Cramerova metoda pro figuríny - podrobné příklady řešení. Cramerova metoda řešení soustav lineárních rovnic

Cramerova metoda je založena na použití determinantů při řešení systémů lineární rovnice. To výrazně urychluje proces řešení.

Cramerovu metodu lze použít k řešení soustavy tolika lineárních rovnic, kolik je v každé rovnici neznámých. Pokud determinant systému není roven nule, pak lze v řešení použít Cramerovu metodu, ale pokud je roven nule, pak nikoli. Cramerovu metodu lze navíc použít k řešení soustav lineárních rovnic, které mají jedinečné řešení.

Definice. Determinant složený z koeficientů pro neznámé se nazývá determinant systému a označuje se (delta).

Determinanty

se získají nahrazením koeficientů odpovídajících neznámých volnými členy:

;

.

Cramerův teorém. Pokud je determinant systému nenulový, pak má systém lineárních rovnic jedno jedinečné řešení a neznámá je rovna poměru determinantů. Jmenovatel obsahuje determinant systému a čitatel obsahuje determinant získaný z determinantu systému nahrazením koeficientů této neznámé volnými členy. Tato věta platí pro soustavu lineárních rovnic libovolného řádu.

Příklad 1Řešte soustavu lineárních rovnic:

Podle Cramerův teorém máme:

Takže řešení systému (2):

online kalkulačka, Cramerova metoda řešení.

Tři případy při řešení soustav lineárních rovnic

Jak je zřejmé z Cramerův teorém, při řešení soustavy lineárních rovnic mohou nastat tři případy:

První případ: soustava lineárních rovnic má jedinečné řešení

(systém je konzistentní a jednoznačný)

Druhý případ: soustava lineárních rovnic má nekonečný počet řešení

(systém je konzistentní a nejistý)

** ,

těch. koeficienty neznámých a volných členů jsou úměrné.

Třetí případ: soustava lineárních rovnic nemá řešení

(systém je nekonzistentní)

Takže systém m lineární rovnice s n nazývané proměnné nespojující, pokud nemá jediné řešení, a spoj, pokud má alespoň jedno řešení. Současná soustava rovnic, která má pouze jedno řešení, se nazývá určitý a více než jeden – nejistý.

Příklady řešení soustav lineárních rovnic Cramerovou metodou

Nechť je daný systém

.

Na základě Cramerovy věty

………….
,

Kde
-

systémový determinant. Zbývající determinanty získáme nahrazením sloupce koeficienty odpovídající proměnné (neznámé) volnými členy:

Příklad 2

.

Proto je systém definitivní. Abychom našli jeho řešení, vypočítáme determinanty

Pomocí Cramerových vzorců zjistíme:

Takže (1; 0; -1) je jediné řešení systému.

Pro kontrolu řešení soustav rovnic 3 X 3 a 4 X 4 můžete použít online kalkulačku využívající Cramerovu metodu řešení.

Pokud v soustavě lineárních rovnic nejsou v jedné nebo více rovnicích žádné proměnné, pak v determinantu jsou odpovídající prvky rovny nule! Toto je další příklad.

Příklad 3 Vyřešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou:

.

Řešení. Najdeme determinant systému:

Pozorně si prohlédněte soustavu rovnic a determinant soustavy a zopakujte odpověď na otázku, ve kterých případech se jeden nebo více prvků determinantu rovná nule. Takže determinant není roven nule, proto je systém určitý. Abychom našli jeho řešení, vypočítáme determinanty pro neznámé

Pomocí Cramerových vzorců zjistíme:

Řešením systému je tedy (2; -1; 1).

Pro kontrolu řešení soustav rovnic 3 X 3 a 4 X 4 můžete použít online kalkulačku využívající Cramerovu metodu řešení.

Začátek stránky

Pokračujeme v řešení systémů Cramerovou metodou společně

Jak již bylo zmíněno, pokud je determinant systému roven nule a determinanty neznámých nejsou rovny nule, systém je nekonzistentní, to znamená, že nemá řešení. Ukažme si to na následujícím příkladu.

