Bernoulliho schéma. Příklady řešení problémů

1

1. Bogoljubov A.N. Matematika. Mechanika: biografický průvodce. - Kyjev: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Analýza a hodnocení priority úseků matematických oborů studovaných studenty ekonomických specializací zemědělských univerzit // Bulletin APK Stavropolu. - 2013. - č. 1 (9). - S. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Vyhlídky na uplatnění matematické metody v ekonomickém výzkumu // Agrární věda, kreativita, růst. - 2013. - S. 255-257.

V matematice se poměrně často vyskytují problémy, ve kterých je velký počet opakování stejné podmínky, testu nebo experimentu. Výsledek každého testu bude považován za zcela odlišný výsledek od předchozího. Závislost na výsledcích také nebude pozorována. Jako výsledek testu lze rozlišit několik možností elementárních důsledků: výskyt události (A) nebo výskyt události, která A doplňuje.

Pak zkusme předpokládat, že pravděpodobnost výskytu jevu Р(А) je regulární a rovná se р (0<р<1).

Příkladem takové výzvy může být velké množství úkolů, jako je házení mincí, vytahování černobílých kuliček z tmavého sáčku nebo porod černobílých králíků.

Takový experiment se nazývá konfigurace opakovaného nezávislého testu nebo Bernoulliho schéma.

Jacob Bernoulli se narodil v rodině lékárníka. Otec se snažil syna poučit o lékařské dráze, ale J. Bernoulli se o matematiku začal zajímat sám a později se stala jeho profesí. Vlastní různé trofeje v dílech na témata z teorie pravděpodobnosti a čísel, řad a diferenciálního počtu. Jacob se o to začal zajímat poté, co studoval teorii pravděpodobnosti z jedné z Huygensových prací „O kalkulacích v hazardu“. V této knize dokonce nebyla ani jasná definice pojmu „pravděpodobnost“. Byl to J. Bernoulli, kdo zavedl většinu moderních konceptů teorie pravděpodobnosti do matematiky. Bernoulli byl také první, kdo vyjádřil svou verzi zákona velkých čísel. Jacobovo jméno nesou různé práce, věty a schémata: "Bernoulliho čísla", "Bernoulliho polynom", "Bernoulliho diferenciální rovnice", "Bernoulliho rozdělení" a "Bernoulliho rovnice".

Vraťme se k opakování. Jak již bylo zmíněno výše, v důsledku různých testů jsou možné dva výsledky: buď se objeví událost A, nebo opak této události. Samotné Bernoulliho schéma označuje produkci n-tého počtu typických volných experimentů a v každém z těchto experimentů se může objevit událost A, kterou potřebujeme (pravděpodobnost této události je známá: P (A) \u003d p), pravděpodobnost opačné události k události A je označena vztahem q \u003d P ( A)=1-p. Je třeba určit pravděpodobnost, že při testování neznámého čísla událost A nastane přesně kkrát.

Je důležité mít na paměti, že hlavní podmínkou při řešení problémů pomocí Bernoulliho schématu je stálost. Bez toho schéma ztrácí veškerý smysl.

Toto schéma lze použít k řešení problémů různé úrovně složitosti: od jednoduchých (stejná mince) po složité (úrokové). Častěji se však Bernoulliho schéma používá při řešení takových problémů, které jsou spojeny s kontrolou vlastností různých produktů a důvěrou v různé mechanismy. Pouze k vyřešení problému musí být před zahájením práce předem známy všechny podmínky a hodnoty.

Ne všechny problémy v teorii pravděpodobnosti jsou za podmínek redukovány na stálost. I když si jako příklad vezmeme černobílé koule v tmavém sáčku: při vytažení jedné koule se změnil poměr počtu a barev kuliček v sáčku, což znamená, že se změnila i samotná pravděpodobnost.

Pokud jsou však naše podmínky konstantní, pak z nás můžeme přesně určit požadovanou pravděpodobnost, že událost A nastane přesně kkrát z n možných.

Tuto skutečnost zkompiloval Jacob Bernoulli do věty, která se později stala známou jako jeho jméno. "Bernoulliho teorém" je jedním z hlavních teorémů v teorii pravděpodobnosti. Poprvé byla publikována v díle J. Bernoulliho „Umění předpokladů“. Co je to za větu? „Pokud je pravděpodobnost p výskytu jevu A v každém pokusu konstantní, pak pravděpodobnost Pk,n, že událost nastane kkrát v n pokusech, které jsou na sobě nezávislé, je rovna: , kde q=1-p .“

V důkazu účinnosti vzorce mohou být zadány úkoly.

Úkol 1:

Z n sklenic za měsíc skladování je k rozbitých. Náhodně vzal m plechovek. Najděte pravděpodobnost, že se mezi těmito sklenicemi nerozbiju. n=250, k=10, m=8, l=4.

Řešení: Máme Bernoulliho schéma s hodnotami:

p=10/250=0,04 (pravděpodobnost, že se banky rozbijí);

n=8 (počet pokusů);

k=8-4=4 (počet rozbitých sklenic).

Používáme Bernoulliho vzorec

Přijato:

Odpověď: 0,0141

Úkol č. 2:

Pravděpodobnost výroby vadného výrobku ve výrobě je 0,2. Najděte pravděpodobnost, že z 10 výrobků vyrobených v tomto výrobním závodě musí být právě k v dobrém stavu. Spusťte řešení pro k = 0, 1, 10.

Zajímá nás událost A - výroba provozuschopných dílů, která se děje jednou za hodinu s pravděpodobností p=1-0,2=0,8. Musíme najít pravděpodobnost, že daná událost nastane kkrát. Událost A je opakem události „ne A“, tzn. výroba vadného výrobku.

Proto máme: n=10; p = 0,8; q = 0,2.

V důsledku toho zjistíme pravděpodobnost, že z 10 vyrobených produktů jsou všechny produkty vadné (k=0), že jeden produkt je v dobrém stavu (k=1), že nejsou vůbec žádné vadné (k=10) :

Na závěr bych chtěl poznamenat, že v moderní době se mnoho vědců snaží dokázat, že "Bernoulliho vzorec" není v souladu s přírodními zákony a že problémy lze vyřešit bez jeho použití. Samozřejmě je to možné, většinu problémů v teorii pravděpodobnosti lze provést bez Bernoulliho vzorce, hlavní je nenechat se zmást ve velkých objemech čísel.

Bibliografický odkaz

Khomutova E.A., Kaliničenko V.A. BERNULLIHO VZOREC V TEORIÍ PRAVDĚPODOBNOSTI // Mezinárodní studentský vědecký bulletin. - 2015. - č. 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (datum přístupu: 3.12.2019). Upozorňujeme na časopisy vydávané nakladatelstvím "Přírodovědná akademie"

V této lekci najdeme pravděpodobnost výskytu události v nezávislých pokusech, když se pokusy opakují. . Pokusy se nazývají nezávislé, pokud pravděpodobnost jednoho nebo druhého výsledku každého pokusu nezávisí na tom, jaké výsledky měly jiné pokusy. . Nezávislé testy lze provádět jak za stejných podmínek, tak za různých podmínek. V prvním případě je pravděpodobnost výskytu události ve všech pokusech stejná, ve druhém případě se liší od soudu k soudu.

Příklady nezávislých opakovaných testů :

• jeden z uzlů zařízení nebo dva nebo tři uzly selžou a selhání každého uzlu nezávisí na druhém uzlu a pravděpodobnost selhání jednoho uzlu je ve všech testech konstantní;
• díl vyrobený za určitých konstantních technologických podmínek nebo tři, čtyři, pět dílů se ukáže jako nestandardní a jeden díl se může ukázat jako nestandardní bez ohledu na jakýkoli jiný díl a pravděpodobnost, že díl bude ukázat se jako nestandardní je konstantní ve všech testech;
• z několika výstřelů na terč zasáhne cíl jeden, tři nebo čtyři výstřely bez ohledu na výsledek ostatních výstřelů a pravděpodobnost zásahu do cíle je ve všech zkouškách konstantní;
• když je mince vhozena, stroj bude správně fungovat jednou, dvakrát nebo několikrát, bez ohledu na to, jaké jiné vhození mince bylo provedeno, a pravděpodobnost, že stroj bude fungovat správně, je ve všech pokusech konstantní.

Tyto události lze popsat jedním schématem. Každá událost nastává v každém pokusu se stejnou pravděpodobností, která se nemění, pokud jsou známy výsledky předchozích pokusů. Takové testy se nazývají nezávislé a schéma se nazývá Bernoulliho schéma . Předpokládá se, že takové testy lze opakovat tolikrát, kolikrát je třeba.

Pokud pravděpodobnost p událost A je konstantní v každém pokusu, pak pravděpodobnost, že v n nezávislá testovací akce A přijde mčasy, umístěné na Bernoulliho vzorec :

(kde q= 1 – p- pravděpodobnost, že k události nedojde)

Stanovme si úkol – najít pravděpodobnost, že událost tohoto typu v n přijdou nezávislé soudy m jednou.

Bernoulliho vzorec: příklady řešení problémů

Příklad 1 Najděte pravděpodobnost, že z pěti náhodně vybraných částí jsou dvě standardní, pokud je pravděpodobnost, že každá část je standardní, 0,9.

Rozhodnutí. Pravděpodobnost události A, spočívající v tom, že náhodně odebraná část je standardní, je p=0,9 a pravděpodobnost, že je nestandardní, je q=1–p=0,1. Událost uvedená ve stavu problému (označujeme ji NA) nastane, pokud jsou například první dvě části standardní a další tři jsou nestandardní. Ale událost NA se také vyskytuje, pokud je první a třetí část standardní a zbytek je nestandardní, nebo pokud je druhá a pátá část standardní a zbytek je nestandardní. Existují další možnosti, jak událost nastat. NA. Kterýkoli z nich se vyznačuje tím, že z pěti odebraných dílů se dva, které zaujímají libovolné místo z pěti, ukážou jako standardní. Tedy celkový počet různých možností vzniku události NA se rovná počtu možností umístění dvou standardních dílů na pěti místech, tzn. se rovná počtu kombinací pěti prvků po dvou a .

Pravděpodobnost každé možnosti je podle věty o násobení pravděpodobnosti rovna součinu pěti faktorů, z nichž dva, odpovídající vzhledu standardních součástí, jsou rovny 0,9 a zbývající tři, odpovídající vzhledu ne -standardní díly, jsou rovny 0,1, tzn. tato pravděpodobnost je. Protože těchto deset možností jsou neslučitelné události, podle věty o sčítání pravděpodobnost události NA, kterou označujeme

Příklad 2 Pravděpodobnost, že si stroj do hodiny vyžádá pozornost pracovníka, je 0,6. Za předpokladu, že poruchy na strojích jsou nezávislé, zjistěte pravděpodobnost, že během hodiny bude pozornost pracovníka vyžadovat kterýkoli ze čtyř strojů, které obsluhuje.

Rozhodnutí. Použitím Bernoulliho vzorec na n=4 , m=1 , p= 0,6 a q=1–p= 0,4, dostáváme

Příklad 3 Pro běžný provoz vozovny musí být na lince minimálně osm vozů a těch je deset. Pravděpodobnost nevyjetí každého vozu na linku je rovna 0,1. Najděte pravděpodobnost normálního provozu depa v následujícím dni.

Rozhodnutí. Autobase bude fungovat dobře (event F), pokud do řádku vstoupí buď jeden nebo osm (událost A), nebo devět (událost NA), nebo událost všech deset vozů (event C). Podle věty o sčítání pravděpodobnosti

Najdeme každý termín podle Bernoulliho vzorce. Tady n=10 , m=8; 10 a p\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, od p by měl znamenat pravděpodobnost vjezdu automobilu na linku; pak q=0,1. V důsledku toho dostáváme

Příklad 4 Pravděpodobnost, že zákazník potřebuje pánskou botu velikosti 41, nechť je 0,25. Najděte pravděpodobnost, že ze šesti kupujících alespoň dva potřebují boty velikosti 41.

Nechť je provedeno n pokusů s ohledem na událost A. Uveďme si následující události: Аk -- událost А byla realizována během k-tého testu, $ k=1,2,\tečky , n$. Potom $\bar(A)_(k) $ je opačná událost (událost A se během k-tého pokusu nevyskytla, $k=1,2,\tečky , n$).

Co jsou peer a nezávislé zkoušky

Definice

Testy jsou volány stejného typu vzhledem k události A, pokud jsou pravděpodobnosti událostí $A1, A2, \dots , An$ stejné: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (tj. pravděpodobnost výskytu události A v jednom pokusu je konstantní ve všech pokusech).

