Základní soustava řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. Jak najít netriviální a fundamentální řešení soustavy lineárních homogenních rovnic

Řešení lineárních soustav algebraické rovnice(SLAE) je bezpochyby nejdůležitějším tématem kurzu lineární algebry. Obrovské množství problémů ze všech odvětví matematiky se redukuje na systémy řešení lineární rovnice. Tyto faktory vysvětlují důvod vytvoření tohoto článku. Materiál článku je vybrán a strukturován tak, abyste s jeho pomocí mohli

• vyzvednout nejlepší metodařešení vašeho systému lineárních algebraických rovnic,
• studovat teorii zvolené metody,
• vyřešte svůj systém lineárních rovnic s podrobným zvážením řešení typických příkladů a problémů.

Stručný popis materiálu článku.

Nejprve uvedeme všechny potřebné definice, pojmy a zavedeme nějakou notaci.

Dále uvažujeme metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, ve kterých je počet rovnic roven počtu neznámých proměnných a které mají jednoznačné řešení. Za prvé se zaměříme na Cramerovu metodu, za druhé si ukážeme maticovou metodu řešení takových soustav rovnic, za třetí si rozebereme Gaussovu metodu (metoda sekvenční vyloučení neznámé proměnné). Pro upevnění teorie určitě vyřešíme několik SLAE různými způsoby.

Poté přejdeme k řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecný pohled, ve kterém se počet rovnic neshoduje s počtem neznámých proměnných nebo je hlavní matice systému degenerovaná. Formulujeme Kronecker-Capelliho teorém, který nám umožňuje stanovit kompatibilitu SLAE. Analyzujme řešení systémů (v případě jejich kompatibility) pomocí konceptu minoritní báze matice. Zvážíme také Gaussovu metodu a podrobně popíšeme řešení příkladů.

Ujistěte se, že se zastavíte na struktuře obecného řešení homogenního a nehomogenního homogenní systémy lineární algebraické rovnice. Uveďme koncept fundamentálního systému řešení a ukažme, jak se obecné řešení SLAE zapisuje pomocí vektorů fundamentálního systému řešení. Pro lepší pochopení se podívejme na pár příkladů.

Na závěr uvažujeme soustavy rovnic, které jsou redukovány na lineární, a také různé problémy, při jejichž řešení vznikají SLAE.

Navigace na stránce.

Definice, pojmy, označení.

Budeme uvažovat soustavy p lineárních algebraických rovnic s n neznámými proměnnými (p se může rovnat n ) tvaru

Neznámé proměnné, - koeficienty (některé reálné popř komplexní čísla), - volné členy (také reálná nebo komplexní čísla).

Tato forma SLAE se nazývá koordinovat.

NA matricový formulář tato soustava rovnic má tvar
kde - hlavní matice systému, - maticový sloupec neznámých proměnných, - maticový sloupec volných členů.

Přidáme-li k matici A jako (n + 1)-tý sloupec matici-sloupec volných členů, dostaneme tzv. rozšířená matrice soustav lineárních rovnic. Obvykle je rozšířená matice označena písmenem T a sloupec volných členů je oddělen svislou čarou od zbytku sloupců, tj.

Řešením soustavy lineárních algebraických rovnic nazvaný soubor hodnot neznámých proměnných, který promění všechny rovnice systému na identity. Maticová rovnice pro dané hodnoty neznámých proměnných se také změní v identitu.

Pokud má soustava rovnic alespoň jedno řešení, pak se nazývá kloub.

Pokud soustava rovnic nemá řešení, pak se nazývá nekompatibilní.

Pokud má SLAE jedinečné řešení, pak se nazývá určitý; pokud existuje více než jedno řešení, pak - nejistý.

Jsou-li volné členy všech rovnic soustavy rovny nule , pak je zavolán systém homogenní, v opačném případě - heterogenní.

Řešení elementárních soustav lineárních algebraických rovnic.

Pokud se počet systémových rovnic rovná počtu neznámých proměnných a determinant jeho hlavní matice není roven nule, budeme takové SLAE nazývat základní. Takové soustavy rovnic mají jedinečné řešení a v případě homogenní soustavy jsou všechny neznámé proměnné rovny nule.

Takové SLAE jsme začali studovat na střední škole. Při jejich řešení jsme vzali jednu rovnici, vyjádřili jednu neznámou proměnnou jinými a dosadili ji do zbývajících rovnic, pak vzali další rovnici, vyjádřili další neznámou proměnnou a dosadili ji do jiných rovnic a tak dále. Nebo použili metodu sčítání, to znamená, že přidali dvě nebo více rovnic, aby odstranili nějaké neznámé proměnné. Těmito metodami se nebudeme podrobně zabývat, protože jde v podstatě o modifikace Gaussovy metody.

