بیایید مشکل را در نظر بگیریم. پایه مستطیل 10 سانتی متر بالاتر از ارتفاع است و مساحت آن 24 سانتی متر مربع است. ارتفاع مستطیل را پیدا کنید. بگذار ایکسسانتی متر - ارتفاع مستطیل ، سپس پایه آن ( ایکس+10) سانتی متر. مساحت این مستطیل است ایکس(ایکس+ 10) سانتی متر مربع به شرط مسئله ایکس(ایکس 10) = 24. براکت ها را باز کرده و عدد 24 را با علامت مخالف به سمت چپ معادله منتقل می کنیم: ایکس² + 10 ایکس-24 = 0. هنگام حل این مسئله ، معادله ای بدست آمد که به آن درجه دوم گفته می شود.

معادله درجه دوم معادله فرم است

تبر ²+ bx+c = 0

جایی که a ، b ، c- اعداد داده شده ، و ولی 0 پوند ، و ایکس- ناشناخته.

شانس a ، b ، cبه یک معادله درجه دوم معمولاً گفته می شود: آ- اولین یا بالاترین شانس ، ب- ضریب دوم ، ج- یک عضو رایگان به عنوان مثال ، در مشکل ما ، ضریب پیشرو 1 ، ضریب دوم 10 و ترم آزاد 24-است. حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و فیزیک به حل معادلات درجه دوم خلاصه می شود.

حل معادلات درجه دوم

معادلات درجه دوم کامل. اولین مرحله آوردن معادله داده شده به شکل استاندارد است تبر²+ bx+ c = 0. بیایید به مسئله خود برگردیم ، که در آن می توان معادله را به عنوان نوشت ایکس(ایکس+ 10) = 24 ما آن را به شکل استاندارد می آوریم ، براکت ها را باز می کنیم ایکس² + 10 ایکس- 24 = 0 ، ما این معادله را با استفاده از فرمول ریشه های معادله درجه دوم شکل کلی حل می کنیم.

عبارتی را که در زیر علامت ریشه در این فرمول وجود دارد ، تفکیک کننده D = می نامند ب² - 4 ac

اگر D> 0 باشد ، معادله درجه دو دارای دو ریشه متفاوت است که با استفاده از فرمول ریشه های معادله درجه دوم می توان این معادله را پیدا کرد.

اگر D = 0 باشد ، معادله درجه دوم یک ریشه دارد.

اگر D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

مقادیر را در فرمول ما جایگزین کنید ولی= 1, ب= 10, ج= -24.

ما D> 0 می گیریم ، بنابراین دو ریشه می گیریم.

مثالی را در نظر بگیرید که D = 0 ، در این شرایط باید یک ریشه بدست آورد.

25ایکس² - 30 ایکس+ 9 = 0

مثالی را در نظر بگیرید که D<0, при этом условии решения не должно быть.

2ایکس² + 3 ایکس+ 4 = 0

عدد زیر علامت ریشه (تفکیک کننده) منفی است ، ما جواب را به صورت زیر می نویسیم: معادله ریشه واقعی ندارد.

حل معادلات درجه دوم ناقص

معادله درجه دوم تبر² + bx+ جاگر حداقل یکی از ضرایب = 0 باشد ، ناقص نامیده می شود بیا جصفر است معادله درجه دوم ناقص معادله یکی از انواع زیر است:

تبر² = 0,

تبر² + ج= 0, ج≠ 0,

تبر² + bx= 0, ب≠ 0.

چند مثال را در نظر بگیرید ، معادله را حل کنید

با تقسیم هر دو طرف معادله بر 5 ، معادله را بدست می آوریم ایکس² = 0 ، پاسخ یک ریشه خواهد داشت ایکس= 0.

معادله فرم را در نظر بگیرید

3ایکس² - 27 = 0

با تقسیم هر دو قسمت بر 3 ، معادله را بدست می آوریم ایکس² - 9 = 0 ، یا می توان آن را نوشت ایکس² = 9 ، پاسخ دو ریشه خواهد داشت ایکس= 3 و ایکس= -3.

معادله فرم را در نظر بگیرید

2ایکس² + 7 = 0

با تقسیم هر دو قسمت بر 2 ، معادله را بدست می آوریم ایکس² = -7/2. از این زمان این معادله ریشه واقعی ندارد ایکس 0 پوند برای هر شماره واقعی ایکس.

معادله فرم را در نظر بگیرید

3ایکس² + 5 ایکس= 0

با فاکتورگیری سمت چپ معادله ، به دست می آوریم ایکس(3ایکس+ 5) = 0 ، پاسخ دو ریشه خواهد داشت ایکس= 0, ایکس=-5/3.

مهمترین نکته هنگام حل معادلات درجه دوم ، آوردن معادله درجه دوم به یک فرم استاندارد ، یادگیری فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم عمومی و سردرگمی در نشانه ها نیست.

»، یعنی معادلات درجه یک. در این درس ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد آنچه معادله درجه دوم نامیده می شودو چگونگی حل آن

آنچه معادله درجه دوم نامیده می شود

مهم!

درجه معادله با بزرگترین درجه ای که ناشناخته در آن قرار دارد تعیین می شود.

اگر حداکثر درجه ایستادن ناشناخته "2" باشد ، در این صورت معادله درجه دوم را پیش رو دارید.

نمونه هایی از معادلات درجه دوم

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

مهم! نمای کلی معادله درجه دوم به این شکل است:

A x 2 + b x + c = 0

"A" ، "b" و "c" اعداد داده می شوند.

• "A" - اولین یا مهمترین ضریب ؛
• "B" ضریب دوم است.
• "C" یک عضو رایگان است.

برای یافتن "a" ، "b" و "c" باید معادله خود را با شکل کلی معادله درجه دوم "ax 2 + bx + c = 0" مقایسه کنید.

بیایید تعریف ضرایب "a" ، "b" و "c" را در معادلات درجه دوم تمرین کنیم.

5x 2 - 14x + 17 = 0 x7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

معادله	شانس
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم

برخلاف معادلات خطی ، برای حل معادلات درجه دوم ، یک ویژه است فرمول ریشه یابی.

یاد آوردن!

برای حل یک معادله درجه دوم شما نیاز دارید:

• معادله درجه دوم را به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" بیاورید. یعنی فقط "0" باید در سمت راست باقی بماند.
• از فرمول ریشه استفاده کنید:

بیایید مثالی از نحوه استفاده از فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم را بیاوریم. بیایید معادله درجه دوم را حل کنیم.

X 2 - 3x - 4 = 0

معادله "x 2 - 3x - 4 = 0" قبلاً به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" کاهش یافته است و نیازی به ساده سازی بیشتر ندارد. برای حل آن ، فقط باید درخواست دهیم فرمول یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم.

بیایید ضرایب "a" ، "b" و "c" را برای این معادله تعریف کنیم.

x 1 ؛ 2 =
x 1 ؛ 2 =
x 1 ؛ 2 =
x 1 ؛ 2 =

با کمک آن ، هر معادله درجه دوم حل می شود.

در فرمول "x 1؛ 2 =" عبارت رادیکال اغلب جایگزین می شود
"B 2 - 4ac" با حرف "D" و متمایز خوانده می شود. مفهوم تبعیض با جزئیات بیشتری در درس "تبعیض آمیز چیست" بحث شده است.

