Geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion an. Tangentengleichung

Tangente ist eine Gerade, die durch einen Punkt auf der Kurve verläuft und an diesem Punkt bis zur ersten Ordnung mit diesem zusammenfällt (Abb. 1).

Eine andere Definition: Dies ist die Grenzposition der Sekante bei Δ X→0.

Erläuterung: Nehmen Sie eine gerade Linie, die die Kurve in zwei Punkten schneidet: A Und B(siehe Bild). Das ist eine Sekante. Wir drehen es im Uhrzeigersinn, bis es nur noch einen gemeinsamen Punkt mit der Kurve findet. Dadurch erhalten wir eine Tangente.

Strikte Definition der Tangente:

Tangente an den Graphen einer Funktion F, am Punkt differenzierbar XO, ist eine gerade Linie, die durch den Punkt ( XO; F(XO)) und mit einer Steigung F′( XO).

Der Hang hat die Form einer Geraden y=kx +B. Koeffizient k und ist Neigung diese gerade Linie.

Der Winkelkoeffizient ist gleich dem Tangens des spitzen Winkels, den diese Gerade mit der Abszissenachse bildet:

k = tan α

Dabei ist Winkel α der Winkel zwischen der Geraden y=kx +B und positive (d. h. gegen den Uhrzeigersinn) Richtung der x-Achse. Es heißt Neigungswinkel einer Geraden(Abb. 1 und 2).

Wenn der Neigungswinkel gerade ist y=kx +B akut, dann ist die Steigung eine positive Zahl. Die Grafik nimmt zu (Abb. 1).

Wenn der Neigungswinkel gerade ist y=kx +B stumpf ist, dann ist die Steigung eine negative Zahl. Die Grafik nimmt ab (Abb. 2).

Wenn die Gerade parallel zur x-Achse verläuft, ist der Neigungswinkel der Geraden Null. In diesem Fall ist die Steigung der Geraden ebenfalls Null (da der Tangens von Null Null ist). Die Gleichung der Geraden sieht wie folgt aus: y = b (Abb. 3).

Wenn der Neigungswinkel einer Geraden 90° (π/2) beträgt, also senkrecht zur Abszissenachse steht, dann ist die Gerade durch die Gleichheit gegeben x =C, Wo C– eine reelle Zahl (Abb. 4).

Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktionj = F(X) am Punkt XO:

Beispiel: Finden wir die Gleichung Tangente an den Graphen der Funktion F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 am Punkt mit Abszisse 2.

Lösung .

Wir folgen dem Algorithmus.

1) Berührungspunkt XO ist gleich 2. Berechnen Sie F(XO):

F(XO) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Finden F′( X). Dazu wenden wir die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Differenzierungsformeln an. Nach diesen Formeln gilt X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Bedeutet:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Verwenden Sie nun den resultierenden Wert F′( X), berechnen F′( XO):

F′( XO) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Wir haben also alle notwendigen Daten: XO = 2, F(XO) = 1, F ′( XO) = 4. Setze diese Zahlen in die Tangentengleichung ein und finde die endgültige Lösung:

y = F(XO) + F′( XO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Antwort: y = 4x – 7.

Beispiel 1. Gegeben eine Funktion F(X) = 3X 2 + 4X– 5. Schreiben wir die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen F(X) am Diagrammpunkt mit der Abszisse X 0 = 1.

Lösung. Ableitung einer Funktion F(X) existiert für jedes x R . Lasst uns sie finden:

= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.

Dann F(X 0) = F(1) = 2; (X 0) = = 10. Die Tangentengleichung hat die Form:

j = (X 0) (X – X 0) + F(X 0),

j = 10(X – 1) + 2,

j = 10X – 8.

Antwort. j = 10X – 8.

Beispiel 2. Gegeben eine Funktion F(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Schreiben wir die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen F(X), parallel zur Linie j = 2X – 11.

Lösung. Ableitung einer Funktion F(X) existiert für jedes x R . Lasst uns sie finden:

= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.

Da die Tangente an den Graphen der Funktion F(X) am Abszissenpunkt X 0 ist parallel zur Linie j = 2X– 11, dann ist seine Steigung gleich 2, d. h. ( X 0) = 2. Finden wir diese Abszisse aus der Bedingung, dass 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Diese Gleichheit gilt nur, wenn X 0 = 0 und bei X 0 = 2. Da in beiden Fällen F(X 0) = 5, dann gerade j = 2X + B berührt den Graphen der Funktion entweder am Punkt (0; 5) oder am Punkt (2; 5).

Im ersten Fall gilt die numerische Gleichheit 5 = 2×0 + B, Wo B= 5, und im zweiten Fall gilt die numerische Gleichheit 5 = 2×2 + B, Wo B = 1.

Es gibt also zwei Tangenten j = 2X+ 5 und j = 2X+ 1 zum Graphen der Funktion F(X), parallel zur Linie j = 2X – 11.

Antwort. j = 2X + 5, j = 2X + 1.

Beispiel 3. Gegeben eine Funktion F(X) = X 2 – 6X+ 7. Schreiben wir die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen F(X), durch den Punkt gehend A (2; –5).

Lösung. Weil F(2) –5, dann Punkt A gehört nicht zum Graphen der Funktion F(X). Lassen X 0 - Abszisse des Tangentenpunkts.

Ableitung einer Funktion F(X) existiert für jedes x R . Lasst uns sie finden:

= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.

Dann F(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 – 6. Die Tangentengleichung hat die Form:

j = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,

j = (2X 0 – 6)X– X+ 7.

Da der Punkt A zur Tangente gehört, dann ist die numerische Gleichheit wahr

–5 = (2X 0 – 6)×2– X+ 7,

Wo X 0 = 0 oder X 0 = 4. Dies bedeutet, dass durch den Punkt A Sie können zwei Tangenten an den Funktionsgraphen zeichnen F(X).

Wenn X 0 = 0, dann hat die Tangentengleichung die Form j = –6X+ 7. Wenn X 0 = 4, dann hat die Tangentengleichung die Form j = 2X – 9.

Antwort. j = –6X + 7, j = 2X – 9.

Beispiel 4. Funktionen gegeben F(X) = X 2 – 2X+ 2 und G(X) = –X 2 – 3. Schreiben wir die Gleichung des gemeinsamen Tangens an die Graphen dieser Funktionen.

Lösung. Lassen X 1 - Abszisse des Tangentenpunkts der gewünschten Linie mit dem Funktionsgraphen F(X), A X 2 - Abszisse des Tangentenpunkts derselben Linie mit dem Funktionsgraphen G(X).

Ableitung einer Funktion F(X) existiert für jedes x R . Lasst uns sie finden:

= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.

Dann F(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 – 2. Die Tangentengleichung hat die Form:

j = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,

j = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)

Finden wir die Ableitung der Funktion G(X):

= (–X 2 – 3)′ = –2 X.

Wissen Sie schon, was ein Derivat ist? Wenn nicht, lesen Sie zuerst das Thema. Sie sagen also, Sie kennen die Ableitung. Lass es uns jetzt überprüfen. Finden Sie das Inkrement der Funktion, wenn das Inkrement des Arguments gleich ist. Hast du es geschafft? Es sollte funktionieren. Finden Sie nun die Ableitung der Funktion an einem Punkt. Antwort: . Hat es funktioniert? Wenn Sie mit einem dieser Beispiele Schwierigkeiten haben, empfehle ich Ihnen dringend, zum Thema zurückzukehren und es erneut zu studieren. Ich weiß, dass das Thema sehr groß ist, aber sonst macht es keinen Sinn, weiterzumachen. Betrachten Sie den Graphen einer Funktion:

Wählen wir einen bestimmten Punkt auf der Diagrammlinie aus. Sei die Abszisse, dann ist die Ordinate gleich. Dann wählen wir einen Punkt aus, dessen Abszisse nahe am Punkt liegt; seine Ordinate ist:

Zeichnen wir eine gerade Linie durch diese Punkte. Es wird Sekante genannt (genau wie in der Geometrie). Bezeichnen wir den Neigungswinkel der Geraden zur Achse als. Wie in der Trigonometrie wird dieser Winkel von der positiven Richtung der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Welche Werte kann der Winkel annehmen? Ganz gleich, wie Sie diese gerade Linie neigen, eine Hälfte bleibt immer noch herausragen. Daher beträgt der maximal mögliche Winkel und der minimal mögliche Winkel. Bedeutet, . Der Winkel wird nicht berücksichtigt, da die Position der Geraden in diesem Fall genau mit übereinstimmt und es logischer ist, einen kleineren Winkel zu wählen. Nehmen wir einen Punkt in der Abbildung, bei dem die Gerade parallel zur Abszissenachse verläuft und a die Ordinatenachse ist:

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass a. Dann ist das Verhältnis der Inkremente:

(da es rechteckig ist).

Reduzieren wir es jetzt. Dann nähert sich der Punkt dem Punkt. Wenn es unendlich klein wird, wird das Verhältnis gleich der Ableitung der Funktion an dem Punkt. Was passiert mit der Sekante? Der Punkt wird unendlich nahe am Punkt liegen, sodass sie als derselbe Punkt betrachtet werden können. Aber eine Gerade, die nur einen gemeinsamen Punkt mit einer Kurve hat, ist nichts anderes als Tangente(In diesem Fall ist diese Bedingung nur in einem kleinen Bereich erfüllt – in der Nähe des Punktes, aber das reicht aus). Sie sagen, dass in diesem Fall die Sekante dauert Grenzposition.

Nennen wir den Neigungswinkel der Sekante zur Achse. Dann stellt sich heraus, dass die Ableitung

das heißt Die Ableitung ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Tangente an den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt.

Da eine Tangente eine Gerade ist, erinnern wir uns nun an die Geradengleichung:

Wofür ist der Koeffizient verantwortlich? Für die Steigung der Geraden. So heißt es: Neigung. Was bedeutet es? Und die Tatsache, dass er gleich dem Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der Achse ist! Das passiert also:

Aber wir haben diese Regel erhalten, indem wir eine zunehmende Funktion betrachteten. Was ändert sich, wenn die Funktion abnimmt? Mal sehen:
Jetzt sind die Winkel stumpf. Und das Inkrement der Funktion ist negativ. Denken wir noch einmal darüber nach: . Auf der anderen Seite . Wir erhalten: , das heißt, alles ist wie beim letzten Mal. Richten wir den Punkt erneut auf den Punkt, und die Sekante nimmt eine Grenzposition ein, das heißt, sie wird am Punkt zu einer Tangente an den Funktionsgraphen. Formulieren wir also die letzte Regel:
Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt oder (was dasselbe ist) der Steigung dieser Tangente:

Das ist es geometrische Bedeutung der Ableitung. Okay, das ist alles interessant, aber warum brauchen wir es? Hier Beispiel:
Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion und einer Tangente daran am Abszissenpunkt. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion an diesem Punkt.
Lösung.
Wie wir kürzlich herausgefunden haben, ist der Wert der Ableitung am Tangentenpunkt gleich der Steigung der Tangente, die wiederum gleich dem Tangens des Neigungswinkels dieser Tangente zur Abszissenachse ist: . Das heißt, um den Wert der Ableitung zu ermitteln, müssen wir den Tangens des Tangentenwinkels ermitteln. In der Abbildung haben wir zwei auf der Tangente liegende Punkte markiert, deren Koordinaten uns bekannt sind. Also lasst es uns zu Ende bringen rechtwinkliges Dreieck, durch diese Punkte gehen und den Tangens des Tangentenwinkels finden!

Der Neigungswinkel der Tangente an die Achse beträgt. Finden wir den Tangens dieses Winkels: . Somit ist die Ableitung der Funktion an einem Punkt gleich.
Antwort:. Probieren Sie es jetzt selbst aus:

Antworten:

Wissen geometrische Bedeutung der Ableitung, können wir ganz einfach die Regel erklären, dass die Ableitung am Punkt erfolgt lokales Maximum oder Minimum ist Null. Tatsächlich ist die Tangente an den Graphen an diesen Punkten „horizontal“, also parallel zur x-Achse:

Wie groß ist der Winkel zwischen parallelen Linien? Natürlich null! Und der Tangens von Null ist auch Null. Die Ableitung ist also gleich Null:

Lesen Sie mehr dazu im Thema „Monotonie von Funktionen“. Extremum-Punkte.“

Konzentrieren wir uns nun auf beliebige Tangenten. Nehmen wir an, wir haben eine Funktion, zum Beispiel . Wir haben seinen Graphen gezeichnet und wollen irgendwann eine Tangente daran zeichnen. Zum Beispiel an einem Punkt. Wir nehmen ein Lineal, befestigen es an der Grafik und zeichnen:

Was wissen wir über diese Linie? Was ist das Wichtigste, was Sie über Direct to wissen sollten? Koordinatenebene? Da eine Gerade ein Abbild einer linearen Funktion ist, wäre es sehr praktisch, ihre Gleichung zu kennen. Das sind die Koeffizienten in der Gleichung

Aber wir wissen es bereits! Dies ist die Steigung der Tangente, die gleich der Ableitung der Funktion an diesem Punkt ist:

In unserem Beispiel wird es so aussehen:

Jetzt müssen wir es nur noch finden. Es ist so einfach wie Birnen schälen: schließlich - der Wert von. Grafisch ist dies die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Ordinatenachse (immerhin an allen Punkten der Achse):

Zeichnen wir es (also ist es rechteckig). Dann (auf den gleichen Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse). Was sind und gleich? Die Abbildung zeigt deutlich, dass a. Dann erhalten wir:

Wir kombinieren alle erhaltenen Formeln zu einer Geradengleichung:

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Finden Tangentengleichung zu einer Funktion an einem Punkt.
2. Die Tangente an eine Parabel schneidet die Achse in einem Winkel. Finden Sie die Gleichung dieser Tangente.
3. Die Gerade verläuft parallel zur Tangente an den Funktionsgraphen. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.
4. Die Gerade verläuft parallel zur Tangente an den Funktionsgraphen. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Lösungen und Antworten:

GLEICHUNG EINES TANGENTEN AN DEN GRAPH EINER FUNKTION. KURZE BESCHREIBUNG UND GRUNDFORMELN

Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt ist gleich der Tangente der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt oder der Steigung dieser Tangente:

Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion an einem Punkt:

Algorithmus zum Finden der Tangentengleichung:

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Erinnern wir uns geometrische Bedeutung der Ableitung: Wenn an einem Punkt eine Tangente an den Graphen einer Funktion gezogen wird, dann ist der Steigungskoeffizient der Tangente (gleich dem Tangens des Winkels zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse) gleich der Ableitung der Funktion an der Stelle.

Nehmen wir einen beliebigen Punkt auf der Tangente mit Koordinaten:

Und betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck:

In diesem Dreieck

Von hier

Dies ist die Gleichung der Tangente, die am Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird.

Um die Tangentengleichung zu schreiben, müssen wir nur die Funktionsgleichung und den Punkt kennen, an dem die Tangente gezogen wird. Dann können wir finden und .

Es gibt drei Haupttypen von Tangentengleichungsproblemen.

1. Einen Ansprechpartner angeben

2. Gegeben ist der Tangentensteigungskoeffizient, also der Wert der Ableitung der Funktion am Punkt.

3. Gegeben sind die Koordinaten des Punktes, durch den die Tangente gezogen wird, der aber nicht der Tangentenpunkt ist.

Schauen wir uns jede Art von Aufgabe an.

1. Schreiben Sie die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen an der Stelle .

.

b) Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt. Lassen Sie uns zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln

Setzen wir die gefundenen Werte in die Tangentengleichung ein:

Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung. Wir bekommen:

Antwort: .

2. Finden Sie die Abszisse der Punkte, an denen die Funktionen den Graphen tangieren parallel zur x-Achse.

Wenn die Tangente parallel zur x-Achse ist, ist der Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse Null, daher ist die Tangente des Tangentenwinkels Null. Dies bedeutet, dass der Wert der Ableitung der Funktion ist an den Berührungspunkten ist Null.

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion .

b) Setzen wir die Ableitung mit Null gleich und ermitteln die Werte, bei denen die Tangente parallel zur Achse verläuft:

Wenn wir jeden Faktor mit Null gleichsetzen, erhalten wir:

Antwort: 0;3;5

3. Schreiben Sie Gleichungen für Tangenten an den Graphen einer Funktion , parallel direkt .

Eine Tangente ist parallel zu einer Geraden. Die Steigung dieser Linie beträgt -1. Da die Tangente parallel zu dieser Linie verläuft, beträgt die Steigung der Tangente ebenfalls -1. Das heißt Wir kennen die Steigung der Tangente, und damit, Ableitungswert am Tangentialpunkt.

Dies ist die zweite Art von Problem, um die Tangentengleichung zu finden.

Wir erhalten also die Funktion und den Wert der Ableitung am Tangentialpunkt.

a) Finden Sie die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion gleich -1 ist.

Finden wir zunächst die Ableitungsgleichung.

Setzen wir die Ableitung mit der Zahl -1 gleich.

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

(nach Bedingung)

.

b) Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt .

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

(nach Bedingung).

Setzen wir diese Werte in die Tangentengleichung ein:

.

Antwort:

4. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve , durch einen Punkt gehen

Überprüfen wir zunächst, ob der Punkt ein Tangentenpunkt ist. Wenn ein Punkt ein Tangentenpunkt ist, dann gehört er zum Graphen der Funktion und seine Koordinaten müssen die Gleichung der Funktion erfüllen. Setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ist kein Ansprechpartner.

Dies ist die letzte Art von Problem, um die Tangentengleichung zu finden. Erstens Wir müssen die Abszisse des Tangentenpunkts finden.

Finden wir den Wert.

Seien Sie der Ansprechpartner. Der Punkt gehört zur Tangente an den Funktionsgraphen. Wenn wir die Koordinaten dieses Punktes in die Tangentengleichung einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichung:

.

Der Wert der Funktion an einem Punkt ist .

Lassen Sie uns den Wert der Ableitung der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

Lassen Sie uns zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln. Das .

Die Ableitung an einem Punkt ist gleich .

Ersetzen wir die Ausdrücke für und in der Tangentengleichung. Wir erhalten die Gleichung für:

Lassen Sie uns diese Gleichung lösen.

Reduzieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs um 2:

Geben wir rechte Seite Gleichungen auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Wir bekommen:

Vereinfachen wir den Zähler des Bruchs und multiplizieren wir beide Seiten mit – dieser Ausdruck ist streng genommen größer als Null.

Wir erhalten die Gleichung

Lass es uns lösen. Dazu quadrieren wir beide Teile und fahren mit dem System fort.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Lösen wir die erste Gleichung.

Lass uns entscheiden quadratische Gleichung, bekommen wir

Die zweite Wurzel erfüllt nicht die Bedingung title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Schreiben wir die Gleichung der Tangente an die Kurve am Punkt. Setzen Sie dazu den Wert in die Gleichung ein - Wir haben es bereits aufgenommen.

Antwort:
.

Der Artikel bietet eine detaillierte Erläuterung der Definitionen, der geometrischen Bedeutung der Ableitung mit grafischen Notationen. Die Gleichung einer Tangente wird anhand von Beispielen betrachtet, die Gleichungen einer Tangente an Kurven 2. Ordnung werden gefunden.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b heißt Winkel α, der von der positiven Richtung der x-Achse zur Geraden y = k x + b in positiver Richtung gemessen wird.

In der Abbildung ist die x-Richtung durch einen grünen Pfeil und einen grünen Bogen und der Neigungswinkel durch einen roten Bogen gekennzeichnet. Die blaue Linie bezieht sich auf die gerade Linie.

Definition 2

Die Steigung der Geraden y = k x + b wird als numerischer Koeffizient k bezeichnet.

Der Winkelkoeffizient ist gleich dem Tangens der Geraden, also k = t g α.

• Der Neigungswinkel einer Geraden ist nur dann gleich 0, wenn sie parallel zu x verläuft und die Steigung gleich Null ist, weil der Tangens von Null gleich 0 ist. Dies bedeutet, dass die Gleichung die Form y = b hat.
• Wenn der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b spitz ist, dann sind die Bedingungen 0 erfüllt< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, und es gibt einen Anstieg im Diagramm.
• Wenn α = π 2, dann ist der Ort der Linie senkrecht zu x. Gleichheit wird durch x = c angegeben, wobei der Wert c eine reelle Zahl ist.
• Ist der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b stumpf, dann entspricht er den Bedingungen π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definition 3

Eine Sekante ist eine Gerade, die durch 2 Punkte der Funktion f (x) verläuft. Mit anderen Worten: Eine Sekante ist eine gerade Linie, die durch zwei beliebige Punkte im Diagramm gezogen wird gegebene Funktion.

Die Abbildung zeigt, dass A B eine Sekante ist und f (x) eine schwarze Kurve ist. α ist ein roter Bogen, der den Neigungswinkel der Sekante angibt.

Wenn der Winkelkoeffizient einer Geraden gleich dem Tangens des Neigungswinkels ist, ist es klar, dass der Tangens eines rechtwinkligen Dreiecks A B C durch das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite ermittelt werden kann.

Definition 4

Wir erhalten eine Formel zum Finden einer Sekante der Form:

k = t g α = B C A C = f (x B) – f x A x B – x A, wobei die Abszissen der Punkte A und B die Werte x A, x B und f (x A), f (x) sind B) sind die Wertefunktionen an diesen Punkten.

Offensichtlich wird der Winkelkoeffizient der Sekante anhand der Gleichheit k = f (x B) – f (x A) x B – x A oder k = f (x A) – f (x B) x A – x B bestimmt , und die Gleichung muss geschrieben werden als y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) oder
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Die Sekante teilt den Graphen visuell in drei Teile: links von Punkt A, von A nach B, rechts von B. Die folgende Abbildung zeigt, dass es drei Sekanten gibt, die als zusammenfallend gelten, das heißt, sie werden mit a festgelegt ähnliche Gleichung.

Per Definition ist klar, dass in diesem Fall die Gerade und ihre Sekante zusammenfallen.

Eine Sekante kann den Graphen einer bestimmten Funktion mehrmals schneiden. Wenn es für eine Sekante eine Gleichung der Form y = 0 gibt, dann ist die Anzahl der Schnittpunkte mit der Sinuskurve unendlich.

Definition 5

Tangente an den Graphen der Funktion f (x) am Punkt x 0 ; f (x 0) ist eine gerade Linie, die durch einen gegebenen Punkt x 0 verläuft; f (x 0), mit dem Vorhandensein eines Segments, das viele x-Werte nahe bei x 0 hat.

Beispiel 1

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an. Dann ist klar, dass die durch die Funktion y = x + 1 definierte Linie als Tangente an y = 2 x am Punkt mit den Koordinaten (1; 2) betrachtet wird. Aus Gründen der Übersichtlichkeit müssen Diagramme mit Werten nahe (1; 2) betrachtet werden. Die Funktion y = 2 x ist schwarz dargestellt, die blaue Linie ist die Tangente und der rote Punkt ist der Schnittpunkt.

Offensichtlich verschmilzt y = 2 x mit der Geraden y = x + 1.

Um die Tangente zu bestimmen, sollten wir das Verhalten der Tangente A B berücksichtigen, wenn sich Punkt B Punkt A unendlich nähert. Zur Verdeutlichung präsentieren wir eine Zeichnung.

Die durch die blaue Linie angezeigte Sekante A B neigt zur Position der Tangente selbst, und der Neigungswinkel der Sekante α beginnt sich zum Neigungswinkel der Tangente selbst α x zu neigen.

Definition 6

Die Tangente an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt A wird als Grenzposition der Sekante A B angesehen, da B nach A tendiert, also B → A.

Betrachten wir nun die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Betrachten wir nun die Sekante A B für die Funktion f (x), wobei A und B mit den Koordinaten x 0, f (x 0) und x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) und ∆ x ist wird als Inkrement des Arguments bezeichnet. Jetzt nimmt die Funktion die Form an ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel einer Zeichnung.

Betrachten Sie das resultierende rechtwinklige Dreieck A B C. Wir verwenden zur Lösung die Definition der Tangente, das heißt, wir erhalten die Beziehung ∆ y ∆ x = t g α . Aus der Definition einer Tangente folgt, dass lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Nach der Regel der Ableitung an einem Punkt gilt, dass die Ableitung f (x) am Punkt x 0 als Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bezeichnet wird, wobei ∆ x → 0 , dann bezeichnen wir es als f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Daraus folgt, dass f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, wobei k x als Steigung der Tangente bezeichnet wird.

Das heißt, wir stellen fest, dass f ' (x) am Punkt x 0 existieren kann und wie die Tangente an einen gegebenen Graphen der Funktion am Tangentenpunkt gleich x 0 ist, f 0 (x 0), wobei der Wert von Die Steigung der Tangente am Punkt ist gleich der Ableitung am Punkt x 0 . Dann erhalten wir k x = f " (x 0) .

Die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt besteht darin, dass sie das Konzept der Existenz einer Tangente an den Graphen am selben Punkt liefert.

Um die Gleichung einer Geraden auf einer Ebene aufzustellen, ist es notwendig, einen Winkelkoeffizienten mit dem Punkt zu haben, durch den sie verläuft. Seine Notation wird als x 0 am Schnittpunkt angenommen.

Die Tangentengleichung an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt x 0, f 0 (x 0) hat die Form y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Dies bedeutet, dass der Endwert der Ableitung f "(x 0) die Lage der Tangente bestimmen kann, also vertikal, vorausgesetzt lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ und lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ oder Abwesenheit überhaupt unter der Bedingung lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Die Lage der Tangente hängt vom Wert ihres Winkelkoeffizienten k x = f "(x 0) ab. Wenn parallel zur o x-Achse, erhalten wir k k = 0, wenn parallel zu etwa y - k x = ∞ und die Form von Die Tangentengleichung x = x 0 nimmt mit k x > 0 zu und mit k x ab< 0 .

Beispiel 2

Stellen Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 am Punkt mit den Koordinaten (1; 3) auf und bestimmen Sie den Neigungswinkel.

Lösung

Durch die Bedingung haben wir, dass die Funktion für alle reellen Zahlen definiert ist. Wir stellen fest, dass der Punkt mit den durch die Bedingung (1; 3) angegebenen Koordinaten ein Tangentialpunkt ist, dann ist x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Es ist notwendig, die Ableitung am Punkt mit dem Wert - 1 zu finden. Wir verstehen das

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Der Wert von f' (x) am Tangentenpunkt ist die Steigung der Tangente, die gleich der Tangente der Steigung ist.

Dann ist k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Daraus folgt, dass α x = a r c t g 3 3 = π 6

Antwort: Die Tangentengleichung nimmt die Form an

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel in einer grafischen Darstellung.

Für den Graphen der Originalfunktion wird die Farbe Schwarz verwendet. Blau– Bild einer Tangente, roter Punkt – Tangentialpunkt. Die Abbildung rechts zeigt eine vergrößerte Ansicht.

Beispiel 3

Bestimmen Sie die Existenz einer Tangente an den Graphen einer gegebenen Funktion
y = 3 · x - 1 5 + 1 am Punkt mit den Koordinaten (1 ; 1) . Schreiben Sie eine Gleichung und bestimmen Sie den Neigungswinkel.

Lösung

Durch die Bedingung gilt, dass der Definitionsbereich einer gegebenen Funktion die Menge aller reellen Zahlen ist.

Fahren wir mit der Suche nach der Ableitung fort

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Wenn x 0 = 1, dann ist f' (x) undefiniert, aber die Grenzen werden als lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 geschrieben · 1 + 0 = + ∞ und lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , was bedeutet Existenz vertikale Tangente am Punkt (1; 1).

Antwort: Die Gleichung hat die Form x = 1, wobei der Neigungswinkel gleich π 2 ist.

Der Übersichtlichkeit halber stellen wir es grafisch dar.

Beispiel 4

Finden Sie die Punkte im Diagramm der Funktion y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, wobei

1. Es gibt keine Tangente;
2. Die Tangente ist parallel zu x;
3. Die Tangente verläuft parallel zur Geraden y = 8 5 x + 4.

Lösung

Dabei ist auf den Geltungsbereich der Definition zu achten. Als Bedingung gilt, dass die Funktion auf der Menge aller reellen Zahlen definiert ist. Wir erweitern das Modul und lösen das System mit Intervallen x ∈ - ∞ ; 2 und [ - 2 ; + ∞) . Wir verstehen das

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Es ist notwendig, die Funktion zu differenzieren. Das haben wir

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Wenn x = - 2, dann existiert die Ableitung nicht, weil die einseitigen Grenzen an diesem Punkt nicht gleich sind:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Wir berechnen den Wert der Funktion am Punkt x = - 2, wo wir ihn erhalten

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, also die Tangente am Punkt ( - 2; - 2) wird nicht existieren.
2. Die Tangente ist parallel zu x, wenn die Steigung Null ist. Dann k x = t g α x = f "(x 0). Das heißt, es ist notwendig, die Werte eines solchen x zu finden, wenn die Ableitung der Funktion es auf Null dreht. Das heißt, die Werte von f ' (x) sind die Tangentialpunkte, bei denen die Tangente parallel zu x verläuft.

Wenn x ∈ - ∞ ; - 2, dann - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, und für x ∈ (- 2; + ∞) erhalten wir 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Berechnen Sie die entsprechenden Funktionswerte

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Daher - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 gelten als erforderliche Punkte des Funktionsgraphen.

Schauen wir uns eine grafische Darstellung der Lösung an.

Die schwarze Linie ist der Graph der Funktion, die roten Punkte sind die Tangentialpunkte.

1. Wenn die Linien parallel sind, sind die Winkelkoeffizienten gleich. Dann müssen Sie im Funktionsgraphen nach Punkten suchen, an denen die Steigung dem Wert 8 5 entspricht. Dazu müssen Sie eine Gleichung der Form y "(x) = 8 5 lösen. Wenn x ∈ - ∞; - 2 ist, erhalten wir - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, und wenn x ∈ ( - 2 ; + ∞), dann 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Die erste Gleichung hat keine Wurzeln, da die Diskriminante kleiner als Null ist. Schreiben wir das auf

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Eine andere Gleichung hat also zwei reelle Wurzeln

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Fahren wir mit der Ermittlung der Werte der Funktion fort. Wir verstehen das

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkte mit Werten - 1; 4 15, 5; 8 3 sind die Punkte, an denen die Tangenten parallel zur Geraden y = 8 5 x + 4 verlaufen.

Antwort: schwarze Linie – Graph der Funktion, rote Linie – Graph von y = 8 5 x + 4, blaue Linie – Tangenten an Punkten - 1; 4 15, 5; 8 3.

Für gegebene Funktionen kann es unendlich viele Tangenten geben.

Beispiel 5

Schreiben Sie die Gleichungen aller verfügbaren Tangenten der Funktion y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, die senkrecht zur Geraden y = - 2 x + 1 2 stehen.

Lösung

Um die Tangentengleichung zu erstellen, müssen der Koeffizient und die Koordinaten des Tangentenpunkts basierend auf der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Linien ermittelt werden. Die Definition lautet wie folgt: Das Produkt der Winkelkoeffizienten, die senkrecht zu Geraden stehen, ist gleich - 1, also geschrieben als k x · k ⊥ = - 1. Aus der Bedingung folgt, dass der Winkelkoeffizient senkrecht zur Geraden steht und gleich k ⊥ = - 2 ist, dann gilt k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Jetzt müssen Sie die Koordinaten der Berührungspunkte ermitteln. Sie müssen x und dann seinen Wert für eine bestimmte Funktion finden. Beachten Sie, dass aus der geometrischen Bedeutung der Ableitung am Punkt
x 0 erhalten wir, dass k x = y "(x 0). Aus dieser Gleichheit ermitteln wir die Werte von x für die Kontaktpunkte.

Wir verstehen das

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Das trigonometrische Gleichung wird zur Berechnung der Ordinaten der Tangentenpunkte verwendet.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk oder 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk oder 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk oder x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z ist eine Menge von ganzen Zahlen.

Es wurden x Berührungspunkte gefunden. Jetzt müssen Sie mit der Suche nach den Werten von y fortfahren:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 oder y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 oder y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 oder y 0 = - 4 5 + 1 3

Daraus erhalten wir, dass 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sind die Tangentialpunkte.

Antwort: Die notwendigen Gleichungen werden geschrieben als

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Betrachten Sie für eine visuelle Darstellung eine Funktion und eine Tangente an einer Koordinatenlinie.

Die Abbildung zeigt, dass die Funktion im Intervall [ - 10 ; 10 ], wobei die schwarze Linie der Graph der Funktion ist, die blauen Linien sind die Tangenten, die senkrecht zur gegebenen Linie der Form y = - 2 x + 1 2 liegen. Rote Punkte sind Berührungspunkte.

Die kanonischen Gleichungen von Kurven 2. Ordnung sind keine einwertigen Funktionen. Tangentengleichungen für sie werden nach bekannten Schemata erstellt.

Tangente an einen Kreis

So definieren Sie einen Kreis mit Mittelpunkt im Punkt x c e n t e r ; y-Mittelpunkt und Radius R, wenden Sie die Formel x - x-Mittelpunkt 2 + y - y-Mittelpunkt 2 = R 2 an.

Diese Gleichheit kann als Vereinigung zweier Funktionen geschrieben werden:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Die erste Funktion befindet sich oben und die zweite unten, wie in der Abbildung dargestellt.

Um die Gleichung eines Kreises am Punkt x 0 aufzustellen; y 0 , das sich im oberen oder unteren Halbkreis befindet, sollten Sie die Gleichung des Graphen einer Funktion der Form y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r oder y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + finden Y-Mittelpunkt am angegebenen Punkt.

Wenn an Punkten x c e n t e r ; y c e n t e r + R und x c e n t e r ; y c e n t e r - R Tangenten können durch die Gleichungen y = y c e n t e r + R und y = y c e n t e r - R und an den Punkten x c e n t e r + R angegeben werden; y c e n t e r und
x c e n t e r - R ; y c e n t e r parallel zu o y sein wird, dann erhalten wir Gleichungen der Form x = x c e n t e r + R und x = x c e n t e r - R .

Tangente an eine Ellipse

Wenn die Ellipse einen Mittelpunkt bei x c e n t e r hat; y c e n t e r mit den Halbachsen a und b, dann kann es mit der Gleichung x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 angegeben werden.

Eine Ellipse und ein Kreis können durch die Kombination zweier Funktionen, nämlich der oberen und unteren Halbellipse, bezeichnet werden. Dann verstehen wir das

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Liegen die Tangenten an den Eckpunkten der Ellipse, dann sind sie parallel um x oder um y. Betrachten Sie im Folgenden zur Verdeutlichung die Abbildung.

Beispiel 6

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 an Punkten mit Werten von x gleich x = 2.

Lösung

Es müssen die Tangentenpunkte gefunden werden, die dem Wert x = 2 entsprechen. Wir setzen es in die bestehende Gleichung der Ellipse ein und finden das

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Dann 2 ; 5 3 2 + 5 und 2; - 5 3 2 + 5 sind die Tangentenpunkte, die zur oberen und unteren Halbellipse gehören.

Fahren wir mit dem Finden und Lösen der Gleichung der Ellipse in Bezug auf y fort. Wir verstehen das

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Offensichtlich wird die obere Halbellipse durch eine Funktion der Form y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 und die untere Halbellipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 angegeben.

Wenden wir einen Standardalgorithmus an, um eine Gleichung für eine Tangente an den Graphen einer Funktion an einem Punkt zu erstellen. Schreiben wir, dass die Gleichung für die erste Tangente an Punkt 2; 5 3 2 + 5 wird aussehen

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Wir finden die Gleichung der zweiten Tangente mit einem Wert am Punkt
2 ; - 5 3 2 + 5 nimmt die Form an

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafisch werden Tangenten wie folgt bezeichnet:

Tangente an die Übertreibung

Wenn eine Hyperbel ein Zentrum bei x c e n t e r hat; y c e n t e r und Eckpunkte x c ​​e n t e r + α ; y c e n t e r und x c e n t e r - α ; y c e n t e r , die Ungleichung x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 liegt vor, wenn mit Eckpunkten x c e n t e r ; y c e n t e r + b und x c e n t e r ; y c e n t e r - b , wird dann unter Verwendung der Ungleichung x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 angegeben.

Eine Hyperbel kann als zwei kombinierte Funktionen der Form dargestellt werden

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r oder y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Im ersten Fall sind die Tangenten parallel zu y, im zweiten Fall parallel zu x.

Daraus folgt, dass man, um die Gleichung der Tangente an eine Hyperbel zu finden, herausfinden muss, zu welcher Funktion der Tangentenpunkt gehört. Um dies zu ermitteln, ist es notwendig, in die Gleichungen einzusetzen und auf Identität zu prüfen.

Beispiel 7

Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an die Hyperbel x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 an Punkt 7; - 3 3 - 3 .

Lösung

Es ist notwendig, den Lösungsdatensatz zum Finden einer Hyperbel mithilfe von 2 Funktionen zu transformieren. Wir verstehen das

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 und y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Es muss ermittelt werden, zu welcher Funktion ein bestimmter Punkt mit den Koordinaten 7 gehört; - 3 3 - 3 .

Um die erste Funktion zu überprüfen, ist es offensichtlich notwendig y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, dann gehört der Punkt nicht zum Graphen, da die Gleichheit nicht gilt.

Für die zweite Funktion gilt y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, was bedeutet, dass der Punkt zum gegebenen Graphen gehört. Von hier aus sollten Sie den Hang finden.

Wir verstehen das

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Antwort: Die Tangentengleichung kann dargestellt werden als:

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Es wird deutlich so dargestellt:

Tangente an eine Parabel

Um eine Gleichung für die Tangente an die Parabel y = a x 2 + b x + c am Punkt x 0, y (x 0) zu erstellen, müssen Sie einen Standardalgorithmus verwenden, dann nimmt die Gleichung die Form y = y "(x) an 0) x - x 0 + y ( x 0). Eine solche Tangente am Scheitelpunkt ist parallel zu x.

Sie sollten die Parabel x = a y 2 + b y + c als Vereinigung zweier Funktionen definieren. Daher müssen wir die Gleichung nach y lösen. Wir verstehen das

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafisch dargestellt als:

Um herauszufinden, ob ein Punkt x 0, y (x 0) zu einer Funktion gehört, gehen Sie vorsichtig nach dem Standardalgorithmus vor. Eine solche Tangente verläuft parallel zu o y relativ zur Parabel.

Beispiel 8

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen x - 2 y 2 - 5 y + 3, wenn wir einen Tangentenwinkel von 150° haben.

Lösung

Wir beginnen die Lösung, indem wir die Parabel als zwei Funktionen darstellen. Wir verstehen das

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Der Wert der Steigung ist gleich dem Wert der Ableitung am Punkt x 0 dieser Funktion und gleich dem Tangens des Neigungswinkels.

Wir bekommen:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Von hier aus bestimmen wir den x-Wert für die Kontaktpunkte.

Die erste Funktion wird geschrieben als

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Offensichtlich gibt es keine wirklichen Wurzeln, da wir einen negativen Wert erhalten haben. Wir schließen daraus, dass es für eine solche Funktion keine Tangente mit einem Winkel von 150° gibt.

Die zweite Funktion wird geschrieben als

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Wir wissen, dass es 23 4 Berührungspunkte gibt; - 5 + 3 4 .

Antwort: Die Tangentengleichung nimmt die Form an

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Lassen Sie es uns grafisch so darstellen:

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