Absolutní a relativní chyby. Chyby měření

27.09.2019 | Konstrukce

Nechte nějakou náhodnou veličinu A měřeno n krát za stejných podmínek. Výsledky měření daly soubor n různá čísla

Absolutní chyba- rozměrová hodnota. Mezi n hodnoty absolutních chyb se nutně setkávají s kladnými i zápornými.

Za nejpravděpodobnější hodnotu množství A obvykle berou průměrný význam výsledků měření

Čím větší je počet měření, tím blíže je střední hodnota skutečné hodnotě.

Absolutní chybai

Relativní chybai tato dimenze se nazývá množství

Relativní chyba je bezrozměrná veličina. Obvykle je relativní chyba vyjádřena v procentech e i vynásobte 100 %. Hodnota relativní chyby charakterizuje přesnost měření.

Průměrná absolutní chyba je definován takto:

Zdůrazňujeme potřebu sčítat absolutní hodnoty (moduly) veličin D a já Jinak bude získán stejný nulový výsledek.

Průměrná relativní chyba se nazývá množství

Pro velké množství měření.

Relativní chybu lze považovat za hodnotu chyby na jednotku měřené veličiny.

Přesnost měření se posuzuje na základě porovnání chyb výsledků měření. Proto jsou chyby měření vyjádřeny v takové podobě, že pro posouzení přesnosti by stačilo porovnávat pouze chyby výsledků, aniž bychom porovnávali velikosti měřených objektů nebo tyto velikosti znali velmi přibližně. Z praxe je známo, že absolutní chyba měření úhlu nezávisí na hodnotě úhlu a absolutní chyba měření délky závisí na hodnotě délky. Čím větší je hodnota délky, tím větší je absolutní chyba pro tuto metodu a podmínky měření. Proto podle absolutní chyba výsledek přesnosti měření úhlu lze posoudit, ale přesnost měření délky je nemožná. Vyjádření chyby v relativní formě umožňuje porovnat v známé případy přesnost úhlových a lineárních měření.

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti. Náhodná chyba.

Náhodná chyba nazývaná složka chyby měření, která se náhodně mění při opakovaných měřeních stejné veličiny.

Při opakovaném měření stejné konstantní, neměnné veličiny se stejnou pečlivostí a za stejných podmínek dostáváme výsledky měření - některé se od sebe liší a některé se shodují. Takové nesrovnalosti ve výsledcích měření naznačují přítomnost složek náhodné chyby v nich.

Náhodná chyba vzniká současným působením mnoha zdrojů, z nichž každý má sám o sobě nepostřehnutelný vliv na výsledek měření, ale celkový vliv všech zdrojů může být dosti silný.

Náhodné chyby jsou nevyhnutelným důsledkem jakéhokoli měření a jsou způsobeny:

a) nepřesné údaje na stupnici přístrojů a nástrojů;

b) ne shodné podmínky pro opakovaná měření;

c) náhodné změny vnější podmínky(teplota, tlak, silové pole atd.), které nelze ovládat;

d) všechny ostatní vlivy na měření, jejichž příčiny nám nejsou známy. Velikost náhodné chyby lze minimalizovat opakovaným opakováním experimentu a vhodným matematickým zpracováním výsledků.

Náhodná chyba může nabývat různých absolutních hodnot, které nelze pro daný akt měření předvídat. Tato chyba může být stejně pozitivní i negativní. Náhodné chyby jsou v experimentu vždy přítomny. Při absenci systematických chyb způsobují, že opakovaná měření se rozptylují kolem skutečné hodnoty.

Předpokládejme, že pomocí stopek měříme periodu kmitání kyvadla a měření se mnohokrát opakuje. Chyby při spouštění a zastavování stopek, chyba v hodnotě reference, malý nerovnoměrný pohyb kyvadla – to vše způsobuje rozptyl ve výsledcích opakovaných měření a proto lze klasifikovat jako náhodné chyby.

Pokud se nevyskytnou žádné další chyby, pak budou některé výsledky poněkud nadhodnocené, zatímco jiné budou mírně podhodnoceny. Ale pokud jsou kromě toho pozadu i hodiny, pak budou všechny výsledky podhodnoceny. To už je systematická chyba.

