Meghatározás 8.4. Az alak differenciálegyenlete

Ahol
teljes differenciálegyenletnek nevezzük.

Figyeljük meg, hogy egy ilyen egyenlet bal oldala valamely függvény teljes differenciája
.

Általában a (8.4) egyenlet a következőképpen ábrázolható

A (8.5) egyenlet helyett az egyenletet tekinthetjük

,

melynek megoldása a (8.4) egyenlet általános integrálja. Így a (8.4) egyenlet megoldásához meg kell találni a függvényt
. A (8.4) egyenlet definíciójával összhangban van

(8.6)

Funkció
olyan függvényt fogunk keresni, amely kielégíti a következő feltételek egyikét (8.6):

Ahol -től független tetszőleges függvény .

Funkció
úgy van definiálva, hogy a (8.6) kifejezés második feltétele teljesüljön

(8.7)

A (8.7) kifejezésből meghatározzuk a függvényt
. Behelyettesítve a kifejezésbe
és megkapjuk az eredeti egyenlet általános integrálját.

8.3. probléma. Integrálja az egyenletet

Itt
.

Ezért ez az egyenlet az összdifferenciálegyenletek típusához tartozik. Funkció
formában fogjuk keresni

.

A másik oldalon,

.

Egyes esetekben az állapot
nem teljesülhet.

Ezután az ilyen egyenleteket az úgynevezett integráló tényezővel megszorozva redukáljuk a vizsgált típusra, amely általános eset, csak egy funkció vagy .

Ha valamely egyenletnek van integráló tényezője, amely csak attól függ , akkor a képlet határozza meg

hol a kapcsolat csak függvénynek kell lennie .

Hasonlóképpen az integráló tényező csak attól függ , a képlet határozza meg

hol a kapcsolat
csak függvénynek kell lennie .

Az első esetben a változó hiánya az adott relációkban , a másodikban pedig a változó , egy adott egyenlethez tartozó integráló tényező meglétének a jele.

8.4. probléma. Redukáljuk ezt az egyenletet a teljes differenciál egyenletére.

.

Fontolja meg az összefüggést:

.

Téma 8.2. Lineáris differenciálegyenletek

Meghatározás 8.5. Differenciálegyenlet
lineárisnak nevezzük, ha a kívánt függvényhez képest lineáris , származéka és nem tartalmazza a kívánt függvény és származékának szorzatát.

A lineáris differenciálegyenlet általános formáját a következő összefüggés reprezentálja:

(8.8)

Ha a (8.8) relációban a jobb oldal
, akkor az ilyen egyenletet lineáris homogénnek nevezzük. Abban az esetben jobb rész
, akkor az ilyen egyenletet lineáris inhomogénnek nevezzük.

Mutassuk meg, hogy a (8.8) egyenlet integrálható kvadratúrákba.

Az első szakaszban egy lineáris homogén egyenletet veszünk figyelembe.

Egy ilyen egyenlet elválasztható változókkal rendelkező egyenlet. Igazán,

;

/

Az utolsó reláció határozza meg közös döntés lineáris homogén egyenlet.

A lineáris inhomogén egyenlet általános megoldásának megtalálásához az állandó deriváltjának változtatásának módszerét használjuk. A módszer lényege, hogy egy lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása ugyanolyan formában van, mint a megfelelő homogén egyenlet megoldása, de tetszőleges állandó helyettesíti valamilyen funkcióval
meg kell határozni. Tehát nekünk van:

(8.9)

A (8.8) relációba behelyettesítve a megfelelő kifejezéseket
És
, kapunk

Az utolsó kifejezést behelyettesítve a (8.9) relációba, megkapjuk a lineáris inhomogén egyenlet általános integrálját.

Így egy lineáris inhomogén egyenlet általános megoldását két kvadratúra határozza meg: egy lineáris homogén egyenlet általános megoldása és egy lineáris inhomogén egyenlet egyedi megoldása.

8.5. probléma. Integrálja az egyenletet

Így az eredeti egyenlet a lineáris inhomogén differenciálegyenletek típusába tartozik.

Az első szakaszban általános megoldást találunk egy lineáris homogén egyenletre.

;

A második lépésben meghatározzuk a lineáris inhomogén egyenlet általános megoldását, amely a formában található

,

Ahol
- meghatározandó funkció.

Tehát nekünk van:

A relációkat helyettesítve És az eredeti lineáris inhomogén egyenletbe kapjuk:

;

;

.

A lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása a következő formában lesz:

.

Definíció: A forma egyenlete

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

ahol a bal oldal két változó valamely függvényének teljes differenciálja, teljes differenciálegyenletnek nevezzük.

Jelöljük ezt a két változó függvényét F(x,y)-vel. Ekkor a (9) egyenlet átírható dF(x,y) = 0-ra, és ennek az egyenletnek van egy általános megoldása F(x,y) = C.

Legyen adott egy (9) alakú egyenlet. Annak megállapításához, hogy teljes differenciálegyenletről van-e szó, ellenőrizni kell, hogy a kifejezés az-e

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

két változó valamely függvényének teljes differenciája. Ehhez ellenőriznie kell az egyenlőséget

Tegyük fel, hogy egy adott (10) kifejezésre a (11) egyenlőség teljesül valamilyen egyszerűen összefüggő tartományban (S) és ezért a (10) kifejezés valamely F(x,y) függvény teljes differenciálja az (S)-ben. ).

Tekintsük a következő módszert ennek az antiderivatívának a megtalálására. Olyan F(x,y) függvényt kell találni, hogy

ahol az (y) függvényt alább definiáljuk. A (12) képletből tehát az következik

a régió minden pontján (S). Most válasszuk ki az (y) függvényt, hogy az egyenlőség teljesüljön

Ehhez átírjuk a szükséges (14) egyenlőséget, F(x,y) helyett annak kifejezését helyettesítve a (12) képlet szerint:

Differenciáljunk y tekintetében az integráljel alatt (ez megtehető, mivel P(x,y) és két változó folytonos függvényei):

Mivel a (11) szerint, akkor a (16) integráljel alattira cserélve a következőt kapjuk:

Az y feletti integrálást követően magát az (y) függvényt találjuk, amely úgy van megszerkesztve, hogy a (14) egyenlőség teljesüljön. A (13) és (14) egyenlőség felhasználásával azt látjuk

területen (S). (18)

5. példa Ellenőrizze, hogy adott-e differenciálegyenlet egyenletet a teljes differenciálokban és oldja meg.

Ez egy differenciálegyenlet a teljes differenciálokban. Valójában a kijelöléssel meg vagyunk győződve arról

és ez szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a kifejezés

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

valamilyen U(x,y) függvény teljes differenciálja. Ráadásul ezek olyan függvények, amelyek folytonosak az R-ben.

Ezért ennek a differenciálegyenletnek az integrálásához olyan függvényt kell találni, amelyre a differenciálegyenlet bal oldala egy teljes differenciál. Legyen egy ilyen függvény U(x,y), akkor

A bal és jobb oldalt x-be integrálva a következőt kapjuk:

A q(y) meghatározásához azt a tényt használjuk, hogy

A talált μ(y) értéket (*) behelyettesítve végül megkapjuk az U(x,y) függvényt:

Az eredeti egyenlet általános integrálja alakja

Az elsőrendű differenciálegyenletek alaptípusai (folytatás).

Lineáris differenciálegyenletek

Definíció: Az elsőrendű lineáris egyenlet a forma egyenlete

y" + P(x)y = f(x), (21)

ahol P(x) és f(x) folytonos függvények.

Az egyenlet elnevezését az magyarázza, hogy az y" derivált y lineáris függvénye, vagyis ha a (21) egyenletet y" = - P(x) + f(x) alakba írjuk át, akkor a jobb oldal csak az első hatványig tartalmazza az y-t.

Ha f(x) = 0, akkor az egyenlet

yґ+ P(x) y = 0 (22)

lineárisnak nevezzük homogén egyenlet. Nyilvánvaló, hogy a homogén lineáris egyenlet elválasztható változókkal rendelkező egyenlet:

y" +P(x)y = 0; ,

Ha f(x) ? 0, majd az egyenlet

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

lineáris inhomogén egyenletnek nevezzük.

Általában a (21) egyenletben szereplő változók nem választhatók szét.

A (21) egyenletet a következőképpen oldjuk meg: megoldást keresünk két U(x) és V(x) függvény szorzata formájában:

Keressük a származékot:

y" = UV"V + UV" (25)

és cserélje be ezeket a kifejezéseket az (1) egyenletbe:

UV"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Csoportosítsuk a kifejezéseket a bal oldalon:

UV"V + U = f(x). (26)

Tegyünk egy feltételt a (24) faktorok egyikére, nevezetesen tételezzük fel, hogy a V(x) függvény olyan, hogy a (26) szögletes zárójelben lévő kifejezést azonosan nullára fordítja, azaz. hogy ez a differenciálegyenlet megoldása

V" + P(x)V = 0. (27)

Ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet, ebből V(x)-t találunk:

Most keressünk egy U(x) függvényt, amelyre a már megtalált V(x) függvénynél az U V szorzat a (26) egyenlet megoldása. Ehhez szükséges, hogy U(x) legyen az egyenlet megoldása

Ez egy elválasztható egyenlet, tehát

A talált (28) és (30) függvényeket behelyettesítve a (4) képletbe, általános megoldást kapunk a (21) egyenletre:

Így a vizsgált módszer (Bernoulli-módszer) csökkenti a megoldást lineáris egyenlet(21) két elválasztható változójú egyenlet megoldásához.

6. példa Határozza meg az egyenlet általános integrálját!

Ez az egyenlet nem lineáris y és y" vonatkozásában, de lineárisnak bizonyul, ha x-et a kívánt függvénynek, y-t pedig argumentumnak tekintjük.

A kapott egyenlet megoldásához a helyettesítési módszert (Bernoulli) alkalmazzuk. Az egyenlet megoldását x(y)=U(y)V(y) formában keressük, ekkor. Kapjuk az egyenletet:

Válasszuk ki a V(y) függvényt úgy. Akkor

Az egyetemisták gyakran keresnek információkat "Hogyan lehet megoldást találni egy egyenletre a teljes differenciálokban?" Ebből a leckéből teljes útmutatást és kész megoldásokat kap. Először egy rövid bemutatkozás - Mi az egyenlet a teljes differenciálokban? Hogyan lehet megoldást találni egy teljes differenciálegyenletre?
További vizsgálat kész példák, ami után nem maradhat kérdésed ebben a témában.

Egyenlet a teljes differenciálokban

Definíció 1. Az M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 alakú egyenletet ún. egyenlet a teljes differenciálokban, ha az egyenlőségjel előtti függőség két u(x,y) változó valamely függvényének teljes differenciája, akkor van egy igazságos képlet
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (1)
Így az eredeti tartalmi egyenlet azt jelenti, hogy a függvény teljes differenciája egyenlő nullával
du(x,y)=0 .
A kapott differenciálmű integrálása általános integrál távirányító formában
u(x,y)=C. (2)
A számításokban általában az állandó értéke nulla.
Számítások előtt mindig felmerül a kérdés "Hogyan ellenőrizhető, hogy egy adott differenciálegyenlet teljes differenciálegyenlet-e?"
Erre a kérdésre a következő feltétel válaszol.

A teljes differenciálhoz szükséges és elégséges feltétel

A teljes különbség szükséges és elégséges feltétele parciális deriváltak egyenlősége
(3)
A differenciálegyenletek megoldása során mindenekelőtt azt vizsgáljuk, hogy az egyenlet összdifferenciálban van-e, vagy lehetséges-e másik.
Tartalmilag ez a feltétel azt jelenti, hogy a függvény vegyes deriváltjai egyenlők egymással.
A képletekben a függőségek figyelembevételével
(4)
szükséges és elégséges feltétele a teljes különbség fennállásának formába írhatjuk

A megadott kritériumot akkor használjuk, amikor egy egyenlet teljes differenciálnak való megfelelését ellenőrizzük, bár a téma tanulmányozásakor a tanárok nem fognak más típusú egyenleteket kérni.

Algoritmus egyenletek megoldására összdifferenciálokban

A függvény összdifferenciáljának parciális deriváltjainak (4) jelöléséből következik, hogy integrálással megtalálhatjuk u(x,y)

Ezek a képletek választási lehetőséget biztosítanak a számításokban, ezért az integráláshoz azt a parciális deriváltot válasszuk, amelynek integrálja a gyakorlatban könnyebben megtalálható.
További második fontos pont - határozatlan integrál antiderivátumot képvisel azaz "+ C", amelyet meg kell határozni.
Ezért ha az M(x,y) parciális deriváltot integráljuk „x”-hez, akkor a derivált y-tól függ és fordítva - ha N(x,y)-t integráljuk y-hoz, akkor a derivált függ "x".
Ezután az állandó meghatározásához vegyük u(x,y) deriváltját egy másik változóra, mint amelyikkel az integrációt elvégeztük, és egyenlővé tesszük a második parciális deriválttal.
Képletekben ez így fog kinézni

Általános szabály, hogy néhány kifejezést leegyszerűsítünk, és egy egyenletet kapunk egy állandó deriváltjára. Az első egyenletre kapjuk

Végül az általános integrálnak a konstans meghatározása után van alakja

Szimmetrikus formában megkapjuk a választ a másik egyenletre.
A felvétel csak bonyolultnak tűnik, de a valóságban minden sokkal egyszerűbbnek és világosabbnak tűnik. Elemezze a következő teljes differenciálproblémákat!

Kész válaszok egyenletekre teljes differenciálokban

1. példa

Megoldás: Az egyenlet bal oldala az teljes differenciálmű valamilyen funkciót, mivel a feltétel teljesül

Innen írjuk fel két változó függvényének parciális deriváltját"x"-ből

és az integrációval megtaláljuk a formáját

Az állandó további meghatározásához keresse meg a függvény parciális deriváltját"y", és tegye egyenlővé az egyenletben szereplő értékkel

A jobb és a bal oldalon töröljük a hasonló kifejezéseket, majd integrálással találjuk meg az állandót

Most már minden mennyiséget fel kell jegyeznünk a differenciálegyenlet általános megoldása mint

Hogyan lehetsz biztos benne séma egyenletek megoldására teljes differenciálokban Nem bonyolult, és bárki megtanulhatja. A különbségek tényezői azért fontosak, mert ezeket integrálni és differenciálni kell a megoldás megtalálásához.

2. példa (6.18) Keresse meg egy differenciálegyenlet integrálját!

Megoldás: Az elmélet szerint az egyenlet bal oldala legyen két u(x,y) változó valamely függvényének teljes differenciája, és ellenőrizzük, hogy a feltétel teljesül-e.

Innen vesszük a parciális deriváltot és az integrálon keresztül keressük meg a függvényt

Kiszámítjuk két változó függvényének parciális deriváltját y és egyenlővé tesszük a differenciálegyenlet jobb oldalával.

A származékot a függés fejezi ki

Az állandót figyelembe véve formába kaptuk

Ezzel befejeződik a példa számításai.

3. példa (6.20)Differenciálegyenlet megoldása

Megoldás: Az egyenlet bal oldala két u(x; y) változó valamely függvényének teljes differenciája lesz, ha a feltétel teljesül.

Innentől kezdjük az egyenletek megoldását, vagy inkább az egyik parciális derivált integrálását

Ezután megkeressük az eredményül kapott függvény deriváltját az y változóhoz képest, és egyenlővé tesszük a differenciálfüggés jobb oldalával

Ez lehetővé teszi, hogy megtalálja az állandót y függvényében. Ha elkezdjük feltárni a differenciálfüggést a jobb oldalon, azt találjuk, hogy az állandó függ x-től. számára nem fog változni adott egyenletúgy néz ki, mint a

Ezzel be is fejeződik a példa. Differenciálegyenlet általános megoldása felírhatjuk a képletet

A téma megszilárdítása érdekében kérjük, hogy önállóan ellenőrizze, hogy ezek az egyenletek teljes differenciálegyenletek, és oldja meg őket:
Itt talál gyökérfüggvényeket, trigonometrikus függvényeket, kitevőket, logaritmusokat, egyszóval mindent, ami elvárható a modulokban és vizsgákon.
Ezek után sokkal könnyebb lesz az ilyen típusú egyenlet megoldása.
A következő cikkben megismerkedhet az alakegyenletekkel
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
amelyek teljesen hasonlóak az egyenlethez a teljes differenciálokban, de nem teljesítik a parciális deriváltak egyenlőségének feltételét. Kiszámításuk egy integráló tényező keresésével történik, és ennek megszorzásával az adott egyenletből egyenlet lesz az összdifferenciálokban.

Normál formában: $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, amelyben a bal oldal valamilyen $F függvény teljes differenciája \left(x,y\right)$ teljes differenciálegyenletnek nevezzük.

Az összes differenciálegyenlet mindig átírható $dF\left(x,y\right)=0$-ra, ahol a $F\left(x,y\right)$ egy olyan függvény, hogy $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integráljuk a $dF\left(x,y\right)=0$ egyenlet mindkét oldalát: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; a nulla jobb oldal integrálja egyenlő egy tetszőleges $C$ állandóval. Így ennek az egyenletnek az általános megoldása implicit formában: $F\left(x,y\right)=C$.

Ahhoz, hogy egy adott differenciálegyenlet egyenlet legyen a teljes differenciálokban, szükséges és elegendő, hogy a $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ feltétel légy elégedett. Ha a megadott feltétel teljesül, akkor van egy $F\left(x,y\right)$ függvény, amelyre ezt írhatjuk: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, amelyből két relációt kapunk : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ és $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right )$.

Integráljuk a $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ első relációt $x$ fölé, és megkapjuk a $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, ahol a $U\left(y\right)$ a $y$ tetszőleges függvénye.

Válasszuk úgy, hogy a $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ második reláció teljesüljön. Ehhez megkülönböztetjük az eredményül kapott relációt a $F\left(x,y\right)$ függvényhez képest $y$-hoz, és az eredményt egyenlővé tesszük a $Q\left(x,y\right)$-val. A következőt kapjuk: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\jobbra)$.

A további megoldás a következő:

• az utolsó egyenlőségből $U"\left(y\right)$;
• integrálja $U"\left(y\right)$ és keresse meg a $U\left(y\right)$;
• cserélje be a $U\left(y\right)$ karakterláncot a $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) egyenlőségbe $ és végül megkapjuk a $F\left(x,y\right)$ függvényt.

\

Megtaláljuk a különbséget:

Integráljuk a $U"\left(y\right)$ értéket $y$ fölé, és megtaláljuk a $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ értéket.

Keresse meg az eredményt: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Az általános megoldást $F\left(x,y\right)=C$ formában írjuk le, nevezetesen:

Keressen egy adott megoldást $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, ahol $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

A részmegoldás alakja: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.