Inverse Matrix mit Auswahl des Hauptelements. Finden der inversen Matrix: drei Algorithmen und Beispiele

Die Matrix $A^(-1)$ heißt die Umkehrung der quadratischen Matrix $A$, wenn die Bedingung $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ erfüllt ist, wobei $E $ die Identitätsmatrix ist, deren Ordnung gleich der Ordnung der Matrix $A$ ist.

Eine nicht singuläre Matrix ist eine Matrix, deren Determinante ungleich Null ist. Dementsprechend ist eine singuläre Matrix eine Matrix, deren Determinante gleich Null ist.

Die inverse Matrix $A^(-1)$ existiert genau dann, wenn die Matrix $A$ nicht singulär ist. Wenn die inverse Matrix $A^(-1)$ existiert, dann ist sie eindeutig.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, es zu finden inverse Matrix, und wir werden uns zwei davon ansehen. Auf dieser Seite wird die Adjungierte-Matrix-Methode besprochen, die in den meisten Kursen als Standard gilt. Höhere Mathematik. Die zweite Methode zur Ermittlung der inversen Matrix (die Methode der Elementartransformationen), die die Verwendung der Gauß-Methode oder der Gauß-Jordan-Methode beinhaltet, wird im zweiten Teil besprochen.

Methode der adjungierten Matrix

Gegeben sei die Matrix $A_(n\times n)$. Um die inverse Matrix $A^(-1)$ zu finden, sind drei Schritte erforderlich:

1. Finden Sie die Determinante der Matrix $A$ und stellen Sie sicher, dass $\Delta A\neq 0$, d.h. dass Matrix A nicht singulär ist.
2. Bilden Sie algebraische Komplemente $A_(ij)$ jedes Elements der Matrix $A$ und schreiben Sie die Matrix $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ aus der gefundenen Algebra Ergänzungen.
3. Schreiben Sie die inverse Matrix unter Berücksichtigung der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Die Matrix $(A^(*))^T$ wird oft als adjungiert (reziprok, verbündet) zur Matrix $A$ bezeichnet.

Wenn die Lösung manuell erfolgt, ist die erste Methode nur für Matrizen relativ kleiner Ordnung geeignet: zweite (), dritte (), vierte (). Um die Umkehrung einer Matrix höherer Ordnung zu finden, werden andere Methoden verwendet. Zum Beispiel die Gaußsche Methode, die im zweiten Teil besprochen wird.

Beispiel Nr. 1

Finden Sie die Umkehrung der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Da alle Elemente der vierten Spalte gleich Null sind, ist $\Delta A=0$ (d. h. die Matrix $A$ ist singulär). Da $\Delta A=0$ ist, gibt es keine inverse Matrix zur Matrix $A$.

Beispiel Nr. 2

Finden Sie die Umkehrung der Matrix $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Wir verwenden die Methode der adjungierten Matrix. Lassen Sie uns zunächst die Determinante der gegebenen Matrix $A$ ermitteln:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Da $\Delta A \neq 0$ ist, existiert die inverse Matrix, daher werden wir mit der Lösung fortfahren. Algebraische Komplemente finden

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Wir erstellen eine Matrix algebraischer Additionen: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Wir transponieren die resultierende Matrix: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the Die resultierende Matrix wird oft als adjungierte oder mit der Matrix $A$ verbündete Matrix bezeichnet. Mit der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ erhalten wir:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Somit wird die inverse Matrix gefunden: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\right) $. Um die Wahrheit des Ergebnisses zu überprüfen, reicht es aus, die Wahrheit einer der Gleichungen zu überprüfen: $A^(-1)\cdot A=E$ oder $A\cdot A^(-1)=E$. Überprüfen wir die Gleichheit $A^(-1)\cdot A=E$. Um weniger mit Brüchen arbeiten zu müssen, ersetzen wir die Matrix $A^(-1)$ nicht in der Form $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, und in der Form $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

Antwort: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Beispiel Nr. 3

Finden Sie die inverse Matrix für die Matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

Beginnen wir mit der Berechnung der Determinante der Matrix $A$. Die Determinante der Matrix $A$ ist also:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Da $\Delta A\neq 0$ ist, existiert die inverse Matrix, daher werden wir mit der Lösung fortfahren. Wir finden die algebraischen Komplemente jedes Elements einer gegebenen Matrix:

Wir erstellen eine Matrix algebraischer Additionen und transponieren sie:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Mit der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ erhalten wir:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Also $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Um die Wahrheit des Ergebnisses zu überprüfen, reicht es aus, die Wahrheit einer der Gleichungen zu überprüfen: $A^(-1)\cdot A=E$ oder $A\cdot A^(-1)=E$. Überprüfen wir die Gleichheit $A\cdot A^(-1)=E$. Um weniger mit Brüchen arbeiten zu müssen, ersetzen wir die Matrix $A^(-1)$ nicht in der Form $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ und in der Form $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Die Prüfung war erfolgreich, die inverse Matrix $A^(-1)$ wurde korrekt gefunden.

Antwort: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Beispiel Nr. 4

Finden Sie die Matrixinverse der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Für eine Matrix vierter Ordnung ist es etwas schwierig, die inverse Matrix mithilfe algebraischer Additionen zu finden. Allerdings sind solche Beispiele in Tests treffen.

Um die Umkehrung einer Matrix zu finden, müssen Sie zunächst die Determinante der Matrix $A$ berechnen. Der beste Weg, dies in dieser Situation zu tun, besteht darin, die Determinante entlang einer Zeile (Spalte) zu erweitern. Wir wählen eine beliebige Zeile oder Spalte aus und finden die algebraischen Komplemente jedes Elements der ausgewählten Zeile oder Spalte.

Matrixalgebra – Inverse Matrix

Inverse Matrix

Inverse Matrix heißt eine Matrix, die sowohl rechts als auch links multipliziert wird diese Matrix gibt die Identitätsmatrix an.
Bezeichnen wir die inverse Matrix der Matrix A durch , dann erhalten wir per Definition:

Wo E– Identitätsmatrix.
Quadratische Matrix angerufen nicht besonders (nicht entartet), wenn seine Determinante nicht Null ist. Ansonsten heißt es besonders (degenerieren) oder Singular.

Der Satz gilt: Jede nicht singuläre Matrix hat eine inverse Matrix.

Die Operation zum Finden der inversen Matrix wird aufgerufen appellieren Matrizen. Betrachten wir den Matrixinversionsalgorithmus. Gegeben sei eine nicht singuläre Matrix N-te Reihenfolge:

wobei Δ = det A ≠ 0.

Algebraische Addition eines Elements Matrizen N-te Ordnung A heißt die Determinante einer Matrix mit einem bestimmten Vorzeichen ( N–1)te Ordnung durch Löschen erhalten ich-te Zeile und J te Matrixspalte A:

Lassen Sie uns das sogenannte erstellen beigefügt Matrix:

Wo sind die algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix? A.
Beachten Sie, dass algebraische Additionen von Matrixzeilenelementen A werden in die entsprechenden Spalten der Matrix eingefügt à , das heißt, die Matrix wird gleichzeitig transponiert.
Durch Division aller Elemente der Matrix à durch Δ – der Wert der Matrixdeterminante A erhalten wir als Ergebnis die inverse Matrix:

Beachten wir einige besondere Eigenschaften der inversen Matrix:
1) für eine gegebene Matrix A seine inverse Matrix ist der Einzige;
2) Wenn es eine inverse Matrix gibt, dann rechts rückwärts Und links rückwärts die Matrizen stimmen damit überein;
3) Eine singuläre (singuläre) quadratische Matrix hat keine inverse Matrix.

