobení, výpočet diskriminantu a kořenů kvadratické rovnice, přenos členů z jedné části do druhé, redukování na společného jmenovatele, násobení obou částí rovnice stejným výrazem, násobení obou částí rovnice stejným výrazem. kvadratura a tak dále.

Transformace, které neovlivňují kořeny rovnice, jsou totožné. Používají se ke zjednodušení procesu řešení rovnice.

Můžete také použít místo tradičních analytických grafická metoda a po provedení studie zapište tuto rovnici ve tvaru .

Pokud je v rovnici více než jedna neznámá, budete moci vyjádřit pouze jednu z nich pomocí druhé, čímž zobrazíte sadu řešení. Takové jsou například rovnice s parametry, ve kterých je neznámá x a parametr a. Řešit parametrickou rovnici znamená pro všechna a vyjádřit x až a, tedy uvažovat všechny možné případy.

Pokud rovnice obsahuje derivace nebo diferenciály neznámých (viz obrázek), gratulujeme, je to tak diferenciální rovnice, a tady se bez toho neobejdete algebra pro pokročilé).

Prameny:

Proměny identity

Chcete-li vyřešit problém s zlomky, musíte se s nimi naučit aritmeticky. Mohou být desetinné, ale nejčastěji se používají přirozené zlomky s čitatelem a jmenovatelem. Teprve poté můžete přejít k řešení. matematické problémy se zlomkovými hodnotami.

Budete potřebovat

- kalkulačka;
- znalost vlastností zlomků;
- Schopnost pracovat se zlomky.

Návod

Zlomek je záznam dělení jednoho čísla druhým. Často to nelze provést úplně, a proto je tato akce ponechána „nedokončená. Číslo, které je dělitelné (je nad nebo před zlomkem), se nazývá čitatel a druhé číslo (pod nebo za zlomkem) se nazývá jmenovatel. Je-li čitatel větší než jmenovatel, nazývá se zlomek nesprávný zlomek a lze z něj získat celočíselnou část. Pokud je čitatel menší než jmenovatel, pak se takový zlomek nazývá vlastní a jeho celočíselná část je 0.

Úkoly se dělí na několik typů. Určete, který z nich je úkolem. Nejjednodušší možností je najít zlomek čísla vyjádřený zlomkem. K vyřešení tohoto problému stačí toto číslo vynásobit zlomkem. Přivezlo se například 8 tun brambor. Za první týden se prodaly 3/4 z celkového počtu. Kolik brambor zbývá? Chcete-li tento problém vyřešit, vynásobte číslo 8 3/4. Bude to 8 ∙ 3/4 \u003d 6 t.

Pokud potřebujete najít číslo jeho částí, vynásobte známou část čísla převrácenou hodnotou zlomku, který ukazuje, jaký podíl této části je v čísle. Například 8 z 1/3 z celkového počtu studentů. Kolik v ? Protože 8 lidí je část, která představuje 1/3 z celkového počtu, najděte převrácenou hodnotu, která je 3/1 nebo jen 3. Potom získáte počet studentů ve třídě 8∙3=24 studentů.

Když potřebujete zjistit, která část čísla je jedno číslo od druhého, vydělte číslo, které představuje část, číslem, které je celým číslem. Pokud je například vzdálenost 300 km a auto ujelo 200 km, kolik z toho bude z celkové cesty? Vydělte část cesty 200 celou cestou 300, po zmenšení zlomku dostanete výsledek. 200/300 = 2/3.

Chcete-li najít část neznámého zlomku čísla, když existuje nějaký známý, vezměte celé číslo jako konvenční jednotku a odečtěte od něj známý zlomek. Pokud například již uplynuly 4/7 lekce, zbývá ještě? Berte celou lekci jako konvenční jednotku a odečtěte od ní 4/7. Získejte 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

"Řešení zlomkových racionálních rovnic"

Cíle lekce:

Tutorial:

tvorba konceptu zlomkových racionálních rovnic; zvážit různé způsoby řešení zlomkových racionálních rovnic; zvážit algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic, včetně podmínky, že zlomek je roven nule; naučit řešení zlomkových racionálních rovnic podle algoritmu; kontrola úrovně asimilace tématu provedením testové práce.

Rozvíjející se:

rozvoj schopnosti správně pracovat s nabytými vědomostmi, logicky myslet; rozvoj intelektuálních dovedností a mentálních operací - analýza, syntéza, komparace a zobecnění; rozvoj iniciativy, schopnost rozhodovat se, nezastavovat se u toho; rozvoj kritického myšlení; rozvoj výzkumných dovedností.

Péče:

výchova kognitivního zájmu o předmět; výchova k samostatnosti při řešení výchovných problémů; výchova vůle a vytrvalosti k dosažení konečných výsledků.

Typ lekce: lekce - vysvětlení nové látky.

Během vyučování

1. Organizační moment.

Ahoj hoši! Rovnice jsou napsané na tabuli, pozorně si je prohlédněte. Dokážete vyřešit všechny tyto rovnice? Které nejsou a proč?

