Maticová metoda řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Maticová metoda online
- vypočítá se determinant matice A;
- pomocí algebraických sčítání je nalezena inverzní matice A -1;
- v Excelu je vytvořena šablona řešení;
Návod. Pro získání řešení metodou inverzní matice je nutné zadat rozměr matice. Dále v novém dialogovém okně vyplňte matici A a výsledný vektor B .
Viz také Řešení maticových rovnic.Algoritmus řešení
- Vypočte se determinant matice A. Je-li determinant nulový, pak konec řešení. Systém má nekonečné množství řešení.
- Když je determinant jiný než nula, inverzní matice A -1 je nalezena pomocí algebraických sčítání.
- Rozhodovací vektor X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) získáme vynásobením inverzní matice výsledným vektorem B .
Algebraické sčítání.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Zkouška:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
The online kalkulačkařeší systém lineární rovnice maticová metoda. Dáno velmi detailní řešení. Chcete-li vyřešit systém lineárních rovnic, vyberte počet proměnných. Vyberte metodu výpočtu inverzní matice. Poté zadejte data do buněk a klikněte na tlačítko "Vypočítat".
×
Varování
Vymazat všechny buňky?
Zavřít Vymazat
Instrukce pro zadávání dat.Čísla se zadávají jako celá čísla (příklady: 487, 5, -7623 atd.), desetinná čísla (např. 67., 102,54 atd.) nebo zlomky. Zlomek musí být zadán jako a/b, kde aab jsou celá nebo desetinná čísla. Příklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atd.
Maticová metoda řešení soustav lineárních rovnic
Zvažte následující systém lineárních rovnic:
Vezmeme-li v úvahu definici inverzní matice, máme A −1 A=E, Kde E je matice identity. Proto (4) lze napsat takto:
K vyřešení soustavy lineárních rovnic (1) (nebo (2)) tedy stačí vynásobit inverzní A matice na vektor omezení b.
Příklady řešení soustavy lineárních rovnic maticovou metodou
Příklad 1. Řešte následující soustavu lineárních rovnic pomocí maticové metody:
Najděte inverzi k matici A Jordan-Gaussovou metodou. Na pravé straně matrice A napište matici identity:
Vynechme prvky 1. sloupce matice pod hlavní diagonálou. Chcete-li to provést, přidejte řádky 2,3 k řádku 1, vynásobené -1/3, -1/3, v tomto pořadí:
Vynechme prvky 2. sloupce matice pod hlavní diagonálou. Chcete-li to provést, přidejte řádek 3 s řádkem 2 vynásobeným -24/51:
Vynechme prvky 2. sloupce matice nad hlavní diagonálou. Chcete-li to provést, přidejte řádek 1 k řádku 2, vynásobený -3/17:
Samostatný pravá strana matrice. Výsledná matice je inverzní matice Na A :
Maticová forma zápisu soustavy lineárních rovnic: sekera=b, Kde
Vypočítejte všechny algebraické doplňky matice A:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Inverzní matice se vypočítá z následujícího výrazu.
Zvažte systém lineárních rovnic s mnoha proměnnými:
kde aij - koeficienty při neznámém хi; bi zdarma členové;
indexy: i = 1,2,3…m- určují číslo rovnice a j = 1,2,3...n- číslo neznámé.
Definice: Řešením soustavy rovnic (5) je množina n čísel (x10, x20, .... xn0), při jejich dosazení do soustavy se všechny rovnice promění ve skutečné číselné identity.
Definice: Soustava rovnic se nazývá konzistentní, pokud má alespoň jedno řešení. Společný systém se nazývá určitý, pokud má jedinečné řešení (x10, x20,….xn0), a neurčitý, pokud existuje několik takových řešení.
Definice: Systém se nazývá nekonzistentní, pokud nemá řešení.
Definice: Tabulky složené z číselných koeficientů (aij) a volných členů (bi) soustavy rovnic (5) se nazývají systémová matice (A) a rozšířená matice (A1), které se označují jako:
Definice: Matice systému A, která má nestejný počet řádků a sloupců (n?m), se nazývá obdélníková. Pokud je počet řádků a sloupců stejný (n=m), pak se matice nazývá čtvercová.
Pokud je počet neznámých v systému roven počtu rovnic (n=m), pak má systém čtvercovou matici n-tého řádu.
V matici A vyčleňme k-libovolných řádků a k-libovolných sloupců (km, kn).
Definice: Determinant k-řádu, složený z prvků matice A, nacházející se v průsečíku vybraných řádků a sloupců, se nazývá k-řádová minor matice A.
Zvažte všechny možné minority matice A. Pokud jsou všechny (k + 1) minoritní řády rovny nule a alespoň jeden z k-řadových minoritů není roven nule, pak se říká, že matice má hodnost rovná se k.
Definice: Hodnost matice A je největší řád nenulové minority této matice. Hodnost matice je označena r(A).
Definice: Jakákoli nenulová maticová minor, jejíž pořadí je rovna hodnosti matice se nazývá základní.
Definice: Pokud se pro dvě matice A a B jejich pořadí shoduje r(A) = r(B), pak se tyto matice nazývají ekvivalentní a označují se A B.
Hodnost matice se nezmění od elementárních ekvivalentních transformací, které zahrnují:
- 1. Nahrazení řádků sloupci a sloupců odpovídajícími řádky;
- 2. Permutace řádků nebo sloupců v místech;
- 3. Škrtnutí řádků nebo sloupců, jejichž všechny prvky se rovnají nule;
- 4. Násobení nebo dělení řádku nebo sloupce nenulovým číslem;
- 5. Sčítání nebo odečítání prvků jednoho řádku nebo sloupce od jiného, násobené libovolným číslem.
Při určování hodnosti matice se používají ekvivalentní transformace, pomocí kterých je původní matice redukována na stupňovitou (trojúhelníkovou) matici.
Ve stupňovité matici jsou nulové prvky umístěny pod hlavní diagonálou a první nenulový prvek každého z jejích řádků, počínaje druhým, je umístěn vpravo od prvního nenulového prvku předchozího řádku.
Všimněte si, že hodnost matice se rovná počtu nenulových řádků krokové matice.
Například matice A= je stupňovitého tvaru a její hodnost je rovna počtu nenulových řádků matice r(A)=3. Ve skutečnosti jsou všechny nezletilé 4. řádu s nulovými prvky 4. řady rovny nule a nezletilé 3. řádu jsou nenulové. Pro kontrolu vypočítáme determinant minoru z prvních 3 řádků a 3 sloupců:
Libovolnou matici lze redukovat na stupňovitou matici vynulováním prvků matice pod hlavní diagonálou pomocí elementárních operací.
Vraťme se ke studiu a řešení soustavy lineárních rovnic (5).
Důležitou roli ve studiu soustav lineárních rovnic hraje Kronecker-Capeliho věta. Pojďme formulovat tuto větu.
Kroneckerova-Capelliho věta: Soustava lineárních rovnic je konzistentní právě tehdy, když je hodnost systémové matice A rovna hodnosti rozšířené matice A1, tzn. r(A)=r(A1). V případě kompatibility je systém definitivní, pokud se hodnost matice systému rovná počtu neznámých, tzn. r(A)=r(A1)=n a nedefinováno, pokud je toto pořadí menší než počet neznámých, tzn. r(A)= r(A1) Příklad. Prozkoumejte systém lineárních rovnic: Stanovme hodnosti systémové matice A a rozšířené matice A1. K tomu složíme rozšířenou matici A1 a zredukujeme ji do stupňovité podoby. Při převodu matice proveďte následující: V důsledku provedených akcí jsme získali stupňovitou matici se třemi nenulovými řádky jak v systémové matici (až na řádek), tak v rozšířené matici. Z toho lze vidět, že hodnost matice systému je rovna hodnosti rozšířené matice a je rovna 3, ale menší než počet neznámých (n=4). Odpověď: protože r(A)=r(Al)=3 Vzhledem k tomu, že je vhodné určovat hodnost matic jejich redukcí na stupňovitý tvar, budeme uvažovat o metodě řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody. Gaussova metoda Podstata Gaussovy metody spočívá v postupné eliminaci neznámých.
t redukcí na stupňovitý tvar rozšířené matice A1, která zahrnuje systémovou matici A až po řádek V tomto případě jsou současně určeny hodnosti matic A, A1 a systém je studován podle Kronecker-Capelliho. teorém. V poslední fázi je vyřešen systém rovnic stupňovitého typu, který provádí substituce zdola nahoru nalezených hodnot neznámých. Uvažujme na příkladu aplikaci Gaussovy metody a Kronecker-Capeliho věty. Příklad. Vyřešte systém pomocí Gaussovy metody: Stanovme hodnosti systémové matice A a rozšířené matice A1. K tomu složíme rozšířenou matici A1 a zredukujeme ji do stupňovité podoby. Při odesílání proveďte následující: Získali jsme krokovou matici, ve které je počet řádků roven 3 a matice systému (před řádkem) také nemá nulové propady. Proto jsou hodnosti systémové matice a rozšířené matice 3 a rovny počtu neznámých, tzn. r(A)=r(A1)=n=3.. Podle Kronecker-Capelliho věty je systém konzistentní a definovaný, má jedinečné řešení. V důsledku transformace matice A1, vynulováním koeficientů pro neznámé, byly tyto postupně vyloučeny z rovnic a byla získána stupňovitá (trojúhelníková) soustava rovnic: Postupným pohybem zdola nahoru, dosazením řešení (x3=1) ze třetí rovnice do druhé a řešení (x2=1, x3=1) z druhé a třetí rovnice do první, získáme řešení soustava rovnic: x1=1,x2=1, x3=1. Zkontrolujte: -(!) Odpověď: (x1=1,x2=1,x3=1). Jordan-Gaussova metoda Tento systém lze řešit vylepšenou Jordan-Gaussovou metodou, která spočívá v tom, že matice systému A v rozšířené matici (až na řádek) je redukována na matici identity: E = s jednoduchými diagonálními a nulovými mimodiagonálními prvky a okamžitě získat řešení systému bez dalších substitucí. Vyřešme výše uvedený systém Jordan-Gaussovou metodou. Za tímto účelem transformujeme výslednou matici kroků na jedinou takto: Původní soustava rovnic byla redukována na soustavu:, která určuje řešení. základní operace s maticemi Nechť jsou dány dvě matice: A=