Příklad 6. Vyřešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou:

Řešení. Najdeme determinant systému:

Determinant systému je roven nule, proto je systém lineárních rovnic buď nekonzistentní a určitý, nebo nekonzistentní, to znamená, že nemá řešení. Pro upřesnění počítáme determinanty pro neznámé

Determinanty neznámých se nerovnají nule, proto je systém nekonzistentní, to znamená, že nemá řešení.

Pro kontrolu řešení soustav rovnic 3 X 3 a 4 X 4 můžete použít online kalkulačku využívající Cramerovu metodu řešení.

V úlohách týkajících se soustav lineárních rovnic jsou i takové, kde kromě písmen označujících proměnné existují i ​​jiná písmena. Tato písmena představují číslo, nejčastěji skutečné. V praxi jsou takové rovnice a soustavy rovnic vedeny k problémům hledání obecných vlastností libovolných jevů a objektů. To znamená, že jste nějaké vymysleli nový materiál nebo zařízení a k popisu jeho vlastností, které jsou běžné bez ohledu na velikost či počet instance, je potřeba vyřešit soustavu lineárních rovnic, kde jsou místo nějakých koeficientů pro proměnné písmena. Příklady nemusíte hledat daleko.

Následující příklad je pro podobný problém, jen se zvyšuje počet rovnic, proměnných a písmen označujících určité reálné číslo.

Příklad 8. Vyřešte soustavu lineárních rovnic Cramerovou metodou:

Řešení. Najdeme determinant systému:

Hledání determinantů pro neznámé

Cramerova metoda neboli tzv. Cramerovo pravidlo je metoda hledání neznámých veličin ze soustav rovnic. Lze jej použít pouze v případě, že počet hledaných hodnot je ekvivalentní číslu algebraické rovnice v systému, to znamená, že hlavní matice vytvořená ze systému musí být čtvercová a nesmí obsahovat nula řádků, a také pokud její determinant nesmí být nulový.

Věta 1

Cramerův teorém Pokud se hlavní determinant $D$ hlavní matice, sestavený na základě koeficientů rovnic, nerovná nule, pak je soustava rovnic konzistentní a má jedinečné řešení. Řešení takového systému se vypočítává pomocí tzv. Cramerových vzorců pro řešení soustav lineárních rovnic: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Co je Cramerova metoda?

Podstata Cramerovy metody je následující:

1. Abychom našli řešení systému pomocí Cramerovy metody, nejprve vypočteme hlavní determinant matice $D$. Když se vypočítaný determinant hlavní matice při výpočtu Cramerovou metodou rovná nule, pak systém nemá jediné řešení nebo má nekonečný počet řešení. V tomto případě se pro nalezení obecné nebo nějaké základní odpovědi pro systém doporučuje použít Gaussovu metodu.
2. Poté musíte vyměnit krajní sloupek hlavní matice do sloupce volných termínů a vypočítejte determinant $D_1$.
3. Opakujte totéž pro všechny sloupce a získáte determinanty od $D_1$ do $D_n$, kde $n$ je číslo sloupce zcela vpravo.
4. Po nalezení všech determinantů $D_1$...$D_n$ lze neznámé proměnné vypočítat pomocí vzorce $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Techniky výpočtu determinantu matice

K výpočtu determinantu matice s rozměrem větším než 2 x 2 můžete použít několik metod:

• Pravidlo trojúhelníků, neboli Sarrusovo pravidlo, připomínající stejné pravidlo. Podstata trojúhelníkové metody spočívá v tom, že při výpočtu determinantu se součiny všech čísel spojených na obrázku červenou čárou vpravo zapisují se znaménkem plus a všechna čísla jsou spojena podobným způsobem na obrázku vlevo. jsou psány se znaménkem mínus. Obě pravidla jsou vhodná pro matice velikosti 3 x 3. V případě Sarrusova pravidla se nejprve přepíše samotná matice a vedle ní se znovu přepíše její první a druhý sloupec. Diagonály se kreslí maticí a tyto další sloupce matice ležící na hlavní diagonále nebo rovnoběžně s ní se píší se znaménkem plus a prvky ležící na vedlejší diagonále nebo rovnoběžně s ní se píší se znaménkem mínus.

