Způsob rozdělení náhodné veličiny. Medián a mod spojité náhodné veličiny

Móda() spojité náhodné veličiny je její hodnota, která odpovídá maximální hodnotě její hustoty pravděpodobnosti.

Medián() Spojitá náhodná veličina je její hodnota, která je určena rovností:

B15. Binomické právo rozdělení a jejich číselné charakteristiky. Binomické rozdělení popisuje opakované nezávislé experimenty. Tento zákon určuje výskyt události jednou nezávislé testy, pokud se pravděpodobnost události vyskytující se v každém z těchto experimentů experiment od experimentu nemění. Pravděpodobnost:

,

kde: je známá pravděpodobnost výskytu události v experimentu, která se experiment od experimentu nemění;

– pravděpodobnost, že v experimentu nenastane nějaká událost;

– stanovený počet výskytů události v experimentech;

– počet kombinací prvků podle .

B15. Zákon rovnoměrného rozdělení, grafy distribuční funkce a hustoty, číselné charakteristiky. Uvažuje se spojitá náhodná veličina rovnoměrně rozložené, pokud má hustota pravděpodobnosti tvar:

Očekávání náhodná veličina s rovnoměrným rozdělením:

Disperze lze vypočítat následovně:

Směrodatná odchylka bude vypadat takto:

.

B17. Zákon exponenciálního rozdělení, grafy distribuční funkce a hustoty, numerické charakteristiky. Exponenciální rozdělení Spojitá náhodná veličina je rozdělení, které je popsáno následujícím výrazem pro hustotu pravděpodobnosti:

,

kde je konstantní kladná hodnota.

Funkce rozdělení pravděpodobnosti má v tomto případě tvar:

Matematické očekávání náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením se získá na základě obecný vzorec s přihlédnutím k tomu, že když:

.

Integrováním tohoto výrazu po částech zjistíme: .

Rozptyl pro exponenciální rozdělení lze získat pomocí výrazu:

.

Dosazením výrazu za hustotu pravděpodobnosti zjistíme:

Výpočtem integrálu po částech získáme: .

B16. Zákon normálního rozdělení, grafy distribuční funkce a hustoty. Standardní normální rozdělení. Odražená funkce normální distribuce. Normální takové rozdělení náhodné veličiny se nazývá, jejíž hustotu pravděpodobnosti popisuje Gaussova funkce:

kde je standardní odchylka;

– matematické očekávání náhodné veličiny.

Graf hustoty normálního rozdělení se nazývá normální Gaussova křivka.

B18. Markovova nerovnost. Generalizovaná Čebyševova nerovnost. Pokud pro náhodnou veličinu X existuje, pak platí pro kohokoli Markovova nerovnost .

Vyplývá to z zobecněná Čebyševova nerovnost: Nechť je funkce monotónně rostoucí a nezáporná na . Pokud pro náhodnou veličinu X existuje, pak nerovnost platí pro kohokoli .

B19. Zákon velkých čísel v Čebyševově podobě. Jeho význam. Důsledek zákona velkých čísel v Čebyševově podobě. Zákon velkých čísel v Bernoulliho formě. Pod zákon velkých čísel v teorii pravděpodobnosti se rozumí řada teorémů, z nichž každá zakládá skutečnost asymptotické aproximace průměrné hodnoty velkého množství experimentálních dat matematickému očekávání náhodné veličiny. Důkazy těchto teorémů jsou založeny na Čebyševově nerovnosti. Tuto nerovnost lze získat zvážením diskrétní náhodné proměnné s možnými hodnotami.

Teorém. Nechť existuje konečná posloupnost nezávislý náhodné proměnné, se stejným matematickým očekáváním a rozptyly omezenými na stejnou konstantu:

Potom, bez ohledu na číslo, pravděpodobnost události

inklinuje k jednotě při .

