Hadd
(1)
az x változó differenciálható függvénye.

Először az x értékek halmazán fogjuk figyelembe venni, amelyre y pozitív értékeket vesz fel: .
,
A következőkben megmutatjuk, hogy az összes kapott eredmény alkalmazható a negatív értékekre is.
.
Bizonyos esetekben az (1) függvény deriváltjának megtalálásához célszerű előre logaritálni
(2) .

majd kiszámítja a derivált. Ekkor egy komplex függvény differenciálási szabálya szerint
.

Innen Egy függvény logaritmusának deriváltját logaritmikus deriváltnak nevezzük: Az y = függvény logaritmikus deriváltja f(x).

a függvény természetes logaritmusának deriváltja:

(ln f(x))′
.
Bizonyos esetekben az (1) függvény deriváltjának megtalálásához célszerű előre logaritálni
(3) .
Negatív y értékek esete Most nézzük meg azt az esetet, amikor egy változó pozitív és negatív értéket is felvehet. Ebben az esetben vegye a modulus logaritmusát, és keresse meg a deriváltját: Vagyis be

általános eset
.
, meg kell találni a függvény modulusának logaritmusának deriváltját.

A (2) és (3) összehasonlításból a következőket kapjuk: Vagyis a logaritmikus derivált számításának formális eredménye nem attól függ, hogy a modulót vettük-e vagy sem. Ezért a logaritmikus derivált számításakor nem kell attól tartanunk, hogy milyen előjelű a függvény. Ez a helyzet összetett számokkal tisztázható. Legyen x bizonyos értékei negatívak: .
.
Ha csak valós számokat veszünk figyelembe, akkor a függvény definiálatlan. Ha azonban figyelembe vesszük
.
komplex számok
.

, akkor a következőket kapjuk:

Vagyis a függvények és egy komplex állandóval különböznek: Mivel egy állandó deriváltja nulla, akkor :
.
A logaritmikus derivált tulajdonsága Egy ilyen megfontolásból az következik a logaritmikus derivált nem változik, ha a függvényt tetszőleges konstanssal megszorozod Sőt, használva a logaritmus tulajdonságai , képletek származékos összeg

.

És

egy állandó deriváltja , nálunk van:. Ebben az esetben a logaritmusművelet a függvények szorzatát az összegükké alakítja. Ez leegyszerűsíti a derivált kiszámítását.

1. példa

Keresse meg a függvény deriváltját:
.

Megoldás

Logaritjuk az eredeti függvényt:
.

Tegyünk különbséget az x változó tekintetében.
A származékok táblázatában a következőket találjuk:
.
Alkalmazzuk az összetett függvények differenciálásának szabályát.
;
;
;
;
(A1.1) .
Szorzás a következővel:

.

Tehát megtaláltuk a logaritmikus deriváltot:
.
Innen megtaláljuk az eredeti függvény deriváltját:
.

Jegyzet

Ha csak valós számokat akarunk használni, akkor vegyük az eredeti függvény modulusának logaritmusát:
.
Majd
;
.
És megkaptuk az (A1.1) képletet. Ezért az eredmény nem változott.

Válasz

2. példa

A logaritmikus derivált segítségével keresse meg a függvény deriváltját
.

Megoldás

Vegyünk logaritmusokat:
(A2.1) .
Differenciáljunk az x változóval:
;
;

;
;
;
.

Szorzás a következővel:
.
Innen kapjuk a logaritmikus deriváltot:
.

Az eredeti függvény származéka:
.

Jegyzet

Itt az eredeti függvény nem negatív: .
.
Itt van meghatározva.

Ha nem feltételezzük, hogy a logaritmus definiálható az argumentum negatív értékeire, akkor az (A2.1) képletet a következőképpen kell felírni:
,
Mert

Válasz

És

ez nem befolyásolja a végeredményt.
.

Megoldás

3. példa
Keresse meg a származékot .

A differenciálást a logaritmikus derivált segítségével végezzük. Vegyünk egy logaritmust, figyelembe véve, hogy:
;
;
;
(A3.1) .

A differenciálással megkapjuk a logaritmikus deriváltot.

.

