Matematická teorie her. Příklady nahrávání a řešení her ze života
BĚLORUSKÁ STÁTNÍ UNIVERZITA
EKONOMICKÁ FAKULTA
ŽIDLE…
Teorie her a její aplikace v ekonomii
projekt kurzu
student 2. ročníku
oddělení "Management"
Vědecký ředitel
Minsk, 2010
1. Úvod. strana 3
2. Základní pojmy teorie her str.4
3. Prezentace her strana 7
4. Typy her str.9
5. Aplikace teorie her v ekonomii str.14
6. Problémy praktické aplikace v managementu str.21
7. Závěr str.23
Seznam referencí strana 24
1. ÚVOD
V praxi se často stává nutností koordinovat postup firem, sdružení, ministerstev a dalších účastníků projektu v případech, kdy se jejich zájmy neshodují. V takových situacích vám teorie her umožňuje najít nejlepší řešení pro chování účastníků, kteří jsou povinni koordinovat jednání v případě střetu zájmů. Teorie her stále více proniká do praxe ekonomických rozhodování a výzkumu. Lze na něj pohlížet jako na nástroj, který pomáhá zlepšit efektivitu plánování a manažerských rozhodnutí. Má to velká důležitost při řešení problémů v průmyslu, zemědělství, dopravě, obchodu, zejména při uzavírání smluv se zahraničními partnery na jakékoli úrovni. Je tak možné stanovit vědecky podloženou úroveň snížení maloobchodních cen a optimální úroveň zásob komodit, řešit problémy výletních služeb a výběr nových linek městské dopravy, úkol naplánovat postup organizace těžby nerostných surovin v zemi atd. Úkol výběru pozemků pro zemědělské plodiny se stal klasickým. Metodu teorie her lze využít při výběrových šetřeních konečných populací, při testování statistických hypotéz.
Teorie her je matematická metoda pro studium optimálních strategií ve hrách. Hra je chápána jako proces, kterého se účastní dvě nebo více stran bojujících o realizaci svých zájmů. Každá strana má svůj cíl a používá nějakou strategii, která může vést k výhře nebo prohře – v závislosti na chování ostatních hráčů. Teorie her pomáhá vybrat nejlepší strategie, přičemž bere v úvahu představy o ostatních účastnících, jejich zdrojích a jejich možných akcích.
Teorie her je odvětvím aplikované matematiky, přesněji operačního výzkumu. Nejčastěji se metody teorie her využívají v ekonomii, o něco méně často v jiných společenských vědách – sociologii, politologii, psychologii, etice a dalších. Od 70. let 20. století jej přijali biologové ke studiu chování zvířat a evoluční teorie. Má velký význam pro umělá inteligence a kybernetika, zejména se zájmem o inteligentní agenty.
Teorie her má svůj původ v neoklasické ekonomii. Matematické aspekty a aplikace teorie byly poprvé představeny v klasické knize Theory of Games and Economic Behavior z roku 1944 od Johna von Neumanna a Oscara Morgensterna.
Tato oblast matematiky našla určitý odraz ve veřejné kultuře. V roce 1998 vydala americká spisovatelka a novinářka Sylvia Nazar knihu o osudech Johna Nashe, laureáta Nobelovy ceny za ekonomii a vědce v oboru teorie her; a v roce 2001 byl podle knihy natočen film Krásná mysl. Některé americké televizní pořady, jako například „Friend or Foe“, „Alias“ nebo „NUMB3RS“, pravidelně odkazují na teorii ve svých epizodách.
Nematematická verze teorie her je představena v dílech Thomase Schellinga, laureáta Nobelovy ceny za ekonomii z roku 2005.
Laureáti Nobelovy ceny za ekonomii za úspěchy v oblasti teorie her jsou: Robert Aumann, Reinhard Zelten, John Nash, John Harsanyi, Thomas Schelling.
2. ZÁKLADNÍ POJMY TEORIE HER
Pojďme se seznámit se základními pojmy teorie her. Matematický model konfliktní situace se nazývá hra, strany zapojené do konfliktu se nazývají hráči a výsledek konfliktu se nazývá výhra. Pro každou formalizovanou hru jsou zavedena pravidla, tzn. systém podmínek, který určuje: 1) možnosti jednání hráčů; 2) objem informací každého hráče o chování partnerů; 3) přínos, ke kterému každá sada akcí vede. Typicky lze zisk (nebo ztrátu) kvantifikovat; můžete například vyhodnotit prohru nulou, výhru jednou a remízu ½.
Hra se nazývá párová, pokud se jí účastní dva hráči, a násobná, pokud je počet hráčů větší než dva.
