Gyakorlati munka „Harmadrendű lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerrel. Cramer módszere lineáris egyenletrendszerek megoldására V.S.

A 3.3. szakasz bemutatta azokat a korlátokat, amelyek a változó frekvenciájú jelek másodrendű rendszerrel történő követésekor merülnek fel. Tekintsük most meg annak lehetőségét, hogy e korlátozások egy részét enyhítsük egy második integrátor rendszerbe való bevezetésével. Kiderült, hogy a rögzítési folyamat a rendszer számára harmadik rend kevésbé stabil, mint egy másodrendű rendszernél, de a második integrátor segítségével bővíthető a kezdeti pillanatban már rögzített rendszer követési tartománya. Átviteli funkció a szűrő most így néz ki

és a (3.1) pontból a következő:

A helyettesítés után ez a kifejezés a formára redukálódik

Normalizálva és bevezetve a jelöléseket kapjuk

A hagyományos fázissík módszer nem alkalmazható differenciálegyenletek harmadik sorrend, mivel ebben az esetben három kezdeti feltétel van, amelyek három változónak felelnek meg: fázis, frekvencia és frekvenciaváltozás sebessége (mechanikus rendszerekben - elmozdulás, sebesség és gyorsulás). Elvileg egy harmadrendű egyenlettel meghatározott trajektóriák ábrázolhatók háromdimenziós térben. Bármilyen kísérlet arra, hogy ezeket a pályákat J hal kezdeti feltételhez a síkra vetítsék, olyan zavaros diagramhoz vezetne, hogy lehetetlen lenne általános következtetéseket levonni belőle.

Másrészt, ha a kezdeti feltételek egy halmazára korlátozzuk magunkat, megkaphatjuk a pálya vetületét a síkra. Különösen fontos a következő kezdeti feltételrendszer: Más szavakkal, a rendszer kezdetben le van zárva, így a frekvencia- és fázishibák nullák, amikor a referenciafrekvencia lineárisan megváltozik.

Könnyen megváltoztatható az analóg számítástechnikai eszköz szerkezete, hogy hozzáférjen egy második integrátor bevezetéséhez.

Rizs. 3.19. Trajektóriák vetületei a fázistérben harmadrendű hurok esetén

(lásd szkennelés)

ábrán. A 3.19. ábra a síkra vetített pályák sorozatát mutatja. Minden figyelembe vett esetben tehát . Egy hipotetikus háromdimenziós "fázistérben" a pályák egy pontban kezdődnek és egy tengelyen érnek véget.

ábrán. 3.19, a a másodrendű rendszer viselkedését mutatja azonos kezdeti feltételek mellett. A végső, vagy állandósult állapotú fázisérték megegyezik a 3.3. §-ban láthatóval. Egy második integrátor bevezetése a steady-state fázishiba nullára csökkenéséhez vezet, minél gyorsabban, annál nagyobb A legnagyobb fázishiba növekedésével az is csökken, azonban a rendszer csillapításának csökkenése miatt. ami a négyzetes négyzetes fázishiba növekedéséhez vezet (lásd 3.19. ábra, b - 3.19, g). Végül, amikor a rendszer instabillá válik.

A rendszer sorrendjének növelésével elért javulást az ábra szemlélteti. 3.20. Itt is, mint régen, de... A 3.3 §-ban kimutatták, hogy a lineáris frekvenciaváltás ekkora vagy nagyobb sebessége mellett a rendszer nem tud nyomkövetést végrehajtani. Rizs. 3,20, de megerősíti ezt a körülményt. Másrészt a második integrátor legkisebb befolyása mellett is nulla állandósult fázishiba érhető el. A fáziseltérés legnagyobb pillanatnyi értéke az együttható növekedésével csökken, de az együttható növekedésével a rendszer ismét instabillá válik.

ábrán hasonló jellemzők láthatók. 3,21-3,23, kivéve azt a tényt, hogy az arány növekedésével az együttható egyre növekvő értékei szükségesek a rendszer rögzítési állapotának fenntartásához kb 1/2. Ám az ábrából. 3,19, g - 3,23, h egyértelmű, hogy ennél az értéknél a rendszer instabil. ábra mutatja be azoknak az együtthatóértékeknek a tartományát, amelyeknél a rendszer rögzítési állapotban marad, az aránytól függően. 3,24-3,26 értékekkel rendre. Az együttható megengedett értékeinek tartománya árnyékolt Látható, hogy a frekvencia lineáris változásával egy harmadrendű rendszer bevezetése lehetővé tette a követési tartomány körülbelüli kiterjesztését.