Jegyzet

(A3.2)
.
Azóta
;

.
Végezzük el a számításokat anélkül, hogy feltételeznénk, hogy a logaritmus definiálható az argumentum negatív értékeire. Ehhez vegye az eredeti függvény modulusának logaritmusát:

Ekkor (A3.1) helyett a következőt kapjuk:
Az (A3.2)-vel összehasonlítva azt látjuk, hogy az eredmény nem változott.

Komplex származékok. Logaritmikus derivált.

Hatvány-exponenciális függvény deriváltja Továbbfejlesztjük megkülönböztetési technikánkat. Ebben a leckében összevonjuk az általunk tárgyalt anyagot, megnézzük az összetettebb deriváltokat, valamint megismerkedünk a derivált megtalálásának új technikáival és trükkjeivel, különösen a logaritmikus deriválttal. Azok az olvasók, akik alacsony felkészültséggel rendelkeznek, olvassák el a cikket Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra, amely lehetővé teszi, hogy szinte a semmiből emelje tudását. Ezután alaposan tanulmányoznia kell az oldalt Komplex függvény származéka, megérteni és megoldani Mindenés gyakran találkozunk a gyakorlatban.

Kezdjük az ismétléssel. Az osztályban Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra Számos példát néztünk meg részletes megjegyzésekkel. A differenciálszámítás és a matematikai elemzés más ágainak tanulmányozása során nagyon gyakran kell differenciálni, és nem mindig kényelmes (és nem is mindig szükséges) a példák részletes leírása. Ezért szóban fogjuk gyakorolni a származékok megtalálását. Erre a legalkalmasabb „jelöltek” a legegyszerűbb összetett függvények származékai, például:

Az összetett függvények differenciálási szabálya szerint :

Ha a jövőben más matan témákat tanul, az ilyen részletes feljegyzéseket leggyakrabban feltételezzük, hogy a hallgató tudja, hogyan találhat ilyen származékokat autopilotán. Képzeljük el, hogy hajnali 3 órakor megszólalt a telefon, és egy kellemes hang megkérdezte: "Mi a deriváltja két X tangensének?" Ezt szinte azonnali és udvarias válasznak kell követnie: .

Az első példa azonnal önálló megoldásra lesz szánva.

1. példa

Keresse meg szóban, például egy műveletben a következő származékokat: . A feladat elvégzéséhez csak használnia kell elemi függvények deriváltjainak táblázata(ha még nem emlékeztél rá). Ha nehézségei vannak, javaslom, hogy olvassa el újra a leckét Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Válaszok a lecke végén

Komplex származékok

Előzetes tüzérségi előkészítés után a 3-4-5 funkciófészkelésű példák kevésbé lesznek ijesztőek. A következő két példa bonyolultnak tűnhet egyesek számára, de ha megérti őket (valaki szenvedni fog), akkor szinte minden más a differenciálszámításban gyerekviccnek tűnik.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint már említettük, egy komplex függvény deriváltjának megtalálásához először is szükség van rá JobbraÉRTSE MEG befektetéseit. Azokban az esetekben, amikor kétségek merülnek fel, emlékeztetlek hasznos trükk: vesszük például az „x” kísérleti értékét, és megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) helyettesíteni adott értéket"szörnyű kifejezéssé".

1) Először ki kell számítanunk a kifejezést, ami azt jelenti, hogy az összeg a legmélyebb beágyazás.

2) Ezután ki kell számítania a logaritmust:

4) Ezután felkockázzuk a koszinuszát:

5) Az ötödik lépésben a különbség:

6) És végül, a leginkább külső funkció az négyzetgyök:

Képlet egy összetett függvény megkülönböztetésére fordított sorrendben alkalmazzák, a legkülső funkciótól a legbelsőig. Mi döntünk:

Úgy tűnik, nincs hiba...

(1) Vegyük a négyzetgyök deriváltját.

(2) A különbség deriváltját a szabály segítségével vesszük

(3) A hármas deriváltja nulla. A második tagban vesszük a fok (kocka) deriváltját.

(4) Vegyük a koszinusz deriváltját.

(5) Vegyük a logaritmus deriváltját.

(6) És végül vesszük a legmélyebb beágyazás származékát.

