Der französische Mathematiker löste das Problem der Kachelung einer Ebene. Beispiele für unlösbare Probleme: Fliesenproblem. Probleme mit außerschulischen Aktivitäten

ein Ort oder Raum hinter einer Brücke.

Ich habe meinen Schülern eine Möglichkeit vorgeschlagen, Probleme mit der nichtperiodischen Kachelung einer Ebene mit Figuren gleicher Form zu lösen. Ich habe eine Studie von zwei Wissenschaftlern der Duke University (USA) durchgeführt und mir gefiel die Version eines nichtperiodischen Mosaiks, das eine Ebene vollständig abdeckt und Kacheln derselben Form verwendet.

Der erste Fliesensatz bestand aus 20.426 Teilen und wurde 1966 von Robert Berger eingeführt. Nach einiger Zeit reduzierte er ihre Zahl auf 104. In den 70er Jahren des 20. Jahrhunderts präsentierte Penrose mit seinem Mosaik die Lösung und verwendete zwei verschiedene Figuren. Eine interessante Lösung fand ich bei Dmitry Safin, der für sein Mosaik eine Figur verwendete – ein regelmäßiges Sechseck. Beim Verlegen solcher Fliesen sollten die schwarzen Linien nicht unterbrochen werden und die Fahnen an den Eckpunkten der Sechsecke, die im Abstand liegen, gleich der Länge auf einer Seite der Fliese (in der Abbildung mit Pfeilen markiert) sollten in die gleiche Richtung zeigen. Hier wurden zwei unterschiedliche Farbgebungen verwendet: Die zweite entsteht durch Spiegelung der ersten relativ zu einer vertikalen Linie. Auf die zweite Farbmöglichkeit können Sie jedoch verzichten, wenn Sie die Fliese dreidimensional gestalten. Wenn Sie die Ebene zur einfacheren Darstellung mit solchen Kacheln kacheln (dargestellt in einer der Abbildungen unten), werden die nach links gerichteten Flaggen auf den Sechsecken hier durch violette Linien und Flaggen anderer Typen durch rote ersetzt.

Außerdem werden Beispiele für Kacheln aufgeführt, die eine nichtperiodische Kachelung erzeugen, wenn nur ihre Form berücksichtigt wird: In diesem Fall ist es nicht erforderlich, Verbindungsregeln für die Farbgebung festzulegen. In der 2D-Version bestehen diese Kacheln aus mehreren isolierten Bereichen, in der 3D-Version sind jedoch alle Teile miteinander verbunden.

Als nächstes habe ich mir eine weitere interessante Methode der Kachelung von Mathematikern angesehen Australien John Taylor und Joshua Socolar. Sie konnten das sogenannte Ein-Kachel-Problem lösen. Einer der meisten einfache Beispiele– sechseckige Kacheln, wenn die Ebene wie eine Bienenwabe aus Sechsecken besteht, die an den Seiten verbunden sind. Im sechseckigen Fall ist dies beispielsweise ein Vektor, der die Mittelpunkte benachbarter Zellen verbindet, die sechs Ecken haben. Im Rahmen neuer Arbeiten haben Mathematiker das Problem der Struktur einer nichtperiodischen Kachelung mithilfe nur einer Kachel gelöst. Das Modell der resultierenden Zelle ist sechseckig, aber dank der speziellen Farbgebung erweist sich die Kachelung als nicht periodisch. Zusätzlich zum zweidimensionalen Problem bieten Mathematiker ein dreidimensionales Analogon ihres eigenen Ergebnisses an.

Neben ihrer praktischen Anwendung ist die Fliesentheorie eine Inspirationsquelle für Künstler. Beispielsweise schuf Maurits Escher (ein Künstler aus den Niederlanden) ganze Gemälde mit ungewöhnlichen Mosaiken. Sein Gemälde „Acht Köpfe“ basiert auf einer rechteckigen Tessellation. Dieser Künstler fertigte Zeichnungen an geometrische Formen, wo Sie die Verwendung der Kachelung von Figuren nachvollziehen können, und zwar nicht nur bei einer Figur, sondern bei vielen anderen. Die Schüler schätzten die Schönheit des Pflasters mit verschiedenen Figuren, brachten eine riesige Auswahl an Zeichnungen des Künstlers mit und versuchten, Aufgaben in Form von Zeichnungen zu lösen.

Nachfolgend finden Sie verschiedene Zeichnungen zu einem bestimmten Thema.

Aus der Geschichte

Quasikristall - ein fester Körper, der im klassischen Sinne durch Symmetrie und das Vorhandensein von gekennzeichnet ist. Besitzt zusammen mit einem diskreten Bild.

