Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Rovnice byly používány člověkem od pradávna a od té doby jejich používání jen narůstalo. Pro přehlednost vyřešme následující problém:

Vypočítejte \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\], pokud \

Nejprve věnujte pozornost skutečnosti, že jedno číslo je reprezentováno v algebraické formě, druhé - v goniometrickém tvaru. Je třeba jej zjednodušit a převést do následující podoby

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Výraz \ říká, že nejprve násobíme a zvyšujeme na 10. mocninu podle Moivreho vzorce. Tento vzorec byl formulován pro trigonometrický tvar komplexního čísla. Dostaneme:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Při dodržení pravidel pro násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru uděláme následující:

V našem případě:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Upravením zlomku \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] dojdeme k závěru, že je možné "otočit" 4 otáčky \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Odpověď: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Tato rovnice lze vyřešit jiným způsobem, který se scvrkává na převedení 2. čísla do algebraického tvaru a následné násobení v algebraický tvar, převeďte výsledek do trigonometrické formy a použijte De Moivreův vzorec:

Kde mohu vyřešit systém rovnic s komplexními čísly online?

Systém rovnic můžete vyřešit na našem webu https: //. Bezplatný online řešitel vám umožní vyřešit online rovnici jakékoli složitosti během několika sekund. Jediné, co musíte udělat, je zadat svá data do řešitele. Můžete se také podívat na video návod a naučit se řešit rovnici na našem webu. A pokud máte nějaké dotazy, můžete se jich zeptat v naší skupině Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Přidejte se k naší skupině, vždy vám rádi pomůžeme.

FEDERÁLNÍ AGENTURA PRO VZDĚLÁVÁNÍ

STÁTNÍ VZDĚLÁVACÍ INSTITUCE

VYŠŠÍ ODBORNÉ VZDĚLÁNÍ

"VORONEŽSKÁ STÁTNÍ PEDAGOGICKÁ UNIVERZITA"

KŘESLO AGLEBRA A GEOMETRIE

Komplexní čísla

(vybrané úkoly)

ZÁVĚREČNÁ KVALIFIKAČNÍ PRÁCE

odbornost 050201.65 matematika

(s další specializací 050202.65 informatika)

Vyplnil: student 5. ročníku

fyzikální a matematické

fakulta

Vědecký poradce:

VORONĚŽ - 2008

1. Úvod……………………………………………………...…………..…

2. Komplexní čísla (vybrané problémy)

2.1. Komplexní čísla v algebraickém tvaru………………….….

2.2. Geometrická interpretace komplexních čísel …………………………

2.3. Trigonometrický tvar komplexních čísel

2.4. Aplikace teorie komplexních čísel na řešení rovnic 3. a 4. stupně……………..…………………………………………………………………

2.5. Komplexní čísla a parametry …………………………………...….

3. Závěr………………………………………………………………………..

4. Seznam referencí……………………………………………………………………….

1. Úvod

V matematickém programu školního kurzu je teorie čísel uvedena na příkladech množin přirozených čísel, celých čísel, racionálních, iracionálních, tzn. na množině reálných čísel, jejichž obrázky vyplňují celou číselnou řadu. Ale již v 8. třídě není dostatek zásob reálných čísel, řešení kvadratických rovnic se záporným diskriminantem. Proto bylo nutné doplnit zásobu reálných čísel čísly komplexními, u kterých Odmocnina od záporného čísla dává smysl.

Volbou tématu "Komplexní čísla", jako tématu mé závěrečné kvalifikační práce, je, že pojem komplexní číslo rozšiřuje znalosti studentů o číselných systémech, o řešení široké třídy úloh jak algebraického, tak geometrického obsahu, o Řešení algebraické rovnice jakéhokoli stupně a o řešení problémů s parametry.

V této práci je zvažováno řešení 82 problémů.

První část hlavní části "Komplexní čísla" obsahuje řešení problémů s komplexní čísla v algebraickém tvaru jsou definovány operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, operace konjugace pro komplexní čísla v algebraickém tvaru, stupeň imaginární jednotky, modul komplexního čísla a pravidlo pro extrakci druhé odmocniny z je uvedeno i komplexní číslo.

V druhé části jsou řešeny úlohy pro geometrickou interpretaci komplexních čísel ve formě bodů nebo vektorů komplexní roviny.

Třetí část se zabývá operacemi s komplexními čísly v goniometrickém tvaru. Používají se vzorce: De Moivre a extrakce odmocniny z komplexního čísla.

Čtvrtá část je věnována řešení rovnic 3. a 4. stupně.

Při řešení úloh poslední části "Komplexní čísla a parametry" jsou použity a konsolidovány informace uvedené v předchozích částech. Řada úloh v této kapitole je věnována určování rodin čar v komplexní rovině dané rovnicemi (nerovnicemi) s parametrem. V části cvičení je potřeba řešit rovnice s parametrem (přes pole C). Existují úlohy, kde komplexní proměnná současně splňuje řadu podmínek. Znakem řešení úloh této části je redukce řady z nich na řešení rovnic (nerovnic, soustav) druhého stupně, iracionální, goniometrické s parametrem.

Charakteristickým rysem prezentace látky každé části je úvodní představení teoretických základů a následně jejich praktická aplikace při řešení problémů.

Na konci teze je uveden seznam použité literatury. Ve většině z nich je dostatečně podrobně a přístupným způsobem podán teoretický materiál, zvažována řešení některých problémů a zadávány praktické úkoly k samostatnému řešení. Speciální pozornost Rád bych odkázal na zdroje jako:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Komplexní čísla a jejich aplikace: Učebnice. . Materiál studijní průvodce prezentovány formou přednášek a praktických cvičení.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Vybrané problémy a věty elementární matematiky. Aritmetika a algebra. Kniha obsahuje 320 problémů týkajících se algebry, aritmetiky a teorie čísel. Svým charakterem se tyto úkoly výrazně liší od standardních školních úkolů.

2. Komplexní čísla (vybrané problémy)

2.1. Komplexní čísla v algebraickém tvaru

Řešení mnoha úloh v matematice a fyzice se redukuje na řešení algebraických rovnic, tzn. rovnice tvaru

,

kde a0 , a1 , …, an jsou reálná čísla. Proto je studium algebraických rovnic jedním z nich kritické problémy v matematice. Například kvadratická rovnice se záporným diskriminantem nemá žádné skutečné kořeny. Nejjednodušší takovou rovnicí je rovnice

.

Aby tato rovnice měla řešení, je nutné rozšířit množinu reálných čísel přidáním kořene rovnice

.

Označme tento kořen jako

. Tedy podle definice , nebo ,

proto,

. se nazývá imaginární jednotka. S jeho pomocí a pomocí dvojice reálných čísel se tvoří vyjádření tvaru.

Výsledný výraz byl nazýván komplexními čísly, protože obsahoval reálné i imaginární části.

Komplexní čísla se tedy nazývají výrazy tvaru

, a jsou reálná čísla a je nějakým symbolem, který splňuje podmínku . Číslo se nazývá reálná část komplexního čísla a číslo se nazývá jeho imaginární část. K jejich označení se používají symboly .

Komplexní čísla formuláře

jsou reálná čísla, a proto množina komplexních čísel obsahuje množinu reálných čísel.

Komplexní čísla formuláře

se nazývají čistě imaginární. Dvě komplexní čísla tvaru a se nazývají rovná, pokud se jejich skutečná a imaginární část rovnají, tzn. pokud rovnost , .

Algebraický zápis komplexních čísel umožňuje provádět s nimi operace podle obvyklých pravidel algebry.

Výrazy, rovnice a soustavy rovnic
s komplexními čísly

Dnes v lekci vypracujeme typické akce s komplexními čísly a také zvládneme techniku ​​řešení výrazů, rovnic a soustav rovnic, které tato čísla obsahují. Tento workshop je pokračováním lekce, a proto pokud se v daném tématu nevyznáte, přejděte prosím na výše uvedený odkaz. No, doporučuji, aby se připravenější čtenáři okamžitě zahřáli:

Příklad 1

Zjednodušte výraz , Pokud . Prezentujte výsledek v trigonometrické formě a znázorněte jej na komplexní rovině.

Řešení: takže musíte nahradit v „strašném“ zlomku, provést zjednodušení a přeložit výsledný komplexní číslo PROTI trigonometrický tvar . Navíc sakra.

Jaký je nejlepší způsob, jak se rozhodnout? Je výhodnější zabývat se „efektním“ algebraickým výrazem po etapách. Za prvé je pozornost méně rozptýlena a za druhé, pokud úkol není připsán, bude mnohem snazší najít chybu.

1) Nejprve zjednodušíme čitatele. Nahraďte do něj hodnotu, otevřete závorky a upravte účes:

... Ano, takový Quasimodo z komplexních čísel dopadl ...

Připomínám, že při transformacích se používají naprosto důmyslné věci - pravidlo násobení polynomů a již banální rovnost. Hlavní je dávat si pozor a nenechat se zmást ve znameních.

2) Nyní je na řadě jmenovatel. Pokud , pak:

Všimněte si, v jakém neobvyklém výkladu se používá součtový čtvercový vzorec . Případně můžete změnit zde podvzorec . Výsledky tomu budou samozřejmě odpovídat.

3) A nakonec celý výraz. Pokud , pak:

Abychom se zlomku zbavili, vynásobíme čitatel a jmenovatel výrazem spojeným se jmenovatelem. Nicméně pro účely žádosti rozdíl čtverců vzorců by mělo být předběžně (a určitě!) dejte zápornou skutečnou část na 2. místo:

A teď hlavní pravidlo:

V ŽÁDNÉM PŘÍPADĚ NESPĚCHÁME! Je lepší hrát na jistotu a předepsat si krok navíc.
Ve výrazech, rovnicích a soustavách s komplexními čísly troufalé ústní výpočty plný jako vždy!

V posledním kroku došlo k pěkné kontrakci a to je jen skvělé znamení.

Poznámka : přísně vzato zde proběhlo dělení komplexního čísla komplexním číslem 50 (připomeňme, že ). O této nuanci jsem dosud mlčel a budeme o tom mluvit o něco později.

Označme náš úspěch písmenem

Znázorněme výsledek v trigonometrickém tvaru. Obecně řečeno, zde se obejdete bez výkresu, ale jakmile je to požadováno, je poněkud racionálnější jej dokončit právě teď:

Vypočítejte modul komplexního čísla:

Pokud provádíte kresbu v měřítku 1 jednotky. \u003d 1 cm (2 buňky tetrad), výslednou hodnotu lze snadno zkontrolovat pomocí běžného pravítka.

Pojďme najít argument. Protože se číslo nachází ve 2. souřadnicové čtvrtině, pak:

Úhel se jednoduše kontroluje úhloměrem. To je nepochybné plus kresby.

Tedy: - požadované číslo v trigonometrickém tvaru.

Pojďme zkontrolovat:
, která měla být ověřena.

Je vhodné najít neznámé hodnoty sinus a kosinus podle trigonometrická tabulka .

Odpovědět:

Podobný příklad řešení pro kutily:

Příklad 2

Zjednodušte výraz , Kde . Nakreslete výsledné číslo na komplexní rovinu a zapište ho v exponenciálním tvaru.

Pokuste se nepřeskočit tutoriály. Mohou se zdát jednoduché, ale bez tréninku je „dostat se do louže“ nejen snadné, ale velmi snadné. Tak si to dáme do ruky.

Problém často umožňuje více než jedno řešení:

Příklad 3

Spočítejte, pokud,

Řešení: v prvé řadě si dejte pozor na původní podmínku - jedno číslo je uvedeno v algebraickém tvaru a druhé v goniometrickém tvaru a dokonce i se stupni. Okamžitě to přepišme do známější podoby: .

Jakou formou by měly být výpočty provedeny? Výraz samozřejmě zahrnuje první násobení a další zvýšení na 10 De Moivre vzorec , který je formulován pro trigonometrický tvar komplexního čísla. Proto se zdá logičtější převést první číslo. Najděte jeho modul a argument:

Používáme pravidlo násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru:
pokud, tak

Upravením zlomku dojdeme k závěru, že je možné „otočit“ 4 otáčky ( rád.):

Druhý způsob řešení je převést 2. číslo do algebraického tvaru , proveďte násobení v algebraickém tvaru, převeďte výsledek do goniometrického tvaru a použijte De Moivreův vzorec.

Jak vidíte, jedna akce "navíc". Ti, kteří si přejí, mohou sledovat řešení až do konce a ujistit se, že výsledky odpovídají.

Podmínka neříká nic o tvaru výsledného komplexního čísla, takže:

Odpovědět:

Ale „pro krásu“ nebo na vyžádání lze výsledek snadno znázornit v algebraické podobě:

Na vlastní pěst:

Příklad 4

Zjednodušte výraz

Zde je nutné pamatovat akce s pravomocemi , ačkoliv v tréninkové příručce není žádné užitečné pravidlo, zde je:.

A ještě jedna důležitá poznámka: příklad lze řešit ve dvou stylech. První možností je pracovat s dvačísla a smířit se se zlomky. Druhou možností je reprezentovat každé číslo ve formuláři podíl dvou čísel: A zbavit se čtyřpatrového . Z formálního hlediska nezáleží na tom, jak se rozhodnout, ale je tu významný rozdíl! Dobře prosím zvažte:
je komplexní číslo;
je podíl dvou komplexních čísel ( a ), nicméně v závislosti na kontextu lze říci také toto: číslo reprezentované jako podíl dvou komplexních čísel.

Krátké řešení a odpověď na konci lekce.

Výrazy jsou dobré, ale rovnice jsou lepší:

Rovnice s komplexními koeficienty

Jak se liší od "obyčejné" rovnice? Koeficienty =)

Ve světle výše uvedené poznámky začněme tímto příkladem:

Příklad 5

řešit rovnici

A bezprostřední preambule v horlivém pronásledování: zpočátku pravá část rovnice je umístěna jako podíl dvou komplexních čísel (a 13), a proto by bylo špatné přepisovat podmínku číslem (i když to nezpůsobí chybu). Mimochodem, tento rozdíl je zřetelněji vidět ve zlomcích - pokud relativně vzato, pak je tato hodnota primárně chápána jako "plný" komplexní kořen rovnice a ne jako dělitel čísla a ještě více - ne jako součást čísla!

Řešení, v zásadě to jde zařídit i krok za krokem, ale v tomto případě hra nestojí za svíčku. Počátečním úkolem je zjednodušit vše, co neobsahuje neznámé „Z“, v důsledku čehož se rovnice zredukuje do tvaru:

Spolehlivě zjednodušte průměrný zlomek:

Výsledek přeneseme na pravou stranu a najdeme rozdíl:

Poznámka : a opět upozorňuji na smysluplnou pointu - zde jsme neodečítali číslo od čísla, ale sečetli zlomky na společného jmenovatele! Je třeba poznamenat, že již v průběhu řešení není zakázáno pracovat s čísly: , nicméně v uvažovaném příkladu je takový styl spíše ke škodě než k užitku =)

Podle pravidla proporce vyjadřujeme „z“:

Nyní můžete opět dělit a násobit vedlejším výrazem, ale podezřele podobná čísla v čitateli a jmenovateli naznačují následující krok:

Odpovědět:

Pro účely ověření dosadíme výslednou hodnotu do levé strany původní rovnice a provedeme zjednodušení:

- získá se pravá strana původní rovnice, takže kořen je nalezen správně.

...teď-teď...vyberu pro vás něco zajímavějšího...počkej:

Příklad 6

řešit rovnici

Tato rovnice se redukuje na tvar , a proto je lineární. Nápověda je, myslím, jasná – jděte do toho!

Samozřejmě... jak bez něj můžete žít:

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

Na lekci Komplexní čísla pro figuríny dozvěděli jsme se, že kvadratická rovnice s reálnými koeficienty může mít konjugované komplexní kořeny, načež vyvstává logická otázka: proč vlastně samotné koeficienty nemohou být komplexní? budu formulovat obecný případ:

Kvadratická rovnice s libovolnými komplexními koeficienty (1 nebo 2 z nich nebo všechny tři mohou být zvláště platné) Má to dva a jen dva složité kořeny (možná jedna z nich nebo obě jsou platné). Zatímco kořeny (jak skutečné, tak s nenulovou imaginární částí) může se shodovat (být více).

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty se řeší stejným způsobem jako "školní" rovnice , s některými rozdíly ve výpočetní technice:

Příklad 7

Najděte kořeny kvadratické rovnice

Řešení: pomyslná jednotka je na prvním místě a v zásadě se jí můžete zbavit (vynásobením obou stran ) k tomu však není žádná zvláštní potřeba.

Pro usnadnění zapisujeme koeficienty:

Neztrácíme "mínus" bezplatného člena! ... Nemusí to být každému jasné - rovnici přepíšu do standardního tvaru :

Spočítejme si diskriminant:

Zde je hlavní překážka:

aplikace obecný vzorec extrakce kořenů (viz poslední odstavec článku Komplexní čísla pro figuríny ) je komplikován vážnými obtížemi spojenými s argumentem radikálního komplexního čísla (podívej se sám). Existuje však i jiný, „algebraický“ způsob! Kořen budeme hledat ve tvaru:

Udělejme čtverec na obě strany:

Dvě komplexní čísla jsou si rovna, pokud se jejich skutečná a imaginární část rovnají. Dostaneme tedy následující systém:

Systém se snáze řeší výběrem (důkladnější způsob je vyjádřit z 2. rovnice - dosadit v 1., získat a vyřešit bikvadratickou rovnici). Za předpokladu, že autorem problému není monstrum, předpokládáme, že jde o celá čísla. Z 1. rovnice vyplývá, že "x" modulo více než "y". Pozitivní produkt nám navíc říká, že neznámí jsou stejného znaménka. Na základě výše uvedeného a se zaměřením na 2. rovnici zapíšeme všechny dvojice, které se s ní shodují:

Je zřejmé, že poslední dva páry splňují 1. rovnici systému, tedy:

Průběžná kontrola neuškodí:

který měl být zkontrolován.

Jako "pracovní" kořen si můžete vybrat žádný význam. Je jasné, že je lepší vzít verzi bez „záporů“:

Nacházíme kořeny, mimochodem nezapomínáme, že:

Odpovědět:

Zkontrolujme, zda nalezené kořeny splňují rovnici :

1) Náhradník:

správná rovnost.

2) Náhradník:

správná rovnost.

Řešení je tedy nalezeno správně.

Inspirováno právě diskutovaným problémem:

Příklad 8

Najděte kořeny rovnice

Všimněte si, že druhá odmocnina z čistě komplexníčísla jsou dokonale extrahována pomocí obecného vzorce , Kde , takže v ukázce jsou uvedeny obě metody. Druhá užitečná poznámka se týká skutečnosti, že předběžná extrakce odmocniny z konstanty řešení vůbec nezjednodušuje.

A teď si můžete odpočinout - v tomto příkladu vystoupíte s mírným zděšením :)

Příklad 9

Vyřešte rovnici a zkontrolujte

Řešení a odpovědi na konci lekce.

Poslední odstavec článku je věnován

soustava rovnic s komplexními čísly

Uvolnili jsme se a...nenamáháme se =) Vezměme si nejjednodušší případ – systém dvou lineární rovnice se dvěma neznámými:

Příklad 10

Řešte soustavu rovnic. Prezentujte odpověď v algebraické a exponenciální formě, znázorněte kořeny v kresbě.

Řešení: podmínka sama o sobě naznačuje, že systém má jedinečné řešení, to znamená, že musíme najít dvě čísla, která vyhovují ke každému systémová rovnice.

Systém lze skutečně řešit „dětským“ způsobem (vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé ) , ale použití je mnohem pohodlnější Cramerovy vzorce . Vypočítat hlavní determinant systémy:

, takže systém má unikátní řešení.

Opakuji, že je lepší nespěchat a předepsat kroky co nejpodrobněji:

Čitatele a jmenovatele vynásobíme imaginární jednotkou a dostaneme 1. odmocninu:

Podobně:

Odpovídající pravé strany, p.t.p.

Provedeme kresbu:

Kořeny reprezentujeme v exponenciální formě. Chcete-li to provést, musíte najít jejich moduly a argumenty:

1) - arkus tangens "dva" se vypočítá "špatně", takže to necháme takto:

Chcete-li vyřešit problémy s komplexními čísly, musíte porozumět základním definicím. Hlavním cílem tohoto přehledového článku je vysvětlit, co jsou komplexní čísla, a představit metody řešení základních problémů s komplexními čísly. Komplexní číslo je tedy číslo tvaru z = a + bi, Kde a, b- reálná čísla, která se nazývají reálná a imaginární část komplexního čísla a označují a = Re(z), b=Im(z).
i se nazývá imaginární jednotka. i 2 \u003d -1. Zejména jakékoli reálné číslo lze považovat za komplexní: a = a + 0i, kde a je skutečné. Li a = 0 A b ≠ 0, pak se číslo nazývá čistě imaginární.

Nyní představíme operace s komplexními čísly.
Uvažujme dvě komplexní čísla z 1 = a 1 + b 1 i A z2 = a2 + b2 i.

Zvážit z = a + bi.

Množina komplexních čísel rozšiřuje množinu reálných čísel, která zase rozšiřuje množinu racionálních čísel a tak dále. Tento řetězec vložení je vidět na obrázku: N - přirozená čísla, Z - celá čísla, Q - racionální, R - reálná, C - komplexní.

Reprezentace komplexních čísel

Algebraický zápis.

Zvažte komplexní číslo z = a + bi, tato forma zápisu komplexního čísla se nazývá algebraický. Tuto formu psaní jsme již podrobně probrali v předchozí části. Poměrně často používejte následující názorný nákres

trigonometrický tvar.

Z obrázku je vidět, že číslo z = a + bi se dá napsat jinak. To je zřejmé a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, tedy z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) se nazývá argument komplexního čísla. Tato reprezentace komplexního čísla se nazývá trigonometrický tvar. Trigonometrická forma zápisu je někdy velmi výhodná. Například je vhodné jej použít pro zvýšení komplexního čísla na celočíselnou mocninu, jmenovitě pokud z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Že z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, tento vzorec se nazývá De Moivreův vzorec.

Demonstrativní forma.

Zvážit z = rcos(φ) + rsin(φ)i je komplexní číslo v goniometrickém tvaru, zapisujeme ho v jiném tvaru z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, poslední rovnost vyplývá z Eulerova vzorce, takže dostáváme nový formulář zadání komplexních čísel: z = re iφ, který se nazývá demonstrativní. Tato forma zápisu je také velmi vhodná pro zvýšení komplexního čísla na mocninu: z n = r n e inφ, Tady n nemusí být nutně celé číslo, ale může to být libovolné reálné číslo. Tato forma psaní se poměrně často používá k řešení problémů.

Základní věta vyšší algebry

Představte si, že máme kvadratickou rovnici x 2 + x + 1 = 0 . Je zřejmé, že diskriminant této rovnice je záporný a nemá žádné skutečné kořeny, ale ukázalo se, že tato rovnice má dva různé komplexní kořeny. Takže hlavní věta vyšší algebry říká, že každý polynom stupně n má alespoň jeden komplexní kořen. Z toho vyplývá, že každý polynom stupně n má právě n komplexních kořenů, vezmeme-li v úvahu jejich násobnost. Tato věta je velmi důležitým výsledkem v matematice a je široce používána. Jednoduchým důsledkem této věty je, že existuje přesně n různých n-stupňových kořenů jednoty.

Hlavní typy úkolů

Tato část se bude zabývat hlavními typy jednoduché úkoly na komplexní čísla. Úlohy na komplexních číslech lze obvykle rozdělit do následujících kategorií.

• Provádění jednoduchých aritmetických operací na komplexních číslech.
• Hledání kořenů polynomů v komplexních číslech.
• Zvyšování komplexních čísel na mocninu.
• Extrakce odmocnin z komplexních čísel.
• Aplikace komplexních čísel k řešení jiných problémů.

Nyní zvažte obecné metody řešení těchto problémů.

Provádění nejjednodušších aritmetických operací s komplexními čísly probíhá podle pravidel popsaných v první části, ale pokud jsou komplexní čísla prezentována v goniometrických nebo exponenciálních tvarech, pak je v tomto případě lze převést do algebraické formy a provádět operace podle známých pravidel.

Hledání kořenů polynomů obvykle spočívá v hledání kořenů kvadratické rovnice. Předpokládejme, že máme kvadratickou rovnici, je-li její diskriminant nezáporný, pak její kořeny budou reálné a budou nalezeny podle známého vzorce. Pokud je diskriminant záporný, pak D = -1∙a 2, Kde A je určité číslo, pak můžeme diskriminant reprezentovat ve tvaru D = (ia) 2, tedy √D = i|a|, a pak můžete použít již známý vzorec pro kořeny kvadratické rovnice.

Příklad. Zpět k výše uvedenému kvadratická rovnice x 2 + x + 1 = 0 .
diskriminační - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Nyní můžeme snadno najít kořeny:

Zvýšení komplexních čísel na mocninu lze provést několika způsoby. Pokud chcete umocnit komplexní číslo v algebraickém tvaru na malou mocninu (2 nebo 3), můžete to udělat přímým násobením, ale pokud je stupeň větší (v problémech je často mnohem větší), musíte zapište toto číslo v goniometrických nebo exponenciálních tvarech a použijte již známé metody.

Příklad. Uvažujme z = 1 + i a zvyšme na desátou mocninu.
Z píšeme v exponenciálním tvaru: z = √2 e iπ/4 .
Pak z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Vraťme se k algebraickému tvaru: z 10 = -32i.

Extrahování odmocnin z komplexních čísel je inverzní operace umocňování, takže se to provádí podobným způsobem. K extrakci kořenů se často používá exponenciální forma zápisu čísla.

Příklad. Najděte všechny kořeny stupně 3 jednoty. K tomu najdeme všechny kořeny rovnice z 3 = 1, budeme hledat kořeny v exponenciálním tvaru.
Dosadíme v rovnici: r 3 e 3iφ = 1 nebo r 3 e 3iφ = e 0 .
Proto: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, tedy φ = 2πk/3.
Různé kořeny se získají při φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Proto 1, e i2π/3, e i4π/3 jsou kořeny.
Nebo v algebraické podobě:

Poslední typ problémů zahrnuje obrovskou škálu problémů a neexistují žádné obecné metody pro jejich řešení. Zde je jednoduchý příklad takového úkolu:

Najděte částku sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Formulace tohoto problému se sice nevztahuje na komplexní čísla, ale s jejich pomocí lze snadno vyřešit. K jeho vyřešení se používají následující reprezentace:


Pokud nyní toto zobrazení dosadíme do součtu, pak se problém zredukuje na součet obvyklé geometrické posloupnosti.

Závěr

Komplexní čísla jsou v matematice široce používána, tento přehledový článek probral základní operace s komplexními čísly, popsal několik typů standardních úloh a stručně popsal obecné metody jejich řešení, pro podrobnější studium možností komplexních čísel se doporučuje používat odbornou literaturu.

Literatura