Diferenciální rovnice druhého a vyšších řádů.
Lineární DE druhého řádu s konstantní koeficienty.
Příklady řešení.

Přejdeme k úvahám o diferenciálních rovnicích druhého řádu a diferenciálních rovnicích vyšších řádů. Pokud máte mlhavou představu o tom, co je diferenciální rovnice (nebo vůbec nerozumíte, co to je), doporučuji začít s lekcí Diferenciální rovnice prvního řádu. Příklady řešení. Mnoho principů řešení a základních konceptů difuzí prvního řádu je automaticky rozšířeno na diferenciální rovnice vyššího řádu, takže je velmi důležité nejprve porozumět rovnicím prvního řádu.

Mnoho čtenářů může mít předsudek, že DE 2., 3. a dalších řádů je něco velmi obtížného a pro zvládnutí nedostupného. To je špatně . Naučte se řešit difuze vyšší řád sotva složitější než "obyčejné" DE 1. řádu. A na některých místech je to ještě snazší, protože materiál školního kurikula je aktivně využíván při rozhodování.

Nejoblíbenější diferenciální rovnice druhého řádu. Do diferenciální rovnice druhého řádu Nezbytně zahrnuje druhou derivaci a není v ceně

Nutno podotknout, že některé z miminek (a dokonce všechna najednou) může v rovnici chybět, důležité je, aby byl otec doma. Nejprimitivnější diferenciální rovnice druhého řádu vypadá takto:

Diferenciální rovnice třetího řádu v praktických úlohách jsou mnohem méně obvyklé, podle mých subjektivních pozorování ve Státní dumě by získaly asi 3-4 % hlasů.

Do diferenciální rovnice třetího řádu Nezbytně zahrnuje třetí derivaci a není v ceně deriváty vyšších řádů:

Nejjednodušší diferenciální rovnice třetího řádu vypadá takto: - táta je doma, všechny děti jsou na procházce.

Podobně lze definovat diferenciální rovnice 4., 5. a vyšších řádů. V praktických problémech takové DE sklouzává extrémně zřídka, nicméně se pokusím uvést relevantní příklady.

Diferenciální rovnice vyšších řádů, které jsou navrženy v praktických úlohách, lze rozdělit do dvou hlavních skupin.

1) První skupina - tzv rovnice nižšího řádu. Letět v!

2) Druhá skupina - lineární rovnice vyšších řádů s konstantními koeficienty. Což začneme zvažovat právě teď.

Lineární diferenciální rovnice druhého řádu
s konstantními koeficienty

V teorii a praxi se rozlišují dva typy takových rovnic - homogenní rovnice A nehomogenní rovnice.

Homogenní DE 2. řádu s konstantními koeficienty má následující podobu:
, kde a jsou konstanty (čísla) a na pravé straně - přísně nula.

Jak vidíte, s homogenními rovnicemi nejsou žádné zvláštní potíže, hlavní věc je, že rozhodnout správně kvadratická rovnice .

Někdy existují nestandardní homogenní rovnice, například rovnice ve tvaru , kde u druhé derivace je nějaká konstanta , odlišná od jednoty (a samozřejmě odlišná od nuly). Algoritmus řešení se vůbec nemění, je třeba v klidu sestavit charakteristickou rovnici a najít její kořeny. Pokud je charakteristická rovnice bude mít dva různé skutečné kořeny, například: , Že společné rozhodnutí napsáno obvyklým způsobem: .

V některých případech se kvůli překlepu ve stavu mohou ukázat „špatné“ kořeny, něco jako . Co dělat, odpověď bude muset být napsána takto:

Se "špatnými" konjugovanými komplexními kořeny jako žádný problém, obecné řešení:

to znamená, obecné řešení v každém případě existuje. Protože každá kvadratická rovnice má dva kořeny.

V posledním odstavci, jak jsem slíbil, krátce zvážíme:

Lineární homogenní rovnice vyššího řádu

Všechno je velmi, velmi podobné.

Lineární homogenní rovnice třetího řádu má následující tvar:
, kde jsou konstanty.
Pro daná rovnice musíte také vytvořit charakteristickou rovnici a najít její kořeny. Charakteristická rovnice, jak mnozí uhodli, vypadá takto:
a to Tak jako tak Má to přesně tři vykořenit.

