Matrixmethode zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. Matrix-Methode online
- die Determinante der Matrix A wird berechnet;
- durch algebraische Additionen wird die inverse Matrix A -1 gefunden;
- eine Lösungsvorlage wird in Excel erstellt;
Anweisung. Um eine Lösung mit der Methode der inversen Matrix zu erhalten, ist es notwendig, die Dimension der Matrix anzugeben. Geben Sie als Nächstes im neuen Dialogfeld die Matrix A und den Ergebnisvektor B ein.
Siehe auch Lösung von Matrixgleichungen.Lösungsalgorithmus
- Die Determinante der Matrix A wird berechnet. Wenn die Determinante Null ist, dann ist die Lösung beendet. Das System hat unendlich viele Lösungen.
- Wenn die Determinante von Null verschieden ist, wird die inverse Matrix A -1 durch algebraische Additionen gefunden.
- Der Entscheidungsvektor X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) wird durch Multiplikation der inversen Matrix mit dem Ergebnisvektor B erhalten.
Algebraische Ergänzungen.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
XT = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Untersuchung:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Der Online-Rechner löst das System lineare Gleichungen Matrixmethode. Sehr gegeben detaillierte Lösung. Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, wählen Sie die Anzahl der Variablen aus. Wählen Sie eine Methode zur Berechnung der inversen Matrix. Geben Sie dann die Daten in die Zellen ein und klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“.
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Anleitung zur Dateneingabe. Zahlen werden als ganze Zahlen (Beispiele: 487, 5, -7623 usw.), Dezimalzahlen (z. B. 67, 102,54 usw.) oder Brüche eingegeben. Der Bruch muss als a/b eingegeben werden, wobei a und b ganze Zahlen oder Dezimalzahlen sind. Beispiele 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 usw.
Matrixmethode zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
Unter Berücksichtigung der Definition der inversen Matrix haben wir A −1 A=E, Wo E ist die Identitätsmatrix. Daher kann (4) wie folgt geschrieben werden:
Um das lineare Gleichungssystem (1) (oder (2)) zu lösen, reicht es daher aus, die Umkehrung mit zu multiplizieren A Matrix pro Einschränkungsvektor B.
Beispiele für die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der Matrixmethode
Beispiel 1. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Matrixmethode:
Finden wir die Umkehrung der Matrix A mit der Jordan-Gauß-Methode. Auf der rechten Seite der Matrix A Schreiben Sie die Identitätsmatrix:
Lassen Sie uns die Elemente der 1. Spalte der Matrix unterhalb der Hauptdiagonale ausschließen. Addieren Sie dazu die Zeilen 2,3 mit Zeile 1, multipliziert mit -1/3 bzw. -1/3:
Lassen Sie uns die Elemente der 2. Spalte der Matrix unterhalb der Hauptdiagonale ausschließen. Addieren Sie dazu Zeile 3 mit Zeile 2 multipliziert mit -24/51:
Lassen Sie uns die Elemente der 2. Spalte der Matrix über der Hauptdiagonale ausschließen. Addieren Sie dazu Zeile 1 mit Zeile 2, multipliziert mit -3/17:
Separate rechte Seite Matrizen. Die resultierende Matrix ist inverse Matrix Zu A :
Matrixform zum Schreiben eines linearen Gleichungssystems: Axt=b, Wo
Berechnen Sie alle algebraischen Komplemente der Matrix A:
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Die Umkehrmatrix wird aus dem folgenden Ausdruck berechnet.
Betrachten Sie ein lineares Gleichungssystem mit vielen Variablen:
wo aij - Koeffizienten bei unbekanntem хi; Bi-Free-Mitglieder;
Indizes: i = 1,2,3…m- Bestimmen Sie die Nummer der Gleichung und j = 1,2,3...n- die Nummer der Unbekannten.
Definition: Die Lösung des Gleichungssystems (5) ist eine Menge von n Zahlen (x10, x20, .... xn0), bei deren Einsetzen in das System werden alle Gleichungen zu echten numerischen Identitäten.
Definition: Ein Gleichungssystem heißt konsistent, wenn es mindestens eine Lösung hat. Ein gemeinsames System heißt definit, wenn es eine eindeutige Lösung (x10, x20,….xn0) hat, und unbestimmt, wenn es mehrere solcher Lösungen gibt.
Definition: Ein System heißt inkonsistent, wenn es keine Lösung hat.
Definition: Tabellen aus numerischen Koeffizienten (aij) und freien Termen (bi) des Gleichungssystems (5) werden als Systemmatrix (A) und erweiterte Matrix (A1) bezeichnet und wie folgt bezeichnet:
Definition: Die Matrix des Systems A, die eine ungleiche Anzahl von Zeilen und Spalten (n?m) hat, heißt rechteckig. Wenn die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist (n=m), dann heißt die Matrix quadratisch.
