Kegel. Kegelstumpf

Konische Oberfläche ist die Fläche, die von allen geraden Linien gebildet wird, die durch jeden Punkt einer gegebenen Kurve und einen Punkt außerhalb der Kurve verlaufen (Abb. 32).

Diese Kurve heißt Führung , gerade - Bildung , Punkt – Spitze konische Oberfläche.

Gerade kreisförmige konische Oberfläche ist die Fläche, die von allen geraden Linien gebildet wird, die durch jeden Punkt eines bestimmten Kreises verlaufen, und einem Punkt auf einer geraden Linie, die senkrecht zur Kreisebene steht und durch deren Mittelpunkt verläuft. Im Folgenden nennen wir diese Fläche kurz konische Oberfläche (Abb. 33).

Kegel (gerader kreisförmiger Kegel ) ist ein geometrischer Körper, der durch eine konische Oberfläche und eine Ebene begrenzt wird, die parallel zur Ebene des Führungskreises verläuft (Abb. 34).

Reis. 32 Abb. 33 Abb. 34

Ein Kegel kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Achse entsteht, die einen der Schenkel des Dreiecks enthält.

Der Kreis, der einen Kegel umschließt, heißt Basis . Der Scheitelpunkt einer Kegelfläche wird aufgerufen Spitze Kegel Das Segment, das die Spitze eines Kegels mit der Mitte seiner Basis verbindet, heißt Höhe Kegel Die Segmente, die eine konische Oberfläche bilden, werden genannt Bildung Kegel Achse eines Kegels ist eine gerade Linie, die durch die Spitze des Kegels und die Mitte seiner Basis verläuft. Axialschnitt nennt man den Abschnitt, der durch die Achse des Kegels verläuft. Seitenflächenentwicklung eines Kegels ist ein Sektor, dessen Radius gleich der Länge Erzeugende des Kegels, und die Länge des Sektorbogens ist gleich dem Umfang der Kegelbasis.

Die richtigen Formeln für einen Kegel sind:

Wo R– Basisradius;

H- Höhe;

l– Länge der Erzeugenden;

S-Basis– Grundfläche;

S-Seite

S voll

V– Volumen des Kegels.

Kegelstumpf wird der Teil des Kegels genannt, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis des Kegels eingeschlossen ist (Abb. 35).

Ein Kegelstumpf kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechteckigen Trapezes um eine Achse entsteht, die die Seite des Trapezes enthält, die senkrecht zu den Basen steht.

Die beiden Kreise, die einen Kegel umschließen, heißen sein Gründe . Höhe eines Kegelstumpfes ist der Abstand zwischen seinen Basen. Die Segmente, die die konische Oberfläche eines Kegelstumpfes bilden, werden genannt Bildung . Eine gerade Linie, die durch die Mittelpunkte der Basen verläuft, heißt Achse Kegelstumpf. Axialschnitt nennt man den Abschnitt, der durch die Achse eines Kegelstumpfes verläuft.

Für einen Kegelstumpf lauten die richtigen Formeln:

(8)

Wo R– Radius der unteren Basis;

R– Radius der oberen Basis;

H– Höhe, l – Länge der Erzeugenden;

S-Seite– seitliche Oberfläche;

S voll– Gesamtfläche;

V– Volumen eines Kegelstumpfes.

Beispiel 1. Der zur Basis parallele Querschnitt des Kegels teilt die Höhe im Verhältnis 1:3, gerechnet von der Spitze. Finden Sie die Mantelfläche eines Kegelstumpfes, wenn der Radius der Basis und die Höhe des Kegels 9 cm und 12 cm betragen.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 36).

Um die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes zu berechnen, verwenden wir Formel (8). Lassen Sie uns die Radien der Basen ermitteln Ungefähr 1 A Und Ungefähr 1 V und formen AB.

Betrachten Sie ähnliche Dreiecke SO2B Und SO 1 A, Ähnlichkeitskoeffizient also

Von hier

Seitdem

Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich:

Antwort: .

Beispiel 2. Ein Viertelkreis mit Radius wird zu einer Kegelfläche gefaltet. Finden Sie den Radius der Basis und die Höhe des Kegels.