Hlavními metodami řešení elementárních soustav lineárních rovnic jsou Cramerova metoda, maticová metoda a Gaussova metoda. Pojďme je roztřídit.

Řešení soustav lineárních rovnic Cramerovou metodou.

Potřebujeme vyřešit soustavu lineárních algebraických rovnic

ve kterém je počet rovnic roven počtu neznámých proměnných a determinant hlavní matice systému je odlišný od nuly, tedy .

Nechť je determinant hlavní matice systému a jsou determinanty matic, které se získají z A nahrazením 1., 2., …, n sloupec respektive sloupec volných členů:

Při takovém zápisu se neznámé proměnné počítají pomocí vzorců Cramerovy metody as . Takto se nalézá řešení soustavy lineárních algebraických rovnic Cramerovou metodou.

Příklad.

Cramerova metoda .

Rozhodnutí.

Hlavní matice systému má tvar . Vypočítejte jeho determinant (pokud je to nutné, viz článek):

Protože determinant hlavní matice systému je nenulový, má systém jedinečné řešení, které lze nalézt Cramerovou metodou.

Sestavte a vypočítejte potřebné determinanty (determinant se získá nahrazením prvního sloupce v matici A sloupcem volných členů, determinant - nahrazením druhého sloupce sloupcem volných členů, - nahrazením třetího sloupce matice A sloupcem volných členů ):

Hledání neznámých proměnných pomocí vzorců :

Odpovědět:

Hlavní nevýhodou Cramerovy metody (pokud ji lze nazvat nevýhodou) je složitost výpočtu determinantů při počtu rovnic soustavy větším než tři.

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic maticovou metodou (pomocí inverzní matice).

Nechť je soustava lineárních algebraických rovnic uvedena v maticovém tvaru , kde matice A má rozměr n x n a její determinant je nenulový.

Protože , pak je matice A invertibilní, to znamená, že existuje inverzní matice . Pokud obě části rovnosti vynásobíme vlevo, dostaneme vzorec pro nalezení sloupcové matice neznámých proměnných. Tak jsme dostali řešení soustavy lineárních algebraických rovnic maticová metoda.

Příklad.

Řešte soustavu lineárních rovnic maticová metoda.

Rozhodnutí.

Přepišme soustavu rovnic do maticového tvaru:

Tak jako

pak lze SLAE řešit maticovou metodou. Používáním inverzní maticeřešení tohoto systému lze nalézt jako .

Sestavme inverzní matici pomocí matice algebraických doplňků prvků matice A (pokud je to nutné, viz článek):

Zbývá vypočítat - matici neznámých proměnných vynásobením inverzní matice na matici-sloupci volných členů (v případě potřeby viz článek):

Odpovědět:

nebo v jiném zápisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavním problémem při hledání řešení soustav lineárních algebraických rovnic maticovou metodou je složitost hledání inverzní matice, zejména pro čtvercové matice vyššího než třetího řádu.

Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou metodou.

Předpokládejme, že potřebujeme najít řešení systému n lineárních rovnic s n neznámými proměnnými
determinant hlavní matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovy metody spočívá v postupném vyloučení neznámých proměnných: nejprve je x 1 vyloučeno ze všech rovnic systému, počínaje druhou, pak x 2 je vyloučeno ze všech rovnic, počínaje třetí, a tak dále, dokud pouze neznámá proměnná x n zůstává v poslední rovnici. Takový proces transformace rovnic systému pro postupnou eliminaci neznámých proměnných se nazývá přímou Gaussovou metodou. Po dokončení dopředného běhu Gaussovy metody se z poslední rovnice zjistí x n, pomocí této hodnoty se z předposlední rovnice vypočítá x n-1 atd., z první rovnice se zjistí x 1. Proces výpočtu neznámých proměnných při přechodu od poslední rovnice systému k první se nazývá reverzní Gaussova metoda.

Pojďme si stručně popsat algoritmus pro eliminaci neznámých proměnných.

Budeme předpokládat, že , protože toho můžeme vždy dosáhnout přeskupením rovnic soustavy. Neznámou proměnnou x 1 vyloučíme ze všech rovnic soustavy, počínaje druhou. Chcete-li to provést, přidejte první rovnici vynásobenou ke druhé rovnici systému, přidejte první vynásobenou ke třetí rovnici a tak dále, přidejte první vynásobenou k n-té rovnici. Systém rovnic po takových transformacích nabude tvaru

kde .

Ke stejnému výsledku bychom došli, kdybychom x 1 vyjádřili pomocí jiných neznámých proměnných v první rovnici soustavy a výsledný výraz dosadili do všech ostatních rovnic. Proměnná x 1 je tedy vyloučena ze všech rovnic, počínaje druhou.

Dále postupujeme podobně, ale pouze s částí výsledného systému, která je vyznačena na obrázku

Chcete-li to provést, přidejte druhý vynásobený ke třetí rovnici systému, přidejte druhý vynásobený ke čtvrté rovnici a tak dále, přidejte druhý vynásobený k n-té rovnici. Systém rovnic po takových transformacích nabude tvaru

kde . Proměnná x 2 je tedy vyloučena ze všech rovnic, počínaje třetí.

Dále přistoupíme k eliminaci neznámé x 3, přičemž postupujeme obdobně s částí systému vyznačenou na obrázku

Pokračujeme tedy v přímém průběhu Gaussovy metody, dokud systém nezíská formu

Od tohoto okamžiku začínáme obrácený průběh Gaussovy metody: x n vypočítáme z poslední rovnice jako , pomocí získané hodnoty x n zjistíme x n-1 z předposlední rovnice a tak dále, zjistíme x 1 z první rovnice.

Příklad.

Řešte soustavu lineárních rovnic Gaussova metoda.

Rozhodnutí.

Vynechme neznámou proměnnou x 1 z druhé a třetí rovnice soustavy. Za tímto účelem k oběma částem druhé a třetí rovnice přidáme odpovídající části první rovnice, vynásobené respektive:

Nyní odstraníme x 2 ze třetí rovnice přidáním k jejímu levému a pravé části levá a pravá strana druhé rovnice, vynásobené:

Tím je dopředný průběh Gaussovy metody dokončen, začínáme zpětný průběh.

Z poslední rovnice výsledné soustavy rovnic zjistíme x 3:

Z druhé rovnice dostaneme .

Z první rovnice najdeme zbývající neznámou proměnnou a tím je dokončen opačný průběh Gaussovy metody.

Odpovědět:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecného tvaru.

NA obecný případ počet systémových rovnic p neodpovídá počtu neznámých proměnných n:

Takové SLAE nemusí mít žádná řešení, mít jediné řešení nebo mít nekonečně mnoho řešení. Toto tvrzení platí také pro soustavy rovnic, jejichž hlavní matice je čtvercová a degenerovaná.

Kronecker-Capelliho věta.

Před nalezením řešení soustavy lineárních rovnic je nutné zjistit její kompatibilitu. Odpověď na otázku, kdy je SLAE kompatibilní a kdy nekompatibilní, dává Kroneckerova-Capelliho věta:
aby soustava p rovnic s n neznámými (p se může rovnat n) byla konzistentní, je nutné a postačující, aby hodnost hlavní matice soustavy byla rovna hodnosti rozšířená matice, tj. Rank(A)=Rank(T) .

Uvažujme jako příklad aplikaci Kronecker-Cappelliho věty pro stanovení kompatibility soustavy lineárních rovnic.

Příklad.

Zjistěte, zda má soustava lineárních rovnic řešení.

Rozhodnutí.

. Použijme metodu ohraničení nezletilých. Minor druhého řádu odlišný od nuly. Pojďme se podívat na nezletilé třetího řádu, které to obklopují:

Protože všechny hraničící nezletilé třetího řádu jsou rovny nule, hodnost hlavní matice je dvě.

Na druhé straně hodnost rozšířené matice je roven třem, protože moll třetího řádu

odlišný od nuly.

Takto, Rang(A) , tedy podle Kronecker-Capelliho věty můžeme dojít k závěru, že původní systém lineárních rovnic je nekonzistentní.

Odpovědět:

Neexistuje žádný systém řešení.

Naučili jsme se tedy stanovit nekonzistenci systému pomocí Kronecker-Capelliho teorému.

Jak ale najít řešení SLAE, pokud je prokázána jeho kompatibilita?

K tomu potřebujeme pojem menší báze matice a větu o hodnosti matice.

Méně důležitý nejvyššího řádu nazývá se matice A, která je nenulová základní.

Z definice základu minor vyplývá, že jeho pořadí se rovná hodnosti matice. Pro nenulovou matici A může být několik základních mollů, vždy je jeden základní moll.

Vezměme si například matici .

Všechny minoritní hodnoty třetího řádu této matice jsou rovny nule, protože prvky třetího řádku této matice jsou součtem odpovídajících prvků prvního a druhého řádku.

Následující minory druhého řádu jsou základní, protože jsou nenulové

Nezletilí nejsou základní, protože se rovnají nule.

Věta o hodnosti matice.

Je-li hodnost matice řádu p x n r, pak všechny prvky řádků (a sloupců) matice, které netvoří zvolený základ minor, jsou lineárně vyjádřeny pomocí odpovídajících prvků řádků (a sloupců). ), které tvoří základ minor.

Co nám dává věta o hodnosti matice?

