Rovnice podle Cramerova vzorce. Lineární rovnice
Uvažujme soustavu 3 rovnic se třemi neznámými
Pomocí determinantů třetího řádu lze řešení takové soustavy zapsat ve stejném tvaru jako u soustavy dvou rovnic, tzn.
(2.4)
pokud 0. Tady
to je Cramerovo pravidlo řešení systému tří lineární rovnice se třemi neznámými.
Příklad 2.3. Vyřešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla:
Řešení . Nalezení determinantu hlavní matice systému
Od 0 pak k nalezení řešení systému můžete použít Cramerovo pravidlo, ale nejprve vypočítat tři další determinanty:
Zkouška:
Řešení je tedy nalezeno správně.
Cramerova pravidla odvozená pro lineární systémy 2. a 3. řádu naznačují, že stejná pravidla lze formulovat pro lineární systémy libovolného řádu. Opravdu se odehrává
Cramerův teorém. Kvadratická soustava lineárních rovnic s nenulovým determinantem hlavní matice soustavy (0) má jedno a pouze jedno řešení a toto řešení se vypočítá podle vzorců
(2.5)
Kde – hlavní determinant matice, i – maticový determinant, odvozený od hlavního, náhradníhoisloupec volných členů.
Všimněte si, že pokud =0, pak Cramerovo pravidlo neplatí. To znamená, že systém buď nemá vůbec žádná řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení.
Po zformulování Cramerova teorému přirozeně vyvstává otázka výpočtu determinantů vyššího řádu.
2.4. determinanty n-tého řádu
Další vedlejší M ijživel A ij se nazývá determinant získaný z daného vymazáním i-tý řádek a j-tý sloupec. Algebraické sčítání A ijživel A ij se nazývá moll tohoto prvku, braný se znaménkem (–1) i + j, tj. A ij = (–1) i + j M ij .
Najdeme například vedlejší a algebraické doplňky prvků A 23 a A 31 determinantů
Dostaneme
Pomocí konceptu algebraického doplňku můžeme formulovat determinantní expanzní větan-té pořadí podle řádku nebo sloupce.
Věta 2.1. Maticový determinantAse rovná součtu součinů všech prvků nějakého řádku (nebo sloupce) a jejich algebraických doplňků:
(2.6)
Tato věta je základem jedné z hlavních metod pro výpočet determinantů, tzv. způsob redukce objednávky. V důsledku expanze determinantu nřádu v libovolném řádku nebo sloupci, dostaneme n determinantů ( n–1)-tý řád. Aby bylo takových determinantů méně, je vhodné zvolit řádek nebo sloupec, který má nejvíce nul. V praxi se expanzní vzorec pro determinant obvykle zapisuje jako:
těch. algebraická sčítání jsou psána výslovně v podmínkách minors.
Příklady 2.4. Vypočítejte determinanty tak, že je nejprve rozbalíte do libovolného řádku nebo sloupce. Obvykle v takových případech vyberte sloupec nebo řádek, který má nejvíce nul. Vybraný řádek nebo sloupec bude označen šipkou.
2.5. Základní vlastnosti determinantů
Rozšířením determinantu v libovolném řádku nebo sloupci získáme n determinantů ( n–1)-tý řád. Potom každý z těchto determinantů ( n–1)-tý řád lze také rozložit na součet determinantů ( n–2) pořadí. Pokračováním v tomto procesu lze dosáhnout determinantů 1. řádu, tzn. na prvky matice, jejíž determinant se počítá. Takže pro výpočet determinantů 2. řádu budete muset vypočítat součet dvou členů, pro determinanty 3. řádu - součet 6 členů, pro determinanty 4. řádu - 24 členů. Počet členů bude prudce narůstat s rostoucím pořadím determinantu. To znamená, že výpočet determinantů velmi vysokých řádů se stává poměrně pracným úkolem, nad síly ani počítače. Determinanty však lze vypočítat i jiným způsobem, pomocí vlastností determinantů.