Čebyševův teorém vytváří spojení mezi teorií pravděpodobnosti, která uvažuje průměrné charakteristiky celé množiny hodnot náhodné veličiny, a matematickou statistikou, která pracuje na omezené množině hodnot této proměnné. Ukazuje, že při dostatečně velkém počtu měření určité náhodné veličiny se aritmetický průměr hodnot těchto měření blíží matematickému očekávání.

B20. Předmět a úkoly matematické statistiky. Obecné a vzorové populace. Způsob výběru. Matematická statistika– věda o matematické metody systematizace a využití statistických dat pro vědecké a praktické závěry, založené na teorii pravděpodobnosti.

Předmětem studia matematické statistiky jsou náhodné události, veličiny a funkce, které charakterizují uvažovaný náhodný jev. Náhodné jsou tyto události: výhra jednoho losu peněžní loterie, shoda kontrolovaného výrobku se stanovenými požadavky, bezproblémový provoz vozidla během prvního měsíce jeho provozu, plnění denního harmonogramu prací zhotovitelem.

Vzorová populace nazývaná kolekce náhodně vybraných objektů.

Obecná populace pojmenujte množinu předmětů, ze kterých je vzorek vyroben.

B21. Metody výběru.

Metody výběru: 1 Výběr, který nevyžaduje rozdělení obecné populace na části. Patří sem a) jednoduchý náhodný výběr bez opakování ab) jednoduchý náhodný opakovaný výběr. 2) Výběr, ve kterém je populace rozdělena na části. Patří mezi ně a) typický výběr, b) mechanický výběr ac) sériový výběr.

Jednoduchá náhoda nazývaný výběr, při kterém jsou objekty z populace vyjmuty jeden po druhém.

Typický nazývaný výběr, ve kterém se objekty nevybírají z celé populace, ale z každé její „typické“ části.

Mechanické se nazývá výběr, při kterém je populace mechanicky rozdělena do tolika skupin, kolik je objektů, které mají být zahrnuty do vzorku, a z každé skupiny je vybrán jeden objekt.

Seriál nazývaný výběr, ve kterém jsou objekty vybírány z obecné populace nikoli po jednom, ale v „sériích“, které jsou podrobovány kontinuálnímu průzkumu.

B22. Statistické a variační řady. Empirická distribuční funkce a její vlastnosti. Variační série pro diskrétní a spojité náhodné veličiny. Nechť je extrahován vzorek z obecné populace a hodnota studovaného parametru byla pozorována jednou, - jednou atd. Navíc velikost vzorku. Pozorované hodnoty se nazývají možnosti, a pořadí voleb zapsaných ve vzestupném pořadí je variační série . Počty pozorování se nazývají frekvence, a jejich vztah k velikosti vzorku - relativní frekvence.Variační série může být reprezentován tabulkou jako:

X			…..
n			….

Rozložení statistického vzorku pojmenujte seznam možností a jejich odpovídající relativní četnosti. Statistické rozdělení může být reprezentován jako:

X			…..
w			….

kde jsou relativní četnosti.

Empirická distribuční funkce zavolejte funkci, která pro každou hodnotu x určí relativní frekvenci události X

Z číselných charakteristik náhodných veličin je třeba si v první řadě povšimnout těch, které charakterizují polohu náhodné veličiny na číselné ose, tzn. označují nějakou průměrnou, přibližnou hodnotu, kolem které jsou seskupeny všechny možné hodnoty náhodné proměnné.

Průměrná hodnota náhodné veličiny je určité číslo, které je jakoby jejím „reprezentantem“ a nahrazuje jej ve zhruba přibližných výpočtech. Když říkáme: „průměrná doba provozu lampy je 100 hodin“ nebo „průměrný bod dopadu je posunut vzhledem k cíli o 2 m doprava“, označujeme tím určitou číselnou charakteristiku náhodné veličiny, která popisuje její umístění. na číselné ose, tzn. „polohové charakteristiky“.

Z charakteristik pozice v teorii pravděpodobnosti hraje nejdůležitější roli matematické očekávání náhodné veličiny, které se někdy říká jednoduše průměrná hodnota náhodné veličiny.