Je zřejmé, že v tomto případě se pravděpodobnosti opačných událostí také shodují: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.

Definice

Pokusy se nazývají nezávislé s ohledem na událost A, pokud jsou události $A1, A2, \dots, An$ nezávislé.

V tomto případě

V tomto případě je rovnost zachována, když je jakákoli událost Ak nahrazena $\bar(A)_(k) $.

Nechť je provedena série n podobných nezávislých pokusů s ohledem na událost A. Nosíme zápis: p - pravděpodobnost jevu A v jednom testu; q je pravděpodobnost opačného jevu. Tedy P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ pro libovolné k a p+q=1.

Pravděpodobnost, že v sérii n pokusů dojde k události A přesně kkrát (0 ≤ k ≤ n), se vypočítá podle vzorce:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Rovnost (1) se nazývá Bernoulliho vzorec.

Pravděpodobnost, že v sérii n nezávislých pokusů stejného typu dojde k události A alespoň k1krát a maximálně k2krát, se vypočítá podle vzorce:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\součet \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Aplikace Bernoulliho vzorce pro velké hodnoty n vede k těžkopádným výpočtům, takže v těchto případech je lepší použít jiné vzorce - asymptotické.

Zobecnění Bernoulliho schématu

Zvažte zobecnění Bernoulliho schématu. Jestliže v sérii n nezávislých pokusů, z nichž každý má m párově nekompatibilních a možných výsledků Ak s odpovídajícími pravděpodobnostmi Рk= рk(Аk). Pak platí polynomiální distribuční vzorec:

Příklad 1

Pravděpodobnost onemocnění chřipkou během epidemie je 0,4. Najděte pravděpodobnost, že ze 6 zaměstnanců společnosti onemocní

1. přesně 4 zaměstnanci;
2. ne více než 4 zaměstnanci.

Rozhodnutí. 1) K vyřešení tohoto problému je zjevně použitelný Bernoulliho vzorec, kde n=6; k=4; p = 0,4; q=l-p=0,6. Použitím vzorce (1) dostaneme: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \cca 0,138$.

K vyřešení tohoto problému je použitelný vzorec (2), kde k1=0 a k2=4. My máme:

\[\begin(pole)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\součet \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ přibližně 0,959.) \end(array)\]

Nutno podotknout, že tento úkol se snáze řeší pomocí opačné události – onemocněli více než 4 zaměstnanci. Potom, vezmeme-li v úvahu vzorec (7) o pravděpodobností opačných událostí, dostaneme:

Odpověď: $\ 0,959 $.

Příklad 2

Urna obsahuje 20 bílých a 10 černých kuliček. Vyjmou se 4 míčky a každý vytažený míč se vrátí do urny, než se vytáhne další a míčky v urně se promíchají. Najděte pravděpodobnost, že ze čtyř vylosovaných koulí budou 2 bílé koule na obrázku 1.

Obrázek 1.

Rozhodnutí. Nechť je událost A taková -- vylosuje se bílá koule. Pak pravděpodobnosti $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Podle Bernoulliho vzorce je požadovaná pravděpodobnost $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \vpravo)^(2) =\frac(8)(27) $.

Odpověď: $\frac(8)(27) $.

Příklad 3

Určete pravděpodobnost, že rodina s 5 dětmi nebude mít více než 3 dívky. Předpokládá se, že pravděpodobnost narození chlapce a dívky je stejná.

Rozhodnutí. Pravděpodobnost mít dívku $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-pravděpodobnost mít chlapce. V rodině nejsou více než tři dívky, což znamená, že se narodila buď jedna, nebo dvě nebo tři dívky, nebo všichni chlapci v rodině.

Najděte pravděpodobnost, že v rodině nejsou žádné dívky, narodila se jedna, dvě nebo tři dívky: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Požadovaná pravděpodobnost je tedy $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Odpověď: $\frac(13)(16)$.

Příklad 4

První střelec jednou ranou zasáhne první desítku s pravděpodobností 0,6, devítku s pravděpodobností 0,3 a osmičku s pravděpodobností 0,1. Jaká je pravděpodobnost, že při 10 ranách zasáhne deset šestkrát, devětkrát třikrát a osm osmkrát?