Hra se nazývá hra s nulovým součtem neboli antagonistická, pokud se zisk jednoho z hráčů rovná ztrátě druhého, tj. ke splnění úkolu hry stačí uvést hodnotu jednoho z nich. Označíme-li a - výplatu jednoho z hráčů, b - výplatu druhého, pak pro hru s nulovým součtem b = -a stačí uvažovat např. a.
Volba a provedení jedné z akcí stanovených pravidly se nazývá tah hráče. Pohyby mohou být osobní a náhodné. Osobní tah je vědomá volba hráče jedné z možných akcí (například tah v šachové hře). Náhodný tah je náhodně zvolená akce (například výběr karty ze zamíchaného balíčku). V následujícím se budeme zabývat pouze osobními tahy hráčů.
Strategie hráče je soubor pravidel, která určují volbu jeho akce pro každý osobní tah v závislosti na situaci. Obvykle během hry, při každém osobním tahu, si hráč vybere v závislosti na konkrétní situaci. V zásadě je však možné, že všechna rozhodnutí činí hráč předem (v reakci na danou situaci). To znamená, že hráč si zvolil určitou strategii, která může být dána ve formě seznamu pravidel nebo programu. (Hru tedy můžete hrát pomocí počítače). O hře se říká, že je konečná, pokud má každý hráč konečný počet strategií, a jinak je nekonečná.
Aby bylo možné hru vyřešit nebo najít řešení hry, měl by člověk zvolit pro každého hráče strategii, která splňuje podmínku optimality, tzn. jeden z hráčů by měl získat maximální odměnu, když se druhý bude držet své strategie. Druhý hráč by měl mít zároveň minimální ztrátu, pokud se první drží své strategie. Takové strategie se nazývají optimální. Optimální strategie musí také splňovat podmínku stability, tj. musí být pro některého z hráčů nerentabilní opustit svou strategii v této hře.
Pokud se hra opakuje dostatečně často, pak hráče nemusí zajímat výhra a prohra v každé konkrétní hře, ale průměrná výhra (prohra) ve všech hrách.
Cílem teorie her je určit optimální strategii pro každého hráče. Při výběru optimální strategie je přirozené předpokládat, že se oba hráči chovají rozumně z hlediska svých zájmů. Nejdůležitějším omezením teorie her je přirozenost výplaty jako měřítka efektivity, zatímco ve většině reálných ekonomických problémů existuje více než jedno měřítko efektivity. Navíc v ekonomice zpravidla existují úkoly, ve kterých nejsou zájmy partnerů nutně antagonistické.
3. Prezentace her
Hry jsou přísně definované matematické objekty. Hra je tvořena hráči, sadou strategií pro každého hráče a indikací přínosů neboli přínosů hráčů pro každou kombinaci strategií. Většina kooperativních her je popsána charakteristickou funkcí, u ostatních typů se častěji používá normální nebo extenzivní forma.
Rozsáhlá forma
Hra "Ultimátum" v rozsáhlé podobě
Hry v extenzivní nebo rozšířené podobě jsou reprezentovány jako řízený strom, kde každý vrchol odpovídá situaci, kdy hráč volí svou strategii. Každému hráči je přidělena celá úroveň vrcholů. Platby se zaznamenávají ve spodní části stromu pod každým vrcholem listu.
Na obrázku vlevo je hra pro dva hráče. Hráč 1 se pohybuje jako první a volí strategii F nebo U. Hráč 2 analyzuje svou pozici a rozhoduje se, zda zvolit strategii A nebo R. S největší pravděpodobností si první hráč vybere U a druhý - A (pro každou z nich jsou to optimální strategie); poté obdrží 8 a 2 body.
Rozsáhlá forma je velmi názorná, zvláště vhodné je znázornit hry s více než dvěma hráči a hry s tahy za sebou. Pokud účastníci provádějí současné pohyby, pak jsou odpovídající vrcholy buď spojeny tečkovanou čarou, nebo vyznačeny plnou čarou.
normální forma
|
Hráč 2 |
Hráč 2 |
|
|
Hráč 1 |
4 , 3 |
–1 , –1 |
|
Hráč 1 |
0 , 0 |
3 , 4 |
|
Normální forma pro hru se 2 hráči, každý se 2 strategiemi. |
||
Hráči si zvolili strategie s maximálním výsledkem pro sebe, ale prohráli kvůli neznalosti tahu druhého hráče. Obvykle normální forma představuje hry, ve kterých se tahy provádějí současně, nebo se alespoň předpokládá, že všichni hráči nevědí, co dělají ostatní účastníci. Takové hry s neúplnými informacemi budou zváženy níže.
Charakteristický vzorec
V kooperativních hrách s přenositelným užitkem, tedy schopností převádět finanční prostředky z jednoho hráče na druhého, není možné aplikovat koncept individuálních plateb. Místo toho se používá tzv. charakteristická funkce, která určuje výplatu každé koalice hráčů. Předpokládá se, že výplata prázdné koalice je nulová.
Důvody pro tento přístup lze nalézt v knize von Neumanna a Morgensterna. Při studiu normální formy koaličních her usoudili, že pokud se ve hře se dvěma stranami vytvoří koalice C, postaví se proti ní koalice N \ C. Vznikne takříkajíc hra pro dva hráče. Ale protože existuje mnoho variant možných koalic (jmenovitě 2N, kde N je počet hráčů), bude výplata za C nějakou charakteristickou hodnotu v závislosti na složení koalice. Formálně je hra v této formě (také nazývaná TU hra) reprezentována dvojicí (N, v), kde N je množina všech hráčů a v: 2N → R je charakteristická funkce.
Tuto formu prezentace lze aplikovat na všechny hry, včetně těch, které nemají přenosnou užitečnost. V současné době existují způsoby, jak převést jakoukoli hru z normální do charakteristické formy, ale transformace opačným směrem není ve všech případech možná.
4. Typy her
družstevní i nespolupracující.
Hra se nazývá kooperativní nebo koalice, pokud se hráči mohou sjednotit ve skupinách, převzít určité závazky vůči ostatním hráčům a koordinovat své akce. V tom se liší od nekooperativních her, ve kterých je každý povinen hrát sám za sebe. Zábavné hry jsou zřídka kooperativní, ale takové mechanismy nejsou v každodenním životě neobvyklé.
Často se předpokládá, že kooperativní hry se liší právě ve schopnosti hráčů mezi sebou komunikovat. V obecný případ to není pravda. Jsou hry, kde je komunikace povolena, ale hráči sledují osobní cíle a naopak.
Ze dvou typů her ty nekooperativní popisují situace velmi podrobně a poskytují přesnější výsledky. Družstva berou proces hry jako celek. Pokusy o kombinaci obou přístupů přinesly značné výsledky. Takzvaný Nash program již našel řešení některých kooperativních her jako rovnovážné situace pro nekooperativní hry.
Hybridní hry zahrnují prvky kooperativních a nekooperativních her. Hráči mohou například vytvářet skupiny, ale hra se bude hrát v nekooperativním stylu. To znamená, že každý hráč bude sledovat zájmy své skupiny a zároveň se bude snažit dosáhnout osobního zisku.
Herní teorie- teorie matematické modely dělat optimální rozhodnutí v konfliktních situacích. Vzhledem k tomu, že strany zúčastněné ve většině konfliktů mají zájem skrývat své záměry před nepřítelem, rozhodování v konfliktu se zpravidla odehrává za podmínek nejistoty. Faktor nejistoty lze naopak interpretovat jako oponenta rozhodujícího subjektu (rozhodování v podmínkách nejistoty lze tedy chápat jako rozhodování v podmínkách konfliktu). Zejména mnohá tvrzení matematické statistiky jsou přirozeně formulována jako herně teoretická.
Teorie her je odvětví aplikované matematiky, které se používá ve společenských vědách (převážně v ekonomii), biologii, politologii, informatice (hlavně pro umělou inteligenci) a filozofii. Teorie her se pokouší opravit matematicky chování v strategické situace, ve kterém úspěšnost výběru subjektu závisí na výběru ostatních účastníků. Pokud byla nejprve vyvinuta analýza hry, ve které jeden z protivníků vyhrává na úkor ostatních (hry s nulovým součtem), později se začalo uvažovat o široké třídě interakcí, které byly klasifikovány podle určitých kritérií. Dnes „teorie her je něco jako deštník nebo univerzální teorie pro racionální stránku sociálních věd, kde sociální může být chápáno široce, včetně lidských i nehumánních hráčů (počítače, zvířata, rostliny)“ (Robert Aumann, 1987)
Toto odvětví matematiky dostalo určitou reflexi v populární kultura. V roce 1998 vydala americká spisovatelka a novinářka Sylvia Nazar knihu o životě Johna Nashe, nositele Nobelovy ceny za ekonomii za úspěchy v teorii her, a v roce 2001 byl podle knihy natočen film A Beautiful Mind. (Teorie her je tedy jedním z mála oborů matematiky, do kterého se můžete dostat Nobelova cena). Některé americké televizní pořady jako např Přítel nebo nepřítel, Přezdívka nebo ČÍSLA pravidelně používají teorii her ve svých vydáních.
John Nash - matematik, laureát Nobelovy ceny je široké veřejnosti známý díky filmu A Beautiful Mind.