Uvažujme diskrétní náhodnou veličinu s možnými hodnotami s pravděpodobnostmi. Musíme charakterizovat nějakým číslem polohu hodnot náhodné veličiny na ose x, s ohledem na skutečnost, že tyto hodnoty mají různé pravděpodobnosti. Pro tento účel je přirozené používat tzv. „vážený průměr“ hodnot a každá hodnota by měla být při průměrování brána v úvahu s „váhou“ úměrnou pravděpodobnosti této hodnoty. Vypočítáme tedy průměr náhodné veličiny, kterou označíme:

nebo vzhledem k tomu,

. (5.6.1)

Tento vážený průměr se nazývá matematické očekávání náhodné veličiny. Uvedli jsme tedy v úvahu jeden z nejdůležitějších konceptů teorie pravděpodobnosti – koncept matematické očekávání.

Matematické očekávání náhodné veličiny je součtem součinů všech možných hodnot náhodné veličiny a pravděpodobností těchto hodnot.

Všimněte si, že ve výše uvedené formulaci platí definice matematického očekávání, přísně vzato, pouze pro diskrétní náhodné proměnné; Níže tento pojem zobecníme na případ spojitých veličin.

Aby byl koncept matematického očekávání jasnější, přejděme k mechanické interpretaci rozdělení diskrétní náhodné veličiny. Nechť jsou body s úsečkami na ose úseček, ve kterých jsou soustředěny hmoty a . Pak je zřejmé, že matematické očekávání definované vzorcem (5.6.1) není nic jiného než úsečka těžiště daného systému hmotných bodů.

Matematické očekávání náhodné veličiny je spojeno zvláštní závislostí s aritmetickým průměrem pozorovaných hodnot náhodné veličiny během velkého počtu experimentů. Tato závislost je stejného typu jako závislost mezi frekvencí a pravděpodobností, totiž: při velkém počtu experimentů se aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodné veličiny blíží (konverguje v pravděpodobnosti) jejímu matematickému očekávání. Z přítomnosti souvislosti mezi frekvencí a pravděpodobností lze v důsledku odvodit přítomnost podobné souvislosti mezi aritmetickým průměrem a matematickým očekáváním.

Uvažujme diskrétní náhodnou proměnnou charakterizovanou distribuční řadou:

Kde .

Nechť jsou prováděny nezávislé experimenty, v každém z nich má veličina určitou hodnotu. Předpokládejme, že se hodnota objevila jednou, hodnota se objevila jednou a hodnota se objevila jednou. Samozřejmě,

Vypočítejme aritmetický průměr pozorovaných hodnot veličiny, kterou na rozdíl od matematického očekávání označujeme:

Ale není nic jiného než četnost (nebo statistická pravděpodobnost) události; tato frekvence může být určena. Pak

,

těch. aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodné veličiny se rovná součtu součinů všech možných hodnot náhodné veličiny a četností těchto hodnot.

S rostoucím počtem experimentů se frekvence přiblíží (pravděpodobně se sblíží) odpovídajícím pravděpodobnostem. V důsledku toho se aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodné veličiny bude s rostoucím počtem experimentů přibližovat (konvergovat v pravděpodobnosti) svému matematickému očekávání.

Výše formulovaná souvislost mezi aritmetickým průměrem a matematickým očekáváním tvoří obsah jedné z forem zákona velkých čísel. Důkladný důkaz tohoto zákona poskytneme v kapitole 13.

Již víme, že všechny formy zákona velkých čísel uvádějí skutečnost, že některé průměry jsou stabilní při velkém počtu experimentů. Zde mluvíme o stabilitě aritmetického průměru ze série pozorování stejné veličiny. U malého počtu experimentů je aritmetický průměr jejich výsledků náhodný; s dostatečným nárůstem počtu experimentů se stává „téměř nenáhodným“ a stabilizací se blíží konstantní hodnotě - matematickému očekávání.