Pokud jsme Kroneckerovou-Capelliho větou stanovili kompatibilitu systému, pak zvolíme libovolnou základní vedlejší hlavní matici systému (její řád je roven r) a vyloučíme ze systému všechny rovnice, které tvoří zvolenou základní moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentní původnímu, protože vyřazené rovnice jsou stále nadbytečné (podle teorému o pořadí matice jsou lineární kombinací zbývajících rovnic).

Výsledkem je, že po vyřazení přebytečných rovnic systému jsou možné dva případy.

Pokud je počet rovnic r ve výsledné soustavě roven počtu neznámých proměnných, pak bude definitivní a jediné řešení lze nalézt Cramerovou metodou, maticovou metodou nebo Gaussovou metodou.

Příklad.

.

Rozhodnutí.

Hodnost hlavní matice systému je roven dvěma, protože moll druhého řádu odlišný od nuly. Rozšířená hodnost matice je také roven dvěma, protože jediná minoritní skupina třetího řádu je rovna nule

a moll druhého řádu uvažovaného výše je odlišný od nuly. Na základě Kronecker-Capelliho teorému lze tvrdit kompatibilitu původního systému lineárních rovnic, protože Rank(A)=Rank(T)=2 .

Jako základ vedlejší bereme . Je tvořena koeficienty první a druhé rovnice:


Třetí rovnice soustavy se nepodílí na tvorbě základní moll, proto ji ze soustavy na základě maticové věty o pořadí vyloučíme:


Tak jsme získali elementární systém lineárních algebraických rovnic. Vyřešíme to Cramerovou metodou:


Odpovědět:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Pokud je počet rovnic r ve výsledném SLAE menší než počet neznámých proměnných n , pak členy tvořící základní moll ponecháme v levých částech rovnic a zbývající členy převedeme do pravých částí rovnic. systému s opačným znaménkem.

Neznámé proměnné (je jich r) zbývající na levé straně rovnic se nazývají hlavní.

Volají se neznámé proměnné (je jich n - r), které skončily na pravé straně volný, uvolnit.

Nyní předpokládáme, že volné neznámé proměnné mohou nabývat libovolných hodnot, zatímco r hlavních neznámých proměnných bude vyjádřeno pomocí volných neznámých proměnných jedinečným způsobem. Jejich vyjádření lze nalézt řešením výsledného SLAE Cramerovou metodou, maticovou metodou nebo Gaussovou metodou.

Vezměme si příklad.

Příklad.

Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic .

Rozhodnutí.

Najděte hodnost hlavní matice systému metodou hraničící nezletilé. Vezměme a 1 1 = 1 jako nenulový moll prvního řádu. Začněme hledat nenulovou minoritu druhého řádu obklopující tuto minoritu:


Našli jsme tedy nenulovou moll druhého řádu. Začněme hledat nenulovou hraniční moll třetího řádu:


Hodnost hlavní matice je tedy tři. Hodnost rozšířené matice je také rovna třem, to znamená, že systém je konzistentní.

Nalezený nenulový moll třetího řádu bude brán jako základní.

Pro názornost uvádíme prvky, které tvoří základ moll:


Termíny účastnící se základní moll ponecháme na levé straně rovnic soustavy a zbytek přeneseme s opačnými znaménky na pravé strany:


Volným neznámým proměnným x 2 a x 5 dáváme libovolné hodnoty, tedy bereme , kde jsou libovolná čísla. V tomto případě má SLAE formu


Získanou elementární soustavu lineárních algebraických rovnic řešíme Cramerovou metodou:


Tudíž, .

V odpovědi nezapomeňte uvést volné neznámé proměnné.

Odpovědět:

Kde jsou libovolná čísla.

Shrnout.

K řešení soustavy lineárních algebraických rovnic obecného tvaru nejprve zjistíme její kompatibilitu pomocí Kronecker-Capelliho věty. Pokud se hodnost hlavní matice nerovná hodnosti rozšířené matice, docházíme k závěru, že systém je nekonzistentní.

Pokud se hodnost hlavní matice rovná hodnosti rozšířené matice, pak vybereme základní moll a zahodíme rovnice systému, které se nepodílejí na tvorbě zvolené základní vedlejší matice.

Pokud je řád menšího základu roven počtu neznámých proměnných, pak má SLAE jedinečné řešení, které lze nalézt jakoukoli nám známou metodou.

Pokud je řád menšího základu menší než počet neznámých proměnných, ponecháme členy s hlavními neznámými proměnnými na levé straně rovnic systému, zbývající členy převedeme na pravé strany a přiřadíme libovolné hodnoty ​na volné neznámé proměnné. Z výsledné soustavy lineárních rovnic najdeme hlavní neznámé proměnné Cramerovou metodou, maticovou metodou nebo Gaussovou metodou.

Gaussova metoda pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecného tvaru.