مثال دیگری از معادله درجه دوم را در نظر بگیرید.

x 2 + 9 + x = 7x

تعیین ضرایب "a" ، "b" و "c" در این فرم کار دشواری است. ابتدا معادله را به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" می آوریم.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

اکنون می توانید از فرمول ریشه استفاده کنید.

X 1 ؛ 2 =
x 1 ؛ 2 =
x 1 ؛ 2 =
x 1 ؛ 2 =
x =

6

2

x = 3
پاسخ: x = 3

زمان هایی وجود دارد که هیچ ریشه ای در معادلات درجه دوم وجود ندارد. این وضعیت وقتی اتفاق می افتد که یک عدد منفی در زیر ریشه فرمول پیدا شود.

معادلات درجه دوم. تبعیض آمیز راه حل ، مثالها.

توجه!
موارد اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "خیلی زیاد نیستند ..."
و برای کسانی که "بسیار یکنواخت هستند ...")

انواع معادلات درجه دوم

معادله درجه دوم چیست؟ چه شکلی است؟ در اصطلاح معادله درجه دومکلمه کلیدی است "مربع".یعنی در معادله لزوماباید یک مربع x وجود داشته باشد. علاوه بر آن ، معادله ممکن است (یا نباشد!) فقط x (در قدرت اول) و فقط یک عدد (عضو رایگان)و هیچ x نباید در درجه بالاتر از دو وجود داشته باشد.

از نظر ریاضی ، معادله درجه دوم معادله فرم است:

اینجا a ، b و c- برخی از اعداد. b و c- کاملا هر ، اما ولی- هر چیزی غیر از صفر مثلا:

اینجا ولی =1; ب = 3; ج = -4

اینجا ولی =2; ب = -0,5; ج = 2,2

اینجا ولی =-3; ب = 6; ج = -18

خوبه، تو ایده ای داری ...

در این معادلات درجه دوم ، در سمت چپ وجود دارد مجموعه کاملاعضا. مربع X با ضریب ولی، x به اولین قدرت با ضریب بو مدت آزاد با.

به چنین معادلات درجه دوم گفته می شود پر شده.

چه می شود اگر ب= 0 ، چه چیزی بدست می آوریم؟ ما داریم X در درجه اول ناپدید می شود.این از ضرب در صفر اتفاق می افتد.) به عنوان مثال:

5x 2 -25 = 0 ،

2x 2 -6x = 0 ،

-x 2 + 4x = 0

و غیره. و اگر هر دو ضریب باشد ، بو جبرابر با صفر هستند ، حتی ساده تر است:

2x 2 = 0 ،

-0.3x 2 = 0

به چنین معادلاتی ، جایی که چیزی از دست رفته است ، گفته می شود معادلات درجه دوم ناقص.که کاملا منطقی است.) لطفا توجه داشته باشید که مربع x در همه معادلات وجود دارد.

اتفاقاً چرا ولینمیتونه صفر باشه؟ و جایگزین می کنید ولیصفر.) X در مربع از بین خواهد رفت! معادله خطی می شود. و تصمیم آن کاملاً متفاوت است ...

اینها همه انواع اصلی معادلات درجه دوم هستند. کامل و ناقص.

حل معادلات درجه دوم.

حل معادلات درجه دوم کامل.

معادلات درجه دوم به راحتی حل می شوند. با توجه به فرمول ها و قوانین ساده و روشن. در مرحله اول ، لازم است که معادله داده شده را به یک شکل استاندارد ، یعنی نگاه كردن:

اگر معادله قبلاً به این شکل به شما داده شده باشد ، نیازی به انجام مرحله اول نیست.) نکته اصلی این است که به درستی تمام ضرایب را تعیین کنید ، ولی, بو ج.

فرمول یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم به شرح زیر است:

عبارتی را در زیر علامت ریشه می نامند تبعیض آمیز... اما در مورد او - در زیر. همانطور که می بینید ، برای پیدا کردن x ، ما استفاده می کنیم فقط a ، b و c. آنهایی که ضرایب حاصل از معادله درجه دوم. فقط با دقت مقادیر را جایگزین کنید a ، b و cبه این فرمول وارد شوید و حساب کنید. جایگزین با نشانه های خود را! به عنوان مثال ، در معادله:

ولی =1; ب = 3; ج= -4 بنابراین ما یادداشت می کنیم:

مثال تقریباً حل شده است:

این جواب است.

همه چیز بسیار ساده است. و فکر می کنید اشتباه در چه چیزی غیرممکن است؟ خوب ، بله ، چگونه ...

اشتباهات رایج سردرگمی با علائم معنی است. a ، b و c... در عوض ، نه با علائم آنها (کجا اشتباه شود؟) ، بلکه با جایگزینی مقادیر منفی در فرمول محاسبه ریشه ها. در اینجا ، یک علامت گذاری دقیق از فرمول با اعداد خاص موجب صرفه جویی می شود. اگر مشکلات محاسباتی وجود داشته باشد ، همینطور!

فرض کنید باید این مثال را حل کنید:

اینجا آ = -6; ب = -5; ج = -1

بگذارید بگوییم شما می دانید که بار اول به ندرت جواب می گیرید.

خوب ، تنبل نباش نوشتن یک خط اضافی 30 ثانیه طول می کشد و تعداد خطاها به شدت کاهش می یابد... بنابراین ما با تمام براکت ها و علائم با جزئیات می نویسیم:

به نظر می رسد فوق العاده دشوار است که نقاشی با دقت انجام شود. اما فقط به نظر می رسد که باشد. امتحان کنید خوب ، یا انتخاب کنید. کدام یک بهتر ، سریع یا درست است؟ علاوه بر این ، من شما را خوشحال می کنم. بعد از مدتی دیگر نیازی به رنگ آمیزی همه چیز با این دقت نیست. این به خودی خود درست خواهد شد. به خصوص اگر از تکنیک های عملی شرح داده شده در زیر استفاده کنید. این مثال شیطانی با یکسری اشکال به راحتی و بدون خطا قابل حل است!

اما ، اغلب ، معادلات درجه دوم کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال ، مانند این:

فهمیدی؟) بله! آی تی معادلات درجه دوم ناقص.

حل معادلات درجه دوم ناقص.

آنها همچنین می توانند با استفاده از یک فرمول کلی حل شوند. شما فقط باید به درستی بفهمید که با چه چیزی برابر هستند a ، b و c.

آیا آن را فهمیده اید؟ در مثال اول a = 1 ؛ b = -4؛ولی ج؟ او اصلاً آنجا نیست! خوب ، بله ، درست است. در ریاضیات ، این بدان معنی است که c = 0 ! همین. به جای عبارت صفر را در فرمول جایگزین کنید ج ،و ما موفق خواهیم شد مثال دوم نیز همین است. فقط صفر ما اینجا نیست از جانب، ولی ب !

اما معادلات درجه دوم ناقص را می توان خیلی راحت تر حل کرد. بدون هیچ فرمولی. اولین معادله ناقص را در نظر بگیرید. در آنجا در سمت چپ چه کاری می توانید انجام دهید؟ می توانید x را درون براکت ها قرار دهید! بیا بیرونش

و از این چی؟ و این واقعیت که محصول برابر است با صفر در صورت ، و فقط اگر ، در صورتی که هر یک از عوامل برابر با صفر باشد! باور نمی کنید؟ خوب ، پس به دو عدد غیر صفر بیندیشید که با ضرب ، صفر می شوند!
کار نمی کند؟ خودشه ...
بنابراین ، با اطمینان می توان نوشت: x 1 = 0, x 2 = 4.

