Francouzský matematik vyřešil problém obkládání letadla. Příklady neřešitelných problémů: problém obkladů Problémy mimoškolních aktivit

místo nebo prostor za mostem.

Pro své studenty jsem navrhl jeden způsob řešení problémů neperiodického obkládání roviny figurami stejného tvaru. Dělal jsem studii dvou vědců z Duke University (USA) a líbila se mi možnost neperiodické mozaiky, která zcela pokryje rovinu pomocí dlaždic stejného tvaru.

Poprvé se sada dlaždic skládala z 20426 kusů, které představil Robert Berger v roce 1966. Po nějaké době jejich počet zredukoval na 104. V 70. letech dvacátého století představil Penrose řešení se svou mozaikou a použil 2 různé figurky. Zajímavé řešení jsem našel od Dmitrije Safina, který pro svou mozaiku použil jednu figurku – pravidelný šestiúhelník. Při pokládání takových dlaždic by černé čáry neměly být přerušovány a vlajky na vrcholech šestiúhelníků, které jsou v určité vzdálenosti, rovná délce jedna strana dlaždice (na obrázku označená šipkami) by měla vypadat jedním směrem. Zde byly použity dvě různé barvy: druhé se získá odrazem prvního kolem svislé čáry. Můžete se však obejít bez druhé možnosti zbarvení, pokud je dlaždice trojrozměrná. Obklad letadla takovými dlaždicemi (zobrazenými na jednom z obrázků níže) pro snazší prezentaci, ty vlajky na šestiúhelnících, které vypadají vlevo, jsou zde nahrazeny fialovými čarami a vlajky jiného typu jsou červené.

Také jsou uvedeny příklady dlaždic, které dávají neperiodickou mozaiku, když se bere v úvahu pouze jejich tvar: v tomto případě není třeba stanovovat pravidla spojení spojená s barvením. Ve 2D verzi se takové dlaždice skládají z několika izolovaných oblastí, ale ve 3D verzi jsou všechny jejich části vzájemně propojeny.

Pak jsem se podíval na další zajímavý způsob obkladů od matematiků z Austrálie od Johna Taylora a Joshuy Sokolara. Dokázali vyřešit takzvaný problém jedné dlaždice. Jedním z nejjednodušších příkladů je šestiúhelníkový obklad, kdy rovina, jako plástev, je tvořena šestiúhelníky, které jsou po stranách spojeny. V hexagonálním případě se jedná například o vektor, který spojuje středy sousedních buněk, které mají šest rohů. V průběhu nové práce vyřešili matematici problém struktury neperiodického obkladu pouze s jednou dlaždicí. Výsledný model buňky je šestiúhelníkový, ale díky speciálnímu zbarvení je obklad neperiodický. Kromě dvourozměrného problému nabízejí matematici trojrozměrnou analogii vlastního výsledku.

Teorie obkladů je kromě praktických aplikací zdrojem inspirace pro umělce. Například Maurits Escher (umělec z Nizozemska) vytvořil celé obrazy pomocí neobvyklých obkladů. Srdcem jeho obrazu „Osm hlav“ je obdélníkový obklad. Tento umělec dělal kresby geometrické tvary, kde lze vysledovat použití teselace figur a nejen jedné figury, ale mnoha dalších. Studenti ocenili veškeré kouzlo obkladů různými postavami, přinesli obrovský výběr umělcových kreseb, vyzkoušeli si práci na zadání ve formě kreseb.

Níže jsou uvedeny různé kresby na dané téma.

Z historie

Kvazikrystal - pevné těleso vyznačující se symetrií, v klasickém , a přítomností . Vlastní spolu s diskrétním obrázkem.

Kvazikrystaly byly poprvé pozorovány v provedených experimentech na rychle ochlazeném Al 6 Mn, za které byl oceněn . První jím objevená kvazikrystalická slitina se jmenovala „shechtmanit“ ( šechtmanit). Shekhtmanův článek nebyl dvakrát přijat k publikaci a nakonec byl publikován ve zkrácené podobě ve spolupráci s jím přitahovanými známými odborníky I. Blechem, D. Gratiasem a J. Kahnem. Výsledný difrakční obrazec obsahoval typické ostré () píky, ale zároveň měl obecně bodový dvacetistěn, tedy konkrétně osu symetrie pátého řádu, což je v trojrozměrném periodiku nemožné. mříž. Experiment s difrakcí zpočátku umožnil vysvětlení neobvyklého jevu pomocí difrakce na mnohočetných krystalických dvojčatech srostlých do zrn s dvacetistěnnou symetrií. Jemnější experimenty však brzy prokázaly, že symetrie kvazikrystalů je přítomna ve všech měřítcích až do , a neobvyklé látky jsou skutečně novou strukturou pro organizaci hmoty.