Nechť jsou například všechny kořeny skutečné a odlišné: , pak lze obecné řešení zapsat takto:

Pokud je jeden kořen skutečný a další dva jsou konjugovaný komplex, zapíšeme obecné řešení takto:

Zvláštní případ je, když jsou všechny tři kořeny násobky (stejné). Uvažujme nejjednodušší homogenní DE 3. řádu s osamělým otcem: . Charakteristická rovnice má tři shodné nulové kořeny. Obecné řešení zapíšeme takto:

Pokud je charakteristická rovnice má například tři vícenásobné kořeny, pak obecné řešení je:

Příklad 9

Vyřešte homogenní diferenciální rovnici třetího řádu

Řešení: Sestavíme a vyřešíme charakteristickou rovnici:

, - získá se jeden skutečný kořen a dva konjugované komplexní kořeny.

Odpovědět: společné rozhodnutí

Podobně můžeme uvažovat o lineární homogenní rovnici čtvrtého řádu s konstantními koeficienty: , kde jsou konstanty.

V některých problémech fyziky nelze stanovit přímou souvislost mezi veličinami popisujícími proces. Existuje však možnost získat rovnost obsahující derivace studovaných funkcí. Tak vznikají diferenciální rovnice a potřeba je řešit, abychom našli neznámou funkci.

Tento článek je určen těm, kteří stojí před úkolem vyřešit diferenciální rovnice, ve kterém je neznámá funkce funkcí jedné proměnné. Teorie je postavena tak, že s nulovým pochopením diferenciálních rovnic můžete dělat svou práci.

Každý typ diferenciálních rovnic je spojen s metodou řešení s podrobným vysvětlením a řešením typických příkladů a problémů. Musíte pouze určit typ diferenciální rovnice vašeho problému, najít podobný analyzovaný příklad a provést podobné akce.

K úspěšnému řešení diferenciálních rovnic z vaší strany budete potřebovat také schopnost najít sady primitivních ( neurčité integrály) různých funkcí. V případě potřeby doporučujeme nahlédnout do části.

Nejprve zvažte typy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu, které lze řešit s ohledem na derivaci, poté přejdeme k ODR druhého řádu, poté se zastavíme u rovnic vyššího řádu a skončíme u soustav diferenciálních rovnic.

Připomeňme, že pokud y je funkcí argumentu x .

Diferenciální rovnice prvního řádu.

Nejjednodušší diferenciální rovnice prvního řádu tvaru .

Zapišme si několik příkladů takového DE .

Diferenciální rovnice lze vyřešit s ohledem na derivaci vydělením obou stran rovnosti f(x) . V tomto případě dospějeme k rovnici , která bude ekvivalentní té původní pro f(x) ≠ 0 . Příklady takových ODR jsou .

Pokud existují hodnoty argumentu x, pro které funkce f(x) a g(x) současně zmizí, objeví se další řešení. Další řešení rovnice dané x jsou všechny funkce definované pro tyto hodnoty argumentů. Příklady takových diferenciálních rovnic jsou .

Diferenciální rovnice druhého řádu.

Lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty.

LODE s konstantními koeficienty je velmi běžný typ diferenciálních rovnic. Jejich řešení není nijak zvlášť obtížné. Nejprve se najdou kořeny charakteristická rovnice . Pro různé p a q jsou možné tři případy: kořeny charakteristické rovnice mohou být skutečné a různé, reálné a shodné nebo komplexně konjugát. V závislosti na hodnotách kořenů charakteristické rovnice je obecné řešení diferenciální rovnice zapsáno jako nebo , resp.

Uvažujme například lineární homogenní diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty. Kořeny jeho charakteristické rovnice jsou k 1 = -3 a k 2 = 0. Kořeny jsou reálné a různé, proto je obecné řešení LDE s konstantními koeficienty


Lineární nehomogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty.

Obecné řešení LIDE druhého řádu s konstantními koeficienty y se hledá jako součet obecného řešení příslušného LODE a konkrétní řešení originálu nehomogenní rovnice, tedy . Předchozí odstavec je věnován hledání obecného řešení homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. A konkrétní řešení je určeno buď metodou neurčitých koeficientů pro určitý tvar funkce f (x) , stojící na pravé straně původní rovnice, nebo metodou variace libovolných konstant.

Jako příklady LIDE druhého řádu s konstantními koeficienty uvádíme


Pro pochopení teorie a seznámení se s detailním řešením příkladů vám nabízíme na stránce lineární nehomogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty.

Lineární homogenní diferenciální rovnice (LODE) a lineární nehomogenní diferenciální rovnice druhého řádu (LNDE).

Speciálním případem diferenciálních rovnic tohoto typu jsou LODE a LODE s konstantními koeficienty.