Nemovitost 1 . Determinant se nezmění, pokud se v něm prohodí řádky a sloupce, tzn. při transpozici matice:
.
Tato vlastnost udává rovnost řádků a sloupců determinantu. Jinými slovy, jakýkoli výrok o sloupcích determinantu platí pro jeho řádky a naopak.
Nemovitost 2 . Determinant změní znaménko, když se zamění dva řádky (sloupce).
Následek . Pokud má determinant dva stejné řádky (sloupce), pak je roven nule.
Nemovitost 3 . Společný faktor všech prvků v libovolném řádku (sloupci) lze vyjmout ze znaménka determinantu.
Například,
Následek . Pokud jsou všechny prvky některého řádku (sloupce) determinantu rovny nule, pak samotný determinant je roven nule.
Nemovitost 4 . Determinant se nezmění, pokud se prvky jednoho řádku (sloupce) přidají k prvkům jiného řádku (sloupce) vynásobené nějakým číslem.
Například,
Nemovitost 5 . Determinant maticového součinu se rovná součinu maticových determinantů:
Cramerova metoda neboli tzv. Cramerovo pravidlo je způsob, jak hledat neznámé veličiny ze soustav rovnic. Lze jej použít pouze v případě, že počet hodnot, které hledáte, je ekvivalentní číslu algebraické rovnice v systému, to znamená, že hlavní matice vytvořená ze systému musí být čtvercová a nesmí obsahovat nula řádků, a také pokud její determinant nesmí být nulový.
Věta 1
Cramerův teorém Pokud se hlavní determinant $D$ hlavní matice, sestavený na základě koeficientů rovnic, nerovná nule, pak je soustava rovnic konzistentní a má jedinečné řešení. Řešení takové soustavy se vypočítá pomocí tzv. Cramerových vzorců pro řešení soustav lineárních rovnic: $x_i = \frac(D_i)(D)$
Co je Cramerova metoda
Podstata Cramerovy metody je následující:
- Abychom našli řešení systému Cramerovou metodou, nejprve vypočteme hlavní determinant matice $D$. Když se vypočítaný determinant hlavní matice při výpočtu Cramerovou metodou rovná nule, pak systém nemá jediné řešení nebo má nekonečný počet řešení. V tomto případě se pro nalezení obecné nebo nějaké základní odpovědi pro systém doporučuje použít Gaussovu metodu.
- Poté musíte vyměnit poslední sloupec hlavní matice na sloupci volných termínů a vypočítejte determinant $D_1$.
- Opakujte totéž pro všechny sloupce a získáte determinanty od $D_1$ do $D_n$, kde $n$ je číslo sloupce zcela vpravo.
- Po nalezení všech determinantů $D_1$...$D_n$ lze neznámé proměnné vypočítat pomocí vzorce $x_i = \frac(D_i)(D)$.
Techniky výpočtu determinantu matice
K výpočtu determinantu matice s rozměrem větším než 2 x 2 lze použít několik metod:
- Pravidlo trojúhelníků nebo pravidlo Sarrus, připomínající stejné pravidlo. Podstata trojúhelníkové metody spočívá v tom, že při výpočtu determinantu součinu všech čísel spojených na obrázku červenou čarou vpravo se zapisují se znaménkem plus a všechna čísla jsou na obrázku spojena podobným způsobem na Obr. vlevo - se znaménkem mínus. Obě pravidla jsou vhodná pro matice 3 x 3. V případě Sarrusova pravidla se nejprve přepíše samotná matice a vedle ní se znovu přepíše její první a druhý sloupec. Maticí se kreslí úhlopříčky a tyto další sloupce, členy matice ležící na hlavní diagonále nebo rovnoběžně s ní se píší se znaménkem plus a prvky ležící na vedlejší diagonále nebo rovnoběžně s ní se píší se znaménkem mínus.
Obrázek 1. Pravidlo trojúhelníků pro výpočet determinantu pro Cramerovu metodu
- U metody známé jako Gaussova metoda se tato metoda také někdy označuje jako redukce determinantu. V tomto případě je matice transformována a převedena do trojúhelníkového tvaru a poté jsou vynásobena všechna čísla na hlavní diagonále. Je třeba mít na paměti, že při takovém hledání determinantu nelze násobit nebo dělit řádky nebo sloupce čísly, aniž bychom je vyňali jako faktor nebo dělitel. V případě hledání determinantu je možné pouze vzájemně odečítat a sčítat řádky a sloupce s tím, že se odečtený řádek předem vynásobí nenulovým faktorem. Také s každou permutací řádků nebo sloupců matice je třeba pamatovat na nutnost změnit konečné znaménko matice.
- Při řešení Cramerova SLAE se 4 neznámými je nejlepší použít k hledání a nalezení determinantů Gaussovu metodu nebo určit determinant prostřednictvím hledání nezletilých.
Řešení soustav rovnic Cramerovou metodou
Aplikujeme Cramerovu metodu pro systém 2 rovnic a dvou požadovaných veličin:
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$
Pro větší pohodlí si jej zobrazíme v rozšířené podobě:
$A = \begin(pole)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(pole)$
Najděte determinant hlavní matice, nazývaný také hlavní determinant systému:
$D = \begin(pole)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(pole) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Pokud se hlavní determinant nerovná nule, pak pro vyřešení slough Cramerovou metodou je nutné vypočítat několik dalších determinantů ze dvou matic se sloupci hlavní matice nahrazenými řadou volných členů:
$D_1 = \begin(pole)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(pole) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(pole)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(pole) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Nyní najdeme neznámé $x_1$ a $x_2$:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
Příklad 1
Cramerova metoda pro řešení SLAE s hlavní maticí 3. řádu (3 x 3) a třemi požadovanými.
Řešte soustavu rovnic:
$\začátek(případů) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$
Hlavní determinant matice vypočítáme pomocí výše uvedeného pravidla pod odstavcem číslo 1:
$D = \begin(pole)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(pole) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $
A nyní tři další determinanty:
$D_1 = \begin(pole)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(pole) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 USD
$D_2 = \begin(pole)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(pole) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD
$D_3 = \begin(pole)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(pole) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 \u003d – 60 USD
Najdeme požadované hodnoty:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
2. Řešení soustav rovnic maticovou metodou (pomocí inverzní matice).
3. Gaussova metoda řešení soustav rovnic.
Cramerova metoda.
Cramerova metoda se používá k řešení soustav lineárních algebraických rovnic ( SLAU).
Vzorce na příkladu soustavy dvou rovnic se dvěma proměnnými.
Vzhledem k tomu: Vyřešte soustavu Cramerovou metodou
O proměnných X A na.
Řešení:
Najděte determinant matice složené z koeficientů soustavy Výpočet determinantů. : 
Aplikujme Cramerovy vzorce a najdeme hodnoty proměnných: 
A 
.
Příklad 1:
Řešte soustavu rovnic:
ohledně proměnných X A na.
Řešení:
Nahradíme první sloupec v tomto determinantu sloupcem koeficientů z pravé strany systému a zjistíme jeho hodnotu: 
Udělejme podobnou akci a nahradíme druhý sloupec v prvním determinantu: 
Použitelný Cramerovy vzorce a najděte hodnoty proměnných:
A .
Odpovědět: 
Komentář: Touto metodou lze řešit systémy vyšších dimenzí.
Komentář: Pokud se ukáže, že , a není možné dělit nulou, pak říkají, že systém nemá jedinečné řešení. V tomto případě má systém buď nekonečně mnoho řešení, nebo žádná řešení.
Příklad 2(nekonečné množství řešení):
Řešte soustavu rovnic:
ohledně proměnných X A na.
Řešení:
Najděte determinant matice složený z koeficientů systému: 
Řešení soustav substituční metodou. 
První z rovnic systému je rovnost, která platí pro všechny hodnoty proměnných (protože 4 se vždy rovná 4). Takže zbývá jen jedna rovnice. Toto je vztahová rovnice mezi proměnnými.
Dostali jsme, že řešením systému je jakákoliv dvojice hodnot proměnných souvisejících rovností.
Společné rozhodnutí bude napsáno takto: 
Konkrétní řešení lze určit volbou libovolné hodnoty y a výpočtem x z této vztahové rovnice. 
atd.
Takových řešení je nekonečně mnoho.
Odpovědět: společné rozhodnutí
Soukromá řešení:
Příklad 3(žádná řešení, systém je nekonzistentní):
Řešte soustavu rovnic:
Řešení:
Najděte determinant matice složený z koeficientů systému: 
Nemůžete použít Cramerovy vzorce. Vyřešme tento systém substituční metodou 
Druhá rovnice systému je rovnost, která neplatí pro žádné hodnoty proměnných (samozřejmě, protože -15 se nerovná 2). Pokud jedna z rovnic systému neplatí pro žádné hodnoty proměnných, pak celý systém nemá řešení.
Odpovědět:žádná řešení
Metody Kramer A Gaussův jedno z nejoblíbenějších řešení SLAU. V některých případech je navíc vhodné použít specifické metody. Sezení je blízko a nyní je čas je zopakovat nebo zvládnout od začátku. Dnes se zabýváme řešením Cramerovou metodou. Ostatně řešení soustavy lineárních rovnic Cramerovou metodou je velmi užitečná dovednost.
Soustavy lineárních algebraických rovnic
Soustava lineárních algebraických rovnic je soustava rovnic tvaru:
Hodnota nastavena X , při kterém se rovnice systému mění v identity, se nazývá řešení systému, A A b jsou skutečné koeficienty. Jednoduchý systém sestávající ze dvou rovnic o dvou neznámých lze vyřešit myšlenkově nebo vyjádřením jedné proměnné z hlediska druhé. Ale v SLAE může být mnohem více než dvě proměnné (x) a jednoduché školní manipulace jsou zde nepostradatelné. Co dělat? Vyřešte například SLAE Cramerovou metodou!
Nechte tedy systém být n rovnice s n neznámý.
Takový systém lze přepsat do maticové formy
Tady A je hlavní maticí systému, X A B , respektive sloupcové matice neznámých proměnných a volných členů.
Řešení SLAE Cramerovou metodou
Pokud se determinant hlavní matice nerovná nule (matice je nesingulární), lze systém vyřešit pomocí Cramerovy metody.
Podle Cramerovy metody je řešení nalezeno podle vzorců:
Tady delta je determinantem hlavní matice a delta x n-tý - determinant získaný z determinantu hlavní matice nahrazením n-tého sloupce sloupcem volných členů.
To je celý smysl Cramerovy metody. Nahrazení hodnot nalezených výše uvedenými vzorci X do požadovaného systému, jsme přesvědčeni o správnosti (nebo naopak) našeho řešení. Abychom vám usnadnili pochopení pointy, zde je příklad. detailní řešení SLAE Cramerovou metodou:
I když se vám to napoprvé nepodaří, nenechte se odradit! S trochou cviku začnete vyskakovat POMALU jako ořechy. Navíc nyní není absolutně nutné vrtat se v notebooku, řešit těžkopádné výpočty a psát na prut. SLAE je snadné řešit Cramerovou metodou online, pouhým dosazením koeficientů do hotového formuláře. vyzkoušet online kalkulačkařešení Cramerovou metodou mohou být např. na této stránce.
A pokud se systém ukázal jako tvrdohlavý a nevzdává se, vždy se můžete obrátit na naše autory o pomoc, například. Pokud je v systému alespoň 100 neznámých, určitě to vyřešíme správně a právě včas!
V první části jsme se zabývali některým teoretickým materiálem, substituční metodou a také metodou sčítání systémových rovnic po členu. Všem, kteří se na stránky dostali přes tuto stránku, doporučuji přečíst si první díl. Možná se některým návštěvníkům bude zdát látka příliš jednoduchá, ale v průběhu řešení soustav lineárních rovnic jsem učinil řadu velmi důležitých poznámek a závěrů týkajících se řešení matematické problémy obvykle.
A nyní si rozebereme Cramerovo pravidlo a také řešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice(maticová metoda). Všechny materiály jsou prezentovány jednoduše, podrobně a přehledně, téměř všichni čtenáři se budou moci naučit řešit systémy pomocí výše uvedených metod.
Nejprve se podrobně zabýváme Cramerovým pravidlem pro systém dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Proč? - Po všem nejjednodušší systém lze řešit školní metodou, termínovým sčítáním!
Faktem je, že i když někdy, ale existuje takový úkol - vyřešit systém dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými pomocí Cramerových vzorců. Za druhé, jednodušší příklad vám pomůže pochopit, jak použít Cramerovo pravidlo pro složitější případ – systém tří rovnic se třemi neznámými.
Navíc existují soustavy lineárních rovnic se dvěma proměnnými, které je vhodné řešit přesně podle Cramerova pravidla!
Zvažte soustavu rovnic
V prvním kroku vypočítáme determinant , je tzv hlavní determinant systému.
Gaussova metoda.
Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další dva determinanty:
A
V praxi lze označovat i výše uvedené determinanty Latinské písmeno.
Kořeny rovnice najdeme podle vzorců:
,
Příklad 7
Řešte soustavu lineárních rovnic 
Řešení: Vidíme, že koeficienty rovnice jsou poměrně velké, na pravé straně jsou desetinná místa s čárkou. Čárka je v praktických úlohách z matematiky poměrně vzácným hostem, tento systém jsem převzal z ekonometrického problému.
Jak takový systém vyřešit? Můžete se pokusit vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé, ale v tomto případě se vám jistě dostanou strašné efektní zlomky, se kterými je extrémně nepohodlné pracovat a návrh řešení bude vypadat prostě hrozně. Druhou rovnici můžete násobit 6 a odečítat člen po členu, ale zde se objeví stejné zlomky.
Co dělat? V takových případech přijdou na pomoc Cramerovy vzorce.
;
;
Odpovědět: ,
Oba kořeny mají nekonečné ocasy a nacházejí se přibližně, což je pro ekonometrické problémy docela přijatelné (a dokonce běžné).
Komentáře zde nejsou potřeba, protože úloha je řešena podle hotových vzorců, je tu však jedno upozornění. Při použití této metody povinný Fragmentem zadání je následující fragment: "takže systém má jedinečné řešení". V opačném případě vás může recenzent potrestat za nerespektování Cramerovy věty.
Nebude zbytečné kontrolovat, což je vhodné provést na kalkulačce: nahradíme přibližné hodnoty na levé straně každé rovnice systému. V důsledku toho by se s malou chybou měla získat čísla, která jsou na pravé straně.
Příklad 8
Vyjádřete svou odpověď v obyčejných nesprávných zlomcích. Proveďte kontrolu.
Toto je příklad samostatného řešení (příklad jemného designu a odpovědi na konci lekce).
Přejdeme k úvahám o Cramerově pravidle pro soustavu tří rovnic se třemi neznámými: 
Najdeme hlavní determinantu systému: 
Jestliže , pak systém má nekonečně mnoho řešení nebo je nekonzistentní (nemá žádná řešení). V tomto případě Cramerovo pravidlo nepomůže, je třeba použít Gaussovu metodu.
Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další tři determinanty: 
, 
, 
A nakonec se odpověď vypočítá podle vzorců: 
Jak vidíte, případ „tři po třech“ se v zásadě neliší od případu „dva po dvou“, sloupec volných výrazů postupně „kráčí“ zleva doprava podél sloupců hlavního determinantu.
Příklad 9
Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců. 
Řešení: Vyřešme soustavu pomocí Cramerových vzorců. 
, takže systém má unikátní řešení.
Odpovědět: 
.
Vlastně zde není opět co komentovat, vzhledem k tomu, že se rozhoduje podle hotových vzorců. Ale je tu pár poznámek.
Stává se, že v důsledku výpočtů se získají „špatné“ neredukovatelné zlomky, například: .
Doporučuji následující "léčebný" algoritmus. Pokud není po ruce žádný počítač, uděláme toto:
1) Ve výpočtech může být chyba. Jakmile narazíte na „špatný“ výstřel, musíte okamžitě zkontrolovat, zda je podmínka přepsána správně. Pokud je podmínka přepsána bez chyb, pak je potřeba determinanty přepočítat pomocí rozšíření v jiném řádku (sloupci).
2) Pokud nebyly v důsledku kontroly nalezeny žádné chyby, pravděpodobně došlo k překlepu v podmínce zadání. V takovém případě klidně a OPATRNĚ vyřešte úkol až do konce a pak nezapomeňte zkontrolovat a po rozhodnutí jej sepsat na čistopis. Kontrola zlomkové odpovědi je samozřejmě nepříjemný úkol, ale bude to odzbrojující argument pro učitele, který, no, opravdu rád dává mínus za každou špatnou věc. Jak zacházet se zlomky je podrobně popsáno v odpovědi na příklad 8.
Máte-li po ruce počítač, pak k jeho kontrole použijte automatizovaný program, který si můžete zdarma stáhnout hned na začátku lekce. Mimochodem, nejvýhodnější je použít program hned (ještě před spuštěním řešení), hned uvidíte mezikrok, ve kterém jste udělali chybu! Stejná kalkulačka automaticky vypočítá řešení systému maticová metoda.
Druhá poznámka. Čas od času existují systémy, v jejichž rovnicích některé proměnné chybí, například: 
Zde v první rovnici není žádná proměnná, ve druhé není žádná proměnná. V takových případech je velmi důležité správně a OPATRNĚ zapsat hlavní determinant: 
– místo chybějících proměnných se dosadí nuly.
Mimochodem, je racionální otevírat determinanty s nulami v řádku (sloupci), ve kterém je nula umístěna, protože existuje znatelně méně výpočtů.
Příklad 10
Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců. 
Toto je příklad pro samostatné řešení (dokončení ukázky a odpověď na konci lekce).
Pro případ soustavy 4 rovnic se 4 neznámými jsou Cramerovy vzorce zapsány podle podobných principů. Živý příklad můžete vidět v lekci Determinant Properties. Snížení řádu determinantu - pět determinantů 4. řádu je celkem řešitelných. I když úkol už hodně připomíná profesorovu botu na hrudi šťastného studenta.
Řešení soustavy pomocí inverzní matice
Metoda inverzní matice je v podstatě speciální případ maticová rovnice(Viz příklad č. 3 zadané lekce).
Chcete-li prostudovat tuto část, musíte být schopni rozšířit determinanty, najít inverzní matici a provést násobení matic. Příslušné odkazy budou uvedeny v průběhu výkladu.
Příklad 11
Řešte soustavu maticovou metodou 
Řešení: Systém zapíšeme v maticovém tvaru:
, Kde 
Podívejte se prosím na soustavu rovnic a matic. Na jakém principu zapisujeme prvky do matic, myslím každý chápe. Jediná poznámka: pokud by v rovnicích chyběly nějaké proměnné, musely by se na odpovídající místa v matici dosadit nuly.
Inverzní matici najdeme podle vzorce:
, kde je transponovaná matice algebraických doplňků odpovídajících prvků matice .
Nejprve se vypořádejme s determinantem:
Zde je determinant rozšířen o první řádek.
Pozornost! Jestliže , pak inverzní matice neexistuje a systém není možné řešit maticovou metodou. V tomto případě je systém řešen eliminací neznámých (Gaussova metoda).
Nyní je třeba vypočítat 9 nezletilých a zapsat je do matice nezletilých 
Odkaz: Je užitečné znát význam dvojitých indexů v lineární algebře. První číslice je číslo řádku, na kterém je daný prvek. Druhá číslice je číslo sloupce, ve kterém se prvek nachází: 
To znamená, že dvojitý dolní index označuje, že prvek je v prvním řádku, třetím sloupci, zatímco například prvek je ve 3. řádku, 2. sloupci