Později se ukázalo, že fyzici se s kvazikrystaly setkali dlouho před jejich oficiálním objevem, zejména při studiu získaných ze zrn ve slitinách v letech. V té době však byly ikosaedrické kvazikrystaly mylně identifikovány jako velké krychlové krystaly. Předpovědi o existenci struktury v kvazikrystalech byly učiněny v a Maki.

V současné době jsou známy stovky typů kvazikrystalů, které mají bodovou symetrii dvacetistěnu a také deseti, osmi a dvanáctiúhelníků.

Atomový model kvazikrystalu Al-Pd-Mn

STRUKTURA

Deterministické a entropicky stabilizované kvazikrystaly

Existují dvě hypotézy o tom, proč jsou kvazikrystaly (meta-)stabilní fáze. Podle jedné hypotézy je stabilita způsobena tím, že vnitřní energie kvazikrystalů je ve srovnání s ostatními fázemi minimální, v důsledku toho musí být kvazikrystaly stabilní i při absolutní nulové teplotě. S tímto přístupem má smysl mluvit o určitých pozicích atomů v ideální kvazikrystalové struktuře, to znamená, že máme co do činění s deterministickým kvazikrystalem. Jiná hypotéza předpokládá určující příspěvek do stability. Entropicky stabilizované kvazikrystaly jsou při nízkých teplotách zásadně nestabilní. Nyní není důvod se domnívat, že skutečné kvazikrystaly jsou stabilizovány pouze díky entropii.

Vícerozměrný popis

Deterministický popis struktury kvazikrystalů vyžaduje specifikaci polohy každého atomu a odpovídající model struktury musí reprodukovat experimentálně pozorovaný difrakční obrazec. Obecně přijímaný způsob popisu takových struktur využívá skutečnosti, že bodová symetrie, která je pro krystalovou mřížku v trojrozměrném prostoru zakázána, může být povolena v prostoru vyšší dimenze D. Podle takových strukturních modelů jsou atomy v kvazikrystalu umístěné na průsečících nějakého (symetrického) trojrozměrného podprostoru RD (nazývaného fyzický podprostor) s periodicky umístěnými manifoldy s hranicí dimenze D-3 napříč k fyzickému podprostoru.

"Pravidla sestavení"

Vícerozměrný popis neodpovídá na otázku, jak místní může stabilizovat kvazikrystal. Kvazikrystaly mají strukturu, která je z hlediska klasické krystalografie paradoxní, předpovězená z teoretických úvah (). Teorie Penroseových obkladů umožnila odklonit se od obvyklých představ o Fedorovových krystalografických skupinách (založených na periodických výplních prostoru).

HUTNICTVÍ

Získávání kvazikrystalů je ztíženo tím, že všechny jsou buď metastabilní, nebo jsou tvořeny taveninou, jejíž složení se liší od složení pevné fáze.().

PŘÍRODNÍ

Nalezeny horniny s přírodními kvazikrystaly Fe-Cu-Al-Al v roce 1979. Teprve v roce 2009 však vědci z této skutečnosti zjistili. V roce 2011 publikovali článek, ve kterém uvedli, že tento kvazikrystal je mimozemského původu. V létě téhož roku 2011 během expedice do Ruska našli mineralogové nové vzorky přírodních kvazikrystalů.

VLASTNOSTI

Zpočátku se experimentátorům podařilo dostat do velmi úzké „teplotní mezery“ a získat kvazikrystalické materiály s neobvyklými novými vlastnostmi. Později však byly nalezeny kvazikrystaly v Al-Cu-Li a dalších systémech, které mohou být stabilní až do a růst téměř při , jako běžné krystaly.

V kvazikrystalech, na rozdíl od , je při nízkých teplotách anomálně velký a s rostoucí teplotou klesá. Ve vrstvených kvazikrystalech podél osy se elektrický odpor chová jako v normálním kovu a v kvazikrystalických vrstvách způsobem popsaným výše.

Magnetické vlastnosti. Většina kvazikrystalických - , však slitiny s - .

