Die Aufgabenstellungen, die durch LP-Methoden gelöst werden, sind inhaltlich sehr vielfältig. Ihre mathematischen Modelle sind jedoch ähnlich und werden bedingt zu drei großen Problemgruppen kombiniert:

• Transportaufgaben;
• Planungsaufgaben;

Lassen Sie uns Beispiele für spezifische wirtschaftliche Probleme jeder Art betrachten und uns im Detail mit dem Aufbau eines Modells für jedes Problem befassen.

Transportaufgabe

Auf zwei Handelsbasen UND und BEI Es gibt 30 Möbelsätze, 15 für jeden. Alle Möbel müssen an zwei Möbelhäuser geliefert werden, VON und D und in VON Sie müssen 10 Headsets liefern und rein D- 20. Es ist bekannt, dass die Lieferung eines Headsets von der Basis aus erfolgt UND Zum Geschäft VON kostet eine Geldeinheit in den Laden D- in drei Geldeinheiten. Laut Basis BEI zu Geschäften VON und D: zwei und fünf Geldeinheiten. Machen Sie einen Transportplan, damit die Kosten für alle Transporte am geringsten sind.
Der Einfachheit halber markieren wir diese Aufgaben in einer Tabelle. Am Schnittpunkt von Zeilen und Spalten stehen Zahlen, die die Kosten des jeweiligen Transports charakterisieren (Tab. 3.1).

Tabelle 3.1

Lassen Sie uns ein mathematisches Modell des Problems erstellen.
Variablen müssen eingegeben werden. Der Wortlaut der Frage besagt, dass es notwendig ist, einen Transportplan zu erstellen. Bezeichne mit X 1 , X 2 Anzahl von Headsets, die von der Basis transportiert werden UND zu Geschäften VON und D bzw. durch bei 1 , bei 2 - die Anzahl der von der Basis transportierten Headsets BEI zu Geschäften VON und D bzw. Dann die Menge der aus dem Lager entnommenen Möbel UND, gleich ( X 1 + X 2) gut ab Lager BEI - (bei 1 + bei 2). Bedarf speichern VON ist gleich 10 Headsets, und sie haben es mitgebracht ( X 1 + bei 1) Stücke, d.h. X 1 + bei 1 = 10. Ähnlich für den Laden D wir haben X 2 + bei 2 = 20. Beachten Sie, dass der Bedarf der Geschäfte genau der Anzahl der auf Lager befindlichen Headsets entspricht X 1 + bei 2 = 15 und bei 1 + bei 2 = 15. Wenn Sie weniger als 15 Sets aus den Lagern wegnehmen würden, hätten die Läden nicht genug Möbel, um ihren Bedarf zu decken.
Also die Variablen X 1 , X 2 , bei 1 , bei 2 sind im Sinne des Problems nichtnegativ und erfüllen das Nebenbedingungssystem:
(3.1)
Bezeichnung durch F Versandkosten, lass sie uns zählen. für den Transport eines Möbelsatzes aus UND in VON einen Tag verbringen. Einheiten, für den Transport x 1 Sätze - x 1 Tag Einheiten Ebenso für den Transport x 2 Sätze von UND in D Kosten 3 x 2 Tage Einheiten; von BEI in VON - 2j 1 Tag Einheiten, ab BEI in D - 5j 2 Tage Einheiten
So,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2j 1 + 5j 2 → Minute (3.2)
(Wir möchten, dass die Gesamtversandkosten so niedrig wie möglich sind).
Formulieren wir das Problem mathematisch.
Finden Sie auf der Lösungsmenge des Constraint-Systems (3.1) eine Lösung, die die Zielfunktion minimiert F(3.2) oder finde den optimalen Plan ( x 1 , x 2, j 1 , j 2) bestimmt durch das Nebenbedingungssystem (3.1) und die Zielfunktion (3.2).
Das betrachtete Problem lässt sich in einem more darstellen Gesamtansicht, mit beliebig vielen Lieferanten und Verbrauchern.
In dem betrachteten Problem ist die Verfügbarkeit von Fracht von Lieferanten (15 + 15) gleich dem Gesamtbedarf der Verbraucher (10 + 20). Ein solches Modell heißt abgeschlossen, und die entsprechende Aufgabe ist ausgewogener Transport Aufgabe.
In wirtschaftlichen Berechnungen werden die sog offene Modelle, bei denen die angegebene Gleichheit nicht eingehalten wird. Entweder ist das Angebot der Lieferanten größer als die Nachfrage der Verbraucher oder die Nachfrage übersteigt die Verfügbarkeit von Gütern. Beachten Sie, dass dann das System der Beschränkungen des unausgeglichenen Transportproblems zusammen mit den Gleichungen auch Ungleichungen enthalten wird.

Betrachten Sie ein Beispiel für ein unausgeglichenes Transportproblem.
In Punkten UND und BEI Ziegeleien befinden sich und in VON und D- Steinbrüche, die sie mit Sand versorgen. Der Bedarf an Sand in den Fabriken ist geringer als die Produktivität der Steinbrüche. Es ist bekannt, wie viel Sand jede der Fabriken benötigt und wie viel in jedem Steinbruch abgebaut wird. Die Kosten für den Transport von 1 Tonne Sand von jedem Steinbruch zu den Fabriken sind ebenfalls bekannt (Zahlen auf den Pfeilen). Die Versorgung der Fabriken mit Sand muss so geplant werden, dass die Transportkosten am niedrigsten sind. Aufgabendaten im Diagramm.

Wir konstruieren ein mathematisches Modell des Problems.
Lassen Sie uns Variablen einführen:
x 11 - die Anzahl der Tonnen Sand, die aus dem Steinbruch transportiert werden VON zur Fabrik UND;
x 12 - aus einem Steinbruch VON zur Fabrik UND;
x 21 - die Anzahl der Tonnen Sand darin UND aus einem Steinbruch D;
x 22 - die Anzahl der Tonnen Sand aus dem Steinbruch D zur Fabrik BEI.
Zur Fabrik UND 40 Tonnen müssen aus beiden Tagebauen angeliefert werden, das heißt x 11 + x 21 = 40, Fabrik BEI 50 Tonnen müssen angeliefert werden, das heißt x 12 + x 22 = 50. Aus dem Steinbruch VON nicht mehr als 70 Tonnen wurden exportiert, d.h. x 11 + x 12 ≤ 70, ähnlich x 21 + x 22 ≤ 30. Wir haben ein System von Beschränkungen:
(3.3)
Und die Zielfunktion F, die die Transportkosten ausdrückt, hat die Form
F = 2x 11 + 6x 12 + 5x 21 + 3x 22→Min. (3.4)

Die Aufgabe, einen Plan zu erstellen

Einige Betriebe müssen einen optimalen Plan für die Produktion von zwei Arten von Produkten erstellen, die auf vier Arten von Maschinen verarbeitet werden. Bestimmte Hardwarefähigkeiten und -leistungen sind bekannt; Der Preis für Produkte, die dem Werk einen Gewinn bringen, beträgt 4 Tausend Rubel. für ein Produkt des Typs I 6 Tausend Rubel. - für ein Produkt des Typs II. Erstellen Sie einen Plan für die Herstellung dieser Produkte, damit das Werk den größten Gewinn aus dem Verkauf dieser Produkte zieht. Die Tabelle zeigt die Zeit, die erforderlich ist, um jeden der beiden Produkttypen auf Geräten aller vier Typen zu verarbeiten (Tabelle 3.2).

Tabelle 3.2

Produkte	Maschinentypen
	1	2	3	4
ich	1	0,5	1	0
II	1	1	0	1
Mögliche Maschinenstunden	18	12	12	9

Lassen Sie uns ein mathematisches Modell erstellen.
In dem Problem ist es notwendig, den Plan für die Herstellung von Produkten zu bestimmen, bezeichnet durch x Anzahl von Produkten des Typs I, z j- die Anzahl der Produkte des Typs II. Dann berechnen wir, wie viel Zeit die erste Maschine für die Verarbeitung aller Produktionsprodukte benötigt. Sie verbringt eine Zeiteinheit mit einem Item vom Typ I, das heißt x Produktstücke werden 1 ausgeben x Einheiten Zeit für die Bearbeitung j Produkte des Typs II kosten 1 j Einheiten Zeit. Insgesamt beträgt die Zeitreserve für den Betrieb der ersten Maschine 18 Zeiteinheiten. Meint, x + j≤ 18. Eine ähnliche Argumentation mit der zweiten, dritten und vierten Maschine ergibt ein System von Beschränkungen:
(3.5)
Der Gesamtgewinn wird in ausgedrückt Zielfunktion:
F = 4x + 6j → max. (3.6)
Das Problem besteht darin, auf der Lösungsmenge des Systems (3.5) eine solche Lösung zu finden, für die der Wert der Zielfunktion (3.6) maximal wäre.

Mischaufgabe

Ein weiteres häufiges LP-Problem ist das Problem der Gemischzusammensetzung. Ein Beispiel für solche Aufgaben kann die Aufgabe sein, solche Gemische von Mineralölprodukten zusammenzustellen, die bestimmte Anforderungen erfüllen würden technische Voraussetzungen und waren die günstigsten. Oder Aufgaben zur Ernährung, wenn der Bedarf an bestimmten Stoffen und der Gehalt dieser Stoffe in verschiedenen Produkten bekannt sind. Es ist notwendig, die Ernährung so zusammenzustellen, dass der Bedarf an den notwendigen Substanzen gedeckt wird und gleichzeitig der Lebensmittelkorb bei gegebenen Lebensmittelpreisen minimale Kosten hat.
Nahezu ähnliche Aufgaben werden beispielsweise in jedem Viehbetrieb gestellt und haben ein sehr breites Anwendungsspektrum.
Betrachten Sie ein Beispiel. Für Masthühner in einem Geflügelbetrieb müssen mindestens 33 Einheiten des Stoffes im Futter enthalten sein UND, 23 Nährstoffeinheiten BEI, 12 Einheiten VON. Zur Mast werden drei Futtersorten verwendet. Daten zum Nährstoffgehalt in jeder Futterart sind in der Tabelle angegeben. Auch die Futterkosten sind bekannt. Es ist notwendig, die billigste Diät zu machen (Tabelle 3.3).

Tabelle 3.3

Futtermittel	Substanzen			Die Kosten für 1 Einheit. Stern
	UND	BEI	VON
ich	4	3	1	20
II	3	2	1	20
III	2	1	2	10

Um das Problem zu verstehen, können Sie sich diese Substanzen vorstellen UND, BEI, VON- das sind Fette, Proteine, Kohlenhydrate, und die Produkte I, II, III werden Hühnern gefüttert, z. B. Hirse, Mischfutter, Vitaminzusätze. Dann zeigt die erste Zeile der Tabelle den Inhalt in einer Einheit Hirse: 4 Einheiten. Protein, 3 Einheiten. Fett, eine Einheit Kohlenhydrate. Die zweite Zeile - der Gehalt an Proteinen, Fetten, Kohlenhydraten in 1 Einheit. II-Produkt usw.
Wenn die Problemstellung klar ist, fahren wir mit der Konstruktion eines mathematischen Modells fort.
Als Antwort auf die Aufgabe müssen wir eine Diät anbieten, d. h. angeben, wie viel und welche Art von Futter zu nehmen ist, damit die erforderliche Menge an Nährstoffen gedeckt wird und es gleichzeitig so wenig wie möglich kostet.
Lassen Sie uns daher bezeichnen x 1 Menge Futter Typ I im Futter, pro x 2 - die Menge an Futtermitteltyp II und dementsprechend x 3 - die Futtermenge III in der Nahrung. Dann die Stoffe UND Wenn sie diese Diät essen, erhalten Hühner 4 x 1 - beim Verzehr von Produkten des Typs I, 3 x 2 - beim Verzehr von Produkt II, 2 x 3 - beim Verzehr III. Gesamtsubstanz UND Je nach Problemstellung müssen mindestens 33 Einheiten verwendet werden, also 4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 33.
Ähnlich argumentiert man mit Substanzen BEI und VON, wir haben:
3x 1 + 2x 2 + 1x 3 ≥ 23 und x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 12.
So erhalten wir ein System von Beschränkungen:
(3.7)
Die Variablen sind im Sinne des Problems nichtnegativ. In diesem Fall werden die Kosten der Diät durch die Funktion ausgedrückt:
F = 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 → min, (3.8)
weil 20, 20, 10 - die Kosten für eine Einheit. Produkte der Typen I, II bzw. III und ihre Ernährung enthält x 1 , x 2 , x 3 Einheiten.
Das Nebenbedingungssystem (3.7) bildet zusammen mit der Zielfunktion (3.8) das mathematische Modell des ursprünglichen Problems. Es zu lösen bedeutet zu finden x 1 , x 2 , x 3 Erfüllen des Systems von Zwangsbedingungen und Invertieren des Funktionswerts F auf das Minimum.

Anordnung der Schiffstypen entlang der Linien

Erstellen Sie einen solchen Plan für die Platzierung von zwei Schiffstypen entlang drei Linien, der die maximale Gesamttragfähigkeit der Flotte bieten würde, aber nicht weniger als das auf den Linien angegebene Verkehrsaufkommen.

Schiffstyp	Schiffsproduktivität, Millionen Tonnenmeilen pro Tag			Betriebsdauer, Tage
	1. Zeile	2. Zeile	3. Zeile
1	S. 11	S. 12	S. 13	s 1
2	S. 21	S. 22	S. 23	s2
Zielvolumen des Transports, Millionen Tonnenmeilen	V1	V2	V3

Ökonomisch-mathematisches Modell des Problems.
Beschränkungen der Betriebsdauer:
x 1 /p 11 + x 2 /p 12 + x 3 /p 13 ≤ s 1
x 4 /p 21 + x 5 /p 22 + x 6 /p 23 ≤ s 2

Lieferbeschränkungen:
s 1 x 1 + s 2 x 4 ≥ V 1
s 1 x 2 + s 2 x 5 ≥ V 2
s 1 x 3 + s 2 x 6 ≥ V 3

Zielfunktion
p 11 x 1 + p 12 x 2 + p 13 x 3 + p 21 x 4 + p 22 x 5 + p 23 x 6 → max

Fragen zur Selbstkontrolle
1. Darstellung des Transportproblems. beschreiben den Aufbau eines mathematischen Modells.
2. Was ist ein balanciertes und unbalanciertes Transportproblem?
3. Was wird in der Zielfunktion der Transportaufgabe berechnet?
4. Was spiegelt jede Ungleichung des Systems der Nebenbedingungen des Planproblems wider?
5. Was spiegelt jede Ungleichung des Nebenbedingungensystems des Mischungsproblems wider?
6. Was bedeuten die Variablen im Planproblem und im Mischungsproblem?

Mathematische Modellierung

1. Was ist mathematische Modellierung?

Seit Mitte des 20. Jahrhunderts. weit verbreitet in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit mathematische Methoden und Rechner. Neue Disziplinen wie „mathematische Ökonomie“, „mathematische Chemie“, „mathematische Linguistik“ usw. sind entstanden, die mathematische Modelle der entsprechenden Objekte und Phänomene sowie Methoden zum Studium dieser Modelle untersuchen.

Ein mathematisches Modell ist eine ungefähre Beschreibung einer beliebigen Klasse von Phänomenen oder Objekten echte Welt in der Sprache der Mathematik. Der Hauptzweck der Modellierung besteht darin, diese Objekte zu erforschen und die Ergebnisse zukünftiger Beobachtungen vorherzusagen. Die Modellierung ist aber auch eine Methode der Wahrnehmung der Umwelt, die es ermöglicht, sie zu kontrollieren.

Die mathematische Modellierung und das damit verbundene Computerexperiment sind unverzichtbar, wenn ein Experiment in Originalgröße aus dem einen oder anderen Grund unmöglich oder schwierig ist. Zum Beispiel ist es unmöglich, ein umfassendes Experiment in der Geschichte durchzuführen, um zu überprüfen, „was passieren würde, wenn ...“. Es ist unmöglich, die Richtigkeit dieser oder jener kosmologischen Theorie zu überprüfen. Grundsätzlich ist es möglich, aber kaum sinnvoll, mit der Ausbreitung einer Krankheit wie der Pest zu experimentieren oder eine Atomexplosion durchzuführen, um deren Folgen zu untersuchen. All dies kann jedoch auf einem Computer durchgeführt werden, nachdem zuvor mathematische Modelle der untersuchten Phänomene erstellt wurden.

2. Hauptstufen der mathematischen Modellierung

1) Modellbau. In diesem Stadium wird ein "nicht mathematisches" Objekt angegeben - ein Naturphänomen, eine Konstruktion, ein Wirtschaftsplan, ein Produktionsprozess usw. In diesem Fall ist eine klare Beschreibung der Situation in der Regel schwierig. Zunächst werden die Hauptmerkmale des Phänomens und die Beziehung zwischen ihnen auf qualitativer Ebene identifiziert. Dann werden die gefundenen qualitativen Abhängigkeiten in der Sprache der Mathematik formuliert, das heißt, es wird ein mathematisches Modell aufgebaut. Dies ist der schwierigste Teil der Modellierung.

2) Lösung mathematisches Problem, zu dem das Modell führt. In dieser Phase wird viel Aufmerksamkeit auf die Entwicklung von Algorithmen und numerischen Methoden zur Lösung des Problems auf einem Computer gelegt, mit deren Hilfe das Ergebnis mit der erforderlichen Genauigkeit und in akzeptabler Zeit gefunden werden kann.

3) Interpretation der erhaltenen Konsequenzen aus dem mathematischen Modell. Die aus dem Modell abgeleiteten Konsequenzen in der Sprache der Mathematik werden in der in diesem Bereich akzeptierten Sprache interpretiert.

4) Überprüfung der Angemessenheit des Modells. In diesem Stadium wird festgestellt, ob die Ergebnisse des Experiments mit den theoretischen Konsequenzen aus dem Modell innerhalb einer gewissen Genauigkeit übereinstimmen.

5) Modellmodifikation. In diesem Stadium wird das Modell entweder komplexer, um der Realität besser gerecht zu werden, oder es wird vereinfacht, um eine praktisch akzeptable Lösung zu erreichen.

3. Klassifizierung von Modellen

Modelle können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden. Beispielsweise können Modelle je nach Art der zu lösenden Probleme in funktionale und strukturelle Modelle unterteilt werden. Im ersten Fall werden alle Größen, die ein Phänomen oder Objekt charakterisieren, quantitativ ausgedrückt. Gleichzeitig werden einige von ihnen als unabhängige Variablen betrachtet, während andere als Funktionen dieser Größen betrachtet werden. Ein mathematisches Modell ist normalerweise ein System von Gleichungen verschiedener Art (Differential, algebraisch usw.), die quantitative Beziehungen zwischen den betrachteten Größen herstellen. Im zweiten Fall charakterisiert das Modell die Struktur eines komplexen Objekts, das aus einzelnen Teilen besteht, zwischen denen bestimmte Verbindungen bestehen. Typischerweise sind diese Beziehungen nicht quantifizierbar. Um solche Modelle zu erstellen, ist es zweckmäßig, die Graphentheorie zu verwenden. Ein Graph ist ein mathematisches Objekt, bei dem es sich um eine Menge von Punkten (Scheitelpunkten) auf einer Ebene oder im Raum handelt, von denen einige durch Linien (Kanten) verbunden sind.

Je nach Art der Ausgangsdaten und Vorhersageergebnisse lassen sich die Modelle in deterministische und probabilistisch-statistische einteilen. Modelle des ersten Typs geben bestimmte, eindeutige Vorhersagen. Modelle des zweiten Typs basieren auf statistischen Informationen, und die mit ihrer Hilfe gewonnenen Vorhersagen sind probabilistischer Natur.

4. Beispiele für mathematische Modelle

1) Probleme mit der Bewegung des Geschosses.

Betrachten Sie das folgende Problem in der Mechanik.

Von der Erde abgefeuertes Projektil Ursprungsgeschwindigkeit v 0 = 30 m/s unter einem Winkel a = 45° zu seiner Oberfläche; es ist erforderlich, die Trajektorie seiner Bewegung und den Abstand S zwischen den Start- und Endpunkten dieser Trajektorie zu finden.

Dann wird, wie aus dem Schulphysikkurs bekannt, die Bewegung des Geschosses durch die Formeln beschrieben:

wo t - Zeit, g = 10 m / s 2 - Beschleunigung des freien Falls. Diese Formeln geben das mathematische Modell der Aufgabe wieder. Wenn wir t durch x aus der ersten Gleichung ausdrücken und in die zweite einsetzen, erhalten wir die Gleichung für die Flugbahn des Projektils:

Diese Kurve (Parabel) schneidet die x-Achse an zwei Punkten: x 1 \u003d 0 (Beginn der Flugbahn) und (der Ort, an dem das Projektil gefallen ist). Setzen wir die gegebenen Werte v0 und a in die erhaltenen Formeln ein, erhalten wir

antwort: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Beachten Sie, dass bei der Konstruktion dieses Modells eine Reihe von Annahmen verwendet wurden: Beispielsweise wird angenommen, dass die Erde flach ist und die Luft und die Rotation der Erde die Bewegung des Projektils nicht beeinflussen.

2) Das Problem eines Tanks mit der kleinsten Oberfläche.

Gesucht werden die Höhe h 0 und der Radius r 0 eines Zinnbehälters mit einem Volumen V = 30 m 3 in Form eines geschlossenen Kreiszylinders, bei dem seine Oberfläche S minimal ist (in diesem Fall die kleinste Menge Zinn in die Herstellung eingeht).

Wir schreiben die folgenden Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders der Höhe h und des Radius r:

V = p r 2 h, S = 2 p r (r + h).

Wenn wir h durch r und V aus der ersten Formel ausdrücken und den resultierenden Ausdruck in die zweite einsetzen, erhalten wir:

Somit reduziert sich das Problem aus mathematischer Sicht darauf, den Wert von r zu bestimmen, bei dem die Funktion S(r) ihr Minimum erreicht. Lassen Sie uns die Werte von r 0 finden, für die die Ableitung gilt

geht auf null: Sie können überprüfen, dass die zweite Ableitung der Funktion S(r) das Vorzeichen von Minus zu Plus ändert, wenn das Argument r durch den Punkt r 0 geht. Daher hat die Funktion S(r) am Punkt r0 ein Minimum. Der entsprechende Wert h 0 = 2r 0 . Wenn wir den gegebenen Wert V in den Ausdruck für r 0 und h 0 einsetzen, erhalten wir den gewünschten Radius und Höhe

3) Transportaufgabe.

Es gibt zwei Mehllager und zwei Bäckereien in der Stadt. Jeden Tag werden 50 Tonnen Mehl aus dem ersten Lager und 70 Tonnen aus dem zweiten in die Fabriken exportiert, 40 Tonnen an das erste und 80 Tonnen an das zweite.

Bezeichne mit a ij Kosten für den Transport von 1 Tonne Mehl vom i-ten Lager nach j-te Anlage(i, j = 1,2). Lassen

a 11 \u003d 1,2 S., a 12 \u003d 1,6 S., a 21 \u003d 0,8 S., a 22 = 1 p.

Wie sollte der Transport geplant werden, damit seine Kosten minimal sind?

Geben wir dem Problem eine mathematische Formulierung. Wir bezeichnen mit x 1 und x 2 die Mehlmenge, die vom ersten Lagerhaus zur ersten und zweiten Fabrik transportiert werden muss, und durch x 3 und x 4 – vom zweiten Lagerhaus zur ersten bzw. zweiten Fabrik. Dann:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Die Gesamtkosten aller Transporte werden durch die Formel bestimmt

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Aus mathematischer Sicht besteht die Aufgabe darin, vier Zahlen x 1 , x 2 , x 3 und x 4 zu finden, die alle gegebenen Bedingungen erfüllen und das Minimum der Funktion f ergeben. Lösen wir das Gleichungssystem (1) nach xi (i = 1, 2, 3, 4) nach der Methode der Unbekannteneliminierung. Das verstehen wir

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

und x 4 nicht eindeutig bestimmt werden können. Da x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), folgt aus den Gleichungen (2), dass 30J x 4 J 70. Durch Einsetzen des Ausdrucks für x 1 , x 2 , x 3 in die Formel für f erhalten wir

f \u003d 148 - 0,2 x 4.

Es ist leicht zu erkennen, dass das Minimum dieser Funktion beim maximal möglichen Wert von x 4 erreicht wird, also bei x 4 = 70. Die entsprechenden Werte anderer Unbekannter werden durch Formeln (2) bestimmt: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Das Problem des radioaktiven Zerfalls.

Sei N(0) die Anfangszahl der Atome der radioaktiven Substanz und N(t) die Zahl der nicht zerfallenen Atome zum Zeitpunkt t. Es wurde experimentell festgestellt, dass die Änderungsrate der Anzahl dieser Atome N "(t) proportional zu N (t) ist, dh N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 ist die Radioaktivitätskonstante einer bestimmten Substanz. Im Schulkurs Mathematische Analysis wird gezeigt, dass die Lösung dieser Differentialgleichung die Form N(t) = N(0)e –l t hat. Die Zeit T, in der sich die Zahl der Ausgangsatome halbiert hat, wird Halbwertszeit genannt und ist ein wichtiges Merkmal der Radioaktivität eines Stoffes. Um T zu bestimmen, muss die Formel eingegeben werden Dann Beispielsweise ist für Radon l = 2,084 · 10–6 und damit T = 3,15 Tage.

5) Das Problem des Handlungsreisenden.

Ein Handlungsreisender, der in der Stadt A 1 lebt, muss die Städte A 2 , A 3 und A 4 besuchen, jede Stadt genau einmal, und dann nach A 1 zurückkehren. Es ist bekannt, dass alle Städte paarweise durch Straßen verbunden sind, und die Längen der Straßen b ij zwischen den Städten A i und A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sind wie folgt:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Es ist notwendig, die Reihenfolge der besuchten Städte zu bestimmen, in der die Länge des entsprechenden Pfades minimal ist.

Stellen wir jede Stadt als Punkt auf der Ebene dar und markieren sie mit dem entsprechenden Label Ai (i = 1, 2, 3, 4). Verbinden wir diese Punkte mit Liniensegmenten: Sie stellen Straßen zwischen Städten dar. Für jede „Straße“ geben wir ihre Länge in Kilometern an (Abb. 2). Das Ergebnis ist ein Graph – ein mathematisches Objekt, das aus einer bestimmten Menge von Punkten auf der Ebene (Scheitelpunkte genannt) und einer bestimmten Menge von Linien besteht, die diese Punkte verbinden (Kanten genannt). Außerdem ist dieser Graph beschriftet, da seinen Scheitelpunkten und Kanten einige Beschriftungen zugeordnet sind - Zahlen (Kanten) oder Symbole (Eckpunkte). Ein Zyklus in einem Graphen ist eine Folge von Scheitelpunkten V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 , so dass die Scheitelpunkte V 1 , ..., V k unterschiedlich sind, und jedes Paar von Scheitelpunkten V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) und das Paar V 1 , V k sind durch eine Kante verbunden. Das betrachtete Problem besteht also darin, einen solchen Zyklus auf dem Graphen zu finden, der durch alle vier Knoten geht, für den die Summe aller Kantengewichte minimal ist. Lassen Sie uns alle verschiedenen Zyklen durchsuchen, die durch vier Scheitelpunkte gehen und bei A 1 beginnen:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Finden wir nun die Längen dieser Zyklen (in km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Die Route mit der kleinsten Länge ist also die erste.

Beachten Sie, dass wenn ein Graph n Ecken hat und alle Ecken paarweise durch Kanten verbunden sind (ein solcher Graph heißt vollständig), die Anzahl der Zyklen, die durch alle Ecken gehen, gleich ist, also gibt es in unserem Fall genau drei Zyklen .

6) Das Problem, einen Zusammenhang zwischen Struktur und Eigenschaften von Stoffen zu finden.

Betrachten Sie mehrere chemische Verbindungen, die als normale Alkane bezeichnet werden. Sie bestehen aus n Kohlenstoffatomen und n + 2 Wasserstoffatomen (n = 1, 2 ...), die wie in Abbildung 3 für n = 3 gezeigt miteinander verbunden sind. Die experimentellen Werte der Siedepunkte dieser Verbindungen seien bekannt:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Für diese Verbindungen muss ein ungefährer Zusammenhang zwischen dem Siedepunkt und der Zahl n gefunden werden. Wir nehmen an, dass diese Abhängigkeit die Form hat

ja » a n+b

wo a, b - zu bestimmende Konstanten. Zur Findung a und b setzen wir in diese Formel nacheinander n = 3, 4, 5, 6 und die entsprechenden Werte der Siedepunkte ein. Wir haben:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Um das Beste zu bestimmen a und b gibt es viele verschiedene Methoden. Lassen Sie uns die einfachsten von ihnen verwenden. Wir drücken b durch aus a aus diesen Gleichungen:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Nehmen wir als gewünschtes b das arithmetische Mittel dieser Werte, d. h. wir setzen b » 16 - 4,5 a. Lassen Sie uns diesen Wert b in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen und berechnen a, bekommen wir für a folgende Werte: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a den Durchschnittswert dieser Zahlen, das heißt, wir setzen a» 34. Die gesuchte Gleichung hat also die Form

y » 34n – 139.

Lassen Sie uns die Genauigkeit des Modells an den ersten vier Verbindungen überprüfen, für die wir die Siedepunkte mit der erhaltenen Formel berechnen:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Somit überschreitet der Berechnungsfehler dieser Eigenschaft für diese Verbindungen 5° nicht. Wir verwenden die resultierende Gleichung, um den Siedepunkt einer Verbindung mit n = 7 zu berechnen, die nicht in der Anfangsmenge enthalten ist, für die wir n = 7 in diese Gleichung einsetzen: y ð (7) = 99°. Das Ergebnis erwies sich als ziemlich genau: Es ist bekannt, dass der experimentelle Wert des Siedepunkts y e (7) = 98 ° beträgt.

7) Das Problem der Bestimmung der Zuverlässigkeit des Stromkreises.

Hier betrachten wir ein Beispiel eines probabilistischen Modells. Lassen Sie uns zunächst einige Informationen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie geben - einer mathematischen Disziplin, die die Muster zufälliger Phänomene untersucht, die während der wiederholten Wiederholung eines Experiments beobachtet werden. Nennen wir ein zufälliges Ereignis A ein mögliches Ergebnis einer Erfahrung. Die Ereignisse A 1 , ..., A k bilden eine vollständige Gruppe, wenn eines davon notwendigerweise als Ergebnis des Experiments eintritt. Ereignisse werden als inkompatibel bezeichnet, wenn sie nicht gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten können. Das Ereignis A trete während der n-fachen Wiederholung des Experiments m-mal auf. Die Häufigkeit des Ereignisses A ist die Zahl W = . Offensichtlich kann der Wert von W nicht genau vorhergesagt werden, bis eine Reihe von n Experimenten durchgeführt wurde. Die Natur zufälliger Ereignisse ist jedoch so, dass in der Praxis manchmal der folgende Effekt beobachtet wird: Mit einer Zunahme der Anzahl von Experimenten hört der Wert praktisch auf, zufällig zu sein, und stabilisiert sich um eine nicht zufällige Zahl P(A), die als bezeichnet wird Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A. Für ein unmögliches Ereignis (das im Experiment nie eintritt) ist P(A)=0, und für ein bestimmtes Ereignis (das im Experiment immer eintritt) P(A)=1. Wenn die Ereignisse A 1 , ..., A k eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse bilden, dann ist P(A 1)+...+P(A k) = 1.

Nehmen wir zum Beispiel an, die Erfahrung besteht darin, einen Würfel zu werfen und die Anzahl der gefallenen Punkte X zu beobachten. Dann können wir die folgenden zufälligen Ereignisse einführen: A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Sie bilden sich eine vollständige Gruppe inkompatibler gleichwahrscheinlicher Ereignisse, also P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Die Summe der Ereignisse A und B ist das Ereignis A + B, das darin besteht, dass mindestens eines davon im Experiment auftritt. Das Produkt der Ereignisse A und B ist das Ereignis AB, das im gleichzeitigen Auftreten dieser Ereignisse besteht. Für die unabhängigen Ereignisse A und B gelten die Formeln

P(AB) = P(A)P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Betrachten Sie nun das Folgende Aufgabe. Angenommen, drei Elemente sind in einem Stromkreis in Reihe geschaltet und arbeiten unabhängig voneinander. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten des 1., 2. und 3. Elements sind jeweils P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Wir betrachten die Schaltung als zuverlässig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass kein Strom in der Schaltung fließt, nicht mehr als 0,4 beträgt. Es muss festgestellt werden, ob die gegebene Kette zuverlässig ist.

Da die Elemente in Reihe geschaltet sind, fließt kein Strom im Stromkreis (Ereignis A), wenn mindestens eines der Elemente ausfällt. Sei A i das Ereignis dass i-tes Element funktioniert (i = 1, 2, 3). Dann ist P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Offensichtlich ist A 1 A 2 A 3 das Ereignis, dass alle drei Elemente gleichzeitig arbeiten, und

P(EIN 1 EIN 2 EIN 3) = P(EIN 1) P(EIN 2) P(EIN 3) = 0,612.

Dann ist P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, also P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Abschließend stellen wir fest, dass die obigen Beispiele Mathematische Modelle(darunter funktionale und strukturelle, deterministische und probabilistische) sind illustrativ und erschöpfen offensichtlich nicht die ganze Vielfalt mathematischer Modelle, die in den Natur- und Geisteswissenschaften auftreten.

1. Mathematische Modellierung

und der Prozess der Erstellung eines mathematischen Modells.

Mathematische Modellierung ist eine Methode zum Studium von Objekten und Prozessen der realen Welt anhand ihrer ungefähren Beschreibungen in der Sprache der Mathematik - Mathematische Modelle.

Der Prozess der Erstellung eines mathematischen Modells kann bedingt in eine Reihe von Hauptphasen unterteilt werden:

1) Erstellen eines mathematischen Modells;

2) Formulierung, Erforschung und Lösung der entsprechenden Rechenprobleme;

3) Überprüfung der Qualität des Modells in der Praxis und Modifikation des Modells.

Betrachten Sie den Hauptinhalt dieser Stufen.

Konstruktion eines mathematischen Modells. Ein mathematisches Modell ist ein analytischer Ausdruck, der als Ergebnis der Analyse eines bestimmten physikalischen Systems oder Phänomens gefunden wird, das mehrere unbekannte Parameter dieses Systems oder Phänomens umfasst, die auf der Grundlage experimenteller Daten bestimmt werden müssen. Mit Hilfe von Beobachtungen und Experimenten zeigen Praktiken die wichtigsten "Eigenschaften" des Phänomens auf, die mit einigen Größen verglichen werden. Diese Größen nehmen in der Regel Zahlenwerte an, sind also Variablen, Vektoren, Matrizen, Funktionen etc.

Die etablierten internen Verbindungen zwischen den "Eigenschaften" des Phänomens erhalten die Form von Gleichheiten, Ungleichungen, Gleichungen und logischen Strukturen, die die im mathematischen Modell enthaltenen Größen verbinden. So wird das mathematische Modell zu einer Aufzeichnung der Naturgesetze in der Sprache der Mathematik.

Wir betonen, dass das mathematische Modell zwangsläufig einen Kompromiss zwischen der unendlichen Komplexität des untersuchten Phänomens und der gewünschten Einfachheit seiner Beschreibung darstellt.

Mathematische Modelle werden oft in statische und dynamische Modelle unterteilt. Statisches Modell beschreibt ein Phänomen oder eine Situation unter der Annahme ihrer Vollständigkeit, Unveränderlichkeit (z. B. in der Statik). Dynamisches Modell beschreibt, wie ein Phänomen abläuft oder sich eine Situation von einem Zustand in einen anderen ändert (d.h. in Dynamik). Bei der Verwendung dynamischer Modelle wird in der Regel der Anfangszustand des Systems festgelegt und dann die zeitliche Änderung dieses Zustands untersucht. In dynamischen Modellen ist die gewünschte Lösung oft eine Funktion der Zeit y=y(t), Variable t In solchen Modellen wird es in der Regel ausgezeichnet und spielt eine besondere Rolle.

Darstellung, Recherche und Lösung von Rechenproblemen. Um die Werte von Größen zu finden, die für den Forscher interessant sind, oder um die Art der Abhängigkeit von anderen in das mathematische Modell einbezogenen Größen herauszufinden, werden mathematische Probleme gestellt und dann gelöst.

Lassen Sie uns die wichtigsten Arten von Problemen aufdecken, die gelöst werden müssen. Dazu teilen wir alle im mathematischen Modell enthaltenen Größen bedingt in drei Gruppen ein:

1) Anfangs-(Eingabe-)Daten x,

2) Modellparametera,

3) gewünschte Lösung (Ausgabedaten) y.

1). Die gebräuchlichste Lösung ist die sog direkte Aufgaben, dessen Einstellung ist wie folgt: gegebenen Wert Eingabedaten X für feste Parameterwerte a müssen eine Lösung finden j. Der Prozess der Lösung eines direkten Problems kann als mathematische Modellierung einer einem Phänomen innewohnenden Ursache-Wirkungs-Beziehung betrachtet werden. Dann die Eingabe X charakterisiert die im Forschungsverlauf gegebenen und variierten "Ursachen" des Phänomens und die angestrebte Lösung ja -"Folge".

Damit die mathematische Beschreibung nicht auf ein einzelnes Phänomen anwendbar ist, sondern auf eine breite Palette von Phänomenen in der Natur, wird in Wirklichkeit nicht ein einzelnes mathematisches Modell erstellt, sondern eine bestimmte parametrische Familie von Modellen. Die Auswahl eines bestimmten Modells aus dieser Familie erfolgt durch Festlegen der Werte der Modellparameter a. Beispielsweise können einige der in den Gleichungen enthaltenen Koeffizienten als solche Parameter wirken.

2). Eine wichtige Rolle spielt die Lösung des sogenannten umgekehrte Probleme bestehend aus der Definition der Eingabedaten X für diesen Wert bei(Modellparameter a, wie im direkten Problem, sind behoben). Die Lösung des inversen Problems ist gewissermaßen ein Versuch herauszufinden, welche "Gründe" x führte zu der bekannten "Folge" j. Allgemein, umgekehrte Probleme sind schwieriger zu lösen als direkte.

3). Zusätzlich zu den zwei betrachteten Arten von Aufgaben sollte noch eine weitere Art erwähnt werden - Identifikationsaufgaben. Im weiteren Sinne ist die Aufgabe, ein Modell zu identifizieren, die Aufgabe, unter den vielen möglichen Modellen dasjenige auszuwählen, das das untersuchte Phänomen am besten beschreibt. In dieser Formulierung sieht dieses Problem wie ein praktisch unlösbares Problem aus. Häufiger wird das Identifikationsproblem im engeren Sinne als das Problem der Auswahl eines bestimmten mathematischen Modells aus einer gegebenen parametrischen Modellfamilie (durch Auswahl seiner Parameter a) verstanden, um die Konsequenzen des Modells mit den Ergebnissen von Beobachtungen in Einklang zu bringen optimal im Sinne eines bestimmten Kriteriums.

Diese drei Arten von Problemen (direkte, inverse und Identifizierungsprobleme) werden genannt Rechenaufgaben. Zur Vereinfachung der Darstellung werden wir im Folgenden unabhängig von der Art des zu lösenden Problems die Menge der zu bestimmenden Größen nennen gewünschte Lösung und bezeichnet mit y, und die Wertemenge Eingabedaten und bezeichnet mit X.

Die Lösung eines Rechenproblems lässt sich in der Regel nicht durch die Eingabedaten in Form einer endlichen Formel ausdrücken. Dies bedeutet jedoch keineswegs, dass eine Lösung für ein solches Problem nicht gefunden werden kann. Es werden spezielle Methoden genannt numerisch(oder Rechnen). Sie ermöglichen es Ihnen, den Erhalt des Zahlenwerts der Lösung auf eine Folge von Rechenoperationen mit den Zahlenwerten der Eingabedaten zu reduzieren. Numerische Methoden wurden jedoch selten zur Lösung von Problemen eingesetzt, da ihre Verwendung mit der Durchführung einer gigantischen Menge an Berechnungen verbunden ist. Daher war es in den meisten Fällen vor dem Aufkommen von Computern notwendig, die Verwendung komplexer mathematischer Modelle zu vermeiden und Phänomene in den einfachsten Situationen zu untersuchen, wenn es möglich ist, sie zu finden analytische Lösung. Die Unvollkommenheit des Rechenapparats wurde zu einem Faktor, der die weit verbreitete Verwendung mathematischer Modelle in Wissenschaft und Technologie zurückhielt.

Das Aufkommen von Computern veränderte die Situation dramatisch. Die Klasse der mathematischen Modelle, die im Detail untersucht werden können, hat sich dramatisch erweitert. Die Lösung vieler, bis vor kurzem unzugänglicher Rechenprobleme ist zur alltäglichen Realität geworden.

Überprüfung der Qualität des Modells in der Praxis und Modifikation des Modells. In diesem Stadium wird die Eignung des mathematischen Modells zur Beschreibung des untersuchten Phänomens geklärt. Theoretische Schlussfolgerungen und spezifische Ergebnisse, die sich aus einem hypothetischen mathematischen Modell ergeben, werden mit experimentellen Daten verglichen. Wenn sie sich widersprechen, ist das gewählte Modell ungeeignet und sollte überarbeitet werden, um zur ersten Stufe zurückzukehren. Wenn die Ergebnisse mit der für die Beschreibung dieses Phänomens akzeptablen Genauigkeit übereinstimmen, kann das Modell als geeignet angesehen werden. Natürlich sind weitere Untersuchungen erforderlich, um den Grad der Zuverlässigkeit des Modells und die Grenzen seiner Anwendbarkeit zu ermitteln.

Rezensionsfragen:

1. Was ist ein mathematisches Modell?

2. Was sind die Hauptphasen beim Erstellen eines mathematischen Modells?

3. Hauptarten der zu lösenden Aufgaben?

2. Die Hauptphasen der Lösungstechnik

Computergestützte Aufgaben

Die Lösung eines technischen Problems mit Hilfe eines Computers kann in mehrere aufeinanderfolgende Phasen unterteilt werden. Wir unterscheiden folgende Phasen:

1) Problemstellung;

2) Auswahl oder Konstruktion eines mathematischen Modells;

3) Darstellung des Rechenproblems;

4) vorläufige (vormaschinelle) Analyse der Eigenschaften des Rechenproblems;

5) Auswahl oder Konstruktion eines numerischen Verfahrens;

6) Algorithmisierung und Programmierung;

7) Programmfehlerbeseitigung;

8) Konto für das Programm;

9) Verarbeitung und Interpretation der Ergebnisse;

10) Verwendung der Ergebnisse und Korrektur des mathematischen Modells.

Inszenierung Probleme. Zunächst wird das angewandte Problem in allgemeinster Form formuliert:

Untersuchen Sie ein Phänomen

Entwerfen Sie ein Gerät mit gegebenen Eigenschaften

Geben Sie eine Vorhersage über das Verhalten eines Objekts unter bestimmten Bedingungen usw.

In dieser Phase erfolgt die Spezifikation der Problemstellung. Gleichzeitig wird primär auf die Klärung des Studienzwecks geachtet.

Diese sehr wichtige und verantwortungsvolle Phase endet mit einer konkreten Formulierung des Problems in der in diesem Fachgebiet akzeptierten Sprache. Das Wissen um die Möglichkeiten, die der Einsatz von Computern bietet, kann einen wesentlichen Einfluss auf die endgültige Formulierung des Problems haben.

Auswahl oder Konstruktion eines mathematischen Modells. Für die anschließende Analyse des untersuchten Phänomens oder Objekts ist es notwendig, seine formalisierte Beschreibung in der Sprache der Mathematik zu geben, d. h. ein mathematisches Modell zu erstellen. Oft ist es möglich, ein Modell aus bekannten und akzeptierten Modellen zur Beschreibung der entsprechenden Prozesse auszuwählen, aber oft ist auch eine signifikante Modifikation des bekannten Modells erforderlich, und manchmal wird es notwendig, ein grundlegend neues Modell zu bauen.

Erklärung des Rechenproblems. Basierend auf dem akzeptierten mathematischen Modell wird ein Berechnungsproblem (oder eine Anzahl solcher Probleme) formuliert. Durch die Analyse der Ergebnisse seiner Lösung erwartet der Forscher Antworten auf seine Fragen.

Vorläufige Analyse der Eigenschaften des Rechenproblems. In dieser Phase eine vorläufige (vormaschinelle) Untersuchung der Eigenschaften des Rechenproblems, Klärung der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung sowie Untersuchung der Stabilität der Lösung des Problems gegenüber Fehlern in den Eingabedaten werden ausgeführt.

Wahl oder Konstruktion eines numerischen Verfahrens. Um ein Rechenproblem auf einem Computer zu lösen, ist der Einsatz numerischer Methoden erforderlich.

Oftmals wird die Lösung eines Ingenieurproblems darauf reduziert konsequente Lösung Standard-Rechenprobleme, für die effiziente numerische Methoden entwickelt wurden. Dabei besteht entweder die Wahl zwischen bekannten Verfahren oder deren Anpassung an die Besonderheiten des zu lösenden Problems. Wenn das aufkommende Berechnungsproblem jedoch neu ist, dann ist es möglich, dass es keine vorgefertigten Methoden zu seiner Lösung gibt.

Mehrere Methoden können normalerweise verwendet werden, um dasselbe Rechenproblem zu lösen. Es ist notwendig, die Merkmale dieser Methoden zu kennen, die Kriterien, nach denen ihre Qualität bewertet wird, um eine Methode auszuwählen, die es ermöglicht, das Problem auf die effektivste Weise zu lösen. Hier ist die Wahl alles andere als klar. Sie hängt maßgeblich von den Anforderungen an die Lösung, von den zur Verfügung stehenden Ressourcen, von der zur Verfügung stehenden Rechentechnik etc. ab.

Algorithmisierung und Programmierung. Die im vorigen Schritt gewählte numerische Methode enthält in der Regel nur Schaltplan Lösen eines Problems, das nicht viele Details enthält, ohne die die Implementierung des Verfahrens auf einem Computer unmöglich ist. Eine detaillierte Spezifikation aller Berechnungsschritte ist notwendig, um einen auf einem Computer implementierten Algorithmus zu erhalten. Das Kompilieren eines Programms reduziert sich auf die Übersetzung dieses Algorithmus in die gewählte Programmiersprache.

Es gibt Bibliotheken, aus denen Anwender aus vorgefertigten Modulen ihre Programme erstellen oder im Extremfall ein Programm von Grund auf neu schreiben müssen.

Programm-Debugging. In dieser Phase werden mit Hilfe eines Computers Fehler im Programm erkannt und korrigiert.

Nach der Beseitigung von Programmierfehlern muss das Programm gründlich getestet werden, indem die Korrektheit seiner Funktionsweise anhand speziell ausgewählter Testprobleme mit bekannten Lösungen überprüft wird.

Programmkonto. In diesem Stadium wird das Problem auf einem Computer gemäß dem kompilierten Programm im automatischen Modus gelöst. Dieser Prozess, bei dem die Eingabedaten von einem Computer in ein Ergebnis umgewandelt werden, wird aufgerufen Rechenprozess. In der Regel wird die Berechnung mit unterschiedlichen Eingangsdaten mehrfach wiederholt, um ein möglichst vollständiges Bild der Abhängigkeit der Problemlösung von ihnen zu erhalten.

Verarbeitung u Interpretation der Ergebnisse. Die als Ergebnis von Computerberechnungen erhaltenen Ausgabedaten sind in der Regel große Zahlenfelder, die dann in einer für die Wahrnehmung geeigneten Form präsentiert werden.

Verwenden der Ergebnisse und Korrigieren des mathematischen Modells. Der letzte Schritt besteht darin, die Berechnungsergebnisse in die Praxis umzusetzen, also die Ergebnisse umzusetzen.

Sehr oft zeigt die Analyse der Ergebnisse, die in der Phase ihrer Verarbeitung und Interpretation durchgeführt wird, die Unvollkommenheit des verwendeten mathematischen Modells und die Notwendigkeit seiner Korrektur. In diesem Fall wird das mathematische Modell modifiziert (in diesem Fall wird es in der Regel komplizierter) und ein neuer Zyklus zur Lösung des Problems gestartet.

Rezensionsfragen:

1. Die wichtigsten Schritte zur Lösung eines technischen Problems mit einem Computer?

3. Computerexperiment

Die Erstellung mathematischer Modelle und die Lösung ingenieurwissenschaftlicher Probleme am Computer erfordert einen hohen Arbeitsaufwand. Es ist leicht, die Analogie mit der entsprechenden Arbeit zu sehen, die bei der Organisation von Großversuchen durchgeführt wird: Erstellen eines Versuchsprogramms, Erstellen eines Versuchsaufbaus, Durchführen von Kontrollexperimenten, Durchführen von Reihenversuchen) Aufbereiten von Versuchsdaten und deren Interpretation usw. Das Computerexperiment wird jedoch nicht an einem realen Objekt, sondern an dessen mathematischem Modell durchgeführt, und die Rolle des Versuchsaufbaus übernimmt ein Computer, der mit einem speziell entwickelten Programm ausgestattet ist. In dieser Hinsicht ist es selbstverständlich, die Durchführung großer komplexer Berechnungen bei der Lösung ingenieurwissenschaftlicher und wissenschaftlich-technischer Probleme als in Betracht zu ziehen Rechenexperiment, und die im vorigen Absatz beschriebene Abfolge von Stufen der Lösung als einer ihrer Zyklen.

Lassen Sie uns einige Vorteile eines Computerexperiments im Vergleich zu einem natürlichen Experiment festhalten:

1. Ein Computerexperiment ist normalerweise billiger als ein physikalisches.

2. Dieses Experiment kann leicht und sicher manipuliert werden.

3. Sie kann (bei Bedarf) noch einmal wiederholt und jederzeit unterbrochen werden.

4. Während dieses Experiments können Sie Bedingungen simulieren, die im Labor nicht hergestellt werden können.

Wir stellen fest, dass es in einigen Fällen schwierig (und manchmal unmöglich) ist, ein Experiment im vollen Maßstab durchzuführen, da schnelle Prozesse untersucht werden, schwer zugängliche oder allgemein unzugängliche Objekte untersucht werden. Oft ist ein groß angelegtes Naturexperiment mit katastrophalen oder unvorhersehbaren Folgen verbunden ( Atomkrieg, Wende der sibirischen Flüsse) oder mit einer Gefahr für das Leben oder die Gesundheit von Menschen. Es ist oft notwendig, die Ergebnisse von Katastrophenereignissen (Unfall eines Kernreaktors in einem Kernkraftwerk, globale Erwärmung, Erdbeben) zu untersuchen und vorherzusagen. In diesen Fällen kann ein Computerexperiment zum Hauptforschungsmittel werden. Beachten Sie, dass es mit seiner Hilfe möglich ist, die Eigenschaften neuer, noch nicht erstellter Strukturen und Materialien in der Phase ihres Entwurfs vorherzusagen.

Ein wesentlicher Nachteil eines Computerexperiments besteht darin, dass die Anwendbarkeit seiner Ergebnisse durch das akzeptierte mathematische Modell begrenzt ist.

Die Schaffung eines neuen Produkts oder technologischen Prozesses beinhaltet die Auswahl aus einer Vielzahl von alternativen Optionen sowie die Optimierung für eine Reihe von Parametern. Daher werden im Laufe eines Rechenexperiments immer wieder Berechnungen mit durchgeführt verschiedene Werte Eingabeparameter. Um die gewünschten Ergebnisse mit der erforderlichen Genauigkeit und innerhalb eines akzeptablen Zeitrahmens zu erhalten, muss für die Berechnung jeder Option möglichst wenig Zeit aufgewendet werden.

Die Entwicklung von Software für ein Computerexperiment in einem bestimmten Bereich der Ingenieurtätigkeit führt zur Erstellung eines großen Softwarepakets. Es besteht aus miteinander verbundenen Anwendungsprogrammen und Systemwerkzeugen, einschließlich Werkzeugen, die dem Benutzer zur Verfügung gestellt werden, um den Ablauf eines Computerexperiments zu verwalten, seine Ergebnisse zu verarbeiten und zu präsentieren. Dieser Satz von Programmen wird manchmal als bezeichnet problemorientiertes Anwendungspaket.

Rezensionsfragen:

1. Vorteile eines Computerexperiments gegenüber einem natürlichen?

2. Nachteile eines Computerexperiments?

4. Die einfachsten Methoden zur Lösung von Problemen

4.1. Finden der Wurzel einer Funktion.

Die Methode zum Teilen des Segments nach Geschlecht(Willi-Methode).

Wir teilen das Segment in zwei Hälften ( AC=SW). Wählen Sie die Hälfte aus, in der die Funktion die Achse schneidet 0x, dann bezeichnen VON pro BEI, d.h. C=B und wieder halbieren. Die Wahl der Hälfte erfolgt durch das Produkt ¦( UND)´¦( BEI). Wenn das Produkt größer als 0 ist, dann gibt es keine Wurzel.

Methode der Akkorde (Sekanten).

(BA)/2£ En³ Protokoll 2((BA)/2)

(y-y 0)(x-x 1)=(y-y 1)(x-x 0)

j=0; j 0(x-x 1)=j 1(x-x 0)

Das Konzept eines mathematischen Modells

Stellen Sie sich ein Flugzeug vor: Flügel, Rumpf, Leitwerk, alles zusammen – ein wirklich riesiges, riesiges, ganzes Flugzeug. Und Sie können ein Modell eines Flugzeugs bauen, klein, aber alles ist echt, die gleichen Flügel usw., aber kompakt. Ebenso das mathematische Modell. Es gibt ein Textproblem, umständlich, man kann es ansehen, lesen, aber nicht ganz verstehen, und noch mehr, es ist nicht klar, wie man es löst. Aber was, wenn wir aus einer großen verbalen Aufgabe ein kleines Modell daraus machen, ein mathematisches Modell? Was bedeutet mathematisch? Also, mit den Regeln und Gesetzen mathematische Notation, Text mithilfe von Zahlen und Rechenzeichen in eine logisch korrekte Darstellung umwandeln. So, Ein mathematisches Modell ist eine Darstellung einer realen Situation unter Verwendung einer mathematischen Sprache.

Fangen wir einfach an: Die Zahl ist größer als die Zahl um. Wir müssen es aufschreiben, ohne Worte zu verwenden, nur die Sprache der Mathematik. Wenn mehr vorbei ist, stellt sich heraus, dass, wenn wir von subtrahieren, die Differenz dieser Zahlen gleich bleibt. Jene. oder. Verstanden?

Jetzt ist es komplizierter, jetzt wird es einen Text geben, den Sie versuchen sollten, in Form eines mathematischen Modells darzustellen, bis Sie gelesen haben, wie ich es machen werde, versuchen Sie es selbst! Es gibt vier Zahlen: , und. Ein Produkt und mehr Produkte und zweimal.

Was ist passiert?

In Form eines mathematischen Modells sieht es so aus:

Jene. Das Produkt bezieht sich auf zwei zu eins, aber dies kann weiter vereinfacht werden:

Nun, mit einfachen Beispielen verstehen Sie, denke ich. Kommen wir zu vollwertigen Aufgaben, bei denen auch diese mathematischen Modelle gelöst werden müssen! Hier ist die Aufgabe.

Mathematisches Modell in der Praxis

Aufgabe 1

Nach Regen kann der Wasserstand im Brunnen steigen. Der Junge misst die Zeit, in der kleine Kieselsteine ​​in den Brunnen fallen, und berechnet die Entfernung zum Wasser mit der Formel, wobei die Entfernung in Metern und die Fallzeit in Sekunden ist. Vor dem Regen war die Zeit für den Fall der Kieselsteine ​​s. Um wie viel muss der Wasserstand nach dem Regen steigen, damit sich die gemessene Zeit auf s ändert? Geben Sie Ihre Antwort in Metern an.

Oh Gott! Welche Formeln, was für ein Brunnen, was passiert, was ist zu tun? Habe ich deine Gedanken gelesen? Entspannen Sie sich, bei Aufgaben dieser Art sind die Bedingungen noch schrecklicher. Sie sollten sich vor allem daran erinnern, dass Sie sich bei dieser Aufgabe für Formeln und Beziehungen zwischen Variablen interessieren, und was das alles in den meisten Fällen bedeutet, ist nicht sehr wichtig. Was sehen Sie hier nützlich? Ich persönlich sehe. Das Prinzip zur Lösung dieser Probleme ist wie folgt: Sie nehmen alle bekannten Größen und ersetzen sie.Aber manchmal muss man nachdenken!

Wenn ich meinen ersten Rat befolge und alle bekannten in die Gleichung einsetze, erhalten wir:

Ich war es, der die Zeit der Sekunde ersetzte und die Höhe fand, die der Stein vor dem Regen flog. Und jetzt müssen wir nach dem Regen zählen und den Unterschied finden!

Hören Sie sich nun den zweiten Rat an und denken Sie darüber nach, die Frage gibt an „wie stark muss der Wasserspiegel nach einem Regen steigen, damit sich die gemessene Zeit um s ändert“. Sie müssen es sofort herausfinden, soooo, nach dem Regen steigt der Wasserspiegel, was bedeutet, dass die Zeit, bis der Stein auf den Wasserspiegel fällt, kürzer ist, und hier dauert der kunstvolle Satz „damit sich die gemessene Zeit ändert“. mit konkreter Bedeutung: Die Abfallzeit verlängert sich nicht, sondern verkürzt sich um die angegebenen Sekunden. Das bedeutet, dass wir im Fall eines Wurfs nach dem Regen nur c von der Anfangszeit c abziehen müssen, und wir erhalten die Gleichung für die Höhe, die der Stein nach dem Regen fliegen wird:

Und schließlich, um herauszufinden, wie stark der Wasserstand nach dem Regen steigen muss, damit sich die gemessene Zeit um s ändert, muss man nur die zweite von der ersten Fallhöhe abziehen!

Wir bekommen die Antwort: pro Meter.

Wie Sie sehen können, gibt es nichts Kompliziertes, vor allem, kümmern Sie sich nicht zu sehr darum, woher eine so unverständliche und manchmal komplexe Gleichung in den Bedingungen kommt und was alles darin bedeutet, nehmen Sie mich beim Wort, die meisten dieser Gleichungen sind es der Physik entnommen, und dort ist der Dschungel schlimmer als in der Algebra. Manchmal kommt es mir so vor, als seien diese Aufgaben erfunden worden, um den Schüler bei der Prüfung mit einer Fülle komplexer Formeln und Begriffe einzuschüchtern, und erfordern in den meisten Fällen fast keine Kenntnisse. Lesen Sie einfach die Bedingung sorgfältig durch und ersetzen Sie die bekannten Werte in der Formel!

Hier ist ein weiteres Problem, nicht mehr aus der Physik, sondern aus der Welt der Wirtschaftstheorie, obwohl auch hier keine anderen naturwissenschaftlichen Kenntnisse als Mathematik erforderlich sind.

Aufgabe 2

Die Abhängigkeit des Nachfragevolumens (Einheiten pro Monat) für die Produkte eines Monopolunternehmens vom Preis (Tausend Rubel) ergibt sich aus der Formel

Der monatliche Umsatz des Unternehmens (in Tausend Rubel) wird anhand der Formel berechnet. Bestimmen Sie den höchsten Preis, bei dem der monatliche Umsatz mindestens tausend Rubel beträgt. Geben Sie die Antwort in Tausend Rubel an.

Ratet mal, was ich jetzt tun werde? Ja, ich fange an, das zu ersetzen, was wir wissen, aber auch hier müssen Sie noch ein wenig nachdenken. Gehen wir vom Ende aus, wir müssen herausfinden, an welchem. Also gibt es einiges gleich, wir finden, was sonst gleich ist, und es ist gleich, und wir werden es aufschreiben. Wie Sie sehen, kümmere ich mich nicht besonders um die Bedeutung all dieser Größen, ich schaue nur aus den Bedingungen, was gleich was ist, das müssen Sie tun. Kehren wir zur Aufgabe zurück, Sie haben sie bereits, aber wie Sie sich erinnern, kann aus einer Gleichung mit zwei Variablen keine gefunden werden. Was tun? Ja, wir haben noch ein unbenutztes Teilchen im Zustand. Hier gibt es bereits zwei Gleichungen und zwei Variablen, was bedeutet, dass jetzt beide Variablen gefunden werden können - großartig!

Können Sie ein solches System lösen?

Wir lösen durch Substitution, wir haben es bereits ausgedrückt, was bedeutet, dass wir es in die erste Gleichung einsetzen und vereinfachen werden.

Es stellt sich heraus, dass es sich hier um eine solche quadratische Gleichung handelt: , wir lösen, die Wurzeln sind so, . In der Aufgabe gilt es, den höchsten Preis zu finden, bei dem alle Bedingungen, die wir bei der Erstellung des Systems berücksichtigt haben, erfüllt werden. Oh, es stellte sich heraus, dass das der Preis war. Cool, also fanden wir die Preise: und. Der höchste Preis, sagen Sie? Okay, den größten von ihnen schreiben wir natürlich als Antwort. Nun, ist es schwierig? Ich denke nicht, und Sie müssen sich nicht zu sehr damit befassen!

Und hier ist eine erschreckende Physik für Sie, oder besser gesagt, ein anderes Problem:

Aufgabe 3

Zur Bestimmung der effektiven Temperatur von Sternen wird das Stefan-Boltzmann-Gesetz verwendet, wonach, wo die Strahlungsleistung des Sterns ist, eine Konstante ist, die Oberfläche des Sterns und die Temperatur ist. Es ist bekannt, dass die Oberfläche eines bestimmten Sterns gleich ist und die Stärke seiner Strahlung gleich W ist. Berechne die Temperatur dieses Sterns in Grad Kelvin.

Wo ist es klar? Ja, die Bedingung sagt, was gleich was ist. Früher habe ich empfohlen, alle Unbekannten sofort zu ersetzen, aber hier ist es besser, zuerst die gesuchte Unbekannte auszudrücken. Schauen Sie, wie einfach alles ist: Es gibt eine Formel, in der sie bekannt sind, und (das ist der griechische Buchstabe „Sigma“. Im Allgemeinen lieben Physiker griechische Buchstaben, an etwas gewöhnen). Die Temperatur ist unbekannt. Drücken wir es in Form einer Formel aus. Wie geht das, ich hoffe du weißt es? Solche Aufgaben für das GIA in der 9. Klasse ergeben normalerweise:

Jetzt müssen wir auf der rechten Seite Zahlen anstelle von Buchstaben ersetzen und vereinfachen:

Hier ist die Antwort: Grad Kelvin! Und was für eine schreckliche Aufgabe!

Wir quälen weiterhin Probleme in der Physik.

Aufgabe 4

Die Höhe eines hochgeworfenen Balls über dem Boden ändert sich nach dem Gesetz, wobei die Höhe in Metern die Zeit in Sekunden ist, die seit dem Wurf vergangen ist. Wie viele Sekunden befindet sich der Ball in einer Höhe von mindestens drei Metern?

Das waren alle Gleichungen, aber hier muss bestimmt werden, wie viel der Ball in einer Höhe von mindestens drei Metern war, was in einer Höhe bedeutet. Was werden wir machen? Ungleichheit, ja! Wir haben eine Funktion, die beschreibt, wie der Ball fliegt, wo genau die gleiche Höhe in Metern ist, wir brauchen die Höhe. Meint

Und jetzt lösen Sie einfach die Ungleichung, am wichtigsten, vergessen Sie nicht, das Ungleichheitszeichen von größer oder gleich auf kleiner oder gleich zu ändern, wenn Sie mit beiden Teilen der Ungleichung multiplizieren, um das Minus davor loszuwerden.

Hier sind die Wurzeln, wir bilden Intervalle für Ungleichheit:

Uns interessiert das Intervall, in dem das Vorzeichen minus ist, da die Ungleichheit dort negative Werte annimmt, ist dies von bis beide inklusive. Und jetzt schalten wir das Gehirn ein und denken genau nach: Für die Ungleichheit haben wir eine Gleichung verwendet, die den Flug des Balls beschreibt, er fliegt irgendwie entlang einer Parabel, d.h. es hebt ab, erreicht einen Gipfel und fällt, wie kann man verstehen, wie lange es in einer Höhe von mindestens Metern sein wird? Wir haben 2 Wendepunkte gefunden, d.h. der Moment, in dem er über Meter aufsteigt, und der Moment, in dem er beim Fallen dieselbe Marke erreicht, diese beiden Punkte werden in unserer Form in Form von Zeit ausgedrückt, d.h. wir wissen, in welcher Sekunde des Fluges er in die für uns interessante Zone eingetreten ist (über Meter) und in welcher er ihn verlassen hat (unter die Metermarke gefallen ist). Wie viele Sekunden war er in dieser Zone? Es ist logisch, dass wir die Zeit des Verlassens der Zone nehmen und davon die Zeit des Eintritts in diese Zone abziehen. Dementsprechend: - so sehr er in der Zone über Metern war, das ist die Antwort.

Sie haben so viel Glück, dass die meisten Beispiele zu diesem Thema aus der Kategorie Probleme in der Physik stammen, also fangen Sie noch eins, es ist das letzte, also treiben Sie sich an, es ist sehr wenig übrig!

Aufgabe 5

Für ein Heizelement eines bestimmten Geräts wurde die Temperaturabhängigkeit von der Betriebszeit experimentell erhalten:

Wo ist die Zeit in Minuten. Es ist bekannt, dass sich bei einer Temperatur des Heizelementes über dem Gerät verschlechtern kann, so dass es abgeschaltet werden muss. Finden Sie die maximale Zeit nach Arbeitsbeginn, um das Gerät auszuschalten. Drücken Sie Ihre Antwort in Minuten aus.

Wir handeln nach einem altbewährten Schema, alles was gegeben ist, schreiben wir erst einmal auf:

Nun nehmen wir die Formel und setzen sie dem Temperaturwert gleich, auf den das Gerät maximal aufgeheizt werden kann, bis es durchbrennt, also:

Jetzt ersetzen wir Zahlen anstelle von Buchstaben, wo sie bekannt sind:

Wie Sie sehen können, wird die Temperatur während des Betriebs des Geräts beschrieben quadratische Gleichung, was bedeutet, dass es entlang einer Parabel verteilt ist, d.h. Das Gerät erwärmt sich auf eine bestimmte Temperatur und kühlt dann ab. Wir haben Antworten erhalten und daher ist die Temperatur während und während Minuten des Heizens kritisch, aber zwischen und Minuten ist sie sogar höher als der Grenzwert!

Sie müssen das Gerät also nach einer Minute ausschalten.

MATHEMATISCHE MODELLE. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Am häufigsten werden mathematische Modelle in der Physik verwendet: Schließlich mussten Sie sich wahrscheinlich Dutzende von physikalischen Formeln merken. Und die Formel ist die mathematische Darstellung der Situation.

In der OGE und dem Einheitlichen Staatsexamen gibt es Aufgaben genau zu diesem Thema. Im USE (Profil) ist dies die Aufgabennummer 11 (früher B12). In der OGE - Aufgabe Nummer 20.

Das Lösungsschema ist offensichtlich:

1) Aus dem Text der Bedingung müssen nützliche Informationen „isoliert“ werden - was wir in Physikproblemen unter dem Wort „Gegeben“ schreiben. Diese nützliche Informationen sind:

• Formel
• Bekannte physikalische Größen.

Das heißt, jedem Buchstaben aus der Formel muss eine bestimmte Nummer zugeordnet werden.

2) Nimm alle bekannten Mengen und setze sie in die Formel ein. Der unbekannte Wert bleibt als Buchstabe erhalten. Jetzt müssen Sie nur noch die Gleichung lösen (normalerweise ganz einfach), und die Antwort ist fertig.

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung, für die Aufnahme ins Institut auf Kosten des Budgets und vor allem auf Lebenszeit.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich werde nur eines sagen ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die sie nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Die Hauptsache ist, dass sie MEHR GLÜCKLICH sind (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen vieles auftut. Weitere Möglichkeiten und das Leben wird heller? Weiß nicht...

Aber denkt selbst...

Was braucht es, um bei der Prüfung sicher besser zu sein als andere und am Ende … glücklicher?

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