Obecné řešení LODE na určitém intervalu je reprezentováno lineární kombinací dvou lineárně nezávislých partikulárních řešení y 1 a y 2 této rovnice, tzn. .

Hlavní problém spočívá právě v nalezení lineárně nezávislých parciálních řešení tohoto typu diferenciálních rovnic. Obvykle se konkrétní řešení volí z následujících systémů lineárně nezávislých funkcí:


Konkrétní řešení však nejsou vždy prezentována v této podobě.

Příkladem LODU je .

Obecné řešení LIDE se hledá ve tvaru , kde je obecné řešení odpovídajícího LODE a je konkrétním řešením původní diferenciální rovnice. Právě jsme mluvili o hledání, ale lze jej určit pomocí metody variace libovolných konstant.

Příkladem LNDE je .

Diferenciální rovnice vyšších řádů.

Diferenciální rovnice připouštějící řádovou redukci.

Řád diferenciální rovnice , který neobsahuje požadovanou funkci a její derivace až do řádu k-1, lze redukovat na n-k nahrazením .

V tomto případě se původní diferenciální rovnice sníží na . Po nalezení jejího řešení p(x) zbývá vrátit se k nahrazení a určit neznámou funkci y .

Například diferenciální rovnice poté, co se nahrazení stane separovatelnou rovnicí a její pořadí se sníží ze třetí na první.

Často jen zmínka diferenciální rovnice znepříjemňuje studentům. Proč se tohle děje? Nejčastěji proto, že při studiu základů materiálu vzniká mezera ve znalostech, díky níž se další studium difurů stává pouhým mučením. Nic není jasné, co dělat, jak se rozhodnout, kde začít?

My se vám však pokusíme ukázat, že difury nejsou tak těžké, jak se zdá.

Základní pojmy z teorie diferenciálních rovnic

Ze školy známe nejjednodušší rovnice, ve kterých potřebujeme najít neznámou x. Ve skutečnosti diferenciální rovnice jen mírně odlišné od nich - místo proměnné X potřebují najít funkci y(x) , což změní rovnici na identitu.

D diferenciální rovnice mají velký praktický význam. To není abstraktní matematika, která nemá nic společného se světem kolem nás. Pomocí diferenciálních rovnic je popsáno mnoho skutečných přírodních procesů. Například vibrace strun, pohyb harmonického oscilátoru, pomocí diferenciálních rovnic v úlohách mechaniky zjišťují rychlost a zrychlení tělesa. Taky DU nalézt široké uplatnění v biologii, chemii, ekonomii a mnoha dalších vědách.

Diferenciální rovnice (DU) je rovnice obsahující derivace funkce y(x), funkci samotnou, nezávislé proměnné a další parametry v různých kombinacích.

Existuje mnoho typů diferenciálních rovnic: obyčejné diferenciální rovnice, lineární a nelineární, homogenní a nehomogenní, diferenciální rovnice prvního a vyššího řádu, parciální diferenciální rovnice a tak dále.

Řešením diferenciální rovnice je funkce, která ji mění v identitu. Existují obecná a konkrétní řešení dálkového ovládání.

Obecné řešení diferenciální rovnice je obecná množina řešení, která mění rovnici na identitu. Konkrétní řešení diferenciální rovnice je řešení, které vyhovuje dodatečné podmínky nastavit zpočátku.

Pořadí diferenciální rovnice je určeno nejvyšším řádem derivací v ní obsažených.

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice jsou rovnice obsahující jednu nezávislou proměnnou.

Zvažte nejjednodušší obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu. Vypadá to, že:

Tuto rovnici lze vyřešit jednoduchou integrací její pravé strany.

Příklady takových rovnic:

Oddělitelné proměnné rovnice

V obecný pohled tento typ rovnice vypadá takto:

Zde je příklad:

Při řešení takové rovnice musíte oddělit proměnné a uvést je do tvaru:

Poté zbývá obě části integrovat a získat řešení.

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

Takové rovnice mají tvar:

Zde p(x) a q(x) jsou některé funkce nezávisle proměnné a y=y(x) je požadovaná funkce. Zde je příklad takové rovnice:

Při řešení takové rovnice nejčastěji používají metodu variace libovolné konstanty nebo reprezentují požadovanou funkci jako součin dvou dalších funkcí y(x)=u(x)v(x).

K vyřešení takových rovnic je nutná určitá příprava a bude docela obtížné je vzít „z rozmaru“.