Kvazikrystaly mají blíže k elastickým vlastnostem amorfních látek než krystalických. Vyznačují se nižšími hodnotami ve srovnání s krystaly. Kvazikrystaly jsou však menší než krystaly podobného složení a pravděpodobně hrají roli ve slitinách kovů.

QUASICRYSTAL

speciální typ uspořádání atomů v pevné látce, vyznačující se dvacetistěnnou (tj. s osami 5. řádu) symetrií, orientací na dlouhé vzdálenosti a absencí translační symetrie vlastní obyčejnýmkrystalický stav. Kvazikrystal im. balení atomů bylo objeveno v rychle chlazené kovové slitině Al 6 Mn (1984) a poté nalezen v systémech Al-Fe, Ni-Ti atd. Obyčejný mají trojrozměrnou periodicitu v uspořádání atomů, což vylučuje možnost existence os symetrie 5. řádu. V amorfním (sklovitém) stavu jsou možná lokální seskupení atomů s dvacetistěnnou symetrií, ale v celém objemu amorfního tělesa není dálkový řád v uspořádání atomů, ani translační, ani orientační. K. lze považovat za mezistupeň. typ uspořádání atomů mezi skutečně krystalickým a skelným. Dvourozměrným modelem K. jsou balíčky ("parkety") kosočtverců s vrcholovým úhlem 360° / 5 = 72° s osami symetrie 5. řádu: v tomto případě jsou mezery vyplněny jinými kosočtverce s vrcholovým úhlem 360° / 10 = 36° (Penroseův vzor, ​​obr. 1); sady těchto kosočtverců dávají stejné desetiúhelníky. Úhlová orientace všech prvků parkety se opakuje po celé rovině, toto je pořadí orientace na dlouhé vzdálenosti, ale neexistuje žádné skutečné pořadí translace na dlouhé vzdálenosti (ačkoli v některých směrech existuje přibližná periodicita).

Rýže. 1 . 2D Modelka kvazikrystal ( zvýrazněno desetiúhelníky).

Rýže . 2. Prvky struktury kvazikrystalu pěti tetraedrů: fragment dvacetistěnu (a), 32 - VertexTriakontahedron(6 ).

Uspořádání atomů v trojrozměrném prostoru K. lze popsat jako mnohostěny obsahující osy 5. řádu nebo fragmenty takových mnohostěnů . Na Obr. 2 je znázorněna charakteristika K. dvacetistěnný fragment

(12 - vrchol - dvacetistranný s 53m bodovou symetrií), sestávající z 5 čtyřstěnů. Aby 6 vertexových atomů a ten centrální tvořily těsné uspořádání, musí být poloměr centrálního atomu poněkud menší než poloměr sekundárního atomu; např. v Al6Mn je atomový poloměr Mn - 0, 130 nm, Al - 0, 143 nm. Fragmenty atomové struktury K. mohou existovat také trojrozměrné analogy Penroseových vzorů - ostré a tupé kosočtverce s vrcholovými úhly 63, 43 ° a 116, 57 °, ze kterých lze přidat mnohostěn - triakontaedr se symetrií 53 m, který má 32 vrcholů ( Obr. 2 , 6 ). V balení atomů v K. lze pozorovat poruchy podobné dislokacím (srov. Vady ). TO . typu Al 6 Mn může být být považován za metastabilní fáze. Existuje však struktura K. slitina typu Al - Li - Cu - Mn , získaná pomalým chlazením taveniny , která je zjevně v rovnováze . V současnosti čas vyvíjet fyzický teorie kvazikrystalický. státy .

Je snadné vydláždit rovinu parketami z pravidelných trojúhelníků, čtverců nebo šestiúhelníků (pod obklady rozumíme takové skládání, ve kterém jsou vrcholy každého obrazce aplikovány pouze na vrcholy sousedních obrazců a nedochází k situaci, kdy je vrchol připojen ke straně). Příklady takových obkladů jsou znázorněny na Obr. 1.