همه چيز. اینها ریشه های معادله ما خواهند بود. هر دو جا هنگام جایگزینی هر یک از آنها در معادله اصلی ، هویت صحیح 0 = 0 بدست می آوریم. همانطور که می بینید ، راه حل بسیار ساده تر از استفاده از فرمول کلی است. به هر حال ، یادداشت خواهم کرد که X کدام اولین خواهد بود و کدام دوم - کاملاً بی تفاوت است. نوشتن به ترتیب مناسب است ، x 1- چه چیزی کمتر است ، و x 2- چه چیزی بیشتر

معادله دوم را نیز می توان به سادگی حل کرد. حرکت 9 به سمت راست... ما گرفتیم:

باقی مانده است که ریشه را از 9 استخراج کنید و تمام. معلوم خواهد شد:

همچنین دو ریشه . x 1 = -3, x 2 = 3.

به این ترتیب همه معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند. یا با قرار دادن x در داخل پرانتز ، یا با حرکت ساده عدد به سمت راست و سپس استخراج ریشه.
اشتباه گرفتن این روش ها بسیار دشوار است. صرفاً به این دلیل که در حالت اول شما باید ریشه را از x استخراج کنید ، که به نوعی قابل درک نیست و در حالت دوم چیزی برای قرار دادن در داخل براکت وجود ندارد ...

تبعیض آمیز فرمول تبعیض آمیز.

واژه جادویی تبعیض آمیز ! دانش آموز کمیاب دبیرستانی این کلمه را نشنیده است! عبارت "تصمیم گیری از طریق تبعیض آمیز" اطمینان بخش و اطمینان بخش است. زیرا دیگر نیازی به انتظار ترفندهای کثیف از طرف تبعیض نیست! استفاده از آن ساده و بدون دردسر است.) من عمومی ترین فرمول حل را یادآوری می کنم هرمعادلات درجه دوم:

عبارت زیر علامت ریشه را تفکیک کننده می نامند. معمولاً تمایز دهنده با حرف مشخص می شود د... فرمول تبعیض آمیز:

D = b 2 - 4ac

و چه چیزی در این بیان قابل توجه است؟ چرا لایق یک اسم خاص بود؟ چی معنای تبعیض آمیز؟گذشته از همه اینها -ب ،یا 2aدر این فرمول آنها به طور خاص نام ... نامه ها و حروف را ندارند.

در اینجا چیزی است. هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول ، این امکان وجود دارد فقط سه مورد

1. تبعیض مثبت است.این بدان معنی است که می توانید ریشه را از آن استخراج کنید. ریشه خوب استخراج شده است ، یا بد - یک سوال دیگر. آنچه در اصل استخراج می شود مهم است. سپس معادله درجه دوم شما دو ریشه دارد. دو راه حل متفاوت

2. تمیز دهنده صفر است.پس شما یک راه حل دارید. از آنجا که جمع و تفریق صفر در عددی چیزی را تغییر نمی دهد. به طور دقیق ، این یک ریشه نیست ، بلکه دو یکسان... اما ، در یک نسخه ساده ، معمول است که درباره آن صحبت کنیم یک راه حل

3. متمایز منفی است.هیچ ریشه مربعی از عدد منفی استخراج نمی شود. بسیار خوب. این بدان معنی است که هیچ راه حلی وجود ندارد.

صادقانه بگویم ، با یک راه حل ساده از معادلات درجه دوم ، مفهوم متمایز به ویژه مورد نیاز نیست. ما مقادیر ضرایب را در فرمول جایگزین می کنیم ، اما می شماریم. در آنجا ، همه چیز به خودی خود ، و دو ریشه ، و یک ، و نه یک معلوم می شود. با این حال ، هنگام حل وظایف پیچیده تر ، بدون دانش فرمول های معنی دار و متمایزکافی نیست. به خصوص - در معادلات با پارامترها. چنین معادلاتی ایروباتیک در آزمون دولتی و آزمون دولتی واحد است!)

بنابراین، چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیماز طریق تبعیض آمیز که به یاد آوردید یا یاد گرفته اید ، که بد هم نیست.) شما می دانید که چگونه به درستی شناسایی کنید a ، b و c... تو میدونی چطوری با دقتآنها را در فرمول ریشه جایگزین کنید و با دقتنتیجه را بخوانید. شما این ایده را پیدا می کنید که کلمه کلیدی در اینجا است با دقت؟

در حال حاضر ، بهترین روشهایی را که به شدت خطاها را کاهش می دهد ، یادداشت کنید. همانهایی که ناشی از بی توجهی است ... برای آنها صدمه و توهین می کند ...

اولین پذیرایی ... قبل از حل معادله درجه دوم ، آن را به شکل استاندارد تنبل نکنید. این یعنی چی؟
بیایید بگوییم ، پس از برخی تغییرات ، معادله زیر را بدست آوردید:

برای نوشتن فرمول ریشه عجله نکنید! مطمئناً شانس را با هم مخلوط خواهید کرد. a ، b و cمثال را به درستی بسازید. ابتدا X ، پس از آن بدون مربع ، سپس عضو آزاد قرار می گیرد. مثل این:

و دوباره عجله نکنید! منهای مقابل x در مربع می تواند واقعاً شما را ناراحت کند. فراموش کردنش آسان است ... منهای منصرف شوید. چطور؟ بله ، همانطور که در مبحث قبلی آموزش داده شد! شما باید کل معادله را در -1 ضرب کنید. ما گرفتیم:

اما اکنون می توانید با اطمینان فرمول ریشه ها را بنویسید ، متمایز را محاسبه کنید و مثال را کامل کنید. خودتان آن را انجام دهید. شما باید ریشه 2 و 1 داشته باشید.

پذیرش دوم. ریشه ها را بررسی کنید! با قضیه ویتا. نگران نباشید ، من همه چیز را توضیح خواهم داد! چک کردن آخرین چیزمعادله. آنهایی که همان فرمول ریشه ها را نوشتیم. اگر (مانند این مثال) ضریب a = 1، بررسی ریشه آسان است. ضرب آنها کافی است. شما باید یک عضو رایگان بگیرید ، یعنی در مورد ما ، -2. توجه کنید ، نه 2 ، بلکه -2! عضو رایگان با علامت من ... اگر کار نکرد ، قبلاً جایی حل شده است. به دنبال یک اشکال باشید

اگر درست شد ، باید ریشه ها را تا کنید. آخرین و آخرین چک. شما باید ضریب بگیرید باز جانب مقابل آشنا در مورد ما ، 1 + 2 = 1+. و ضریب بکه قبل از x است -1. بنابراین ، همه چیز درست است!
حیف است که این فقط برای مثالهایی که مربع x خالص است ، با ضریب ساده است a = 1اما حداقل در چنین معادلاتی ، بررسی کنید! اشتباهات کمتری رخ خواهد داد.

پذیرایی سوم ... اگر معادله شما ضرایب کسری دارد ، از کسرها خلاص شوید! معادله را در مخرج مشترک ضرب کنید ، همانطور که در روش حل معادلات توضیح داده شده است؟ تبدیلات یکسان. هنگام کار با کسرها ، به دلایلی ، خطاها ظاهر می شوند ...

به هر حال ، من قول دادم که مثال بد را با یک سری موارد منفی ساده کنم. خواهش میکنم! ایناهاش.

برای اینکه در منهای اشتباه گرفته نشویم ، معادله را در -1 ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

همین! تصمیم گیری لذتبخش است!

بنابراین ، برای جمع بندی موضوع.

توصیه عملی:

1. قبل از حل ، معادله درجه دوم را به شکل استاندارد می آوریم ، آن را بسازید درست.

2. اگر ضریب منفی در مقابل x در مربع وجود داشته باشد ، با ضرب کل معادله در -1 آن را از بین می بریم.

3. اگر ضرایب کسری باشد ، کسرها را با ضرب کل معادله در ضریب مناسب حذف می کنیم.

4- اگر x مربع خالص باشد ، ضریب آن برابر با یک است ، به راحتی می توان با قضیه Vieta راه حل را تأیید کرد. انجام دهید!

حالا شما می توانید تصمیم بگیرید.)

حل معادلات:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

پاسخ ها (بهم ریخته):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - هر شماره

x 1 = -3
x 2 = 3

هیچ راه حلی

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

همه با هم جور در میاد؟ عالی! معادلات درجه دوم سردرد شما نیست. سه نفر اول کار کردند اما بقیه اینطور نبودند؟ پس مسئله با معادلات درجه دوم نیست. مسئله در تبدیلات یکسان معادلات است. با پیوند پیاده روی کنید ، مفید است.

کاملاً کار نمی کنید؟ یا اصلا کار نمی کند؟ سپس بخش 555 به شما کمک خواهد کرد ، در اینجا همه این مثالها به قطعات تقسیم شده اند. نشان داده شده اصلیخطاهای موجود در راه حل. البته ، این نیز در مورد استفاده از تحولات یکسان در حل معادلات مختلف می گوید. خیلی کمک می کند!

اگر این سایت را دوست دارید ...

ضمناً ، من چند سایت جالب دیگر نیز برای شما دارم.)

می توانید حل مثالها را تمرین کنید و از سطح خود مطلع شوید. تست اعتبار فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

در این مقاله ، ما به حل معادلات درجه دوم ناقص خواهیم پرداخت.

اما ابتدا بیایید تکرار کنیم که کدام معادلات درجه دوم نامیده می شوند. معادله ای از شکل ax 2 + bx + c = 0 ، جایی که x یک متغیر است و ضرایب a ، b و c تعدادی عدد هستند و a ≠ 0 ، نامیده می شود مربع... همانطور که می بینیم ، ضریب x 2 صفر نیست و بنابراین ضرایب x یا اصطلاح آزاد می توانند صفر باشند ، در این حالت معادله درجه دوم ناقص به دست می آوریم.

معادلات درجه دوم ناقص سه نوع هستند:

1) اگر b = 0 ، c ≠ 0 ، پس ax 2 + c = 0 ؛

2) اگر b ≠ 0 ، c = 0 ، پس ax 2 + bx = 0 ؛

3) اگر b = 0 ، c = 0 ، پس ax 2 = 0.

• بیایید بفهمیم که آنها چگونه تصمیم می گیرند معادلات شکل ax 2 + c = 0.

برای حل معادله ، ما اصطلاح آزاد را به سمت راست معادله منتقل می کنیم ، بدست می آوریم

تبر 2 = ‒c. از آنجا که a ≠ 0 ، پس هر دو طرف معادله را بر a تقسیم می کنیم ، سپس x 2 = ‒c / a.

اگر ‒c / a> 0 باشد ، معادله دو ریشه دارد

x = ± √ (–c / a).

اگر ‒c / a باشد< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

بیایید سعی کنیم آن را با مثالهایی در مورد چگونگی حل چنین معادلاتی کشف کنیم.

مثال 1... معادله 2x 2 - 32 = 0 را حل کنید.

پاسخ: x 1 = - 4 ، x 2 = 4.

مثال 2... معادله 2x 2 + 8 = 0 را حل کنید.

پاسخ: این معادله هیچ راه حلی ندارد.

• بیایید بفهمیم که آنها چگونه تصمیم می گیرند معادلات شکل ax 2 + bx = 0.

برای حل معادله ax 2 + bx = 0 ، آن را فاکتور می کنیم ، یعنی x را خارج از براکت می کنیم ، x (ax + b) = 0 بدست می آوریم. اگر حداقل یکی از فاکتورها محصول برابر با صفر باشد برابر با صفر است. سپس x = 0 یا ax + b = 0. با حل معادله ax + b = 0 ، ax = - b بدست می آوریم ، از آنجا x = - b / a. یک معادله از شکل ax 2 + bx = 0 ، همیشه دارای دو ریشه x 1 = 0 و x 2 = - b / a است. ببینید چگونه معادلات این نوع در نمودار نشان داده شده است.

بیایید دانش خود را با یک مثال خاص تلفیق کنیم.

مثال 3... معادله 3x 2 - 12x = 0 را حل کنید.

x (3x - 12) = 0

x = 0 یا 3x - 12 = 0

جواب: x 1 = 0 ، x 2 = 4.

• معادلات نوع سوم تبر 2 = 0خیلی ساده حل می شوند

اگر ax 2 = 0 ، پس x 2 = 0. معادله دارای دو ریشه برابر x 1 = 0 ، x 2 = 0 است.

برای وضوح ، نمودار را در نظر بگیرید.

بگذارید هنگام حل مثال 4 اطمینان حاصل کنیم که معادلات این نوع را می توان خیلی ساده حل کرد.

مثال 4معادله 7 برابر 2 = 0 را حل کنید.

پاسخ: x 1 ، 2 = 0.

همیشه بلافاصله مشخص نیست که چه نوع معادله درجه دوم ناقصی را باید حل کنیم. مثال زیر را در نظر بگیرید.

مثال 5معادله را حل کنید

هر دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ، یعنی در 30 ضرب کنید

كاهش دادن

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

بیایید پرانتزها را گسترش دهیم

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.

در اینجا مشابه است

99 را از سمت چپ معادله به سمت راست حرکت دهید ، علامت را معکوس کنید

پاسخ: هیچ ریشه ای وجود ندارد.

ما تحلیل کرده ایم که چگونه معادلات درجه دوم ناقص حل شده است. امیدوارم اکنون در انجام چنین کارهایی مشکلی نداشته باشید. هنگام تعیین نوع معادله درجه دوم ناقص مراقب باشید ، پس موفق خواهید شد.

اگر در این زمینه س questionsالی دارید ، برای درسهای من ثبت نام کنید ، با هم مشکلات حل شده را حل خواهیم کرد.

با کپی کامل یا جزئی از مطالب سایت ، پیوند به منبع مورد نیاز است.

ما همچنان به مطالعه موضوع " حل معادلات" ما قبلاً با معادلات خطی روبرو شده ایم و برای آشنایی با آنها پیش می رویم معادلات درجه دوم.

ابتدا ، ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که معادله درجه دوم چیست ، چگونه در آن نوشته شده است نمای کلی، و تعاریف مربوطه را ارائه دهید. پس از آن ، با استفاده از مثالها ، ما به طور دقیق نحوه حل معادلات درجه دوم ناقص را تحلیل خواهیم کرد. بعد ، بیایید به راه حل برویم معادلات کامل، فرمول ریشه ها را بدست می آوریم ، با متمایز کننده معادله درجه دوم آشنا می شویم و راه حل های نمونه های معمولی را در نظر می گیریم. در آخر ، بیایید رابطه بین ریشه ها و ضرایب را ردیابی کنیم.

پیمایش صفحه.

معادله درجه دوم چیست؟ انواع آنها

ابتدا باید کاملاً بفهمید معادله درجه دوم چیست. بنابراین ، منطقی است که با تعریف معادله درجه دوم و همچنین تعاریف مرتبط ، صحبت در مورد معادلات درجه دوم آغاز شود. پس از آن ، می توانید انواع اصلی معادلات درجه دوم را در نظر بگیرید: معادلات کاهش یافته و غیر کاهش یافته ، و همچنین معادلات کامل و ناقص.

تعریف و نمونه معادلات درجه دوم

تعریف.

معادله درجه دوممعادله فرم است a x 2 + b x + c = 0، جایی که x یک متغیر است ، a ، b و c تعدادی عدد هستند ، و a غیر صفر است.

بی درنگ بگوییم که معادلات درجه دوم را اغلب معادلات درجه دو می نامند. این به این دلیل است که معادله درجه دوم است معادله جبری درجه دو

تعریف صدا به ما امکان می دهد نمونه هایی از معادلات درجه دوم را ارائه دهیم. بنابراین 2 x 2 + 6 x + 1 = 0 ، 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 = 0 و غیره معادلات درجه دوم هستند.

تعریف.

شماره a ، b و c نامیده می شوند ضرایب معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 و ضریب a را اولین یا بالاترین یا ضریب x 2 می نامیم ، b ضریب دوم یا ضریب x است و c اصطلاح آزاد است.

به عنوان مثال ، بیایید یک معادله درجه دوم از شکل 5x2 −2x3 = 0 را در نظر بگیریم ، در اینجا ضریب پیشرو 5 ، ضریب دوم −2 و رهگیری −3 است. توجه داشته باشید که هنگامی که ضرایب b و / یا c منفی هستند ، مانند مثالی که قبلاً ذکر شد ، از آن استفاده می کنیم شکل مختصرنوشتن یک معادله درجه دوم از فرم 5 2 2 − 2 x - 3 = 0 ، و نه 5 2 2 + (- 2) x + (- 3) = 0.

شایان ذکر است که وقتی ضرایب a و / یا b برابر 1 یا −1 باشند ، معمولاً در معادله درجه دوم صریحاً وجود ندارند که این به دلیل ویژگی های نوشتن این موارد است. به عنوان مثال ، در یک معادله درجه دوم y 2 −y + 3 = 0 ، ضریب پیشرو یک و ضریب y 1 − است.

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته بسته به مقدار ضریب پیشرو تفکیک می شوند. بگذارید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله درجه دوم که ضریب پیشرو در آن 1 باشد ، فراخوانی می شود معادله درجه دوم را کاهش داد... در غیر این صورت معادله درجه دوم است کم نشده.

مطابق با این تعریف، معادلات درجه دوم x 2 − 3 x + 1 = 0 ، x 2 −x - 2/3 = 0 و غیره - داده شده ، در هر یک از آنها ضریب اول برابر با یک است. و 5 2 2 −x - 1 = 0 و غیره - معادلات درجه دوم کاهش نیافته ، ضرایب اصلی آنها با 1 متفاوت است.

از هر معادله درجه دوم غیر کاهش یافته ، با تقسیم هر دو قسمت آن بر ضریب پیشرو ، می توانید به یک کاهش یافته بروید. این عمل یک تحول معادل است ، یعنی معادله درجه دوم کاهش یافته از این طریق ریشه های مشابه معادله درجه دوم کاهش نیافته دارد ، یا مانند آن ریشه ندارد.

بگذارید با مثال تحلیل کنیم که چگونه گذار از یک معادله درجه دوم کاهش نیافته به یک معادله کاهش یافته انجام می شود.

مثال.

از معادله 3 x 2 + 12 x - 7 = 0 ، به معادله درجه دوم کاهش یافته مربوطه بروید.

تصمیم گیری

برای ما کافی است که هر دو طرف معادله اصلی را بر عامل اصلی 3 تقسیم کنیم ، این غیر صفر است ، بنابراین می توانیم این عمل را انجام دهیم. ما (3 2 2 + 12 - - 7) داریم: 3 = 0: 3 ، که همان است ، (3 2 2): 3+ (12)): 3−7: 3 = 0 و بالاتر (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 = 0 ، از کجا. بنابراین ما معادله درجه دوم کاهش یافته را دریافت می کنیم ، که معادل معادله اصلی است.

پاسخ:

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

تعریف معادله درجه دوم شامل شرط a ≠ 0 است. این شرط لازم است تا معادله a x 2 + b x + c = 0 دقیقاً درجه دوم باشد ، زیرا در a = 0 در واقع معادله خطی شکل b x + c = 0 می شود.

در مورد ضرایب b و c ، آنها می توانند صفر باشند ، هم جدا و هم با هم. در این موارد ، معادله درجه دوم را ناقص می نامند.

تعریف.

معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 نامیده می شود ناقصاگر حداقل یکی از ضرایب b ، c برابر با صفر باشد.

به نوبه خود

تعریف.

معادله درجه دوم کاملمعادله ای است که در آن تمام ضرایب غیر صفر هستند.

این اسامی به طور تصادفی ذکر نشده است. این از ملاحظات زیر مشخص خواهد شد.

اگر ضریب b برابر صفر باشد ، در این صورت معادله درجه دوم x 2 + 0 x + c = 0 می شود و معادل معادله a x 2 + c = 0 است. اگر c = 0 ، یعنی معادله درجه دوم x 2 + b x + 0 = 0 دارد ، می توان آن را به صورت x 2 + b x = 0 بازنویسی کرد. و با b = 0 و c = 0 ، معادله درجه دوم a x 2 = 0 بدست می آوریم. معادلات بدست آمده با معادله درجه دوم کامل از این جهت که اضلاع سمت چپ آنها شامل یک اصطلاح با متغیر x یا یک اصطلاح آزاد یا هر دو نیستند تفاوت دارند. از این رو نام آنها - معادلات درجه دوم ناقص است.

بنابراین معادلات x 2 + x + 1 = 0 و −2 x 2 −5 x + 0.2 = 0 نمونه هایی از معادلات درجه دوم کامل هستند ، و x 2 = 0 ، −2 x 2 = 0.5 x 2 + 3 = 0 ، - x 2 −5 · x = 0 معادلات درجه دوم ناقص است.

حل معادلات درجه دوم ناقص

از اطلاعات پاراگراف قبلی نتیجه می شود که وجود دارد سه نوع معادله درجه دوم ناقص:

• a · x 2 = 0 ، مربوط به ضرایب b = 0 و c = 0 است.
• a x 2 + c = 0 وقتی b = 0 ؛
• و a x 2 + b x = 0 وقتی c = 0 باشد.

بگذارید به منظور حل معادلات درجه دوم ناقص هر یک از این انواع ، تجزیه و تحلیل کنیم.

a x 2 = 0

بیایید با حل معادلات درجه دوم ناقص که ضرایب b و c آنها برابر با صفر هستند ، یعنی با معادلات فرم a · x 2 = 0 شروع کنیم. معادله a · x 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است که با تقسیم هر دو قسمت آن بر عدد غیر صفر a از اصل بدست می آید. بدیهی است که ریشه معادله x 2 = 0 صفر است ، زیرا 0 2 = 0. این معادله ریشه دیگری ندارد ، که در حقیقت ، برای هر عدد غیر صفر p توضیح داده می شود ، نابرابری p 2> 0 برقرار است ، از این رو نتیجه می شود که برای p ≠ 0 برابری p 2 = 0 هرگز حاصل نمی شود.

بنابراین ، معادله درجه دوم ناقص a · x 2 = 0 دارای یک ریشه x = 0 است.

به عنوان مثال ، بیایید راه حل معادله درجه دوم ناقص ·4 · x 2 = 0 را ارائه دهیم. معادله x 2 = 0 معادل آن است ، تنها ریشه آن x = 0 است ، بنابراین ، معادله اصلی نیز دارای ریشه صفر منحصر به فرد است.

یک راه حل کوتاه در این مورد می تواند به صورت زیر تنظیم شود:
x4 x 2 = 0 ،
x 2 = 0 ،
x = 0

a x 2 + c = 0

حال بیایید بررسی کنیم که معادلات درجه دوم ناقص که در آن ضریب b برابر صفر است و c ≠ 0 ، یعنی معادلات فرم a x 2 + c = 0 ، حل شده است. می دانیم که انتقال یک اصطلاح از یک طرف معادله به طرف دیگر با علامت مخالف ، و همچنین تقسیم هر دو طرف معادله با یک عدد غیر صفر ، معادله ای معادل را به دست می دهد. بنابراین ، می توان از معادلات درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0 ، تبدیل معادل زیر را انجام داد:

• c را به سمت راست حرکت دهید ، که به معادله x 2 = −c می دهد ،
• و هر دو قسمت آن را با یک تقسیم می کنیم ، بدست می آوریم.

معادله حاصل به ما اجازه می دهد تا در مورد ریشه های آن نتیجه بگیریم. بسته به مقادیر a و c ، مقدار عبارت می تواند منفی باشد (به عنوان مثال ، اگر a = 1 و c = 2 ، سپس) یا مثبت باشد (به عنوان مثال ، اگر a = −2 و c = 6 ، بنابراین) ، برابر با صفر نیست ، زیرا با فرضیه c ≠ 0. بگذارید جداگانه موارد را بررسی کنیم و.

اگر ، پس معادله هیچ ریشه ای ندارد. این عبارت از این واقعیت ناشی می شود که مربع هر عدد یک عدد غیر منفی است. از این نتیجه می شود که وقتی ، پس برای هر عدد p برابری نمی تواند درست باشد.

اگر ، پس وضعیت ریشه های معادله متفاوت است. در این حالت ، اگر به خاطر بیاورید ، ریشه معادله بلافاصله آشکار می شود ، این یک عدد است ، از آنجا که. به راحتی می توان حدس زد که این عدد نیز ریشه این معادله است. این معادله ریشه دیگری ندارد ، که می تواند به عنوان مثال با روش متناقض نشان داده شود. اجازه دهید آن را انجام دهد

بگذارید ریشه های معادله ای که به نظر می رسد x 1 و −x 1 باشند را نشان دهیم. فرض کنید که معادله دارای یک ریشه x 2 دیگر باشد ، متفاوت از ریشه های x 1 و −x 1. مشخص است که جایگزینی ریشه های آن به جای x به یک معادله تبدیل می شود و معادله را به یک برابری عددی واقعی تبدیل می کند. برای x 1 و −x 1 داریم و برای x 2 ما داریم. ویژگی های برابری های عددی به ما امکان می دهد تفریق معادلات عددی واقعی را به صورت اصطلاح به مدت انجام دهیم ، بنابراین با کم کردن قسمت های مربوط به برابرها ، x 1 2 −x 2 2 = 0 بدست می آید. خصوصیات عملکردها با اعداد به شما امکان می دهد برابری حاصل را به صورت (x 1 - x 2) بازنویسی کنید · (x 1 + x 2) = 0. می دانیم که حاصل دو عدد صفر است در صورتی که حداقل یکی از آنها صفر باشد. بنابراین ، از برابری بدست آمده چنین برمی آید که x 1 - x 2 = 0 و / یا x 1 + x 2 = 0 ، که همان است ، x 2 = x 1 و / یا x 2 = −x 1. به این ترتیب ما به یک تناقض رسیدیم ، زیرا در ابتدا گفتیم که ریشه معادله x 2 با x 1 و −x 1 متفاوت است. این ثابت می کند که این معادله ریشه ای جز و.

بیایید اطلاعات این مورد را خلاصه کنیم. معادله درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0 معادل معادله ای است که

• ریشه ندارد اگر ،
• دو ریشه دارد و اگر.

مثالهایی را برای حل معادلات درجه دوم ناقص فرم a · x 2 + c = 0 در نظر بگیرید.

بیایید با معادله درجه 2 9 + 2 + 7 = 0 شروع کنیم. پس از انتقال اصطلاح آزاد به سمت راست معادله ، به شکل 9 · x 2 = −7 در می آید. با تقسیم هر دو طرف معادله حاصل به 9 ، به نتیجه می رسیم. از آنجا که یک عدد منفی در سمت راست وجود دارد ، این معادله ریشه ندارد ، بنابراین ، معادله درجه دوم ناقص اصلی 9 · x 2 + 7 = 0 ریشه ندارد.

معادله درجه دوم ناقص دیگری را حل کنید −x 2 + 9 = 0. نه را به سمت راست حرکت دهید: −x 2 = −9. حالا هر دو طرف را به 1 تقسیم می کنیم ، x 2 = 9 بدست می آوریم. در سمت راست یک عدد مثبت وجود دارد که از آن نتیجه می گیریم یا. سپس جواب نهایی را یادداشت می کنیم: معادله درجه دوم ناقص −x 2 + 9 = 0 دارای دو ریشه x = 3 یا x = −3 است.

a x 2 + b x = 0

با حل آخرین معادلات درجه دوم ناقص برای c = 0 باقی مانده است. معادلات درجه دوم ناقص فرم a x 2 + b x = 0 به شما امکان حل می دهد روش فاکتور سازی... بدیهی است که می توانیم در سمت چپ معادله قرار بگیریم ، کافی است فاکتور مشترک x را برای آن در نظر بگیریم. این به ما اجازه می دهد تا از معادله درجه دوم ناقص اصلی به یک معادله معادل فرم x · (a · x + b) = 0 عبور کنیم. و این معادله معادل ترکیب دو معادله x = 0 و a x + b = 0 است که آخرین آن خطی است و دارای ریشه x = −b / a است.

بنابراین ، معادله درجه دوم ناقص a x 2 + b x = 0 دارای دو ریشه x = 0 و x = −b / a است.

برای ادغام مطالب ، ما راه حل یک مثال خاص را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

معادله را حل کنید.

تصمیم گیری

حرکت x از داخل پرانتز معادله می دهد. معادل دو معادله x = 0 و. ما دریافت شده را حل می کنیم معادله خطی: ، و پس از تقسیم عدد مخلوط بر کسر معمولی ، می یابیم. بنابراین ، ریشه های معادله اصلی x = 0 و.

پس از انجام تمرینات لازم ، راه حل های چنین معادلاتی را می توان به طور خلاصه نوشت:

پاسخ:

x = 0 ،.

تبعیض آمیز ، فرمولی برای ریشه های یک معادله درجه دوم

یک فرمول ریشه ای برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد. بیایید یادداشت کنیم فرمول درجه دو:، جایی که D = b 2 −4 a c- باصطلاح تبعیض درجه دو... علامت گذاری اساساً به این معنی است.

دانستن چگونگی بدست آوردن فرمول ریشه و نحوه استفاده از آن هنگام یافتن ریشه معادلات درجه دوم مفید است. بیایید آن را کشف کنیم

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

فرض کنید ما نیاز به حل معادله درجه دوم x 2 + b x + c = 0 داریم. بیایید برخی از تبدیلات معادل را انجام دهیم:

• ما می توانیم هر دو طرف این معادله را با عدد غیر صفر a تقسیم کنیم ، در نتیجه معادله درجه دوم کاهش یافته را بدست می آوریم.
• اکنون یک مربع کامل انتخاب کنیددر سمت چپ آن:. پس از آن ، این معادله شکل می گیرد.
• در این مرحله ، می توان انتقال دو اصطلاح آخر را به سمت راست با علامت مخالف انجام داد.
• و ما همچنین عبارت را در سمت راست تغییر شکل می دهیم:.

در نتیجه ، به یک معادله می رسیم که معادل معادله درجه دوم اصلی a x 2 + b x + c = 0 است.

ما در حال حاضر معادلاتی را که در پاراگراف های قبلی از نظر فرم مشابه حل کرده ایم ، حل کرده ایم. این به ما امکان می دهد در مورد ریشه های معادله نتیجه گیری کنیم:

• اگر ، پس معادله هیچ راه حل واقعی ندارد.
• اگر ، پس معادله شکلی دارد ، بنابراین تنها ریشه آن از کجا قابل مشاهده است.
• اگر ، پس یا ، که یکسان است یا ، یعنی ، معادله دو ریشه دارد.

بنابراین ، وجود یا عدم وجود ریشه های معادله ، و از این رو معادله درجه دوم اصلی ، به علامت بیان در سمت راست بستگی دارد. به نوبه خود ، علامت این عبارت با علامت عدد تعیین می شود ، زیرا مخرج 4 · a 2 همیشه مثبت است ، یعنی علامت عبارت b 2 − 4 · a · c. این عبارت b 2 −4 a c نامیده می شد متمایز کننده معادله درجه دومو با نامه مشخص شده است د... از این رو ، اصل تمیز دهنده روشن است - با توجه به ارزش و علامت آن ، نتیجه می گیرد که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی دارد ، و اگر چنین است ، تعداد آنها چیست - یک یا دو.

با بازگشت به معادله ، آن را با استفاده از علامت تفکیکی دوباره بنویسید:. و نتیجه گیری می کنیم:

• اگر D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• اگر D = 0 باشد ، این معادله یک ریشه دارد.
• سرانجام ، اگر D> 0 باشد ، معادله دارای دو ریشه است یا می توان آن را به صورت دوباره نوشت ، یا پس از بسط و تقلیل کسرها به یک مخرج مشترک ، بدست می آوریم.

بنابراین ما فرمول هایی را برای ریشه های یک معادله درجه دوم بدست آوردیم ، آنها دارای شکلی هستند که در آن تفکیک کننده D با فرمول D = b 2 -4 · a · c محاسبه می شود.

با کمک آنها ، با یک تمایز مثبت ، می توانید هر دو ریشه واقعی معادله درجه دوم را محاسبه کنید. هرگاه تفکیک کننده برابر با صفر باشد ، هر دو فرمول مقدار ریشه مشابه مربوط به تنها راه حل معادله درجه دوم را می دهند. و با تمایز منفی ، هنگام تلاش برای استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم ، ما با استخراج روبرو می شویم ریشه دوماز یک عدد منفی ، که ما را فراتر از برنامه درسی مدرسه می برد. با تمایز منفی ، معادله درجه دوم هیچ ریشه واقعی ندارد ، اما دارای یک جفت است مزدوج پیچیدهریشه ها ، که با همان فرمول های ریشه ای به دست آمده توسط ما می توان یافت.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول های ریشه

در عمل ، هنگام حل معادلات درجه دوم ، می توانید بلافاصله از فرمول ریشه استفاده کنید ، که می توانید مقادیر آنها را با آن محاسبه کنید. اما این بیشتر در مورد یافتن ریشه های پیچیده است.

با این حال ، در دوره جبر در مدرسه ، معمولاً موضوع پیچیده نیست ، بلکه مربوط به ریشه های واقعی معادله درجه دوم است. در این حالت ، توصیه می شود قبل از استفاده از فرمولهای مربوط به ریشه های معادله درجه دوم ، متمایز را پیدا کنید ، از غیر منفی بودن آن اطمینان حاصل کنید (در غیر این صورت ، می توان نتیجه گرفت که معادله ریشه واقعی ندارد) ، و فقط پس از که مقادیر ریشه ها را محاسبه می کنند.

استدلال فوق به ما امکان نوشتن می دهد حل معادله درجه دوم... برای حل معادله درجه دوم x 2 + b x + c = 0 ، شما نیاز دارید:

• با فرمول متمایز D = b 2 -4 · a · c مقدار آن را محاسبه کنید.
• نتیجه بگیرید که معادله درجه دوم در صورت منفی بودن تفکیک هیچ ریشه واقعی ندارد.
• تنها ریشه معادله را با فرمول محاسبه کنید اگر D = 0 ؛
• در صورت مثبت بودن تمایز ، دو ریشه واقعی از یک معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنید.

در اینجا ما فقط توجه داریم که وقتی تفکیک کننده برابر با صفر باشد ، از فرمول نیز می توان استفاده کرد ، همان مقداری را می دهد که.

می توانید به مثالهایی برای استفاده از الگوریتم حل معادلات درجه دوم بروید.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

راه حل هایی برای سه معادله درجه دوم با تمایز مثبت ، منفی و صفر در نظر بگیرید. با پرداختن به راه حل آنها ، به طور قیاس حل هر معادله درجه دوم دیگر امکان پذیر خواهد بود. بیا شروع کنیم.

مثال.

ریشه های معادله x 2 + 2 x - 6 = 0 را پیدا کنید.

تصمیم گیری

در این حالت ، ضرایب معادله درجه دوم را داریم: a = 1 ، b = 2 و c = -6. با توجه به الگوریتم ، ابتدا باید متمایز را محاسبه کنید ، برای این ما a ، b و c نشان داده شده را به فرمول تفکیک کننده وارد می کنیم ، D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... از 28> 0 ، یعنی تفکیک کننده بیشتر از صفر است ، پس معادله درجه دوم دارای دو ریشه واقعی است. ما آنها را با فرمول ریشه پیدا می کنیم ، در اینجا می توانید عبارات بدست آمده را با انجام کار ساده کنید علامت ریشه را ثبت کنیدبا کاهش کسری بعدی:

پاسخ:

بیایید به مثال معمولی بعدی برویم.

مثال.

معادله درجه دوم −4x2 + 28x - 49 = 0 را حل کنید.

تصمیم گیری

ما با پیدا کردن متمایز شروع می کنیم: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... بنابراین ، این معادله درجه دوم یک ریشه دارد ، که ما آن را پیدا می کنیم ، یعنی ،

پاسخ:

x = 3.5.

باقی مانده است که راه حل معادلات درجه دوم را با تبعیض منفی در نظر بگیریم.

مثال.

معادله 5 y 2 + 6 y + 2 = 0 را حل کنید.

تصمیم گیری

در اینجا ضرایب معادله درجه دوم وجود دارد: a = 5 ، b = 6 و c = 2. با جایگزینی این مقادیر در فرمول تفکیک ، ما داریم D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... متمایز کننده منفی است ، بنابراین ، این معادله درجه دوم هیچ ریشه واقعی ندارد.

اگر شما نیاز به نشان دادن ریشه های پیچیده دارید ، فرمول معروف را برای ریشه های معادله درجه دوم اعمال می کنیم و تعداد عملیات پیچیده:

پاسخ:

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد ، ریشه های پیچیده به شرح زیر است:.

یک بار دیگر یادآور می شویم که اگر متمایز کننده معادله درجه دوم منفی باشد ، در مدرسه معمولاً بلافاصله جواب را یادداشت می کنند ، در آن نشان می دهد که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد و ریشه های پیچیده ای پیدا نمی کنند.

فرمول ریشه حتی برای ضرایب دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم ، جایی که D = b 2 -4 ln5 = 2 7 ln5). بیا بیرونش

فرض کنیم باید معادله درجه دوم فرم a x 2 + 2 n x + c = 0 را حل کنیم. بیایید ریشه های آن را با استفاده از فرمول شناخته شده برای ما پیدا کنیم. برای این کار ، متمایز را محاسبه کنید D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c)، و سپس ما از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

اجازه دهید بیان n 2 - a · c را به عنوان D 1 نشان دهیم (گاهی اوقات با D "مشخص می شود). سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 n شکل می گیرد ، جایی که D 1 = n 2 - a · c.

به راحتی می توان فهمید که D = 4 · D 1 یا D 1 = D / 4. به عبارت دیگر ، D 1 قسمت چهارم تبعیض است. روشن است که علامت D 1 همان علامت D است. یعنی علامت D 1 همچنین شاخصی از وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم است.

بنابراین ، برای حل معادله درجه دوم با ضریب دوم 2 n ، شما نیاز دارید

• D 1 = n 2 ·a · c را محاسبه کنید.
• اگر D 1 باشد<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• اگر D 1 = 0 باشد ، پس تنها ریشه معادله را با فرمول محاسبه کنید.
• اگر D 1> 0 باشد ، دو فرم اصلی را پیدا کنید.

با استفاده از فرمول ریشه بدست آمده در این پاراگراف ، مثال را حل کنید.

مثال.

معادله درجه دوم 5x2 −6x - 32 = 0 را حل کنید.

تصمیم گیری

ضریب دوم این معادله را می توان 2 · (−3) نشان داد. یعنی می توانید معادله درجه دوم اصلی را به صورت 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 = 0 ، در اینجا a = 5 ، n = −3 و c = −32 ، دوباره بنویسید و قسمت چهارم را محاسبه کنید تبعیض آمیز: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... از آنجا که ارزش آن مثبت است ، این معادله دارای دو ریشه واقعی است. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مربوطه پیدا کنیم:

توجه داشته باشید که استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم امکان پذیر بود ، اما در این حالت ، کارهای محاسباتی بیشتری باید انجام شود.

پاسخ:

ساده نمودن معادلات درجه دوم

گاهی اوقات ، قبل از شروع محاسبه ریشه های یک معادله درجه دوم با فرمول ها ، پرسیدن این سوال ضرری ندارد: "آیا می توان شکل این معادله را ساده کرد؟" موافقت کنید که از نظر محاسبات حل معادله درجه 11 11 · x 2 − 4 · x - 6 = 0 از 1100 · x 2 −400 · x - 600 = 0.

معمولاً ساده سازی فرم معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم هر دو قسمت آن بر روی عددی حاصل می شود. به عنوان مثال ، در پاراگراف قبلی ، ما با تقسیم هر دو طرف بر 100 ، معادله 1100x2 −400x - 600 = 0 را ساده کردیم.

یک تحول مشابه با معادلات درجه دوم انجام می شود ، ضرایب آن نیستند. در این حالت ، هر دو طرف معادله معمولاً با مقادیر مطلق ضرایب آن تقسیم می شوند. به عنوان مثال ، بیایید معادله درجه دوم 12 2 2 − 42 x + 48 = 0 را بگیریم. مقادیر مطلق ضرایب آن: GCD (12، 42، 48) = GCD (GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. با تقسیم هر دو طرف معادله درجه دوم اصلی بر 6 ، به معادله درجه دوم معادل 2 2 2 −7 x + 8 = 0 می رسیم.

و ضرب هر دو طرف معادله درجه دوم معمولاً برای خلاص شدن از ضرایب کسری انجام می شود. در این حالت ضرب توسط مخرج ضرایب آن انجام می شود. به عنوان مثال ، اگر هر دو طرف معادله درجه دوم در LCM (6 ، 3 ، 1) = 6 ضرب شوند ، آنگاه شکل ساده تری x 2 + 4 x - 18 = 0 به دست می آید.

در پایان این پاراگراف ، ما توجه داریم که تقریباً همیشه با منفی در ضریب اصلی معادله درجه دوم خلاص می شویم ، علائم تمام اصطلاحات را تغییر می دهیم ، که مربوط به ضرب (یا تقسیم) هر دو قسمت بر 1 است. به عنوان مثال ، معمولاً از معادله درجه دوم x2x2 −3x + 7 = 0 فرد به محلول 2x2 + 3x - 7 = 0 می رود.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم ، ریشه های یک معادله را از نظر ضرایب آن بیان می کند. بر اساس فرمول ریشه ، می توانید وابستگی های دیگری بین ریشه ها و ضرایب بدست آورید.

شناخته شده ترین و کاربردی ترین فرمول ها از قضیه فرم ویتا و. به طور خاص ، برای معادله درجه دوم داده شده ، مجموع ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است ، و حاصل ریشه ها برابر با مدت آزاد است. به عنوان مثال ، با فرم معادله درجه 2 3 2 2 −7 x + 22 = 0 ، بلافاصله می توان گفت که مجموع ریشه های آن 7/3 است و حاصل ریشه ها 22/3 است.

با استفاده از فرمول های نوشته شده ، می توانید تعدادی از روابط دیگر بین ریشه ها و ضرایب معادله درجه دوم را بدست آورید. به عنوان مثال ، می توانید مجموع مربعات ریشه های یک معادله درجه دوم را از طریق ضرایب آن بیان کنید:.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:مطالعه. برای 8 کلری آموزش عمومی. موسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م .: آموزش و پرورش ، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovichجبر کلاس 8 ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانشجویان م institutionsسسات آموزشی / A. G. Mordkovich. - ویرایش یازدهم ، پاک شده است. - م.: منوموزینا ، 2009. - 215 ص: بیماری. شابک 978-5-346-01155-2.