Stabilitu průměrů ve velkém počtu experimentů lze snadno ověřit experimentálně. Například při vážení tělesa v laboratoři na přesných vahách získáme v důsledku vážení pokaždé novou hodnotu; Abychom snížili chybu pozorování, těleso několikrát zvážíme a použijeme aritmetický průměr získaných hodnot. Je snadné vidět, že s dalším nárůstem počtu pokusů (vážení) aritmetický průměr na tento nárůst reaguje stále méně a při dostatečně velkém počtu pokusů se prakticky přestává měnit.

Vzorec (5.6.1) pro matematické očekávání odpovídá případu diskrétní náhodné veličiny. Pro spojitou veličinu je matematické očekávání přirozeně vyjádřeno ne jako součet, ale jako integrál:

, (5.6.2)

kde je hustota distribuce veličiny .

Vzorec (5.6.2) získáme ze vzorce (5.6.1), pokud jsou jednotlivé hodnoty v něm nahrazeny plynule se měnícím parametrem x, odpovídající pravděpodobnosti - prvkem pravděpodobnosti a konečný součet - integrálem. V budoucnu budeme často používat tento způsob rozšíření vzorců odvozených pro nespojité veličiny na případ spojitých veličin.

V mechanické interpretaci si matematické očekávání spojité náhodné veličiny zachovává stejný význam - úsečka těžiště v případě, kdy je hmota rozložena na úsečce spojitě, s hustotou . Tato interpretace často umožňuje najít matematické očekávání bez výpočtu integrálu (5.6.2) z jednoduchých mechanických úvah.

Výše jsme zavedli notaci pro matematické očekávání veličiny . V řadě případů, kdy je veličina ve vzorcích zahrnuta jako konkrétní číslo, je vhodnější ji označit jedním písmenem. V těchto případech označíme matematické očekávání hodnoty:

Zápisy a pro matematická očekávání budou v budoucnu používány paralelně, v závislosti na výhodnosti konkrétního záznamu vzorců. Domluvme se také, že v případě potřeby slova „matematické očekávání“ zkrátíme písmeny m.o.

Je třeba poznamenat, že nejdůležitější charakteristika pozice – matematické očekávání – neexistuje pro všechny náhodné veličiny. Je možné sestavit příklady takových náhodných veličin, pro které neexistuje matematické očekávání, protože odpovídající součet nebo integrál se liší.

Uvažujme například nespojitou náhodnou veličinu s distribuční řadou:

Je snadné ověřit, že tzn. distribuční série má smysl; součet se však v tomto případě rozchází, a proto neexistuje žádné matematické očekávání hodnoty. Takové případy však nejsou pro praxi výrazně zajímavé. Náhodné proměnné, se kterými se zabýváme, mají obvykle omezený rozsah možných hodnot a samozřejmě mají matematické očekávání.

Výše jsme uvedli vzorce (5.6.1) a (5.6.2), vyjadřující matematické očekávání pro nespojitou a spojitou náhodnou veličinu.

Pokud nějaká veličina patří k veličinám smíšeného typu, pak její matematické očekávání je vyjádřeno vzorcem ve tvaru:

, (5.6.3)

kde součet zasahuje do všech bodů, ve kterých je distribuční funkce nespojitá, a integrál se rozšiřuje na všechny oblasti, ve kterých je distribuční funkce spojitá.

Kromě nejdůležitějších charakteristik pozice – matematického očekávání – se v praxi někdy používají další charakteristiky pozice, zejména modus a medián náhodné veličiny.

Modus náhodné veličiny je její nejpravděpodobnější hodnota. Termín "nejpravděpodobnější hodnota" se přísně vzato vztahuje pouze na nespojité veličiny; pro spojitou veličinu je mod hodnotou, při které je hustota pravděpodobnosti maximální. Domluvme se na označení režimu písmenem . Na Obr. 5.6.1 a 5.6.2 ukazují režim pro nespojité a spojité náhodné veličiny.

Pokud má distribuční polygon (distribuční křivka) více než jedno maximum, nazývá se rozdělení „multimodální“ (obr. 5.6.3 a 5.6.4).