Pojem teorie her
Logickým základem teorie her je formalizace tří pojmů zahrnutých v její definici a jsou zásadní pro celou teorii:
- Konflikt,
- Rozhodování v konfliktu
- Optimálnost rozhodnutí.
Tyto pojmy jsou v teorii her zvažovány v nejširším slova smyslu. Jejich formalizace odpovídá smysluplné reprezentaci odpovídajících objektů.
Pokud pojmenujete účastníky konfliktu akční koalice(označujíc jejich sadu jako D, možné akce každé z akční koalice jsou její strategie(soubor všech strategií akční koalice K označený jako S), výsledky konfliktu - situace(množina všech situací je označena jako S; má se za to, že každá situace se vyvíjí jako výsledek volby každé z koalic akcí některé z jejích strategií, takže 
), dotčené strany - koalice zájmů(je jich mnoho - já) a nakonec mluvit o možných přínosech pro jednotlivé koalice zájmů K jednu situaci s"před druhým s„(tato skutečnost je označena jako), pak lze konflikt jako celek popsat jako systém
Takový systém představující konflikt se nazývá hra. Konkretizace komponent definujících hru vede k různým třídám her.
Klasifikace hry
Samostatné třídy nekooperativních her jsou:
- antagonistické hry, včetně maticové hry a hry na jednotkovém náměstí.
- dynamické hry, včetně diferenciálních her,
- rekurzivní hry,
- hry o přežití
a jiní také odkazují na nekooperativní hry.
Matematický aparát
Teorie her široce využívá různé matematické metody a výsledky teorie pravděpodobnosti, klasické analýzy, funkcionální analýzy (důležité jsou zejména věty o pevných bodech), kombinatorické topologie, teorie diferenciálních a integrálních rovnic a dalších. Specifičnost teorie her přispívá k rozvoji různých matematických oblastí (například teorie konvexních množin, lineární programování, atd.).
Rozhodování v teorii her je považováno za volbu akce koalice, nebo zejména za volbu nějaké strategie hráče. Tuto volbu si lze představit jako jednorázovou akci a lze ji formálně povýšit na volbu prvku ze sady. Hry s takovým pochopením výběru strategií se nazývají hry v normální podobě. Jsou v kontrastu s dynamickými hrami, ve kterých je volba strategie procesem probíhajícím v určitém čase, který je doprovázen rozšiřováním a zužováním příležitostí, získáváním a ztrátou informací o aktuálním stavu věcí atd. Formálně je strategie v takové hře funkcí definovanou na množině všech informačních stavů rozhodovatele. Nekritické používání „svobody volby“ strategií může vést k paradoxním jevům.
Optimality a decouplings
Otázka formalizace konceptu optimality je velmi složitá. V teorii her neexistuje jediný koncept optimality, takže musíme zvážit několik principů optimality. Rozsah aplikace každého z principů optimality používaných v teorii her je omezen na relativně úzké třídy her nebo se týká omezených aspektů jejich zohlednění.
Základem každého z těchto principů jsou některé intuice o optimu jako o něčem „stabilním“ nebo „spravedlivém“. Formalizace těchto reprezentací dává požadavky kladené na optimum a mající charakter axiomů.
Mezi těmito požadavky mohou být ty, které si vzájemně odporují (například můžete ukázat konflikty, ve kterých jsou strany nuceny spokojit se s malými zisky, protože velkých zisků lze dosáhnout pouze v nejistých situacích); proto nelze v teorii her formulovat jednotný princip optimality.
Nazývají se situace (nebo soubory situací), které splňují určité požadavky na optimalitu v nějaké hře rozhodnutí tato hra. Protože myšlenka optimality není jednoznačná, byly výsledky her v různých smyslech. Vytváření definic herních řešení, jejich existence a vývoj způsobů, jak je skutečně hledat, jsou tři hlavní otázky moderní teorie her. S nimi úzce souvisí otázky o jedinečnosti řešení her, o existenci v určitých třídách her řešení, která mají nějaké předem dané vlastnosti.
Příběh
Teorie her se jako matematická disciplína zrodila současně s teorií pravděpodobnosti v 17. století, ale téměř 300 let se příliš nerozvíjela. Za první významnou práci o teorii her je třeba považovat článek J. von Neumanna „O teorii strategické hry"(1928) a vydáním monografie amerických matematiků J. von Neumanna a O. Morgensterna "Teorie her a ekonomické chování" (1944) vznikla teorie her jako samostatná matematická disciplína. Na rozdíl od jiných oborů matematiky, které mají převážně fyzikální nebo fyzikálně-technologický původ, byla teorie her od samého počátku svého vývoje zaměřena na řešení problémů vznikajících v ekonomice (zejména v konkurenční ekonomice).