Příklad řešení DE se separovatelnými proměnnými

Zvažovali jsme tedy nejjednodušší typy dálkového ovládání. Nyní se pojďme podívat na jeden z nich. Nechť je to rovnice s oddělitelnými proměnnými.

Nejprve přepíšeme derivaci do známější formy:

Poté oddělíme proměnné, to znamená, že v jedné části rovnice shromáždíme všechny „hry“ a ve druhé - „xes“:

Nyní zbývá spojit obě části:

Integrujeme a získáme obecné řešení této rovnice:

Řešení diferenciálních rovnic je samozřejmě druh umění. Musíte být schopni pochopit, k jakému typu rovnice patří, a také se naučit vidět, jaké transformace s ní musíte provést, abyste ji dostali do té či oné podoby, nemluvě jen o schopnosti rozlišovat a integrovat. A k úspěchu při řešení DE je potřeba cvik (jako u všeho). A pokud máte tento moment není čas zabývat se tím, jak se řeší diferenciální rovnice nebo se Cauchyho problém zvedl jako kost v krku nebo nevíte, kontaktujte naše autory. V krátké době Vám poskytneme připravené a detailní řešení, abyste porozuměli detailům, které vám mohou kdykoli vyhovovat. Mezitím doporučujeme zhlédnout video na téma „Jak řešit diferenciální rovnice“:

Rovnice ve tvaru: se nazývá lineární diferenciální rovnice vyššího řádu, kde a 0, a 1, ... an jsou funkce proměnné x nebo konstanty a a 0, a 1, ... a n a f (x) jsou považovány za spojité.

Pokud a 0 = 1 (pokud
pak se to dá rozdělit)
rovnice bude mít tvar:

Li
rovnice je nehomogenní.

rovnice je homogenní.

Lineární homogenní diferenciální rovnice n. řádu

Rovnice ve tvaru: se nazývají lineární homogenní diferenciální rovnice n. řádu.

Pro tyto rovnice platí následující věty:

Věta 1: Li
- řešení , pak součet
- také řešení

Důkaz: Dosaďte součet

Protože derivace libovolného řádu součtu je rovna součtu derivací, můžete seskupit otevřením závorek:

protože y 1 a y 2 jsou řešení.

0 = 0 (správně)
částka je také rozhodnutí.

věta je dokázána.

Věta 2: Pokud y 0 -řešení , Že
- také řešení .

Důkaz: Náhradník
do rovnice

protože C je vyjmuto ze znaménka derivace, pak

protože řešení, 0=0 (správně)
Cy 0 je také řešení.

věta je dokázána.

Důsledek z T1 a T2: Li
- řešení (*)
lineární kombinace je také řešením (*).

Lineárně nezávislé a lineárně závislé systémy funkcí. Vronského determinant a jeho vlastnosti

Definice: Funkční systém
- se nazývá lineárně nezávislá, pokud lineární kombinace koeficientů
.

Definice: funkční systém
- se nazývá lineárně závislý, pokud a existují koeficienty
.

Vezměte systém dvou lineárně závislých funkcí
protože
nebo
- stav lineární nezávislost dvě funkce.

1)
lineárně nezávislé

2)
lineárně závislé

3) lineárně závislé

Definice: Daný systém funkcí
- funkce proměnné x.

Determinant
-Vronského determinant pro systém funkcí
.

Pro systém dvou funkcí vypadá Wronského determinant takto:

Vlastnosti Vronského determinantu:

Teorém: O obecném řešení lineární homogenní diferenciální rovnice 2. řádu.

Jestliže y 1 a y 2 jsou lineární nezávislá řešení lineární homogenní diferenciální rovnice 2. řádu, pak

obecné řešení vypadá takto:

Důkaz:
- rozhodnutí o následku z T1 a T2.

Pokud jsou dány počáteční podmínky A musí být jasně umístěny.

- počáteční podmínky.

Udělejme systém hledání A . K tomu dosadíme počáteční podmínky do obecného řešení.

determinant tohoto systému:
- Vronského determinant, vypočtený v bodě x 0

protože A lineárně nezávislé
(o 20)

protože determinant systému není roven 0, pak má systém jedinečné řešení a A jsou jednoznačně mimo systém.

Obecné řešení lineární homogenní diferenciální rovnice n. řádu

Lze ukázat, že rovnice má n lineárně nezávislých řešení

Definice: n lineárně nezávislých řešení
nazývá se lineární homogenní diferenciální rovnice řádu n základní systém řešení.

