Zweifellos ist in unseren Köpfen das Bild einer Funktion mit Gleichheit und der ihr entsprechenden Linie – dem Graphen der Funktion – verbunden. Zum Beispiel - funktionale Abhängigkeit, deren Graph eine quadratische Parabel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung und nach oben gerichteten Zweigen ist; ist die für ihre Wellen bekannte Sinusfunktion.

In diesen Beispielen ist die linke Seite der Gleichheit y und die rechte Seite ist ein Ausdruck, der vom Argument x abhängt. Mit anderen Worten, wir haben eine Gleichung, die bezüglich y aufgelöst ist. Die Darstellung einer funktionalen Abhängigkeit in Form eines solchen Ausdrucks heißt durch explizites Festlegen der Funktion(oder Funktion explizit). Und diese Art der Funktionszuweisung ist uns am vertrautesten. In den meisten Beispielen und Problemen werden uns explizite Funktionen präsentiert. Über die explizit gegebene Differenzierung von Funktionen einer Variablen haben wir bereits ausführlich gesprochen.

Die Funktion impliziert jedoch eine Entsprechung zwischen einer Menge von x-Werten und einer Menge von y-Werten, und diese Entsprechung wird NICHT unbedingt durch eine Formel oder einen analytischen Ausdruck hergestellt. Das heißt, es gibt viele Möglichkeiten, eine Funktion zusätzlich zu den üblichen Möglichkeiten anzugeben.

In diesem Artikel werden wir uns damit befassen implizite Funktionen und Möglichkeiten, ihre Ableitungen zu finden. Beispiele für implizite Funktionen sind oder.

Wie Sie bemerkt haben, wird die implizite Funktion durch die Beziehung definiert. Aber nicht alle derartigen Beziehungen zwischen x und y definieren eine Funktion. Beispielsweise erfüllt kein Paar reeller Zahlen x und y die Gleichheit, daher definiert diese Beziehung keine implizite Funktion.

Es kann implizit das Gesetz der Entsprechung zwischen den Werten x und y definieren, und jeder Wert des Arguments x kann entweder einem (in diesem Fall haben wir eine einwertige Funktion) oder mehreren Werten der Funktion entsprechen ( in diesem Fall heißt die Funktion mehrwertig). Beispielsweise entspricht der Wert x = 1 implizit zwei realen Werten y = 2 und y = -2 gegebene Funktion.

Es ist bei weitem nicht immer möglich, eine implizite Funktion auf eine explizite Form zu reduzieren, sonst wäre es nicht notwendig, die impliziten Funktionen selbst zu differenzieren. Zum Beispiel, - wird nicht in eine explizite Form konvertiert, aber - wird konvertiert.

Nun zum Geschäft.

Um die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion zu finden, ist es notwendig, beide Seiten der Gleichheit in Bezug auf das Argument x zu differenzieren, wobei y als Funktion von x betrachtet wird, und dann auszudrücken.

Die Differenzierung von Ausdrücken, die x und y(x) enthalten, erfolgt unter Verwendung der Differenzierungsregeln und der Regel zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion. Lassen Sie uns gleich ein paar Beispiele im Detail analysieren, damit keine weiteren Fragen auftauchen.

Beispiel.

Ausdrücke differenzieren in x, vorausgesetzt, y ist eine Funktion von x.

Lösung.

Als y ist eine Funktion von x, also eine komplexe Funktion. Es kann konventionell als f(g(x)) dargestellt werden, wobei f die Würfelfunktion und g(x) = y ist. Dann gemäß der Ableitungsformel komplexe Funktion wir haben: .

Beim Differenzieren des zweiten Ausdrucks nehmen wir die Konstante aus dem Vorzeichen der Ableitung und verhalten uns wie im vorherigen Fall (hier ist f die Sinusfunktion, g(x) = y):

Für den dritten Ausdruck verwenden wir die Formel für die Ableitung des Produkts:

Durch sequentielle Anwendung der Regeln differenzieren wir den letzten Ausdruck:

Jetzt können Sie dazu übergehen, die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion zu finden, dafür haben wir das gesamte Wissen.

Beispiel.

Finden Sie die Ableitung einer impliziten Funktion.

Lösung.