Obrázek 1. Trojúhelníkové pravidlo pro výpočet determinantu pro Cramerovu metodu

• Pomocí metody známé jako Gaussova metoda se tato metoda také někdy nazývá redukce řádu determinantu. V tomto případě je matice transformována a redukována na trojúhelníkový tvar a poté jsou vynásobena všechna čísla na hlavní diagonále. Je třeba si uvědomit, že při hledání determinantu tímto způsobem nemůžete násobit nebo dělit řádky nebo sloupce čísly, aniž byste je vyňali jako násobitel nebo dělitel. V případě hledání determinantu je možné pouze vzájemně odečítat a sčítat řádky a sloupce s tím, že se odečtený řádek předem vynásobí nenulovým faktorem. Také vždy, když měníte uspořádání řádků nebo sloupců matice, měli byste pamatovat na nutnost změnit konečné znaménko matice.
• Při řešení SLAE se 4 neznámými pomocí Cramerovy metody by bylo nejlepší použít k hledání a nalezení determinantů Gaussovu metodu nebo určit determinant hledáním nezletilých.

Řešení soustav rovnic Cramerovou metodou

Aplikujme Cramerovu metodu pro soustavu 2 rovnic a dvou požadovaných veličin:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Pro větší pohodlí si jej zobrazíme v rozšířené podobě:

$A = \begin(pole)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(pole)$

Pojďme najít determinant hlavní matice, nazývaný také hlavní determinant systému:

$D = \begin(pole)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(pole) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Pokud se hlavní determinant nerovná nule, pak pro vyřešení slough Cramerovou metodou je nutné vypočítat několik dalších determinantů ze dvou matic se sloupci hlavní matice nahrazenými řadou volných členů:

$D_1 = \begin(pole)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(pole) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(pole)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(pole) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Nyní najdeme neznámé $x_1$ a $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Příklad 1

Cramerova metoda pro řešení SLAE s hlavní maticí 3. řádu (3 x 3) a třemi požadovanými.

Řešte soustavu rovnic:

$\začátek(případů) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \konec (případů)$

Vypočítejme hlavní determinant matice pomocí pravidla uvedeného výše pod bodem číslo 1:

$D = \begin(pole)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(pole) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64 $

A nyní tři další determinanty:

$D_1 = \begin(pole)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(pole) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 USD

$D_2 = \begin(pole)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(pole) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \begin(pole)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(pole) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 USD

Najdeme požadované množství:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

2. Řešení soustav rovnic maticovou metodou (pomocí inverzní matice).
3. Gaussova metoda řešení soustav rovnic.

Cramerova metoda.

Cramerova metoda se používá k řešení soustav lineárních algebraických rovnic ( SLAU).

Vzorce na příkladu soustavy dvou rovnic se dvěma proměnnými.
Vzhledem k tomu: Systém řešte Cramerovou metodou

Ohledně proměnných X A na.
Řešení:
Najdeme determinant matice, složený z koeficientů soustavy Výpočet determinantů. :

Aplikujme Cramerovy vzorce a najdeme hodnoty proměnných:
A .
Příklad 1:
Řešte soustavu rovnic:

ohledně proměnných X A na.
Řešení:


Nahradíme první sloupec v tomto determinantu sloupcem koeficientů z pravé strany systému a zjistíme jeho hodnotu:

Udělejme podobnou věc a nahradíme druhý sloupec v prvním determinantu:

Použitelné Cramerovy vzorce a najděte hodnoty proměnných:
A .
Odpověď:
Komentář: Touto metodou lze řešit systémy vyšších dimenzí.

Komentář: Pokud se ukáže, že , ale nelze je vydělit nulou, pak říkají, že systém nemá jedinečné řešení. V tomto případě má systém buď nekonečně mnoho řešení, nebo nemá žádná řešení.

Příklad 2(nekonečné množství řešení):

Řešte soustavu rovnic:

ohledně proměnných X A na.
Řešení:
Najděte determinant matice složený z koeficientů systému:

Řešení systémů substituční metodou.

První z rovnic systému je rovnost, která platí pro všechny hodnoty proměnných (protože 4 se vždy rovná 4). To znamená, že zbývá pouze jedna rovnice. Toto je rovnice pro vztah mezi proměnnými.
Zjistili jsme, že řešením systému je libovolná dvojice hodnot proměnných souvisejících navzájem rovností.
Obecné řešení bude napsáno takto:
Konkrétní řešení lze určit volbou libovolné hodnoty y a výpočtem x pomocí této rovnosti spojení.

atd.
Takových řešení je nekonečně mnoho.
Odpověď: obecné řešení
Soukromá řešení:

Příklad 3(žádná řešení, systém je nekompatibilní):

Řešte soustavu rovnic:

Řešení:
Najděte determinant matice složený z koeficientů systému:

Cramerovy vzorce nelze použít. Vyřešme tento systém pomocí substituční metody

Druhá rovnice systému je rovnost, která neplatí pro žádné hodnoty proměnných (samozřejmě, protože -15 se nerovná 2). Pokud jedna z rovnic systému neplatí pro žádné hodnoty proměnných, pak celý systém nemá řešení.
Odpověď:žádná řešení

Při stejném počtu rovnic jako je počet neznámých s hlavním determinantem matice, který není roven nule, koeficienty soustavy (pro takové rovnice existuje řešení a je pouze jedno).

Cramerův teorém.

Když je determinant matice čtvercové soustavy nenulový, znamená to, že soustava je konzistentní a má jedno řešení a lze jej nalézt pomocí Cramerovy vzorce:

kde Δ - determinant matice systému,

Δ i je determinant systémové matice, ve které místo toho i tý sloupec obsahuje sloupec pravých stran.

Když je determinant systému nula, znamená to, že se systém může stát kooperativním nebo nekompatibilním.

Tato metoda se obvykle používá pro malé systémy s velkými výpočty a pokud je nutné určit jednu z neznámých. Složitost metody spočívá v tom, že je třeba vypočítat mnoho determinantů.

Popis Cramerovy metody.

Existuje soustava rovnic:

Systém 3 rovnic lze řešit pomocí Cramerovy metody, která byla diskutována výše pro systém 2 rovnic.

Z koeficientů neznámých poskládáme determinant:

bude systémový determinant. Když D≠0, což znamená, že systém je konzistentní. Nyní vytvoříme 3 další determinanty:

,,

Řešíme systém tím Cramerovy vzorce:

Příklady řešení soustav rovnic Cramerovou metodou.

Příklad 1.

Daný systém:

Pojďme to vyřešit pomocí Cramerovy metody.

Nejprve musíte vypočítat determinant matice systému:

Protože Δ≠0, což znamená, že z Cramerovy věty je systém konzistentní a má jedno řešení. Vypočítáme další determinanty. Determinant Δ 1 se získá z determinantu Δ a jeho první sloupec se nahradí sloupcem volných koeficientů. Dostáváme:

Stejným způsobem získáme determinant Δ 2 z determinantu systémové matice nahrazením druhého sloupce sloupcem volných koeficientů:

Nechť soustava lineárních rovnic obsahuje tolik rovnic, kolik je nezávisle proměnných, tzn. vypadá jako

Takové soustavy lineárních rovnic se nazývají kvadratické. Determinant, složený z koeficientů pro nezávislé proměnné systému (1.5), se nazývá hlavní determinant systému. Označíme to Řecké písmeno D. Takže

. (1.6)

Pokud hlavní determinant obsahuje libovolný ( j th) sloupec, nahraďte sloupcem volných podmínek systému (1.5), pak můžete získat n pomocné kvalifikace:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravidlořešení kvadratických soustav lineárních rovnic je následující. Pokud je hlavní determinant D systému (1.5) jiný než nula, pak má systém jedinečné řešení, které lze nalézt pomocí vzorců:

(1.8)

Příklad 1.5.Řešte soustavu rovnic Cramerovou metodou

.

Vypočítejme hlavní determinant systému:

Od D¹0 má systém jedinečné řešení, které lze nalézt pomocí vzorců (1.8):

Tedy,

Akce na matrice

1. Násobení matice číslem. Operace násobení matice číslem je definována následovně.

2. Abyste mohli matici vynásobit číslem, musíte tímto číslem vynásobit všechny její prvky. To znamená

. (1.9)

Příklad 1.6. .

Přidání matice.

Tato operace je zavedena pouze pro matice stejného řádu.

Aby bylo možné přidat dvě matice, je nutné přidat odpovídající prvky jiné matice k prvkům jedné matice:

(1.10)
Operace sčítání matic má vlastnosti asociativnosti a komutativnosti.

Příklad 1.7. .

Maticové násobení.

Pokud počet sloupců matice A se shoduje s počtem řádků matice V, pak pro takové matice je zavedena operace násobení:

2

Tedy při násobení matice A rozměry m´ n do matice V rozměry n´ k dostaneme matrici S rozměry m´ k. V tomto případě prvky matice S se počítají pomocí následujících vzorců:

Problém 1.8. Najděte, pokud je to možné, součin matic AB A B.A.:

Řešení. 1) Abychom našli práci AB, potřebujete řádky matice A vynásobte sloupci matice B:

2) Práce B.A. neexistuje, protože počet sloupců matice B neodpovídá počtu řádků matice A.

Inverzní matice. Řešení soustav lineárních rovnic maticovou metodou

Matice A- 1 se nazývá inverzní matice čtvercové A, pokud je splněna rovnost:

kam skrz já označuje matici identity stejného řádu jako matice A:

.

Aby čtvercová matice měla inverzi, je nutné a postačující, aby její determinant byl odlišný od nuly. Inverzní matici lze nalézt pomocí vzorce:

, (1.13)

Kde A ij- algebraické sčítání prvků a ij matrice A(všimněte si, že algebraické sčítání do řádků matice A jsou umístěny v inverzní matici ve formě odpovídajících sloupců).

Příklad 1.9. Najděte inverzní matici A- 1 do matice

.

Inverzní matici najdeme pomocí vzorce (1.13), který pro případ n= 3 má tvar:

.

Pojďme najít det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Protože determinant původní matice je nenulový, existuje inverzní matice.

1) Najděte algebraické doplňky A ij:

Pro snadné umístění inverzní matice, umístili jsme algebraické doplňky do řádků původní matice do odpovídajících sloupců.

Ze získaných algebraických sčítání sestavíme novou matici a vydělíme ji determinantem det A. Dostaneme tedy inverzní matici:

Kvadratické soustavy lineárních rovnic s nenulovým hlavním determinantem lze řešit pomocí inverzní matice. K tomu je systém (1.5) zapsán v maticové formě:

Kde

Vynásobení obou stran rovnosti (1,14) zleva A- 1, dostaneme řešení systému:

, kde

Abyste tedy našli řešení čtvercové soustavy, musíte najít inverzní matici hlavní matice soustavy a vynásobit ji vpravo sloupcovou maticí volných členů.

Problém 1.10.Řešte soustavu lineárních rovnic

pomocí inverzní matice.

Řešení. Zapišme systém v maticovém tvaru: ,

Kde - hlavní matice systému, - sloupec neznámých a - sloupec volných členů. Protože hlavní determinant systému , pak hlavní matice systému A má inverzní matici A-1. Najít inverzní matici A-1 , vypočítáme algebraické doplňky ke všem prvkům matice A:

Ze získaných čísel sestavíme matici (a algebraické doplňky do řádků matice A napište to do příslušných sloupců) a vydělte determinantem D. Našli jsme tedy inverzní matici:

Řešení soustavy najdeme pomocí vzorce (1.15):

Tedy,

Řešení soustav lineárních rovnic pomocí obyčejné Jordanovy eliminační metody

Nechť je dán libovolný (ne nutně kvadratický) systém lineárních rovnic:

(1.16)

Je potřeba najít řešení systému, tzn. taková množina proměnných, která splňuje všechny rovnosti systému (1.16). V obecný případ systém (1.16) může mít nejen jedno řešení, ale i nespočet řešení. Také to nemusí mít vůbec žádná řešení.

Při řešení takových úloh se používá známá metoda školního kurzu eliminace neznámých, které se také říká obyčejná Jordanova eliminační metoda. Podstatou této metody je, že v jedné z rovnic soustavy (1.16) je jedna z proměnných vyjádřena pomocí jiných proměnných. Tato proměnná je pak dosazena do jiných rovnic v systému. Výsledkem je systém obsahující o jednu rovnici a proměnnou méně než původní systém. Zapamatuje se rovnice, ze které byla proměnná vyjádřena.

Tento proces se opakuje, dokud v systému nezůstane poslední rovnice. Procesem eliminace neznámých se některé rovnice mohou stát skutečnými identitami, např. Takové rovnice jsou ze systému vyloučeny, protože jsou splněny pro jakékoli hodnoty proměnných, a proto neovlivňují řešení systému. Pokud se v procesu eliminace neznámých stane alespoň jedna rovnice rovností, která nemůže být splněna pro žádné hodnoty proměnných (například), docházíme k závěru, že systém nemá řešení.

Pokud při řešení nevzniknou žádné protichůdné rovnice, pak se jedna ze zbývajících proměnných v něm zjistí z poslední rovnice. Pokud v poslední rovnici zbývá pouze jedna proměnná, pak je vyjádřena jako číslo. Pokud v poslední rovnici zůstanou další proměnné, pak jsou považovány za parametry a proměnná vyjádřená prostřednictvím nich bude funkcí těchto parametrů. Poté dojde k tzv. „reverznímu pohybu“. Nalezená proměnná je dosazena do poslední zapamatované rovnice a je nalezena druhá proměnná. Poté jsou dvě nalezené proměnné dosazeny do předposlední zapamatované rovnice a je nalezena třetí proměnná a tak dále, až k první zapamatované rovnici.

V důsledku toho získáme řešení systému. Toto řešení bude jedinečné, pokud jsou nalezené proměnné čísla. Pokud na parametrech závisí první nalezená proměnná a poté všechny ostatní, pak bude mít systém nekonečný počet řešení (každá sada parametrů odpovídá novému řešení). Vzorce, které umožňují najít řešení systému v závislosti na konkrétní sadě parametrů, se nazývají obecné řešení systému.

Příklad 1.11.

x

Po zapamatování první rovnice a uvedením podobných členů do druhé a třetí rovnice dospějeme k systému:

Pojďme se vyjádřit y z druhé rovnice a dosaďte ji do rovnice první:

Zapamatujme si druhou rovnici a z první najdeme z:

Když pracujeme pozpátku, důsledně nacházíme y A z. K tomu nejprve dosadíme do poslední zapamatované rovnice, odkud najdeme y:

.

Pak ji dosadíme do první zapamatované rovnice kde to najdeme x:

Problém 1.12. Vyřešte soustavu lineárních rovnic eliminací neznámých:

. (1.17)

Řešení. Vyjádřeme proměnnou z první rovnice x a dosaďte jej do druhé a třetí rovnice:

.

Vzpomeňme na první rovnici

V tomto systému si první a druhá rovnice odporují. Opravdu, vyjadřující y , dostaneme, že 14 = 17. Tato rovnost neplatí pro žádné hodnoty proměnných x, y, A z. V důsledku toho je systém (1.17) nekonzistentní, tzn. nemá řešení.

Vyzýváme čtenáře, aby si sami ověřili, že hlavní determinant původního systému (1.17) je roven nule.

Uvažujme systém, který se od systému (1.17) liší pouze jedním volným členem.

Problém 1.13. Vyřešte soustavu lineárních rovnic eliminací neznámých:

. (1.18)

Řešení. Stejně jako dříve vyjádříme proměnnou z první rovnice x a dosaďte jej do druhé a třetí rovnice:

.

Vzpomeňme na první rovnici a prezentovat podobné členy ve druhé a třetí rovnici. Dostáváme se k systému:

Vyjadřování y z první rovnice a její dosazení do druhé rovnice , dostaneme identitu 14 = 14, která nemá vliv na řešení systému, a proto může být ze systému vyloučena.

V poslední vzpomínané rovnosti proměnná z budeme to považovat za parametr. věříme. Pak

Pojďme nahradit y A z do první vzpomínané rovnosti a najít x:

.

Systém (1.18) má tedy nekonečný počet řešení a libovolné řešení lze nalézt pomocí vzorců (1.19), přičemž zvolíme libovolnou hodnotu parametru t:

(1.19)
Takže řešeními soustavy jsou např. následující množiny proměnných (1; 2; 0), (2; 26; 14) atd. Vzorce (1.19) vyjadřují obecné (libovolné) řešení soustavy (1.18 ).

V případě, že původní systém (1.16) má dostatečné velký počet rovnic a neznámých se naznačená metoda obyčejné Jordanovy eliminace zdá těžkopádná. To však není pravda. Stačí v jednom kroku odvodit algoritmus pro přepočet systémových koeficientů celkový pohled a formulovat řešení problému ve formě speciálních Jordanových tabulek.

Nechť je dána soustava lineárních forem (rovnic):

, (1.20)
Kde x j- nezávislé (hledané) proměnné, a ij- konstantní kurzy
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Pravé části systému y i (i = 1, 2,…, m) mohou být buď proměnné (závislé) nebo konstanty. Je nutné najít řešení tohoto systému odstraněním neznámých.

Podívejme se na následující operaci, dále nazývanou „jeden krok běžných Jordanových eliminací“. Z libovolného ( r th) rovnost vyjadřujeme libovolnou proměnnou ( xs) a dosadit do všech ostatních rovností. To je samozřejmě možné pouze v případě a rs¹ 0. Koeficient a rs nazývaný rozlišovací (někdy vodící nebo hlavní) prvek.

Získáme následující systém:

. (1.21)

Z s- rovnost systému (1.21), následně najdeme proměnnou xs(po nalezení zbývajících proměnných). S-tý řádek je zapamatován a následně vyloučen ze systému. Zbývající systém bude obsahovat o jednu rovnici a o jednu nezávislou proměnnou méně než původní systém.

Vypočítejme koeficienty výsledné soustavy (1.21) přes koeficienty původní soustavy (1.20). Začněme s r rovnice, která po vyjádření proměnné xs přes zbývající proměnné to bude vypadat takto:

Tedy nové koeficienty r rovnice se počítají pomocí následujících vzorců:

(1.23)
Nyní spočítáme nové koeficienty b ij(i¹ r) libovolná rovnice. K tomu dosadíme proměnnou vyjádřenou v (1.22) xs PROTI i rovnice soustavy (1.20):

Po uvedení podobných podmínek dostaneme:

(1.24)
Z rovnosti (1.24) získáme vzorce, podle kterých se vypočítávají zbývající koeficienty soustavy (1.21) (s výjimkou r rovnice):

(1.25)
Transformace soustav lineárních rovnic metodou obyčejné Jordanovy eliminace je prezentována ve formě tabulek (matic). Tyto tabulky se nazývají „Jordan tables“.

Problém (1.20) je tedy spojen s následující Jordanovou tabulkou:

Tabulka 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	A 11	A 12		A 1j		A 1s		A 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a je		v
…………………………………………………………………..
r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		paní		a mn

Jordan tabulka 1.1 obsahuje levý sloupec záhlaví, do kterého jsou zapsány pravé části systému (1.20) a horní řádek záhlaví, do kterého jsou zapsány nezávislé proměnné.

Zbývající prvky tabulky tvoří hlavní matici koeficientů systému (1.20). Pokud vynásobíte matici A k matici sestávající z prvků horního titulkového řádku získáte matici skládající se z prvků levého titulního sloupce. To znamená, že Jordanova tabulka je v podstatě maticová forma zápisu systému lineárních rovnic: . Systém (1.21) odpovídá následující Jordan tabulce:

Tabulka 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b v
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Permisivní prvek a rs Zvýrazníme je tučně. Připomeňme, že k provedení jednoho kroku eliminace Jordana musí být rozlišovací prvek nenulový. Řádek tabulky obsahující povolovací prvek se nazývá povolovací řádek. Sloupec obsahující prvek enable se nazývá sloupec povolení. Při přechodu z dané tabulky do další tabulky se jedna proměnná ( xs) z horního řádku záhlaví tabulky se přesune do levého sloupce záhlaví a naopak jeden z volných členů systému ( r) se přesune z levého záhlaví tabulky do horního řádku záhlaví.

Popišme si algoritmus pro přepočet koeficientů při přechodu z Jordanovy tabulky (1.1) do tabulky (1.2), který vyplývá ze vzorců (1.23) a (1.25).

1. Rozlišovací prvek je nahrazen inverzním číslem:

2. Zbývající prvky rozlišovacího řetězce se rozdělí na rozlišovací prvek a změní znaménko na opačné:

3. Zbývající prvky sloupce rozlišení jsou rozděleny na prvek rozlišení:

4. Prvky, které nejsou zahrnuty v povolovacím řádku a povolovacím sloupci, se přepočítají pomocí vzorců:

Poslední vzorec je snadno zapamatovatelný, pokud si všimnete prvků, které tvoří zlomek , jsou na křižovatce i- oh a rřádky a jčt a s sloupce (rozlišovací řádek, rozlišovací sloupec a řádek a sloupec, na jejichž průsečíku se přepočítávaný prvek nachází). Přesněji při zapamatování vzorce můžete použít následující schéma:

-21 -26 -13 -37

Při provádění prvního kroku Jordanových výjimek můžete jako rozlišovací prvek vybrat libovolný prvek tabulky 1.3 umístěný ve sloupcích x 1 ,…, x 5 (všechny uvedené prvky nejsou nulové). Jen nevybírejte aktivační prvek v posledním sloupci, protože musíte najít nezávislé proměnné x 1 ,…, x 5. Například zvolíme koeficient 1 s proměnnou x 3 ve třetím řádku tabulky 1.3 (povolovací prvek je zobrazen tučně). Při přechodu do tabulky 1.4 se proměnná x 3 z horního řádku záhlaví se zamění za konstantu 0 levého sloupce záhlaví (třetí řádek). V tomto případě proměnná x 3 je vyjádřena prostřednictvím zbývajících proměnných.

Řetězec x 3 (tabulka 1.4) lze po předchozím zapamatování z tabulky 1.4 vyloučit. Třetí sloupec s nulou v horním řádku nadpisu je rovněž vyloučen z tabulky 1.4. Jde o to, že bez ohledu na šance tohoto sloupce b i 3 všechny odpovídající členy každé rovnice 0 b i 3 systémy se budou rovnat nule. Tyto koeficienty tedy není nutné počítat. Eliminace jedné proměnné x 3 a zapamatováním jedné z rovnic dospějeme k soustavě odpovídající tabulce 1.4 (s přeškrtnutou čarou x 3). Výběr v tabulce 1.4 jako rozlišovací prvek b 14 = -5, přejděte k tabulce 1.5. V tabulce 1.5 si zapamatujte první řádek a vylučte jej z tabulky spolu se čtvrtým sloupcem (s nulou nahoře).

Tabulka 1.5 Tabulka 1.6

Z poslední tabulky 1.7 najdeme: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Důsledným dosazováním již nalezených proměnných do zapamatovaných řádků najdeme zbývající proměnné:

Systém má tedy nekonečně mnoho řešení. Variabilní x 5, lze přiřadit libovolné hodnoty. Tato proměnná funguje jako parametr x 5 = t. Prokázali jsme kompatibilitu systému a našli jeho obecné řešení:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Uvedení parametru t různé významy, získáme nekonečné množství řešení původní soustavy. Takže například řešením systému je následující sada proměnných (- 3; - 1; - 2; 4; 0).