Problémy řešené metodami LP jsou obsahově velmi různorodé. Ale jejich matematické modely jsou podobné a jsou podmíněně kombinovány do tří velkých skupin problémů:

• dopravní úkoly;
• úkoly týkající se sestavení plánu;

Podívejme se na příklady konkrétních ekonomických problémů každého typu a podrobně se podívejme na sestavení modelu pro každý problém.

Přepravní úkol

Na dvou obchodních základnách A A V K dispozici je 30 nábytkových sestav, 15 na každé. Veškerý nábytek je třeba dodat do dvou prodejen nábytku, S A D a dovnitř S Je třeba dodat 10 náhlavních souprav a D- 20. Je známo, že dodávka jednoho headsetu ze základny A do obchodu S stojí jednu peněžní jednotku na obchod D- ve třech peněžních jednotkách. Podle toho ze základny V do obchodů S A D: dvě a pět peněžních jednotek. Sestavte si plán dopravy tak, aby náklady na veškerou dopravu byly minimální.
Pro usnadnění uvedeme tyto úkoly v tabulce. Na průsečíku řádků a sloupců jsou čísla charakterizující cenu příslušné dopravy (tabulka 3.1).

Tabulka 3.1

Vytvořme matematický model problému.
Musí být zadány proměnné. Ve znění dotazu je uvedeno, že je nutné vypracovat plán dopravy. Označme podle X 1 , X 2 počet náhlavních souprav přepravovaných ze základny A do obchodů S A D podle toho a prostřednictvím na 1 , na 2 - počet náhlavních souprav přepravovaných ze základny V do obchodů S A D respektive. Poté množství nábytku vyvezeného ze skladu A, rovná se ( X 1 + X 2) a ze skladu V - (na 1 + na 2). Potřeba obchodu S rovných 10 náhlavních souprav a přinesli to ( X 1 + na 1) kusy, tzn. X 1 + na 1 = 10. Podobně pro obchod D máme X 2 + na 2 = 20. Všimněte si, že potřeby prodejen se přesně rovnají počtu náhlavních souprav dostupných ve skladech, proto X 1 + na 2 = 15 a na 1 + na 2 = 15. Pokud byste ze skladů odebrali méně než 15 sad, obchody by neměly dostatek nábytku, aby vyhovovaly jejich potřebám.
Takže proměnné X 1 , X 2 , na 1 , na 2 ve smyslu problému jsou nezáporné a splňují systém omezení:
(3.1)
Určeno uživatelem F náklady na dopravu, spočítáme je. pro přepravu jedné sady nábytku z A PROTI S jsou utraceny jedny peníze. jednotek, pro přepravu x 1 sada - x 1 den jednotek Stejně tak na dopravu x 2 sady A PROTI D bude stát 3 x 2 dny jednotky; z V PROTI S - 2y 1 den jednotky, od V PROTI D - 5y 2 dny jednotek
Tak,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → min (3,2)
(chceme snížit celkové náklady na dopravu na minimum).
Formulujme problém matematicky.
Na množině řešení soustavy omezení (3.1) najděte řešení, které minimalizuje účelovou funkci F(3.2), nebo najděte optimální plán ( x 1 , x 2, y 1 , y 2), určený systémem omezení (3.1) a účelovou funkcí (3.2).
Problém, kterým jsme se zabývali, lze představit více celkový pohled s libovolným počtem dodavatelů a spotřebitelů.
V námi zvažovaném problému se dostupnost nákladu od dodavatelů (15 + 15) rovná celkové poptávce spotřebitelů (10 + 20). Tento model se nazývá ZAVŘENO, a odpovídající úkol je vyvážená dopravaúkol.
V ekonomických výpočtech se tzv otevřené modely, ve kterém není dodržena zadaná rovnost. Buď jsou zásoby dodavatelů větší než poptávka spotřebitelů, nebo poptávka převyšuje dostupnost zboží. Všimněte si, že pak systém omezení pro problém nevyvážené dopravy bude zahrnovat nerovnosti spolu s rovnicemi.

Podívejme se na příklad nevyváženého dopravního problému.
V bodech A A V cihelny se nacházejí a v S A D- lomy, které je zásobují pískem. Poptávka továren po písku je menší než produktivita lomů. Je známo, kolik písku každá rostlina potřebuje a kolik se v každém lomu vytěží. Známé jsou také náklady na dopravu 1 tuny písku z každého lomu do továren (čísla na šipkách). Dodávky písku do továren je nutné plánovat tak, aby náklady na dopravu byly minimální. Tyto úkoly jsou znázorněny v diagramu.

Sestavme matematický model problému.
Pojďme si představit proměnné:
x 11 - počet tun přepraveného písku z lomu S do továrny A;
x 12 - z lomu S do továrny A;
x 21 - počet tun písku v A z lomu D;
x 22 - počet tun písku z lomu D do továrny V.
Do továrny A Z obou lomů by mělo být dodáno 40 tun, tzn x 11 + x 21 = 40, do továrny V Musí být dodáno 50 tun, tzn x 12 + x 22 = 50. Z lomu S nebylo vyvezeno více než 70 tun, tzn. x 11 + x 12 ≤ 70, podobné x 21 + x 22 ≤ 30. Máme systém omezení:
(3.3)
A objektivní funkce F, vyjadřující náklady na dopravu, má tvar
F = 2x 11 + 6x 12 + 5x 21 + 3x 22 →min. (3.4)

Úkol sestavit plán

Určitý závod potřebuje sestavit optimální plán výroby dvou druhů výrobků, které se zpracovávají na čtyřech typech strojů. Jsou známy určité schopnosti a výkon zařízení; cena produktů, které zajišťují zisk pro závod, je 4 000 rublů. za produkt typu I 6 tisíc rublů. - pro výrobek typu II. Sestavte plán výroby těchto produktů tak, aby závod měl z jejich prodeje co největší zisk. Tabulka ukazuje čas potřebný ke zpracování každého ze dvou typů produktů na všech čtyřech typech zařízení (tabulka 3.2).

Tabulka 3.2

Produkty	Typy strojů
	1	2	3	4
já	1	0,5	1	0
II	1	1	0	1
Možná doba provozu strojů	18	12	12	9

Pojďme sestavit matematický model.
V problému je nutné stanovit plán výroby produktu, označený x počet výrobků typu I, pro y- počet výrobků typu II. Potom spočítejme, kolik času stráví první stroj zpracováním všech produkčních produktů. Jednu jednotku času věnuje jednomu produktu typu I, což znamená dál x kusy produktů utratí 1 x jednotek čas na zpracování y výrobky typu II budou vynaloženy 1 y jednotek čas. Celková provozní časová rezerva pro první stroj je 18 časových jednotek. Prostředek, x + y≤ 18. Podobná úvaha s druhým, třetím a čtvrtým strojem poskytne systém omezení:
(3.5)
Celkový zisk bude vyjádřen v objektivní funkce:
F = 4x + 6y → max. (3.6)
Úkolem je najít řešení na množině řešení soustavy (3.5), při kterém by byla hodnota účelové funkce (3.6) maximální.

Problém se směsí

Dalším častým problémem LP je problém se složením směsi. Příkladem takových problémů může být problém sestavení takových směsí ropných produktů, které by uspokojily určité technické požadavky a cenově byly nejlevnější. Nebo problémy se stravou, kdy je známa potřeba určitých látek a obsah těchto látek v různých produktech. Jídelníček je nutné sestavit tak, aby uspokojil potřeby potřebných látek a zároveň by měl potravinový koš při daných cenách potravin minimální náklady.
Téměř podobné úkoly jsou stanoveny například v jakékoli farmě hospodářských zvířat a mají velmi širokou škálu aplikací.
Podívejme se na příklad. Pro výkrm kuřat na drůbežárně musí jejich strava obsahovat alespoň 33 jednotek látky A, 23 živných jednotek V, 12 jednotek S. Pro výkrm se používají tři druhy krmiv. Údaje o obsahu živin jednotlivých druhů krmiv jsou uvedeny v tabulce. Známé jsou i náklady na krmivo. Je nutné vytvořit co nejlevnější dietu (tab. 3.3).

Tabulka 3.3

Krmné produkty	Látky			Cena 1 jednotka. záď
	A	V	S
já	4	3	1	20
II	3	2	1	20
III	2	1	2	10

Pro pochopení problému si můžete představit, že látky A, V, S- jedná se o tuky, bílkoviny, sacharidy a produkty I, II, III jsou kuřata krmena, např. proso, krmné směsi, vitamínové doplňky. Pak první řádek tabulky ukazuje obsah v jedné jednotce prosa: 4 jednotky. protein, 3 jednotky. tuk, jedna jednotka. sacharidy. Druhý řádek je obsah bílkovin, tuků, sacharidů v 1 jednotce. II produkt atd.
Pokud je zadání problému jasné, začněme budovat matematický model.
Jako odpověď na úkol musíme navrhnout jídelníček, tedy uvést jaké množství a jaké krmivo přijímat, aby bylo splněno potřebné množství živin a zároveň to stálo co nejméně.
Proto označujeme podle x 1 množství krmiva typu I ve stravě, os x 2 - množství krmiva typu II a podle toho x 3 - množství potravy III ve stravě. Pak látky A při konzumaci této diety dostanou kuřata 4 x 1 - při konzumaci produktů typu I, 3 x 2 - při spotřebě produktu II, 2 x 3 - při konzumaci III. Celková látka A Podle problému je nutné použít minimálně 33 jednotek, tedy 4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 33.
Uvažování podobně s látkami V A S, máme:
3x 1 + 2x 2 + 1x 3 ≥ 23 a x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 12.
Získáme tak systém omezení:
(3.7)
Proměnné jsou ve smyslu problému nezáporné. V tomto případě jsou náklady na dietu vyjádřeny funkcí:
F = 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 → min, (3,8)
protože 20, 20, 10 - náklady na jednu jednotku. produkty typu I, II, III a jejich strava obsahuje x 1 , x 2 , x 3 jednotky.
Systém omezení (3.7) spolu s účelovou funkcí (3.8) tvoří matematický model původního problému. Vyřešit to znamená najít x 1 , x 2 , x 3 splňující systém omezení a invertující hodnotu funkce F na minimum.

Uspořádání typů lodí podle linií

Sestavit plán umístění dvou typů plavidel na třech tratích, který by zajistil maximální celkovou přepravní kapacitu flotily, ale ne menší, než je objem dopravy stanovený na tratích.

Typ plavidla	Produktivita plavidel, miliony tun mil za den			Provozní doba, dny
	1. řádek	2. řádek	3. řádek
1	str. 11	p 12	p 13	s 1
2	str. 21	p22	str. 23	s 2
Cílový objem přepravy, miliony tun mil	V 1	V 2	V 3

Ekonomický a matematický model problému.
Omezení provozní doby:
x 1 /p 11 + x 2 /p 12 + x 3 /p 13 ≤ s 1
x 4 /p 21 + x 5 /p 22 + x 6 /p 23 ≤ s 2

Omezení dodávek:
s 1 x 1 + s 2 x 4 ≥ V 1
s 1 x 2 + s 2 x 5 ≥ V 2
s 1 x 3 + s 2 x 6 ≥ V 3

Objektivní funkce
p 11 x 1 + p 12 x 2 + p 13 x 3 + p 21 x 4 + p 22 x 5 + p 23 x 6 → max.

Otázky pro sebeovládání
1. Vyjádření dopravního problému. popsat konstrukci matematického modelu.
2. Co je problém vyvážené a nevyvážené dopravy?
3. Co se počítá do objektivní funkce dopravního problému?
4. Co odráží každá nerovnost v systému omezení v úloze plánu?
5. Co odráží každá nerovnost v systému omezení v problému směsi?
6. Co znamenají proměnné v úloze plánu a úloze směsi?

Matematické modelování

1. Co je to matematické modelování?

Od poloviny 20. stol. v různých oblastech lidské činnosti se staly široce používanými matematické metody a počítač. Vznikly nové disciplíny jako „matematická ekonomie“, „matematická chemie“, „matematická lingvistika“ atd., které studují matematické modely relevantních objektů a jevů a také metody pro studium těchto modelů.

Matematický model je přibližný popis třídy jevů nebo objektů skutečný svět v jazyce matematiky. Hlavním účelem modelování je prozkoumat tyto objekty a předpovědět výsledky budoucích pozorování. Modelování je však také metodou, jak porozumět světu kolem nás, díky čemuž je možné jej ovládat.

Matematické modelování a související počítačový experiment jsou nepostradatelné v případech, kdy je experiment v plném rozsahu z toho či onoho důvodu nemožný nebo obtížný. Například je nemožné založit přirozený experiment v historii, který by ověřil, „co by se stalo, kdyby...“ Je nemožné ověřit správnost té či oné kosmologické teorie. Je možné, ale nepravděpodobné, že by to bylo rozumné, experimentovat s šířením nemoci, jako je mor, nebo provést jaderný výbuch za účelem studia jeho následků. To vše však lze provést na počítači tak, že se nejprve sestrojí matematické modely studovaných jevů.

2. Hlavní fáze matematického modelování

1) Stavba modelu. V této fázi je specifikován nějaký „nematematický“ objekt – přírodní jev, design, ekonomický plán, výrobní proces atd. V tomto případě je zpravidla obtížný jasný popis situace. Nejprve jsou identifikovány hlavní rysy jevu a souvislosti mezi nimi na kvalitativní úrovni. Poté se nalezené kvalitativní závislosti formulují v jazyce matematiky, to znamená, že se sestaví matematický model. Toto je nejtěžší fáze modelování.

2) Řešení matematický problém, ke kterému model vede. V této fázi je velká pozornost věnována vývoji algoritmů a numerických metod pro řešení problému na počítači, s jejichž pomocí lze nalézt výsledek s požadovanou přesností a v přijatelném čase.

3) Interpretace získaných důsledků z matematického modelu. Důsledky odvozené z modelu v jazyce matematiky jsou interpretovány v jazyce akceptovaném v oboru.

4) Kontrola přiměřenosti modelu. V této fázi se zjišťuje, zda experimentální výsledky souhlasí s teoretickými důsledky modelu v rámci určité přesnosti.

5) Úprava modelu. V této fázi se buď model zkomplikuje, aby více odpovídal realitě, nebo se zjednoduší, aby bylo dosaženo prakticky přijatelného řešení.

3. Klasifikace modelů

Modely lze klasifikovat podle různých kritérií. Například podle charakteru řešených problémů lze modely rozdělit na funkční a strukturální. V prvním případě jsou kvantitativně vyjádřeny všechny veličiny charakterizující jev nebo předmět. Navíc některé z nich jsou považovány za nezávislé proměnné, zatímco jiné jsou považovány za funkce těchto veličin. Matematický model je obvykle soustava rovnic různých typů (diferenciálních, algebraických atd.), které stanovují kvantitativní vztahy mezi uvažovanými veličinami. V druhém případě model charakterizuje strukturu komplexního objektu skládajícího se z jednotlivých částí, mezi nimiž existují určité vazby. Obvykle nejsou tato spojení kvantifikovatelná. Pro konstrukci takových modelů je vhodné použít teorii grafů. Graf je matematický objekt, který představuje množinu bodů (vrcholů) v rovině nebo v prostoru, z nichž některé jsou spojeny čarami (hranami).

Na základě charakteru výchozích dat a výsledků lze predikční modely rozdělit na deterministické a pravděpodobnostně-statistické. Modely prvního typu poskytují jisté, jednoznačné předpovědi. Modely druhého typu jsou založeny na statistických informacích a předpovědi získané s jejich pomocí mají pravděpodobnostní charakter.

4. Příklady matematických modelů

1) Úlohy o pohybu střely.

Zvažte následující problém mechaniky.

Projektil byl vypuštěn ze Země z počáteční rychlost v 0 = 30 m/s pod úhlem a = 45° k jeho povrchu; je potřeba najít trajektorii jeho pohybu a vzdálenost S mezi počátečním a koncovým bodem této trajektorie.

Potom, jak je známo ze školního kurzu fyziky, je pohyb projektilu popsán pomocí vzorců:

kde t je čas, g = 10 m/s 2 je gravitační zrychlení. Tyto vzorce poskytují matematický model problému. Vyjádřením t až x z první rovnice a jejím dosazením do druhé dostaneme rovnici pro dráhu střely:

Tato křivka (parabola) protíná osu x ve dvou bodech: x 1 = 0 (začátek trajektorie) a (místo, kam střela dopadla). Dosazením daných hodnot v0 a a do výsledných vzorců získáme

odpověď: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Všimněte si, že při konstrukci tohoto modelu byla použita řada předpokladů: například se předpokládá, že Země je plochá a vzduch a rotace Země neovlivňují pohyb projektilu.

2) Problém s nádrží s nejmenší plochou.

Je potřeba najít výšku h 0 a poloměr r 0 plechové nádrže o objemu V = 30 m 3, která má tvar uzavřeného kruhového válce, při kterém je její povrch S minimální (v tomto případě nejmenší množství cínu bude použito na jeho výrobu).

Napišme následující vzorce pro objem a povrch válce o výšce h a poloměru r:

V = pr 2 h, S = 2p r (r + h).

Vyjádřením h až r a V z prvního vzorce a dosazením výsledného výrazu do druhého dostaneme:

Z matematického hlediska je tedy problém určit hodnotu r, při které funkce S(r) dosáhne svého minima. Najděte ty hodnoty r 0, pro které je derivace

jde na nulu: Můžete zkontrolovat, že druhá derivace funkce S(r) změní znaménko z mínus na plus, když argument r prochází bodem r 0 . V důsledku toho má v bodě r0 funkce S(r) minimum. Odpovídající hodnota je h 0 = 2r 0 . Dosazením dané hodnoty V do výrazu pro r 0 a h 0 získáme požadovaný poloměr a výška

3) Dopravní problém.

Město má dva sklady mouky a dvě pekárny. Každý den se z prvního skladu přepraví 50 tun mouky, z druhého 70 tun do továren, do prvního 40 tun a do druhého 80 tun.

Označme podle A ij náklady na přepravu 1 tuny mouky z i-tého skladu do j-tá rostlina(i, j = 1,2). Nechat

A 11 = 1,2 rublů, A 12 = 1,6 rublů, A 21 = 0,8 rub., A 22 = 1 rub.

Jak plánovat dopravu, aby její náklady byly minimální?

Dejme problému matematickou formulaci. Označme x 1 a x 2 množství mouky, které musí být dopraveno z prvního skladu do první a druhé továrny, a x 3 a x 4 - z druhého skladu do první a druhé továrny. Pak:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Celkové náklady na veškerou dopravu jsou určeny vzorcem

f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4.

Z matematického hlediska je problém najít čtyři čísla x 1, x 2, x 3 a x 4, která splňují všechny zadané podmínky a dávají minimum funkce f. Vyřešme soustavu rovnic (1) pro xi (i = 1, 2, 3, 4) metodou eliminace neznámých. Chápeme to

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

a x 4 nelze určit jednoznačně. Protože x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), pak z rovnic (2) vyplývá, že 30Ј x 4 Ј 70. Dosazením výrazu pro x 1, x 2, x 3 do vzorce pro f získat

f = 148 – 0,2 x 4.

Je snadné vidět, že minima této funkce je dosaženo při maximální možné hodnotě x 4, tedy při x 4 = 70. Odpovídající hodnoty ostatních neznámých jsou určeny vzorcem (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problém radioaktivního rozpadu.

Nechť N(0) je počáteční počet atomů radioaktivní látky a N(t) je počet nerozložených atomů v čase t. Experimentálně bylo zjištěno, že rychlost změny počtu těchto atomů N"(t) je úměrná N(t), to znamená, že N"(t)=–l N(t), l >0 je radioaktivní konstanta dané látky. Ve školním kurzu matematické analýzy se ukazuje, že řešení této diferenciální rovnice má tvar N(t) = N(0)e –l t. Doba T, během níž se počet počátečních atomů snížil na polovinu, se nazývá poločas rozpadu a je důležitou charakteristikou radioaktivity látky. Abychom určili T, musíme zadat vzorec Pak Například pro radon l = 2,084 · 10 –6, a tedy T = 3,15 dne.

5) Problém cestujícího prodejce.

Obchodník žijící ve městě A 1 potřebuje navštívit města A 2 , A 3 a A 4 , každé město právě jednou, a poté se vrátit zpět do A 1 . Je známo, že všechna města jsou spojena ve dvojicích silnicemi a délky silnic b ij mezi městy A i a A j (i, j = 1, 2, 3, 4) jsou následující:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Je nutné určit pořadí návštěv měst, ve kterých je délka odpovídající cesty minimální.

Každé město znázorněme jako bod na rovině a označme jej odpovídajícím štítkem Ai (i = 1, 2, 3, 4). Spojme tyto body přímkami: budou představovat silnice mezi městy. U každé „silnice“ uvádíme její délku v kilometrech (obr. 2). Výsledkem je graf - matematický objekt skládající se z určité množiny bodů v rovině (tzv. vrcholy) a určité množiny čar spojujících tyto body (tzv. hrany). Navíc je tento graf označen, protože jeho vrcholům a hranám jsou přiřazena nějaká označení - čísla (hrany) nebo symboly (vrcholy). Cyklus na grafu je posloupnost vrcholů V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 taková, že vrcholy V 1 , ..., V k jsou různé a libovolný pár vrcholů V i, V i+1 (i = 1, ..., k – 1) a dvojice V 1, V k jsou spojeny hranou. Uvažovaným problémem je tedy najít na grafu cyklus procházející všemi čtyřmi vrcholy, pro který je součet všech vah hran minimální. Prohledejme všechny různé cykly procházející čtyřmi vrcholy a počínaje A 1:

1) Ai, A4, A3, A2, Ai;
2) Ai, A3, A2, A4, Ai;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Najdeme nyní délky těchto cyklů (v km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. První je tedy trasa nejkratší délky.

Všimněte si, že pokud je v grafu n vrcholů a všechny vrcholy jsou spojeny po párech hranami (takový graf se nazývá úplný), pak počet cyklů procházejících všemi vrcholy je Proto jsou v našem případě právě tři cykly.

6) Problém hledání souvislostí mezi strukturou a vlastnostmi látek.

Podívejme se na několik chemických sloučenin nazývaných normální alkany. Skládají se z n atomů uhlíku a n + 2 atomů vodíku (n = 1, 2 ...), vzájemně propojených, jak je znázorněno na obrázku 3 pro n = 3. Nechť jsou známé experimentální hodnoty bodů varu těchto sloučenin:

ye (3) = – 42°, ye (4) = 0°, ye (5) = 28°, ye (6) = 69°.

U těchto sloučenin je třeba najít přibližný vztah mezi bodem varu a číslem n. Předpokládejme, že tato závislost má tvar

y" A n+b,

Kde A, b - konstanty k určení. Najít A ab do tohoto vzorce dosazujeme postupně n = 3, 4, 5, 6 a odpovídající hodnoty bodů varu. máme:

– 42 » 3 A+ b, 0 » 4 A+ b, 28 » 5 A+ b, 69 » 6 A+ b.

K určení toho nejlepšího A ab existuje mnoho různých metod. Použijme nejjednodušší z nich. Vyjádřeme b prostřednictvím A z těchto rovnic:

b » – 42 – 3 A, b" – 4 A, b » 28 – 5 A, b » 69 – 6 A.

Vezměme aritmetický průměr těchto hodnot jako požadované b, to znamená, že dáme b » 16 – 4,5 A. Dosadíme tuto hodnotu b do původní soustavy rovnic a výpočtu A, dostaneme za A následující hodnoty: A» 37, A» 28, A» 28, A“ 36. Vezměme to jako požadované A průměrnou hodnotu těchto čísel, tedy dejme tomu A 34. Takže požadovaná rovnice má tvar

y » 34n – 139.

Ověřme přesnost modelu na původních čtyřech sloučeninách, pro které vypočítáme body varu pomocí výsledného vzorce:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Chyba ve výpočtu této vlastnosti u těchto sloučenin tedy nepřesahuje 5°. Výslednou rovnici použijeme k výpočtu bodu varu sloučeniny s n = 7, která není zahrnuta v původní množině, za kterou do této rovnice dosadíme n = 7: y р (7) = 99°. Výsledek byl poměrně přesný: je známo, že experimentální hodnota bodu varu y e (7) = 98°.

7) Problém stanovení spolehlivosti elektrického obvodu.

Zde se podíváme na příklad pravděpodobnostního modelu. Nejprve uvádíme některé informace z teorie pravděpodobnosti – matematické disciplíny, která studuje vzorce náhodných jevů pozorovaných při opakovaném opakování experimentů. Nazvěme náhodnou událost A možným výsledkem nějakého experimentu. Události A 1, ..., A k tvoří úplnou skupinu, pokud jedna z nich nutně nastane v důsledku experimentu. Události se nazývají nekompatibilní, pokud se nemohou vyskytnout současně v jedné zkušenosti. Nechť událost A nastane mkrát během n-násobného opakování experimentu. Frekvence události A je číslo W =. Je zřejmé, že hodnotu W nelze přesně předpovědět před provedením série n experimentů. Povaha náhodných událostí je však taková, že v praxi je někdy pozorován následující efekt: s rostoucím počtem experimentů hodnota prakticky přestává být náhodná a ustálí se kolem nějakého nenáhodného čísla P(A), zvaného pravděpodobnost událost A. Pro nemožný jev (který se v experimentu nikdy nevyskytuje) P(A)=0 a pro spolehlivou událost (která nastává vždy ve zkušenosti) P(A)=1. Pokud události A 1 , ..., Ak tvoří úplnou skupinu neslučitelných událostí, pak P(A 1)+...+P(A k)=1.

Nechť se experiment skládá například z hodu kostkou a pozorování počtu vyhozených bodů X. Potom můžeme zavést následující náhodné jevy A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Oni tvoří úplnou skupinu neslučitelných stejně pravděpodobných událostí, proto P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Součet událostí A a B je událost A + B, která spočívá v tom, že alespoň jedna z nich nastane ve zkušenosti. Součinem událostí A a B je událost AB, která se skládá ze současného výskytu těchto událostí. Pro nezávislé události A a B platí následující vzorce:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Podívejme se nyní na následující úkol. Předpokládejme, že tři prvky jsou zapojeny v sérii do elektrického obvodu a fungují nezávisle na sobě. Pravděpodobnost selhání 1., 2. a 3. prvku je rovna P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Obvod budeme považovat za spolehlivý, pokud pravděpodobnost, že v obvodu nebude proud, není větší než 0,4. Je nutné zjistit, zda je daný obvod spolehlivý.

Protože jsou prvky zapojeny do série, nebude v obvodu proudit (událost A), pokud alespoň jeden z prvků selže. Nechť A i je událost, která i-tý prvek funguje (i = 1, 2, 3). Potom P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Je zřejmé, že A 1 A 2 A 3 je událost, ve které všechny tři prvky pracují současně, a

P(A1A2A3) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,612.

Pak P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, tedy P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Na závěr poznamenáváme, že uvedené příklady matematické modely(mezi nimiž jsou funkční a strukturální, deterministické a pravděpodobnostní) jsou svou povahou ilustrativní a zjevně nevyčerpávají celou škálu matematických modelů, které v přírodních a humanitních vědách vznikají.

1. Matematické modelování

a proces tvorby matematického modelu.

Matematické modelování je metoda studia objektů a procesů reálného světa pomocí jejich přibližných popisů v jazyce matematiky - matematické modely.

Proces vytváření matematického modelu lze rozdělit do několika hlavních fází:

1) konstrukce matematického modelu;

2) formulace, výzkum a řešení relevantních výpočetních problémů;

3) kontrola kvality modelu v praxi a úprava modelu.

Podívejme se na hlavní obsah těchto fází.

Konstrukce matematického modelu. Matematický model je analytický výraz, který je nalezen jako výsledek analýzy určitého fyzikálního systému nebo jevu, který zahrnuje několik neznámých parametrů tohoto systému nebo jevu, které mají být určeny na základě experimentálních dat. Pomocí pozorování a experimentů, praxe jsou identifikovány hlavní „charakteristiky“ jevu, ke kterým jsou srovnávány určité veličiny. Tyto veličiny zpravidla nabývají číselných hodnot, tedy jsou to proměnné, vektory, matice, funkce atd.

Zavedené vnitřní souvislosti mezi „charakteristikami“ jevu jsou dány formou rovností, nerovnic, rovnic a logických struktur spojujících veličiny zahrnuté v matematickém modelu. Matematický model se tak stává záznamem přírodních zákonů v jazyce matematiky.

Zdůrazňujeme, že matematický model nevyhnutelně představuje kompromis mezi nekonečnou složitostí studovaného jevu a požadovanou jednoduchostí jeho popisu.

Matematické modely se často dělí na statické a dynamické. Statický model popisuje jev nebo situaci za předpokladu jejich úplnosti a neměnnosti (tedy staticky). Dynamický model popisuje, jak dochází k jevu nebo jak se situace mění z jednoho stavu do druhého (tj. v dynamice). Při použití dynamických modelů se zpravidla zadává počáteční stav systému a následně se studuje změna tohoto stavu v čase. U dynamických modelů je hledané řešení často funkcí času y=y(t), variabilní t v takových modelech je zpravidla zvýrazněn a hraje zvláštní roli.

Formulace, výzkum a řešení výpočetních problémů. Aby našli hodnoty veličin, které výzkumníka zajímají, nebo aby zjistili povahu závislosti na jiných veličinách zahrnutých v matematickém modelu, kladou a následně řeší matematické problémy.

Pojďme identifikovat hlavní typy problémů, které je třeba vyřešit. K tomu podmíněně rozdělíme všechny veličiny zahrnuté v matematickém modelu do tří skupin:

1) počáteční (vstupní) data x,

2) parametry modeluA,

3) požadované řešení (výstupní data) y.

1). Nejčastějším řešením jsou tzv přímé úkoly, jehož formulace je následující: podle daná hodnota vstupní data X pro pevné hodnoty parametrů A potřeba najít řešení u Proces řešení přímého problému lze považovat za matematické modelování vztahu příčiny a následku, který je tomuto jevu vlastní. Poté vstupní data X charakterizuje „příčiny“ jevu, které jsou v průběhu výzkumného procesu specifikovány a obměňovány, a hledané řešení y -"následek".

Aby byl matematický popis použitelný nikoli na jeden jev, ale na širokou škálu jevů, které jsou si podobné povahy, ve skutečnosti se nestaví jeden matematický model, ale určitá parametrická rodina modelů. Výběr konkrétního modelu z této rodiny se provádí stanovením hodnot parametrů modelu A. Jako takové parametry mohou fungovat například některé koeficienty obsažené v rovnicích.

2). Důležitou roli hraje řešení tzv inverzní problémy, spočívající ve stanovení vstupních dat X podle této hodnoty na(parametry modelu A, jako u přímého problému jsou opraveny). Řešení inverzního problému je v jistém smyslu pokusem zjistit, jaké „důvody“ x vedlo ke známému „důsledku“ u Zpravidla, inverzní problémy se ukázalo být obtížnější vyřešit než rovné čáry.

3). Kromě dvou typů diskutovaných úkolů je třeba zmínit ještě jeden typ – problémy s identifikací. V širokém smyslu je úkolem identifikace modelu vybrat z mnoha různých modelů ten, který nejlépe popisuje studovaný jev. V této formulaci vypadá tento problém jako prakticky neřešitelný problém. Častěji je problém identifikace chápán v užším smyslu jako problém výběru konkrétního matematického modelu z dané parametrické rodiny modelů (volbou jeho parametrů a), za účelem sladění důsledků modelu s výsledky pozorování optimálním způsobem, ve smyslu určitého kritéria.

Tyto tři typy problémů budeme nazývat (přímé, inverzní a identifikační problémy) výpočetní úlohy. Pro usnadnění prezentace budeme v následujícím, bez ohledu na typ řešeného problému, nazývat sadu veličin, které mají být určeny požadované řešení a označeno y, a množina veličin je vstupní data a označeno X.

Řešení výpočetního problému zpravidla nelze vyjádřit prostřednictvím vstupních dat ve formě konečného vzorce. To však neznamená, že řešení takového problému nelze nalézt. Existují speciální metody tzv číselné(nebo výpočetní technika). Umožňují redukovat získávání číselné hodnoty řešení na posloupnost aritmetických operací na číselných hodnotách vstupních dat. Numerické metody se však k řešení problémů používaly poměrně zřídka, protože jejich použití zahrnuje provádění velkého množství výpočtů. Proto bylo ve většině případů před nástupem počítačů nutné vyhnout se používání složitých matematických modelů a studovat jevy v těch nejjednodušších situacích, kdy bylo možné najít analytické řešení. Nedokonalost výpočetního aparátu se stala faktorem omezujícím rozšířené používání matematických modelů ve vědě a technice.

Nástup počítačů radikálně změnil situaci. Třída matematických modelů, které lze podrobně studovat, se dramaticky rozšířila. Řešení mnoha, donedávna nedostupných, výpočetních problémů se stalo každodenní realitou.

Kontrola kvality modelu v praxi a úprava modelu. V této fázi se zjišťuje vhodnost matematického modelu pro popis zkoumaného jevu. Teoretické závěry a konkrétní výsledky vyplývající z hypotetického matematického modelu jsou porovnány s experimentálními daty. Pokud si vzájemně odporují, pak je vybraný model nevhodný a měl by být revidován návratem k první fázi. Pokud se výsledky shodují s přesností přijatelnou pro popis daného jevu, pak lze model považovat za vhodný. Samozřejmě je zapotřebí další výzkum, aby se stanovil stupeň spolehlivosti modelu a hranice jeho použitelnosti.

Kontrolní otázky:

1. Co je to matematický model?

2. Hlavní fáze konstrukce matematického modelu?

3. Hlavní typy problémů, které je třeba řešit?

2. Hlavní etapy inženýrského řešení

počítačem podporované úkoly

Řešení inženýrského problému pomocí počítače lze rozdělit do několika po sobě jdoucích fází. Zdůrazněme následující fáze:

1) prohlášení o problému;

2) výběr nebo konstrukce matematického modelu;

3) formulace výpočetního problému;

4) předběžná (předstrojová) analýza vlastností výpočetního problému;

5) výběr nebo konstrukce numerické metody;

6) algoritmizace a programování;

7) ladění programu;

8) programový účet;

9) zpracování a interpretace výsledků;

10) využití výsledků a korekce matematického modelu.

Inscenace problémy. Zpočátku je aplikovaný problém formulován v nejobecnější podobě:

Prozkoumejte jev

Navrhněte zařízení se specifikovanými vlastnostmi,

Poskytněte předpověď chování určitého objektu za určitých podmínek atd.

V této fázi je specifikováno prohlášení o problému. Primární pozornost je věnována objasnění účelu studie.

Tato velmi důležitá a zodpovědná etapa končí konkrétní formulací problému v jazyce akceptovaném v dané předmětové oblasti. Znalost možností, které nabízí využití počítačů, může mít významný vliv na konečnou formulaci problému.

Výběr nebo konstrukce matematického modelu. Pro následnou analýzu studovaného jevu nebo objektu je nutné podat jeho formalizovaný popis v jazyce matematiky, tedy sestavit matematický model. Často je možné vybrat model ze známých a přijatých pro popis odpovídajících procesů, ale často je nutná významná úprava známého modelu a někdy je potřeba sestavit zásadně nový model.

Vyjádření výpočetního problému. Na základě přijatého matematického modelu je formulován výpočetní problém (nebo řada takových problémů). Analýzou výsledků jejího řešení výzkumník očekává, že dostane odpovědi na otázky, které ho zajímají.

Předběžná analýza vlastností výpočetního problému. V této fázi se provádí předběžná (předstrojová) studie vlastností výpočetního problému, objasňují se otázky existence a jednoznačnosti řešení a studuje se stabilita řešení na vstupní data.

Výběr nebo konstrukce numerické metody. Pro řešení výpočetního problému na počítači je nutné použití numerických metod.

Řešení technického problému se často řeší konzistentní řešení standardní výpočetní problémy, pro které byly vyvinuty efektivní numerické metody. V této situaci existuje buď výběr mezi známými metodami, nebo jejich přizpůsobení charakteristikám řešeného problému. Pokud je však vznikající výpočetní problém nový, pak je možné, že neexistují žádné hotové metody pro jeho řešení.

K vyřešení stejného výpočetního problému lze obvykle použít několik metod. Je nutné znát vlastnosti těchto metod, kritéria, podle kterých se posuzuje jejich kvalita, abychom zvolili metodu, která vám umožní vyřešit problém co nejefektivněji. Zde není volba zdaleka jasná. Výrazně závisí na požadavcích na řešení, na dostupných zdrojích, na využitelné výpočetní technice atp.

Algoritmizace a programování. Numerická metoda zvolená v předchozí fázi zpravidla obsahuje pouze schematický diagramřešení problému, který neobsahuje mnoho detailů, bez kterých není možné metodu implementovat na počítači. Detailní popis všech fází výpočtů je nezbytný pro získání algoritmu, který lze implementovat na počítači. Kompilace programu spočívá v překladu tohoto algoritmu do zvoleného programovacího jazyka.

Existují knihovny, ze kterých uživatelé používají hotové moduly k vytváření vlastních programů, nebo v extrémních případech musí program napsat od začátku.

Ladění programu. V této fázi jsou pomocí počítače zjištěny a opraveny chyby v programu.

Po odstranění programátorských chyb je nutné provést důkladné testování programu - kontrolu správnosti jeho fungování na speciálně vybraných testovacích problémech, které mají známá řešení.

Účet podle programu. V této fázi je problém vyřešen na počítači pomocí zkompilovaného programu v automatickém režimu. Tento proces, během kterého se vstupní data pomocí počítače převádějí na výsledek, se nazývá výpočetní proces. Výpočet se zpravidla mnohokrát opakuje s různými vstupními údaji, aby se získal celkem úplný obrázek o závislosti řešení úlohy na nich.

Zpracování a interpretace výsledků. Výstupní data získaná jako výsledek počítačových výpočtů jsou zpravidla velká pole čísel, která jsou pak prezentována ve snadno čitelné formě.

Využití výsledků a korekce matematického modelu. Poslední fází je využití výsledků výpočtů v praktických činnostech, jinými slovy k implementaci výsledků.

Rozbor výsledků provedených ve fázi jejich zpracování a interpretace velmi často ukazuje na nedokonalost použitého matematického modelu a na nutnost jeho korekce. V tomto případě je matematický model upraven (a zpravidla se stává složitějším) a začíná nový cyklus řešení problému.

Kontrolní otázky:

1. Hlavní fáze řešení inženýrského problému pomocí počítače?

3. Výpočetní experiment

Vytváření matematických modelů a řešení inženýrských problémů pomocí počítače vyžaduje velké množství práce. Je snadné si všimnout analogie s odpovídající prací prováděnou během organizace experimentů v plném rozsahu: sestavení programu experimentů, vytvoření experimentálního nastavení, provádění kontrolních experimentů, provádění sériových experimentů), zpracování experimentálních dat a jejich interpretace atd. Výpočetní experiment se však neprovádí na skutečném objektu, ale na jeho matematickém modelu a roli experimentálního nastavení hraje počítač vybavený speciálně vyvinutým programem. V tomto ohledu je přirozené uvažovat o provádění velkých komplexních výpočtů při řešení inženýrských a vědecko-technických problémů as výpočetní experiment, a sled fází řešení popsaný v předchozím odstavci jako jeden z jeho cyklů.

Všimněme si některých výhod výpočetního experimentu ve srovnání s přirozeným:

1. Výpočetní experiment je obvykle levnější než fyzický.

2. Do tohoto experimentu lze snadno a bezpečně zasáhnout.

3. Lze jej znovu opakovat (v případě potřeby) a kdykoli přerušit.

4. Tento experiment může simulovat podmínky, které nelze vytvořit v laboratoři.

Všimněte si, že v řadě případů je provedení experimentu v plném rozsahu obtížné (a někdy nemožné), protože se studují rychlé procesy, studují se objekty, které jsou obtížně přístupné nebo ještě nejsou přístupné vůbec. Provedení přirozeného experimentu v plném rozsahu je často spojeno s katastrofálními nebo nepředvídatelnými následky ( jaderná válka, odbočení sibiřských řek) nebo s nebezpečím pro lidský život nebo zdraví. Často je vyžadován výzkum a předpovídání výsledků katastrofických událostí (havárii jaderného reaktoru, globální oteplování, zemětřesení). V těchto případech se může stát výpočetní experiment hlavním prostředkem výzkumu. Všimněte si, že s jeho pomocí je možné předvídat vlastnosti nových, dosud nevytvořených struktur a materiálů ve fázi jejich návrhu.

Významnou nevýhodou výpočtového experimentu je, že použitelnost jeho výsledků je omezena rámcem převzatého matematického modelu.

Vytvoření nového produktu nebo technologického procesu zahrnuje výběr z velkého množství alternativních možností a také optimalizaci podle řady parametrů. Proto se během výpočtového experimentu provádějí výpočty opakovaně s různé významy vstupní parametry. Chcete-li získat požadované výsledky s požadovanou přesností a v přijatelném časovém rámci, je nutné, aby na výpočet každé možnosti bylo vynaloženo minimální množství času.

Vývoj softwaru pro výpočetní experiment ve specifické oblasti inženýrské činnosti vede k vytvoření rozsáhlého softwarového komplexu. Skládá se z propojených aplikačních programů a systémových nástrojů, včetně nástrojů poskytovaných uživateli pro řízení průběhu výpočetního experimentu, zpracování a prezentaci jeho výsledků. Tato sada programů se někdy nazývá problémově orientovaný balík aplikačních programů.

Kontrolní otázky:

1. Výhody výpočetního experimentu oproti přirozenému?

2. Nevýhody výpočetního experimentu?

4. Nejjednodušší metody řešení problémů

4.1. Hledání kořene funkce.

Způsob rozdělení segmentu podle podlaží(Willyho metoda).

Rozdělte segment na polovinu ( AC=NE). Vyberte polovinu, ve které funkce protíná osu 0x, pak označíme S pro V, tj. C=B a znovu rozdělit na polovinu. Volbu poloviny provádí produkt ¦( A)´¦( V). Pokud je součin větší než 0, pak neexistuje žádný kořen.

Metoda akordů (sekantů).

(B-A)/2£ En³ log 2((B-A)/2)

(y-y 0)(x-x 1)=(y-y 1)(x-x 0)

y=0; y 0(x-x 1)=y 1(x-x 0)

Koncepce matematického modelu

Představte si letadlo: křídla, trup, ocas, to vše dohromady - skutečné obrovské, obrovské, celé letadlo. Nebo si můžete vyrobit model letadla, malý, ale jako ve skutečnosti, stejná křídla atd., ale kompaktní. Stejně tak matematický model. Je tam problém s textem, těžkopádný, můžete se na něj podívat, přečíst, ale ne zcela pochopit, a navíc není jasné, jak ho vyřešit. Co když uděláte malý model velké slovní úlohy, matematický model? Co znamená matematický? Tedy pomocí pravidel a zákonů matematický zápis, převést text do logicky správné reprezentace pomocí čísel a aritmetických symbolů. Tak, matematický model je reprezentace skutečné situace pomocí matematického jazyka.

Začněme jednoduchým: Číslo je větší než číslo o. Musíme to zapsat bez použití slov, ale pouze jazyka matematiky. Pokud je více o, pak se ukáže, že pokud odečteme od, pak stejný rozdíl těchto čísel zůstane stejný. Tito. nebo. Chápeš pointu?

Teď je to složitější, teď tam bude text, který byste měli zkusit znázornit ve formě matematického modelu, zatím nečtěte, jak to udělám, zkuste to sami! Existují čtyři čísla: , a. Produkt je dvakrát větší než produkt.

Co se stalo?

Ve formě matematického modelu to bude vypadat takto:

Tito. produkt souvisí jako dva ku jedné, ale lze to dále zjednodušit:

Dobře, jdeme na to jednoduché příklady rozumíš tomu, myslím. Přejděme k plnohodnotným úlohám, ve kterých je potřeba řešit i tyto matematické modely! Tady je výzva.

Matematický model v praxi

Problém 1

Po dešti může hladina vody ve studni stoupnout. Chlapec měří čas pádu malých oblázků do studny a vypočítává vzdálenost k vodě pomocí vzorce, kde je vzdálenost v metrech a čas pádu v sekundách. Před deštěm byla doba pádu oblázků s. O kolik musí stoupnout hladina vody po dešti, aby se naměřená doba změnila na s? Vyjádřete svou odpověď v metrech.

Oh, hrůza! Jaké vzorce, jaký druh studny, co se děje, co dělat? Četl jsem ti myšlenky? Uvolněte se, v problémech tohoto typu jsou ještě hroznější podmínky, hlavní je mít na paměti, že vás v tomto problému zajímají vzorce a vztahy mezi proměnnými a co to všechno ve většině případů znamená, není příliš důležité. Co zde považujete za užitečné? Vidím to osobně. Princip řešení těchto problémů je následující: vezmete všechny známé veličiny a dosadíte je.ALE, někdy je potřeba přemýšlet!

Po mé první radě a dosazením všeho známého do rovnice dostaneme:

Byl jsem to já, kdo nahradil čas sekundy a zjistil výšku, ve které kámen před deštěm letěl. Nyní musíme počítat po dešti a najít rozdíl!

Nyní si poslechněte druhou radu a zamyslete se nad ní, otázka upřesňuje „o kolik musí stoupnout hladina vody po dešti, aby se měřená doba změnila na s“. Okamžitě musíte přijít na to, že po dešti hladina vody stoupá, což znamená, že doba, kdy kámen klesne na hladinu vody, je kratší, a zde nabývá ozdobná fráze „aby se měřený čas změnil“ konkrétní význam: klesání čas se nezvyšuje, ale zkracuje se o uvedené sekundy. To znamená, že v případě hodu po dešti stačí odečíst c od počátečního času c a dostaneme rovnici pro výšku, kterou kámen po dešti poletí:

A nakonec, abyste zjistili, jak moc musí hladina vody po dešti stoupnout, aby se naměřená doba změnila na s., stačí odečíst druhou od první výšky pádu!

Dostáváme odpověď: na metr.

Jak vidíte, není na tom nic složitého, hlavní je, moc si nelámat hlavu nad tím, kde se taková nesrozumitelná a někdy složitá rovnice v podmínkách vzala a co všechno v ní znamená, vezměte na slovo, většina tyto rovnice jsou převzaty z fyziky a tam je džungle horší než v algebře. Někdy se mi zdá, že tyto úkoly byly vymyšleny, aby studenta na Jednotné státní zkoušce zastrašily množstvím složitých vzorců a termínů a ve většině případů nevyžadují téměř žádné znalosti. Stačí si pozorně přečíst podmínku a dosadit do vzorce známá množství!

Zde je další problém, již ne ve fyzice, ale ze světa ekonomické teorie, i když znalosti jiných věd než matematiky zde opět nejsou vyžadovány.

Problém 2

Závislost objemu poptávky (jednotky za měsíc) po produktech monopolního podniku na ceně (tisíc rublů) je dána vzorcem

Příjem podniku za měsíc (v tisících rublech) se vypočítá pomocí vzorce. Určete nejvyšší cenu, za kterou bude měsíční příjem alespoň tisíc rublů. Uveďte svou odpověď v tisících rublech.

Hádej, co teď budu dělat? Jo, začnu zapojovat to, co víme, ale zase budu muset trochu přemýšlet. Pojďme od konce, musíme najít na kterém. Takže existuje, rovná se něčemu, najdeme, čemu jinému se rovná toto, a rovná se to, tak to zapíšeme. Jak vidíte, opravdu se nezabývám významem všech těchto veličin, jen se dívám z podmínek, abych viděl, co se rovná čemu, to je to, co musíte udělat. Vraťme se k problému, už ho máte, ale jak si pamatujete z jedné rovnice se dvěma proměnnými, nemůžete najít ani jednu z nich, co byste měli dělat? Jo, ještě nám zbyl nepoužitý kus ve stavu. Nyní již existují dvě rovnice a dvě proměnné, což znamená, že nyní lze najít obě proměnné - skvělé!

– dokážete takový systém vyřešit?

Řešíme substitucí; už je to vyjádřeno, tak to dosadíme do první rovnice a zjednodušíme.

Dostaneme tuto kvadratickou rovnici: , řešíme, kořeny jsou takové, . Úkol vyžaduje najít nejvyšší cenu, při které budou splněny všechny podmínky, se kterými jsme při tvorbě systému počítali. Oh, ukázalo se, že to byla cena. Super, tak jsme našli ceny: a. Nejvyšší cena, říkáte? Dobře, největší z nich, samozřejmě, píšeme to jako odpověď. No, je to těžké? Myslím, že ne a není třeba se v tom příliš ponořit!

A tady je nějaká děsivá fyzika, nebo spíše jiný problém:

Problém 3

K určení efektivní teploty hvězd se používá Stefan-Boltzmannův zákon, podle kterého, kde je síla záření hvězdy, je konstanta, je povrch hvězdy a je teplota. Je známo, že povrchová plocha určité hvězdy je stejná a její radiační síla se rovná W. Najděte teplotu této hvězdy ve stupních Kelvina.

Jak je to jasné? Ano, podmínka říká, co se rovná čemu. Dříve jsem doporučoval dosadit všechny neznámé najednou, ale zde je lepší nejprve vyjádřit neznámou požadovanou. Podívejte se, jak je to jednoduché: existuje vzorec a v něm známe, a (toto je řecké písmeno „sigma“. Fyzikové obecně milují řecká písmena, zvykejte si). A teplota je neznámá. Vyjádřeme to ve formě vzorce. Doufám, že víte, jak na to? Tyto úkoly pro státní zkoušku v 9. ročníku se obvykle zadávají:

Nyní zbývá pouze nahradit číslicemi místo písmen na pravé straně a zjednodušit:

Zde je odpověď: stupně Kelvina! A jaký to byl hrozný úkol!

Pokračujeme v mučení fyzikálních problémů.

Problém 4

Výška odhozeného míče nad zemí se mění podle zákona, kde je výška v metrech a je to čas v sekundách, který uplynul od okamžiku hodu. Kolik sekund zůstane míč ve výšce alespoň tři metry?

To všechno byly rovnice, ale tady musíme určit, jak dlouho byla koule ve výšce alespoň tři metry, to znamená ve výšce. Co si vymyslíme? Nerovnost, přesně tak! Máme funkci, která popisuje, jak míč letí, kde - to je přesně stejná výška v metrech, potřebujeme výšku. Prostředek

A teď tu nerovnost jednoduše vyřešíte, hlavní je nezapomenout při násobení oběma stranami nerovnosti změnit znaménko nerovnosti z více nebo rovno na méně nebo rovno, abyste se zbavili mínusu vpředu.

Toto jsou kořeny, zkonstruujeme intervaly pro nerovnost:

Zajímá nás interval, kde je znaménko mínus, protože nerovnost tam nabývá záporných hodnot, je to od do obou včetně. Nyní zapněte mozek a dobře se zamyslete: pro nerovnost jsme použili rovnici, která popisuje let míče, letí nějak po parabole, tzn. vzlétne, dosáhne vrcholu a spadne, jak pochopit, jak dlouho zůstane ve výšce alespoň metrů? Našli jsme 2 zlomové body, tzn. okamžik, kdy se vznese nad metry a okamžik, kdy při pádu dosáhne stejné značky, jsou tyto dva body vyjádřeny ve formě času, tj. víme, ve které vteřině letu vstoupil do pro nás zajímavé zóny (nad metry) a ve které vteřině ji opustil (spadl pod značku metru). Kolik sekund byl v této zóně? Je logické, že vezmeme čas opuštění zóny a odečteme od něj čas vstupu do této zóny. Podle toho: - byl tak dlouho v pásmu nad metry, to je odpověď.

Máte štěstí, že většina příkladů na toto téma může být převzata z kategorie fyzikálních úloh, takže si chyťte ještě jeden, je to poslední, tak se tlačte, zbývá jen málo!

Problém 5

Pro topné těleso určitého zařízení byla experimentálně získána závislost teploty na době provozu:

Kde je čas v minutách, . Je známo, že pokud je teplota topného tělesa vyšší, zařízení se může zhoršit, takže musí být vypnuto. Najděte nejdelší dobu po zahájení práce, kterou potřebujete k vypnutí zařízení. Vyjádřete svou odpověď během několika minut.

Jednáme podle dobře zavedeného schématu, nejprve zapíšeme vše, co je dáno:

Nyní vezmeme vzorec a přirovnáme jej k hodnotě teploty, na kterou lze zařízení zahřát co nejvíce, dokud nevyhoří, to znamená:

Nyní místo písmen dosadíme čísla, kde jsou známá:

Jak vidíte, teplota během provozu zařízení je popsána kvadratická rovnice, což znamená, že je distribuován podél paraboly, tj. Zařízení se zahřeje na určitou teplotu a poté se ochladí. Dostali jsme odpovědi, a proto je při a při minutách ohřevu teplota rovna kritické, ale mezi a minutami - je dokonce vyšší než limit!

To znamená, že musíte zařízení po minutách vypnout.

MATEMATICKÉ MODELY. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH

Nejčastěji se ve fyzice používají matematické modely: pravděpodobně jste si museli zapamatovat desítky fyzikálních vzorců. A toto je vzorec matematická reprezentace situace.

V OGE a Jednotné státní zkoušce jsou úkoly přesně na toto téma. V Jednotné státní zkoušce (profilu) jde o úkol číslo 11 (dříve B12). V OGE - úkol číslo 20.

Schéma řešení je zřejmé:

1) Z textu podmínky je třeba „izolovat“ užitečné informace – to, co ve fyzikálních úlohách píšeme pod slovem „dáno“. Tento užitečné informace jsou:

• Vzorec
• Známé fyzikální veličiny.

To znamená, že každé písmeno ze vzorce musí být spojeno s určitým číslem.

2) Vezměte všechna známá množství a dosaďte je do vzorce. Neznámé množství zůstává ve formě písmene. Nyní stačí vyřešit rovnici (obvykle poměrně jednoduchá) a odpověď je připravena.

No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, znamená to, že jste velmi cool.

Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, pak jste v těchto 5 %!

Teď to nejdůležitější.

Pochopili jste teorii na toto téma. A opakuji, tohle... to je prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.

Problém je, že to nemusí stačit...

za co?

Za úspěšné složení jednotné státní zkoušky, za vstup na vysokou školu s omezeným rozpočtem a NEJDŮLEŽITĚJŠÍ, na celý život.

Nebudu tě o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...

Lidé, kteří získali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří ho nezískali. Toto je statistika.

Ale to není to hlavní.

Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že je před nimi mnohem otevřenější více možností a život bude jasnější? nevím...

Ale zamyslete se sami...

Co je potřeba k tomu, abyste byli ve sjednocené státní zkoušce lepší než ostatní a nakonec byli... šťastnější?

ZÍSKEJTE SI RUKU ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU.

Při zkoušce se vás nebudou ptát na teorii.

budete potřebovat řešit problémy s časem.

A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo prostě nebudete mít čas.

Je to jako ve sportu – pro jistotu je potřeba to opakovat mnohokrát.

Najděte sbírku, kdekoli chcete, nutně s řešeními, podrobná analýza a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!

Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.

Abyste mohli lépe používat naše úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.

Jak? Jsou dvě možnosti:

1. Odemkněte všechny skryté úkoly v tomto článku - 299 rublů.
2. Odemkněte přístup ke všem skrytým úkolům ve všech 99 článcích učebnice - 499 rublů.

Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít.

Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po CELOU životnost webu.

A závěrem...

Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Nezůstávejte jen u teorie.

„Rozumím“ a „Dokážu vyřešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.

Najděte problémy a řešte je!

Odeslání vaší dobré práce do znalostní báze je snadné. Použijte níže uvedený formulář

dobrá práce na web">

Studenti, postgraduální studenti, mladí vědci, kteří využívají znalostní základnu ve svém studiu a práci, vám budou velmi vděční.

Podobné dokumenty

Význam matematiky v našem životě. Historie účtu. Současný vývoj metod výpočetní matematiky. Využití matematiky v jiných vědách, role matematického modelování. Stav matematického vzdělávání v Rusku.

článek, přidáno 01.05.2010


Základní pojmy matematického modelování, charakteristika fází tvorby modelů problémů plánování výroby a problémů dopravy; analytické a programové přístupy k jejich řešení. Simplexní metoda řešení problémů lineární programování.

práce v kurzu, přidáno 11.12.2011


Proces výběru nebo konstrukce modelu ke studiu určitých vlastností originálu za určitých podmínek. Fáze procesu modelování. Matematické modely a jejich typy. Adekvátnost matematických modelů. Nesoulad mezi originálem a modelem.

test, přidáno 10.09.2016


Podstata matematického modelování. Analytické a simulační matematické modely. Geometrické, kinematické a silové analýzy mechanismů zdvihacích a upínacích zařízení. Výpočet stability mobilní zemědělské jednotky.

práce v kurzu, přidáno 18.12.2015


Matematické modelování problémů obchodní činnosti na příkladu modelování procesu výběru produktu. Metody a modely lineárního programování (stanovení denního plánu výroby pro produkty zajišťující maximální tržby z prodeje).

test, přidáno 16.02.2011


Matematika jako extrémně silný a flexibilní nástroj pro studium světa kolem nás. Role matematiky v průmyslové sféře, stavebnictví, medicíně a lidském životě. Místo matematického modelování při tvorbě různých architektonických modelů.

prezentace, přidáno 31.03.2015


Hlavní etapy matematického modelování - přibližný popis třídy jevů nebo objektů reálného světa v jazyce matematiky. Metody kódování informací. Konstrukce zařízení, které umožňuje překládat Morseovu abecedu do strojového kódu.

práce v kurzu, přidáno 28.06.2011


Aplikace systému MathCAD při řešení aplikovaných problémů technického charakteru. Základní prostředky matematického modelování. Řešení diferenciální rovnice. Využití systému MathCad k implementaci matematických modelů elektrických obvodů.

práce v kurzu, přidáno 17.11.2016