Quasikristalle wurden erstmals in Experimenten an schnell abgekühltem Al 6 Mn beobachtet, die dafür mit einer Auszeichnung ausgezeichnet wurden. Die erste von ihm entdeckte quasikristalline Legierung hieß „Shekhtmanit“ ( Shechtmanit). Shekhtmans Artikel wurde zweimal nicht zur Veröffentlichung angenommen und schließlich in gekürzter Form in Zusammenarbeit mit den berühmten Spezialisten I. Blech, D. Gratias und J. Kahn veröffentlicht, die er anzog. Das resultierende Beugungsmuster enthielt typische scharfe () Peaks, aber insgesamt hatte es ein Punktikosaeder, das heißt insbesondere, es hatte eine Symmetrieachse fünfter Ordnung, was in einem dreidimensionalen periodischen Gitter unmöglich ist. Das Beugungsexperiment ermöglichte zunächst die Erklärung des ungewöhnlichen Phänomens durch Beugung an mehreren kristallinen Zwillingen, die zu Körnern mit ikosaedrischer Symmetrie verschmolzen waren. Allerdings bewiesen bald subtilere Experimente, dass die Symmetrie von Quasikristallen auf allen Skalen bis hinunter zu vorhanden ist und dass ungewöhnliche Substanzen tatsächlich eine neue Struktur der Organisation der Materie darstellen.

Später stellte sich heraus, dass Physiker schon lange vor ihrer offiziellen Entdeckung auf Quasikristalle stießen, insbesondere bei der Untersuchung von Quasikristallen, die im Laufe der Jahre aus Körnern in Legierungen gewonnen wurden. Allerdings wurden ikosaedrische Quasikristalle damals fälschlicherweise als große kubische Kristalle identifiziert. Vorhersagen über die Existenz von Strukturen in Quasikristallen wurden von Maki gemacht.

Derzeit sind Hunderte Arten von Quasikristallen bekannt, die die Punktsymmetrie des Ikosaeders sowie des Zehn-, Acht- und Zwölfecks aufweisen.

Atommodell eines Al-Pd-Mn-Quasikristalls

STRUKTUR

Deterministische und entropiestabilisierte Quasikristalle

Es gibt zwei Hypothesen darüber, warum Quasikristalle (meta-)stabile Phasen sind. Einer Hypothese zufolge wird Stabilität durch die Tatsache verursacht, dass die innere Energie von Quasikristallen im Vergleich zu anderen Phasen minimal ist. Daher sollten Quasikristalle auch bei absoluter Nulltemperatur stabil sein. Bei diesem Ansatz ist es sinnvoll, über bestimmte Positionen von Atomen in einer idealen quasikristallinen Struktur zu sprechen, das heißt, wir haben es mit einem deterministischen Quasikristall zu tun. Eine andere Hypothese legt den entscheidenden Beitrag nahe in Stabilität. Entropiestabilisierte Quasikristalle sind bei niedrigen Temperaturen grundsätzlich instabil. Derzeit gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass echte Quasikristalle allein aufgrund der Entropie stabilisiert werden.

Mehrdimensionale Beschreibung

Eine deterministische Beschreibung der Struktur von Quasikristallen erfordert die Angabe der Position jedes Atoms und das entsprechende Strukturmodell muss das experimentell beobachtete Beugungsmuster reproduzieren. Die allgemein akzeptierte Art, solche Strukturen zu beschreiben, macht sich die Tatsache zunutze, dass Punktsymmetrie, die für ein Kristallgitter im dreidimensionalen Raum verboten ist, in einem Raum höherer Dimension D zulässig sein kann. Nach solchen Strukturmodellen befinden sich die Atome in einem Quasikristall befinden sich am Schnittpunkt eines (symmetrischen) dreidimensionalen Unterraums R D (genannt physikalischer Unterraum) mit periodisch angeordneten Mannigfaltigkeiten mit einer Grenze der Dimension D-3, quer zum physikalischen Unterraum.

„Regeln erstellen“

Die mehrdimensionale Beschreibung beantwortet nicht die Frage, wie lokal kann einen Quasikristall stabilisieren. Quasikristalle haben eine aus der Sicht der klassischen Kristallographie paradoxe Struktur, die aus theoretischen Überlegungen vorhergesagt wurde (). Die Theorie der Penrose-Mosaike ermöglichte es, von den üblichen Vorstellungen über kristallographische Fedorov-Gruppen (basierend auf periodischen Raumfüllungen) abzuweichen.

METALLURGIE

Die Herstellung von Quasikristallen wird dadurch erschwert, dass sie alle entweder metastabil sind oder aus einer Schmelze entstehen, deren Zusammensetzung sich von der Zusammensetzung der festen Phase unterscheidet().

NATÜRLICH

Gesteine ​​mit natürlichen Fe-Cu-Al-Quasikristallen gefunden im Jahr 1979. Allerdings stellten Wissenschaftler diese Tatsache erst im Jahr 2009 fest. Im Jahr 2011 veröffentlichten sie einen Artikel, in dem sie sagten, dieser Quasikristall sei außerirdischen Ursprungs. Im Sommer 2011 fanden Mineralogen während einer Expedition nach Russland neue Proben natürlicher Quasikristalle.

EIGENSCHAFTEN

Zunächst gelang es den Experimentatoren, in eine sehr enge „Temperaturlücke“ zu gelangen und quasikristalline Materialien mit ungewöhnlichen neuen Eigenschaften zu erhalten. Später wurden jedoch Quasikristalle in Al-Cu-Li und anderen Systemen entdeckt, die wie gewöhnliche Kristalle bis zu stabil sein und bei nahezu 100 °C wachsen können.

Bei Quasikristallen hingegen ist sie bei niedrigen Temperaturen ungewöhnlich hoch und nimmt mit steigender Temperatur ab. In schichtförmigen Quasikristallen verhält sich der elektrische Widerstand entlang der Achse wie in einem normalen Metall und in quasikristallinen Schichten wie oben beschrieben.

Magnetische Eigenschaften. Die meisten sind quasikristallin –, aber auch Legierungen mit –.

Quasikristalle kommen den elastischen Eigenschaften amorpher Substanzen näher als kristalline. Sie zeichnen sich im Vergleich zu Kristallen durch geringere Werte aus. Quasikristalle sind jedoch kleiner als Kristalle mit ähnlicher Zusammensetzung und spielen wahrscheinlich in Metalllegierungen eine Rolle.

QUASI-KRISTALL

eine besondere Art der Packung von Atomen in einer festen Substanz, die durch ikosaedrische (d. h. mit Achsen 5. Ordnung) Symmetrie, Orientierungsordnung über große Entfernungen und das Fehlen der dem Gewöhnlichen innewohnenden Translationssymmetrie gekennzeichnet istkristalliner Zustand. Quasikristall benannt nach In einer schnell abgekühlten Metalllegierung Al wurde ein Atompaket geöffnet 6 Mn (1984) und dann in Al-Fe-, Ni-Ti- usw. Systemen entdeckt. Regulär weisen eine dreidimensionale Periodizität in der Anordnung der Atome auf, wobei die Möglichkeit der Existenz von Symmetrieachsen 5. Ordnung ausgeschlossen ist. In einem amorphen (glasigen) Zustand sind lokale Gruppen von Atomen mit ikosaedrischer Symmetrie möglich, aber im gesamten Volumen des amorphen Körpers gibt es keine Fernordnung in der Anordnung der Atome, weder translatorisch noch orientierend. K. kann als Zwischenprodukt angesehen werden. Art der atomaren Ordnung zwischen wirklich kristallin und glasig. Ein zweidimensionales Modell von K. sind Packungen („Parkette“) von Rauten mit einem Spitzenwinkel von 360°/5 = 72° mit Symmetrieachsen 5. Ordnung: In diesem Fall werden die Lücken mit anderen Rauten gefüllt ein Spitzenwinkel von 360°/10 = 36° (Penrose-Muster, Abb. 1); Die Kombinationen dieser Rauten ergeben gleiche Zehnecke. Die Winkelausrichtung aller Elemente des Parketts wiederholt sich in der gesamten Ebene; dies ist die Fernorientierungsordnung, es gibt jedoch keine echte translatorische Fernordnung (obwohl es eine ungefähre Periodizität entlang bestimmter Richtungen gibt).

Reis. 1 . Zweidimensional Modell Quasikristall ( hervorgehoben Zehnecke).

Reis . 2. Elemente der Struktur eines Quasikristalls aus fünf Tetraedern: Fragment eines Ikosaeders (a), 32 - Scheitelpunkt Triacontaeder(6 ).

Packung von Atomen im dreidimensionalen Raum K. kann anhand von Polyedern beschrieben werden, die Achsen der Ordnung 5 enthalten, oder anhand von Fragmenten solcher Polyeder. In Abb. 2 und zeigt die Charakteristik von K. Fragmentikosaeder

(12 - Gipfel - zwanzigseitig mit Punktsymmetrie 53m), bestehend aus 5 Tetraedern. Damit die 6 Scheitelpunktatome und das Zentralatom eine dichte Packung bilden, muss der Radius des Zentralatoms etwas kleiner sein als der des Sekundäratoms; Beispielsweise beträgt in Al 6 Mn der Atomradius von Mn 0,130 nm, Al - 0,143 nm. Fragmente der Atomstruktur von K. Es kann auch dreidimensionale Analoga von Penrose-Mustern geben – spitze und stumpfe Rhomboeder mit Scheitelwinkeln von 63, 43° und 116, 57°, aus denen ein Polyeder zusammengesetzt werden kann – ein Triacontaeder mit Symmetrie 53m, mit 32 Scheitelpunkten (Abb. 2 , 6 ). Packung von Atomen in K. kann beobachtet werden verrenkungsähnliche Störungen (vgl Mängel ). ZU . Typ Al 6 Mn sein kann betrachten als metastabile Phasen. Es gibt jedoch eine K-Struktur. Die Art der Al-Li-Cu-Mn-Legierung, die durch langsames Abkühlen der Schmelze erhalten wird, ist offenbar im Gleichgewicht. Momentan Zeit entwickeln körperlich Theorien quasikristallin. Staaten.

Es ist einfach, die Ebene mit Parkett aus regelmäßigen Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken zu pflastern (siehe unten). Fliesen Wir verstehen diese Anordnung, bei der die Eckpunkte jeder Figur nur auf die Eckpunkte benachbarter Figuren angewendet werden und es keine Situation gibt, in der ein Eckpunkt auf die Seite angewendet wird. Beispiele für solche Fliesen sind in Abb. dargestellt. 1.

Reis. 1. Flächenfliesen: ich - gleichseitige Dreiecke, ii - Quadrate, iii - regelmäßige Sechsecke

Kein anderes richtig N-Es wird nicht möglich sein, eine Ebene mit Winkeln ohne Lücken und Überlappungen abzudecken. So erklären Sie es. Bekanntlich ist die Summe der Innenwinkel beliebig N-gon ist gleich ( N– 2) 180°. Weil alle Winkel stimmen N-Ecke identisch sind, dann ist das Gradmaß jedes Winkels . Wenn die Ebene mit solchen Figuren gekachelt werden kann, dann konvergiert sie an jedem Scheitelpunkt k Polygone (für einige k). Die Summe der Winkel an diesem Scheitelpunkt muss also 360° betragen. Nach ein paar einfachen Transformationen wird aus dieser Gleichheit Folgendes: . Aber wie leicht zu überprüfen ist, hat die letzte Gleichung nur drei Lösungspaare, wenn wir das annehmen N Und k natürliche Zahlen: k = 3, N = 6; k = 4, N= 4 oder k = 6, N= 3. Diese Zahlenpaare entsprechen genau denen in Abb. 1 Fliesen.

Welche anderen Polygone können verwendet werden, um eine Ebene ohne Lücken oder Überlappungen zu kacheln?

Aufgabe

a) Beweisen Sie, dass jedes Dreieck zum Kacheln einer Ebene verwendet werden kann.

b) Beweisen Sie, dass jedes Viereck (sowohl konvex als auch nicht konvex) zum Kacheln einer Ebene verwendet werden kann.

c) Geben Sie ein Beispiel für ein Fünfeck, das zum Kacheln einer Ebene verwendet werden kann.

d) Geben Sie ein Beispiel für ein Sechseck, das nicht zum Kacheln einer Ebene verwendet werden kann.

e) Geben Sie ein Beispiel N-Quadrat für irgendein N> 6, mit dem das Flugzeug gepflastert werden kann.

Hinweise

1) In den Punkten a), c), e) können Sie versuchen, aus identischen Figuren „Streifen“ zu machen, mit denen Sie dann problemlos das gesamte Flugzeug pflastern können.

Schritt b): Falten Sie zwei identische Vierecke zu einem Sechseck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind. Es ist ganz einfach, mit diesen Sechsecken eine Ebene zu kacheln.

Punkt d): Nutzen Sie die Tatsache, dass die Summe der Winkel an jedem Scheitelpunkt 360° betragen muss.

2) In Punkt e) können Sie versuchen, anders vorzugehen: Ändern Sie die vorhandenen Figuren leicht, sodass neue Tessellationen entstehen.

Lösung

Beispiele für Antworten sind in den Bildern dargestellt.

A):

Reis. 2

B):

Reis. 3

c) Ein Fünfeck in Form eines Hauses reicht aus:

Reis. 4

d) Es wird nicht möglich sein, eine Ebene mit solchen Sechsecken zu pflastern: Es passt einfach kein Teil eines solchen Sechsecks vollständig in die „ausgeschnittene“ Ecke. Dies ist in den Zellen deutlich zu erkennen:

Reis. 5

Sie können sich viele andere Sechsecke ausdenken, die nicht zum Kacheln einer Ebene verwendet werden können.

e) Hier ist ein Beispiel für ein Zwölfeck, das zum Kacheln einer Ebene verwendet werden kann. Diese Kachelmethode wurde als Modifikation des üblichen quadratischen Gitters erhalten (siehe Abb. 1, ii aus der Bedingung):

Reis. 6

Das Problem, eine Fläche mit identischen Figuren ohne Lücken oder Überlappungen zu kacheln, ist seit der Antike bekannt. Einer ihrer Sonderfälle ist die Frage, was Parkett sein kann (also Fliesen einer Ebene). regelmäßige Polygone, und nicht unbedingt gleich) und insbesondere richtige Parkettböden. Richtiges Parkett hat folgende Eigenschaft: Mit Hilfe von Parallelübertragungen (Verschiebungen ohne Drehungen), die das Parkett in sich selbst übertragen, kann man einen vorgewählten Knoten mit jedem anderen Parkettknoten kombinieren. In Abb. 1 der Bedingungen zeigt genau die richtigen Parkettböden.

Reis. 9.„Giants Causeway“ (Nordirland). Foto von ru.wikipedia.org

Eine Verallgemeinerung unseres Problems – die Kachelung des Raums – ein moderner wichtiger Zweig der Kristallographie, der eine wichtige Rolle in der integrierten Optik und Laserphysik spielt.

Seltsamerweise waren bis vor relativ kurzer Zeit nur periodische Tessellationen bekannt (die nach einer gewissen Verschiebung und deren Wiederholungen vollständig mit sich selbst kompatibel sind). Doch 1974 kam der englische Wissenschaftler Roger Penrose

Reis. 11. M. C. Escher, „Reptilien“, 1946 ( links) und „Schmetterlinge“, 1950

Auch Parkette und Mosaike finden sich in Schöne Künste. Am berühmtesten sind vielleicht die Werke des Niederländers M.K. Escher (M. C. Escher).

Warum gibt es einige menschliche Organe paarweise (z. B. Lunge, Niere) und andere in einer Kopie?

Kaustiken sind allgegenwärtige optische Oberflächen und Krümmungen, die durch Reflexion und Brechung von Licht entstehen. Kaustiken können als Linien oder Flächen beschrieben werden, entlang derer sich Lichtstrahlen konzentrieren.

Schabbat G.B.

Wir wissen heute ungefähr so ​​viel über die Struktur des Universums, wie die Menschen der Antike über die Erdoberfläche wussten. Genauer gesagt wissen wir, dass der kleine Teil des Universums, der unseren Beobachtungen zugänglich ist, genauso strukturiert ist wie ein kleiner Teil des dreidimensionalen euklidischen Raums. Mit anderen Worten, wir leben auf einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit (3-Mannigfaltigkeit).

Victor Lavrus

Ein Mensch unterscheidet Gegenstände um ihn herum anhand ihrer Form. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine lebenswichtige Notwendigkeit bedingt sein oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, deren Konstruktion auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zur besten visuellen Wahrnehmung und zum Erscheinungsbild eines Gefühls von Schönheit und Harmonie bei. Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen. Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur.

Der Dokumentarfilm „Dimensionen“ ist zwei Stunden Mathematik, die Sie schrittweise in die vierte Dimension entführt.

Sergey Stafeev

Die wissensintensivste Aufgabe der antiken Völker war die Orientierung in Raum und Zeit. Zu diesem Zweck hat die Menschheit seit jeher zahlreiche megalithische Bauwerke errichtet – Cromlechs, Dromos, Dolmen und Menhire. Es wurden unglaublich geniale Geräte erfunden, die es ermöglichten, die Zeit minutengenau zu zählen oder Richtungen mit einem Fehler von nicht mehr als einem halben Grad zu visualisieren. Wir werden zeigen, wie Menschen auf allen Kontinenten Fallen für die Sonnenstrahlen schufen, Tempel bauten, als ob sie an astronomischen Himmelsrichtungen „aufgehängt“ wären, geneigte Tunnel gruben, um tagsüber die Sterne zu beobachten, oder Gnomonobelisken errichteten. Unglaublicherweise gelang es unseren entfernten Vorfahren beispielsweise, nicht nur den Sonnen- oder Mondschatten, sondern sogar dem Schatten der Venus zu folgen.

Das Undenkbare zu denken und davon überzeugt zu werden, dass es dennoch denkbar ist, ist ein Phänomen der Geometrie.

A.D.Alexandrow

Klasse: 8-9

Ziele:

• Bildung und Entwicklung studentischer Ideen zu neuen mathematischen Objekten und mathematischen Konzepten.
• Entwicklung eines kreativen Interesses an Mathematik.
• Erweiterung des mathematischen Horizonts der Studierenden.
• Förderung des guten Willens und der gegenseitigen Unterstützung bei der Zusammenarbeit.

Ziele außerschulischer Aktivitäten:

• Praktische Anwendung mathematischer Kenntnisse beim Studium neuer mathematischer Objekte.
• Entwicklung logischen Denkens und Forschungsfähigkeiten.
• Einführung in die Anwendung neu erworbener Erkenntnisse in der modernen Wissenschaft.
• Stellen von Fragen zur weiteren Beschäftigung mit dem Thema.

Vorbereitung: Arbeiten Sie in Gruppen. Jede Gruppe erstellt Modelle regelmäßiger Polygone sowie Kopien beliebiger Dreiecke und Vierecke.

Formen der Organisation studentischer Arbeiten: frontal, Gruppe.

Formen der Organisation der Arbeit eines Lehrers: Führung, Organisation, Koordination.

Spezifikationen: Multimedia-Büro.

Verwendete Ausrüstung: Computer, Projektor, Leinwand, CD.

Präsentation „Parkett – Eine Fläche mit Polygonen kacheln.“

Fortschritt der Lektion.

Parkette erregen seit der Antike die Aufmerksamkeit der Menschen. Sie bedeckten Böden, bedeckten die Wände von Räumen, schmückten die Fassaden von Gebäuden und wurden in der dekorativen und angewandten Kunst verwendet.
Obwohl das Studium von Parkett nicht im schulischen Mathematiklehrplan enthalten ist, entstand das Interesse an diesem Thema nach der Lösung einer einfachen Schulaufgabe: „Beweisen Sie, dass es möglich ist, aus identischen Fliesen in Form eines gleichschenkligen Trapezes ein Parkett herzustellen, das vollständig abdeckt.“ irgendein Teil des Flugzeugs.“ Welche anderen Polygone können zum Kacheln einer Ebene verwendet werden?

Richtige Parkettböden

Parkett Dies nennt man eine Kachelung einer Ebene mit Polygonen, bei der die gesamte Ebene von diesen Polygonen bedeckt wird und zwei beliebige Polygone entweder eine gemeinsame Seite oder einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben oder keine gemeinsamen Punkte haben.

Das Parkett heißt richtig, wenn es aus gleichen regelmäßigen Vielecken besteht.
Beispiele für korrekten Parkettboden waren den Pythagoräern bekannt. Sie füllen die Ebene mit: Quadraten, gleichseitigen Dreiecken, regelmäßigen Sechsecken.

Aufgabe für Studierende: Stellen Sie regelmäßige Parkettböden aus den verfügbaren Modellen regelmäßiger Polygone her.