Někdy existují distribuce, které mají uprostřed spíše minimum než maximum (obr. 5.6.5 a 5.6.6). Takové distribuce se nazývají „antimodální“. Příkladem antimodální distribuce je distribuce získaná v příkladu 5, č. 5.1.

V obecném případě se modus a matematické očekávání náhodné veličiny neshodují. V konkrétním případě, kdy je rozdělení symetrické a modální (tj. má mod) a existuje matematické očekávání, pak se shoduje s modem a středem symetrie rozdělení.

Často se používá další charakteristika polohy - tzv. medián náhodné veličiny. Tato charakteristika se obvykle používá pouze pro spojité náhodné veličiny, i když ji lze formálně definovat i pro nespojitou veličinu.

Medián náhodné veličiny je její hodnota, pro kterou

těch. je stejně pravděpodobné, že náhodná proměnná bude menší nebo větší než . Geometricky je medián úsečkou bodu, ve kterém je plocha ohraničená distribuční křivkou rozdělena na polovinu (obr. 5.6.7).

Účel lekce: vytvořit u studentů představu o mediánu množiny čísel a schopnost jej vypočítat pro jednoduché numerické množiny, upevnit koncept aritmetického průměru množiny čísel.

Typ lekce: vysvětlení nové látky.

Vybavení: tabule, učebnice vyd. Yu.N Tyurina „Teorie a statistika pravděpodobnosti“, počítač s projektorem.

Postup lekce

1. Organizační moment.

Informujte téma lekce a formulujte její cíle.

2. Aktualizace předchozích znalostí.

Otázky pro studenty:

• Jaký je aritmetický průměr množiny čísel?
• Kde se nachází aritmetický průměr v rámci sady čísel?
• Co charakterizuje aritmetický průměr množiny čísel?
• Kde se často používá aritmetický průměr množiny čísel?

Ústní úkoly:

Najděte aritmetický průměr množiny čísel:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Kontrola domácího úkolu pomocí projektoru ( Dodatek 1):

Učebnice: č. 12 (b, d), č. 18 (c, d)

3. Studium nového materiálu.

V předchozí lekci jsme se seznámili s takovou statistickou charakteristikou, jako je aritmetický průměr množiny čísel. Dnes budeme věnovat lekci další statistické charakteristice – mediánu.

Nejen aritmetický průměr ukazuje, kde na číselné ose se nacházejí čísla libovolné množiny a kde je jejich střed. Dalším ukazatelem je medián.

Medián množiny čísel je číslo, které rozděluje množinu na dvě stejné části. Místo „medián“ byste mohli říci „střední“.

Nejprve se podívejme na příklady, jak zjistit medián, a poté uveďme přesnou definici.

Zvažte následující ústní příklad s použitím projektoru ( Dodatek 2)

Běžecký standard na 100 metrů absolvovalo na konci školního roku 11 žáků 7. ročníku. Byly zaznamenány následující výsledky:

Poté, co kluci uběhli vzdálenost, Petya přistoupil k učiteli a zeptal se, jaký byl jeho výsledek.

"Nejprůměrnější výsledek: 16,9 sekundy," odpověděl učitel.

"Proč?" – překvapilo se Péťa. – Koneckonců, aritmetický průměr všech výsledků je přibližně 18,3 sekundy a běžel jsem o více než sekundu lépe. A obecně je Katyin výsledek (18,4) mnohem blíže průměru než můj.“

"Váš výsledek je průměrný, protože pět lidí běželo lépe než vy a pět - horší." To znamená, že jste přímo uprostřed,“ řekl učitel. [2]

Napište algoritmus pro nalezení mediánu množiny čísel:

1. Uspořádejte sadu čísel (vytvořte seřazenou řadu).
2. Zároveň škrtejte „největší“ a „nejmenší“ čísla dané sady čísel, dokud nezbude jedno nebo dvě čísla.
3. Pokud zbývá jedno číslo, pak je to medián.
4. Pokud zbývají dvě čísla, pak medián bude aritmetický průměr dvou zbývajících čísel.