Později se myšlenky, metody a výsledky teorie her začaly uplatňovat i v jiných oblastech poznání zabývajících se konflikty: ve vojenských záležitostech, v otázkách morálky, při studiu masového chování jedinců s různými zájmy (například v otázkách migrace obyvatelstva nebo při úvahách o biologickém boji o existenci). Herní teoretické metody pro přijímání optimálních rozhodnutí za nejistoty mohou mít široké uplatnění v medicíně, v ekonomickém a sociálním plánování a prognózování, v řadě otázek vědy a techniky. Někdy je teorie her označována jako matematický aparát kybernetiky, nebo teorie operačního výzkumu.
V praxi je často nutné činit rozhodnutí tváří v tvář opozici druhé strany, která může sledovat opačné nebo odlišné cíle, zasahovat do určitých akcí nebo stavů. vnější prostředí dosažení zamýšleného cíle. Navíc tyto vlivy opačné strany mohou být pasivní nebo aktivní. V takových případech je nutné vzít v úvahu možné chování opačné strany, reakční akce a jejich možné důsledky.
Možné varianty chování obou stran a jejich výsledky pro každou kombinaci možností a stavů jsou často prezentovány formou matematického modelu, nazval hru .
Pokud je protistrana neaktivní, pasivní strana, která se vědomě nestaví proti dosažení zamýšleného cíle, pak tato hra se jmenuje hrát si s přírodou. Příroda je obvykle chápána jako soubor okolností, za kterých je třeba činit rozhodnutí (nejistota povětrnostních podmínek, nejistota chování zákazníků při obchodních aktivitách, nejistota reakce obyvatelstva na nové druhy zboží a služeb atd.)
V jiných situacích se opačná strana aktivně, vědomě staví proti dosažení zamýšleného cíle. V takových případech dochází ke střetu protichůdných zájmů, názorů, představ. Takové situace nazývaný konflikt , a rozhodování v konfliktní situaci ztěžuje nejistota chování nepřítele. Je známo, že nepřítel se vědomě snaží podniknout pro vás nejméně výhodné akce, aby si zajistil co největší úspěch. Není známo, do jaké míry je nepřítel schopen posoudit situaci a možné následky, jak posuzuje vaše schopnosti a záměry. Obě strany nemohou předvídat vzájemné jednání. Navzdory takové nejistotě je na každé straně konfliktu, jak se rozhodne.
V ekonomice jsou konfliktní situace velmi časté a mají různorodý charakter. Patří mezi ně např. vztah mezi dodavatelem a spotřebitelem, kupujícím a prodávajícím, bankou a klientem atd. Ve všech těchto příkladech je konfliktní situace generována rozdílností zájmů partnerů a touhou každého z nich přijímat optimální rozhodnutí. Každý přitom musí počítat nejen se svými vlastními cíli, ale i s cíli partnera a brát v úvahu jeho případné, předem neznámé jednání.
Ke vzniku vedla potřeba zdůvodnit optimální řešení v konfliktních situacích herní teorie.
Herní teorie - je matematická teorie konfliktních situací. Východiska této teorie jsou předpoklad úplné „ideální“ inteligence nepřítele a přijetí co nejopatrnějšího rozhodnutí při řešení konfliktu.
Konfliktní strany se nazývají hráčů , jednou implementací hry je oslava , výsledek hry je vyhrát nebo prohrát . Jakákoli pro hráče možná akce (v rámci daných pravidel hry) se nazývá jeho strategie .
Smyslem hry je, že každý z hráčů se v rámci daných pravidel hry snaží uplatnit strategii, která je pro něj optimální, tedy strategii, která pro něj povede k nejlepšímu výsledku. Jednou ze zásad optimálního (účelného) chování je dosažení rovnovážné situace, na jejímž porušení nemá žádný z hráčů zájem.
Právě rovnovážná situace může být předmětem stabilních smluv mezi hráči. Kromě toho jsou rovnovážné situace výhodné pro každého hráče: v rovnovážné situaci dostává každý hráč největší odměnu, a to do té míry, do jaké to závisí na něm.
Matematický model konfliktní situace nazval hrou strany konfliktu, se nazývají hráči.
Pravidla jsou zavedena pro každou formalizovanou hru. V obecném případě pravidla hry stanovují možnosti akcí hráčů; množství informací, které má každý hráč o chování partnerů; přínos, ke kterému každá sada akcí vede.
Vývoj hry v čase probíhá postupně, ve fázích nebo tahech. V teorii her se nazývá tah výběr jedné z akcí stanovených pravidly hry a její provedení. Pohyby jsou osobní a náhodné. osobní tah nazývá se vědomá volba hráče jedné z možných variant akce a její realizace. Náhodný pohyb nazývají volbu učiněnou nikoli dobrovolným rozhodnutím hráče, ale nějakým mechanismem náhodné volby (hození mincí, přihrávka, rozdání karet atd.).