2. Aktualizace znalostí. Frontální průzkum, ústní práce s třídou.

A nyní si zopakujeme hlavní teoretický materiál, který potřebujeme ke studiu nového tématu. Odpovězte prosím na následující otázky:

1. Co je to rovnice? ( Rovnost s proměnnou nebo proměnnými.)

2. Jak se nazývá rovnice č. 1? ( Lineární.) Metoda řešení lineárních rovnic. ( Přesuňte vše s neznámou na levou stranu rovnice, všechna čísla doprava. Přineste podobné podmínky. Najděte neznámý multiplikátor).

3. Jak se nazývá rovnice č. 3? ( Náměstí.) Metody řešení kvadratických rovnic. ( Výběr plného čtverce pomocí vzorců pomocí Vietovy věty a její důsledky.)

4. Co je to poměr? ( Rovnost dvou vztahů.) Hlavní vlastnost proporce. ( Pokud je poměr pravdivý, pak se součin jeho extrémních členů rovná součinu středních členů.)

5. Jaké vlastnosti se používají při řešení rovnic? ( 1. Pokud v rovnici přeneseme člen z jedné části do druhé a změníme jeho znaménko, dostaneme rovnici ekvivalentní dané rovnici. 2. Pokud se obě části rovnice vynásobí nebo vydělí stejným nenulovým číslem, dostaneme rovnici, která je ekvivalentní danému.)

6. Kdy je zlomek roven nule? ( Zlomek je nula, když je čitatel nula a jmenovatel nenulový.)

3. Vysvětlení nového materiálu.

Řešte rovnici č. 2 v sešitech a na tabuli.

Odpovědět: 10.

Jakou zlomkovou racionální rovnici můžete zkusit vyřešit pomocí základní vlastnosti proporce? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Řešte rovnici č. 4 v sešitech a na tabuli.

Odpovědět: 1,5.

Jakou zlomkovou racionální rovnici můžete zkusit vyřešit vynásobením obou stran rovnice jmenovatelem? (č. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Odpovědět: 3;4.

Nyní zkuste vyřešit rovnici #7 jedním ze způsobů.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Odpovědět: 0;5;-2.			Odpovědět: 5;-2.

Vysvětlete, proč se to stalo? Proč jsou v jednom případě tři kořeny a ve druhém dva? Jaká čísla jsou kořeny této zlomkové racionální rovnice?

V rovnicích č. 2 a 4 ve jmenovateli čísla, č. 5-7 - výrazy s proměnnou

Hodnota proměnné, při které se rovnice stává skutečnou rovností

Proveďte kontrolu

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jestliže x=5, pak x(x-5)=0, takže 5 je cizí kořen.

Pokud x=-2, pak x(x-5)≠0.

Odpovědět: -2.

Pokusme se tímto způsobem formulovat algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic. Děti samy formulují algoritmus.

Algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic:

1. Přesuňte vše na levou stranu.

2. Přiveďte zlomky ke společnému jmenovateli.

3. Vytvořte soustavu: zlomek se rovná nule, když je čitatel roven nule, a jmenovatel se nerovná nule.

4. Řešte rovnici.

5. Zkontrolujte nerovnost, abyste vyloučili cizí kořeny.

6. Zapište odpověď.

4. Primární porozumění novému materiálu.

Pracovat v párech. Studenti si sami volí způsob řešení rovnice v závislosti na typu rovnice. Úkoly z učebnice "Algebra 8", 2007: č. 000 (b, c, i); č. 000(a, e, g). Učitel kontroluje plnění úkolu, odpovídá na vzniklé otázky a poskytuje pomoc žákům se slabým výkonem. Autotest: Odpovědi se zapisují na tabuli.

b) 2 je cizí kořen. Odpověď: 3.

c) 2 je cizí kořen. Odpověď: 1.5.

a) Odpověď: -12.5.

g) Odpověď: 1; 1.5.

5. Vyúčtování domácího úkolu.

2. Naučte se algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic.

3. Řešte v sešitech č. 000 (a, d, e); č. 000(g, h).

4. Zkuste vyřešit č. 000(a) (nepovinné).

6. Splnění kontrolního úkolu na probírané téma.

Práce se provádí na listech.

Příklad práce:

A) Které z rovnic jsou zlomkové racionální?

B) Zlomek je nula, když je čitatel _______________________ a jmenovatel ________________________

Q) Je číslo -3 kořenem rovnice #6?

D) Řešte rovnici č. 7.

Kritéria hodnocení úkolů:

„5“ se udává, pokud student splnil více než 90 % úkolu správně. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" dostane žák, který splnil méně než 50 % úkolu. Známka 2 se do deníku neuvádí, 3 je volitelná.

7. Reflexe.

Na letáky s nezávislou prací uveďte:

1 - pokud pro vás byla lekce zajímavá a srozumitelná; 2 - zajímavé, ale nejasné; 3 - není zajímavé, ale srozumitelné; 4 - není zajímavé, není jasné.

8. Shrnutí lekce.

Dnes jsme se tedy v lekci seznámili se zlomkovými racionálními rovnicemi, naučili se tyto rovnice různými způsoby řešit, otestovali své znalosti pomocí vzdělávací samostatné práce. Výsledky samostatné práce se dozvíte v další lekci, doma budete mít možnost si získané znalosti upevnit.

Děkuji všem, lekce je u konce.