Najděte derivaci pomocí metody logaritmického derivování online. Komplexní deriváty

Nechat
(1)
je diferencovatelná funkce proměnné x.

Nejprve to budeme uvažovat na množině hodnot x, pro které y nabývá kladných hodnot: .
,
Dále ukážeme, že všechny získané výsledky jsou použitelné i pro záporné hodnoty .
.
V některých případech je pro nalezení derivace funkce (1) vhodné ji předlogaritmovat
(2) .

a pak vypočítat derivaci. Pak podle pravidla derivace komplexní funkce
.

Odtud Derivace logaritmu funkce se nazývá logaritmická derivace: Logaritmická derivace funkce y = f(x).

je derivace přirozeného logaritmu této funkce:

(ln f(x))′
.
V některých případech je pro nalezení derivace funkce (1) vhodné ji předlogaritmovat
(3) .
Případ záporných hodnot y Nyní zvažte případ, kdy proměnná může nabývat kladných i záporných hodnot. V tomto případě vezměte logaritmus modulu a najděte jeho derivaci: Tedy v

obecný případ
.
, musíte najít derivaci logaritmu modulu funkce.

Porovnáním (2) a (3) máme: To znamená, že formální výsledek výpočtu logaritmické derivace nezávisí na tom, zda jsme vzali modulo nebo ne. Při výpočtu logaritmické derivace se tedy nemusíme starat o to, jaké znaménko funkce má. Tuto situaci lze objasnit pomocí komplexních čísel. Nechť je pro některé hodnoty x záporné: .
.
Pokud uvažujeme pouze reálná čísla, pak funkce není definována. Pokud však uvedeme v úvahu
.
komplexní čísla
.

, pak dostaneme následující:

To znamená, že funkce a se liší komplexní konstantou: Protože derivace konstanty je nula, pak :
.
Vlastnost logaritmické derivace Z takové úvahy vyplývá, že logaritmická derivace se nezmění, pokud funkci vynásobíte libovolnou konstantou Opravdu, pomocí vlastnosti logaritmu , vzorce derivační součet

.

A

Logaritmickou derivaci je vhodné použít v případech, kdy se původní funkce skládá ze součinu mocninných nebo exponenciálních funkcí. V tomto případě logaritmická operace převede součin funkcí na jejich součet. To zjednodušuje výpočet derivátu.

Příklad 1

Najděte derivaci funkce:
.

Řešení

Pojďme logaritmovat původní funkci:
.

Rozlišujme s ohledem na proměnnou x.
V tabulce derivátů najdeme:
.
Aplikujeme pravidlo derivace komplexních funkcí.
;
;
;
;
(A1.1) .
Vynásobte:

.

Takže jsme našli logaritmickou derivaci:
.
Odtud najdeme derivaci původní funkce:
.

Poznámka

Pokud chceme použít pouze reálná čísla, měli bychom vzít logaritmus modulu původní funkce:
.
Pak
;
.
A dostali jsme vzorec (A1.1). Výsledek se tedy nezměnil.

Odpověď

Příklad 2

Pomocí logaritmické derivace najděte derivaci funkce
.

Řešení

Vezměme si logaritmy:
(A2.1) .
Diferencujte s ohledem na proměnnou x:
;
;

;
;
;
.

Vynásobte:
.
Odtud dostaneme logaritmickou derivaci:
.

Derivát původní funkce:
.

Poznámka

Zde je původní funkce nezáporná: .
.
Je definován na .

Pokud nepředpokládáme, že logaritmus lze definovat pro záporné hodnoty argumentu, měl by být vzorec (A2.1) zapsán následovně:
,
Protože

Odpověď

A

to neovlivní konečný výsledek.
.

Řešení

Příklad 3
Najděte derivaci .

Provádíme derivaci pomocí logaritmické derivace. Vezměme si logaritmus a vezmeme v úvahu, že:
;
;
;
(A3.1) .

Derivováním získáme logaritmickou derivaci.

.

Poznámka

(A3.2)
.
Od té doby
;

.
Proveďme výpočty bez předpokladu, že logaritmus lze definovat pro záporné hodnoty argumentu. Chcete-li to provést, vezměte logaritmus modulu původní funkce:

Pak místo (A3.1) máme:

Při porovnání s (A3.2) vidíme, že výsledek se nezměnil.

Nejprve oddělme tyto definice. Co je to logaritmus (log)? Jedná se o ukazatel výkonu, na který musí být základna zvednuta, aby bylo dosaženo zadaného čísla. Pokud to není jasné, podívejme se na základní příklad.

V tomto případě musí být základna ve spodní části zvednuta na druhou mocninu, abyste získali číslo 4.

Nyní se podívejme na druhý koncept. Derivace funkce v jakékoli formě je pojem, který charakterizuje změnu funkce v daném bodě. Jedná se však o školní osnovy, a pokud máte s těmito pojmy individuálně problémy, vyplatí se téma zopakovat.

Derivace logaritmu

V Zadání jednotné státní zkoušky Na toto téma lze uvést několik problémů jako příklad. Pro začátek nejjednodušší logaritmická derivace. Je nutné najít derivaci následující funkce.

Musíme najít další derivaci

Existuje speciální vzorec.