Některé faktory mohou způsobit systematické i náhodné chyby současně. Takže zapínáním a vypínáním stopek můžeme vytvořit malý nepravidelný rozptyl v okamžicích spouštění a zastavování hodin vzhledem k pohybu kyvadla a tím zavést náhodnou chybu. Ale pokud navíc pokaždé, když spěcháme se zapnutím stopek, a s jejich vypínáním se opozdíme, povede to k systematické chybě.

Náhodné chyby jsou způsobeny chybou paralaxy při čtení dílků přístrojové stupnice, otřesy základů budovy, vlivem mírného pohybu vzduchu atd.

Přestože nelze vyloučit náhodné chyby jednotlivých měření, matematická teorie náhodné jevy nám umožňují snížit vliv těchto chyb na konečný výsledek měření. Níže bude ukázáno, že k tomu je nutné provést ne jedno, ale několik měření, a čím menší hodnotu chyby chceme získat, tím více měření je třeba provést.

Vzhledem k tomu, že výskyt náhodných chyb je nevyhnutelný a nevyhnutelný, je hlavním úkolem každého procesu měření snížit chyby na minimum.

Teorie chyb je založena na dvou hlavních předpokladech, potvrzených zkušenostmi:

1. Při velkém počtu měření náhodné chyby stejné velikosti, ale jiné znamení, tedy chyby ve směru zvyšování a snižování výsledku jsou zcela běžné.

2. Velké absolutní chyby jsou méně časté než malé, takže pravděpodobnost chyby klesá s rostoucí její hodnotou.

Chování náhodných veličin je popsáno statistickými zákonitostmi, které jsou předmětem teorie pravděpodobnosti. Statistická definice pravděpodobnosti w i Události i je postoj

Kde n- celkový počet experimentů, n i- počet pokusů, při kterých se event i Stalo. V tomto případě by celkový počet experimentů měl být velmi velký ( n®¥). Při velkém počtu měření se náhodné chyby řídí normálním rozdělením (Gaussovo rozdělení), jehož hlavní rysy jsou následující:

1. Čím větší je odchylka hodnoty naměřené hodnoty od skutečné hodnoty, tím menší je pravděpodobnost takového výsledku.

2. Odchylky v obou směrech od skutečné hodnoty jsou stejně pravděpodobné.

Z výše uvedených předpokladů vyplývá, že pro snížení vlivu náhodných chyb je nutné tuto veličinu změřit vícekrát. Předpokládejme, že měříme nějakou hodnotu x. Nechat vyrobit n Měření: x 1, x 2, ... x n- stejným způsobem a se stejnou péčí. Dá se očekávat, že počet dn získané výsledky, které leží v poměrně úzkém intervalu od X před x + dx, měla by být úměrná:

Hodnota odebraného intervalu dx;

Celkový počet měření n.

Pravděpodobnost dw(X), která má nějakou hodnotu X leží v intervalu od X před x+dx, definován následovně :

(s počtem měření n ®¥).

Funkce F(X) se nazývá distribuční funkce nebo hustota pravděpodobnosti.

Jako postulát teorie chyb se předpokládá, že výsledky přímých měření a jejich náhodné chyby, s velkým počtem z nich, splňují zákon normálního rozdělení.

Distribuční funkce spojité nalezená Gaussem náhodná proměnnáX má následující podobu:

, kde mis - distribuční parametry .

Parametr m normálního rozdělení je roven střední hodnotě á Xñ náhodná veličina, která je pro libovolnou známou distribuční funkci určena integrálem

Tím pádem, hodnota m je nejpravděpodobnější hodnota naměřené hodnoty x, tzn. její nejlepší odhad.

Parametr s 2 normálního rozdělení je roven rozptylu D náhodné veličiny, která v obecný případ je určen následujícím integrálem

Odmocnina z rozptylu se nazývá směrodatná odchylka náhodné veličiny.

Střední odchylka (chyba) náhodné veličiny ásñ je určena pomocí distribuční funkce následovně

Průměrná chyba měření ásñ, vypočítaná z funkce Gaussova rozdělení, souvisí s hodnotou směrodatné odchylky s takto:

< s > = 0,8 s.

Parametry s a m spolu souvisí následovně:

Tento výraz vám umožňuje najít směrodatnou odchylku s, pokud existuje normální distribuční křivka.

Graf Gaussovy funkce je znázorněn na obrázcích. Funkce F(X) je symetrický vzhledem k pořadnici nakreslené v bodě x= m; prochází maximem v bodě x= m a má inflexi v bodech m ±s. Disperze tedy charakterizuje šířku distribuční funkce nebo ukazuje, jak široce jsou hodnoty náhodné proměnné rozptýleny vzhledem k její skutečné hodnotě. Čím přesnější měření, tím blíže ke skutečné hodnotě jsou výsledky jednotlivých měření, tzn. hodnota s je menší. Obrázek A ukazuje funkci F(X) pro tři hodnoty .

Plocha postavy ohraničená křivkou F(X) a svislé čáry nakreslené z bodů X 1 a X 2 (obr. B) , se číselně rovná pravděpodobnosti, že výsledek měření spadá do intervalu D x = x 1 - X 2, která se nazývá hladina spolehlivosti. Oblast pod celou křivkou F(X) se rovná pravděpodobnosti náhodné veličiny spadající do intervalu od 0 do ¥, tzn.

protože pravděpodobnost určité události je rovna jedné.

Použitím normální distribuce, teorie chyb klade a řeší dva hlavní problémy. První je posouzení přesnosti měření. Druhým je posouzení přesnosti aritmetického průměru výsledků měření.5. Interval spolehlivosti. Studentův koeficient.

Teorie pravděpodobnosti umožňuje určit velikost intervalu, ve kterém se známou pravděpodobností w jsou výsledky jednotlivých měření. Tato pravděpodobnost se nazývá úroveň důvěry a odpovídající interval (<X>±D X)w volal interval spolehlivosti.Úroveň spolehlivosti se také rovná relativnímu podílu výsledků, které spadají do intervalu spolehlivosti.

Pokud počet měření n je dostatečně velká, pak pravděpodobnost spolehlivosti vyjadřuje podíl celkový početn ta měření, ve kterých byla naměřená hodnota v intervalu spolehlivosti. Každý úroveň důvěry w odpovídá jeho interval spolehlivosti.w2 80 %. Čím širší je interval spolehlivosti, tím je pravděpodobnější získat výsledek v tomto intervalu. V teorii pravděpodobnosti je stanoven kvantitativní vztah mezi hodnotou intervalu spolehlivosti, pravděpodobností spolehlivosti a počtem měření.

Pokud jako interval spolehlivosti zvolíme interval odpovídající průměrné chybě, tedy D a = INZERÁT Añ, pak pro dostatečně velký počet měření odpovídá pravděpodobnosti spolehlivosti w 60 %. Jak se počet měření snižuje, pravděpodobnost spolehlivosti odpovídající takovému intervalu spolehlivosti (a Añ ± INZERÁT Añ) klesá.

Pro odhad intervalu spolehlivosti náhodné veličiny lze tedy použít hodnotu průměrné chyby D Añ .

Pro charakterizaci velikosti náhodné chyby je nutné nastavit dvě čísla, a to velikost intervalu spolehlivosti a velikost pravděpodobnosti spolehlivosti. . Určení pouze velikosti chyby bez odpovídající pravděpodobnosti spolehlivosti je do značné míry nesmyslné.

Pokud je známa průměrná chyba měření ásñ, interval spolehlivosti zapsaný jako (<X> ±asñ) w, určeno s pravděpodobností spolehlivosti w= 0,57.

Pokud je známa směrodatná odchylka s rozdělení výsledků měření, uvedený interval má tvar (<X>± tw s) w, Kde tw- koeficient závislý na hodnotě pravděpodobnosti spolehlivosti a vypočtený podle Gaussova rozdělení.

Nejčastěji používané množství D X jsou uvedeny v tabulce 1.

skutečnou hodnotu Fyzické množství je téměř nemožné určit absolutně přesně, protože jakákoli operace měření je spojena s řadou chyb nebo jinak chyb. Důvody chyb mohou být velmi odlišné. Jejich výskyt může být způsoben nepřesnostmi při výrobě a seřízení měřícího zařízení, vlivem fyzikálních vlastností studovaného předmětu (např. při měření průměru drátu nehomogenní tloušťky výsledek náhodně závisí na volbě oblast měření), náhodné důvody atd.

Úkolem experimentátora je snížit jejich vliv na výsledek a také naznačit, jak moc se výsledek blíží tomu pravému.

Existují pojmy absolutní a relativní chyby.

Pod absolutní chyba měření pochopí rozdíl mezi výsledkem měření a skutečnou hodnotou měřené veličiny:

∆x i =x i -x a (2)

kde ∆x i je absolutní chyba i-tého měření, x i _ je výsledek i-tého měření, x i je skutečná hodnota naměřené hodnoty.

Výsledek jakéhokoli fyzického měření se obvykle zapisuje jako:

kde je aritmetický průměr měřené veličiny nejblíže skutečné hodnotě (platnost x a ≈ bude ukázána níže), je absolutní chyba měření.

Rovnost (3) je třeba chápat tak, že skutečná hodnota naměřené hodnoty leží v intervalu [ - , + ].

Absolutní chyba je rozměrová hodnota, má stejný rozměr jako naměřená hodnota.

Absolutní chyba plně nevystihuje přesnost provedených měření. Pokud budeme měřit se stejnou absolutní chybou ± 1 mm segmenty dlouhé 1 ma 5 mm, přesnost měření bude nesrovnatelná. Proto se spolu s absolutní chybou měření vypočítá i relativní chyba.

Relativní chyba měření je poměr absolutní chyby k samotné naměřené hodnotě:

Relativní chyba je bezrozměrná veličina. Vyjadřuje se v procentech:

Ve výše uvedeném příkladu jsou relativní chyby 0,1 % a 20 %. Výrazně se od sebe liší, i když absolutní hodnoty jsou stejné. Relativní chyba poskytuje informaci o přesnosti

Chyby měření

Podle povahy projevu a důvodů vzniku chyby ji lze podmíněně rozdělit do následujících tříd: instrumentální, systematické, náhodné a chybné (hrubé chyby).

Chyby jsou způsobeny buď špatnou funkcí zařízení, nebo porušením metodiky či experimentálních podmínek, nebo jsou subjektivní. V praxi jsou definovány jako výsledky, které se výrazně liší od ostatních. Pro odstranění jejich vzhledu je nutné dodržovat přesnost a důkladnost při práci s přístroji. Výsledky obsahující chyby musí být vyloučeny z posouzení (vyřazeny).

instrumentální chyby. Pokud je měřicí zařízení provozuschopné a seřízené, lze na něm měřit s omezenou přesností, danou typem zařízení. Je akceptováno, že instrumentální chyba ručkového nástroje se považuje za rovnou polovině nejmenšího dílku jeho stupnice. U přístrojů s digitálním odečtem se chyba přístroje rovná hodnotě jedné nejmenší číslice na stupnici přístroje.

Systematické chyby jsou chyby, jejichž velikost a znaménko jsou konstantní pro celou sérii měření prováděných stejnou metodou a za použití stejných měřicích přístrojů.

Při provádění měření je důležité nejen brát v úvahu systematické chyby, ale je nutné dosáhnout i jejich odstranění.

Systematické chyby jsou podmíněně rozděleny do čtyř skupin:

1) chyby, jejichž povaha je známa a jejich velikost lze poměrně přesně určit. Takovou chybou je např. změna naměřené hmotnosti ve vzduchu, která závisí na teplotě, vlhkosti, tlaku vzduchu apod.;

2) chyby, jejichž povaha je známa, ale velikost samotné chyby není známa. Mezi takové chyby patří chyby způsobené měřicím zařízením: nefunkčnost samotného zařízení, neshoda váhy s nulovou hodnotou, třída přesnosti tohoto zařízení;

3) chyby, o jejichž existenci nemusí být podezření, ale jejich rozsah může být často významný. K takovým chybám dochází nejčastěji u složitých měření. Jednoduchý příklad takové chyby je měření hustoty nějakého vzorku obsahujícího dutinu uvnitř;

4) chyby způsobené vlastnostmi samotného měřeného objektu. Například při měření elektrické vodivosti kovu se z kovu odebere kus drátu. Chyby mohou nastat, pokud je v materiálu jakákoliv vada - prasklina, ztluštění drátu nebo nehomogenita měnící jeho odpor.

Náhodné chyby jsou chyby, které se náhodně mění ve znaménku a velikosti za stejných podmínek pro opakovaná měření stejné veličiny.

Podobné informace.

Absolutní a relativní chyba se používá k vyhodnocení nepřesnosti ve výpočtech provedených s vysokou složitostí. Používají se také při různých měřeních a pro zaokrouhlování výsledků výpočtů. Zvažte, jak určit absolutní a relativní chybu.

Absolutní chyba

Absolutní chyba čísla pojmenujte rozdíl mezi tímto číslem a jeho přesnou hodnotou.
Zvažte příklad : Na škole studuje 374 studentů. Pokud je toto číslo zaokrouhleno na 400, pak je absolutní chyba měření 400-374=26.

Chcete-li vypočítat absolutní chybu, odečtěte menší číslo od většího čísla.

Existuje vzorec pro absolutní chybu. Přesné číslo označujeme písmenem A a písmenem a - přiblížení k přesnému číslu. Přibližné číslo je číslo, které se mírně liší od přesného čísla a obvykle ho ve výpočtech nahrazuje. Potom bude vzorec vypadat takto:

Δa=A-a. Jak najít absolutní chybu vzorcem, jsme diskutovali výše.

V praxi absolutní chyba k přesnému vyhodnocení měření nestačí. Jen zřídka je možné přesně znát hodnotu měřené veličiny pro výpočet absolutní chyby. Pokud naměříte knihu dlouhou 20 cm a povolíte chybu 1 cm, můžete měření odečíst s velkou chybou. Ale pokud při měření stěny 20 metrů došlo k chybě 1 cm, lze toto měření považovat za co nejpřesnější. Proto je v praxi důležitější stanovení relativní chyby měření.

Zaznamenejte absolutní chybu čísla pomocí znaménka ±. Například , délka role tapety je 30 m ± 3 cm Hranice absolutní chyby se nazývá mezní absolutní chyba.

Relativní chyba

Relativní chyba nazývaný poměr absolutní chyby čísla k číslu samotnému. Pro výpočet relativní chyby ve studentském příkladu vydělte 26 374. Dostaneme číslo 0,0695, převedeme ho na procenta a dostaneme 6 %. Relativní chyba se označuje v procentech, protože se jedná o bezrozměrnou veličinu. Relativní chyba je přesný odhad chyby měření. Pokud vezmeme absolutní chybu 1 cm při měření délky segmentů 10 cm a 10 m, pak relativní chyby budou 10 % a 0,1 %. U segmentu o délce 10 cm je chyba 1 cm velmi velká, jedná se o chybu 10 %. A u desetimetrového segmentu nezáleží na 1 cm, pouze na 0,1 %.

Existují systematické a náhodné chyby. Systematická chyba je chyba, která zůstává nezměněna během opakovaných měření. Náhodná chyba vzniká v důsledku vlivu vnějších faktorů na proces měření a může změnit její hodnotu.

Pravidla pro výpočet chyb

Existuje několik pravidel pro nominální odhad chyb:

při sčítání a odečítání čísel je nutné sčítat jejich absolutní chyby;
při dělení a násobení čísel je nutné sčítat relativní chyby;
při umocnění se relativní chyba násobí exponentem.

Přibližná a přesná čísla se zapisují pomocí desetinných zlomků. Vezme se pouze průměrná hodnota, protože přesná hodnota může být nekonečně dlouhá. Abyste pochopili, jak zapsat tato čísla, musíte se dozvědět o správných a pochybných číslech.

Skutečná čísla jsou ta čísla, jejichž číslice překračuje absolutní chybu čísla. Pokud je číslice číslice menší než absolutní chyba, nazývá se pochybná. Například , pro zlomek 3,6714 s chybou 0,002 budou správně čísla 3,6,7 a pochybná budou 1 a 4. V záznamu přibližného čísla jsou ponechána pouze správná čísla. Zlomek v tomto případě bude vypadat takto - 3,67.

Jeden z nejvíce důležité záležitosti v numerické analýze je otázkou, jak se chyba, která nastane na určitém místě v průběhu výpočtů, dále šíří, tedy zda se její vliv zvětšuje nebo zmenšuje při provádění následných operací. Extrémním případem je odečítání dvou téměř stejných čísel: i při velmi malých chybách v obou těchto číslech může být relativní chyba rozdílu velmi velká. Taková relativní chyba se bude dále šířit ve všech následujících aritmetických operacích.