Achten wir darauf, dass kein anderes regelmäßiges Vieleck das Parkett bildet. Und hier brauchen wir die Formel für die Winkelsumme eines Polygons. Wenn das Parkett aus besteht N-gons, dann gibt es an jedem Scheitelpunkt des Parketts eine Konvergenz k = 360°/ A N Polygone, wo A N – Winkel korrekt N-gon. Das ist leicht zu finden A 3 = 60°, A 4 = 90°, A 5 = 108°, A 6 = 120° und 120°<A N < 180° при N > 7. Daher wird 360° gleichmäßig durch geteilt A N erst wenn N = 3; 4; 6.
Es ist interessant, dass unter dem regelmäßigen Dreieck, dem Quadrat und dem regelmäßigen Sechseck, wenn man den Umfang berücksichtigt, größte Fläche hat ein Sechseck. Dieser Umstand führt in der Natur dazu, dass Bienenwaben die Form regelmäßiger Sechsecke haben, da Bienen beim Bau von Waben instinktiv versuchen, diese so geräumig wie möglich zu machen und dabei möglichst wenig Wachs zu verwenden.

Halbregelmäßige Parkettböden.

Erweitern wir die Methoden zum Konstruieren von Parketts aus regelmäßigen Vielecken und ermöglichen die Verwendung regelmäßiger Vielecke mit unterschiedlicher Anzahl von Seiten, jedoch so, dass die regelmäßigen Vielecke um jeden Scheitelpunkt in derselben Reihenfolge angeordnet sind. Solche Parkette werden genannt halbregelmäßig.

Schüleraufgabe: Verwenden Sie die verfügbaren Modelle regelmäßiger Polygone, um halbregelmäßige Parkettböden zu erstellen.

Um die Anzahl der halbregelmäßigen Parquets herauszufinden, müssen mögliche Fälle der Anordnung regelmäßiger Polygone um einen gemeinsamen Scheitelpunkt analysiert werden. Bezeichnen wir dazu mit A 1 ,A 2 ... sind die Winkel regelmäßiger Vielecke, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben. Ordnen wir sie in aufsteigender Reihenfolge an A 1 < a 2 < … Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Summe aller dieser Winkel 360° betragen muss, erstellen wir eine Tabelle mit möglichen Winkelsätzen und geben die entsprechenden Parkette an.
Somit gibt es insgesamt 11 reguläre und halbreguläre Parkette.

Planigons

Betrachten wir eine andere Verallgemeinerung: Parkette, die aus Kopien eines beliebigen Polygons bestehen und „entlang der Kanten“ korrekt sind (d. h. eine bestimmte Fliese in eine andere verwandeln). Die Polygone, die in diesen Parketten verlegt werden können, werden als Fliesen bezeichnet Planigons.
Es ist klar, dass eine Ebene mit Kopien eines beliebigen Dreiecks angelegt werden kann, aber es ist weniger offensichtlich, dass ein beliebiges Viereck ein Planigon ist. Das Gleiche gilt für jedes Sechseck, dessen gegenüberliegende Seiten gleich und parallel sind.

Schüleraufgabe: Machen Sie Parkette aus den verfügbaren Kopien beliebiger Dreiecke und Vierecke.

Alle oben besprochenen Parkette sind periodisch, das heißt, in jedem von ihnen ist es möglich (und sogar auf viele Arten), einen Bereich aus mehreren Fliesen auszuwählen, aus dem durch parallele Verschiebungen das gesamte Parkett entsteht.
Das Interesse der Wissenschaftler an solchen Strukturen erklärt sich aus der Tatsache, dass periodische Kacheln, insbesondere räumliche Kacheln, kristalline Strukturen modellieren.

Frage für die Zukunft: Gibt es nichtperiodische Kacheln?

Statt einer Schlussfolgerung

Von besonderem Interesse ist die Erstellung eigener Parketts – das Füllen der Ebene mit identischen Figuren (Parkettelementen), beispielsweise unter Verwendung von Achsensymmetrie und Parallelverschiebung. Die Hauptsache ist, dass die Konstruktion auf einem Polygon basiert, dessen Größe dem Parkettelement entspricht.

Hausaufgaben. Kreieren Sie mit allen Mitteln das Parkett, das Ihnen gefällt: vom farbigen Papier bis zur Computertechnik.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Atanasyan L.S. und andere. Geometrie, 7-9 – M.: Bildung, 2010.
2. Atanasyan L.S. usw. Geometrie: Add. Kapitel für die Schule Lehrbuch 8. Klasse: Lehrbuch. Handbuch für Schüler. und cl. mit Tiefgang studiert Mathematik. – M.: Bildung, 1996.
3. Atanasyan L.S. usw. Geometrie: Add. Kapitel für die Schule Lehrbuch 9. Klasse: Lehrbuch. Handbuch für Schüler. und cl. mit Tiefgang studiert Mathematik. – M.: Bildung, 1997.
4. Kolmogorov A.N. Parkette aus regelmäßigen Polygonen.//Kvant, 1970, Nr. 3.
5. Smirnow V.A. Computer hilft Geometrie //Mathematik: Wöchentliche pädagogische und methodische Adj. zu gasen „Erster September.“ – 2003, Nr. 21.
6. Sovertkov P.I. und andere. Geometrisches Parkett auf einem Computerbildschirm.//Informatik und Bildung, 2000, Nr. 9.
7. Enzyklopädie für Kinder. T.11.Mathematik/Chefredakteur. M.D. Aksenova. – M.: Avanta+, 2008.