Lösung. Der Quadrant des Kreises ist die Abwicklung der Mantelfläche des Kegels. Bezeichnen wir R– Radius seiner Basis, H - Höhe. Berechnen wir die Mantelfläche mit der Formel: . Sie entspricht der Fläche eines Viertelkreises: . Wir erhalten eine Gleichung mit zwei Unbekannten R Und l(einen Kegel bilden). In diesem Fall ist die Erzeugende gleich dem Radius des Viertelkreises R, was bedeutet, dass wir die folgende Gleichung erhalten: , woraus wir den Radius der Basis und des Generators kennen und so die Höhe des Kegels ermitteln:

Antwort: 2cm, .

Beispiel 3. Ein rechteckiges Trapez mit einem spitzen Winkel von 45°, einer kleineren Grundfläche von 3 cm und einer geneigten Seite gleich , dreht sich um eine Seite senkrecht zu den Grundflächen. Bestimmen Sie das Volumen des resultierenden Rotationskörpers.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 37).

Als Ergebnis der Drehung erhalten wir einen Kegelstumpf; um sein Volumen zu ermitteln, berechnen wir den Radius der größeren Basis und die Höhe. Im Trapez O 1 O 2 AB wir werden dirigieren AC^O 1 B. B gilt: Das bedeutet, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist A.C.=B.C.=3 cm.

Antwort:

Beispiel 4. Ein Dreieck mit den Seitenlängen 13 cm, 37 cm und 40 cm dreht sich um eine äußere Achse, die parallel zur größeren Seite verläuft und sich in einem Abstand von 3 cm von dieser befindet (die Achse liegt in der Ebene des Dreiecks). Finden Sie die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers.

Lösung . Machen wir eine Zeichnung (Abb. 38).

Die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers besteht aus den Mantelflächen zweier Kegelstümpfe und der Mantelfläche eines Zylinders. Um diese Flächen zu berechnen, ist es notwendig, die Radien der Grundflächen der Kegel und des Zylinders zu kennen ( SEI Und O.C.), Kegel bildend ( B.C. Und A.C.) und Zylinderhöhe ( AB). Das einzige Unbekannte ist CO. Dies ist der Abstand von der Seite des Dreiecks zur Drehachse. Wir werden finden Gleichstrom. Die Fläche des Dreiecks ABC auf einer Seite ist gleich dem Produkt aus der Hälfte der Seite AB und der darauf bezogenen Höhe Gleichstrom Da wir hingegen alle Seiten des Dreiecks kennen, berechnen wir dessen Fläche mithilfe der Heron-Formel.

Reis. 1. Gegenstände aus dem Leben, die die Form eines Kegelstumpfes haben

Woher kommen Ihrer Meinung nach neue Formen in der Geometrie? Alles ist ganz einfach: Ein Mensch stößt im Leben auf ähnliche Gegenstände und denkt sich einen Namen dafür aus. Betrachten wir einen Stand, auf dem Löwen in einem Zirkus sitzen, ein Stück Karotte, das wir erhalten, wenn wir nur einen Teil davon schneiden, einen aktiven Vulkan und zum Beispiel das Licht einer Taschenlampe (siehe Abb. 1).

Reis. 2. Geometrische Formen

Wir sehen, dass alle diese Figuren eine ähnliche Form haben – sowohl unten als auch oben sind sie durch Kreise begrenzt, verjüngen sich jedoch nach oben (siehe Abb. 2).

Reis. 3. Schneiden Sie die Spitze des Kegels ab

Es sieht aus wie ein Kegel. Das Oberteil fehlt einfach. Stellen wir uns vor, wir nehmen einen Kegel und schneiden mit einem Schlag eines scharfen Schwertes den oberen Teil davon ab (siehe Abb. 3).

Reis. 4. Kegelstumpf

Das Ergebnis ist genau unsere Figur, man nennt sie Kegelstumpf (siehe Abb. 4).

Reis. 5. Schnitt parallel zur Kegelbasis

Es sei ein Kegel gegeben. Lass uns ein Flugzeug zeichnen parallel zur Ebene die Basis dieses Kegels und schneidet den Kegel (siehe Abb. 5).

Dadurch wird der Kegel in zwei Körper geteilt: Einer davon ist ein kleinerer Kegel und der zweite wird Kegelstumpf genannt (siehe Abb. 6).

Reis. 6. Die resultierenden Körper mit Parallelschnitt

Ein Kegelstumpf ist also ein Teil eines Kegels, der zwischen seiner Basis und einer zur Basis parallelen Ebene eingeschlossen ist. Wie ein Kegel kann auch ein Kegelstumpf an seiner Basis einen Kreis haben; in diesem Fall spricht man von einem Kreis. Wenn der ursprüngliche Kegel gerade war, heißt der Kegelstumpf gerade. Wie bei den Kegeln betrachten wir ausschließlich gerade kreisförmige Kegelstümpfe, es sei denn, es wird ausdrücklich darauf hingewiesen, dass es sich um einen indirekten Kegelstumpf handelt oder seine Grundflächen keine Kreise sind.

Reis. 7. Drehung eines rechteckigen Trapezes

Unser globales Thema sind Rotationskörper. Der Kegelstumpf ist keine Ausnahme! Erinnern wir uns daran, dass wir überlegt haben, einen Kegel zu erhalten rechtwinkliges Dreieck und es um das Bein gedreht? Wenn der resultierende Kegel von einer Ebene parallel zur Basis geschnitten wird, bleibt das Dreieck ein rechteckiges Trapez. Seine Drehung um die kleinere Seite ergibt einen Kegelstumpf. Beachten wir noch einmal, dass es sich natürlich nur um einen geraden Kreiskegel handelt (siehe Abb. 7).

Reis. 8. Basen eines Kegelstumpfes

Lassen Sie uns ein paar Kommentare abgeben. Die Basis eines vollständigen Kegels und der Kreis, der sich aus einem Schnitt des Kegels durch eine Ebene ergibt, werden Basis eines Kegelstumpfes (unten und oben) genannt (siehe Abb. 8).

Reis. 9. Generatoren eines Kegelstumpfes

Die Segmente der Generatoren eines vollständigen Kegels, die zwischen den Grundflächen eines Kegelstumpfes eingeschlossen sind, werden Generatoren eines Kegelstumpfes genannt. Da alle Generatoren des ursprünglichen Kegels gleich sind und alle Generatoren des abgeschnittenen Kegels gleich sind, sind auch die Generatoren des abgeschnittenen Kegels gleich (verwechseln Sie nicht den abgeschnittenen und den abgeschnittenen Kegel!). Dies impliziert, dass der axiale Abschnitt des Trapezes gleichschenklig ist (siehe Abb. 9).

Der in einem Kegelstumpf eingeschlossene Abschnitt der Rotationsachse wird als Kegelstumpfachse bezeichnet. Dieses Segment verbindet natürlich die Mittelpunkte seiner Basen (siehe Abb. 10).

Reis. 10. Achse eines Kegelstumpfes

Die Höhe eines Kegelstumpfes ist eine Senkrechte, die von einem Punkt einer der Grundflächen zur anderen Grundfläche gezogen wird. Am häufigsten wird die Höhe eines Kegelstumpfes als seine Achse angesehen.

Reis. 11. Axialschnitt eines Kegelstumpfes

Der axiale Abschnitt eines Kegelstumpfes ist der Abschnitt, der durch seine Achse verläuft. Es hat die Form eines Trapezes; etwas später werden wir beweisen, dass es gleichschenklig ist (siehe Abb. 11).

Reis. 12. Kegel mit eingeführten Notationen

Finden wir die Fläche der Mantelfläche des Kegelstumpfes. Die Grundflächen des Kegelstumpfes sollen die Radien und haben und die Erzeugende sei gleich (siehe Abb. 12).

Reis. 13. Bezeichnung der Generatrix des abgeschnittenen Kegels

Ermitteln wir die Fläche der Seitenfläche des Kegelstumpfes als Differenz zwischen den Flächen der Seitenflächen des ursprünglichen Kegels und der abgeschnittenen. Bezeichnen wir dazu den abgeschnittenen Kegel mit der Generatrix (siehe Abb. 13).

Dann sind Sie genau richtig.

Reis. 14. Ähnliche Dreiecke

Es bleibt nur noch, sich auszudrücken.

Beachten Sie, dass aus der Ähnlichkeit von Dreiecken, woher (siehe Abb. 14).

Es wäre möglich, eine Division durch die Differenz der Radien auszudrücken, aber wir brauchen das nicht, weil das gesuchte Produkt in dem gesuchten Ausdruck erscheint. Durch Ersetzen haben wir schließlich: .

Es ist nun einfach, eine Formel für die Gesamtoberfläche zu erhalten. Dazu addieren Sie einfach die Fläche der beiden Kreise der Basen: .

Reis. 15. Illustration des Problems

Ein Kegelstumpf entsteht durch Drehen eines rechteckigen Trapezes um seine Höhe. Die Mittellinie des Trapezes ist gleich und die große laterale Seite ist gleich (siehe Abb. 15). Finden Sie die Mantelfläche des resultierenden Kegelstumpfes.

Lösung

Aus der Formel wissen wir das .

Die Erzeugende des Kegels ist die größere Seite des ursprünglichen Trapezes, das heißt, die Radien des Kegels sind die Grundflächen des Trapezes. Wir können sie nicht finden. Aber wir brauchen es nicht: Wir brauchen nur ihre Summe, und die Summe der Grundflächen eines Trapezes ist doppelt so groß wie seine Mittellinie, also gleich . Dann .

Bitte beachten Sie, dass wir, als wir über den Kegel sprachen, Parallelen zwischen ihm und der Pyramide gezogen haben – die Formeln waren ähnlich. Das Gleiche gilt auch hier, denn ein Kegelstumpf ist einem Pyramidenstumpf sehr ähnlich, daher sind die Formeln für die Flächen der Seiten- und Gesamtflächen eines Kegelstumpfs und einer Pyramide (und bald wird es Formeln für das Volumen geben) ähnlich.

Reis. 1. Illustration des Problems

Die Radien der Grundflächen des Kegelstumpfes sind gleich und und die Erzeugende ist gleich. Ermitteln Sie die Höhe des Kegelstumpfes und die Fläche seines axialen Abschnitts (siehe Abb. 1).

und eine Ebene parallel zur Basis ( Reis. ). Das Volumen des Vereinigten Königreichs ist gleich , Wo R 1 und R 2 – Grundradien, H - Höhe.

Große sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

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Ein geometrischer Körper, der durch eine zur Basis parallele Ebene von einem Kegel abgeschnitten ist (Abb.). Das Volumen eines Kegelstumpfes ist gleich. * * * KEGELSTUMPF, ein geometrischer Körper, der durch eine zur Grundfläche parallele Ebene vom Kegel abgeschnitten ist. Lautstärke… … Enzyklopädisches Wörterbuch

Kegelstumpf- - Themen Öl- und Gasindustrie EN Kegelstumpf ... Leitfaden für technische Übersetzer

ABGESCHNITTEN, abgeschnitten, abgeschnitten; abgeschnitten, abgeschnitten, abgeschnitten. 1. Abs. leiden Vergangenheit vr. von truncate (Buch). 2. Einer, der hat Oberteil abgeschnitten durch eine Ebene parallel zur Grundfläche (etwa eines Kegels, einer Pyramide; Mat.). Kegelstumpf. Pyramidenstumpf... Wörterbuch Uschakowa

gekürzt- oh, oh.; Mathe. Eine, bei der der obere Teil durch eine Ebene parallel zur Basis abgeschnitten wird. Kegelstumpf. Die Pyramide... Wörterbuch vieler Ausdrücke

ABGESCHNITTEN, oh, oh. In der Mathematik: einer, bei dem der apikale Teil abgetrennt ist, abgeschnitten durch eine Ebene parallel zur Basis. U. Kegel. Pyramidenstumpf. Ozhegovs erklärendes Wörterbuch. S.I. Ozhegov, N. Yu. Shvedova. 1949 1992 … Ozhegovs erklärendes Wörterbuch

Aya, oh. 1. Abs. leiden Vergangenheit von abschneiden. 2. in der Bedeutung adj. Matte. Eines, bei dem der obere Teil durch eine Ebene parallel zur Basis abgeschnitten wird. Kegelstumpf. Pyramidenstumpf. 3. in der Bedeutung adj. Gramm., lit. Mit Kürzung (2 Ziffern), was bedeutet... Kleines wissenschaftliches Wörterbuch

Gerader kreisförmiger Kegel. Direkt und... Wikipedia

- (lateinisch conus, von griech. konos) konische Oberfläche ist eine Menge gerader Linien (Generatoren) des Raumes, die alle Punkte einer bestimmten Linie (Führung) mit einem gegebenen Punkt (Scheitelpunkt) des Raumes verbinden. Das einfachste K. ist rund oder gerade kreisförmig und richtet sich nach ... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

- (lateinisch conus, von griech. konos) (Mathematik), 1) K. oder konische Oberfläche, der geometrische Ort gerader Linien (Generatoren) des Raums, die alle Punkte einer bestimmten Linie (Führung) mit einem gegebenen Punkt (Scheitelpunkt) verbinden. des Raumes.… … Große sowjetische Enzyklopädie

Die Welt um uns herum ist dynamisch und vielfältig und nicht jedes Objekt lässt sich einfach mit einem Lineal messen. Für eine solche Übertragung kommen spezielle Techniken zum Einsatz, beispielsweise die Triangulation. Die Notwendigkeit, komplexe Entwicklungen zusammenzustellen, ist in der Regel ... ... Wikipedia

Vortrag: Kegel. Basis, Höhe, Mantelfläche, Generatrix, Entwicklung

Kegel- Dies ist ein Körper, der aus einem Kreis besteht, der sich an der Basis befindet, aus einem Punkt, der von allen Punkten auf dem Kreis gleich weit entfernt ist, sowie aus Geraden, die diesen Punkt (Scheitelpunkt) mit allen auf dem Kreis liegenden Punkten verbinden.

Ein paar Fragen zuvor haben wir uns die Pyramide angeschaut. Ein Kegel ist also ein Sonderfall einer Pyramide, an deren Basis ein Kreis liegt. Fast alle Eigenschaften einer Pyramide gelten auch für einen Kegel.

Wie bekommt man einen Kegel? Erinnern Sie sich an die letzte Frage und wie wir an den Zylinder gekommen sind. Nehmen Sie nun ein gleichschenkliges Dreieck und drehen Sie es um seine Achse – Sie erhalten einen Kegel.

Generatoren des Kegels- Dies sind Segmente, die zwischen den Spitzen des Kreises und der Spitze des Kegels eingeschlossen sind. Die Erzeuger des Kegels sind einander gleich.

Um die Länge der Generatrix zu ermitteln, sollten Sie die Formel verwenden:

Wenn alle Bestandteile miteinander verbunden werden, erhält man die Mantelfläche eines Kegels. Seine allgemeine Oberfläche besteht aus einer Seitenfläche und einer Grundfläche in Form eines Kreises.

Der Kegel hat Höhe. Um dies zu erreichen, reicht es aus, die Senkrechte von oben direkt auf die Mitte der Basis abzusenken.

Um die Mantelfläche zu ermitteln, verwenden Sie die Formel:

Um die Gesamtoberfläche eines Kegels zu ermitteln, verwenden Sie die folgende Formel.

Ein Kegelstumpf entsteht, wenn vom Kegel durch eine zur Grundfläche parallele Ebene ein kleinerer Kegel abgeschnitten wird (Abb. 8.10). Ein Kegelstumpf hat zwei Basen: „unten“ – die Basis des ursprünglichen Kegels – und „oben“ – die Basis des abgeschnittenen Kegels. Nach dem Satz über den Kegelschnitt sind die Basen eines Kegelstumpfs ähnlich .

Die Höhe eines Kegelstumpfes ist die Senkrechte, die von einem Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen Basis gezogen wird. Alle diese Senkrechten sind gleich (siehe Abschnitt 3.5). Als Höhe wird auch ihre Länge bezeichnet, also der Abstand zwischen den Ebenen der Grundflächen.

Aus dem Rotationskegel ergibt sich der Rotationskegelstumpf (Abb. 8.11). Daher sind seine Grundflächen und alle dazu parallelen Abschnitte Kreise, deren Mittelpunkte auf derselben Geraden liegen – auf der Achse. Ein Rotationskegelstumpf entsteht durch Drehen eines rechteckigen Trapezes um seine Seite senkrecht zu den Grundflächen oder durch Drehen

gleichschenkliges Trapez um die Symmetrieachse (Abb. 8.12).

Mantelfläche eines Rotationskegelstumpfes

Dies ist der Teil der Mantelfläche des Rotationskegels, von dem es abgeleitet ist. Die Oberfläche eines Rotationskegelstumpfes (oder seine gesamte Oberfläche) besteht aus seinen Grundflächen und seiner Mantelfläche.

8.5. Bilder von Revolutionskegeln und Revolutionskegelstümpfen.

So wird ein gerader Kreiskegel gezeichnet. Zeichnen Sie zunächst eine Ellipse, die den Kreis der Basis darstellt (Abb. 8.13). Dann finden sie den Mittelpunkt der Basis – Punkt O und zeichnen ein vertikales Segment PO, das die Höhe des Kegels darstellt. Zeichnen Sie vom Punkt P aus Tangentenlinien (Referenzlinien) zur Ellipse (praktisch geschieht dies mit dem Auge und einem Lineal) und wählen Sie die Segmente RA und PB dieser Linien vom Punkt P zu den Tangentenpunkten A und B aus. Bitte beachten Sie das Segment AB ist nicht der Durchmesser des Basiskegels und das Dreieck ARV ist nicht der axiale Abschnitt des Kegels. Der axiale Abschnitt des Kegels ist ein Dreieck APC: Segment AC verläuft durch Punkt O. Unsichtbare Linien werden mit Strichen gezeichnet; Das Segment OP wird oft nicht gezeichnet, sondern nur gedanklich umrissen, um die Spitze des Kegels P direkt über dem Mittelpunkt der Basis – Punkt O – darzustellen.

Bei der Darstellung eines Rotationskegelstumpfes ist es zweckmäßig, zunächst den Kegel zu zeichnen, aus dem der Kegelstumpf entsteht (Abb. 8.14).

8.6. Konische Abschnitte. Wir haben bereits gesagt, dass die Ebene die Mantelfläche des Rotationszylinders entlang einer Ellipse schneidet (Abschnitt 6.4). Auch der Schnitt der Mantelfläche eines Rotationskegels durch eine Ebene, die seine Basis nicht schneidet, ist eine Ellipse (Abb. 8.15). Daher wird eine Ellipse als Kegelschnitt bezeichnet.

Zu den Kegelschnitten zählen auch andere bekannte Kurven – Hyperbeln und Parabeln. Betrachten wir einen unbeschränkten Kegel, der durch Verlängerung der Mantelfläche des Rotationskegels entsteht (Abb. 8.16). Schneiden wir es mit einer Ebene a, die nicht durch den Scheitelpunkt geht. Wenn a alle Erzeugenden des Kegels schneidet, so erhalten wir im Schnitt, wie bereits erwähnt, eine Ellipse (Abb. 8.15).

Durch Drehen der OS-Ebene können Sie sicherstellen, dass sie alle Erzeugenden des Kegels K schneidet, mit Ausnahme einer (zu der das OS parallel ist). Dann erhalten wir im Querschnitt eine Parabel (Abb. 8.17). Schließlich drehen wir die Ebene OS weiter und bringen sie in eine solche Position, dass a, der einen Teil der Generatoren des Kegels K schneidet, die unendliche Anzahl seiner anderen Generatoren nicht schneidet und zu zwei von ihnen parallel ist (Abb. 8.18). ). Dann erhalten wir im Abschnitt des Kegels K mit der Ebene a eine Kurve, die Hyperbel genannt wird (genauer gesagt, einer ihrer „Zweige“). Somit ist eine Hyperbel, die der Graph einer Funktion ist, ein Sonderfall einer Hyperbel – eine gleichseitige Hyperbel, genauso wie ein Kreis ein Sonderfall einer Ellipse ist.

Aus gleichseitigen Hyperbeln lassen sich durch Projektion beliebige Hyperbeln gewinnen, so wie man durch Parallelprojektion eines Kreises eine Ellipse erhält.

Um beide Zweige der Hyperbel zu erhalten, ist es notwendig, einen Abschnitt eines Kegels zu nehmen, der zwei „Hohlräume“ aufweist, d. h. einen Kegel, der nicht aus Strahlen, sondern aus geraden Linien besteht, die die Erzeugenden der Seitenflächen des Kegels enthalten Revolution (Abb. 8.19).

Kegelschnitte wurden von antiken griechischen Geometern untersucht und ihre Theorie war einer der Höhepunkte der antiken Geometrie. Die umfassendste Untersuchung von Kegelschnitten in der Antike wurde von Apollonius von Perge (III. Jahrhundert v. Chr.) durchgeführt.

Es gibt eine Reihe wichtiger Eigenschaften, die Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln zu einer Klasse zusammenfassen. Sie erschöpfen beispielsweise die „nicht entarteten“, also nicht auf einen Punkt, eine Linie oder ein Linienpaar reduzierbaren Kurven, die auf der Ebene in kartesischen Koordinaten durch Gleichungen der Form definiert sind

Konische Abschnitte spielen wichtige Rolle in der Natur: Körper bewegen sich in einem Gravitationsfeld auf elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Bahnen (denken Sie an die Keplerschen Gesetze). Die bemerkenswerten Eigenschaften von Kegelschnitten werden häufig in Wissenschaft und Technik genutzt, beispielsweise bei der Herstellung bestimmter optischer Instrumente oder Suchscheinwerfer (die Oberfläche des Spiegels in einem Suchscheinwerfer wird durch Drehen des Parabelbogens um die Parabelachse erhalten). ). Als Schattengrenzen runder Lampenschirme sind konische Abschnitte zu beobachten (Abb. 8.20).