B=. Při sčítání (odečítání) matic se sčítají (odečítají) jejich stejnojmenné prvky. 3. Součinem čísla k maticí A je matice definovaná rovností: Když se matice vynásobí číslem, všechny prvky matice se vynásobí tímto číslem. 4. Součin matic AB je matice definovaná rovností: Při násobení matic se prvky řádků první matice vynásobí prvky sloupců druhé matice a sečtou a prvek matice součinu v i-tém řádku a j-tém sloupci se rovná součet součinů odpovídajících prvků i-tého řádku první matice a j-tého sloupce druhé matice. Při násobení matic v obecném případě neplatí komutativní zákon, tzn. AB? VA. 5. Transpozice matice A je akce, která vede k nahrazení řádků sloupci a sloupců odpovídajícími řádky. Matice AT= se nazývá transponovaná matice pro matici A=. Pokud determinant matice A není roven nule (D? 0), pak se taková matice nazývá nesingulární. Pro libovolnou nesingulární matici A existuje inverzní matice A-1, pro kterou platí rovnost: A-1 A= A A-1=E, kde E=- matice identity. 6. Inverze matice A jsou takové akce, při kterých se získá inverzní matice A-1 Při invertování matice A se provedou následující akce. Rovnice obecně, lineární algebraické rovnice a jejich soustavy, stejně jako metody jejich řešení, zaujímají v matematice, teoretické i aplikované, zvláštní místo. Je to dáno tím, že drtivou většinu fyzikálních, ekonomických, technických a dokonce i pedagogických problémů lze popsat a řešit pomocí nejrůznějších rovnic a jejich soustav. V poslední době si matematické modelování získalo zvláštní oblibu mezi výzkumníky, vědci a odborníky z praxe téměř ve všech oblastech, což se vysvětluje jeho zjevnými výhodami oproti jiným dobře známým a osvědčeným metodám studia objektů různé povahy, zejména tzv. systémy. Existuje velké množství různých definic matematického modelu, které vědci poskytli v různých dobách, ale podle našeho názoru je nejúspěšnější následující tvrzení. Matematický model je myšlenka vyjádřená rovnicí. Schopnost skládat a řešit rovnice a jejich soustavy je tedy nedílnou vlastností moderního specialisty. K řešení soustav lineárních algebraických rovnic se nejčastěji používají metody Cramer, Jordan-Gauss a maticová metoda. Maticová metoda řešení - metoda řešení soustav lineárních algebraických rovnic s nenulovým determinantem pomocí inverzní matice. Pokud vypíšeme koeficienty pro neznámé hodnoty xi do matice A, neznámé hodnoty shromáždíme do vektoru sloupce X a volné členy do vektoru sloupce B, pak lze systém lineárních algebraických rovnic zapsat v tvar následující maticové rovnice A X = B, která má jednoznačné řešení pouze tehdy, když determinant matice A není roven nule. V tomto případě lze řešení soustavy rovnic nalézt následujícím způsobem X = A-1 · B, Kde A-1 - inverzní matice. Metoda řešení matrice je následující. Nechť je dána soustava lineárních rovnic n neznámý: Lze jej přepsat do maticové formy: SEKERA =
B, Kde A- hlavní matice systému, B A X- sloupce volných členů a řešení systému, resp. Vynásobte tuto maticovou rovnici vlevo číslem A-1 - matice inverzní k matici A: A -1 (SEKERA) = A -1 B Protože A -1 A = E, dostaneme X= A -1 B. Pravá strana této rovnice poskytne sloupec řešení původního systému. Podmínkou použitelnosti této metody (stejně jako obecné existence řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic s počtem rovnic rovným počtu neznámých) je nedegenerace matice. A. Nezbytnou a postačující podmínkou k tomu je determinant matice A: det A≠ 0. Pro homogenní soustavu lineárních rovnic, tedy když vektor B = 0
, skutečně opačné pravidlo: systém SEKERA =
0 má netriviální (tj. nenulové) řešení pouze v případě, že det A= 0. Takové spojení mezi řešeními homogenních a nehomogenních soustav lineárních rovnic se nazývá Fredholmova alternativa. Příklad řešení nehomogenní soustavy lineárních algebraických rovnic. Ujistíme se, že determinant matice složený z koeficientů neznámých soustavy lineárních algebraických rovnic není roven nule. Dalším krokem je výpočet algebraických doplňků pro prvky matice skládající se z koeficientů neznámých. Budou potřeba k nalezení inverzní matice.