Rizs. 3.20. Trajektóriák vetületei a fázistérben harmadrendű hurok esetén

(lásd szkennelés)

Rizs. 3.21. Trajektóriák vetületei a fázistérben harmadrendű hurok esetén

(lásd szkennelés)

Rizs. 3.22. Trajektóriák vetületei a fázistérben harmadrendű hurok esetén

(lásd szkennelés)

Rizs. 3.23. Trajektóriák vetületei a fázistérben harmadrendű hurok esetén

(lásd szkennelés)

Rizs. 3.24. Harmadik rendű rendszerrögzítési állapot régió

Rizs. 3.25. Harmadik rendű rendszerrögzítési állapot régió

Rizs. 3.26. Harmadik rendű rendszerrögzítési állapot régió

kétszer annyi, mint egy másodrendű rendszernél, alacsonyabb értékeknél pedig még nagyobb

Elméletileg meg lehet magyarázni a b együttható változásának oszcilláló jellegét, ha értéke körülbelül 1/2 vagy több. A (3.41) differenciáló egyenletet megkapjuk

Gabriel Kramer – matematikus, az azonos nevű rendszerek megoldási módszerének megalkotója lineáris egyenletek

Gabriel Cramer egy híres matematikus, aki 1704. július 31-én született. Gabriel már gyerekkorában is lenyűgözött intellektuális képességeivel, különösen a matematika területén. Amikor Kramer 20 éves volt, főállású tanárként vállalt munkát a Genfi Egyetemen.

Míg Európát járta, Gabriel találkozott Johann Bernoulli matematikussal, aki a mentora lett. Csak Johannnak köszönhető, hogy Kramer sok cikket írt a geometriáról, a matematika és a filozófia történetéről. A munkától szabadidőmben pedig egyre többet tanultam matematikát.

Végül eljött a nap, amikor Cramer megtalálta a módját, amellyel nem csak könnyű, hanem összetett lineáris egyenletrendszereket is könnyedén megoldhat.

1740-ben Cramer számos munkát publikált, amelyekben világosan bemutatták a négyzetmátrixok megoldását, és leírták az inverz mátrix megtalálásának algoritmusát. Ezután a matematikus különböző bonyolultságú lineáris egyenletek megtalálását írta le, ahol a képletei alkalmazhatók. Ezért hívták a témát: „Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével”.

A tudós 48 évesen (1752-ben) halt meg. Sokkal több terve volt, de sajnos nem sikerült megvalósítania.

Adjunk meg egy ilyen alakú lineáris egyenletrendszert:

ahol , , ismeretlen változók, numerikus együtthatók és szabad tagok.

Az SLAE-ek (lineáris algebrai egyenletrendszerek) megoldásai azok az ismeretlen értékek, amelyeknél egy adott rendszer összes egyenlete azonossággá alakul.

Ha a rendszert mátrix formában írjuk fel, akkor azt kapjuk, hogy hol

Ebben fő mátrix olyan elemeket találunk, amelyek együtthatói ismeretlen változókra,

Ez egy szabad kifejezések oszlopmátrixa, de van egy ismeretlen változókból álló oszlopmátrix is:

Az ismeretlen változók megtalálása után a mátrix lesz a megoldás az egyenletrendszerre, és az egyenlőségünk azonossággá alakul. . Ha szorozod, akkor . Kiderül: .

Ha a mátrix nem szinguláris, azaz a determinánsa nem egyenlő nullával, akkor az SLAE-nek csak egy egyedi megoldása van, amelyet a Cramer módszerrel találunk meg.

A lineáris egyenletrendszerek Cramer-módszerrel történő megoldásához általában két tulajdonságra kell figyelni, amelyeken ez a módszer alapul:

1. A négyzetmátrix determinánsa megegyezik bármelyik sor (oszlop) elemeinek és algebrai komplementereinek szorzatával:

Itt – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n.

2. Bármely sor vagy oszlop adott mátrixának elemeinek szorzata a második sor (oszlop) egyes elemeinek algebrai komplementereivel egyenlő nullával:

ahol – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n. .

Így most megtalálhatjuk az első ismeretlent. Ehhez meg kell szorozni a rendszer első egyenletének mindkét oldalát, a második egyenlet részeit ezzel, a harmadik egyenlet mindkét oldalát meg kell szorozni ezzel, stb. a mátrix első oszlopának algebrai komplementerei:

Most adjuk össze az egyenlet összes bal oldalát, csoportosítsuk a tagokat, figyelembe véve az ismeretlen változókat, és tegyük egyenlővé ugyanazt az összeget az egyenletrendszer jobb oldalainak összegével:

Rátérhetünk a determinánsok fentebb leírt tulajdonságaira, és akkor kapjuk:

Az előző egyenlőség pedig már így néz ki:

Innen származik.

Hasonlót találunk. Ehhez meg kell szorozni az egyenletek mindkét oldalát algebrai összeadásokkal, amelyek a mátrix második oszlopában találhatók.

Most hozzá kell adnia a rendszer összes egyenletét, és csoportosítania kell az ismeretlen változók feltételeit. Ehhez idézze fel a determináns tulajdonságait:

Honnan származik?

Az összes többi ismeretlen változó hasonlóan található.

Ha kijelöljük:

akkor képleteket kapunk, amelyeknek köszönhetően Cramer módszerével ismeretlen változókat találunk:

Megjegyzés.

Triviális megoldás csak akkor létezhet, ha az egyenletrendszer homogén. Valóban, ha minden szabad tag nulla, akkor a determinánsok nullák, mivel nulla elemű oszlopot tartalmaznak. Természetesen akkor a , , képletek megadják

Cramer-módszer – tételek

Az egyenlet megoldása előtt tudnia kell:

1. törlési tétel;
2. behelyettesítési tétel.