V tomto případě x=u, log3x=v. Do vzorce dosadíme hodnoty z naší funkce.

Derivace x bude rovna jedné. Logaritmus je trochu složitější. Ale princip pochopíte, když hodnoty jednoduše dosadíte. Připomeňme, že derivace lg x je derivace dekadického logaritmu a derivace ln x je derivace přirozeného logaritmu (na základě e).

Nyní stačí výsledné hodnoty zapojit do vzorce. Zkuste to sami, pak zkontrolujeme odpověď.

Co tady může být pro některé problém? Zavedli jsme koncept přirozeného logaritmu. Pojďme si o tom popovídat a zároveň vymyslet, jak s tím problémy řešit. Neuvidíte nic složitého, zvláště když pochopíte princip jeho fungování. Měli byste si na to zvyknout, protože se často používá v matematice (ve vyšších vzdělávací instituce zejména).

Derivace přirozeného logaritmu

Ve svém jádru je to derivace logaritmu k základu e (což je iracionální číslo, které je přibližně 2,7). Ve skutečnosti je ln velmi jednoduchý, takže se často používá v matematice obecně. Vlastně řešit problém s tím taky nebude problém. Stojí za to připomenout, že derivace přirozeného logaritmu k základu e bude rovna jedné dělené x. Řešení následujícího příkladu bude nejvíce odhalující.

Představme si to jako komplexní funkci skládající se ze dvou jednoduchých.

Stačí převést

Hledáme derivaci u vzhledem k x

Když potřebujeme provést diferenciaci exponenciálně výkonová funkce tvaru y = (f (x)) g (x) nebo pro transformaci těžkopádného výrazu pomocí zlomků můžete použít logaritmickou derivaci. V rámci tohoto materiálu uvedeme několik příkladů použití tohoto vzorce.

Abyste tomuto tématu porozuměli, musíte vědět, jak používat derivační tabulku, znát základní pravidla diferenciace a rozumět tomu, co je derivace. komplexní funkce.

Jak odvodit vzorec pro logaritmickou derivaci

Chcete-li získat tento vzorec, musíte nejprve provést logaritmus se základem e a poté výslednou funkci zjednodušit použitím základních vlastností logaritmu. Poté musíte vypočítat derivaci implicitně zadané funkce:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y (ln(f(x)))"

Příklady použití vzorce

Ukažme si na příkladu, jak se to dělá.

Příklad 1

Vypočítejte derivaci exponenciální mocninné funkce proměnné x na mocninu x.

Řešení

Provedeme logaritmaci pomocí zadaného základu a dostaneme ln y = ln x x. Vezmeme-li v úvahu vlastnosti logaritmu, lze to vyjádřit jako ln y = x · ln x. Nyní rozlišíme levou a pravou stranu rovnosti a dostaneme výsledek:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

Odpověď: x x " = x x (ln x + 1)

Tento problém lze vyřešit jiným způsobem, bez logaritmické derivace. Nejprve musíme transformovat původní výraz, abychom se dostali od derivování exponenciální mocninné funkce k výpočtu derivace komplexní funkce, například:

y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y " = (e x · ln x) " = e x · ln x · x · ln x " = x x · x " · ln x + x · (ln x) " = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1

Zvažme ještě jeden problém.

Příklad 2

Vypočítejte derivaci funkce y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x .

Řešení

Původní funkce je prezentována jako zlomek, což znamená, že problém můžeme vyřešit pomocí derivace. Tato funkce je však poměrně složitá, což znamená, že bude potřeba mnoho transformací. Takže je lepší použít logaritmickou derivaci zde y " = y ln (f (x)) " . Vysvětlíme si, proč je tento výpočet pohodlnější.

Začněme nalezením ln(f(x)). Pro další převod potřebujeme následující vlastnosti logaritmu:

• logaritmus zlomku může být reprezentován jako rozdíl logaritmů;
• logaritmus součinu může být reprezentován jako součet;
• má-li výraz pod logaritmem mocninu, můžeme ji vyjmout jako koeficient.

Převedeme výraz:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x

Výsledkem je poměrně jednoduchý výraz, jehož derivaci lze snadno vypočítat:

(ln (f (x))) " = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x " = = 1 3 ln (x 2 + 1) " - 3 2 ln x " - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 " - 3 2 1 x - 1 2 1 sin x (hřích x) " = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 hřích x

Nyní je třeba to, co jsme dostali, dosadit do vzorce pro logaritmickou derivaci.

Odpověď: y " = y ln (f (x)) " = x 2 + 1 3 x 3 sin x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Pro posílení materiálu si prostudujte několik dalších příkladů. Zde budou uvedeny pouze výpočty s minimem komentářů.

Příklad 3

Je dána exponenciální mocninná funkce y = (x 2 + x + 1) x 3 . Vypočítejte jeho derivaci.

Řešení:

y " = y · (ln (f (x)) " = (x 2 + x + 1) x 3 · ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

Odpověď: y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

Příklad 4

Vypočítejte derivaci výrazu y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 .

Řešení

Aplikujeme vzorec pro logaritmickou derivaci.

y " = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " = = y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y · (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

Odpověď:

y " = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1 ) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2) .

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter