Konfidenzintervalle zur Bewertung der mathematischen Erwartung. Mathematik und Informatik

Die Zufallsvariable X der Allgemeinbevölkerung sei normalverteilt und berücksichtige dabei, dass Varianz und Standardabweichung s dieser Verteilung bekannt sind. Es ist erforderlich, den unbekannten mathematischen Erwartungswert aus dem Stichprobenmittelwert zu schätzen. In diesem Fall reduziert sich die Aufgabe auf das Finden Konfidenzintervall zum mathematische Erwartung mit Zuverlässigkeit b. Wenn wir den Wert der Konfidenzwahrscheinlichkeit (Zuverlässigkeit) b setzen, können wir die Wahrscheinlichkeit, in das Intervall für den unbekannten mathematischen Erwartungswert zu fallen, mit Formel (6.9a) ermitteln:

wobei Ф (t) die Laplace-Funktion (5.17a) ist.

Als Ergebnis ist es möglich, einen Algorithmus zu formulieren, um die Grenzen des Konfidenzintervalls für den mathematischen Erwartungswert zu finden, wenn die Varianz D = s 2 bekannt ist:

1. Stellen Sie den Zuverlässigkeitswert ein - b.
2. Aus (6.14) drücken Sie Ф (t) = 0,5 × b aus. Wählen Sie den Wert von t aus der Tabelle für die Laplace-Funktion durch den Wert von Ф (t) (siehe Anhang 1).
3. Berechnen Sie die Abweichung e nach der Formel (6.10).
4. Schreiben Sie das Konfidenzintervall nach Formel (6.12) so auf, dass mit Wahrscheinlichkeit b folgende Ungleichung gilt:

.

Beispiel 5.

Die Zufallsvariable X hat eine Normalverteilung. Finden Sie die Konfidenzintervalle für die Schätzung mit der Zuverlässigkeit b = 0,96 des unbekannten mathematischen Erwartungswerts a, falls gegeben:

1) allgemeine Standardabweichung s = 5;

2) Stichprobenmittelwert;

3) Stichprobengröße n = 49.

In Formel (6.15) ist die Intervallschätzung des mathematischen Erwartungswerts ein mit Zuverlässigkeit b sind alle Größen außer t bekannt. Der Wert von t kann mit (6.14) ermittelt werden: b = 2Ф (t) = 0,96. (t) = 0,48.

Nach der Tabelle im Anhang 1 für die Laplace-Funktion Φ (t) = 0,48 ergibt sich der entsprechende Wert t = 2,06. Somit, ... Wenn Sie den berechneten Wert von e in die Formel (6.12) einsetzen, erhalten Sie das Konfidenzintervall: 30-1.47< a < 30+1,47.

Das gewünschte Konfidenzintervall für die Schätzung mit der Zuverlässigkeit b = 0,96 des unbekannten mathematischen Erwartungswerts ist: 28,53< a < 31,47.

Erinnern Sie sich zunächst an die folgende Definition:

Wir werden die folgende Situation betrachten. Die Varianten der allgemeinen Bevölkerung seien normalverteilt mit dem mathematischen Erwartungswert $ a $ und der mittleren quadratischen Abweichung $ \ Sigma $. Der Stichprobenmittelwert wird in diesem Fall als Zufallsvariable betrachtet. Wenn $ X $ normalverteilt ist, wird auch der Stichprobenmittelwert mit den Parametern normalverteilt

Finden wir das Konfidenzintervall, das den Wert $ a $ mit der Zuverlässigkeit $ \ gamma $ abdeckt.

Dafür brauchen wir die Gleichheit

Daraus bekommen wir

Von hier aus können wir $ t $ anhand der Wertetabelle der Funktion $ Ф \ left (t \ right) $ leicht finden und als Konsequenz $ \ Delta $ finden.

Erinnern wir uns an die Wertetabelle der Funktion $ Ф \ left (t \ right) $:

Abbildung 1. Wertetabelle der Funktion $ Ф \ left (t \ right).

Konfidenzintegral zur Schätzung des mathematischen Erwartungswerts mit einem unbekannten $ (\ mathbf \ sigma) $

In diesem Fall verwenden wir den Wert der korrigierten Varianz $ S ^ 2 $. Wenn wir $ \ sigma $ in der obigen Formel durch $ S $ ersetzen, erhalten wir:

Ein Beispiel für Aufgaben zum Ermitteln des Konfidenzintervalls

Beispiel 1

Der Wert $ X $ sei normalverteilt mit der Varianz $ \ Sigma = 4 $. Die Stichprobengröße sei $ n = 64 $ und die Reliabilität $ \ gamma = 0,95 $. Finden Sie das Konfidenzintervall zum Schätzen der mathematischen Erwartung einer gegebenen Verteilung.

Wir müssen das Intervall ($ \ overline (x) - \ delta, \ overline (x) + \ delta) $ finden.

Wie wir oben gesehen haben

\ [\ delta = \ frac (\ sigma t) (\ sqrt (n)) = \ frac (4t) (\ sqrt (64)) = \ frac (\ t) (2) \]

Wir finden den Parameter $ t $ aus der Formel

\ [Ф \ left (t \ right) = \ frac (\ gamma) (2) = \ frac (0.95) (2) = 0.475 \]

Aus Tabelle 1 erhalten wir, dass $ t = $ 1,96 ist.

Vertrauensintervall- Grenzwerte Statistik, die mit einer gegebenen Konfidenzwahrscheinlichkeit γ für eine größere Stichprobe in diesem Intervall liegt. Es wird als P (θ - ε) bezeichnet. In der Praxis wählen Sie Vertrauensniveauγ von ausreichend nahe bei Eins-Werten γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.

Servicezweck... Dieser Dienst definiert:

• Konfidenzintervall für allgemeines Mittel, Konfidenzintervall für Varianz;
• das Vertrauensintervall für die Standardabweichung, das Vertrauensintervall für den allgemeinen Bruch;

Die resultierende Lösung wird in einer Word-Datei gespeichert (siehe Beispiel). Nachfolgend finden Sie eine Videoanleitung zum Ausfüllen der Anfangsdaten.

Beispiel 1. Auf der Kolchose wurden von einer Herde von insgesamt 1000 Schafen 100 Schafe einer selektiven Kontrollschur unterzogen. Als Ergebnis wurde eine durchschnittliche Wollscherung von 4,2 kg pro Schaf festgestellt. Bestimmen Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 den Durchschnitt quadratischer Fehler Probenahme bei der Bestimmung der durchschnittlichen Wollscherung pro Schaf und der Grenzen, in denen der Scherwert eingeschlossen ist, wenn die Abweichung 2,5 beträgt. Die Probe wird nicht wiederholt.
Beispiel Nr. 2. Aus einer Charge importierter Produkte bei der Post des Moskauer Nordzolls wurden 20 Proben des Produkts "A" in der Reihenfolge einer zufälligen wiederholten Probenahme entnommen. Als Ergebnis der Überprüfung wurde der durchschnittliche Feuchtigkeitsgehalt des Produkts "A" in der Probe ermittelt, der bei einer Standardabweichung von 1 % 6% betrug.
Bestimmen Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,683 die Grenzen des durchschnittlichen Feuchtigkeitsgehalts des Produkts in der gesamten Charge importierter Produkte.
Beispiel Nr. 3. Eine Umfrage unter 36 Schülern ergab, dass die durchschnittliche Anzahl der von ihnen gelesenen Lehrbücher Schuljahr, stellte sich als gleich 6 heraus. Unter der Annahme, dass die Anzahl der von einem Studenten pro Semester gelesenen Lehrbücher ein Normalverteilungsgesetz mit einer Standardabweichung von 6 hat, finden Sie: A) mit einer Zuverlässigkeit von 0,99 eine Intervallschätzung für den mathematischen Erwartungswert dieser Zufallsvariablen; B) wie wahrscheinlich ist die Aussage, dass die für diese Stichprobe berechnete durchschnittliche Anzahl der von einem Studierenden pro Semester gelesenen Lehrbücher um höchstens 2 von der mathematischen Erwartung abweicht.

Konfidenzintervall-Klassifizierung

Nach dem Typ des ausgewerteten Parameters:

Nach Probentyp:

1. Konfidenzintervall für unendliche Stichprobe;
2. Konfidenzintervall für die Endprobe;

Die Abtastung wird als Resampling bezeichnet. wenn das ausgewählte Objekt an die Population zurückgegeben wird, bevor das nächste ausgewählt wird. Die Stichprobe wird als nicht repetitiv bezeichnet wenn das ausgewählte Objekt nicht an die allgemeine Bevölkerung zurückgegeben wird. In der Praxis handelt es sich meist um nicht replizierte Stichproben.

Berechnung des mittleren Stichprobenfehlers bei Stichproben

Die Diskrepanz zwischen den Werten der aus der Stichprobe erhaltenen Indikatoren und den entsprechenden Parametern der Allgemeinbevölkerung wird genannt Fehler der Repräsentativität.
Benennung der Hauptparameter der Gesamt- und Stichprobenpopulation.

Formeln für durchschnittliche Stichprobenfehler
Neuauswahl		Auswahl ohne Wiederholung
für Mitte	zum Teilen	für Mitte	zum Teilen

Das Verhältnis zwischen der mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit garantierten Stichprobenfehlergrenze (Δ) P(t), und durchschnittlicher Fehler Probe hat die Form: oder Δ = t μ, wobei T- der Vertrauenskoeffizient, bestimmt in Abhängigkeit vom Wahrscheinlichkeitsniveau P (t) gemäß der Tabelle der Laplace-Integralfunktion.

Formeln zur Berechnung der Stichprobengröße mit einer geeigneten Zufallsauswahlmethode

Eine Zufallsvariable (man kann von der allgemeinen Bevölkerung sprechen) sei nach dem Normalgesetz verteilt, für das die Varianz D = 2 (> 0) bekannt ist. Eine Stichprobe der Größe n wird aus der Allgemeinbevölkerung (auf der Menge von Objekten, von denen eine Zufallsvariable bestimmt wird) gezogen. Die Stichprobe x 1, x 2, ..., x n wird als eine Sammlung von n unabhängigen Zufallsvariablen betrachtet, die genauso verteilt sind wie (der oben im Text erläuterte Ansatz).

Auch die folgenden Gleichheiten wurden bereits diskutiert und bewiesen:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx1 = Dx2 = ... = Dxn = D;

Es ist leicht zu beweisen (wir lassen den Beweis weg), dass die Zufallsvariable auch in diesem Fall nach dem Normalgesetz verteilt ist.

Bezeichnen wir den unbekannten Wert M durch a und wählen wir die Zahl d > 0 für die gegebene Zuverlässigkeit so, dass die Bedingung erfüllt ist:

P (- a< d) = (1)

Da die Zufallsvariable nach dem Normalgesetz mit mathematischem Erwartungswert M = M = a und Varianz D = D / n = 2 / n verteilt ist, erhalten wir:

P (- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Es bleibt d zu wählen, so dass die Gleichheit

Für jeden kann man aus der Tabelle eine Zahl t mit (t) = / 2 finden. Diese Zahl t heißt manchmal Quantil.

Jetzt aus Gleichberechtigung

Definiere den Wert von d:

Das Endergebnis erhält man durch die Darstellung von Formel (1) in der Form:

Die letzte Formel hat folgende Bedeutung: mit Reliabilität das Konfidenzintervall

deckt den unbekannten Parameter a = M der Allgemeinbevölkerung ab. Sie können es anders formulieren: Punktschätzung bestimmt den Wert des Parameters M mit einer Genauigkeit d = t / und Zuverlässigkeit.

Aufgabe. Es gebe eine allgemeine Bevölkerung mit einem nach dem Normalgesetz verteilten Merkmal mit einer Varianz von 6,25. Es wurde eine Stichprobe der Größe n = 27 gebildet und der durchschnittliche Stichprobenwert des Merkmals = 12 erhalten. Ermitteln Sie das Konfidenzintervall, das die unbekannte mathematische Erwartung des untersuchten Merkmals der Allgemeinbevölkerung mit einer Zuverlässigkeit = 0,99 abdeckt.

Lösung. Zuerst finden wir mit der Tabelle für die Laplace-Funktion den Wert von t aus der Gleichheit (t) = / 2 = 0,495. Basierend auf dem erhaltenen Wert t = 2,58 bestimmen wir die Genauigkeit der Schätzung (oder die halbe Länge des Konfidenzintervalls) d: d = 2,52,58 / 1,24. Von hier erhalten wir das erforderliche Konfidenzintervall: (10,76; 13,24).

statistische Hypothese allgemeine Variation

Konfidenzintervall für die mathematische Erwartung einer Normalverteilung mit unbekannter Varianz

Sei eine nach dem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable mit unbekanntem mathematischen Erwartungswert M, die wir mit dem Buchstaben a bezeichnen. Machen wir eine Stichprobe von Volumen n. Bestimmen wir die durchschnittliche Stichprobe und die korrigierte Stichprobenvarianz s 2 nach den bekannten Formeln.

Zufallswert

verteilt nach Student's Law mit n - 1 Freiheitsgraden.

Die Aufgabe besteht darin, eine Zahl t für die gegebene Zuverlässigkeit und die Anzahl der Freiheitsgrade n - 1 zu finden, so dass die Gleichheit

oder gleichwertige Gleichheit

In Klammern steht hier die Bedingung, dass der Wert des unbekannten Parameters a zu einem bestimmten Intervall gehört, dem Vertrauensintervall. Seine Grenzen hängen von der Zuverlässigkeit sowie von den Parametern der Probe und s ab.

Um den Betrag von t zu bestimmen, transformieren wir die Gleichheit (2) in die Form:

Nach der Tabelle für eine Zufallsvariable t, verteilt nach dem Student'schen Gesetz, nach Wahrscheinlichkeit 1 - und der Anzahl der Freiheitsgrade n - 1, finden wir nun t. Formel (3) gibt die Antwort auf das Problem.

Aufgabe. Bei Kontrolltests von 20 elektrischen Lampen ergab sich eine durchschnittliche Betriebsdauer von 2000 Stunden mit einer Standardabweichung (berechnet als Quadratwurzel der korrigierten Stichprobenvarianz) von 11 Stunden. Die Lampenlebensdauer ist bekanntermaßen normalverteilt zufällige Variable... Bestimmen Sie mit einer Zuverlässigkeit von 0,95 das Konfidenzintervall für den mathematischen Erwartungswert dieser Zufallsvariablen.

Lösung. Der Wert 1 - ist in diesem Fall gleich 0,05. Gemäß der Student-Verteilungstabelle mit der Anzahl der Freiheitsgrade von 19 finden wir: t = 2,093. Berechnen wir nun die Genauigkeit der Schätzung: 2,093121 / = 56,6. Von hier erhalten wir das erforderliche Konfidenzintervall: (1943,4; 2056,6).

Build in MS EXCEL-Treuhänder Intervall zur Schätzung des Mittelwertes der Verteilung bei bekanntem Wert der Varianz.

Natürlich die Wahl Vertrauensniveau kommt ganz auf das zu lösende Problem an. Daher sollte das Vertrauen des Fluggastes in die Zuverlässigkeit des Flugzeugs zweifellos höher sein als das Vertrauen des Käufers in die Zuverlässigkeit der Glühbirne.

Problemstellung

Angenommen, von die allgemeine Bevölkerung genommen haben Stichprobe Größe n. Es wird angenommen dass Standardabweichung diese Verteilung ist bekannt. Auf dieser Grundlage ist es notwendig Probenahme das Unbekannte bewerten mittlere Verteilung(μ,) und konstruieren die entsprechenden zweiseitig Konfidenzintervall.

Punktschätzung

Wie bekannt ist, Statistiken(wir bezeichnen es X Mittwoch) ist ein unverzerrte Schätzung des Mittelwertes Dies die allgemeine Bevölkerung und hat die Verteilung N (μ; σ 2 / n).

Notiz: Was tun, wenn Sie bauen müssen? Konfidenzintervall bei einer Verteilung, die ist nicht normal? In diesem Fall kommt es zur Rettung, die besagt, dass bei einer ausreichend großen Größe Probenahme n aus der Verteilung nicht sein normal, Stichprobenverteilung der Statistik X av Wille CA entsprechen Normalverteilung mit Parametern N (μ; σ 2 / n).

So, Punktschätzung Mitte Verteilungswerte wir haben - das Stichprobenmittelwert, d.h. X Mittwoch... Kommen wir nun zu Konfidenzintervall.

Zeichnen eines Konfidenzintervalls

Wenn wir die Verteilung und ihre Parameter kennen, können wir normalerweise die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine Zufallsvariable einen Wert aus dem von uns angegebenen Intervall annimmt. Machen wir nun das Gegenteil: Finden Sie das Intervall, in das die Zufallsvariable mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit fällt. Zum Beispiel aus den Eigenschaften Normalverteilung es ist bekannt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% eine Zufallsvariable verteilt über normales Gesetz, fällt in ein Intervall von ca. +/- 2 von Mittelwert(siehe Artikel über). Dieses Intervall dient uns als Prototyp Konfidenzintervall.

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob wir die Verteilung kennen , dieses Intervall berechnen? Um die Frage zu beantworten, müssen wir die Form der Verteilung und ihre Parameter angeben.

Wir kennen die Verteilungsform - sie ist Normalverteilung(Denken Sie daran, dass wir darüber sprechen Probenverteilung Statistiken X Mittwoch).

Wir kennen den Parameter μ nicht (er muss nur geschätzt werden mit Konfidenzintervall), aber wir haben seine Schätzung X Mi, berechnet basierend auf Probenahme, die verwendet werden können.

Der zweite Parameter ist Standardabweichung des Stichprobenmittels wir werden es für bekannt halten, ist es gleich σ / √n.

Weil kennen wir μ nicht, dann konstruieren wir das Intervall +/- 2 Standardabweichungen nicht von Mittelwert, und aus seiner bekannten Schätzung X Mittwoch... Jene. bei der Berechnung Konfidenzintervall das werden wir NICHT annehmen X Mittwoch fällt in den Bereich +/- 2 Standardabweichungen aus μ mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%, und wir nehmen an, dass das Intervall +/- 2 Standardabweichungen von X Mittwoch wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% μ . abdecken - Durchschnitt der Gesamtbevölkerung, von dem es genommen wird Stichprobe... Diese beiden Aussagen sind äquivalent, aber die zweite Aussage erlaubt uns zu konstruieren Konfidenzintervall.

Außerdem klären wir das Intervall: eine Zufallsvariable verteilt über normales Gesetz, liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% im Bereich +/- 1.960 Standardabweichungen, nicht +/- 2 Standardabweichungen... Dies kann mit der Formel berechnet werden = NORM.ST.OBR ((1 + 0,95) / 2), cm. Beispieldatei Blattabstand.

Wir können jetzt eine probabilistische Aussage formulieren, die uns zu der Bildung dient Konfidenzintervall:
„Die Wahrscheinlichkeit, dass Bevölkerungsdurchschnitt aus durchschnittliche Stichprobe innerhalb von 1960 " Standardabweichungen des Stichprobenmittels ", ist gleich 95%".

Der in der Aussage erwähnte Wahrscheinlichkeitswert hat einen besonderen Namen was damit verbunden ist Signifikanzniveau α (alpha) durch einen einfachen Ausdruck Vertrauens Stufe =1 -α . In unserem Fall Signifikanzniveau α =1-0,95=0,05 .

Basierend auf dieser probabilistischen Aussage schreiben wir nun einen Ausdruck zur Berechnung von Konfidenzintervall:

wobei Z α / 2 – Standard Normalverteilung(ein solcher Wert einer Zufallsvariablen z, was P(z>=Zα / 2 ) = α / 2).

Notiz: Oberes α / 2-Quantil bestimmt die Breite Konfidenzintervall v Standardabweichungen Stichprobenmittelwert. Oberes α / 2-Quantil Standard Normalverteilung immer größer als 0, was sehr praktisch ist.

In unserem Fall bei α = 0,05, oberes α / 2-Quantil ist gleich 1.960. Für andere Signifikanzniveaus α (10 %; 1 %) oberes α / 2-Quantil Zα / 2 kann mit der Formel berechnet werden = NORM.ST.OBR (1-α / 2) oder, falls bekannt Vertrauens Stufe, = STANDARD ST.OBR ((1 + Vertrauensstufe) / 2).

Normalerweise beim Bauen Konfidenzintervalle zur Schätzung des Mittelwerts benutz nur oberes α/2-Quantil und nicht verwenden unteres α/2-Quantil... Dies ist möglich, weil Standard Normalverteilung symmetrisch zur x-Achse ( seine Verteilungsdichte symmetrisch zu durchschnittlich, d.h. 0). Daher ist keine Berechnung erforderlich unteres α / 2-Quantil(es heißt einfach α / 2-Quantil), da es ist gleich oberes α/2-Quantil mit Minuszeichen.

Denken Sie daran, dass trotz der Form der Verteilung der Größe x die entsprechende Zufallsvariable X Mittwoch verteilt CA fein N (μ; σ 2 / n) (siehe Artikel über). Daher in Allgemeiner Fall, der obige Ausdruck für Konfidenzintervall ist nur ungefähr. Wenn die Menge x auf verteilt ist normales Gesetz N (μ; σ 2 / n), dann der Ausdruck für Konfidenzintervall ist genau.

Berechnung des Konfidenzintervalls in MS EXCEL

Lassen Sie uns das Problem lösen.
Die Reaktionszeit eines elektronischen Bauteils auf ein Eingangssignal ist eine wichtige Eigenschaft des Geräts. Der Ingenieur möchte ein Konfidenzintervall für die mittlere Reaktionszeit mit einem Konfidenzniveau von 95 % darstellen. Aus Erfahrung weiß der Ingenieur, dass die Standardabweichung der Reaktionszeit 8 ms beträgt. Es ist bekannt, dass der Ingenieur 25 Messungen durchführte, um die Reaktionszeit abzuschätzen, der Durchschnittswert betrug 78 ms.

Lösung: Ein Ingenieur möchte die Reaktionszeit eines elektronischen Geräts wissen, stellt jedoch fest, dass die Reaktionszeit keine feste, sondern eine Zufallsvariable ist, die eine eigene Verteilung hat. Er kann sich also am besten darauf verlassen, die Parameter und die Form dieser Verteilung zu bestimmen.

Leider ist uns aus dem Zustand des Problems die Form der Antwortzeitverteilung nicht bekannt (muss auch nicht sein normal). , diese Verteilung ist ebenfalls unbekannt. Nur für ihn bekannt Standardabweichung= 8. Also, bis wir die Wahrscheinlichkeiten berechnen und bauen können Konfidenzintervall.

Aber trotz der Tatsache, dass wir die Verteilung nicht kennen Zeit separate Antwort, wir wissen, dass nach CPT, Probenverteilung durchschnittliche Reaktionszeit ist ungefähr normal(wir gehen davon aus, dass die Bedingungen CPT werden durchgeführt, weil die Größe Probenahme groß genug (n = 25)) .

Außerdem, der Durchschnitt dieser Verteilung ist Durchschnitt die Verteilung einer einzelnen Antwort, d.h. μ. EIN Standardabweichung dieser Verteilung (σ / √n) kann durch die Formel = 8 / ROOT (25) berechnet werden.

Es ist auch bekannt, dass der Ingenieur erhielt Punktschätzung Parameter μ gleich 78 ms (X vgl.). Daher können wir jetzt die Wahrscheinlichkeiten berechnen, da wir kennen die Verteilungsform ( normal) und seine Parameter (X cf und σ / √n).

Der Ingenieur will es wissen erwarteter Wertμ der Antwortzeitverteilung. Wie oben erwähnt, ist dieses μ gleich die mathematische Erwartung der Stichprobenverteilung der mittleren Antwortzeit... Wenn wir verwenden Normalverteilung N (X cf; σ / √n), dann liegt das gewünschte µ mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 95 % im Bereich +/- 2 * σ / n.

Signifikanzniveau gleich 1-0,95 = 0,05 ist.

Finden Sie schließlich die linke und rechte Grenze Konfidenzintervall.
Linker Rand: = 78-STANDARD ST.OBR (1-0,05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 74,864
Rechter Rand: = 78 + NORM.ST.OBR (1-0,05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 81,136

Linker Rand: = NORM.OBR (0,05 / 2; 78; 8 / ROOT (25))
Rechter Rand: = NORM.INV (1-0,05 / 2; 78; 8 / ROOT (25))

Antworten: Konfidenzintervall bei Konfidenzniveau 95% und σ=8Frau ist gleich 78 +/- 3,136 msek.

V Beispieldatei auf dem Sigma-Arbeitsblatt ein Formular zur Berechnung und Konstruktion ist bekannt bilateral Konfidenzintervall für willkürlich Proben mit einem gegebenen σ und Signifikanzniveau.

Funktion VERTRAUEN.NORM ()

Wenn die Werte Probenahme sind im bereich B20: B79 , ein Signifikanzniveau gleich 0,05; dann die MS-EXCEL-Formel:
= MITTELWERT (B20: B79) -VERTRAUEN.NORM (0,05, σ, ZÄHLEN (B20: B79))
gibt den linken Rand zurück Konfidenzintervall.

Die gleiche Grenze kann mit der Formel berechnet werden:
= DURCHSCHNITT (B20: B79) -NORM.ST.INV (1-0,05 / 2) * σ / ROOT (COUNT (B20: B79))

Notiz: Die Funktion CONFIRM.NORM () wurde in MS EXCEL 2010 verwendet. In früheren Versionen von MS EXCEL wurde die Funktion CONFIDENCE () verwendet.