Obecné řešení lineární homogenní diferenciální rovnice řádu n, tj. (*) je lineární kombinací základního systému řešení:

Kde
- základní systém řešení.

Lineární homogenní diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty

Toto jsou rovnice ve tvaru:
, kde p a g jsou čísla (*)

Definice: Rovnice
- volal charakteristická rovnice diferenciální rovnice (*) je obyčejná kvadratická rovnice, jejíž řešení závisí na D, jsou možné tyto případy:

1)D>0
jsou dvě skutečně odlišná řešení.

2)D=0
- jeden skutečný kořen násobnosti 2.

3)D<0
jsou dva komplexně konjugované kořeny.

Pro každý z těchto případů uvádíme základní systém řešení, složený ze 2 funkcí A .

Ukážeme, že:

1) A - LNZ

2) A - řešení (*)

Zvažte 1 případ D>0
- 2 skutečné odlišné kořeny.

X
charakteristická rovnice:

Vezměme jako FSR:

a) ukázat LNZ

b) ukázat to - řešení (*), náhrada

+p
+g
=0

opravdová rovnost

řešení (*)

podobně znázorněno pro y2.

Závěr:
- FSR (*)
společné rozhodnutí

Zvažte 2 případy: D=0
- 1 skutečný kořen násobnosti 2.

Vezměme jako FSR:

LNZ:
LNZ je.

-řešení rovnice (viz případ 1). Pojďme si to ukázat
- řešení.

náhradník v DU

-řešení.

Závěr: FSR

Příklad:

3 případ: D<0
- 2 komplexně konjugované kořeny.

nahradit
v charakteru rovnice

Komplexní číslo je 0, když skutečná i imaginární část je 0.

- použijeme.

Pojďme si to ukázat
- tvoří FSR.

A) LNZ:

b)
- řešení dálkového ovládání

opravdová rovnost
- rozhodnutí DU.

Podobně se ukazuje, že také řešení.

Závěr: FSR:

Společné rozhodnutí:

Pokud n.o.s.

- pak nejprve najít obecné řešení
, jeho derivát:
a pak se do tohoto systému dosadí n.u a najdou A .

Studna:

Teorie výpočetní techniky nehomogenní diferenciální rovnice(DU) v této publikaci nebudeme dávat, z předchozích lekcí můžete najít dostatek informací k nalezení odpovědi na otázku "Jak vyřešit nehomogenní diferenciální rovnici?" Míra nehomogenního DE zde nehraje velkou roli, není tolik způsobů, které umožňují vypočítat řešení takového DE. Abychom vám usnadnili čtení odpovědí v příkladech, hlavní důraz je kladen pouze na techniku ​​výpočtu a rady, které usnadní odvození výsledné funkce.

Příklad 1 Řešte diferenciální rovnici
Řešení: Dáno homogenní diferenciální rovnice třetího řádu, navíc obsahuje pouze druhou a třetí derivaci a nemá funkci a svou první derivaci. V takových případech použijte redukční metodu diferenciální rovnice. K tomu je zaveden parametr - druhou derivaci označíme přes parametr p

pak třetí derivace funkce je

Původní homogenní DE bude zjednodušeno do podoby

Zapíšeme to tedy v diferenciálech redukovat na separovanou proměnnou rovnici a najít řešení integrací

Pamatujte, že parametr je druhou derivací funkce

proto, abychom našli vzorec samotné funkce, integrujeme nalezenou diferenciální závislost dvakrát

Ve funkci jsou staré C 1, C 2, C 3 rovny libovolným hodnotám.
Takto vypadá okruh najít obecné řešení homogenní diferenciální rovnice zavedením parametru. Následující úlohy jsou obtížnější a z nich se naučíte řešit nehomogenní diferenciální rovnice třetího řádu. Existuje určitý rozdíl mezi homogenním a nehomogenním DE z hlediska výpočtů, to nyní uvidíte.

Příklad 2 Nalézt
Řešení: Máme třetí objednávku. Její řešení je proto třeba hledat v podobě součtu dvou - řešení homogenního a partikulárního řešení nehomogenní rovnice

Nejprve se rozhodneme

Jak vidíte, obsahuje pouze druhou a třetí derivaci funkce a neobsahuje funkci samotnou. Tento druh dif. rovnice se řeší metodou zavedení parametru, který v zase snižuje a zjednodušuje hledání řešení rovnice. V praxi to vypadá takto: nechť je druhá derivace rovna určité funkci, pak bude mít třetí derivace formálně zápis