Behelyettesítési tétel

Tétel

Bármely oszlop (sor) algebrai összeadásainak tetszőleges számokkal való szorzatának összege egyenlő egy új determinánssal, amelyben ezek a számok helyettesítik az eredeti determináns megfelelő elemeit, amelyek ezeknek az algebrai összeadásoknak felelnek meg.

Például,

hol vannak az eredeti determináns első oszlopának elemeinek algebrai komplementerei:

Törlési tétel

Tétel

Az egyik sor (oszlop) elemeinek szorzata egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeinek algebrai komplementereivel egyenlő nullával.

Például:

Algoritmus egyenletek megoldásához Cramer módszerével

A Cramer-módszer egy egyszerű módszer a lineáris rendszerek megoldására algebrai egyenletek. Ez az opció kizárólag azokra az SLAE-kre vonatkozik, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a determináns nem nulla.

Tehát, ha az összes szakaszt megtanulta, továbbléphet az egyenletek Cramer módszerével történő megoldásának algoritmusára. Írjuk fel egymás után:

1. lépés Számítsa ki a mátrix fő determinánsát!

és meg kell győződnie arról, hogy a determináns nem nulla (nem egyenlő nullával).

2. lépés: Keresse meg a determinánsokat

Ezek a mátrixok determinánsai, amelyeket a mátrixból úgy kaptunk, hogy az oszlopokat szabad tagokkal helyettesítettük.

3. lépés: Számítsa ki az ismeretlen változókat

Most emlékezzünk a Cramer-képletekre, amelyeket a gyökerek (ismeretlen változók) kiszámításához használunk:

4. lépés Ellenőrizze

A megoldást az eredeti SLAE-be való helyettesítéssel ellenőrizzük. Abszolút minden egyenletet a rendszerben azonossággá kell alakítani. Kiszámolhatja a mátrixok szorzatát is. Ha a kapott mátrix egyenlő -vel, akkor a rendszer helyesen van megoldva. Ha nem egyenlő, akkor valószínűleg hiba van az egyik egyenletben.

Először nézzünk meg egy két lineáris egyenletrendszert, mivel az egyszerűbb, és segít megérteni, hogyan kell helyesen használni a Cramer-szabályt. Ha érti az egyszerű és rövid egyenleteket, akkor meg tud oldani bonyolultabb három egyenletrendszert három ismeretlennel.

Többek között léteznek olyan kétváltozós egyenletrendszerek, amelyek kizárólag a Cramer-szabálynak köszönhetően oldhatók meg.

Tehát kapunk egy két lineáris egyenletrendszert:

Először kiszámítjuk a fő meghatározót (a rendszer meghatározóját):

Ez azt jelenti, hogy ha , akkor a rendszernek vagy sok megoldása van, vagy nincs megoldása. Ebben az esetben nincs értelme a Cramer-szabályt használni, mivel nem lesz megoldás, és emlékezni kell a Gauss-módszerre, amelynek segítségével ez a példa gyorsan és egyszerűen megoldható.

Ha , akkor a rendszernek csak egy megoldása van, de ehhez még két determinánst kell kiszámítani, és meg kell találni a rendszer gyökereit.

A gyakorlatban a minősítőket gyakran nemcsak , hanem ki is lehet jelölni latin betű, ami szintén helyes lesz.

Könnyű megtalálni az egyenlet gyökereit, mivel a lényeg az, hogy ismerjük a képleteket:

Mivel két lineáris egyenletből álló rendszert tudtunk megoldani, most már probléma nélkül megoldható háromból álló rendszer lineáris egyenleteket, és ehhez a rendszert tekintjük:

Itt az elemek algebrai komplementere az első oszlop. Megoldáskor ne feledkezzünk meg a további elemekről sem. Tehát egy lineáris egyenletrendszerben három ismeretlent kell találnia - más ismert elemek mellett.

Hozzuk létre a rendszer determinánsát az ismeretlenek együtthatóiból:

Szorozzuk meg az egyes egyenlettagokat tagonként az , , – az első oszlop elemeinek algebrai komplementereivel (együtthatói), és adjuk össze mindhárom egyenletet. Kapunk:

A kiterjesztési tétel szerint az at együttható egyenlő . A és együtthatói nullával egyenlőek lesznek a törlési tétel alapján. Jobb oldalt a helyettesítési tétel általi egyenlőség új determinánst ad, amelyet segédnek nevezünk és jelölünk

Ezek után felírhatjuk az egyenlőséget:

Az eredeti rendszer egyenleteinek megkereséséhez és az első esetben szorozzuk meg -val, a másodikban - -val és összeadjuk. Ezt követően a következőket kapjuk:

Ha , akkor ennek eredményeként megkapjuk a Cramer-képleteket:

A homogén egyenletrendszer megoldásának eljárása

Különleges eset a homogén rendszerek:

Egy homogén rendszer megoldásai között lehetnek nulla és nullától eltérő megoldások is.