Rýže. 1. Obklady roviny: i - rovnostranné trojúhelníky ii - čtverce, iii - pravidelné šestiúhelníky

Žádný jiný správný n-gony pokrývají rovinu bez mezer a přesahů nebudou fungovat. Zde je návod, jak to vysvětlit. Jak víte, součet vnitřních úhlů libovolného n-gon se rovná ( n– 2) 180°. Protože všechny úhly jsou správné n-gons jsou stejné, pak míra stupně každého úhlu je . Pokud lze rovinu vydláždit takovými obrazci, pak v každém vrcholu konverguje k polygony (pro některé k). Součet úhlů v tomto vrcholu musí být 360°, takže . Po několika jednoduchých transformacích se tato rovnost změní na toto: . Ale jak je snadné ověřit, poslední rovnice má pouze tři dvojice řešení, pokud to předpokládáme n A k celá čísla: k = 3, n = 6; k = 4, n= 4 nebo k = 6, n= 3. Tyto dvojice čísel přesně odpovídají těm, které jsou znázorněny na Obr. 1 obklad.

A jaké další polygony lze použít k obkladu roviny bez mezer a přesahů?

Úkol

a) Dokažte, že každý trojúhelník může obložit rovinu.

b) Dokažte, že jakýkoli čtyřúhelník (konvexní i nekonvexní) může obložit rovinu.

c) Uveďte příklad pětiúhelníku, který lze použít k obkladu roviny.

d) Uveďte příklad šestiúhelníku, který nemůže dláždit rovinu.

e) Uveďte příklad n- jít na jakoukoli n> 6, které lze použít k obkládání letadla.

Rady

1) V odstavcích a), c), e) se můžete pokusit ze stejných figurek vytvořit „pruhy“, kterými je pak snadné vydláždit celé letadlo.

Bod b): složte ze dvou stejných čtyřúhelníků šestiúhelník, jehož protilehlé strany jsou v párech rovnoběžné. Obložit rovinu takovými šestiúhelníky je již docela jednoduché.

Položka d): použijte skutečnost, že součet úhlů v každém vrcholu musí být 360°.

2) V bodě e) se můžete pokusit jednat jinak: mírně změnit stávající figury, abyste získali nové obklady.

Řešení

Příklady odpovědí jsou uvedeny na obrázcích.

A):

Rýže. 2

b):

Rýže. 3

c) Vhodný je pětiúhelník ve tvaru domu:

Rýže. 4

d) Nebude možné obložit rovinu takovými šestiúhelníky: žádná část takového šestiúhelníku se jednoduše nevejde do „vyříznutého“ rohu. To je jasně vidět v buňkách:

Rýže. 5

Můžete přijít s mnoha dalšími šestiúhelníky, které nelze obložit rovinou.

e) Zde je příklad dvanáctiúhelníku, který lze použít k dlaždicím letadla. Tento způsob obkladu byl získán jako modifikace obvyklé čtvercové mříže (viz obr. 1, ii z podmínky):

Rýže. 6

Problém obkládání roviny s identickými obrazci bez mezer nebo přesahů je znám již od starověku. Jedním z jeho konkrétních případů je otázka, jaké mohou být parkety (tedy obklady letadla pravidelné polygony a nemusí být nutně totožné) a zejména běžné parkety. Běžná parketa má následující vlastnost: pomocí paralelních posunů (posunů bez rotací), které parkety přeloží do sebe, můžete kombinovat předem vybraný uzel s jakýmkoli jiným uzlem parkety. Na Obr. 1 stavu zobrazuje právě ty správné parkety.

Rýže. 9. Giants Road (Severní Irsko). Fotografie z en.wikipedia.org

Zobecnění našeho problému – dlaždicování prostoru – je důležitým moderním odvětvím krystalografie, které hraje důležitou roli v integrované optice a laserové fyzice.

Kupodivu až do poměrně nedávné doby byly známy pouze periodické teselace (které jsou zcela kombinovány se sebou samým pod určitým posunem a jeho opakováními). Nicméně v roce 1974 anglický vědec Roger Penrose

Rýže. jedenáct. M. K. Escher, Plazi, 1946 ( vlevo, odjet) a "Motýli", 1950

Dále se zde nacházejí parkety a mozaiky výtvarné umění. Snad nejznámější jsou díla Holanďana M.K. Escher (M. C. Escher).

Proč má člověk některé orgány - spárované (například plíce, ledviny), zatímco jiné - v jedné kopii?

Kaustika jsou všudypřítomné optické povrchy a křivky, které vznikají při odrazu a lomu světla. Žíraviny lze popsat jako čáry nebo plochy, podél kterých se koncentrují světelné paprsky.

Šabat G. B.

Nyní víme o struktuře vesmíru asi tolik, co starověcí lidé věděli o povrchu Země. Přesněji víme, že malá část vesmíru přístupná pro naše pozorování je uspořádána stejně jako malá část trojrozměrného euklidovského prostoru. Jinými slovy, žijeme na trojrozměrné varietě (3-manifold).

Viktor Lavrus

Člověk rozlišuje předměty kolem sebe podle tvaru. Zájem o formu předmětu může být diktován životní nutností, nebo může být způsoben krásou formy. Forma, která je založena na kombinaci symetrie a zlatého řezu, přispívá k nejlepšímu vizuálnímu vjemu a dojmu smyslu pro krásu a harmonii. Celek se vždy skládá z částí, části různých velikostí jsou v určitém vztahu k sobě navzájem i k celku. Princip zlatého řezu je nejvyšším projevem strukturální a funkční dokonalosti celku a jeho částí v umění, vědě, technice a přírodě.

Dokument „Dimensions“ jsou dvě hodiny matematiky, které vás postupně zavedou do čtvrté dimenze.

Sergej Stafejev

Znalostně nejnáročnějším úkolem starověkých národů byla orientace v prostoru a čase. Včetně toho lidstvo od nepaměti stavělo četné megalitické stavby - kromlechy, dromózy, dolmeny a menhiry. Byla vynalezena neuvěřitelně důmyslná zařízení, která umožňovala počítat čas s přesností na minutu nebo zaměřovat směry s chybou ne větší než půl stupně. Ukážeme, jak na všech kontinentech lidé vytvářeli pasti na sluneční paprsky, stavěli chrámy, jakoby „navlečené“ na astro-významných směrech, kopali nakloněné tunely pro denní pozorování hvězd nebo stavěli gnómonské obelisky. Je neuvěřitelné, že například naši vzdálení předkové dokázali sledovat nejen sluneční či měsíční stíny, ale dokonce i stín Venuše.

Myslet si nemyslitelné a tvrdit, že je to stále myslitelné, je fenomén geometrie.

A.D. Aleksandrov

Třída: 8-9

cíle:

• Utváření a rozvoj představ studentů o nových matematických objektech a matematických konceptech.
• Rozvoj tvůrčího zájmu o matematiku.
• Rozšíření matematických obzorů studentů.
• Výchova k benevolenci a vzájemné pomoci při společné práci.

Náplň mimoškolních aktivit:

• Praktická aplikace matematických znalostí při studiu nových matematických objektů.
• Rozvoj logického myšlení a badatelských dovedností.
• Seznámení s aplikací nových získaných poznatků v moderní vědě.
• Kladení otázek pro další studium tématu.

Příprava: práce ve skupinách, každá skupina připravuje modely pravidelných mnohoúhelníků a také kopie libovolných trojúhelníků a čtyřúhelníků.

Formy organizace práce studentů: frontální, skupinový.

Formy organizace práce učitele: vedení, organizování, koordinace.

Specifikace: multimediální místnost.

Použité vybavení: počítač, projektor, plátno, CD média.

Prezentace "Parkety - obkládání roviny polygony".

Průběh kurzu.

Parkety přitahovaly pozornost lidí již od starověku. Pokrývaly podlahy, pokrývaly stěny místností, zdobily fasády budov a využívaly je v umění a řemeslech.
Přestože studium parket není zahrnuto ve školním vzdělávacím programu matematiky, zájem o toto téma vznikl po vyřešení jednoduché školní úlohy: „Dokažte, že je možné vyrobit parkety zcela pokrývající jakoukoli část roviny ze stejných dlaždic, které mají tvaru rovnoramenného lichoběžníku“. A jaké další polygony mohou obložit rovinu?

Správné parkety

Parkety Uspořádání roviny pomocí polygonů se nazývá tak, že celá rovina je pokryta těmito polygony a jakékoli dva polygony mají buď společnou stranu, nebo mají společný vrchol, nebo nemají společné body.

Parket se jmenuje že jo pokud se skládá ze stejných pravidelných mnohoúhelníků.
Příklady běžných parket znali již Pythagorejci. Dávají výplň roviny: čtverce, rovnostranné trojúhelníky, pravidelné šestiúhelníky.

Úkol pro studenty: vyrobit pravidelné parkety z dostupných modelů pravidelných mnohoúhelníků.

Dbáme na to, aby nevznikly žádné jiné pravidelné parketové mnohoúhelníky. A zde potřebujeme vzorec pro součet úhlů mnohoúhelníku. Pokud jsou parkety tvořeny n-gons, pak k = 360°/ A n polygony, kde A n – správný úhel n- gon. Je snadné to najít A 3 = 60°, A 4 = 90°, A 5 = 108°, A 6 = 120° a 120°<A n < 180° при P > 7. Proto je 360° rovnoměrně dělitelné A n pouze když P = 3; 4; 6.
Zajímavé je, že mezi pravidelným trojúhelníkem, čtvercem a pravidelným šestiúhelníkem, daný obvod, největší oblast má šestiúhelník. Tato okolnost vede v přírodě k tomu, že plástve mají tvar pravidelných šestiúhelníků, protože včely, které si plástve budují, se je instinktivně snaží udělat co nejprostornější a přitom použít co nejméně vosku.

Polopravidelné parkety.

Rozšiřme způsoby skládání parket z pravidelných mnohoúhelníků, které jim umožní používat pravidelné mnohoúhelníky s různým počtem stran, ale tak, aby pravidelné mnohoúhelníky kolem každého vrcholu byly uspořádány ve stejném pořadí. Takovým parketám se říká polosprávné.

Zadání pro studenty: z dostupných modelů pravidelných mnohoúhelníků vyrobte polopravidelné parkety.

Pro zjištění počtu polopravidelných parket je nutné analyzovat možné případy uspořádání pravidelných mnohoúhelníků kolem společného vrcholu. K tomu označujeme pomocí A 1 ,A 2 ... jsou rohy pravidelných mnohoúhelníků se společným vrcholem. Seřaďte je vzestupně A 1 < a 2 < … Vzhledem k tomu, že součet všech takových úhlů by měl být roven 360°, udělejme tabulku obsahující možné sady úhlů a označme odpovídající parkety.
Celkem je tedy 11 běžných a polopravidelných parket.

Planigons

Uvažujme také o jiném zobecnění – parkety z kopií libovolného mnohoúhelníku, pravidelného „podél ploch“ (tj. které přeměňují danou dlaždici na jakoukoli jinou). Polygony, které mohou být dlaždicemi v těchto parketách, se nazývají planigons.
Je jasné, že rovinu lze položit kopiemi libovolného trojúhelníku, ale méně zřejmé je, že libovolný čtyřúhelník je planigon. Totéž platí pro jakýkoli šestiúhelník, jehož protilehlé strany jsou stejné a rovnoběžné.

Zadání pro studenty: z dostupných kopií libovolných trojúhelníků a čtyřúhelníků vyrobte parkety.

Všechny výše uvažované parkety jsou periodické, to znamená, že v každé z nich lze vyčlenit (a dokonce mnoha způsoby) oblast složenou z několika dlaždic, ze kterých se paralelními posuny získá celá parketa.
Zájem vědců o takové konstrukce se vysvětluje tím, že periodické obklady, zejména vesmírné obklady, modelují krystalické struktury.

Otázka do budoucna: Existují neperiodické obklady?

Místo závěru

Zajímavá je zejména tvorba vlastních parket - vyplnění roviny identickými obrazci (parketovými prvky) s využitím např. osové symetrie a paralelního překladu. Hlavní věc je, že konstrukce je založena na mnohoúhelníku rovném parketovému prvku.

Domácí práce. Sestavte si své oblíbené parkety jakýmikoli prostředky: od barevného papíru až po počítačové technologie.

Bibliografie:

1. Atanasyan L.S. a další Geometrie, 7-9.- M .: Vzdělávání, 2010.
2. Atanasyan L.S. atd. Geometrie: Přidat. kapitoly do školy učebnice Třída 8: Proc. příspěvek pro studenty školy. a tř. s hlubokým studie matematika. – M.: Osvícení, 1996.
3. Atanasyan L.S. atd. Geometrie: Přidat. kapitoly do školy učebnice Třída 9: Proc. příspěvek pro studenty školy. a tř. s hlubokým studie matematika. – M.: Osvícení, 1997.
4. Kolmogorov A.N. Parkety z pravidelných mnohoúhelníků.//Kvant, 1970, č. 3.
5. Smirnov V.A. Počítač pomáhá geometrii // Matematika: Týdenní vzdělávací a metodická aplikace. do plynu. "První září." - 2003, č. 21.
6. Sovertkov P.I. a další.Geometrická parketa na obrazovce počítače.//Informatika a vzdělávání, 2000, č. 9.
7. Encyklopedie pro děti. T.11 Matematika / vedoucí ed. M.D. Aksenová. – M.: Avanta+, 2008.

Pro zkoumání a popis objemu lidé používají metodu promítání objemového tělesa na rovinu. Vypadá to nějak takto:

Když víte, jak vypadají projekce, můžete rozpoznat, prozkoumat a postavit skutečný trojrozměrný objekt.

Jedná se o výzkumnou metodu běžnou v klasické krystalografii. Výzkumníci nejprve studují jednu projekci nebo rovinu, "přemosťují ji" vypočítanými prvky těsně jako parkety a současně studují symetrii a další prvky v dlaždicové rovině.

Potom je celý trojrozměrný objem vyplněn těmito rovinami, stejně jako knihy zaplňují krychlovou krabici. Tato metoda se nazývá metoda obkladů.

Zájem o obklady vznikl v souvislosti se stavbou mozaik, ornamentů a dalších vzorů vycházejících z pravidelných mnohostěnů: trojúhelníků, čtverců a šestiúhelníků.

Nikdy nebylo možné vyskládat rovinu z běžného pětiúhelníku nebo pětiúhelníku. Zanechává mezery – nevyplněné mezery. A proto je v klasické krystalografii pětiúhelníková symetrie stále považována za zakázanou.

A nakonec se takový způsob našel.

V roce 1976 anglický matematik Roger Penrose, který aktivně pracuje v různých oblastech matematiky, obecné teorie relativity a kvantové teorie, podal matematický popis „Penroseovy mozaiky“ pojmenované po něm.

Umožnil za pomoci pouhých dvou dlaždic velmi jednoduchého tvaru vydláždit nekonečnou rovinu s nikdy se neopakujícím vzorem.

Abychom pochopili matematickou podstatu "Penroseových diamantů", přejděme k pentagramu.

Ve své nejjednodušší podobě jsou "Penrose dlaždice" souborem kosočtvercových figurek dvou typů, jedna s vnitřním úhlem 36° a druhá s vnitřním úhlem 72°. Každý se skládá ze dvou trojúhelníků, které vyplňují odpovídající vzor pentagramu.

Poměry prvků pentagramu plně odrážejí zlatý řez Fibonacciho. Jeho základem je iracionální číslo = 1,6180339…

Penroseova myšlenka hustého zaplnění roviny pomocí „zlatých“ kosočtverců byla přeměněna na trojrozměrný prostor.

V tomto případě mohou roli „Penroseových kosočtverců“ v nových prostorových strukturách hrát dvacetistěny a dvanáctistěny.

Byl to krásný nález, jen jeden z mnoha nápadů bystré a houževnaté mysli Rogera Penrose, který má rád prostorové paradoxy. Zde je jeho dokonalé pochopení zlatého řezu Fibonacciho, které jeho výzkum přiblížilo umění.

A právě to posloužilo jako základ pro další výzkum a objevy kvazikrystalů v chemických laboratořích a nové, kreativnější chápání trojrozměrného prostoru jak pro vědu, tak pro umění.

Jedním z nejjasnějších příkladů kreativního výzkumu, který mě zaujal, byla mladá slovinská umělkyně Matiushka Teija Kraszek.

Bakalářský titul v oboru malby získala na Vysoké škole výtvarných umění (Ljubljana, Slovinsko). Její teoretická i praktická práce se zaměřuje na symetrii jako koncept spojující umění a vědu.

Její umělecká díla byla prezentována na mnoha mezinárodních výstavách a publikována v mezinárodních časopisech. .

M.T. Kraszek na své výstavě „Kaleidoskopické vůně“, Lublaň, 2005

Umělecká tvorba Matyushka Teija Kraszek je spojena s různými typy symetrie, Penroseovými dlaždicemi a kosočtverci, kvazikrystaly, zlatým řezem jako hlavním prvkem symetrie, Fibonacciho čísly atd.

Pomocí reflexe, imaginace a intuice se snaží zachytit nové vztahy, nové úrovně struktury, nové a odlišné druhy řádu v těchto prvcích a strukturách.

Ve svých dílech hojně využívá počítačovou grafiku jako velmi užitečné médium pro tvorbu uměleckých děl, která je pojítkem mezi vědou, matematikou a uměním.