V závislosti na důvodech, které způsobují nejistotu výsledků, lze hry rozdělit do následujících hlavních skupin:
kombinované hry, ve kterém pravidla dávají v zásadě každému hráči možnost analyzovat všechny různé možnosti svého chování a porovnáním těchto možností vybrat tu, která vede k nejlepšímu výsledku pro tohoto hráče. Nejistota výsledku je obvykle spojena s tím, že počet možných chování (tahů) je příliš velký a hráč prakticky není schopen je všechny protřídit a analyzovat.
hazardní hry , ve kterém je výsledek nejistý vlivem různých náhodných faktorů. Hazardní hry se skládají pouze z náhodných tahů, při jejichž analýze se uplatňuje teorie pravděpodobnosti. Matematická teorie her se hazardem nezabývá.
Strategické hry , ve kterém je naprostá nejistota výběru odůvodněna skutečností, že každý z hráčů při rozhodování o volbě nadcházejícího tahu neví, jakou strategii budou ostatní účastníci hry sledovat, a neznalost hráče o chování a záměrech partnerů je zásadní povahy, protože neexistují žádné informace o následných akcích soupeře (partnera).
Existují hry, které kombinují vlastnosti kombinovaných a hazardních her, strategickou povahu her lze kombinovat s kombinatorialitou atp.
Podle počtu účastníků hry dále rozdělené na párové a vícenásobné. Ve hře párů je počet účastníků dva, ve hře více než dva. Účastníci vícenásobné hry mohou vytvářet koalice. V tomto případě jsou hry tzv koalice . Vícenásobná hra se změní na párovou, pokud její účastníci vytvoří dvě stálé koalice.
Jedním ze základních pojmů teorie her je strategie. Strategie hráče je soubor pravidel, která určují volbu varianty akcí pro každý osobní tah tohoto hráče v závislosti na situaci, která se během hry vyvinula.
Optimální strategie Hráčská strategie je taková strategie, která při mnohonásobném opakování hry obsahující osobní a náhodné tahy poskytuje hráči maximální možný průměrný zisk nebo minimální možnou ztrátu bez ohledu na chování soupeře.
Hra se jmenuje Ultimátni , pokud je počet hráčských strategií konečný, a nekonečný pokud má alespoň jeden z hráčů nekonečný počet strategií.
Ve víceprůchodových problémech teorie her se pojmy „strategie“ a „varianta možných akcí“ od sebe výrazně liší. V jednoduchých (jednotahových) herních problémech, kdy každý hráč může provést jeden tah v každé hře, se tyto pojmy shodují, a v důsledku toho sada hráčských strategií pokrývá všechny možné akce, které může podniknout v jakékoli možné situaci a s případnými faktickými informacemi.
Existují hry a výše výher. Hra se jmenuje nula sumo čt, pokud každý hráč vyhraje na úkor ostatních a součet zisku jedné strany se rovná součtu ztrát druhé strany. Ve hře párů s nulovým součtem jsou zájmy hráčů přímo opačné. Nazývá se párová hra s nulovým součtem jáantagonistická hra .
Hry, ve kterých zisk jednoho hráče a ztráta druhého nejsou stejné, volalhry s nenulovým součtem .
Existují dva způsoby, jak popsat hry: polohové a normální . Poziční metoda je spojena s rozšířenou formou hry a je redukována na graf po sobě jdoucích kroků (herní strom). Normálním způsobem je explicitně reprezentovat sadu hráčských strategií a platební funkce . Funkce výplaty ve hře určuje výplatu pro každou stranu pro každou sadu strategií zvolených hráči.
Z populárního amerického blogu Cracked.
Teorie her je o tom, jak se naučit udělat nejlepší tah a ve výsledku získat co největší kus výherního koláče tím, že část z něj ukrojíte ostatním hráčům. Naučí vás analyzovat mnoho faktorů a vyvodit logicky vážené závěry. Myslím, že by se to mělo studovat po číslech a před abecedou. Jednoduše proto, že příliš mnoho lidí dělá důležitá rozhodnutí na základě intuice, tajných proroctví, zarovnání hvězd a podobně. Pečlivě jsem studoval teorii her a nyní vám chci říci o jejích základech. Možná to přidá zdravý rozum do vašeho života.