Um Volumen zu erforschen und zu beschreiben, verwenden Menschen die Methode, einen volumetrischen Körper auf eine Ebene zu projizieren. Es sieht ungefähr so ​​aus:

Wenn Sie wissen, wie Projektionen aussehen, können Sie ein echtes dreidimensionales Objekt erkennen, erforschen und konstruieren.

Dies ist eine in der klassischen Kristallographie übliche Forschungsmethode. Die Forscher untersuchen zunächst eine Projektion oder Ebene, indem sie diese mit berechneten Elementen so dicht wie Parkett „pflastern“ und gleichzeitig die Symmetrie und andere Merkmale der gepflasterten Ebene untersuchen.

Dann wird das gesamte dreidimensionale Volumen mit diesen Flächen ausgefüllt, so wie Bücher eine kubische Verpackungsschachtel füllen. Diese Methode wird als Kachelmethode bezeichnet.

Das Interesse am Fliesenlegen entstand im Zusammenhang mit der Konstruktion von Mosaiken, Ornamenten und anderen Mustern auf der Grundlage regelmäßiger Polyeder: Dreiecke, Quadrate und Hexaeder.

Es war noch nie möglich, eine Ebene aus einem regelmäßigen Fünfeck oder Fünfeck zu kacheln. Es hinterlässt Lücken – ungefüllte Risse. Und deshalb gilt die fünfeckige Symmetrie in der klassischen Kristallographie bis heute als verboten.

Und schließlich wurde eine solche Methode gefunden.

Im Jahr 1976 gab der englische Mathematiker Roger Penrose, der aktiv in verschiedenen Bereichen der Mathematik, der allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantentheorie tätig war, eine mathematische Beschreibung des nach ihm benannten „Penrose-Mosaiks“.

Sie ermöglichte es, mit Hilfe von nur zwei Fliesen von sehr einfacher Form eine endlose Fläche mit einem sich nie wiederholenden Muster zu pflastern.

Um die mathematische Essenz der „Penrose-Diamanten“ zu verstehen, wenden wir uns dem Pentagramm zu.

In ihrer einfachsten Form sind „Penrose-Kacheln“ ein Satz aus zwei Arten von Rautenformen, einige mit einem Innenwinkel von 36°, andere mit einem Innenwinkel von 72°. Jedes besteht aus zwei Dreiecken, die das entsprechende Pentagramm-Modell füllen.

Die Verhältnisse der Elemente des Pentagramms spiegeln vollständig das goldene Fibonacci-Verhältnis wider. Seine Basis ist die irrationale Zahl = 1,6180339...

Penroses Idee, eine Fläche mit Hilfe „goldener“ Rauten dicht zu füllen, wurde in den dreidimensionalen Raum umgesetzt.

In diesem Fall können Ikosaeder und Dodekaeder die Rolle der „Penrose-Rhombus“ in neuen räumlichen Strukturen übernehmen.

Es war ein wunderschöner Fund, nur eine der vielen Erfindungen des klugen und hartnäckigen Geistes von Roger Penrose, der von räumlichen Paradoxien fasziniert ist. Hier zeigt sich sein tadelloses Verständnis des Fibonacci-Goldenen Schnitts, das seine Forschung der Kunst näher brachte.

Und es war die Grundlage für weitere Forschungen und die Entdeckung von Quasikristallen in chemischen Labors und ein neues, kreativeres Verständnis des dreidimensionalen Raums, sowohl für Wissenschaft als auch für Kunst.

Eines der markanten Beispiele kreativer Auseinandersetzung, das meine Aufmerksamkeit erregte, war die junge slowenische Künstlerin Matyushka Teija Krašek.

Sie erhielt ihren BA in Malerei von der Hochschule für Bildende Künste (Ljubljana, Slowenien). Der Schwerpunkt ihrer theoretischen und praktischen Arbeit liegt auf der Symmetrie als Brückenkonzept zwischen Kunst und Wissenschaft.

Ihre Kunstwerke wurden auf zahlreichen internationalen Ausstellungen präsentiert und in internationalen Magazinen veröffentlicht .

M.T. Krašek bei seiner Ausstellung „Kaleidoskopische Düfte“, Ljubljana, 2005

Die künstlerische Kreativität von Mutter Teia Krashek ist mit verschiedenen Arten von Symmetrie, Penrose-Kacheln und Rauten, Quasikristallen, dem Goldenen Schnitt als Hauptelement der Symmetrie, Fibonacci-Zahlen usw. verbunden.

Mit Hilfe von Reflexion, Vorstellungskraft und Intuition versucht es, in diesen Elementen und Strukturen neue Zusammenhänge, neue Strukturebenen, neue und andere Ordnungsarten zu finden.

In ihrer Arbeit nutzt sie in großem Umfang Computergrafiken als sehr nützliches Werkzeug zur Schaffung von Kunstwerken, die eine Verbindung zwischen Wissenschaft, Mathematik und Kunst darstellen.

Wenn wir eine der Fibonacci-Zahlen (z. B. 21 cm) für die Seitenlänge des Penrose-Diamanten in dieser spürbar instabilen Komposition wählen, können wir beobachten, wie die Längen einiger Segmente in der Komposition eine Fibonacci-Folge bilden.

Ein großer Teil der künstlerischen Kompositionen des Künstlers ist Shekhtman-Quasikristallen und Penrose-Gittern gewidmet.

In diesen erstaunlichen Kompositionen können Manifestationen der Kreissymmetrie in den Beziehungen zwischen Penrose-Rhombussen beobachtet werden:

Jeweils zwei benachbarte Penrose-Diamanten bilden einen fünfeckigen Stern. Sie können das Zehneck sehen, das durch die Kanten von 10 benachbarten Penrose-Rhombussen gebildet wird und ein neues regelmäßiges Polyeder bildet.

Und im letzten Bild gibt es ein endloses Zusammenspiel von Penrose-Rhombussen – Pentagrammen, Fünfecken, die zum Mittelpunkt der Komposition hin abnehmen. Der Goldene Schnitt wird auf unterschiedlichen Skalen auf vielfältige Weise dargestellt.

Die künstlerischen Kompositionen von Mutter Teia Krashek erregten große Aufmerksamkeit bei Vertretern von Wissenschaft und Kunst.

Das Penrose-Mosaik ist ein großartiges Beispiel dafür, wie eine schöne Konstruktion, die sich an der Schnittstelle verschiedener Disziplinen befindet, zwangsläufig ihre eigene Anwendung findet.

Ein Beispiel für die Kachelung auf einer hyperbolischen Ebene

Der französische Mathematiker Michael Rao von der Universität Lyon hat die Lösung für das Problem der Kachelung einer Ebene mit konvexen Polygonen fertiggestellt. Einen Vorabdruck der Arbeit finden Sie auf der Seite des Wissenschaftlers.

Ein Polygon heißt konvex, wenn alle seine Winkel kleiner als 180 Grad sind oder, was dasselbe ist, neben einem beliebigen Punktpaar auch ein sie verbindendes Segment enthält. Das Fliesenproblem (auch Parkettproblem genannt) wird wie folgt formuliert: Die Ebene sei in Polygone unterteilt, sodass zwei beliebige Polygone entweder keine gemeinsamen Punkte oder nur gemeinsame Randpunkte haben. Wenn alle Polygone einer solchen Partition gleich sind (das heißt, eines kann durch eine Zusammensetzung aus Translation, Rotation oder axialer Symmetrie in ein anderes übersetzt werden), dann sagt man, dass das Polygon die Ebene kachelt. Das Problem sieht folgendermaßen aus: Beschreiben Sie alle konvexen Polygone, die die Ebene kacheln.

Mit einigen kombinatorischen Überlegungen kann man beweisen, dass ein solches Polygon nur 3, 4, 5 oder 6 Seiten haben kann. Es lässt sich leicht überprüfen, ob die Ebene mit jedem beliebigen Drei- oder Viereck gekachelt werden kann. Mehr dazu können Sie in unserem Material lesen.

Um alle Sechsecke zu beschreiben, bezeichnen wir ihre Winkel als A, B, C, D, E, F und ihre Seiten als a, b, c, d, e, f. In diesem Fall gehen wir davon aus, dass Seite a rechts an Winkel A angrenzt und alle Seiten und Winkel im Uhrzeigersinn benannt sind. In den 60er Jahren wurde bewiesen, dass alle Sechsecke, die zum Kacheln einer Ebene verwendet werden können, zu mindestens einer von drei Klassen gehören (die Klassen schneiden sich hier; sagen wir, ein regelmäßiges Sechseck gehört zu allen drei):

1. A + B + C = 360
2. A + B + D = 360, a = d, c = e
3. A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.

Alle 15 bekannten fünfeckigen Tessellationen

Der schwierigste Fall ist der des fünfeckigen Parketts. Im Jahr 1918 beschrieb der Mathematiker Karl Reinhardt fünf Klassen solcher Parketts, von denen die einfachste die Klasse der Fünfecke war, mit der Bedingung, dass es eine Seite gibt, deren Summe benachbarter Winkel 180 Grad beträgt. 1968 fand Robert Kershner drei weitere solcher Klassen und 1975 Richard James eine weitere. Eine Zeitschrift schrieb über James' Entdeckung Wissenschaftlicher Amerikaner, Der Artikel wurde von der amerikanischen Hausfrau und Amateurmathematikerin Marge Rice gesehen, die über einen Zeitraum von 10 Jahren manuell fünf weitere Familien fand.

Der letzte Fortschritt bei der Fliesenproblematik erfolgte im August 2015. Dann verwendeten Mathematiker der University of Washington in Bothell ein Computerprogramm, um 15 fünfeckige Parkette zu bewerten. In seinem neuer Job Michael Rao reduzierte das Problem der Klassifizierung fünfeckiger Parkettböden auf die Suche nach 371 Optionen. Er ging die Optionen am Computer durch und zeigte, dass nur 15 bereits bekannte Kachelklassen existierten. Damit löste er endlich das Fliesenproblem.

Andrey Konyaev