Zvolíme-li pro délku strany Penroseova diamantu v tomto znatelně nestabilním složení jedno z Fibonacciho čísel (například 21 cm), můžeme pozorovat, jak délky některých segmentů ve složení tvoří Fibonacciho posloupnost.

Velké množství uměleckých kompozic umělce je věnováno Shechtmanovým kvazikrystalům a Penrosovým mřížkám.

V těchto úžasných kompozicích lze pozorovat projevy kruhové symetrie ve vztahu mezi Penroseovými kosočtverci:

každé dva sousední Penrose diamanty tvoří pětiúhelníkovou hvězdu. Můžete vidět Decagon, tvořený hranami 10 sousedních Penroseových diamantů, vytvářejících nový pravidelný mnohostěn.

A na posledním obrázku nekonečná interakce Penroseových kosočtverců - pentagramů, pětiúhelníků, klesajících směrem k centrálnímu bodu kompozice. Zlaté poměry jsou reprezentovány mnoha různými způsoby na různých měřítcích.

Umělecké kompozice Matyushky Teiji Kraszeka vzbudily velkou pozornost představitelů vědy a umění.

Penrose Mosaic je skvělým příkladem toho, jak krásná budova na křižovatce různých oborů si jistě najde uplatnění.

Příklad obkladu na hyperbolické rovině

Francouzský matematik Michael Rao z univerzity v Lyonu dokončil problém obkládání roviny konvexními polygony. Předtisk práce lze nalézt na stránce vědce.

Mnohoúhelník se nazývá konvexní, pokud jsou všechny jeho úhly menší než 180 stupňů, nebo, což je stejné, obsahuje spolu s libovolnou dvojicí bodů také úsečku, která je spojuje. Problém s obklady (také nazývaný problém parket) je formulován následovně: nechť je rovina rozdělena na mnohoúhelníky tak, že žádné dva mnohoúhelníky buď nemají společné body, nebo mají pouze hraniční společné body. Pokud jsou všechny mnohoúhelníky takového oddílu stejné (to znamená, že jeden může být přeložen do druhého složením translace, rotace nebo osové symetrie), pak se říká, že mnohoúhelník dláždí rovinu. Úkol zní takto: popište všechny konvexní polygony, které obkládají rovinu.

Pomocí nějaké kombinatorické úvahy lze dokázat, že takový mnohoúhelník může mít pouze 3, 4, 5 nebo 6 stran. Je snadné zkontrolovat, zda lze rovinu obložit libovolným trigonem nebo čtyřúhelníkem. Více si o tom můžete přečíst v našem materiálu.

Abychom popsali všechny šestiúhelníky, označme jejich rohy jako A, B, C, D, E, F a jejich strany jako a, b, c, d, e, f. V tomto případě předpokládáme, že strana a sousedí s rohem A vpravo a všechny strany a úhly jsou pojmenovány ve směru hodinových ručiček. V 60. letech bylo prokázáno, že všechny šestiúhelníky, kterými lze obložit rovinu, patří alespoň do jedné ze tří tříd (třídy se zde prolínají, řekněme pravidelný šestiúhelník patří do všech tří):

1. A + B + C = 360
2. A + B + D = 360, a = d, c = e
3. A=C=E=120, a=b, c=d, e=f.

Všech 15 známých pětiúhelníkových obkladů

Nejobtížnějším případem je případ pětiúhelníkových parket. Matematik Karl Reinhardt popsal v roce 1918 pět tříd takových parket, z nichž nejjednodušší byla třída pětiúhelníků s podmínkou, že existuje strana, jejíž součet sousedních úhlů je 180 stupňů. V roce 1968 našel Robert Kershner další tři takové třídy a v roce 1975 Richard James našel další. O objevu Jamese psal časopis vědecký americký,článek v něm viděla americká žena v domácnosti a amatérská matematička Marge Rice, která ručně našla 5 dalších rodin během 10 let.

Poslední pokrok v problému s obklady byl v srpnu 2015. Poté matematici z pobočky Washingtonské univerzity v Bothellu použili pětiúhelníkový počítačový program pro parkety z 15. třídy. V jeho nová práce Michael Rao zredukoval problém klasifikace pětiúhelníkových parket na vyhledávání 371 variant. Prošel možnosti na počítači a ukázal, že neexistuje nic jiného než 15 již známých tříd obkladů. Tím nakonec problém s obklady uzavřel.

Andrej Konjajev