Uvažovaný homogenní DE 3. řádu se transformuje na rovnici prvního řádu

odkud dělením proměnných najdeme integrál
x*dp-p*dx=0;

Doporučujeme očíslovat ty, kteří se dostali do takových problémů, protože řešení diferenciální rovnice 3. řádu má 3 konstanty, čtvrtou - 4 a dále analogicky. Nyní se vrátíme k zavedenému parametru: protože druhá derivace má tvar, integrujeme ji, jakmile máme závislost pro derivaci funkce

a opakovanou integrací najdeme obecný pohled na homogenní funkci

Částečné řešení rovnice zapište jako proměnnou vynásobenou logaritmem. Vyplývá to z toho, že pravá (nehomogenní) část DE je rovna -1/x a pro získání ekvivalentního zápisu

řešení je třeba hledat ve formuláři

Najděte koeficient A , k tomu vypočteme derivace prvního a druhého řádu

Nalezené výrazy dosadíme do původní diferenciální rovnice a srovnáme koeficienty se stejnými mocninami x:

Ocel je rovna -1/2 a má tvar

Obecné řešení diferenciální rovnice zapsat jako součet nalezených

kde C 1 , C 2 , C 3 jsou libovolné konstanty, které lze upřesnit z Cauchyho problému.

Příklad 3 Najděte integrál DE třetího řádu
Řešení: Hledáme obecný integrál nehomogenního DE třetího řádu ve tvaru součtu řešení homogenní a parciální nehomogenní rovnice. Nejprve začneme pro jakýkoli typ rovnic analyzovat homogenní diferenciální rovnici

Obsahuje pouze druhou a třetí derivaci zatím neznámé funkce. Zavedeme změnu proměnných (parametru): označíme druhou derivaci

Pak je třetí derivace

Stejné transformace byly provedeny v předchozí úloze. To dovoluje redukovat diferenciální rovnici třetího řádu na rovnici prvního řádu tvaru

Integrací najdeme

Připomeňme, že podle změny proměnných jde jen o druhou derivaci

a k nalezení řešení homogenní diferenciální rovnice třetího řádu je třeba ji integrovat dvakrát

Podle typu pravé strany (nehomogenní část =x+1 ), hledá se částečné řešení rovnice ve tvaru

Jak poznat, v jaké formě hledat dílčí řešení Měli jste být poučeni v teoretické části kurzu diferenciálních rovnic. Pokud ne, pak můžeme jen navrhnout, jakou funkci zvolíme takový výraz, aby při dosazení do rovnice byl člen obsahující nejvyšší nebo mladší derivaci stejného řádu (podobný) s nehomogenní částí rovnice.

Myslím, že nyní je vám jasnější, odkud pochází forma konkrétního řešení. Najděte koeficienty A, B, k tomu vypočteme druhou a třetí derivaci funkce

a dosadit do diferenciální rovnice. Po seskupení podobných členů získáme lineární rovnici

z čehož pro stejné mocniny proměnné sestavit soustavu rovnic

a najít neznámé oceli. Po jejich záměně je vyjádřena závislostí

Obecné řešení diferenciální rovnice se rovná součtu stejnorodého a částečného a má tvar

kde C 1, C 2, C 3 jsou libovolné konstanty.

Příklad 4. R jíst diferenciální rovnici
Řešení: Máme řešení, které najdeme prostřednictvím součtu . Schéma výpočtu znáte, takže přejdeme k úvaze homogenní diferenciální rovnice

Podle standardní metody zadejte parametr
Původní diferenciální rovnice bude mít tvar , ze kterého po dělení proměnných zjistíme

Pamatujte, že parametr je roven druhé derivaci
Integrací DE získáme první derivaci funkce

Opětovná integrace najdeme obecný integrál homogenní diferenciální rovnice

Hledáme částečné řešení rovnice ve tvaru, protože pravá strana se rovná
Najdeme koeficient A - za to dosadíme y* do diferenciální rovnice a srovnáme koeficient při stejných mocninách proměnné

Po dosazení a seskupení členů získáme závislost

z toho ocel se rovná A=8/3.
Můžeme tedy psát částečné řešení DE

Obecné řešení diferenciální rovnice rovnající se nalezené sumě

kde C 1, C 2, C 3 jsou libovolné konstanty. Pokud je dána Cauchyho podmínka, pak je lze velmi snadno prodloužit.

Věřím, že se vám materiál bude hodit při přípravě na praktická cvičení, moduly nebo testy. Cauchyho problém zde nebyl analyzován, ale z předchozích lekcí obecně víte, jak na to.