Jedním ze zdrojů výpočetních chyb (chyb) je přibližná reprezentace reálných čísel v počítači, kvůli konečnosti bitové mřížky. Přestože jsou počáteční data prezentována v počítači s vysokou přesností, hromadění zaokrouhlovacích chyb v procesu počítání může vést k významné výsledné chybě a některé algoritmy se mohou ukázat jako zcela nevhodné pro skutečné výpočty na počítači. Můžete se dozvědět více o reprezentaci reálných čísel v počítači.

Propagace hmyzu

Jako první krok při řešení takového problému, jako je šíření chyb, je nutné najít výrazy pro absolutní a relativní chyby výsledku každé ze čtyř aritmetických operací jako funkci veličin zahrnutých v operaci a jejich chyb.

Absolutní chyba

Přidání

Existují dvě aproximace a ke dvěma veličinám a , stejně jako odpovídající absolutní chyby a . Pak v důsledku sčítání máme

Chyba součtu, kterou označíme , se bude rovnat

Odčítání

Stejným způsobem dostaneme

Násobení

Při vynásobení máme

Protože chyby jsou obvykle mnohem menší než samotné hodnoty, zanedbáváme součin chyb:

Chyba produktu bude

Divize

Tento výraz transformujeme do tvaru

Faktor v závorkách lze rozšířit do řady

Násobení a zanedbávání všech termínů, které obsahují součiny chyb nebo stupně chyb vyšší než první, máme

Proto,

Musí být jasné, že znak chyby je znám pouze ve velmi vzácných případech. Není skutečností, že například chyba roste se sčítáním a klesá s odečítáním, protože ve vzorci je plus pro sčítání a mínus pro odčítání. Pokud například chyby dvou čísel mají opačná znaménka, pak bude situace právě opačná, to znamená, že chyba se při sčítání zmenší a při odečtení těchto čísel se zvýší.

Relativní chyba

Jakmile jsme odvodili vzorce pro šíření absolutních chyb ve čtyřech aritmetických operacích, je docela snadné odvodit odpovídající vzorce pro relativní chyby. Pro sčítání a odčítání byly vzorce upraveny tak, aby explicitně zahrnovaly relativní chybu každého původního čísla.

Přidání

Odčítání

Násobení

Divize

Aritmetickou operaci zahájíme se dvěma přibližnými hodnotami a s odpovídajícími chybami a . Tyto chyby mohou být jakéhokoli původu. Hodnoty a mohou být experimentální výsledky obsahující chyby; mohou být výsledky předběžného výpočtu podle nějakého nekonečného procesu a mohou proto obsahovat chyby omezení; mohou být výsledkem předchozích aritmetických operací a mohou obsahovat zaokrouhlovací chyby. Samozřejmě mohou obsahovat i všechny tři typy chyb v různých kombinacích.

Výše uvedené vzorce poskytují výraz pro chybu výsledku každé ze čtyř aritmetických operací jako funkci ; zaokrouhlovací chyba v této aritmetické operaci while nebere se v úvahu. Pokud bude v budoucnu nutné vypočítat, jak se chyba tohoto výsledku šíří v následných aritmetických operacích, pak je nutné vypočítat chybu výsledku vypočítanou jedním ze čtyř vzorců samostatně přidat chybu zaokrouhlení.

Grafy výpočetních procesů

Nyní se podívejme na pohodlný způsob výpočtu šíření chyby v nějakém aritmetickém výpočtu. Za tímto účelem znázorníme posloupnost operací při výpočtu pomocí počet a koeficienty zapíšeme do blízkosti šipek grafu, což nám umožní poměrně snadno určit celkovou chybu konečného výsledku. Tato metoda je také výhodná v tom, že usnadňuje stanovení podílu jakékoli chyby, která vznikla v průběhu výpočtů, k celkové chybě.

Obr. 1. Výpočetní procesní graf

Na Obr. 1 je znázorněn graf výpočetního procesu. Graf by se měl číst zdola nahoru podle šipek. Nejprve se provádějí operace umístěné na nějaké horizontální úrovni, poté operace umístěné na více vysoká úroveň atd. Z obr. 1 je například zřejmé, že X A y nejprve sečteno a poté vynásobeno z. Graf zobrazený v Obr. 1, je pouze obrazem samotného výpočetního procesu. Pro výpočet celkové chyby výsledku je nutné tento graf doplnit koeficienty, které jsou zapsány u šipek podle následujících pravidel.

Přidání

Nechte dvě šipky, které vstupují do sčítacího kruhu, opustit dva kruhy s hodnotami a . Tyto veličiny mohou být jak počáteční, tak výsledky předchozích výpočtů. Potom šipka vedoucí od ke znaménku + v kruhu získá koeficient, zatímco šipka vedoucí od ke znaménku + v kruhu získá koeficient.

Odčítání

Pokud je operace provedena, pak odpovídající šipky obdrží koeficienty a .

Násobení

Obě šipky zahrnuté v kruhu násobení obdrží faktor +1.

Divize

Pokud se provede dělení, pak šipka od do zakroužkovaného lomítka získá faktor +1 a šipka od do zakroužkovaného lomítka získá faktor -1.

Význam všech těchto koeficientů je následující: relativní chyba výsledku libovolné operace (kruhu) je zahrnuta do výsledku další operace, vynásobená koeficienty šipky spojující tyto dvě operace.

Příklady

Obr.2. Graf výpočetního procesu pro sčítání a

Aplikujme nyní grafovou techniku na příklady a ilustrujme, co znamená šíření chyb v praktických výpočtech.

Příklad 1

Zvažte problém sečtení čtyř kladných čísel:

, .

Graf tohoto procesu je znázorněn v obr.2. Předpokládejme, že všechny počáteční hodnoty jsou zadané přesně a nemají žádné chyby, a nechť , a jsou relativní chyby zaokrouhlení po každé následné operaci sčítání. Postupná aplikace pravidla pro výpočet celkové chyby konečného výsledku vede ke vzorci

Snížením součtu v prvním členu a vynásobením celého výrazu dostaneme

Vzhledem k tomu, že chyba zaokrouhlení je (v tomto případě se předpokládá, že skutečné číslo v počítači je reprezentováno jako desetinný zlomek S t významná čísla), konečně máme

Absolutní a relativní chyby

Chyby, jako je průměr (J), odmocnina ( m), pravděpodobné ( r), true (D) a limit (D atd) jsou absolutní chyby. Vyjadřují se vždy v jednotkách měřené veličiny, tzn. mají stejný rozměr jako naměřená hodnota.
Často existují případy, kdy jsou objekty různých velikostí měřeny se stejnými absolutními chybami. Například průměr kvadratická chyba rozměry délky čáry: l 1 = 100 ma l 2 \u003d 1000 m, činilo m\u003d 5 cm. Vyvstává otázka: která čára byla změřena přesněji? Aby se předešlo nejistotě, přesnost měření řady veličin se odhaduje jako poměr absolutní chyba k hodnotě měřené veličiny. Výsledný poměr se nazývá relativní chyba, která se obvykle vyjadřuje jako zlomek s čitatelem rovným jedné.
Název absolutní chyby zároveň určuje název odpovídající relativní chyby měření [1].

Nechat X- výsledek měření nějaké hodnoty. Pak
- střední kvadratická relativní chyba;

Průměrná relativní chyba;

Pravděpodobná relativní chyba;

Skutečná relativní chyba;

Limitní relativní chyba.

Jmenovatel N relativní chyba musí být zaokrouhlena nahoru na dvě významné postavy s nulami:

mx= 0,3 m; X= 152,0 m;

mx= 0,25 m; X= 643,00 m; .

mx= 0,033 m; X= 795 000 m;

Jak je vidět z příkladu, čím větší je jmenovatel zlomku, tím přesnější jsou měření.

Chyby při zaokrouhlování

Při zpracování výsledků měření hrají důležitou roli zaokrouhlovací chyby, které lze svými vlastnostmi připsat náhodným veličinám [2]:

1) maximální chyba jednoho zaokrouhlení je 0,5 jednotky ponechaného znaménka;

2) zaokrouhlovací chyby větší i menší v absolutní hodnotě jsou stejně možné;
3) kladné i záporné zaokrouhlovací chyby jsou stejně možné;
4) matematické očekávání zaokrouhlovacích chyb je nulové.
Tyto vlastnosti umožňují přiřadit chyby zaokrouhlování náhodným proměnným, které mají rovnoměrné rozdělení. Spojitá náhodná veličina X má rovnoměrné rozložení na intervalu [ a, b], je-li hustota rozdělení náhodné veličiny na tomto intervalu konstantní, a mimo něj je rovna nule (obr. 2), tzn.

j (X) . (1.32)