1. Dilema vězně
Berto a Robert byli zatčeni za bankovní loupež poté, co řádně nepoužili k útěku ukradené auto. Policie nemůže prokázat, že to byli oni, kdo vyloupili banku, ale chytili je při činu v kradeném autě. Byli odvedeni do různých místností a každému byla nabídnuta dohoda: předat komplice a poslat ho na 10 let do vězení a sám se osvobodit. Ale pokud se oba zradí, pak každý dostane 7 let. Když nikdo nic neřekne, tak si oba sednou na 2 roky jen za krádež auta.
Ukáže se, že pokud Berto mlčí, ale Robert ho zradí, Berto jde na 10 let do vězení a Robert jde na svobodu. Každý vězeň je hráč a prospěch každého může být reprezentován jako „vzorec“ (co dostanou oba, co dostane ten druhý). Například, když vás trefím, moje výherní schéma bude vypadat takto (vyhraju hrubě, vy trpíte silná bolest). Protože každý vězeň má dvě možnosti, můžeme výsledky prezentovat v tabulce.
Praktická aplikace: Sledování sociopatů
Zde vidíme hlavní aplikaci teorie her: identifikace sociopatů, kteří myslí jen na sebe. Teorie skutečných her je mocným analytickým nástrojem a amatérismus často slouží jako červená vlajka s hlavou prozrazující osobu postrádající čest. Intuitivní lidé si myslí, že je lepší být ošklivý, protože to povede ke kratšímu trestu vězení bez ohledu na to, co druhý hráč udělá. Technicky je to správně, ale pouze pokud jste krátkozraký člověk, který dává čísla vyšší lidské životy. To je důvod, proč je teorie her ve financích tak populární.
Skutečným problémem Vězňova dilematu je to, že ignoruje data. Například nezohledňuje možnost, že se setkáte s přáteli, příbuznými nebo dokonce věřiteli osoby, kterou jste dali na 10 let do vězení.
Nejhorší ze všeho je, že všichni, kdo se účastní Vězňova dilematu, se chovají, jako by to nikdy neslyšeli.
A nejlepším krokem je mlčet a o dva roky později spolu s dobrý přítel používat veřejné peníze.
2. Dominantní strategie
Toto je situace, ve které vaše akce dávají největší zisk, bez ohledu na akce vašeho soupeře. Ať se stane cokoliv, udělal jsi všechno správně. To je důvod, proč mnoho lidí v Prisoner's Dilema věří, že zrada vede k „nejlepšímu“ výsledku bez ohledu na to, co druhá osoba dělá, a neznalost reality vlastní této metodě způsobuje, že vše vypadá velmi jednoduše.
Většina her, které hrajeme, nemá striktně dominantní strategie, protože jinak by byly hrozné. Představte si, že byste pořád dělali to samé. Ve hře kámen-papír-nůžky neexistuje žádná dominantní strategie. Ale pokud byste hráli s člověkem, který měl na ruce rukavice a uměl ukázat jen kámen nebo papír, měli byste dominantní strategii: papír. Váš papír obalí jeho kámen nebo vyústí v remízu a vy nemůžete prohrát, protože váš soupeř neumí ukázat nůžky. Nyní, když máte dominantní strategii, chtělo by to hlupáka zkoušet cokoli jiného.
3. Bitva pohlaví
Hry jsou zajímavější, když nemají striktně dominantní strategii. Například bitva pohlaví. Anjali a Borislav jdou na rande, ale nemohou se rozhodnout mezi baletem a boxem. Anjali miluje box, protože ráda vidí, jak teče krev k radosti ječícího davu diváků, kteří se považují za civilizované jen proto, že zaplatili za něčí rozbité hlavy.
Borislav se chce dívat na balet, protože chápe, že baletky procházejí spoustou zranění a nejtěžším tréninkem s vědomím, že jedním zraněním může vše ukončit. Baletní tanečníci jsou největší sportovci na světě. Balerína vás může kopnout do hlavy, ale nikdy to neudělá, protože její noha má mnohem větší cenu než váš obličej.
Každý z nich chce jít na svou oblíbenou akci, ale nechtějí si to užít sami, takže zde je jejich vítězné schéma: nejvyšší hodnotu- dělejte, co se jim líbí nejmenší hodnotu- jen být s jinou osobou a nula - být sám.
Někteří lidé doporučují tvrdošíjně balancovat na pokraji války: když děláte, co chcete, bez ohledu na to, co chcete, ten druhý se musí podřídit vaší volbě, jinak o všechno přijde. Jak jsem již řekl, Zjednodušená teorie her je skvělá na odhalování bláznů.
Praktické použití: Vyhněte se ostrým rohům
Tato strategie má samozřejmě i své významné nevýhody. Za prvé, pokud budete se svými schůzkami zacházet jako s „bitvou pohlaví“, nebude to fungovat. Oddělte se, aby si každý z vás našel člověka, který se mu líbí. A druhým problémem je, že v této situaci jsou si účastníci tak nejistí, že to nezvládnou.
Skutečně vítěznou strategií pro každého je dělat to, co chce, a poté, nebo další den, až budou mít volno, jděte spolu do kavárny. Nebo střídejte box a balet, dokud ve světě zábavy nedojde k revoluci a dokud nebude vynalezen boxerský balet.
4. Nashova rovnováha
Nashova rovnováha je soubor pohybů, kde nikdo nechce dělat něco jinak. A pokud se nám to podaří, teorie her nahradí celý filozofický, náboženský a finanční systém na planetě, protože „touha neselhat“ se pro lidstvo stala mocnější hnací silou než oheň.
Pojďme si těch 100 dolarů rychle rozdělit. Vy a já rozhodujeme, kolik ze sta požadujeme, a zároveň oznamujeme částky. Pokud je náš součet méně než sto, každý dostane, co chtěl. Pokud je součet vyšší než sto, ten, kdo požádal o nejmenší částku, dostane požadovanou částku, zatímco chamtivější dostane to, co zbyde. Pokud požádáme o stejnou částku, každý dostane 50 dolarů. Kolik budete chtít? Jak si rozdělíte peníze? Existuje pouze jeden vítězný tah.
Požadavek 51 $ vám poskytne maximální částku bez ohledu na to, co si váš soupeř vybere. Pokud požádá o více, dostanete 51 dolarů. Pokud požádá o 50 nebo 51 dolarů, dostanete 50 dolarů. A pokud požádá o méně než 50 dolarů, dostanete 51 dolarů. V každém případě není jiná možnost, která vám přinese více peněz než tento. Nashova rovnováha je situace, ve které si oba vybereme 51 dolarů.
Praktická aplikace: Nejprve myslete
To je celý smysl teorie her. Nemusíte vyhrávat, natož ubližovat ostatním hráčům, ale musíte udělat ten nejlepší krok pro sebe, bez ohledu na to, co pro vás ostatní přichystají. A ještě lépe, když je tento krok výhodný pro ostatní hráče. To je druh matematiky, která by mohla změnit společnost.
Zajímavou variantou této myšlenky je pití, které lze nazvat Nashovou rovnováhou s časovou závislostí. Když dostatečně pijete, nestaráte se o činy druhých, ať dělají, co dělají, ale druhý den opravdu litujete, že jste to neudělali jinak.
5. Hra házení
Losu se účastní hráč 1 a hráč 2. Každý hráč si současně volí hlavy nebo ocasy. Pokud uhodnou správně, hráč 1 dostane penny hráče 2. Pokud ne, hráč 2 dostane minci hráče 1.
Vítězná matice je jednoduchá...
…optimální strategie: hrajte zcela náhodně. Je to těžší, než si myslíte, protože výběr musí být zcela náhodný. Pokud dáváte přednost hlavám nebo ocasům, může je soupeř použít k tomu, aby vám vzal peníze.
Samozřejmě, skutečný problém je v tom, že by bylo mnohem lepší, kdyby po sobě házeli jeden cent. Ve výsledku by jejich zisky byly stejné a výsledné trauma by těmto nešťastníkům mohlo pomoci pocítit něco jiného než strašnou nudu. Koneckonců tohle nejhorší hra vůbec existující. A to je ideální model pro penaltový rozstřel.
Praktické použití: Penalta
Ve fotbale, hokeji a mnoha dalších hrách je prodloužení penaltovým rozstřelem. A zajímavější by byly, kdyby vycházely z toho, kolikrát hráči v plné formě zvládnou „kolečko“, protože to by bylo alespoň ukazatelem jejich fyzických schopností a bylo by zábavné to sledovat. Brankáři nemohou na samém začátku svého pohybu jednoznačně určit pohyb míče nebo puku, protože roboti se bohužel stále našich sportů neúčastní. Brankář musí zvolit levý nebo pravý směr a doufat, že se jeho volba bude shodovat s volbou soupeře kopajícího na bránu. Má to něco společného s hrou o mince.
Všimněte si však, že to není dokonalý příklad podobnosti s hrou hlavy a ocasu, protože i když správná volba ve směru, brankář nesmí chytit míč a útočník nesmí zasáhnout branku.
Jaký je tedy náš závěr podle teorie her? Míčové hry by měly končit způsobem „multi-ball“, kdy každou minutu obdrží hráči jeden na jednoho míč/puk navíc, dokud jedna strana nedosáhne určitého výsledku, který byl známkou skutečné dovednosti hráčů, a nikoli okázalou náhodou.
Koneckonců, teorie her by měla sloužit k tomu, aby byla hra chytřejší. A to znamená lepší.
