• L'Hopital szabálya és a bizonytalanságok feltárása
• A „nulla osztva nullával” és a „végtelen osztva a végtelennel” típusú bizonytalanságok közzététele
• A „nullaszeres végtelen” formájú bizonytalanságok feltárása
• A "nulla a nulla hatványa", a "végtelen a nulla hatványa" és az "egy a végtelen hatványa" típusú bizonytalanságok közzététele
• A "végtelen mínusz végtelen" formájú bizonytalanságok közzététele

L'Hopital szabálya és a bizonytalanságok feltárása

A 0/0 vagy ∞/∞ formájú bizonytalanságok és néhány más bizonytalanság közzététele nagymértékben leegyszerűsödik a L'Hopital-szabály segítségével.

A lényeg A L'Hopital szabályai abban az esetben, ha két függvény arányhatárának kiszámítása 0/0 vagy ∞/∞ alakú bizonytalanságot ad, a két függvény arányának határértéke helyettesíthető származékaik arányának határával, ill. , így bizonyos eredményt érhet el.

Általánosságban elmondható, hogy L'Hopital szabályai több tételt jelentenek, amelyek a következő egyetlen megfogalmazással fejezhetők ki.

L'Hopital szabálya. Ha a funkciók f(x) És g(x) differenciálhatók a pont egy bizonyos környezetében, kivéve magát a pontot, és ezen a környéken

(1)

Más szóval, 0/0 vagy ∞/∞ alakú bizonytalanságok esetén két függvény arányának határa megegyezik származékaik arányának határával, ha ez utóbbi létezik (véges vagy végtelen).

Az (1) egyenlőségben az az érték, amelyre a változó hajlamos, lehet véges szám, végtelen vagy mínusz végtelen.

Más típusú bizonytalanságok is redukálhatók a 0/0 és ∞/∞ típusú bizonytalanságokra.

A „nulla osztva nullával” és a „végtelen osztva a végtelennel” típusú bizonytalanságok közzététele

1. példa Számítsa ki

x=2 0/0 formájú bizonytalansághoz vezet. Ezért alkalmazzuk a L'Hopital szabályát:

2. példa Számítsa ki

Megoldás. Csere be adott funkciótértékeket x

3. példa Számítsa ki

Megoldás. Érték behelyettesítése egy adott függvénybe x A =0 0/0 formájú bizonytalansághoz vezet. Ezért alkalmazzuk a L'Hopital szabályát:

4. példa Számítsa ki

Megoldás. A plusz végtelennel egyenlő x érték behelyettesítése egy adott függvénybe ∞/∞ alakú bizonytalansághoz vezet. Ezért alkalmazzuk a L'Hopital szabályát:

Megjegyzés. Ha a derivált arány határa egy 0/0 vagy ∞/∞ formájú bizonytalanság, akkor ismét alkalmazható a L'Hopital-szabály, azaz. menjen a második deriváltok arányának határáig stb.

5. példa Számítsa ki

Megoldás. találunk

Itt kétszer alkalmazzuk a L'Hopital-szabályt, mivel mind a függvények arányának határa, mind a deriváltak arányának határa ∞/∞ alakú bizonytalanságot ad.

6. példa. Számítsa ki

Utasítás

A határértékek közvetlen számítása mindenekelőtt a racionális Qm(x)/Rn(x) határértékeihez kapcsolódik, ahol Q és R polinomok. Ha a határértéket x →a-val számoljuk (a egy szám), akkor például bizonytalanság merülhet fel. Ennek kiküszöböléséhez osszuk el a számlálót és a nevezőt (x-a)-val. Ismételje meg a műveletet, amíg a bizonytalanság el nem tűnik. A polinomok osztása szinte ugyanúgy történik, mint a számok osztása. Ez azon alapul, hogy az osztás és a szorzás inverz műveletek. ábrán látható egy példa. 1.

Az első figyelemre méltó határ alkalmazása. Az első figyelemre méltó határ képlete az ábrán látható. 2a. Használatához alakítsa át a példakifejezést a megfelelő formára. Ez mindig megtehető tisztán algebrai úton vagy egy változó megváltoztatásával. A lényeg az, hogy ne felejtsük el, hogy ha a szinusz kx, akkor a nevező is kx. ábrán látható egy példa. 2e. Ezen kívül, ha figyelembe vesszük, hogy tgx=sinx/cosx, cos0=1, akkor ennek következtében megjelenik (lásd 2b. ábra). arcsin(sinx)=x és arctg(tgx)=x. Ezért van még két következmény (2c. és 2d. ábra). A módszerek meglehetősen széles skálája jelent meg.

Figyelemre méltó a második határ használata (lásd a 3a. ábrát). A megfelelő problémák megoldásához egyszerűen alakítsa át a feltételt a korlát típusának megfelelő szerkezetté. Ne feledje, hogy amikor egy kifejezést olyan hatalomra emel, amely már valamilyen hatalomban van, akkor ezek megsokszorozódnak. A megfelelő az ábrán látható. 2e. Alkalmazza az α=1/х helyettesítést, és kapja meg a második figyelemre méltó határ következményét (2b. ábra). Ennek a következménynek mindkét oldalának logaritmusát az a bázisra véve megkapjuk a második következményt, in és a = e esetén (lásd 2c. ábra). Csere legyen a^x-1=y. Ekkor x=log(a)(1+y). Mivel x nullára hajlik, y is nullára hajlik. Ezért egy harmadik következmény is felmerül (lásd 2d. ábra).

Az ekvivalens infinitezimális függvények ekvivalensek x →a-val, ha α(x)/γ(x) arányuk eggyel egyenlő. Ha a határértékeket ilyen infinitezimális számok segítségével számítja ki, egyszerűen írja fel γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) egy infinitezimális over magasrendű kisebb, mint α(x). Ehhez lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Az egyenértékűség megállapításához használja ugyanazt a csodálatos határait. A módszer lehetővé teszi a folyamat jelentős egyszerűsítését, átláthatóbbá téve azt.

Források:

• Shipachev V.S. Felső matematika. Tankönyv egyetemek számára. - 3. kiadás, törölve. - M.: Feljebb. iskola, 1996. - 496 p.: ill.

A függvény az egyik alapvető matematikai fogalom. Neki határ– ez az az érték, amelynél az érv o-ra hajlik határ ezt a méretet. Kiszámíthatja néhány technikával, például a Bernoulli-L'Hopital szabállyal.

Utasítás

Kiszámolni határ egy adott x0 pontban ezt az argumentumot be kell cserélni a lim jel alatti függvénykifejezésbe. Egyáltalán nem szükséges, hogy ez az o területhez tartozzon határ funkció megváltozik. Ha határ O határ egyenlő egyjegyű számmal, akkor a függvényről azt mondjuk, hogy konvergál. Ha nem lehet kb határ hu, vagy egy adott pontban végtelen, akkor eltérés van.

Megoldás: Helyettesítse be az x = -2 értéket a:lim (x² – 6 x - 14)/(2 x² + 3 x - 6) = -1/2 kifejezésbe.

A megoldás nem mindig olyan kézenfekvő és egyszerű, különösen, ha a kifejezés túl nehézkes. Ebben az esetben először le kell egyszerűsíteni a redukcióját, csoportosítását vagy a változó helyettesítését: lim_(x→-8) (10 x - 1)/(2 x + ∛x) = [y= ∛x] = lim_(y→- 2) (10 y³ - 1)/(2 y³ + y) = 9/2.

Gyakran lehetetlen helyzetek határ leniya határés különösen, ha az érvelés a végtelenbe vagy a nullába hajlik. A csere nem hozza meg a várt eredményt, ami neo-hoz vezet határ az űrlap tulajdonságait vagy [∞/∞]. Ekkor a L'Hopital-Bernoulli alkalmazható, ami magában foglalja az első derivált megtalálását. Például számoljon határ lim (x² – 5 x -14)/(2 x²+ x - 6) x→-2-nél.

Megoldás.lim (x² – 5 x -14)/(2 x² + x - 6) = .

Keresse meg a deriváltot:lim (2 x - 5)/(4 x + 1) = 9/7.

lim (sinx/x) = 1 x → 0 esetén, fordítva is igaz: lim (x/sinx) = 1; x → 0. Az argumentum tetszőleges konstrukció lehet, a lényeg, hogy értéke nulla legyen: lim (x³ – 5 x² + x)/sin(x³ – 5 x² + x) = 1; x → 0.

Videó a témáról

Elmélet határait a matematikai elemzés meglehetősen kiterjedt területe. Ez a fogalom egy függvényre alkalmazható, és három elemből áll: a lim jelölésből, a határjel alatti kifejezésből és az argumentum határértékéből.

Utasítás

A határérték kiszámításához szükséges, hogy a függvény mennyivel egyenlő az argumentum határértékének megfelelő pontban. Egyes esetekben nincs végleges megoldása, és az érték helyettesítése, amelyre a változó hajlamos, a „nullától nulláig” vagy a „végtelentől a végtelenig” formát adja. Ebben az esetben a Bernoulli és L'Hopital által levezetett , az alkalmazható, amely magában foglalja az első származékot.

Mint minden matematikai, egy határérték is tartalmazhat az előjele alatt olyan függvénykifejezést, amely túl nehézkes vagy kényelmetlen az egyszerű helyettesítéshez. Ezután először egyszerűsíteni kell, a szokásos módszerekkel, csoportosítással, közös tényező hozzáadásával és a változó cseréjével, amely megváltoztatja az argumentum határértékét.

Szerencséd van, a függvény kifejezésnek van értelme az argumentum adott határértékéhez. Ez a határérték kiszámításának legegyszerűbb esete. Most oldja meg a következő feladatot, amely magában foglalja a végtelen kétértelmű fogalmát: lim_(x→∞) (5 - x).

Bernoulli-L'Hopital szabály:lim_(x→-2) (x^5 – 4 x³)/(x³ + 2 x²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = . lim (5 x^4 – 12 x²)/(3 x² + 4 x) = (5 16 – 12 4)/(3 4 – 8) = 8.

Változócsere: lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/( 125 + 5) = 27/26.

görög levél A π-t (pi, pi) általában a kör kerületének és átmérőjének arányával jelöljük. Ez szám, amely eredetileg az ókori geométerek munkáiban jelent meg, később kiderült, hogy a matematika számos ágában nagyon fontos. Ez azt jelenti, hogy tudnia kell kiszámítani.

Utasítás

π - irracionális szám. Ez az, hogy nem ábrázolható törtként egész számmal és nevezővel. Ráadásul π transzcendentális szám, vagyis nem szolgálhat ki egyiket sem algebrai egyenlet. Így a π szám pontos értéke nem írható le. Vannak azonban olyan módszerek, amelyek lehetővé teszik, hogy bármilyen szükséges pontossággal kiszámítsa.

A legősibbek, amelyeket Görögország és Egyiptom geométerei használnak, azt mondják, hogy π körülbelül egyenlő négyzetgyök 10-től vagy töredék 256/81. De ezek a képletek π értéket adnak, amely egyenlő 3,16-tal, és ez nyilvánvalóan nem elég.

A differenciálszámítás és más új matematikai tudományágak fejlődésével a tudósok most hozzáférhetnek új eszköz- teljesítmény sorozat. Gottfried Wilhelm Leibniz 1674-ben fedezte fel, hogy a sorozat
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
konvergál a π/4-gyel egyenlő határban. Ennek az összegnek a kiszámítása egyszerű, de sok lépésre van szükség a kellő pontosság eléréséhez, mivel a sorozatok nagyon lassan konvergálnak.

Ezt követően más hatványsorokat fedeztek fel, amelyek lehetővé tették a π gyorsabb kiszámítását, mint a Leibniz-sor használatával. Például ismert, hogy tan(π/6) = 1/√3, tehát arctan(1/√3) = π/6.
Az arctangens függvényt hatványsorrá bővítjük, és egy adott értékre a következőt kapjuk:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
Ezzel és más hasonló képletekkel szám A π-t már több millió tizedesjegy pontossággal kiszámolták.

Kérjük, vegye figyelembe

A Pi kiszámításának számos módja van. A legegyszerűbb és legérthetőbb a numerikus Monte Carlo módszer, amelynek lényege egy terület pontjainak legegyszerűbb felsorolásában rejlik. dupla y=sugár*sugár-x*x; visszatér y; ) A program megjeleníti a Pi értékeit a sugártól és a pontok számától függően. Az olvasónak már csak az marad, hogy maga fordítsa le és futtassa a kívánt paraméterekkel.

Hasznos tanácsok

A fáradhatatlan tudósok azonban folytatták és folytatták a pi decimális számjegyeinek kiszámítását, ami valójában egy vadul nem triviális feladat, mert nem lehet csak oszlopban kiszámolni: ez a szám nemcsak irracionális, hanem transzcendentális is (ezek a pontosan azokat a számokat, amelyeket nem egyszerű egyenletekkel számítanak ki). A Tokiói Egyetem tudósai 12 411 billió számjegyű világrekordot állítottak fel a Pi szám kiszámításában.

Források:

• Pi története

Matematikai módszerek a tudomány számos területén használják. Ez az állítás különösen a differenciálszámításra vonatkozik. Például ha kiszámolja a másodikat származéka az időváltozótól való távolság függvénye, akkor megtalálhatja az anyagi pont gyorsulását.

Utasítás

A megkülönböztetés szabályait és módszereit a magasabb rendű származékok esetében megőrzik. Ez vonatkozik néhány elemi függvényre, összeadási és osztási műveletekre, valamint u(g(x)) alakú komplex függvényekre: u’ = C’ = 0 – egy állandó deriváltja; u’ = x’ = 1 – az egyik argumentum közül a legegyszerűbb; u' = (x^a)' = a x^(a-1); u’ = (a^x)’ = a^x ln a – exponenciális függvény;

Egy u(x) és g(x) függvénypár aritmetikai műveletei: (u + g)’ = u’ + g’; (u g)’ = u’ g + g’ u; (u/g)’ = (u’g – g’u)/g².

A második elég nehéz származéka összetett funkció. Ehhez a numerikus differenciálási módszerek, bár az eredmény közelítő, van egy úgynevezett közelítési hiba α:u''(x) = (u(x + h) – 2 u(x) + u(x - h) )/h² + α (h²) – Newton interpolációs polinomja;u''(x) = (-u(x + 2 h) + 16 u(x + h) – 30 u(x) + 16 u(x - h) ) – u(x – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – csíkozás.

Ezek a képletek egy bizonyos h értéket tartalmaznak. Közelítésnek nevezzük, amelynek kiválasztásának optimálisnak kell lennie a számítási hiba minimalizálása érdekében. Kiválasztás helyes érték h-t lépésről lépésre történő szabályozásnak nevezzük: |u(x + h) – u(x)| > ε, ahol ε infinitezimális.

A második derivált számítási módszerét akkor alkalmazzuk, ha teljes differenciálmű másodrendű. Ebben az esetben minden argumentumra külön számítják ki, és részt vesz a végső kifejezésben a megfelelő dх, dy stb. differenciál szorzója formájában: d² u = ∂u'/∂х d²х + ∂u'/∂ y d²у + ∂u' /∂z d²z.

Példa: keresse meg a másodikat származéka függvények u = 2 x sin x – 7 x³ + x^5/tg x.

Solutionu' = 2 sin x + 2 x cos x – 21 x² + 5 x^4/tg x – x²/sin² x;u'' = 4 cos x – 2 x sin x – 42 x + 20 x³/tg x – 5 x^4/sin² x – 2 x/sin² x + 2 x² cos x/sin³ x.

A viselkedés természetének tanulmányozására differenciálszámítási módszereket alkalmaznak funkciókat a matematikai elemzésben. Ez azonban nem az egyetlen alkalmazási terület, amelyet gyakran meg kell találni származéka közgazdasági határértékek kiszámításához, fizikában sebesség vagy gyorsulás kiszámításához.

Utasítás

A [∞-∞] alak bizonytalansága akkor derül ki, ha bármely törtek különbségét értjük. Ha ezt a különbséget közös nevezőre csökkentjük, akkor a függvények bizonyos arányát kapjuk.

0^∞, 1^∞, ∞^0 típusú bizonytalanságok merülnek fel a p(x)^q(x) típus kiszámításakor. Ebben az esetben előzetes megkülönböztetést alkalmaznak. Ekkor a kívánt A határérték szorzat formájában lesz, esetleg kész nevezővel. Ha nem, akkor használhatja a 3. példa módszerét. A lényeg, hogy ne felejtse el leírni a végső választ e^A formában (lásd 5. ábra).

Videó a témáról

Források:

• 2019-ben számítsa ki egy függvény határát a L'Hopital-szabály használata nélkül

Utasítás

A határ egy bizonyos szám, amelyre egy változó vagy egy kifejezés értéke hajlik. Általában a változók vagy függvények nullára vagy végtelenre hajlanak. A nulla határértéken a mennyiséget végtelenül kicsinek tekintjük. Más szavakkal, azokat a mennyiségeket, amelyek változóak és közelítik a nullát, végtelenül kicsinek nevezzük. Ha a végtelenbe hajlik, akkor végtelen határnak nevezzük. Általában a következő formában írják:
limx=+∞.

Számos tulajdonsága van, amelyek közül néhány . Az alábbiakban a főbbeket.
- egy mennyiségnek csak egy határa van;

Egy állandó érték határa ennek az állandónak az értékével egyenlő;

Az összeghatár egyenlő a határértékek összegével: lim(x+y)=lim x + lim y;

A szorzat határértéke egyenlő a határértékek szorzatával: lim(xy)=lim x * lim y

A konstans tényező a határjelen túlra vehető: lim(Cx) = C * lim x, ahol C=const;

A hányados határa egyenlő a határértékek hányadosával: lim(x/y)=lim x / lim y.

A határértékekkel kapcsolatos problémákban mind numerikus kifejezések, mind ezek a kifejezések vannak. Ez különösen így nézhet ki:
lim xn=a (n→∞ esetén).
Az alábbiakban egy egyszerű korlát:
lim 3n +1 /n+1

n→∞.
Ennek a korlátnak a megoldásához osszuk el a teljes kifejezést n egységgel. Ismeretes, hogy ha az egységet elosztjuk egy bizonyos n→∞ értékkel, akkor az 1/n határérték nulla. Ennek a fordítottja is igaz: ha n→0, akkor 1/0=∞. A teljes példát elosztva n-nel, írja be az alábbi űrlapba, és kapja meg:
lim 3+1/n/1+1/n=3

A limitek megoldása során olyan eredmények születhetnek, amelyeket bizonytalanságnak nevezünk. Ilyen esetekben a L'Hopital szabályai érvényesek. Ehhez megismétlik a függvényt, ami a példát olyan formába hozza, amelyben megoldható. Kétféle bizonytalanság létezik: 0/0 és ∞/∞. Egy példa a bizonytalanságra különösen a következőképpen nézhet ki:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

Videó a témáról

A határértékek kiszámítása funkciókat- a matematikai elemzés megalapozása, amelynek sok oldalt szentelnek a tankönyvek. Néha azonban nem csak a definíció, hanem a határ lényege sem egyértelmű. Beszélő egyszerű nyelven, a határérték az egyik változó mennyiségnek egy másiktól függő mennyiség közeledése valamely meghatározott egyedi értékhez, ahogy az a másik mennyiség változik. A sikeres számításokhoz elég egy egyszerű megoldási algoritmust szem előtt tartani.

Ez az online matematikai számológép segít, ha szüksége van rá kiszámítja egy függvény határát. Program megoldási korlátok nem csak a problémára ad választ, hanem vezet is részletes megoldás magyarázatokkal, azaz megjeleníti a határérték számítási folyamatát.

Ez a program hasznos lehet középiskolás diákok számára a felkészülés során tesztek valamint vizsgák, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzés során a szülőknek számos matematikai és algebrai feladat megoldásának ellenőrzésére. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni? házi feladat

matematikában vagy algebrában? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.

Adjon meg egy függvénykifejezést

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.

Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérjük, várjon mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

A függvény határértéke x->x 0

Legyen az f(x) függvény definiálva valamilyen X halmazon, és legyen az \(x_0 \in X\) vagy \(x_0 \notin X\) pont

Vegyünk X-ből egy x 0-tól eltérő pontsorozatot:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x*-hez konvergál. A függvényértékek ennek a sorozatnak a pontjain szintén numerikus sorozatot alkotnak
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
és fel lehet vetni a határa létezésének kérdését.

Meghatározás. Az A számot az f(x) függvény határértékének nevezzük az x = x 0 pontban (vagy az x -> x 0 pontban), ha az x argumentum bármely (1) értéksorára eltér x 0-tól x 0-hoz konvergálva a megfelelő (2) értéksor függvény konvergál az A számhoz.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Az f(x) függvénynek csak egy határértéke lehet az x 0 pontban. Ez abból következik, hogy a sorrend
(f(x n)) csak egy határértékkel rendelkezik.

A függvény határának van egy másik meghatározása is.

Meghatározás Az A számot az f(x) függvény határértékének nevezzük az x = x 0 pontban, ha bármely \(\varepszilon > 0\) számhoz van olyan \(\delta > 0\) szám, hogy minden \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), kielégítve az egyenlőtlenséget \(|x-x_0| Logikai szimbólumok segítségével ez a definíció a következőképpen írható fel
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Vegye figyelembe, hogy a \(x \neq x_0) egyenlőtlenségek , \; |x-x_0 | \(\varepsilon - \delta \)”.
Egy függvény határértékének ez a két meghatározása egyenértékű, és bármelyiket használhatja attól függően, hogy melyik a kényelmesebb egy adott probléma megoldásához.

Megjegyzendő, hogy a függvény határértékének meghatározását „a sorozatok nyelvén” egy függvény határértékének is nevezik Heine szerint, és a függvény határértékének meghatározását „a \(\varepsilon - nyelven” \delta \)” egy függvény határértékének is nevezik Cauchy szerint.

A függvény határértéke x->x 0 - és x->x 0 +

A következőkben egy függvény egyoldali határértékeinek fogalmait fogjuk használni, amelyeket az alábbiak szerint definiálunk.

Meghatározás Az A számot az f(x) függvény jobb (bal) határértékének nevezzük az x 0 pontban, ha bármely x 0-hoz konvergáló (1) sorozatra, amelynek x n elemei nagyobbak (kisebbek, mint) x 0, a a megfelelő sorozat (2) konvergál A-hoz.

Szimbolikusan így van írva:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Adhatunk egy ekvivalens definíciót egy függvény egyoldalú korlátaira „a \(\varepsilon - \delta \) nyelven”:

Meghatározás az A számot az f(x) függvény jobb (bal) határának nevezzük az x 0 pontban, ha bármely \(\varepszilon > 0\) esetén létezik \(\delta > 0\) úgy, hogy minden x-re kielégítő az egyenlőtlenségek \(x_0 Szimbolikus bejegyzések:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

A 0/0 vagy ∞/∞ formájú bizonytalanságok és néhány egyéb, a számítás során felmerülő bizonytalanság közzététele határ Két infinitezimális vagy végtelenül nagy függvény kapcsolata nagymértékben leegyszerűsödik L'Hopital-szabály (valójában két szabály és hozzájuk fűzött megjegyzések) segítségével.

A lényeg A L'Hopital szabályai abban az esetben, ha két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy függvény arányhatárának kiszámítása 0/0 vagy ∞/∞ alakú bizonytalanságot ad, akkor két függvény arányának határértéke helyettesíthető a függvény arányának határával. az övék származékaiés így bizonyos eredményt kapunk.

Térjünk át a L'Hopital szabályainak megfogalmazására.

L'Hopital szabálya két végtelenül kicsi mennyiség határának esetére. Ha a funkciók f(x) És g(x aa, és ezen a környéken g"(x a egyenlőek egymással és egyenlők nullával

().

L'Hopital szabálya két végtelenül nagy mennyiség határának esetére. Ha a funkciók f(x) És g(x) a pont valamely szomszédságában differenciálhatók a, kivéve talán magát a lényeget a, és ezen a környéken g"(x)≠0 és ha és ha ezeknek a függvényeknek a határértékei mint x hajlik a függvény értékére a pontban a egyenlő egymással és egyenlő a végtelennel

(),

akkor e függvények arányának határa megegyezik deriváltjaik arányának határával

().

Más szóval, 0/0 vagy ∞/∞ alakú bizonytalanságok esetén két függvény arányának határa megegyezik származékaik arányának határával, ha ez utóbbi létezik (véges vagy végtelen).

Megjegyzések.

1. A L'Hopital szabályai a függvényekre is érvényesek f(x) És g(x) nincsenek meghatározva, mikor x = a.

2. Ha a függvények deriváltjainak arányának korlátjának számításakor f(x) És g(x) ismét 0/0 vagy ∞/∞ formájú bizonytalansághoz jutunk, akkor a L'Hopital szabályait ismételten (legalább kétszer) kell alkalmazni.

3. L'Hopital szabályai akkor is alkalmazhatók, ha az (x) függvények argumentuma nem hajlik véges számra a, és a végtelenségig ( x → ∞).

Más típusú bizonytalanságok is redukálhatók a 0/0 és ∞/∞ típusú bizonytalanságokra.

A „nulla osztva nullával” és a „végtelen osztva a végtelennel” típusú bizonytalanságok közzététele

1. példa

x=2 0/0 formájú bizonytalansághoz vezet. Ezért megkapjuk az egyes függvények deriváltját

A polinom deriváltját a számlálóban, a nevezőben pedig - komplex logaritmikus függvény deriváltja. Az utolsó egyenlőségjel előtt a szokásos határ, X helyett kettőt helyettesít.

2. példa Számítsa ki két függvény arányának határát a L'Hopital-szabály segítségével:

Megoldás. Érték behelyettesítése egy adott függvénybe x

3. példa Számítsa ki két függvény arányának határát a L'Hopital-szabály segítségével:

Megoldás. Érték behelyettesítése egy adott függvénybe x A =0 0/0 formájú bizonytalansághoz vezet. Ezért kiszámítjuk a számlálóban és a nevezőben lévő függvények deriváltjait, és megkapjuk:

4. példa Számítsa ki

Megoldás. A plusz végtelennel egyenlő x érték behelyettesítése egy adott függvénybe ∞/∞ alakú bizonytalansághoz vezet. Ezért alkalmazzuk a L'Hopital szabályát:

Megjegyzés. Térjünk át azokra a példákra, amelyekben a L'Hopital-szabályt kétszer kell alkalmazni, vagyis el kell jutni a második deriváltak arányának határához, mivel az első deriváltak arányának határa egy 0 alakú bizonytalanság. /0 vagy ∞/∞.

Alkalmazza saját maga a L'Hopital szabályát, majd nézze meg a megoldást

A „nullaszeres végtelen” formájú bizonytalanságok feltárása

12. példa. Számítsa ki

.

Megoldás. Megkapjuk

Ez a példa a trigonometrikus azonosságot használja.

A "nulla a nulla hatványa", a "végtelen a nulla hatványa" és az "egy a végtelen hatványa" típusú bizonytalanságok közzététele

Az alak bizonytalanságait, vagy általában 0/0 vagy ∞/∞ alakra redukálják az alak függvényének logaritmusának felvételével

Egy kifejezés határának kiszámításához a logaritmikus azonosságot kell használni, amelynek speciális esete a logaritmus tulajdonsága .

A logaritmikus azonosság és a függvény folytonossági tulajdonságának felhasználásával (a határ előjelének túllépéséhez) a határértéket a következőképpen kell kiszámítani:

Külön meg kell találnia a kifejezés határát a kitevőben és a buildben e a talált fokig.

13. példa.

Megoldás. Megkapjuk

.

.

14. példa. Számítsa ki a L'Hopital-szabály segítségével

Megoldás. Megkapjuk

Számítsa ki egy kifejezés határértékét kitevőben

.

.

15. példa. Számítsa ki a L'Hopital-szabály segítségével