Grundlegende Eigenschaften einer inversen Matrix:
1) Die Determinante der inversen Matrix und die Determinante der ursprünglichen Matrix sind Kehrwerte;
2) Die inverse Matrix des Produkts quadratischer Matrizen ist gleich dem Produkt der inversen Faktormatrix in umgekehrter Reihenfolge:

3) Die transponierte inverse Matrix ist gleich der inversen Matrix der gegebenen transponierten Matrix:

BEISPIEL Berechnen Sie die Umkehrung der gegebenen Matrix.

In vielen Eigenschaften ähnlich wie umgekehrt.

Enzyklopädisches YouTube

1 / 5

✪ So finden Sie die Umkehrung einer Matrix – bezbotvy

✪ Inverse Matrix (2 Möglichkeiten zu finden)

✪ Inverse Matrix #1

✪ 28.01.2015. Inverse 3x3-Matrix

✪ 27.01.2015. Inverse Matrix 2x2

Untertitel

Eigenschaften einer inversen Matrix

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Wo det (\displaystyle \\det ) bezeichnet die Determinante.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) für zwei quadratische invertierbare Matrizen A (\displaystyle A) Und B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Wo (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) bezeichnet eine transponierte Matrix.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) für jeden Koeffizienten k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Wenn es notwendig ist, ein System linearer Gleichungen zu lösen, (b ist ein Vektor ungleich Null), wobei x (\displaystyle x) ist der gewünschte Vektor und wenn A − 1 (\displaystyle A^(-1)) existiert also x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Andernfalls ist entweder die Dimension des Lösungsraums größer als Null oder es gibt überhaupt keine Lösungen.

Methoden zum Finden der inversen Matrix

Wenn die Matrix invertierbar ist, können Sie zum Ermitteln der inversen Matrix eine der folgenden Methoden verwenden:

Exakte (direkte) Methoden

Gauß-Jordan-Methode

Nehmen wir zwei Matrizen: die A und Single E. Lassen Sie uns die Matrix präsentieren A zur Identitätsmatrix mithilfe der Gauß-Jordan-Methode, indem Transformationen entlang der Zeilen angewendet werden (Sie können Transformationen auch entlang der Spalten anwenden, jedoch nicht gemischt). Nachdem Sie jede Operation auf die erste Matrix angewendet haben, wenden Sie dieselbe Operation auf die zweite an. Wenn die Reduktion der ersten Matrix auf die Einheitsform abgeschlossen ist, ist die zweite Matrix gleich A−1.

Bei Verwendung der Gaußschen Methode wird die erste Matrix links mit einer von multipliziert Elementarmatrizen Λ ich (\displaystyle \Lambda _(i))(Transvektions- oder Diagonalmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale, bis auf eine Position):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

Die zweite Matrix nach Anwendung aller Operationen ist gleich Λ (\displaystyle \Lambda), das heißt, es wird das gewünschte sein. Komplexität des Algorithmus - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Verwendung der algebraischen Komplementmatrix

Matrixinverse der Matrix A (\displaystyle A), kann in der Form dargestellt werden

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Wo adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- adjungierte Matrix;

Die Komplexität des Algorithmus hängt von der Komplexität des Algorithmus zur Berechnung der Determinante O det ab und ist gleich O(n²)·O det.

Verwendung der LU/LUP-Zerlegung

Matrixgleichung A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) für die inverse Matrix X (\displaystyle X) kann als Sammlung betrachtet werden n (\displaystyle n) Systeme der Form A x = b (\displaystyle Ax=b). Bezeichnen wir ich (\displaystyle i) Spalte der Matrix X (\displaystyle X) durch X. ich (\displaystyle X_(i)); Dann EIN X. ich = e ich (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),Weil ich (\displaystyle i) Spalte der Matrix ich n (\displaystyle I_(n)) ist der Einheitsvektor e i (\displaystyle e_(i)). Mit anderen Worten: Um die inverse Matrix zu finden, müssen n Gleichungen mit derselben Matrix und unterschiedlichen rechten Seiten gelöst werden. Nach der Durchführung der LUP-Zerlegung (O(n³)-Zeit) dauert das Lösen jeder der n Gleichungen O(n²)-Zeit, sodass dieser Teil der Arbeit auch O(n³)-Zeit erfordert.

Wenn die Matrix A nicht singulär ist, kann für sie die LUP-Zerlegung berechnet werden P A = L U (\displaystyle PA=LU). Lassen P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Aus den Eigenschaften der inversen Matrix können wir dann schreiben: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Wenn Sie diese Gleichheit mit U und L multiplizieren, erhalten Sie zwei Gleichheiten der Form U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Und D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Die erste dieser Gleichungen stellt ein System von n² dar lineare Gleichungen Für n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) woraus die rechten Seiten bekannt sind (aus den Eigenschaften von Dreiecksmatrizen). Das zweite stellt ebenfalls ein System von n² linearen Gleichungen dar n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) woraus die rechten Seiten bekannt sind (auch aus den Eigenschaften von Dreiecksmatrizen). Zusammen stellen sie ein System von n²-Gleichheiten dar. Mithilfe dieser Gleichungen können wir rekursiv alle n² Elemente der Matrix D bestimmen. Dann erhalten wir aus der Gleichheit (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D die Gleichheit A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Bei Verwendung der LU-Zerlegung ist keine Permutation der Spalten der Matrix D erforderlich, aber die Lösung kann auch dann divergieren, wenn die Matrix A nicht singulär ist.

Die Komplexität des Algorithmus beträgt O(n³).

Iterative Methoden

Schultz-Methoden

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Fehlerschätzung

Auswählen einer anfänglichen Näherung

Das Problem der Wahl einer anfänglichen Näherung in den hier betrachteten iterativen Matrixinversionsprozessen erlaubt es uns nicht, sie als unabhängige universelle Methoden zu behandeln, die mit direkten Inversionsmethoden konkurrieren, die beispielsweise auf der LU-Zerlegung von Matrizen basieren. Es gibt einige Empfehlungen zur Auswahl U 0 (\displaystyle U_(0)), um die Erfüllung der Bedingung sicherzustellen ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (Spektralradius der Matrix ist kleiner als Eins), was für die Konvergenz des Prozesses notwendig und ausreichend ist. In diesem Fall ist es jedoch zunächst erforderlich, die Schätzung für das Spektrum der invertierbaren Matrix A oder der Matrix von oben zu kennen EIN EIN T (\displaystyle AA^(T))(Nämlich, wenn A eine symmetrische positiv definite Matrix ist und ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), dann kannst du nehmen U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Wo ; wenn A eine beliebige nicht singuläre Matrix ist und ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), dann glauben sie U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), wo auch α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Sie können die Situation natürlich vereinfachen und dies ausnutzen ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), setzen U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Zweitens gibt es bei der Angabe der Anfangsmatrix auf diese Weise keine Garantie dafür ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) wird klein sein (vielleicht wird es sogar so sein). ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), Und hohe Ordnung Die Geschwindigkeit der Konvergenz wird nicht sofort bekannt gegeben.

Beispiele

Matrix 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] .

(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).) Die Inversion einer 2x2-Matrix ist nur unter der Bedingung möglich, dass.

a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0)

Typischerweise werden Umkehroperationen verwendet, um komplexe algebraische Ausdrücke zu vereinfachen. Wenn das Problem beispielsweise die Division durch einen Bruch betrifft, können Sie es durch die Operation der Multiplikation mit dem Kehrwert eines Bruchs ersetzen, was die Umkehroperation ist. Darüber hinaus können Matrizen nicht geteilt werden, sodass Sie mit der inversen Matrix multiplizieren müssen. Die Umkehrung einer 3x3-Matrix zu berechnen ist ziemlich mühsam, aber Sie müssen dazu in der Lage sein, dies manuell zu tun. Sie können den Kehrwert auch mit einem guten Grafikrechner ermitteln.

Schritte

Verwendung der adjungierten Matrix Transposition ist das Ersetzen von Zeilen durch Spalten relativ zur Hauptdiagonale der Matrix, d. h. Sie müssen die Elemente (i,j) und (j,i) vertauschen. In diesem Fall ändern sich die Elemente der Hauptdiagonale (beginnt in der oberen linken Ecke und endet in der unteren rechten Ecke) nicht.

• Um Zeilen in Spalten umzuwandeln, schreiben Sie die Elemente der ersten Zeile in die erste Spalte, die Elemente der zweiten Zeile in die zweite Spalte und die Elemente der dritten Zeile in die dritte Spalte. Die Reihenfolge zum Ändern der Position der Elemente ist in der Abbildung dargestellt, in der die entsprechenden Elemente mit farbigen Kreisen umkreist sind.

Finden Sie die Definition jeder 2x2-Matrix. Jedes Element einer beliebigen Matrix, einschließlich einer transponierten, ist einer entsprechenden 2x2-Matrix zugeordnet. Um eine 2x2-Matrix zu finden, die einem bestimmten Element entspricht, streichen Sie die Zeile und Spalte durch, in der sich das angegebene Element befindet. Sie müssen also fünf Elemente der ursprünglichen 3x3-Matrix durchstreichen. Es bleiben vier Elemente ungekreuzt, die Elemente der entsprechenden 2x2-Matrix sind.

• Um beispielsweise eine 2x2-Matrix für das Element zu finden, das sich am Schnittpunkt der zweiten Zeile und der ersten Spalte befindet, streichen Sie die fünf Elemente in der zweiten Zeile und der ersten Spalte durch. Die restlichen vier Elemente sind Elemente der entsprechenden 2x2-Matrix.
• Finden Sie die Determinante jeder 2x2-Matrix. Subtrahieren Sie dazu das Produkt der Elemente der Nebendiagonale vom Produkt der Elemente der Hauptdiagonale (siehe Abbildung).
• Detaillierte Informationen zu 2x2-Matrizen, die bestimmten Elementen einer 3x3-Matrix entsprechen, finden Sie im Internet.

Erstellen Sie eine Cofaktormatrix. Schreiben Sie die zuvor erhaltenen Ergebnisse in Form einer neuen Cofaktormatrix. Schreiben Sie dazu die gefundene Determinante jeder 2x2-Matrix dort auf, wo sich das entsprechende Element der 3x3-Matrix befand. Wenn Sie beispielsweise eine 2x2-Matrix für Element (1,1) in Betracht ziehen, schreiben Sie dessen Determinante an Position (1,1). Ändern Sie dann die Vorzeichen der entsprechenden Elemente nach einem bestimmten Schema, das in der Abbildung dargestellt ist.

• Schema zum Vorzeichenwechsel: Das Vorzeichen des ersten Elements der ersten Zeile ändert sich nicht; das Vorzeichen des zweiten Elements der ersten Zeile wird umgekehrt; Das Vorzeichen des dritten Elements der ersten Zeile ändert sich nicht und so weiter Zeile für Zeile. Bitte beachten Sie, dass die im Diagramm (siehe Abbildung) dargestellten „+“- und „-“-Zeichen nicht darauf hinweisen, dass das entsprechende Element positiv oder negativ ist. In diesem Fall zeigt das „+“-Zeichen an, dass sich das Vorzeichen des Elements nicht ändert, und das „-“-Zeichen zeigt eine Änderung des Vorzeichens des Elements an.
• Detaillierte Informationen zu Cofaktor-Matrizen finden Sie im Internet.
• Auf diese Weise finden Sie die adjungierte Matrix der Originalmatrix. Sie wird manchmal als komplex konjugierte Matrix bezeichnet. Eine solche Matrix wird als adj(M) bezeichnet.

Teilen Sie jedes Element der adjungierten Matrix durch seine Determinante. Die Determinante der Matrix M wurde gleich zu Beginn berechnet, um zu überprüfen, ob die inverse Matrix existiert. Teilen Sie nun jedes Element der adjungierten Matrix durch diese Determinante. Schreiben Sie das Ergebnis jeder Divisionsoperation dort, wo sich das entsprechende Element befindet. Auf diese Weise finden Sie die zum Original inverse Matrix.

• Die Determinante der in der Abbildung dargestellten Matrix ist 1. Daher ist hier die adjungierte Matrix die inverse Matrix (denn wenn eine beliebige Zahl durch 1 geteilt wird, ändert sie sich nicht).
• In einigen Quellen wird die Divisionsoperation durch die Multiplikationsoperation mit 1/det(M) ersetzt. Am Endergebnis ändert sich jedoch nichts.

Schreiben Sie die inverse Matrix. Schreiben Sie die Elemente, die sich in der rechten Hälfte der großen Matrix befinden, als separate Matrix, die die inverse Matrix ist.

Geben Sie die Originalmatrix in den Speicher des Rechners ein. Klicken Sie dazu auf die Schaltfläche Matrix, sofern verfügbar. Bei einem Taschenrechner von Texas Instruments müssen Sie möglicherweise die 2.-Taste und die Matrix-Taste drücken.

Wählen Sie das Menü Bearbeiten. Verwenden Sie dazu die Pfeiltasten oder die entsprechende Funktionstaste oben auf der Tastatur des Rechners (die Position der Taste variiert je nach Rechnermodell).

Geben Sie die Matrixschreibweise ein. Die meisten Grafikrechner können mit 3–10 benennbaren Matrizen arbeiten Buchstaben A-J. Normalerweise wählen Sie einfach [A] aus, um die Originalmatrix festzulegen. Drücken Sie dann die Enter-Taste.

Geben Sie die Matrixgröße ein. In diesem Artikel geht es um 3x3-Matrizen. Grafikrechner können aber auch mit großen Matrizen arbeiten. Geben Sie die Anzahl der Zeilen ein, drücken Sie die Eingabetaste, geben Sie dann die Anzahl der Spalten ein und drücken Sie erneut die Eingabetaste.

Geben Sie jedes Matrixelement ein. Auf dem Rechnerbildschirm wird eine Matrix angezeigt. Wenn Sie zuvor eine Matrix in den Rechner eingegeben haben, erscheint diese auf dem Bildschirm. Der Cursor markiert das erste Element der Matrix. Geben Sie den Wert für das erste Element ein und drücken Sie die Eingabetaste. Der Cursor bewegt sich automatisch zum nächsten Matrixelement.

Finden der inversen Matrix.

In diesem Artikel werden wir das Konzept einer inversen Matrix, ihre Eigenschaften und Ermittlungsmethoden verstehen. Lassen Sie uns im Detail auf die Lösung von Beispielen eingehen, bei denen es notwendig ist, eine inverse Matrix für eine gegebene Matrix zu erstellen.

Seitennavigation.

Inverse Matrix - Definition.

Finden der inversen Matrix mithilfe einer Matrix aus algebraischen Komplementen.

Eigenschaften einer inversen Matrix.

Finden der inversen Matrix mit der Gauß-Jordan-Methode.

Finden der Elemente der inversen Matrix durch Lösen der entsprechenden Systeme linearer algebraischer Gleichungen.

Inverse Matrix - Definition.

Das Konzept einer inversen Matrix wird nur für quadratische Matrizen eingeführt, deren Determinante ungleich Null ist, also für nicht singuläre quadratische Matrizen.

Definition.

Matrixwird die Umkehrung einer Matrix genannt, deren Determinante von Null verschieden ist, wenn die Gleichungen wahr sind , Wo E– Einheitenordnungsmatrix N An N.

Finden der inversen Matrix mithilfe einer Matrix aus algebraischen Komplementen.

Wie finde ich die inverse Matrix für eine gegebene Matrix?

Zuerst brauchen wir die Konzepte transponierte Matrix, Matrix-Minor und algebraisches Komplement eines Matrixelements.

Definition.

Unerheblichkth Befehl Matrizen A Befehl M An N ist die Determinante der Ordnungsmatrix k An k, die aus den Matrixelementen erhalten wird A befindet sich im ausgewählten k Linien und k Spalten. ( k die kleinste Zahl nicht überschreitet M oder N).

Unerheblich (n-1)th order, die sich aus Elementen aller Zeilen außer zusammensetzt i-th, und alle Spalten außer jth, quadratische Matrix A Befehl N An N bezeichnen wir es als .

Mit anderen Worten, der Minor wird aus einer quadratischen Matrix erhalten A Befehl N An N durch Durchstreichen von Elementen i-th Linien und jth Spalte.

Schreiben wir zum Beispiel: Moll 2 Ordnung, die aus der Matrix erhalten wird Auswählen von Elementen seiner zweiten, dritten Reihe und ersten, dritten Spalte . Wir zeigen auch den Minor, der aus der Matrix gewonnen wird indem Sie die zweite Zeile und die dritte Spalte durchstreichen . Lassen Sie uns die Konstruktion dieser Minderjährigen veranschaulichen: und .

Definition.

Algebraisches Komplement Element einer quadratischen Matrix heißt Moll (n-1)th Ordnung, die aus der Matrix erhalten wird A, Teile davon durchstreichen i-th Linien und jth Spalte multipliziert mit .

Das algebraische Komplement eines Elements wird als bezeichnet. Daher, .

Zum Beispiel für die Matrix Das algebraische Komplement eines Elements ist .

Zweitens benötigen wir zwei Eigenschaften der Determinante, die wir im Abschnitt besprochen haben Berechnen der Determinante einer Matrix:

Basierend auf diesen Eigenschaften der Determinante erfolgt die Definition Operationen zum Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl und das Konzept einer inversen Matrix ist wahr: , wobei es sich um eine transponierte Matrix handelt, deren Elemente algebraische Komplemente sind.

Matrix ist tatsächlich die Umkehrung der Matrix A, da die Gleichheiten erfüllt sind . Zeigen wir es

Lasst uns komponieren Algorithmus zum Finden der inversen Matrix Gleichheit nutzen .

Schauen wir uns den Algorithmus zum Finden der inversen Matrix anhand eines Beispiels an.

Beispiel.

Gegeben sei eine Matrix . Finden Sie die inverse Matrix.

Lösung.

Berechnen wir die Determinante der Matrix A, zerlegen Sie es in die Elemente der dritten Spalte:

Die Determinante ist ungleich Null, also die Matrix A reversibel.

Lassen Sie uns eine Matrix algebraischer Additionen finden:

Deshalb

Transponieren wir die Matrix aus algebraischen Additionen:

Jetzt finden wir die inverse Matrix als :

Schauen wir uns das Ergebnis an:

Gleichheiten erfüllt sind, daher wird die inverse Matrix korrekt gefunden.

Eigenschaften einer inversen Matrix.

Das Konzept einer inversen Matrix, Gleichheit , Definitionen von Operationen auf Matrizen und Eigenschaften der Determinante einer Matrix ermöglichen es, Folgendes zu begründen Eigenschaften der inversen Matrix:

Finden der Elemente der inversen Matrix durch Lösen der entsprechenden Systeme linearer algebraischer Gleichungen.

Betrachten wir eine andere Möglichkeit, die Umkehrmatrix für eine quadratische Matrix zu finden A Befehl N An N.

Diese Methode basiert auf der Lösung N Systeme linearer inhomogener algebraischer Gleichungen mit N unbekannt. Die unbekannten Variablen in diesen Gleichungssystemen sind die Elemente der inversen Matrix.

Die Idee ist sehr einfach. Bezeichnen wir die inverse Matrix als X, das heißt, . Denn per Definition der inversen Matrix, dann

Wenn wir die entsprechenden Elemente nach Spalten gleichsetzen, erhalten wir N Systeme linearer Gleichungen

Wir lösen sie auf beliebige Weise und bilden aus den gefundenen Werten eine inverse Matrix.

Schauen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels an.

Beispiel.

Gegeben sei eine Matrix . Finden Sie die inverse Matrix.

Lösung.

Akzeptieren wir . Gleichheit gibt uns drei Systeme linearer inhomogener algebraischer Gleichungen:

Die Lösung dieser Systeme wird bei Bedarf nicht beschrieben; siehe Abschnitt Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen.

Aus dem ersten Gleichungssystem haben wir, aus dem zweiten - , aus dem dritten - . Daher hat die erforderliche inverse Matrix die Form . Wir empfehlen, es zu überprüfen, um sicherzustellen, dass das Ergebnis korrekt ist.

Fassen wir zusammen.

Wir haben uns das Konzept einer inversen Matrix, ihre Eigenschaften und drei Methoden zu ihrer Ermittlung angesehen.

Beispiel für Lösungen mit der Methode der inversen Matrix

Aufgabe 1. Lösen Sie SLAE mit der Methode der inversen Matrix. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Beginn des Formulars

Ende des Formulars

Lösung. Schreiben wir die Matrix in der Form: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Hauptdeterminante Nebendeterminante für (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Moll für (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Moll für (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Moll für (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Determinante von Moll ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transponierte Matrix Algebraische Additionen ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4 -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverse Matrix Ergebnisvektor X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

siehe auch Lösungen von SLAEs unter Verwendung der inversen Matrixmethode online. Geben Sie dazu Ihre Daten ein und erhalten Sie eine Lösung mit detaillierten Kommentaren.

Aufgabe 2. Schreiben Sie das Gleichungssystem in Matrixform und lösen Sie es mithilfe der Umkehrmatrix. Überprüfen Sie die resultierende Lösung. Lösung:xml:xls

Beispiel 2. Schreiben Sie das Gleichungssystem in Matrixform und lösen Sie es mithilfe der Umkehrmatrix. Lösung:xml:xls

Beispiel. Gegeben ist ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten. Erforderlich: 1) Finden Sie die Lösung mit Cramer-Formeln; 2) Schreiben Sie das System in Matrixform und lösen Sie es mithilfe der Matrixrechnung. Methodische Empfehlungen. Suchen Sie nach der Lösung mit der Cramer-Methode nach der Schaltfläche „Lösen mit der inversen Matrixmethode für Quelldaten“. Sie erhalten die passende Lösung. Somit müssen Sie die Daten nicht erneut eingeben. Lösung. Bezeichnen wir mit A die Koeffizientenmatrix für Unbekannte; X - Matrixspalte der Unbekannten; B – Matrixspalte freier Mitglieder:

Vektor B: B T =(4,-3,-3) Unter Berücksichtigung dieser Notationen nimmt dieses Gleichungssystem die folgende Matrixform an: A*X = B. Wenn Matrix A nicht singulär ist (ihre Determinante ist ungleich Null). , dann hat es eine inverse Matrix A -1. Wenn wir beide Seiten der Gleichung mit A -1 multiplizieren, erhalten wir: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. Matrixschreibweise der Lösung eines linearen Gleichungssystems. Um eine Lösung des Gleichungssystems zu finden, ist es notwendig, die inverse Matrix A -1 zu berechnen. Das System hat eine Lösung, wenn die Determinante der Matrix A ungleich Null ist. Finden wir die Hauptdeterminante. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Also, Determinante 14 ≠ 0, also wir Lösung fortsetzen. Dazu finden wir die inverse Matrix durch algebraische Additionen. Lassen Sie uns eine nicht singuläre Matrix A haben:

Wir berechnen algebraische Komplemente.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Prüfung. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 Dok:xml:xls Antwort: -1,1,2.