Vyzvěte studenty, aby samostatně formulovali definici mediánu množiny čísel, poté si přečetli dvě definice mediánu v učebnici (str. 50), poté se podívali na příklady 4 a 5 z učebnice (str. 50–52)

Komentář:

Upozorněte studenty na důležitou skutečnost: medián je prakticky necitlivý na výrazné odchylky jednotlivých krajních hodnot číselných sad. Ve statistice se tato vlastnost nazývá stabilita. Stabilita statistického ukazatele je velmi důležitou vlastností;

4. Konsolidace studovaného materiálu.

Řešení čísel z učebnice pro odstavec 11 „Medián“.

Sada čísel: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Sada čísel: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) Sada čísel: 3,4,11,17,21

b) Sada čísel: 17,18,19,25,28

c) Sada čísel: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Závěr: medián množiny čísel skládající se z lichého počtu členů se rovná číslu uprostřed.

a) Sada čísel: 2, 4, 8 , 9.

Me = (4+8):2=12:2=6

b) Sada čísel: 1,3, 5,7 ,8,9.

Me = (5+7):2=12:2=6

Medián množiny čísel obsahující sudý počet členů se rovná polovině součtu dvou čísel uprostřed.

Student během čtvrtletí získal následující známky z algebry:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Najděte průměr a medián tohoto souboru. [3]

Seřadíme sadu čísel: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Existuje pouze 10 čísel, abyste našli medián, musíte vzít dvě střední čísla a najít jejich poloviční součet.

Me = (5+5):2 = 5

Otázka pro studenty: Kdybyste byl učitel, jakou známku byste tomuto studentovi za čtvrtletí dali? Zdůvodněte svou odpověď.

Prezident společnosti dostává plat 300 000 rublů. tři jeho zástupci dostávají každý 150 000 rublů, čtyřicet zaměstnanců - každý 50 000 rublů. a plat uklízečky je 10 000 rublů. Najděte aritmetický průměr a medián platů ve společnosti. Kterou z těchto vlastností je pro prezidenta výhodnější využít pro reklamní účely?

= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (rub.)

Úkol 3. (Vyzvěte studenty, aby jej vyřešili sami, promítněte problém pomocí projektoru)

Tabulka ukazuje přibližný objem vody v krychlových metrech největších jezer a nádrží v Rusku. km. (Dodatek 3) [ 4 ]

A) Najděte průměrný objem vody v těchto nádržích (aritmetický průměr);

B) Najděte objem vody v průměrné velikosti nádrže (medián dat);

Otázka, která z těchto charakteristik – aritmetický průměr nebo medián – podle vašeho názoru lépe popisuje objem typické velké nádrže v Rusku? Vysvětlete svou odpověď.

a) 2459 metrů krychlových km

b) 60 cu. km

c) Medián, protože data obsahují hodnoty, které se velmi liší od všech ostatních.

Úkol 4. Ústně.

A) Kolik čísel je v množině, je-li její devátý člen jejím mediánem?

B) Kolik čísel je v množině, je-li její medián aritmetickým průměrem 7. a 8. členu?

C) V sadě sedmi čísel je největší číslo zvětšeno o 14. Změní to aritmetický průměr a medián?

D) Každé z čísel v množině se zvětší o 3. Co se stane s aritmetickým průměrem a mediánem?

Sladkosti v obchodě se prodávají na váhu. Aby zjistila, kolik bonbónů obsahuje jeden kilogram, rozhodla se Masha zjistit hmotnost jednoho bonbonu. Zvážila několik bonbónů a získala následující výsledky:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Obě charakteristiky jsou vhodné pro odhad hmotnosti jednoho bonbonu, protože se od sebe příliš neliší.

Pro charakterizaci statistických informací se tedy používá aritmetický průměr a medián. V mnoha případech nemusí mít jedna z charakteristik žádný smysluplný význam (např. mít informace o době dopravních nehod, má jen stěží smysl hovořit o aritmetickém průměru těchto údajů).

1. Domácí úkol: odstavec 11, č. 3,4,9,11.
2. Shrnutí lekce. Odraz.

Literatura:

1. Yu.N. Tyurin a kol. „Teorie pravděpodobnosti a statistika“, Nakladatelství MTsNMO, OJSC „Moskva učebnice“, Moskva 2008.
2. E.A. Bunimovič, V.A. Bulychev „Základy statistiky a pravděpodobnosti“, DROFA, Moskva 2004.
3. Noviny „Matematika“ č. 23, 2007.
4. Demoverze testu z teorie pravděpodobnosti a statistiky pro 7. ročník školního roku 2007/2008.

rok. Móda

- hodnota v souboru pozorování, která se vyskytuje nejčastěji

Po = X Po + h Po * (f Po - f Po-1) : ((f Po - f Po-1) + (f Po - f Po+1)),

zde X Mo je levá hranice modálního intervalu, h Mo je délka modálního intervalu, f Mo-1 je frekvence premodálního intervalu, f Mo je frekvence modálního intervalu, f Mo+1 je frekvence postmodálního intervalu.

Režim absolutně spojitého rozdělení je libovolný bod lokálního maxima hustoty rozdělení. Pro diskrétní rozdělení se za mod považuje jakákoli hodnota a i, jejíž pravděpodobnost p i je větší než pravděpodobnosti sousedních hodnot Medián spojitá náhodná veličina X nazývá se její hodnota Me, pro kterou je stejně pravděpodobné, že náhodná veličina bude menší nebo větší Meh

, tj. Me = (n+l)/2 < P(X > nazývá se její hodnota Me, pro kterou je stejně pravděpodobné, že náhodná veličina bude menší nebo větší)

Rovnoměrně distribuované NSV

Jednotná distribuce. Spojitá náhodná veličina se nazývá rovnoměrně rozložená na segmentu (), pokud její funkce hustoty rozdělení (obr. 1.6, A) má tvar:

Označení: – SW je rozmístěn rovnoměrně po .

Podle toho distribuční funkce na segmentu (obr. 1.6, b):

Rýže. 1.6. Funkce náhodné veličiny rozdělené rovnoměrně na [ A,b]: A– hustoty pravděpodobnosti F(x); b– distribuce F(x)

Matematické očekávání a rozptyl daného SV jsou určeny výrazy:

Vzhledem k symetrii funkce hustoty se shoduje s mediánem. Režimy nemají rovnoměrné rozdělení

Příklad 4. Čekací doba na odpověď na telefonní hovor je náhodná veličina, která se řídí zákonem o rovnoměrném rozdělení v rozsahu od 0 do 2 minut. Najděte integrální a diferenciální distribuční funkce této náhodné veličiny.

27.Normální zákon rozdělení pravděpodobnosti

Spojitá náhodná veličina x má normální rozdělení s parametry: m,s > 0, má-li hustota rozdělení pravděpodobnosti tvar:

kde: m – matematické očekávání, s – směrodatná odchylka.

Normální rozdělení se také nazývá Gaussovo podle německého matematika Gausse. Skutečnost, že náhodná veličina má normální rozdělení s parametry: m, je označena následovně: N (m,s), kde: m=a=M[X];

Poměrně často se ve vzorcích matematické očekávání značí A . Pokud je náhodná veličina rozdělena podle zákona N(0,1), pak se nazývá normalizovaná nebo standardizovaná normální veličina. Distribuční funkce pro něj má tvar:

Graf hustoty normálního rozdělení, který se nazývá normální křivka nebo Gaussova křivka, je znázorněn na obr. 5.4.

Rýže. 5.4. Normální hustota rozdělení

vlastnosti náhodná veličina mající zákon normálního rozdělení.

1. Pokud , pak pro zjištění pravděpodobnosti, že tato hodnota spadá do daného intervalu ( x 1; x 2) používá se vzorec:

2. Pravděpodobnost, že odchylka náhodné veličiny od jejího matematického očekávání nepřekročí hodnotu (v absolutní hodnotě), je rovna.