Návrh opakovaného nezávislého testu. Bernoulliho vzorec

Nepřemýšlejme dlouze o vznešených věcech – začněme hned s definicí.

Bernoulliho schéma je, když se provádí n nezávislých experimentů stejného typu, v každém z nich se nám zajímavá událost může jevit jako A a je známa pravděpodobnost této události P (A) = p. Musíme určit pravděpodobnost, že po n pokusech událost A nastane přesně kkrát.

Problémy, které lze vyřešit pomocí Bernoulliho schématu, jsou velmi rozmanité: od jednoduchých (jako je „zjistit pravděpodobnost, že střelec zasáhne 1krát z 10“) až po velmi závažné (například problémy zahrnující procenta nebo hrací karty). Ve skutečnosti se toto schéma často používá k řešení problémů souvisejících se sledováním kvality výrobků a spolehlivostí různých mechanismů, jejichž všechny vlastnosti musí být známy před zahájením práce.

Vraťme se k definici. Protože mluvíme o nezávislých studiích a v každé studii je pravděpodobnost události A stejná, jsou možné pouze dva výsledky:

1. A je výskyt jevu A s pravděpodobností p;
2. „ne ​​A“ - událost A nenastala, což nastává s pravděpodobností q = 1 − p.

Nejdůležitější podmínkou, bez níž Bernoulliho schéma ztrácí smysl, je stálost. Bez ohledu na to, kolik experimentů provedeme, zajímá nás stejná událost A, která nastane se stejnou pravděpodobností p.

Mimochodem, ne všechny problémy v teorii pravděpodobnosti jsou redukovány na konstantní podmínky. Každý kompetentní učitel vám o tom řekne. algebra pro pokročilé. Ani něco tak jednoduchého, jako je vyndání barevných míčků z krabice, není zážitkem se stálými podmínkami. Vyndali další míč - poměr barev v krabici se změnil. V důsledku toho se také změnily pravděpodobnosti.

Pokud jsou podmínky konstantní, můžeme přesně určit pravděpodobnost, že událost A nastane přesně kkrát z n možných. Zformulujme tento fakt ve formě věty:

Bernoulliho věta. Nechť je pravděpodobnost výskytu jevu A v každém experimentu konstantní a rovna p. Potom pravděpodobnost, že v n nezávislých pokusech se událost A objeví přesně kkrát, se vypočítá podle vzorce:

kde C n k je počet kombinací, q = 1 − p.

Tento vzorec se nazývá Bernoulliho vzorec. Je zajímavé poznamenat, že níže uvedené problémy lze zcela vyřešit bez použití tohoto vzorce. Můžete například použít vzorce pro sčítání pravděpodobností. Množství výpočtů však bude jednoduše nereálné.

Úkol. Pravděpodobnost výroby vadného výrobku na stroji je 0,2. Určete pravděpodobnost, že v dávce deseti dílů vyrobených na tomto stroji bude přesně k dílů bez závad. Vyřešte úlohu pro k = 0, 1, 10.

Podle podmínky nás zajímá událost A uvolnění produktů bez závad, která nastává pokaždé s pravděpodobností p = 1 − 0,2 = 0,8. Musíme určit pravděpodobnost, že tato událost nastane kkrát. Událost A je v kontrastu s událostí „ne A“, tj. uvolnění vadného výrobku.

Máme tedy: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Zjistíme tedy pravděpodobnost, že všechny díly v dávce jsou vadné (k = 0), že pouze jeden díl je bez vad (k = 1) a že neexistují žádné vadné díly (k = 10):

Úkol. Mince se hází 6krát. Přistání erbu a hlav je stejně pravděpodobné. Najděte pravděpodobnost, že:

1. erb se objeví třikrát;
2. erb se objeví jednou;
3. erb se objeví minimálně dvakrát.

Zajímá nás tedy událost A, kdy erb vypadne. Pravděpodobnost této události je p = 0,5. Událost A je v kontrastu s událostí „ne A“, kdy výsledkem jsou hlavy, což se děje s pravděpodobností q = 1 − 0,5 = 0,5. Musíme určit pravděpodobnost, že se erb objeví kkrát.

Máme tedy: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Stanovme pravděpodobnost, že erb bude tažen třikrát, tzn. k = 3:

Nyní určíme pravděpodobnost, že se erb objevil pouze jednou, tzn. k = 1:

Zbývá určit, s jakou pravděpodobností se erb objeví alespoň dvakrát. Hlavní háček je ve frázi „ne méně“. Ukazuje se, že se spokojíme s libovolným k kromě 0 a 1, tzn. potřebujeme najít hodnotu součtu X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Všimněte si, že tento součet je také roven (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), tzn. Stačí ze všech možných možností „vystřihnout“ ty, kdy erb vypadl 1x (k = 1) nebo se neobjevil vůbec (k = 0). Protože již známe P 6 (1), zbývá najít P 6 (0):

Úkol. Pravděpodobnost, že má televizor skryté vady je 0,2. Do skladu dorazilo 20 televizorů. Která událost je pravděpodobnější: že v této dávce jsou dva televizory se skrytými vadami nebo tři?

Zájmová událost A je přítomnost latentního defektu. Televizí je celkem n = 20, pravděpodobnost skryté vady je p = 0,2. Pravděpodobnost příjmu televizoru bez skryté vady je tedy q = 1 − 0,2 = 0,8.

Získáme výchozí podmínky pro Bernoulliho schéma: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Pojďme zjistit pravděpodobnost získání dvou „vadných“ televizorů (k = 2) a tří (k = 3):

\[\begin(pole)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Je zřejmé, že P20(3) > P20(2), tj. pravděpodobnost příjmu tří televizorů se skrytými vadami je větší než pravděpodobnost příjmu pouze dvou takových televizorů. Navíc ten rozdíl není slabý.

Rychlá poznámka o faktoriálech. Mnoho lidí zažívá neurčitý pocit nepohodlí, když vidí položku „0!“ (čtěte „nulový faktoriál“). Takže 0! = 1 podle definice.

P. S. A největší pravděpodobnost v posledním úkolu je získat čtyři televizory se skrytými vadami. Spočítejte si sami a uvidíte sami.

Opakované nezávislé studie se nazývají Bernoulliho studie, pokud každá studie má pouze dva možné výsledky a pravděpodobnosti výsledků zůstávají ve všech studiích stejné.

Obvykle se tyto dva výsledky nazývají „úspěch“ (S) nebo „neúspěch“ (F) a označují se odpovídající pravděpodobnosti. p A q. To je jasné p 0, q³ 0 a p+q=1.

Prostor elementárních událostí každého pokusu se skládá ze dvou událostí U a H.

Prostor elementárních událostí n Bernoulliho testy Ω obsahuje 2 n elementární události, které jsou sekvencemi (řetězci). n symboly U a N. Každá elementární událost je jedním z možných výsledků posloupnosti n Bernoulliho testy. Protože jsou testy nezávislé, pak se podle věty o násobení pravděpodobnosti násobí, to znamená, že pravděpodobnost jakékoli konkrétní sekvence je součin získaný nahrazením symbolů U a H p A q podle toho je to například: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Všimněte si, že výsledek Bernoulliho testu je často označován 1 a 0 a poté elementární událost v sekvenci n Bernoulliho testy - existuje řetězec složený z nul a jedniček. Například:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Bernoulliho testy představují nejdůležitější schéma zvažované v teorii pravděpodobnosti. Toto schéma je pojmenováno po švýcarském matematikovi J. Bernoullim (1654-1705), který tento model ve svých dílech hluboce studoval.

Hlavní problém, který nás zde bude zajímat, je: jaká je pravděpodobnost události, že n Proběhly Bernoulliho testy múspěch?

Pokud jsou splněny stanovené podmínky, pravděpodobnost, že při provádění nezávislé testy událost bude přesně dodržováno m časy (bez ohledu na to, ve kterých experimentech), je určen Bernoulliho vzorec:

(21.1)

Kde - pravděpodobnost výskytu v každém testu a
- pravděpodobnost, že v daném experimentu dojde k události se nestalo.

Pokud vezmeme v úvahu P n (m) jako funkce m, pak specifikuje rozdělení pravděpodobnosti, které se nazývá binomické. Pojďme prozkoumat tuto závislost P n (m) z m, 0£ m£ n.

Události B m( m = 0, 1, ..., n), skládající se z různého počtu výskytů události A PROTI n testy jsou neslučitelné a tvoří ucelenou skupinu. Proto,
.

Uvažujme poměr:

=
=
=
.

Z toho vyplývá P n (m+1)>P n (m), Li (n- m)p> (m+1)q, tj. funkce P n (m) zvyšuje, pokud m< n.p.- q. Rovněž, P n (m+1)< P n (m), Li (n- m)p< (m+1)q, tj. P n (m) klesá, pokud m> n.p.- q.

Existuje tedy číslo m 0, při kterém P n (m) dosáhne své největší hodnoty. najdeme m 0 .

Podle významu čísla m 0 máme P n (m 0)³ P n (m 0 -1) a P n (m 0) ³ P n (m 0 +1), odtud

, (21.2)

. (21.3)

Řešení nerovností (21.2) a (21.3) vzhledem k m 0, dostaneme:

p/ m 0 ³ q/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ n.p.+ p,

q/(n- m 0 ) ³ p/(m 0 +1) Þ m 0 ³ n.p.- q.

Tedy požadovaný počet m 0 vyrovnává nerovnosti

n.p.- q£ m 0 £ np+p. (21.4)

Protože p+q=1, pak je délka intervalu definovaného nerovností (21.4) rovna jedné a existuje alespoň jedno celé číslo m 0 vyhovující nerovnosti (21,4):

1) pokud n.p. - q je celé číslo, pak existují dvě hodnoty m 0, konkrétně: m 0 = n.p. - q A m 0 = n.p. - q + 1 = n.p. + p;

2) pokud n.p. - q- zlomkové, pak je jedno číslo m 0 , konkrétně jediné celé číslo obsažené mezi zlomková čísla, získané z nerovnosti (21.4);

3) pokud n.p. je celé číslo, pak existuje jedno číslo m 0, jmenovitě m 0 = n.p..

Číslo m 0 se nazývá nejpravděpodobnější nebo nejpravděpodobnější hodnota (číslo) výskytu události A v řadě n nezávislé testy.

V této lekci najdeme pravděpodobnost výskytu události v nezávislých pokusech při opakování pokusů . Pokusy se nazývají nezávislé, pokud pravděpodobnost jednoho nebo druhého výsledku každého pokusu nezávisí na tom, jaké výsledky měly jiné pokusy. . Nezávislé testy lze provádět jak za stejných podmínek, tak za různých podmínek. V prvním případě je pravděpodobnost výskytu nějaké události ve všech pokusech stejná, ve druhém případě se liší soud od soudu.

Příklady nezávislých retestů :

• jeden z uzlů zařízení nebo dva nebo tři uzly selžou a selhání každého uzlu nezávisí na druhém uzlu a pravděpodobnost selhání jednoho uzlu je ve všech testech konstantní;
• díl nebo tři, čtyři, pět dílů vyrobených za určitých konstantních technologických podmínek se ukáže jako nestandardní a jeden díl se může ukázat jako nestandardní bez ohledu na jakýkoli jiný díl a pravděpodobnost, že se díl otočí nestandardní je konstantní ve všech testech;
• z několika výstřelů na terč zasáhne jeden, tři nebo čtyři výstřely cíl bez ohledu na výsledek ostatních výstřelů a pravděpodobnost zásahu do cíle je ve všech zkouškách konstantní;
• při upuštění mince bude stroj správně fungovat jednou, dvakrát nebo vícekrát, bez ohledu na výsledek dalších upuštění mince, a pravděpodobnost, že stroj bude fungovat správně, je ve všech pokusech konstantní.

Tyto události lze popsat v jednom diagramu. Každá událost nastává v každém pokusu se stejnou pravděpodobností, která se nemění, pokud jsou známy výsledky předchozích pokusů. Takové testy se nazývají nezávislé a obvod se nazývá Bernoulliho schéma . Předpokládá se, že takové testy lze opakovat tolikrát, kolikrát je třeba.

Pokud pravděpodobnost p výskyt události A je konstantní v každém pokusu, pak pravděpodobnost, že v n nezávislá testovací akce A přijde mčasy, se nachází podle Bernoulliho vzorec :

(Kde q= 1 – p- pravděpodobnost, že k události nedojde)

Stanovme si úkol – najít pravděpodobnost, že událost tohoto typu nastane n přijdou nezávislé testy m jednou.

Bernoulliho vzorec: příklady řešení problémů

Příklad 1 Najděte pravděpodobnost, že z pěti náhodně vybraných částí jsou dvě standardní, pokud pravděpodobnost, že se každá část ukáže jako standardní, je 0,9.

Řešení. Pravděpodobnost události A, spočívající v tom, že náhodně odebraná část je standardní, existuje p=0,9 a existuje pravděpodobnost, že je nestandardní q=1–p=0,1. Událost označená v problémovém prohlášení (označujeme ji V) dojde, pokud se například první dva díly ukáží jako standardní a další tři jsou nestandardní. Ale událost V dojde také v případě, že se první a třetí část ukáže jako standardní a zbytek bude nestandardní, nebo pokud bude druhá a pátá část standardní a zbytek bude nestandardní. Existují další možnosti, jak událost nastat V. Kterýkoli z nich se vyznačuje tím, že z pěti odebraných dílů se dva, které zaujímají libovolné místo z pěti, ukážou jako standardní. Proto, celkový počet různé možnosti vzniku události V se rovná počtu možností umístění dvou standardních dílů na pěti místech, tzn. se rovná počtu kombinací pěti prvků dvěma a .

Pravděpodobnost každé možnosti podle věty o násobení pravděpodobnosti je rovna součinu pěti faktorů, z nichž dva, odpovídající vzhledu standardních dílů, jsou rovny 0,9 a zbývající tři, odpovídající vzhledu nestandardních dílů. díly, jsou rovny 0,1, tzn. tato pravděpodobnost je. Protože těchto deset možností jsou neslučitelné jevy, teorémem sčítání pravděpodobnost události V, kterou označujeme

Příklad 2 Pravděpodobnost, že si stroj do hodiny vyžádá pozornost pracovníka, je 0,6. Za předpokladu, že problémy na strojích jsou nezávislé, zjistěte pravděpodobnost, že do hodiny bude pozornost pracovníka vyžadovat kterýkoli ze čtyř strojů, které obsluhuje.

Řešení. Použití Bernoulliho vzorec na n=4 , m=1 , p= 0,6 a q=1–p= 0,4, dostáváme

Příklad 3 Pro běžný provoz spolujízdy musí být na lince minimálně osm vozidel a těch je deset. Pravděpodobnost, že každé vozidlo nevjede na linku, je 0,1. Najděte pravděpodobnost normálního provozu vozového depa v následujícím dni.

Řešení. Spolujízda bude fungovat normálně (event F), pokud se jich připojí osm nebo osm (udál A), nebo devět (událost V), nebo událost všech deset vozů (event C). Podle věty o sčítání pravděpodobností

Najdeme každý termín podle Bernoulliho vzorce. Zde n=10 , m=8; 10 a p=1-0,1=0,9, protože p měla by udávat pravděpodobnost vjezdu vozidla na linii; Pak q=0,1. V důsledku toho dostáváme

Příklad 4. Pravděpodobnost, že zákazník potřebuje pánské boty velikosti 41, nechť je 0,25. Najděte pravděpodobnost, že ze šesti kupujících potřebují alespoň dva boty velikosti 41.

Pokud se provádí několik studií a pravděpodobnost události A v každé studii nezávisí na výsledcích jiných studií, pak se takové studie nazývají nezávislý na události A .

V různých nezávislých pokusech může mít událost A buď různé pravděpodobnosti, nebo stejnou pravděpodobnost. Dále budeme uvažovat pouze takové nezávislé pokusy, ve kterých má událost A stejnou pravděpodobnost.

Níže tento koncept použijeme komplex události, tím míněno kombinace několika samostatných akcí tzv jednoduchý .

Ať se vyrábí n nezávislé zkoušky, v každé z nich se událost A může nebo nemusí objevit. Shodněme se na předpokladu, že pravděpodobnost události A v každém pokusu je stejná, totiž rovna r . V důsledku toho je pravděpodobnost, že se událost A v každém pokusu nevyskytne, také konstantní a rovná q = 1 - p .

Dejme si za úkol vypočítat pravděpodobnost, že kdy n testy, událost A přesně nastane k krát a proto se nesplní n - k jednou. Je důležité zdůraznit, že událost A se nemusí přesně opakovat k krát v určitém pořadí.

Například pokud mluvíme o výskytu události A třikrát ve čtyřech pokusech, pak jsou možné následující složité události: AAA, AAA, AAA, AAA. Záznam AAA znamená, že v prvním, druhém a třetím pokusu event A přišel, ale ve čtvrtém testu se neobjevil, tzn. došlo k opačné události A; Ostatní položky mají odpovídající význam.

Označíme požadovanou pravděpodobnost R p (k) . Například symbol R 5 (3) znamená pravděpodobnost, že v pěti pokusech k události dojde přesně 3krát, a tedy nenastane 2krát.

Nastolený problém lze vyřešit pomocí tzv. Bernoulliho vzorce.

Odvození Bernoulliho vzorce. Pravděpodobnost jedné komplexní události, spočívající v tom, že n testovací akce A přijde k nikdy nepřijde p - k krát se podle věty o násobení pravděpodobností nezávislých událostí rovná p k q n - k . Takových složitých událostí může být tolik, kolik lze kombinací vytvořit n prvky podle k prvky, tzn. S n k .

Od těchto složitých událostí nekompatibilní, To teorémem sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí požadovaná pravděpodobnost je rovna součtu pravděpodobností všech možných komplexních událostí. Protože pravděpodobnosti všech těchto komplexních událostí jsou stejné, pak požadovaná pravděpodobnost (výskytu k krát události A PROTI n testy) se rovná pravděpodobnosti jedné komplexní události vynásobené jejich počtem:

Výsledný vzorec se nazývá Bernoulliho vzorec .

Příklad 1. Pravděpodobnost, že spotřeba elektřiny během jednoho dne nepřekročí zavedená norma, je rovný p = 0,75 . Najděte pravděpodobnost, že v následujících 6 dnech spotřeba elektřiny po dobu 4 dnů nepřekročí normu.

Řešení. Pravděpodobnost normální spotřeby energie během každého ze 6 dnů je konstantní a rovná se p = 0,75 . V důsledku toho je pravděpodobnost nadměrné spotřeby energie každý den také konstantní a stejná q = 1 - p = 1 - 0,75 = 0,25.

Požadovaná pravděpodobnost podle Bernoulliho vzorce je rovna:

Bernoulliho vzorec- vzorec v teorii pravděpodobnosti, který vám umožní najít pravděpodobnost výskytu události A (\displaystyle A) v nezávislých testech. Bernoulliho vzorec umožňuje zbavit se velkého množství výpočtů - sčítání a násobení pravděpodobností - s dostatečným velké množství testy. Pojmenován po vynikajícím švýcarském matematikovi Jacobu Bernoullim, který tento vzorec odvodil.

Encyklopedický YouTube

1 / 3

✪ Teorie pravděpodobnosti. 22. Bernoulliho vzorec. Řešení problémů

✪ Bernoulliho vzorec

✪ 20 opakování testů formule Bernoulli

titulky

Formulace

Teorém. Pokud pravděpodobnost p (\displaystyle p) výskyt události A (\displaystyle A) je konstantní v každém pokusu, pak pravděpodobnost P k , n (\displaystyle P_(k,n))že událost A (\displaystyle A) přijde přesně k (\displaystyle k) jednou za každý n (\displaystyle n) nezávislé testy, se rovná: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), Kde q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).

Důkaz

Ať se to provede n (\displaystyle n) nezávislé testy a je známo, že výsledkem každého testu je event A (\displaystyle A) nastává s pravděpodobností P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p) a proto se nevyskytuje s pravděpodobností P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Nechť také při testech pravděpodobnosti p (\displaystyle p) A q (\displaystyle q) zůstat beze změny. Jaká je pravděpodobnost, že v důsledku n (\displaystyle n) nezávislé testy, event A (\displaystyle A) přijde přesně k (\displaystyle k) jednou?

Ukazuje se, že je možné přesně vypočítat počet „úspěšných“ kombinací výsledků testů, pro které událost A (\displaystyle A) přichází k (\displaystyle k) jednou za každý n (\displaystyle n) nezávislých testů - to je přesně počet kombinací  n (\displaystyle n)  Podle  k (\displaystyle k) :

C n (k) = n!{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

k! A (\displaystyle A)(n − k) !

(\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n n (\displaystyle n) Zároveň, protože všechny testy jsou nezávislé a jejich výsledky jsou nekompatibilní (event A (\displaystyle A) přijde přesně k (\displaystyle k) buď nastane nebo ne), pak je pravděpodobnost získání „úspěšné“ kombinace přesně rovna: . Nakonec, abychom našli pravděpodobnost, že nezávislá testovací akce Opět musíte sečíst pravděpodobnost získání všech „úspěšných“ kombinací. Pravděpodobnost získání všech „úspěšných“ kombinací je stejná a stejná p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k))

, počet „úspěšných“ kombinací je roven.

C n (k) (\displaystyle C_(n)(k))

, takže konečně dostáváme:.