Wenn die Anzahl der Unbekannten im System gleich der Anzahl der Gleichungen ist (n=m), dann hat das System eine quadratische Matrix n-ter Ordnung.
Lassen Sie uns k-beliebige Zeilen und k-beliebige Spalten (km, kn) in der Matrix A herausgreifen.
Definition: Die Determinante k-Ordnung, bestehend aus den Elementen der Matrix A, die sich am Schnittpunkt der ausgewählten Zeilen und Spalten befindet, wird als Minor k-Ordnung der Matrix A bezeichnet.
Betrachten Sie alle möglichen Minderjährigen der Matrix A. Wenn alle Minderjährigen (k + 1)-Ordnung gleich Null sind und mindestens einer der Minderjährigen k-Ordnung ungleich Null ist, wird die Matrix als Rang bezeichnet gleich k.
Definition: Der Rang einer Matrix A ist die größte Ordnung des von Null verschiedenen Nebenwerts dieser Matrix. Der Rang einer Matrix wird mit r(A) bezeichnet.
Definition: Jede Nebenmatrix einer Matrix ungleich Null, deren Ordnung ist gleich dem Rang Matrizen nennt man einfach.
Definition: Wenn für zwei Matrizen A und B ihre Ränge übereinstimmen r(A) = r(B), dann heißen diese Matrizen äquivalent und werden mit A B bezeichnet.
Der Rang einer Matrix ändert sich nicht durch elementare, äquivalente Transformationen, zu denen Folgendes gehört:
- 1. Ersetzen von Zeilen durch Spalten und Spalten durch entsprechende Zeilen;
- 2. Stellenweise Permutation von Zeilen oder Spalten;
- 3. Durchstreichen von Zeilen oder Spalten, deren Elemente alle gleich Null sind;
- 4. Multiplikation oder Division einer Zeile oder Spalte mit einer Zahl ungleich Null;
- 5. Addition oder Subtraktion von Elementen einer Zeile oder Spalte von einer anderen, multipliziert mit einer beliebigen Zahl.
Bei der Bestimmung des Rangs einer Matrix werden äquivalente Transformationen verwendet, mit deren Hilfe die ursprüngliche Matrix auf eine Stufenmatrix (Dreiecksmatrix) reduziert wird.
In einer Stufenmatrix befinden sich Nullelemente unter der Hauptdiagonale, und das erste Nicht-Null-Element jeder ihrer Zeilen, beginnend mit der zweiten, befindet sich rechts vom ersten Nicht-Null-Element der vorherigen Zeile.
Beachten Sie, dass der Rang einer Matrix gleich der Anzahl der Nicht-Null-Zeilen der Stufenmatrix ist.
Beispielsweise hat die Matrix A= eine Stufenform und ihr Rang ist gleich der Anzahl der Zeilen ungleich Null der Matrix r(A)=3. Tatsächlich sind alle Minderjährigen 4. Ordnung mit null Elementen der 4. Reihe gleich Null, und die Minderjährigen 3. Ordnung sind ungleich Null. Zur Kontrolle berechnen wir die Determinante des Minor der ersten 3 Zeilen und 3 Spalten:
Jede Matrix kann auf eine Stufenmatrix reduziert werden, indem die Matrixelemente unter der Hauptdiagonale mithilfe elementarer Operationen auf Null gesetzt werden.
Kehren wir zum Studium und zur Lösung des linearen Gleichungssystems (5) zurück.
Eine wichtige Rolle bei der Untersuchung linearer Gleichungssysteme spielt der Kronecker-Capeli-Satz. Lassen Sie uns diesen Satz formulieren.
Satz von Kronecker-Capelli: Ein System linearer Gleichungen ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Systemmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Matrix A1 ist, d. h. r(A)=r(A1). Im Kompatibilitätsfall ist das System eindeutig, wenn der Rang der Systemmatrix gleich der Anzahl der Unbekannten ist, d.h. r(A)=r(A1)=n und undefiniert, wenn dieser Rang kleiner als die Anzahl der Unbekannten ist, d. h. r(A)= r(A1) Beispiel. Entdecken Sie das lineare Gleichungssystem: Bestimmen wir die Ränge der Systemmatrix A und der erweiterten Matrix A1. Dazu stellen wir die erweiterte Matrix A1 zusammen und reduzieren sie auf eine Stufenform. Gehen Sie beim Konvertieren einer Matrix wie folgt vor: Als Ergebnis der durchgeführten Aktionen haben wir eine Stufenmatrix mit drei von Null verschiedenen Zeilen sowohl in der Systemmatrix (bis zur Zeile) als auch in der erweiterten Matrix erhalten. Daraus ist ersichtlich, dass der Rang der Matrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist und gleich 3 ist, aber kleiner als die Anzahl der Unbekannten (n=4). Antwort: weil r(A)=r(A1)=3 Aufgrund der Tatsache, dass es praktisch ist, den Rang von Matrizen zu bestimmen, indem man sie auf eine schrittweise Form reduziert, betrachten wir eine Methode zur Lösung eines Systems linearer Gleichungen mit der Gauß-Methode. Gauß-Methode Das Wesen der Gauß-Methode liegt in der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten.
t durch Reduktion auf eine Stufenform der erweiterten Matrix A1, die die Systemmatrix A bis zur Zeile umfasst. Dabei werden gleichzeitig die Ränge der Matrizen A, A1 bestimmt und das System nach dem Kronecker-Capelli untersucht Satz. In der letzten Phase wird ein Gleichungssystem schrittweise gelöst, wobei die gefundenen Werte der Unbekannten von unten nach oben ersetzt werden. Betrachten wir die Anwendung der Gauß-Methode und des Kronecker-Capeli-Theorems anhand eines Beispiels. Beispiel. Lösen Sie das System mit der Gauß-Methode: Bestimmen wir die Ränge der Systemmatrix A und der erweiterten Matrix A1. Dazu stellen wir die erweiterte Matrix A1 zusammen und reduzieren sie auf eine Stufenform. Gehen Sie beim Casting wie folgt vor: Wir haben eine Stufenmatrix erhalten, in der die Anzahl der Zeilen gleich 3 ist und die Matrix des Systems (vor der Zeile) auch keine Nullsenken hat. Daher sind die Ränge der Systemmatrix und der erweiterten Matrix 3 und gleich der Anzahl der Unbekannten, d. h. r(A)=r(A1)=n=3.. Nach dem Kronecker-Capelli-Theorem ist das System konsistent und definiert, hat eine eindeutige Lösung. Als Ergebnis der Transformation der Matrix A1, bei der die Koeffizienten für die Unbekannten auf Null gesetzt wurden, wurden sie sukzessive aus den Gleichungen ausgeschlossen und es wurde ein Stufen-(Dreiecks-)Gleichungssystem erhalten: Wenn wir der Reihe nach von unten nach oben gehen und die Lösung (x3=1) aus der dritten Gleichung in die zweite und die Lösungen (x2=1, x3=1) aus der zweiten und dritten Gleichung in die erste einsetzen, erhalten wir die Lösung von das Gleichungssystem: x1=1,x2=1, x3=1. Überprüfen Sie: -(!) Antwort: (x1=1,x2=1,x3=1). Jordan-Gauss-Methode Dieses System kann durch die verbesserte Jordan-Gauss-Methode gelöst werden, die darin besteht, dass die Matrix des Systems A in der erweiterten Matrix (bis zur Geraden) auf die Identitätsmatrix reduziert wird: E = mit einzelnen diagonalen und null außerdiagonalen Elementen und erhalten Sie sofort die Lösung des Systems ohne zusätzliche Substitutionen. Lösen wir das obige System mit der Jordan-Gauss-Methode. Dazu wandeln wir die resultierende Schrittmatrix wie folgt in eine einzige um: Das ursprüngliche Gleichungssystem wurde auf das System reduziert, das die Lösung bestimmt. Grundoperationen mit Matrizen Gegeben seien zwei Matrizen: A=
B=. Beim Summieren (Subtrahieren) von Matrizen werden deren gleichnamige Elemente addiert (subtrahiert). 3. Das Produkt der Zahl k mit der Matrix A ist die durch die Gleichung definierte Matrix: Wenn eine Matrix mit einer Zahl multipliziert wird, werden alle Elemente der Matrix mit dieser Zahl multipliziert. 4. Das Produkt der Matrizen AB ist die durch die Gleichung definierte Matrix: Bei der Multiplikation von Matrizen werden die Elemente der Zeilen der ersten Matrix mit den Elementen der Spalten der zweiten Matrix multipliziert und summiert, und das Element der Produktmatrix in der i-ten Zeile und j-ten Spalte ist gleich dem Summe der Produkte der entsprechenden Elemente der i-ten Zeile der ersten Matrix und der j-ten Spalte der zweiten Matrix. Bei der Multiplikation von Matrizen gilt im allgemeinen Fall das Kommutativgesetz nicht, d.h. AB? VA. 5. Die Transposition einer Matrix A ist eine Aktion, die zum Ersetzen von Zeilen durch Spalten und Spalten durch die entsprechenden Zeilen führt. Die Matrix AT= wird als transponierte Matrix für die Matrix A= bezeichnet. Wenn die Determinante der Matrix A ungleich Null ist (D?0), dann heißt eine solche Matrix nicht singulär. Für jede nicht singuläre Matrix A gibt es eine inverse Matrix A-1, für die die Gleichheit gilt: A-1 A= A A-1=E, wobei E=- Identitätsmatrix. 6. Die Inversion der Matrix A sind solche Aktionen, bei denen die inverse Matrix A-1 erhalten wird Beim Invertieren von Matrix A werden die folgenden Aktionen ausgeführt. Gleichungen im Allgemeinen, lineare algebraische Gleichungen und ihre Systeme sowie Methoden zu ihrer Lösung nehmen in der theoretischen und angewandten Mathematik einen besonderen Platz ein. Dies liegt daran, dass die allermeisten physikalischen, wirtschaftlichen, technischen und sogar pädagogischen Probleme mit einer Vielzahl von Gleichungen und deren Systemen beschrieben und gelöst werden können. In letzter Zeit erfreut sich die mathematische Modellierung bei Forschern, Wissenschaftlern und Praktikern in fast allen Fachgebieten besonderer Beliebtheit, was durch ihre offensichtlichen Vorteile gegenüber anderen bekannten und bewährten Methoden zur Untersuchung von Objekten unterschiedlicher Art, insbesondere der sogenannten Komplexe, erklärt wird Systeme. Es gibt eine große Vielfalt unterschiedlicher Definitionen eines mathematischen Modells, die von Wissenschaftlern zu unterschiedlichen Zeiten gegeben wurden, aber unserer Meinung nach ist die folgende Aussage die erfolgreichste. Ein mathematisches Modell ist eine Idee, die durch eine Gleichung ausgedrückt wird. Daher ist die Fähigkeit, Gleichungen und ihre Systeme aufzustellen und zu lösen, ein wesentliches Merkmal eines modernen Spezialisten. Um Systeme linearer algebraischer Gleichungen zu lösen, sind die am häufigsten verwendeten Methoden: Cramer, Jordan-Gauss und die Matrixmethode. Matrixlösungsmethode – eine Methode zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit einer Determinante ungleich Null unter Verwendung einer inversen Matrix. Wenn wir die Koeffizienten für unbekannte Werte xi in die Matrix A schreiben, die unbekannten Werte in den Vektor der Spalte X und die freien Terme in den Vektor der Spalte B sammeln, dann kann das System linearer algebraischer Gleichungen eingeschrieben werden die Form der folgenden Matrixgleichung A X = B, die nur dann eine eindeutige Lösung hat, wenn die Determinante der Matrix A ungleich Null ist. In diesem Fall kann die Lösung des Gleichungssystems auf folgende Weise gefunden werden X = A-1 · B, Wo A-1 - inverse Matrix. Die Matrixlösungsmethode ist wie folgt. Gegeben sei ein System linearer Gleichungen mit N Unbekannt: Es kann in Matrixform umgeschrieben werden: AXT =
B, Wo A- die Hauptmatrix des Systems, B Und X- Spalten der freien Mitglieder bzw. Lösungen des Systems: Multiplizieren Sie diese Matrixgleichung links mit A-1 – Matrix invers zur Matrix A: A -1 (AXT) = A -1 B Als A -1 A = E, wir bekommen X= A -1 B. Die rechte Seite dieser Gleichung ergibt eine Spalte mit Lösungen für das ursprüngliche System. Voraussetzung für die Anwendbarkeit dieser Methode (sowie für die allgemeine Existenz einer Lösung für ein inhomogenes System linearer Gleichungen mit der Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten) ist die Nichtentartung der Matrix A. Eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ist die Determinante der Matrix A: det A≠ 0. Für ein homogenes System linearer Gleichungen, also wenn der Vektor B = 0
, in der Tat die gegenteilige Regel: das System AXT =
0 hat nur dann eine nicht triviale (d. h. von Null verschiedene) Lösung, wenn det A= 0. Ein solcher Zusammenhang zwischen den Lösungen homogener und inhomogener Systeme linearer Gleichungen wird Fredholm-Alternative genannt. Beispiel Lösungen eines inhomogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen. Stellen wir sicher, dass die Determinante der Matrix, bestehend aus den Koeffizienten der Unbekannten des linearen algebraischen Gleichungssystems, ungleich Null ist. Der nächste Schritt besteht darin, die algebraischen Komplemente für die Elemente der Matrix zu berechnen, die aus den Koeffizienten der Unbekannten besteht. Sie werden benötigt, um die inverse Matrix zu finden.