Die Ableitung einer impliziten Funktion wird immer als Ausdruck dargestellt, der x und y enthält: . Um zu diesem Ergebnis zu gelangen, unterscheiden wir beide Seiten der Gleichheit:

Lösen wir die resultierende Gleichung nach der Ableitung:

Antworten:

.

KOMMENTAR.

Um das Material zu festigen, lösen wir ein weiteres Beispiel.

Betrachten wir zunächst eine implizite Funktion einer Variablen. Sie wird durch Gleichung (1) bestimmt, die jedem x aus einem Bereich X ein bestimmtes y zuordnet. Dann ist die Funktion y=f(x) auf X durch diese Gleichung definiert. Sie rufen Sie an implizit oder implizit gegeben. Wenn Gleichung (1) bezüglich y gelöst werden kann, d. h. Erhalten Sie die Form y \u003d f (x), dann wird die Aufgabe der impliziten Funktion explizit. Es ist jedoch nicht immer möglich, die Gleichung zu lösen, und in diesem Fall ist nicht immer klar, ob es überhaupt eine implizite Funktion y \u003d f (x) gibt, die durch Gleichung (1) in einer Umgebung des Punktes definiert ist ( x 0, y 0).

Zum Beispiel die Gleichung
ist relativ zu y unlösbar und es ist nicht klar, ob es beispielsweise eine implizite Funktion in einer Umgebung des Punktes (1,0) definiert. Beachten Sie, dass es Gleichungen gibt, die keine Funktion definieren (x 2 +y 2 +1=0).

Der folgende Satz erweist sich als wahr:

Satz„Existenz und Differenzierbarkeit einer impliziten Funktion“ (kein Beweis)

Lassen Sie die Gleichung
(1) und Funktion
, erfüllt die Bedingungen:

Dann:

. (2)

Geometrisch besagt der Satz, dass in der Umgebung eines Punktes
, wenn die Bedingungen des Satzes erfüllt sind, kann die durch Gleichung (1) definierte implizite Funktion explizit angegeben werden y=f(x), weil Jeder Wert von x hat ein eindeutiges y. Auch wenn wir keinen expliziten Ausdruck für die Funktion finden können, sind wir sicher, dass dies in einer Umgebung des Punktes M 0 bereits prinzipiell möglich ist.

Betrachten Sie das gleiche Beispiel:
. Schauen wir uns die Bedingungen an:

1)
,
- und die Funktion und ihre Ableitungen sind in der Nähe des Punktes (1,0) stetig (als Summe und Produkt stetiger Ableitungen).

2)
.

3)
. Daher existiert die implizite Funktion y= f(x) in einer Umgebung des Punktes (1,0). Wir können es nicht explizit aufschreiben, aber wir können immer noch seine Ableitung finden, die sogar stetig sein wird:

Überlegen Sie jetzt implizite Funktion mehrerer Variablen. Lassen Sie die Gleichung

. (2)

Wenn jedem Wertepaar (x, y) aus einer bestimmten Region Gleichung (2) einen bestimmten Wert von z zuordnet, dann sagt man, dass diese Gleichung implizit eine einwertige Funktion zweier Variablen bestimmt
.

Es gilt auch der entsprechende Existenz- und Differenzierungssatz für eine implizite Funktion mehrerer Variablen.

Satz 2: Die Gleichung sei gegeben
(2) und Funktion
erfüllt die Bedingungen:

Beispiel:
. Diese Gleichung definiert z als eine zweiwertige implizite Funktion von x und y
. Wenn wir die Bedingungen des Satzes in der Umgebung eines Punktes überprüfen, zum Beispiel (0,0,1), dann sehen wir die Erfüllung aller Bedingungen:

Dies bedeutet, dass in einer Umgebung des Punktes (0,0,1) eine implizite einwertige Funktion existiert: Wir können sofort sagen, dass dies der Fall ist
, definiert die obere Hemisphäre.

Es gibt stetige partielle Ableitungen
Sie erweisen sich übrigens als gleich, wenn wir eine explizit ausgedrückte implizite Funktion direkt differenzieren.

Die Definition und der Existenzsatz sowie die Differenzierung einer impliziten Funktion einer größeren Anzahl von Argumenten sind ähnlich.

Sehr oft treten bei der Lösung praktischer Probleme (zum Beispiel in der höheren Geodäsie oder der analytischen Photogrammetrie) komplexe Funktionen mehrerer Variablen auf, also Argumente x, y, z eine Funktion f(x,y,z) ) sind selbst Funktionen der neuen Variablen U, V, W ).

Dies geschieht beispielsweise, wenn man sich von einem festen Koordinatensystem aus bewegt Oxyz zum mobilen System Ö 0 UVW und zurück. In diesem Fall ist es wichtig, alle partiellen Ableitungen in Bezug auf die „festen“ – „alten“ und „bewegten“ – „neuen“ Variablen zu kennen, da diese partiellen Ableitungen normalerweise die Position eines Objekts in diesen Koordinatensystemen charakterisieren. und beeinflussen insbesondere die Übereinstimmung von Luftbildern mit einem realen Objekt. In solchen Fällen gelten folgende Formeln:

Das heißt, es liegt eine komplexe Funktion vor T drei „neue“ Variablen U, V, W durch drei „alte“ Variablen x, y, z Dann:

Kommentar. Variationen in der Anzahl der Variablen sind möglich. Zum Beispiel: wenn

Insbesondere, wenn z = f(xy), y = y(x) , dann erhalten wir die sogenannte „Gesamtableitung“-Formel:

Dieselbe Formel für die „Gesamtableitung“ im Fall von:

wird die Form annehmen:

Andere Variationen der Formeln (1.27) – (1.32) sind ebenfalls möglich.

Hinweis: Die Formel „Gesamtableitung“ wird im Physikunterricht, Abschnitt „Hydrodynamik“, bei der Ableitung des Grundgleichungssystems der Flüssigkeitsbewegung verwendet.

Beispiel 1.10. Gegeben:

Nach (1.31):

§7 Partielle Ableitungen einer implizit gegebenen Funktion mehrerer Variablen

Wie Sie wissen, ist eine implizit definierte Funktion einer Variablen wie folgt definiert: die Funktion der unabhängigen Variablen X heißt implizit, wenn sie durch eine Gleichung gegeben ist, die bezüglich nicht aufgelöst ist j :

Beispiel 1.11.

Die gleichung

definiert implizit zwei Funktionen:

Und die Gleichung

definiert keine Funktion.

Satz 1.2 (Existenz einer impliziten Funktion).

Lassen Sie die Funktion z \u003d f (x, y) und seine partiellen Ableitungen F" X Und F" j definiert und kontinuierlich in einer Nachbarschaft U M0 Punkte M 0 (X 0 j 0 ) . Außerdem, f(x 0 ,y 0 )=0 Und f"(x 0 ,y 0 )≠0 , dann bestimmt Gleichung (1.33) in der Nachbarschaft U M0 implizite Funktion y= y(x) , stetig und in einem bestimmten Intervall differenzierbar D auf einen Punkt zentriert X 0 , Und y(x 0 )=y 0 .

Ohne Beweis.

Aus Satz 1.2 folgt das auf diesem Intervall D :

das heißt, es gibt eine Identität in

wobei die „gesamte“ Ableitung nach (1.31) ermittelt wird

Das heißt, (1.35) gibt eine Formel zum Finden der Ableitung einer implizit gegebenen Funktion einer Variablen an X .

Eine implizite Funktion von zwei oder mehr Variablen wird auf ähnliche Weise definiert.

Zum Beispiel, wenn in einem bestimmten Bereich V Raum Oxyz die Gleichung ist erfüllt:

dann unter bestimmten Voraussetzungen auf die Funktion F es definiert implizit eine Funktion

Darüber hinaus ergeben sich in Analogie zu (1.35) seine partiellen Ableitungen wie folgt.

Die Funktion sei implizit durch die Gleichung gegeben
(1) .
Und lassen Sie diese Gleichung für einen bestimmten Wert eine eindeutige Lösung haben. Die Funktion sei im Punkt , und eine differenzierbare Funktion
.
Dann gibt es für diesen Wert eine Ableitung, die durch die Formel bestimmt wird:
(2) .

Nachweisen

Betrachten Sie zum Beweis die Funktion als komplexe Funktion der Variablen:
.
Wir wenden die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion an und ermitteln die Ableitung nach der Variablen auf der linken und rechten Seite der Gleichung
(3) :
.
Da die Ableitung der Konstante gleich Null ist und , dann
(4) ;
.

Die Formel hat sich bewährt.

Derivate höherer Ordnung

Schreiben wir Gleichung (4) mit einer anderen Notation um:
(4) .
Darüber hinaus sind komplexe Funktionen der Variablen:
;
.
Abhängigkeit definiert die Gleichung (1):
(1) .

Wir ermitteln die Ableitung nach der Variablen auf der linken und rechten Seite der Gleichung (4).
Nach der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion gilt:
;
.
Nach der abgeleiteten Produktformel:

.
Nach der Ableitungssummenformel:


.

Da die Ableitung der rechten Seite von Gleichung (4) gleich Null ist, dann
(5) .
Wenn wir hier die Ableitung einsetzen, erhalten wir den Wert der Ableitung zweiter Ordnung in impliziter Form.

Wenn wir Gleichung (5) auf ähnliche Weise differenzieren, erhalten wir eine Gleichung, die eine Ableitung dritter Ordnung enthält:
.
Wenn wir hier die gefundenen Werte der Ableitungen erster und zweiter Ordnung einsetzen, ermitteln wir den Wert der Ableitung dritter Ordnung.

Wenn man die Differenzierung fortsetzt, kann man eine Ableitung beliebiger Ordnung finden.

Beispiele

Beispiel 1

Finden Sie die erste Ableitung der Funktion, die implizit durch die Gleichung gegeben ist:
(P1) .

Formel-2-Lösung

Wir finden die Ableitung nach Formel (2):
(2) .

Verschieben wir alle Variablen auf die linke Seite, sodass die Gleichung die Form annimmt.
.
Von hier.

Wir finden die Ableitung nach , vorausgesetzt, sie ist konstant.
;
;
;
.

Wir ermitteln die Ableitung nach der Variablen unter der Annahme, dass die Variable konstant ist.
;
;
;
.

Mit Formel (2) finden wir:
.

Wir können das Ergebnis vereinfachen, wenn wir beachten, dass gemäß der ursprünglichen Gleichung (A.1) . Ersatz :
.
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit:
.

Lösung auf dem zweiten Weg

Lassen Sie uns dieses Beispiel auf die zweite Art lösen. Dazu ermitteln wir die Ableitung nach der Variablen des linken und rechten Teils der ursprünglichen Gleichung (P1).

Wir bewerben uns:
.
Wir wenden die Formel für die Ableitung eines Bruchs an:
;
.
Wir wenden die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion an:
.
Wir differenzieren die ursprüngliche Gleichung (P1).
(P1) ;
;
.
Multiplizieren Sie mit und gruppieren Sie die Begriffe.
;
.

Ersetzen Sie (aus Gleichung (P1)):
.
Multiplizieren wir mit:
.

Antworten

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung zweiter Ordnung der implizit gegebenen Funktion mithilfe der Gleichung:
(P2.1) .

Lösung

Differenzieren Sie die ursprüngliche Gleichung nach der Variablen unter der Annahme, dass sie eine Funktion von ist:
;
.
Wir wenden die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion an.
.

Wir differenzieren die ursprüngliche Gleichung (A2.1):
;
.
Aus der ursprünglichen Gleichung (A2.1) folgt, dass . Ersatz :
.
Erweitern Sie die Klammern und gruppieren Sie die Mitglieder:
;
(P2.2) .
Wir finden die Ableitung erster Ordnung:
(P2.3) .

Um die Ableitung zweiter Ordnung zu finden, differenzieren wir Gleichung (A2.2).
;
;
;
.
Wir ersetzen den Ausdruck für die Ableitung erster Ordnung (A2.3):
.
Multiplizieren wir mit:

;
.
Von hier aus finden wir die Ableitung zweiter Ordnung.

Antworten

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung dritter Ordnung für die implizit angegebene Funktion mithilfe der Gleichung:
(P3.1) .

Lösung

Differenzieren Sie die ursprüngliche Gleichung nach der Variablen unter der Annahme, dass es sich um eine Funktion von handelt.
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

Wir differenzieren Gleichung (A3.2) nach der Variablen .
;
;
;
;
;
(P3.3) .

Wir differenzieren Gleichung (A3.3).
;
;
;
;
;
(P3.4) .

Aus den Gleichungen (A3.2), (A3.3) und (A3.4) ermitteln wir die Werte der Ableitungen bei .
;
;
.

Die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion.
Ableitung einer parametrisch definierten Funktion

In diesem Artikel werden wir uns zwei weitere ansehen typische Aufgaben, die häufig in zu finden sind Kontrollarbeit Von höhere Mathematik. Um den Stoff erfolgreich zu beherrschen, ist es notwendig, zumindest auf durchschnittlichem Niveau Derivate finden zu können. In zwei Grundlektionen können Sie praktisch von Grund auf lernen, wie Sie Derivate finden Ableitung einer komplexen Funktion. Wenn mit der Differenzierungsfähigkeit alles in Ordnung ist, dann nichts wie los.

Ableitung einer implizit definierten Funktion

Oder kurz gesagt, die Ableitung einer impliziten Funktion. Was ist eine implizite Funktion? Erinnern wir uns zunächst an die eigentliche Definition einer Funktion einer Variablen:

Funktion einer Variablen ist die Regel, dass jeder Wert der unabhängigen Variablen genau einem Wert der Funktion entspricht.

Die Variable wird aufgerufen unabhängige Variable oder Streit.
Die Variable wird aufgerufen abhängige Variable oder Funktion .

Bisher haben wir Funktionen betrachtet, die in definiert sind explizit form. Was bedeutet das? Lassen Sie uns eine Nachbesprechung zu konkreten Beispielen vereinbaren.

Betrachten Sie die Funktion

Wir sehen, dass wir links ein einzelnes „y“ haben und rechts - nur x. Das heißt, die Funktion ausdrücklich ausgedrückt als unabhängige Variable.

Betrachten wir eine andere Funktion:

Hier sind die Variablen und „gemischt“ angeordnet. Und in keiner Weise unmöglich drücken Sie „Y“ nur durch „X“ aus. Was sind diese Methoden? Übertragen Sie Begriffe von Teil zu Teil mit Vorzeichenwechsel, Klammerung, Wurffaktoren nach der Proportionsregel usw. Schreiben Sie die Gleichheit um und versuchen Sie, „y“ explizit auszudrücken:. Sie können die Gleichung stundenlang drehen und wenden, aber Sie werden keinen Erfolg haben.

Erlauben Sie mir, Folgendes vorzustellen: - ein Beispiel implizite Funktion.

Im Zuge der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass die implizite Funktion existiert(aber nicht immer), es hat einen Graphen (genau wie eine „normale“ Funktion). Das Gleiche gilt für eine implizite Funktion. existiert erste Ableitung, zweite Ableitung usw. Wie sie sagen, werden alle Rechte sexueller Minderheiten respektiert.

Und in dieser Lektion lernen wir, wie man die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion findet. Es ist nicht so schwer! Alle Differenzierungsregeln und die Ableitungstabelle der Elementarfunktionen bleiben in Kraft. Der Unterschied liegt in einem besonderen Punkt, den wir jetzt betrachten werden.

Ja, und ich verrate Ihnen die gute Nachricht: Die unten besprochenen Aufgaben werden nach einem ziemlich starren und klaren Algorithmus ohne einen Stein vor drei Gleisen ausgeführt.

Beispiel 1

1) Im ersten Schritt hängen wir Striche an beiden Teilen auf:

2) Wir verwenden die Regeln der Linearität der Ableitung (die ersten beiden Regeln der Lektion). Wie findet man die Ableitung? Lösungsbeispiele):

3) Direkte Differenzierung.
Differenziert und völlig verständlich. Was tun, wenn es unter den Schlägen „Spiele“ gibt?

- nur zur Schande, Die Ableitung einer Funktion ist gleich ihrer Ableitung: .

Wie man unterscheidet
Hier haben wir komplexe Funktion. Warum? Es scheint, dass unter dem Sinus nur ein Buchstabe „Y“ steht. Tatsache ist jedoch, dass nur ein Buchstabe „y“ - IST EINE FUNKTION FÜR SICH(siehe Definition am Anfang der Lektion). Somit ist der Sinus eine äußere Funktion, eine innere Funktion. Wir verwenden die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion :

Das Produkt ist nach der üblichen Regel differenzierbar :

Beachten Sie, dass es sich auch um eine komplexe Funktion handelt. Jedes „Drehspielzeug“ ist eine komplexe Funktion:

Das Design der Lösung selbst sollte etwa so aussehen:


Wenn Klammern vorhanden sind, öffnen Sie diese:

4) Auf der linken Seite sammeln wir die Begriffe, in denen ein „y“ mit einem Strich steht. IN rechte Seite- alles andere übertragen wir:

5) Auf der linken Seite nehmen wir die Ableitung aus Klammern:

6) Und gemäß der Proportionsregel fügen wir diese Klammern in den Nenner der rechten Seite ein:

Das Derivat wurde gefunden. Bereit.

Es ist interessant festzustellen, dass jede Funktion implizit umgeschrieben werden kann. Zum Beispiel die Funktion lässt sich so umschreiben: . Und differenzieren Sie es nach dem gerade betrachteten Algorithmus. Tatsächlich unterscheiden sich die Ausdrücke „implizite Funktion“ und „implizite Funktion“ in einer semantischen Nuance. Der Ausdruck „implizit definierte Funktion“ ist allgemeiner und korrekter. - Diese Funktion wird implizit angegeben, aber hier können Sie „y“ ausdrücken und die Funktion explizit darstellen. Der Ausdruck „implizite Funktion“ bezeichnet eine „klassische“ implizite Funktion, bei der „y“ nicht ausgedrückt werden kann.

Der zweite Lösungsweg

Aufmerksamkeit! Mit der zweiten Methode können Sie sich nur vertraut machen, wenn Sie wissen, wie man sicher findet partielle Ableitungen. Mathe-Anfänger und Dummies bitte Lesen Sie diesen Absatz nicht und überspringen Sie ihn nicht, sonst ist der Kopf völlig durcheinander.

Finden Sie die Ableitung der impliziten Funktion auf die zweite Art und Weise.

Wir verschieben alle Begriffe auf die linke Seite:

Und betrachten Sie eine Funktion zweier Variablen:

Dann kann unsere Ableitung durch die Formel gefunden werden
Finden wir partielle Ableitungen:

Auf diese Weise:

Mit der zweiten Lösung können Sie eine Überprüfung durchführen. Es ist jedoch unerwünscht, für ihn eine endgültige Version der Aufgabe zu erstellen, da partielle Ableitungen später beherrscht werden und ein Student, der sich mit dem Thema „Ableitung einer Funktion einer Variablen“ befasst, partielle Ableitungen nicht kennen sollte.

Schauen wir uns noch ein paar Beispiele an.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Wir hängen Striche an beiden Teilen:

Wir verwenden die Regeln der Linearität:

Derivate finden:

Alle Klammern erweitern:

Wir übertragen alle Begriffe mit auf die linke Seite, den Rest auf die rechte Seite:

Endgültige Antwort:

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Vollständige Lösung und Designbeispiel am Ende der Lektion.

Es ist nicht ungewöhnlich, dass nach der Differenzierung Brüche auftreten. In solchen Fällen müssen Brüche verworfen werden. Schauen wir uns zwei weitere Beispiele an.

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Wir schließen beide Teile unter Strichen ab und verwenden die Linearitätsregel:

Wir differenzieren nach der Differenzierungsregel einer komplexen Funktion und die Differenzierungsregel des Quotienten :

Klammern erweitern:

Jetzt müssen wir den Bruch loswerden. Dies kann später erfolgen, rationaler ist es jedoch, dies sofort zu tun. Der Nenner des Bruchs ist . Multiplizieren An . Im Detail wird es so aussehen:

Manchmal erscheinen nach der Differenzierung 2-3 Fraktionen. Wenn wir zum Beispiel einen weiteren Bruch hätten, müsste die Operation wiederholt werden – multiplizieren jedes Glied jedes Teils An

Auf der linken Seite setzen wir es aus Klammern:

Endgültige Antwort:

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Das Einzige daran ist, dass Sie, bevor Sie den Bruch loswerden, zunächst die dreistöckige Struktur des Bruchs selbst loswerden müssen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Ableitung einer parametrisch definierten Funktion

Überanstrengen Sie sich nicht, auch in diesem Absatz ist alles ganz einfach. Kann geschrieben werden allgemeine Formel parametrisch definierte Funktion, aber um es klarzustellen, werde ich es sofort aufschreiben konkretes Beispiel. In parametrischer Form wird die Funktion durch zwei Gleichungen gegeben: . Gleichungen werden oft nicht in geschweiften Klammern geschrieben, sondern nacheinander:,.

Die Variable wird Parameter genannt und kann Werte von „minus unendlich“ bis „plus unendlich“ annehmen. Betrachten Sie zum Beispiel den Wert und setzen Sie ihn in beide Gleichungen ein: . Oder menschlich: „Wenn x gleich vier ist, dann ist y gleich eins.“ An Koordinatenebene Sie können einen Punkt markieren, und dieser Punkt entspricht dem Wert des Parameters. Ebenso können Sie für jeden Wert des Parameters „te“ einen Punkt finden. Was die „gewöhnliche“ Funktion betrifft, so gelten auch für die amerikanischen Ureinwohner einer parametrisch gegebenen Funktion alle Rechte: Sie können einen Graphen zeichnen, Ableitungen finden und so weiter. Übrigens, wenn Sie einen Graphen einer parametrisch gegebenen Funktion erstellen müssen, können Sie mein Programm verwenden.

Im einfachsten Fall ist es möglich, die Funktion explizit darzustellen. Wir drücken den Parameter aus der ersten Gleichung aus: und setze es in die zweite Gleichung ein: . Das Ergebnis ist eine gewöhnliche kubische Funktion.

In „schwerwiegenderen“ Fällen funktioniert ein solcher Trick nicht. Aber das spielt keine Rolle, denn es gibt eine Formel, um die Ableitung einer parametrischen Funktion zu finden:

Wir finden die Ableitung von „der Spieler in Bezug auf die Variable te“:

Alle Differenzierungsregeln und die Ableitungstabelle gelten natürlich auch für den Buchstaben , also Es gibt keine Neuheit bei der Suche nach Derivaten. Ersetzen Sie einfach im Geiste alle „x“ in der Tabelle durch den Buchstaben „te“.

Wir finden die Ableitung von „x nach der Variablen te“:

Jetzt müssen wir nur noch die gefundenen Ableitungen in unsere Formel einsetzen:

Bereit. Auch die Ableitung hängt, wie die Funktion selbst, vom Parameter ab.

Was die Notation angeht, könnte man statt in der Formel auch einfach ohne Index schreiben, da es sich hierbei um die „gewöhnliche“ Ableitung „nach x“ handelt. Aber es gibt immer eine Variante in der Literatur, daher werde ich nicht vom Standard abweichen.

Beispiel 6

Wir verwenden die Formel

In diesem Fall:

Auf diese Weise:

Ein Merkmal der Ermittlung der Ableitung einer parametrischen Funktion ist die Tatsache, dass Bei jedem Schritt ist es vorteilhaft, das Ergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen. Im betrachteten Beispiel habe ich also beim Finden die Klammern unter der Wurzel geöffnet (obwohl ich dies möglicherweise nicht getan habe). Es besteht eine große Chance, dass beim Einsetzen und in die Formel viele Dinge gut reduziert werden. Obwohl es natürlich Beispiele mit ungeschickten Antworten gibt.

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Im Artikel Die einfachsten typischen Probleme mit einer Ableitung Wir haben Beispiele betrachtet, bei denen es darum ging, die zweite Ableitung einer Funktion zu finden. Für eine parametrisch gegebene Funktion können Sie auch die zweite Ableitung ermitteln, und zwar mit der folgenden Formel: . Es ist ganz offensichtlich, dass man, um die zweite Ableitung zu finden, zuerst die erste Ableitung finden muss.

Beispiel 8

Finden Sie die erste und zweite Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion

Lassen Sie uns zuerst die erste Ableitung finden.
Wir verwenden die Formel

In diesem Fall:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Formel ein. Der Einfachheit halber verwenden wir die trigonometrische Formel: