Kužel. Frustum

Zúžený povrch nazýváme povrch tvořený všemi přímkami procházejícími každým bodem dané křivky a bodem vně křivky (obr. 32).

Tato křivka se nazývá průvodce , Přímo - generování , tečka - summit kuželová plocha.

Rovný kruhový kuželový povrch nazýváme povrch tvořený všemi přímkami procházejícími každým bodem dané kružnice a bodem na přímce, který je kolmý k rovině kružnice a prochází jejím středem. V následujícím textu bude tento povrch stručně označen jako kuželová plocha (obr.33).

kužel (rovný kruhový kužel ) se nazývá geometrické těleso ohraničené kuželovou plochou a rovinou, která je rovnoběžná s rovinou vodící kružnice (obr. 34).

Rýže. 32 Obr. 33 Obr. 34

Kužel lze považovat za těleso získané rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem osy obsahující jednu z ramen trojúhelníku.

Kruh, který ohraničuje kužel, se nazývá základ . Vrchol kuželové plochy se nazývá summit kužel. Úsečka spojující vrchol kužele se středem jeho základny se nazývá vysoký kužel. Segmenty, které tvoří kuželovou plochu, se nazývají generování kužel. osa kužele je přímka procházející vrcholem kužele a středem jeho základny. Axiální řez nazývaný úsek procházející osou kužele. Vývoj bočního povrchu kužel se nazývá sektor, jehož poloměr rovná délce tvořící přímku kužele a délka oblouku výseče je rovna obvodu základny kužele.

Pro kužel platí následující vzorce:

kde R je poloměr základny;

H- výška;

l- délka tvořící čáry;

S hlavní- základní plocha;

S strana

S plný

PROTI je objem kužele.

komolý kužel nazývaná část kužele uzavřená mezi základnou a řeznou rovinou rovnoběžnou se základnou kužele (obr. 35).

Za komolý kužel lze považovat těleso získané otáčením pravoúhlého lichoběžníku kolem osy obsahující boční stranu lichoběžníku, kolmé k základnám.

Dvě kružnice, které spojují kužel, se nazývají jeho důvody . Výška komolého kužele je vzdálenost mezi jeho základnami. Segmenty, které tvoří kuželovou plochu komolého kužele, se nazývají generování . Přímka procházející středy podstav se nazývá osa komolý kužel. Axiální řez nazývaný úsek procházející osou komolého kužele.

Pro komolý kužel platí následující vzorce:

(8)

kde R je poloměr spodní základny;

r je poloměr horní základny;

H je výška, l je délka tvořící čáry;

S strana je plocha bočního povrchu;

S plný je celková plocha povrchu;

PROTI je objem komolého kužele.

Příklad 1Část kužele rovnoběžná se základnou rozděluje výšku v poměru 1:3, počítáno shora. Najděte plochu bočního povrchu komolého kužele, pokud je poloměr základny a výška kužele 9 cm a 12 cm.

Rozhodnutí. Udělejme nákres (obr. 36).

Pro výpočet plochy bočního povrchu komolého kužele použijeme vzorec (8). Najděte poloměry základen Asi 1 A a Asi 1 V a generování AB.

Zvažte podobné trojúhelníky SO 2 B a SO 1A, koeficient podobnosti , pak

Odtud

Od té doby

Plocha bočního povrchu komolého kužele se rovná:

Odpovědět: .

Příklad2.Čtvrtkruh o poloměru je složen do kuželové plochy. Najděte poloměr základny a výšku kužele.

Rozhodnutí.Čtyřnásobek kruhu je rozvinutím boční plochy kužele. Označit r je poloměr jeho základny, H- výška. Boční povrch se vypočítá podle vzorce: . Rovná se ploše čtvrtiny kruhu: . Dostaneme rovnici o dvou neznámých r a l(generátor kužele). V tomto případě se tvořící čára rovná poloměru čtvrtiny kruhu R, takže dostaneme následující rovnici: , odkud Když známe poloměr základny a tvořící přímku, zjistíme výšku kužele:

Odpovědět: 2 cm,.

Příklad 3 Obdélníkový lichoběžník s ostrým úhlem 45 O, menší základnou 3 cm a nakloněnou stranou rovnou , se otáčí kolem strany kolmé k základnám. Najděte objem získaného rotačního tělesa.

Rozhodnutí. Udělejme nákres (obr. 37).

V důsledku rotace dostaneme komolý kužel, abychom zjistili jeho objem, vypočítáme poloměr větší základny a výšku. v trapézu O 1 O 2 AB utratíme AC^O 1 B. V máme: takže tento trojúhelník je rovnoramenný AC=před naším letopočtem\u003d 3 cm.

Odpovědět:

Příklad 4 Trojúhelník o stranách 13 cm, 37 cm a 40 cm se otáčí kolem vnější osy, která je rovnoběžná s větší stranou a je od ní vzdálena 3 cm (osa je umístěna v rovině trojúhelníku). Najděte povrch výsledného rotačního tělesa.

Rozhodnutí . Udělejme nákres (obr. 38).

Povrch výsledného rotačního tělesa tvoří boční plochy dvou komolých kuželů a boční plocha válce. Pro výpočet těchto ploch je nutné znát poloměry základen kuželů a válce ( BÝT a OC) vytváření kuželů ( před naším letopočtem a AC) a výška válce ( AB). Neznámé je pouze CO. je vzdálenost od strany trojúhelníku k ose rotace. Pojďme najít DC. Plocha trojúhelníku ABC na jedné straně se rovná součinu poloviny strany AB a výšky k ní nakreslené DC, na druhou stranu, když známe všechny strany trojúhelníku, vypočítáme jeho obsah pomocí Heronova vzorce.

Rýže. 1. Předměty ze života, které mají tvar komolého kužele

Kde se podle vás berou nové tvary v geometrii? Všechno je velmi jednoduché: člověk se v životě setkává s podobnými předměty a přichází s tím, jak je nazvat. Uvažujme podstavec, na kterém sedí lvi v cirkuse, kousek mrkve, kterou získáme, když uřízneme jen její část, aktivní sopku a třeba světlo z baterky (viz obr. 1).

Rýže. 2. Geometrické tvary

Vidíme, že všechny tyto obrazce jsou podobného tvaru - jak zespodu, tak shora jsou ohraničeny kruhy, ale směrem nahoru se zužují (viz obr. 2).

Rýže. 3. Odříznutí horní části kužele

Vypadá to jako kužel. Chybí jen vršek. V duchu si představme, že vezmeme kužel a jedním švihem ostrého meče z něj odřízneme horní část (viz obr. 3).

Rýže. 4. Komolý kužel

Ukazuje se jen naše postava, říká se tomu komolý kužel (viz obr. 4).

Rýže. 5. Řez rovnoběžný se základnou kužele

Ať se dá šiška. Nakreslíme rovinu rovnoběžně s rovinou základna tohoto kužele a protínající kužel (viz obr. 5).

Rozdělí kužel na dvě tělesa: jedno z nich je menší kužel a druhé se nazývá komolý kužel (viz obr. 6).

Rýže. 6. Získaná tělesa s paralelním řezem

Komolý kužel je tedy součástí kužele uzavřeného mezi jeho základnou a rovinou rovnoběžnou se základnou. Stejně jako v případě kužele může mít komolý kužel v základně kruh - v tomto případě se nazývá kruhový. Pokud byl původní kužel rovný, pak se komolý kužel nazývá rovný. Stejně jako v případě kuželů budeme uvažovat pouze přímé kruhové komolé kužely, pokud není výslovně uvedeno, že mluvíme o nepřímém komolém kuželu nebo v jeho podstavách nejsou žádné kruhy.

Rýže. 7. Rotace pravoúhlého lichoběžníku

Naším globálním tématem jsou těla revoluce. Výjimkou není ani komolý kužel! Připomeňme, že za účelem získání kužele jsme uvažovali pravoúhlý trojuhelník a otočil to kolem nohy? Pokud výsledný kužel protne rovina rovnoběžná se základnou, pak z trojúhelníku zůstane pravoúhlý lichoběžník. Jeho rotace kolem menší boční strany nám dá komolý kužel. Znovu si všimněte, že se samozřejmě bavíme pouze o pravém kruhovém kuželu (viz obr. 7).

Rýže. 8. Základny komolého kužele

Udělejme několik poznámek. Základna plného kužele a kružnice získaná v řezu kužele rovinou se nazývají základny komolého kužele (spodní a horní) (viz obr. 8).

Rýže. 9. Generátory komolého kužele

Segmenty generátorů úplného kužele, uzavřené mezi základnami komolého kužele, se nazývají generátory komolého kužele. Protože všechny generátory původního kužele jsou si rovny a všechny generátory komolého kužele jsou si rovny, pak jsou generátory komolého kužele stejné (nezaměňujte komolý a komolý kužel!). Následuje rovnoramenný lichoběžník axiálního řezu (viz obr. 9).

Segment osy rotace uzavřený uvnitř komolého kužele se nazývá osa komolého kužele. Tento segment samozřejmě spojuje středy jeho základen (viz obr. 10).

Rýže. 10. Osa komolého kužele

Výška komolého kužele je kolmice vedená z bodu jedné ze základen k základně druhé. Nejčastěji je jeho osa považována za výšku komolého kužele.

Rýže. 11. Osový řez komolého kužele

Axiální řez komolého kužele je řez procházející jeho osou. Vypadá jako lichoběžník, o něco později prokážeme jeho rovnoramennost (viz obr. 11).

Rýže. 12. Kužel se zavedenou notací

Najděte plochu bočního povrchu komolého kužele. Nechť mají základny komolého kužele poloměry a , a generátor je stejný (viz obr. 12).

Rýže. 13. Zápis tvořící přímky komolého kužele

Najdeme plochu boční plochy komolého kužele jako rozdíl mezi plochami bočních ploch původního a komolého kužele. K tomu označíme tvořící čáru komolého kužele (viz obr. 13).

Poté požadovaný.

Rýže. 14. Podobné trojúhelníky

Zbývá se vyjádřit

Všimněte si, že z podobnosti trojúhelníků , odkud (viz obr. 14).

Bylo by možné vyjádřit dělením rozdílem poloměrů, ale to nepotřebujeme, protože součin se objeví v požadovaném výrazu. Nahrazením místo , máme konečně: .

Nyní není obtížné získat vzorec pro celkovou plochu povrchu. Chcete-li to provést, stačí přidat oblasti dvou základních kruhů: .

Rýže. 15. Ilustrace problému

Nechť komolý kužel získáme otočením pravoúhlého lichoběžníku kolem jeho výšky. Střední čára lichoběžníku je stejná a velká boční strana je stejná (viz obr. 15). Najděte plochu bočního povrchu výsledného komolého kužele.

Rozhodnutí

Podle vzorce to víme .

Tvořící čára kužele bude velká strana původního lichoběžníku, to znamená, že poloměry kužele jsou základnami lichoběžníku. Nemůžeme je najít. Ale nepotřebujeme to: stačí jejich součet a součet základen lichoběžníku je dvojnásobkem jeho střední čáry, to znamená, že se rovná. Pak .

Vezměte prosím na vědomí, že když jsme mluvili o kuželu, nakreslili jsme mezi ním a pyramidou paralely - vzorce byly podobné. Zde je to stejné, protože komolý kužel je velmi podobný komolému jehlanu, takže vzorce pro plochy bočních a plných ploch komolého kužele a jehlanu (a brzy budou i vzorce pro objem) jsou podobné .

Rýže. 1. Ilustrace problému

Poloměry základen komolého kužele se rovnají a a tvořící čára je rovna . Najděte výšku komolého kužele a plochu jeho osového řezu (viz obr. 1).

a rovinou rovnoběžnou se základnou ( rýže. ). Objem U. to. je roven , kde r 1 a r 2 – základní poloměry, h- výška.

Velká sovětská encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. 1969-1978 .

Podívejte se, co je „komolý kužel“ v jiných slovnících:

Geometrické těleso odříznuté od kužele rovinou rovnoběžnou se základnou (obr.). Objem komolého kužele je * * * ZKUŠENÝ KUŽEL ZKUŠENÝ KUŽEL, geometrické těleso odříznuté od kužele rovinou rovnoběžnou se základnou. Objem… … encyklopedický slovník

frustum- — Témata ropný a plynárenský průmysl EN komolý kužel … Technická příručka překladatele

zkrácený, zkrácený, zkrácený; zkrácený, zkrácený, zkrácený. 1. vč. utrpení minulý tepl. od zkrácení (knihy). 2. Takový, ve kterém je horní část odříznuta rovinou rovnoběžnou s podstavou (asi kužel, jehlan; mat.). Frustum. Zkrácená pyramida... Slovník Ušakov

zkrácený- OH oh .; matematika. Takový, ve kterém je horní část odříznuta rovinou rovnoběžnou se základnou. Frustum. Páni pyramida... Slovník mnoha výrazů

ZKRÁCENÝ, oh, oh. V matematice: takový, u kterého je horní část oddělena, odříznutá rovinou rovnoběžnou se základnou. W. kužel. Zkrácená pyramida. Vysvětlující slovník Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Švedova. 1949 1992 ... Vysvětlující slovník Ozhegov

Aya, oh. 1. vč. utrpení minulý od zkrácení. 2. v hodnotě adj. rohož. Takový, ve kterém je horní část odříznuta rovinou rovnoběžnou se základnou. Frustum. Zkrácená pyramida. 3. v hodnotě adj. gram, lit. Se zkrácením (ve 2 hodnotách), což představuje ... Malý akademický slovník

Rovný kruhový kužel. Přímé a ... Wikipedie

- (lat. conus, z řeckého konos) kuželová plocha je soubor čar (generátorů) prostoru spojujících všechny body určité přímky (vodítka) s daným bodem (vrcholem) prostoru. Nejjednodušší K. je kulatý nebo rovný kruhový, směřující k ... Velký encyklopedický polytechnický slovník

- (lat. conus, z řeckého konos) (matematika), 1) K. neboli kuželová plocha, geometrické místo přímek (generátorů) prostoru spojující všechny body určité přímky (vodítka) s daným bodem (vrcholem). ) vesmíru ...... Velká sovětská encyklopedie

Svět kolem nás je dynamický a rozmanitý a ne každý předmět lze jednoduše změřit pravítkem. Pro takový přenos se používají speciální techniky, jako je triangulace. Potřeba sestavit komplexní zatáčky, jako pravidlo, ... ... Wikipedie

Přednáška: Kužel. Základna, výška, boční plocha, tvořící čára, vývoj

Kužel- jedná se o těleso, které se skládá z kružnice, která se nachází na základně, od bodu stejně vzdáleného od všech bodů na kružnici, jakož i od přímek spojujících tento bod (vrchol) se všemi body ležícími na kružnici.

O pár otázek dříve jsme se podívali na pyramidu. Kužel je tedy zvláštní případ pyramidy, na jejíž základně leží kruh. Téměř všechny vlastnosti pyramidy jsou vhodné i pro kužel.

Jak můžete získat kužel? Vzpomeňte si na poslední otázku a jak jsme získali válec. Nyní vezměte rovnoramenný trojúhelník a otočte ho kolem jeho osy – získáte kužel.

Generátory kužele jsou segmenty uzavřené mezi body kružnice a vrcholem kužele. Generátory kužele jsou si navzájem rovny.

Chcete-li zjistit délku generatrix, měli byste použít vzorec:

Pokud jsou všechny generátory spojeny dohromady, můžete získat boční povrch kužele. Jeho obecný povrch se skládá z bočního povrchu a základny ve tvaru kruhu.

Kužel má výška. Chcete-li to získat, stačí spustit kolmici shora přímo do středu základny.

Chcete-li zjistit plochu bočního povrchu, použijte vzorec:

Pomocí následujícího vzorce zjistěte celkový povrch kužele.

Komolý kužel získáme, jestliže se menší kužel odřízne od kužele rovinou rovnoběžnou s podstavou (obr. 8.10). Komolý kužel má dvě základny: "dolní" - základna původního kužele - a "horní" - základna odříznutého kužele. Podle věty o řezu kužele jsou základny komolého kužele podobné .

Výška komolého kužele je kolmice svržená z bodu jedné základny do roviny druhé. Všechny tyto kolmice jsou stejné (viz kap. 3.5). Výška se také nazývá jejich délka, tedy vzdálenost mezi rovinami podstav.

Z rotačního kužele se získá komolý kužel rotace (obr. 8.11). Proto jsou jeho základny a všechny jeho řezy rovnoběžné s nimi kruhy se středy na jedné přímce - na ose. Komolý rotační kužel se získá otáčením obdélníkového lichoběžníku kolem jeho boční strany kolmé k základnám nebo otáčením

rovnoramenný lichoběžník kolem osy symetrie (obr. 8.12).

Boční plocha komolého rotačního kužele

Toto je část bočního povrchu rotačního kužele, která k němu náleží, ze které se získává. Plocha komolého rotačního kužele (nebo jeho plná plocha) se skládá z jeho podstav a jeho boční plochy.

8.5. Obrazy kuželů revoluce a komolých kuželů revoluce.

Rovný kruhový kužel je nakreslen takto. Nejprve se nakreslí elipsa představující obvod podstavy (obr. 8.13). Poté najdou střed základny - bod O a svisle nakreslí úsečku RO, která znázorňuje výšku kužele. Z bodu P jsou k elipse nakresleny tečné (referenční) přímky (prakticky se to provádí okem pomocí pravítka) a segmenty RA a PB těchto přímek jsou vybírány z bodu P do bodů A a B. Vezměte prosím na vědomí, že segment AB není průměr základního kužele a trojúhelník ARV není axiální řez kužele. Osovým řezem kužele je trojúhelník APC: úsečka AC prochází bodem O. Neviditelné čáry jsou nakresleny tahy; segment OP často není nakreslen, ale pouze myšlenkově načrtnut, aby zobrazil vrchol kužele P přímo nad středem základny - bodem O.

Při znázornění rotačního komolého kužele je vhodné nejprve nakreslit kužel, ze kterého se získá komolý kužel (obr. 8.14).

8.6. Kuželosečky. Již jsme řekli, že rovina protíná boční plochu rotačního válce podél elipsy (kapitola 6.4). Také řez boční plochou rotačního kužele rovinou, která neprotíná jeho základnu, je elipsa (obr. 8.15). Proto se elipse nazývá kuželosečka.

Kuželosečky zahrnují i ​​další známé křivky – hyperboly a paraboly. Uvažujme neohraničený kužel získaný prodloužením boční plochy rotačního kužele (obr. 8.16). Protneme ji rovinou a neprocházející vrcholem. Pokud a protíná všechny generátory kužele, pak v řezu, jak již bylo zmíněno, dostaneme elipsu (obr. 8.15).

Otáčením roviny OS je možné zajistit, že protíná všechny generátory kužele K, kromě jednoho (se kterým je OS rovnoběžná). Poté v řezu získáme parabolu (obr. 8.17). Nakonec rovinu OS otáčíme dál a přeneseme ji do takové polohy, aby a, protínající část generátorů kužele K, neprotínalo nekonečný počet jeho dalších generátorů a bylo rovnoběžné se dvěma z nich (obr. 8.18) . Poté v řezu kuželem K rovinou a získáme křivku zvanou hyperbola (přesněji jedna z jejích „větví“). Takže hyperbola, která je grafem funkce, je speciálním případem hyperboly - rovnoramenné hyperboly, stejně jako je kruh speciálním případem elipsy.

Libovolnou hyperbolu lze získat z rovnoramenných projekcí, stejně jako elipsu získáme rovnoběžnou projekcí kružnice.

Abychom získali obě větve hyperboly, musíme vzít řez kuželem, který má dvě "dutiny", to znamená kužel tvořený nikoli paprsky, ale přímkami obsahujícími tvořící čáry boční plochy rotačního kužele (obr. 8.19).

Kuželosečky studovali starověcí řečtí geometrové a jejich teorie byla jedním z vrcholů starověké geometrie. Nejúplnější studium kuželoseček ve starověku provedl Apollonius z Pergy (3. století př. n. l.).

Existuje řada důležitých vlastností, které kombinují elipsy, hyperboly a paraboly do jedné třídy. Například vyčerpávají "nedegenerované", tj. neredukovatelné na bod, přímku nebo dvojici přímek, křivky, které jsou definovány v rovině v kartézských souřadnicích rovnicemi tvaru

Kuželosečky hrají v přírodě důležitou roli: tělesa se pohybují po eliptických, parabolických a hyperbolických drahách v gravitačním poli (vzpomeňte si na Keplerovy zákony). Pozoruhodné vlastnosti kuželoseček se často využívají ve vědě a technice, např. při výrobě některých optických přístrojů nebo světlometů (povrch zrcadla ve světlometu se získává rotací oblouku paraboly kolem osy paraboly ). Kuželové řezy lze pozorovat jako hranice stínu z kulatých stínidel (obr. 8.20).