Tétel

Ha egy homogén rendszer (3) determinánsa nem nulla, akkor egy ilyen rendszernek csak egy megoldása lehet.

Valójában a segéddeterminánsok, például azok, amelyek nulla oszlopot tartalmaznak, és ezért a Cramer-képletek mögött

Tétel

Ha egy homogén rendszernek van nullától eltérő megoldása, akkor a determinánsa nulla

Valóban, legyen például az egyik ismeretlen nullától eltérő. A homogenitás szerint a (2) egyenlőség: . Honnan származik ez

Példák megoldásokra Cramer-módszerrel

Nézzük meg a megoldást Cramer módszerével példaként, és látni fogja, hogy nincs semmi bonyolult, de legyen nagyon óvatos, mivel a jelek gyakori hibái helytelen válaszhoz vezetnek.

1. példa

Feladat

Megoldás

Az első dolog a mátrix determinánsának kiszámítása:

Amint látjuk tehát, Cramer tétele szerint a rendszernek egyedi megoldása van (a rendszer konzisztens). Ezután ki kell számítania a segéddeterminánsokat. Ehhez cserélje ki a determináns első oszlopát egy szabad együtthatók oszlopára. Kiderül:

Hasonlóképpen megtaláljuk a fennmaradó determinánsokat is:

És ellenőrizzük:

Válasz

2. példa

Feladat

Oldja meg az egyenletrendszert Cramer módszerével:

Megoldás

Megtaláljuk a meghatározókat:

Válasz

= = = = = =

Vizsgálat

Az egyenletnek egyedi megoldása van.

Válasz

3. példa

Feladat

Oldja meg a rendszert Cramer módszerével

Megoldás

Amint érti, először megtaláljuk a fő meghatározót:

Amint látjuk, a fődetermináns nem egyenlő nullával, ezért a rendszernek egyedi megoldása van. Most kiszámolhatjuk a fennmaradó determinánsokat:

A Cramer-képletek segítségével megtaláljuk az egyenlet gyökereit:

A megoldás helyességének ellenőrzéséhez ellenőriznie kell:

Amint látjuk, a megoldott gyököket behelyettesítve az egyenletbe ugyanazt a választ kaptuk, mint a feladat elején, ami az egyenletek helyes megoldását jelzi.

Válasz

Az egyenletrendszernek van egy egyedi megoldása: , , .

Vannak olyan példák, amikor az egyenletnek nincs megoldása. Ez akkor fordulhat elő, ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, és az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával. Ilyenkor azt mondják, hogy a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása. Nézzük meg a következő példában, hogyan történhet ez meg.

4. példa

Feladat

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer módszerrel:

Megoldás

Az előző példákhoz hasonlóan itt is megtaláljuk a rendszer fő meghatározóját:

Ebben a rendszerben a determináns egyenlő nullával, a rendszer inkonzisztens és határozott vagy inkonzisztens, és nincs megoldása. A tisztázás érdekében meg kell találnunk az ismeretlenek meghatározóit, ahogy korábban is tettük:

Megtaláltuk az ismeretlenek meghatározóit, és láttuk, hogy nem mindegyik egyenlő nullával. Ezért a rendszer inkonzisztens, és nincs megoldása.

Válasz

A rendszernek nincsenek megoldásai.

A lineáris egyenletrendszerekkel kapcsolatos feladatokban gyakran előfordulnak olyan egyenletek, amelyekben nincsenek azonos betűk, vagyis a változókat jelölő betűk mellett vannak más betűk is, amelyek valamilyen valós számot jelölnek. A gyakorlatban az ilyen egyenletekhez és egyenletrendszerekhez bármely jelenség vagy objektum általános tulajdonságainak keresésének problémái vezetnek. Vagyis feltaláltál valamit új anyag vagy egy eszközt, és annak leírásához, amelyek egy példány méretétől vagy számától függetlenül gyakoriak, egy lineáris egyenletrendszert kell megoldani, ahol a változók együtthatói helyett betűk vannak. Nézzük ezt a példát.

A Cramer-képleteket használva a következőket kapjuk:

Válasz

És végül továbblépünk a legbonyolultabb, négy ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerre. A megoldás elve ugyanaz, mint az előző példákban, de a nagy rendszer miatt zavaró lehet. Ezért nézzük meg ezt az egyenletet egy példa segítségével.

Az eredeti determinánsban a második sor elemeiből kivontuk a negyedik sor elemeit, a harmadik sor elemeiből kivontuk a negyedik sor elemeit, amelyeket megszoroztunk 2-vel. Az elemekből is kivontuk a negyedik sorból az első sor elemei, szorozva kettővel. A kezdeti determinánsok transzformációja az első három ismeretlen esetében ugyanazon séma szerint történt. Most megtalálhatja az ismeretlenek meghatározóit:

A negyedik ismeretlen determinánsának átalakításához a negyedik sor elemeit kivontuk az első sor elemeiből.

Most a Cramer-képleteket használva meg kell találnia:

Válasz

Tehát megtaláltuk a lineáris egyenletrendszer gyökereit:

Foglaljuk össze

A Cramer-módszerrel lineáris algebrai egyenletrendszereket lehet megoldani, ha a determináns nem egyenlő nullával. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy a Cramer-képleteknek köszönhetően ugyanolyan sorrendű mátrixok determinánsait találja meg, amikor ismeretlen változókat kell keresnie. Ha minden szabad tag nulla, akkor a determinánsaik nullák, mivel nulla elemű oszlopot tartalmaznak. És persze, ha a determinánsok egyenlőek nullával, akkor jobb a rendszert a Gauss-módszerrel megoldani Cramer módszerrel az Excelben 2007-től (XLSX)

Cramer-módszer - tétel, megoldási példák frissítve: 2019. november 22-én: Tudományos cikkek.Ru

Mátrixok. Műveletek mátrixokon. Mátrixokon végzett műveletek tulajdonságai. A mátrixok típusai.

Mátrixok (és ennek megfelelően a matematikai szakasz - mátrixalgebra) Az alkalmazott matematikában fontosak, mivel lehetővé teszik, hogy egy jelentős részt meglehetősen egyszerű formában lehessen írni matematikai modellek objektumok és folyamatok. A "mátrix" kifejezés 1850-ben jelent meg. A mátrixokat először ben említették ősi Kína, később arab matematikusok.

Mátrix A=A mn Az m*n rendet hívják téglalap alakú számtáblázat, amely m - sort és n - oszlopot tartalmaz.

Mátrix elemek aij, amelyre i=j-t átlónak és alaknak nevezzük főátló.

Négyzetes mátrix esetén (m=n) a főátlót az a 11, a 22,..., a nn elemek alkotják.

Mátrix egyenlőség.

A=B, ha a mátrix rendel AÉs B azonosak és a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Műveletek mátrixokon.

1. Mátrix összeadás - elemenkénti művelet

Mátrix kivonás - elemenkénti művelet

3. Egy mátrix és egy szám szorzata elemenkénti művelet

4. Szorzás A*B mátrixok a szabály szerint sorról oszlopra(az A mátrix oszlopainak számának meg kell egyeznie a B mátrix sorainak számával)

A mk *B kn =C mnés minden egyes elemet ij-vel mátrixok Cmn egyenlő az A mátrix i-edik sora elemeinek a B mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemei szorzataival.

Mutassuk meg a mátrixszorzás működését egy példán keresztül:

6. Az A mátrix transzponálása. A transzponált mátrixot A T vagy A" jelöli

Sorok és oszlopok felcserélve

Példa

Mátrixokon végzett műveletek tulajdonságai

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

A mátrixok típusai

1. Téglalap alakú: mÉs n- tetszőleges pozitív egész számok

2. Négyzet: m=n

3. Mátrix sor: m=1. Például (1 3 5 7) - sok gyakorlati problémában egy ilyen mátrixot vektornak neveznek

4. Mátrix oszlop: n=1. Például

5. Átlós mátrix: m=nÉs a ij =0, Ha i≠j. Például

6. Identitásmátrix: m=nÉs

7. Nulla mátrix: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Háromszögmátrix: a főátló alatti összes elem 0.

9. Négyzetes mátrix: m=nÉs a ij =a ji(azaz az egyenlő elemek a főátlóhoz képest szimmetrikus helyeken helyezkednek el), és ezért A"=A

Például,

Inverz mátrix- egy ilyen mátrix A−1, ha ezzel megszorozzuk az eredeti mátrixot A az identitásmátrixot eredményezi E:

Egy négyzetmátrix akkor és csak akkor invertálható, ha nem szinguláris, azaz a determinánsa nem egyenlő nullával. A nem négyzetes mátrixok és szinguláris mátrixok esetében nincsenek inverz mátrixok. Lehetőség van azonban ennek a koncepciónak az általánosítására és pszeudoinverz mátrixok bevezetésére, amelyek sok tulajdonságban hasonlítanak az inverzekhez.

Példák lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására mátrix módszer.

Nézzük meg a mátrix módszert példákon keresztül. Néhány példában nem írjuk le részletesen a mátrixok determinánsainak kiszámításának folyamatát.

Példa.

Használatával inverz mátrix megtalálni a megoldást a lineáris egyenletrendszerre

.

Megoldás.

Mátrix formában az eredeti rendszer a következőképpen lesz írva: hol . Számítsuk ki a főmátrix determinánsát, és győződjünk meg arról, hogy az különbözik a nullától. Ellenkező esetben nem tudjuk megoldani a rendszert mátrix módszerrel. megvan , ezért a mátrix számára A az inverz mátrix megtalálható. Így, ha megtaláljuk az inverz mátrixot, akkor az SLAE kívánt megoldását így definiáljuk. Tehát a feladat az inverz mátrix megalkotására redukálódott. Keressük meg őt.

Az inverz mátrix a következő képlettel kereshető meg:

, ahol az A mátrix determinánsa, a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

Az inverz mátrix fogalma csak négyzetmátrixokra létezik, mátrixok „kettő-kettő”, „három-három” stb.

Polárkoordináták. A polárkoordináta-rendszerben az M pont helyzete

M

TÉGYSZÖG KOORDINÁTÁK A TÉRBEN

EGYENES

1. Egy egyenes általános egyenlete. Tetszőleges elsőfokú egyenlet x és y vonatkozásában, azaz a következő alakú egyenlet:

(1) Ax+Bu+C=0 hívva. közösségek az egyenes egyenletével ( + ≠0), A, B, C - ÁLLANDÓ EGYÜTTHATÓK.

MÁSODSZERŰ GÖRBÉK

1. Kör. A kör egy síkban lévő, egyenlő távolságra lévő pontok halmaza -

adott ponttól (középponttól) egyenlő távolságra. Ha r a kör sugara, és a C (a; b) pont a középpontja, akkor a kör egyenlete a következő:

Hiperbola. A hiperbola egy síkon lévő pontok halmaza, az abszolútum

két adott pont távolságkülönbségének nagysága, az úgynevezett fo-

darab, van egy állandó érték (ezt 2a jelöli), és ez az állandó kisebb, mint a gócok közötti távolság. Ha a hiperbola fókuszait az F1 (c; 0) és F2 (- c; 0) pontokba helyezzük, megkapjuk a hiperbola kanonikus egyenletét.

ELEMZŐ GEOMETRIA TÉRBEN

LAPOS ÉS EGYENES

sík, az úgynevezett normálvektor.

Másodrendű felület

Másodrendű felület- háromdimenziós térben olyan pontok geometriai helye, amelyek téglalap alakú koordinátái kielégítik a forma egyenletét

amelyben a , , , , együtthatók legalább egyike nullától eltérő.

Másodrendű felületek típusai

Hengeres felületek

A felületet ún hengeres felület generatrixszal, ha e felület bármely pontjára a generatrixszal párhuzamos ezen a ponton átmenő egyenes teljes egészében a felülethez tartozik.

Tétel (a hengerfelület egyenletéről).
Ha valamilyen derékszögű derékszögű koordinátarendszerben a felületen az egyenlet szerepel, akkor ez egy hengeres felület, amelynek generatrixa párhuzamos a tengellyel.

A síkban egyenlettel meghatározott görbét nevezzük útmutató hengeres felület.

Ha egy hengeres felület vezetését egy másodrendű görbe adja, akkor egy ilyen felületet ún. másodrendű hengeres felület .

Elliptikus henger:	Parabola henger:	Hiperbolikus henger:
Egy pár egyező sor:	Egybeeső síkpár:	Metsző sík pár:

Kúpos felületek

Kúpfelület.

Fő cikk:Kúpfelület

A felületet ún kúpos felület csúcsponttal, ha ennek a felületnek bármely pontjára az átmenő egyenes és teljes egészében ehhez a felülethez tartozik.

A függvényt hívják homogén rend , ha az alábbiak igazak:

Tétel (a kúpos felület egyenletéről).
Ha valamilyen derékszögű derékszögű koordinátarendszerben a felületet az egyenlet adja meg , ahol egy homogén függvény, akkor egy kúpos felület, amelynek origója csúcsa.

Ha egy felületet egy olyan függvény határoz meg, amely másodrendű homogén algebrai polinom, akkor az ún. másodrendű kúpos felület .

· Kanonikus egyenlet egy másodrendű kúp alakja:

A forradalom felületei]

A felületet ún tengely körüli forgásfelület, ha bármilyen pontra ennek a felületnek egy olyan köre, amely egy síkban halad át ezen a ponton, középpontja és sugara , teljes egészében ehhez a felülethez tartozik.

Tétel (a forgásfelület egyenletéről).
Ha valamelyik derékszögű derékszögű koordinátarendszerben a felületet az egyenlet adja meg, akkor a tengely körüli forgásfelület.

Ellipszoid:	Egylapos hiperboloid:	Kétlapos hiperboloid:	Elliptikus paraboloid:

Ebben az esetben a fent felsorolt ​​felületek forgásfelületek.

Elliptikus paraboloid

Az elliptikus paraboloid egyenlete a

Ha , akkor az elliptikus paraboloid egy olyan parabola forgásával kialakuló forgásfelület, amelynek paramétere , egy adott parabola csúcsán és fókuszán áthaladó függőleges tengely körül.

Az elliptikus paraboloid és a sík metszéspontja egy ellipszis.

Az elliptikus paraboloid metszéspontja síkkal vagy parabola.

Hiperbolikus paraboloid]

Hiperbolikus paraboloid.

A hiperbolikus paraboloid egyenletének alakja van

A hiperbolikus paraboloid és a sík metszéspontja hiperbola.

A hiperbolikus paraboloid metszéspontja egy síkkal vagy egy parabola.

Geometriai hasonlósága miatt a hiperbolikus paraboloidot gyakran „nyeregnek” is nevezik.

Központi felületek

Ha egy másodrendű felület középpontja létezik és egyedi, akkor a koordinátáit az egyenletrendszer megoldásával találhatjuk meg:

Így a determináns megfelelő elemének minorához rendelt jelet a következő táblázat határozza meg:

A fenti, a harmadrendű determinánst kifejező egyenlőségben,

a jobb oldalon a determináns 1. sora elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összege található.

1. Tétel. A harmadrendű determináns egyenlő a szorzatok összegével

bármely sorának vagy oszlopának elemeit algebrai komplementereibe.

Ez a tétel lehetővé teszi a determináns értékének kiszámítását, a szerint feltárva azt

sorainak vagy oszlopainak elemei.

2. Tétel. Bármely sor (oszlop) elemeinek szorzatainak összege

egy másik sor (oszlop) elemeinek algebrai komplementereinek determinánsa egyenlő nullával.

A determinánsok tulajdonságai.

1°. A determináns nem változik, ha a determináns sorait az oszlop helyettesíti

tsami, és az oszlopok a megfelelő sorok.

2°. Bármely sor (vagy oszlop) elemeinek közös tényezője lehet

túl kell vinni a meghatározó jelen.

3°. Ha a determináns egy sorának (oszlopának) elemei, ill

egyenlőek egy másik sor (oszlop) elemeivel, akkor a determináns egyenlő nullával.

4°. Két sor (oszlop) átrendezésekor a determináns előjelre változik

szemben.

5°. A determináns nem változik, ha ugyanazon sor (oszlop) elemei

adjuk hozzá egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeit, szorozzuk meg ugyanazzal a számmal (a determináns párhuzamos sorozatainak lineáris kombinációjáról szóló tétel).

Három lineáris egyenletrendszer megoldása három ismeretlenben.

a Cramer-képletek segítségével található

Feltételezzük, hogy D ≠0 (ha D = 0, akkor az eredeti rendszer vagy bizonytalan vagy inkonzisztens).

Ha a rendszer homogén, azaz megvan a formája

és a determinánsa nem nulla, akkor egyedi megoldása van x = 0,

Ha egy homogén rendszer determinánsa nulla, akkor a rendszer redukálódik

vagy két független egyenletre (a harmadik a következményük), vagy arra

az egyik egyenlet (a másik kettő a következménye). Első eset

akkor fordul elő, ha egy homogén rendszer determinánsának minorjai között van

legalább az egyik különbözik a nullától, a második az, amikor ennek a determinánsnak minden minorja nulla. Mindkét esetben homogén rendszer számtalan megoldása van.

Számítsa ki a harmadrendű determinánst

AZ RCB VÉDELEM KATONAI EGYETEME KOSTROMA ÁG

Csapatirányítási Automatizálási Osztály

Csak tanároknak

"jóváhagyom"

9. számú osztályvezető

YAKOVLEV A.B. ezredes

"____"__________________ 2004

egyetemi docens A.I. SMIRNOVA

"MINŐSÍTŐK.

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA"

ELŐADÁS 2/1

9. számú osztályülésen tárgyalt

"________"___________ 2004

____________ számú jegyzőkönyv

Kostroma, 2004.

Bevezetés

1. Másod- és harmadrendű determinánsok.

2. Determinánsok tulajdonságai. Dekompozíciós tétel.

3. Cramer-tétel.

Következtetés

Irodalom

1. V.E. Schneider et al. Rövid tanfolyam Felsőmatematika, I. kötet, Ch. 2. cikk (1) bekezdése.

2. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, 10. fejezet, 2. bekezdés.

BEVEZETÉS

Az előadás a másod- és harmadrend meghatározóit, tulajdonságait tárgyalja. És Cramer tétele is, amely lehetővé teszi lineáris egyenletrendszerek megoldását determinánsok segítségével. A determinánsokat később a "Vektoralgebra" témakörben is használjuk a számítás során vektor termék vektorok.

1. tanulmányi kérdés A MÁSODIK ÉS A HARMADIK MEGHATÁROZÓI

RENDELÉS

Tekintsünk egy táblázatot az űrlap négy számából

A táblázatban szereplő számokat két indexű betű jelzi. Az első index a sorszámot, a második az oszlop számát jelöli.

MEGHATÁROZÁS 1.Másodrendű determináns hívottkifejezéstípus:

(1)

Számok A 11, …, A 22 a determináns elemeinek nevezzük.

Elemek által alkotott átló A 11 ; A A 22-t főnek, az elemek által alkotott átlónak nevezzük A 12 ; A 21 - egymás mellett.

Így a másodrendű determináns egyenlő a fő- és másodlagos átló elemeinek szorzatának különbségével.

Vegye figyelembe, hogy a válasz egy szám.

PÉLDÁK. Számítsa ki:

Most nézzünk meg egy kilenc számból álló táblázatot, három sorban és három oszlopban:

2. MEGHATÁROZÁS. Harmadik rendű determináns a forma kifejezésének nevezzük:

Elemek A 11; A 22 ; A 33 – alkotják a főátlót.

Számok A 13; A 22 ; A 31 – oldalátlót alkotnak.

Vizsgáljuk meg sematikusan a plusz és mínusz tagok képződését:

" + " " – "

A plusz a következőket tartalmazza: a főátlón lévő elemek szorzata, a maradék két tag a főátlóval párhuzamos alapokkal rendelkező háromszög csúcsaiban elhelyezkedő elemek szorzata.

A mínusz tagok a másodlagos átlóhoz képest ugyanazon séma szerint vannak kialakítva.

Ezt a harmadrendű determináns kiszámításának szabályát nevezzük

Szabály T reugolnikov.

PÉLDÁK. Számítsa ki a háromszög szabály segítségével:

MEGJEGYZÉS. A determinánsokat determinánsoknak is nevezik.

2. tanulmányi kérdés A MEGHATÁROZÓ SZEREK TULAJDONSÁGAI.

KITERJESZTÉSI TÉTEL

1. tulajdonság. A determináns értéke nem változik, ha sorait felcseréljük a megfelelő oszlopokkal.

.

Mindkét meghatározó tényezõ feltárásával meggyõzõdünk az egyenlõség érvényességérõl.

Az 1. tulajdonság megállapítja a determináns sorainak és oszlopainak egyenlőségét. Ezért a determináns minden további tulajdonságát sorokra és oszlopokra egyaránt megfogalmazzuk.

2. tulajdonság. Két sor (vagy oszlop) átrendezésekor a determináns az előjelét az ellenkezőjére változtatja, megtartva abszolút értékét.

.

3. tulajdonság. A sorelemek közös tényezője(vagy oszlop)meghatározó jelként kivehető.

.

4. tulajdonság. Ha a determinánsnak két egyforma sora (vagy oszlopa) van, akkor az egyenlő nullával.

Ez a tulajdonság közvetlen ellenőrzéssel igazolható, vagy használhatja a 2-es tulajdonságot.

Jelöljük a determinánst D-vel. Két azonos első és második sor átrendezésekor az nem változik, de a második tulajdonság szerint előjelet kell váltania, azaz.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

5. ingatlan. Ha egy karakterlánc minden eleme(vagy oszlop)egyenlőek nullával, akkor a determináns egyenlő nullával.

Ez a tulajdonság a 3. tulajdonság speciális esetének tekinthető, amikor

6. ingatlan. Ha két sor elemei(vagy oszlopok)a determinánsok arányosak, akkor a determináns egyenlő nullával.

.

Igazolható közvetlen ellenőrzéssel vagy a 3. és 4. tulajdonság felhasználásával.

7. ingatlan. A determináns értéke nem változik, ha egy másik sor (vagy oszlop) megfelelő elemeit hozzáadjuk egy sor (vagy oszlop) elemeihez, megszorozva ugyanazzal a számmal.

.

Közvetlen ellenőrzéssel igazolva.

Ezen tulajdonságok használata bizonyos esetekben megkönnyítheti a determinánsok kiszámításának folyamatát, különösen a harmadrendűek esetében.

A következőkhöz szükségünk lesz a moll és az algebrai komplement fogalmára. Tekintsük ezeket a fogalmakat a harmadik rend meghatározásához.

3. MEGHATÁROZÁS. Kisebb Egy harmadrendű determináns adott elemének másodrendű determinánsának nevezzük, amelyet egy adott elemből úgy kapunk, hogy áthúzzuk azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában az adott elem áll.

Elem minor Aénjáltal jelölve Ménj. Tehát az elemhez A 11 kiskorú

Ezt úgy kapjuk meg, hogy a harmadrendű determináns első sorát és első oszlopát áthúzzuk.

4. MEGHATÁROZÁS. A determináns elemének algebrai komplementere kisebbnek szorozva hívják(-1)k, Holk- azon sor- és oszlopszámok összege, amelyek metszéspontjában ez az elem áll.

Egy elem algebrai komplementere Aénjáltal jelölve Aénj.

Így, Aénj =

.

Írjuk fel az elemek algebrai összeadásait A 11 és A 12.

. .

Hasznos megjegyezni a szabályt: egy determináns elemének algebrai komplementere egyenlő az előjeles molljával plusz, ha a sor- és oszlopszámok összege, amelyben az elem megjelenik még,és jellel mínusz, ha ez az összeg páratlan.

PÉLDA. Keresse meg a determináns első sorának elemeire a mollokat és az algebrai kiegészítéseket:

Nyilvánvaló, hogy a mollok és az algebrai kiegészítések csak előjelben különbözhetnek egymástól.

Tekintsünk bizonyítás nélkül egy fontos tételt - determináns kiterjesztési tétel.

KITERJESZTÉSI TÉTEL

A determináns egyenlő bármely sor vagy oszlop elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összegével.

Ezt a tételt felhasználva az első sorba írjuk a harmadrendű determináns kiterjesztését.

.

Bővített formában:

.

Az utolsó képlet használható főként a harmadrendű determináns kiszámításakor.

A kiterjesztési tétel lehetővé teszi, hogy a harmadrendű determináns számítását három másodrendű determináns számítására redukáljuk.

A dekompozíciós tétel egy második módszert biztosít a harmadrendű determinánsok kiszámítására.

PÉLDÁK. Számítsa ki a determinánst a kiterjesztési tétel segítségével!