Pomocí Gaussovy metody lze řešit systémy lineárních algebraických rovnic jakéhokoli druhu bez jejich předběžného zkoumání kompatibility. Proces postupné eliminace neznámých proměnných umožňuje učinit závěr o kompatibilitě i nekonzistenci SLAE, a pokud existuje řešení, umožňuje jej nalézt.

Z hlediska výpočetní práce je výhodnější Gaussova metoda.

Bacha Detailní popis a analyzoval příklady v článku Gaussova metoda řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecného tvaru.

Záznam obecného řešení homogenních a nehomogenních lineárních algebraických systémů pomocí vektorů základního systému řešení.

V této části se zaměříme na spojené homogenní a nehomogenní systémy lineárních algebraických rovnic, které mají nekonečný počet řešení.

Pojďme se nejprve zabývat homogenními systémy.

Základní rozhodovací systém Homogenní soustava p lineárních algebraických rovnic s n neznámými proměnnými je množinou (n – r) lineárně nezávislých řešení této soustavy, kde r je řád menší báze hlavní matice soustavy.

Pokud je značeno lineárně nezávislá řešení homogenní SLAE jako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) jsou matice sloupců n x 1), pak obecné řešení tohoto homogenního systému je reprezentován jako lineární kombinace vektorů základního systému řešení s libovolným konstantní koeficientyС 1 , С 2 , …, С (n-r) , tedy .

Co znamená pojem obecné řešení homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec nastavuje vše možné řešení původní SLAE, jinými slovy, vezmeme-li libovolnou množinu hodnot libovolných konstant С 1, С 2, …, С (n-r), podle vzorce dostaneme jedno z řešení původního homogenního SLAE.

Pokud tedy najdeme fundamentální systém řešení, můžeme všechna řešení tohoto homogenního SLAE nastavit jako .

Ukažme si proces konstrukce základního systému řešení pro homogenní SLAE.

Zvolíme základní moll původní soustavy lineárních rovnic, vyloučíme ze soustavy všechny ostatní rovnice a přeneseme na pravou stranu rovnic soustavy s opačnými znaménky všechny členy obsahující volné neznámé proměnné. Volným neznámým proměnným přiřaďme hodnoty 1,0,0,…,0 a hlavní neznámé vypočítejme řešením výsledné elementární soustavy lineárních rovnic libovolným způsobem, například Cramerovou metodou. Získáme tedy X (1) - první řešení fundamentálního systému. Pokud dáme volným neznámým hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítáme hlavní neznámé, dostaneme X (2) . A tak dále. Pokud dáme volným neznámým proměnným hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítáme hlavní neznámé, dostaneme X (n-r) . Takto bude sestaven základní systém řešení homogenního SLAE a jeho obecné řešení lze zapsat ve tvaru .

Pro nehomogenní systémy lineárních algebraických rovnic je obecné řešení reprezentováno jako

Podívejme se na příklady.

Příklad.

Najděte základní soustavu řešení a obecné řešení homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic .

Rozhodnutí.

Hodnost hlavní matice homogenních soustav lineárních rovnic je vždy rovna hodnosti rozšířené matice. Nalezněme hodnost hlavní matice metodou lemování nezletilých. Jako nenulovou moll prvního řádu vezmeme prvek a 1 1 = 9 hlavní matice systému. Najděte hraniční nenulovou moll druhého řádu:

Je nalezena moll druhého řádu, odlišný od nuly. Pojďme si projít nezletilé třetího řádu, které s ním sousedí, a hledat nenulovou jedničku:

Všechny hraničící nezletilé třetího řádu se rovnají nule, proto je hodnost hlavní a rozšířené matice dvě. Vezměme si základní moll. Pro přehlednost si všimneme prvků systému, které jej tvoří:

Třetí rovnice původního SLAE se nepodílí na tvorbě základní moll, proto ji lze vyloučit:

Členy obsahující hlavní neznámé ponecháme na pravé straně rovnic a členy s volnými neznámými přeneseme na pravé strany:

Sestavme základní soustavu řešení původní homogenní soustavy lineárních rovnic. Fundamentální systém řešení tohoto SLAE se skládá ze dvou řešení, protože původní SLAE obsahuje čtyři neznámé proměnné a řád jeho základní minor je dvě. Abychom našli X (1), dáme volným neznámým proměnným hodnoty x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, poté najdeme hlavní neznámé ze systému rovnic
.

Nazýváme soustavu lineárních rovnic, ve které jsou všechny volné členy rovny nule homogenní :

Jakýkoli homogenní systém je vždy konzistentní, protože vždy byl nula (triviální ) řešení. Nabízí se otázka, za jakých podmínek bude mít homogenní systém netriviální řešení.

Věta 5.2.Homogenní systém má netriviální řešení právě tehdy, když je hodnost základní matice menší než počet jejích neznámých.

Následek. Čtvercový homogenní systém má netriviální řešení právě tehdy, když determinant hlavní matice systému není roven nule.

Příklad 5.6. Určete hodnoty parametru l, pro které má systém netriviální řešení, a najděte tato řešení:

Rozhodnutí. Tento systém bude mít netriviální řešení, když se determinant hlavní matice rovná nule:

Systém je tedy netriviální, když l=3 nebo l=2. Pro l=3 je hodnost hlavní matice systému 1. Pak ponecháme pouze jednu rovnici a za předpokladu, že y=A a z=b, dostaneme x=b-a, tj.

Pro l=2 je hodnost hlavní matice systému 2. Poté jako základní vedlejší vyberte:

dostaneme zjednodušený systém

Odtud to zjistíme x=z/4, y=z/2. Za předpokladu z=4A, dostaneme

Množina všech řešení homogenního systému má velmi důležité lineární vlastnost : pokud X sloupců 1 a X 2 - řešení homogenní soustavy AX = 0, pak jakákoli jejich lineární kombinace A X 1+b X 2 bude také řešením tohoto systému. Opravdu, protože SEKERA 1 = 0 a SEKERA 2 = 0 , pak A(A X 1+b X 2) = a SEKERA 1+b SEKERA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Díky této vlastnosti, má-li lineární systém více než jedno řešení, bude těchto řešení nekonečně mnoho.

Lineárně nezávislé sloupce E 1 , E 2 , E k, což jsou řešení homogenní soustavy, se nazývá základní rozhodovací systém homogenní soustava lineárních rovnic, pokud lze obecné řešení této soustavy zapsat jako lineární kombinaci těchto sloupců:

Pokud má homogenní systém n proměnné a hodnost hlavní matice systému je rovna r, pak k = n-r.

Příklad 5.7. Najděte základní systém řešení následující soustavy lineárních rovnic:

Rozhodnutí. Najděte pořadí hlavní matice systému:

Množina řešení této soustavy rovnic tedy tvoří lineární podprostor dimenze n - r= 5 - 2 = 3. Jako základní moll volíme

.

Pak ponecháme pouze základní rovnice (zbytek bude lineární kombinací těchto rovnic) a základní proměnné (zbytek, tzv. volné proměnné, přeneseme doprava), dostaneme zjednodušenou soustavu rovnic:

Za předpokladu X 3 = A, X 4 = b, X 5 = C, shledáváme

, .

Za předpokladu A= 1, b=c= 0, získáme první základní řešení; za předpokladu b= 1, a = c= 0, získáme druhé základní řešení; za předpokladu C= 1, a = b= 0, získáme třetí základní řešení. Výsledkem je normální základní systém řešení

Pomocí základního systému lze obecné řešení homogenního systému zapsat jako

X = aE 1 + být 2 + cE 3. A

Všimněme si některých vlastností řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic AX=B a jejich vztah k odpovídající homogenní soustavě rovnic AX = 0.

Obecné řešení nehomogenní soustavyse rovná součtu obecného řešení příslušné homogenní soustavy AX = 0 a libovolného partikulárního řešení nehomogenní soustavy. Opravdu, nech Y 0 je libovolné partikulární řešení nehomogenní soustavy, tzn. AY 0 = B, a Y je obecné řešení nehomogenní soustavy, tzn. AY=B. Odečtením jedné rovnosti od druhé dostaneme
A(Y-Y 0) = 0, tzn. Y-Y 0 je obecné řešení odpovídajícího homogenního systému SEKERA=0. Tudíž, Y-Y 0 = X nebo Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Nechť má nehomogenní systém tvar AX = B 1 + B 2 . Potom lze obecné řešení takového systému zapsat jako X = X 1 + X 2 , kde AX 1 = B 1 a AX 2 = B 2. Tato vlastnost vyjadřuje univerzální vlastnost libovolných lineárních systémů obecně (algebraických, diferenciálních, funkcionálních atd.). Ve fyzice se tato vlastnost nazývá princip superpozice v elektrotechnice a radiotechnice - princip překrytí. Například v teorii lineární elektrické obvody proud v jakémkoliv obvodu lze získat jako algebraický součet proudů způsobených každým zdrojem energie zvlášť.

Homogenní systém je vždy konzistentní a má triviální řešení
. Aby mohlo existovat netriviální řešení, je nutné, aby hodnost matice byl menší než počet neznámých:

.

Základní rozhodovací systém homogenní systém
nazvěte systém řešení ve formě sloupcových vektorů
, které odpovídají kanonickému základu, tzn. základ, ve kterém jsou libovolné konstanty
jsou střídavě nastaveny na jednu, zatímco ostatní jsou nastaveny na nulu.

Pak má obecné řešení homogenní soustavy tvar:

kde
jsou libovolné konstanty. Jinými slovy, obecné řešení je lineární kombinací základního systému řešení.

Základní řešení lze tedy získat z obecného řešení, pokud volné neznámé mají střídavě hodnotu jednoty, za předpokladu, že všechny ostatní jsou rovné nule.

Příklad. Pojďme najít řešení systému

Přijmeme, pak dostaneme řešení ve tvaru:

Pojďme nyní vytvořit základní systém řešení:

.

Obecné řešení lze napsat takto:

Řešení soustavy homogenních lineárních rovnic mají následující vlastnosti:

Jinými slovy, jakákoli lineární kombinace řešení homogenního systému je opět řešením.

Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou metodou

Řešení soustav lineárních rovnic je předmětem zájmu matematiků již několik století. První výsledky byly získány v XVIII století. V roce 1750 publikoval G. Kramer (1704–1752) své práce o determinantech čtvercových matic a navrhl algoritmus pro nalezení inverzní matice. V roce 1809 Gauss nastínil novou metodu řešení známou jako eliminační metoda.

Gaussova metoda neboli metoda postupné eliminace neznámých spočívá v tom, že pomocí elementárních transformací se soustava rovnic redukuje na ekvivalentní soustavu stupňovitého (nebo trojúhelníkového) tvaru. Takové systémy umožňují konzistentně najít všechny neznámé v určitém pořadí.

Předpokládejme, že v systému (1)
(což je vždy možné).

(1)

Násobení první rovnice postupně t.zv vhodná čísla

a sečtením výsledku násobení s odpovídajícími rovnicemi systému dostaneme ekvivalentní systém, ve kterém všechny rovnice, kromě první, nebudou mít žádnou neznámou X 1

(2)

Nyní vynásobíme druhou rovnici soustavy (2) příslušnými čísly, předpokládáme-li, že

,

a přidáním k nižším proměnnou odstraníme ze všech rovnic, počínaje třetí.

Pokračování v tomto procesu po
kroky, které dostaneme:

(3)

Pokud alespoň jedno z čísel
není rovno nule, pak je odpovídající rovnost nekonzistentní a systém (1) je nekonzistentní. Naopak pro jakoukoli společnou číselnou soustavu
se rovnají nule. Číslo není nic jiného než hodnost systémové matice (1).

Přechod ze systému (1) do (3) se nazývá v přímce Gaussova metoda a hledání neznámých z (3) - dozadu .

Komentář : Výhodnější je provádět transformace nikoli s rovnicemi samotnými, ale s rozšířenou maticí systému (1).

Příklad. Pojďme najít řešení systému

.

Napišme rozšířenou matici systému:

.

Přidejme k řádkům 2,3,4 první vynásobený (-2), (-3), (-2):

.

Prohodíme řádky 2 a 3, pak ve výsledné matici přidáme řádek 2 k řádku 4, vynásobíme :

.

Přidejte k řádku 4 řádek 3 vynásobený
:

.

To je zřejmé
, proto je systém kompatibilní. Z výsledné soustavy rovnic

řešení najdeme obrácenou substitucí:

,
,
,
.

Příklad 2 Najít systémové řešení:

.

Je zřejmé, že systém je nekonzistentní, protože
, a
.

Výhody Gaussovy metody :

Méně časově náročné než Cramerova metoda.

Jednoznačně stanoví kompatibilitu systému a umožní vám najít řešení.

Dává možnost určit hodnost libovolné matice.

Můžete si objednat detailní řešení váš úkol!!!

Abychom pochopili, co je základní rozhodovací systém můžete se podívat na výukové video pro stejný příklad kliknutím na . Nyní přejdeme k popisu všech potřebných prací. To vám pomůže pochopit podstatu tohoto problému podrobněji.

Jak najít základní systém řešení lineární rovnice?

Vezměme si například následující soustavu lineárních rovnic:

Pojďme na to najít řešení lineární systém rovnic. Pro začátek my zapište matici koeficientů systému.

Převedeme tuto matici na trojúhelníkovou. První řádek přepíšeme beze změn. A všechny prvky, které jsou pod $a_(11)$, musí být nulové. Chcete-li vytvořit nulu na místě prvku $a_(21)$, musíte odečíst první od druhého řádku a rozdíl zapsat na druhý řádek. Chcete-li vytvořit nulu na místě prvku $a_(31)$, musíte odečíst první od třetího řádku a do třetího řádku zapsat rozdíl. Chcete-li vytvořit nulu na místě prvku $a_(41)$, musíte odečíst první vynásobený 2 od čtvrtého řádku a zapsat rozdíl do čtvrtého řádku. Chcete-li vytvořit nulu na místě prvku $a_(31)$, odečtěte první vynásobený 2 od pátého řádku a zapište rozdíl na pátý řádek.