Zvažte binomické rozdělení, vypočítejte jeho matematické očekávání, rozptyl, modus. Pomocí funkce MS EXCEL BINOM.DIST() vykreslíme grafy distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti. Odhadněme distribuční parametr p, matematické očekávání rozdělení a směrodatnou odchylku. Zvažte také Bernoulliho distribuci.

Definice. Nechte je držet n testy, v každém z nich mohou nastat pouze 2 události: událost "úspěch" s pravděpodobností p nebo událost "selhání" s pravděpodobností q =1-p (tzv Bernoulliho schéma,Bernoullizkoušky).

Pravděpodobnost získání přesně X úspěch v těchto n testy se rovná:

Počet úspěchů ve vzorku X je náhodná proměnná, která má Binomické rozdělení(Angličtina) Binomickýrozdělení) p a n– jsou parametry této distribuce.

Připomeňte si to, abyste mohli požádat Bernoulliho schémata a odpovídajícím způsobem binomické rozdělení, musí být splněny následující podmínky:

• každá zkouška musí mít přesně dva výsledky, podmíněně nazývané „úspěch“ a „neúspěch“.
• výsledek každého testu by neměl záviset na výsledcích předchozích testů (nezávislost testu).
• míra úspěchu p by měl být konstantní pro všechny testy.

Binomické rozdělení v MS EXCEL

V MS EXCEL, počínaje verzí 2010, pro Binomické rozdělení existuje funkce BINOM.DIST(), anglický název je BINOM.DIST(), která umožňuje vypočítat pravděpodobnost, že vzorek bude mít přesně X"úspěchy" (tj. funkce hustoty pravděpodobnosti p(x), viz vzorec výše) a integrální distribuční funkce(pravděpodobnost, že vzorek bude mít X nebo méně "úspěchů", včetně 0).

Před MS EXCEL 2010 měl EXCEL funkci BINOMDIST(), která také umožňuje vypočítat distribuční funkce a hustota pravděpodobnosti p(x). BINOMDIST() je ponechán v MS EXCEL 2010 kvůli kompatibilitě.

Vzorový soubor obsahuje grafy hustota rozdělení pravděpodobnosti a .

Binomické rozdělení má označení B(n; p) .

Poznámka: Na stavbu integrální distribuční funkce dokonale padnoucí typ grafu Plán, pro hustota distribuce – Histogram se seskupením. Další informace o vytváření grafů najdete v článku Hlavní typy grafů.

Poznámka: Pro usnadnění psaní vzorců v souboru příkladu byly vytvořeny názvy parametrů Binomické rozdělení: n a p.

Vzorový soubor ukazuje různé výpočty pravděpodobnosti pomocí funkcí MS EXCEL:

Jak je vidět na obrázku výše, předpokládá se, že:

• Nekonečná populace, ze které je vzorek vyroben, obsahuje 10 % (nebo 0,1) dobrých prvků (parametr p, třetí argument funkce =BINOM.DIST() )
• Pro výpočet pravděpodobnosti, že ve vzorku 10 prvků (parametr n, druhý argument funkce) bude přesně 5 platných prvků (první argument), musíte napsat vzorec: =BINOM.DIST(5; 10; 0,1; FALSE)
• Poslední, čtvrtý prvek je nastaven = FALSE, tzn. je vrácena hodnota funkce hustota distribuce.

Pokud je hodnota čtvrtého argumentu = TRUE, pak funkce BINOM.DIST() vrátí hodnotu integrální distribuční funkce nebo jednoduše distribuční funkce. V tomto případě můžete vypočítat pravděpodobnost, že počet dobrých položek ve vzorku bude z určitého rozsahu, například 2 nebo méně (včetně 0).

Chcete-li to provést, musíte napsat vzorec:
= BINOM.DIST(2; 10; 0,1; TRUE)

Poznámka: Pro neceločíselnou hodnotu x, . Například následující vzorce vrátí stejnou hodnotu:
=BINOM.DIST( 2 ; 10; 0,1; SKUTEČNÝ)
=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0,1; SKUTEČNÝ)

Poznámka: V ukázkovém souboru hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce také vypočítáno pomocí definice a funkce COMBIN().

Distribuční ukazatele

NA ukázkový soubor na listu Příklad existují vzorce pro výpočet některých distribučních ukazatelů:

• =n*p;
• (kvadratická standardní odchylka) = n*p*(1-p);
• = (n+l)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Odvozujeme vzorec matematické očekávání Binomické rozdělení použitím Bernoulliho schéma.

Podle definice náhodná proměnná X in Bernoulliho schéma(Bernoulliho náhodná proměnná) má distribuční funkce:

Tato distribuce se nazývá Bernoulliho distribuce.

Poznámka: Bernoulliho distribuce- speciální případ Binomické rozdělení s parametrem n=1.

Vygenerujme 3 pole po 100 číslech s různou pravděpodobností úspěchu: 0,1; 0,5 a 0,9. Chcete-li to provést, v okně Generování náhodných čísel nastavte následující parametry pro každou pravděpodobnost p:

Poznámka: Pokud nastavíte možnost Náhodný rozptyl (Náhodné semeno), pak si můžete vybrat určitou náhodnou sadu vygenerovaných čísel. Například nastavením této možnosti =25 můžete generovat stejné sady náhodných čísel na různých počítačích (pokud jsou samozřejmě ostatní parametry distribuce stejné). Hodnota volby může nabývat celočíselných hodnot od 1 do 32 767. Název volby Náhodný rozptyl může zmást. Bylo by lepší to přeložit jako Nastavte číslo náhodnými čísly.

Ve výsledku budeme mít 3 sloupce po 100 číslech, na základě kterých můžeme např. odhadnout pravděpodobnost úspěchu p podle vzorce: Počet úspěchů/100(cm. příklad listu souboru Generování Bernoulli).

Poznámka: Pro Bernoulliho distribuce s p=0,5 můžete použít vzorec =RANDBETWEEN(0;1) , který odpovídá .

Generování náhodných čísel. Binomické rozdělení

Předpokládejme, že ve vzorku je 7 vadných položek. To znamená, že je „velmi pravděpodobné“, že se podíl vadných výrobků změnil. p, což je charakteristické pro náš výrobní proces. Přestože je tato situace „velmi pravděpodobná“, existuje možnost (riziko alfa, chyba 1. typu, „falešný poplach“), že p zůstal nezměněn a zvýšený počet vadných výrobků byl způsoben náhodným výběrem vzorků.

Jak je vidět na obrázku níže, 7 je počet vadných produktů, který je přijatelný pro proces s p=0,21 při stejné hodnotě Alfa. To ukazuje, že když je překročena prahová hodnota vadných položek ve vzorku, p„pravděpodobně“ zvýšil. Fráze "s největší pravděpodobností" znamená, že existuje pouze 10% šance (100%-90%), že odchylka procenta vadných výrobků nad prahovou hodnotou je způsobena pouze náhodnými příčinami.

Překročení prahového počtu vadných výrobků ve vzorku tedy může sloužit jako signál, že se proces narušil a začal produkovat b o vyšší procento vadných výrobků.

Poznámka: Před MS EXCEL 2010 měl EXCEL funkci CRITBINOM() , což je ekvivalent BINOM.INV() . CRITBINOM() je ponecháno v MS EXCEL 2010 a vyšší kvůli kompatibilitě.

Vztah binomického rozdělení k jiným rozdělením

Pokud je parametr n Binomické rozdělení inklinuje k nekonečnu a p má tendenci k 0, pak v tomto případě Binomické rozdělení lze přiblížit.
Je možné formulovat podmínky při aproximaci Poissonovo rozdělení funguje dobře:

• p<0,1 (méně p a více n, tím přesnější je aproximace);
• p>0,9 (vezmeme-li v úvahu, že q=1- p, výpočty v tomto případě musí být provedeny pomocí q(A X je třeba nahradit n- X). Proto tím méně q a více n, tím přesnější je aproximace).

V 0,1<=p<=0,9 и n*p>10 Binomické rozdělení lze přiblížit.

na druhou stranu Binomické rozdělení může sloužit jako dobrá aproximace, když je velikost populace N Hypergeometrické rozložení mnohem větší než velikost vzorku n (tj. N>>n nebo n/N<<1).

Více o vztahu výše uvedených distribucí si můžete přečíst v článku. Jsou tam uvedeny i příklady aproximace a vysvětleny podmínky, kdy je to možné a s jakou přesností.

RADA: O dalších distribucích MS EXCEL si můžete přečíst v článku .

n pokusů se provádí podle Bernoulliho schématu s pravděpodobností úspěchu p. Nechť X je počet úspěchů. Náhodná veličina X má rozsah (0,1,2,...,n). Pravděpodobnosti těchto hodnot lze zjistit vzorcem: , kde C m n je počet kombinací od n do m .
Distribuční řada má tvar:

X	0	1	...	m	n
p	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	Cmnpm(l-p)n-m	p n

Tento distribuční zákon se nazývá binomický.

Přidělení služby. Ke stavbě se používá online kalkulačka binomické distribuční řady a výpočet všech charakteristik řady: matematické očekávání, rozptyl a směrodatná odchylka. Protokol s rozhodnutím je vypracován ve formátu Word (příklad).

Počet pokusů: n= , Pravděpodobnost p =
S malou pravděpodobností p a velkým počtem n (np Poissonův vzorec.

Video návod

Bernoulliho testovací schéma

Numerické charakteristiky náhodné veličiny rozdělené podle binomického zákona

Matematické očekávání náhodné veličiny X, rozdělené podle binomického zákona.
M[X]=np

Disperze náhodné veličiny X, rozdělené podle binomického zákona.
D[X]=npq

Příklad #1. Výrobek může být vadný s pravděpodobností p = 0,3 každý. Z dávky jsou vybrány tři položky. X je počet vadných dílů mezi vybranými. Najděte (zadejte všechny odpovědi ve tvaru desetinných zlomků): a) distribuční řadu X; b) distribuční funkce F(x) .
Rozhodnutí. Náhodná veličina X má rozsah (0,1,2,3).
Pojďme najít distribuční řadu X.
P3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44

P3(3) = pn = 0,33 = 0,027

x i	0	1	2	3
pí	0.34	0.44	0.19	0.027

Matematické očekávání zjistíme vzorcem M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Zkouška: m = ∑ x i p i.
Matematické očekávání M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Disperze se zjistí podle vzorce D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Zkouška: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Rozptyl D[X].
D[X] = 0 2 * 0,34 + 1 2 * 0,44 + 2 2 * 0,19 + 3 2 * 0,027 - 0,9 2 = 0,63
Směrodatná odchylka σ(x).

Distribuční funkce F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1

1. Pravděpodobnost výskytu události v jednom pokusu je 0,6. Je provedeno 5 testů. Sestavte zákon rozdělení náhodné veličiny X - počet výskytů události.
2. Sestavte zákon rozdělení náhodné veličiny X počtu zásahů čtyřmi ranami, je-li pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou 0,8.
3. Mincí se hází 7krát. Najděte matematické očekávání a rozptyl počtu výskytů erbu. Poznámka: zde je pravděpodobnost výskytu erbu p = 1/2 (protože mince má dvě strany).

Příklad č. 2. Pravděpodobnost, že k události dojde v jedné studii, je 0,6. Pomocí Bernoulliho věty určete počet nezávislých pokusů, od kterých je pravděpodobnost odchylky frekvence události od její pravděpodobnosti v absolutní hodnotě menší než 0,1 , větší než 0,97 . (Odpověď: 801)

Příklad č. 3. Studenti provádějí testy v hodině informatiky. Práce se skládá ze tří úkolů. Abyste získali dobrou známku, musíte najít správné odpovědi alespoň na dva problémy. Každý problém má 5 odpovědí, z nichž pouze jedna je správná. Žák vybere odpověď náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že dostane dobrou známku?
Rozhodnutí. Pravděpodobnost správné odpovědi na otázku: p=1/5=0,2; n=3.
Tyto údaje je nutné zadat do kalkulačky. Odpověď viz P(2)+P(3).

Příklad #4. Pravděpodobnost, že střelec zasáhne cíl jednou ranou, je (m+n)/(m+n+2) . Vystřelí se n + 4 výstřely. Najděte pravděpodobnost, že nemine více než dvakrát.

Poznámka. Pravděpodobnost, že nemine více než dvakrát, zahrnuje následující události: nikdy nemine P(4), jednou netrefí P(3), nepustí dvakrát P(2).

Příklad číslo 5. Určete rozdělení pravděpodobnosti počtu neúspěšných letadel, pokud letí 4 letadla. Pravděpodobnost bezporuchového provozu letadla Р=0,99. Počet letadel, která selhala v každém náletu, je rozdělena podle binomického zákona.