První a druhý řádek přepíšeme beze změn. A všechny prvky, které jsou pod $a_(22)$, musí být vynulovány. Aby se na místě prvku $a_(32)$ vytvořila nula, je nutné od třetího řádku odečíst sekundu vynásobenou 2 a do třetího řádku zapsat rozdíl. Pro vytvoření nuly na místě prvku $a_(42)$ je nutné od čtvrtého řádku odečíst sekundu vynásobenou 2 a do čtvrtého řádku zapsat rozdíl. Chcete-li vytvořit nulu na místě prvku $a_(52)$, odečtěte sekundu vynásobenou 3 od pátého řádku a zapište rozdíl na pátý řádek.

To vidíme poslední tři řádky jsou stejné, takže pokud odečtete třetí od čtvrté a páté, stanou se nulou.

Pro tuto matrici zapsat nový systém rovnic.

Vidíme, že máme pouze tři lineárně nezávislé rovnice a pět neznámých, takže základní systém řešení se bude skládat ze dvou vektorů. Takže my přesunout poslední dvě neznámé doprava.

Nyní začneme vyjadřovat ty neznámé, které jsou na levé straně, prostřednictvím těch, které jsou na pravé straně. Začneme s poslední rovnicí, nejprve vyjádříme $x_3$, poté získaný výsledek dosadíme do druhé rovnice a vyjádříme $x_2$ a poté do první rovnice a zde vyjádříme $x_1$. Vyjádřili jsme tedy všechny neznámé, které jsou na levé straně, prostřednictvím neznámých, které jsou na pravé straně.

Poté můžete místo $x_4$ a $x_5$ nahradit jakákoli čísla a najít $x_1$, $x_2$ a $x_3$. Každých takových pět čísel bude kořeny našeho původního systému rovnic. Chcete-li najít vektory, které jsou zahrnuty v FSR potřebujeme nahradit 1 místo $x_4$ a místo $x_5$ dosadit 0, najít $x_1$, $x_2$ a $x_3$ a pak naopak $x_4=0$ a $x_5=1$.

Homogenní soustava lineárních rovnic nad polem

DEFINICE. Fundamentální soustava řešení soustavy rovnic (1) je neprázdná lineárně nezávislá soustava jejích řešení, jejíž lineární rozpětí se shoduje s množinou všech řešení soustavy (1).

Všimněte si, že homogenní systém lineárních rovnic, který má pouze nulové řešení, nemá fundamentální systém řešení.

NABÍDKA 3.11. Jakékoli dva základní systémy řešení homogenního systému lineárních rovnic se skládají ze stejného počtu řešení.

Důkaz. Jakékoli dva základní systémy řešení homogenní soustavy rovnic (1) jsou totiž ekvivalentní a lineárně nezávislé. Proto podle výroku 1.12 jsou jejich pozice stejné. Proto je počet řešení zahrnutých v jednom základním systému roven počtu řešení zahrnutých v jakémkoli jiném základním systému řešení.

Je-li hlavní matice A homogenní soustavy rovnic (1) nulová, pak libovolný vektor z je řešením soustavy (1); v tomto případě je základním systémem řešení jakákoliv sbírka lineárně nezávislých vektorů. Pokud je pořadí sloupce matice A , pak má systém (1) pouze jedno řešení - nulu; proto v tomto případě systém rovnic (1) nemá fundamentální systém řešení.

VĚTA 3.12. Je-li hodnost hlavní matice homogenní soustavy lineárních rovnic (1) menší než počet proměnných , pak soustava (1) má fundamentální systém řešení sestávající z řešení.

Důkaz. Pokud je hodnost hlavní matice A homogenního systému (1) rovna nule nebo , pak bylo výše ukázáno, že věta je pravdivá. Proto se dále předpokládá, že Za předpokladu , budeme předpokládat, že první sloupce matice A jsou lineárně nezávislé. V tomto případě je matice A po řádcích ekvivalentní redukované stupňovité matici a systém (1) je ekvivalentní následujícímu redukovanému stupňovitému systému rovnic:

Je snadné zkontrolovat, že jakýkoli systém hodnot volných proměnných systému (2) odpovídá jednomu a pouze jednomu řešení systému (2) a tedy systému (1). Zejména pouze nulové řešení soustavy (2) a soustavy (1) odpovídá soustavě nulových hodnot.

V systému (2) přiřadíme jedné z volných proměnných hodnotu rovnou 1 a ostatním proměnným nulové hodnoty. Výsledkem je řešení soustavy rovnic (2), které zapíšeme jako řádky následující matice C:

Řádkový systém této matice je lineárně nezávislý. Vskutku, pro všechny skaláry z rovnosti

následuje rovnost

a tedy rovnost

Dokažme, že lineární rozsah soustavy řádků matice C se shoduje s množinou všech řešení soustavy (1).

Libovolné řešení systému (1). Potom vektor

je také řešením systému (1), a