Lehet, hogy túl nehéznek tűnik, de nem ez a legbrutálisabb példa. Vegyük például Kuznyecov gyűjteményét, és értékelni fogja az elemzett származék minden szépségét és egyszerűségét. Észrevettem, hogy szeretnek hasonlót adni egy vizsgán, hogy ellenőrizzék, hogy a hallgató érti-e, hogyan kell egy komplex függvény deriváltját megtalálni, vagy nem érti.

A következő példa arra szolgál, hogy egyedül oldja meg.

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Tipp: Először a linearitási szabályokat és a termékdifferenciálási szabályokat alkalmazzuk

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Ideje áttérni valami kisebbre és szebbre.
Nem ritka, hogy egy példa nem két, hanem három függvény szorzatát mutatja. Hogyan találjuk meg a három tényező szorzatának deriváltját?

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Először is nézzük meg, hogy lehetséges-e három függvény szorzatát két függvény szorzatává alakítani? Például, ha két polinom van a szorzatban, kinyithatjuk a zárójeleket. De a vizsgált példában az összes függvény különbözik: fok, kitevő és logaritmus.

Ilyen esetekben szükséges szekvenciálisan alkalmazza a termékdifferenciálási szabályt kétszer

A trükk az, hogy „y”-vel két függvény szorzatát jelöljük: , „ve”-vel pedig a logaritmust: . Miért lehet ezt megtenni? Valóban az – ez nem két tényező szorzata és a szabály nem működik?! Nincs semmi bonyolult:

Most már másodszor kell alkalmazni a szabályt zárójelbe:

Meg is csavarodhat, és zárójelbe tesz valamit, de ebben az esetben jobb, ha pontosan ebben a formában hagyja a választ - könnyebb lesz ellenőrizni.

A vizsgált példa a második módon is megoldható:

Mindkét megoldás teljesen egyenértékű.

5. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa egy független megoldásra a mintában az első módszerrel van megoldva.

Nézzünk hasonló példákat a törtekkel.

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Többféleképpen is eljuthatsz ide:

Vagy így:

De a megoldást tömörebben írjuk le, ha először a hányados differenciálási szabályát használjuk , figyelembe véve a teljes számlálót:

Elvileg a példa meg van oldva, és ha így marad, akkor nem lesz hiba. De ha van időd, mindig célszerű megnézni a tervezetet, hátha egyszerűsíthető a válasz? A számláló kifejezését redukáljuk közös nevezőre és szabaduljunk meg a háromemeletes törttől:

A további egyszerűsítések hátránya, hogy nem a származék megtalálásakor, hanem a banális iskolaátalakítások során fennáll a hiba veszélye. Másrészt a tanárok gyakran elutasítják a feladatot, és azt kérik, hogy „hozzuk eszünkbe” a származékot.

Egy egyszerűbb példa önálló megoldásra:

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Továbbra is elsajátítjuk a derivált megtalálásának módszereit, és most egy tipikus esetet veszünk figyelembe, amikor egy „szörnyű” logaritmust javasolnak a differenciáláshoz

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt hosszú utat tehet meg az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával:

De a legelső lépés azonnal csüggedtségbe sodor – törthatványból kell venni a kellemetlen származékot, majd törtből is.

azért előtt hogyan vegyük le egy „kifinomult” logaritmus deriváltját, először egyszerűsítjük a jól ismert iskolai tulajdonságok segítségével:

! Ha van kéznél egy gyakorlófüzet, másolja közvetlenül oda ezeket a képleteket. Ha nincs jegyzetfüzete, másolja ki őket egy papírra, mivel a lecke többi példája ezen képletek körül fog forogni.

Magát a megoldást így írhatjuk le:

Alakítsuk át a függvényt:

A származék megkeresése:

Maga a függvény előzetes konvertálása nagyban leegyszerűsítette a megoldást. Így ha hasonló logaritmust javasolnak a differenciáláshoz, mindig tanácsos „lebontani”.

És most egy pár egyszerű példák független megoldáshoz:

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

10. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Minden átalakítás és válasz a lecke végén található.

Logaritmikus derivált

Ha a logaritmusok származéka ilyen édes zene, akkor felmerül a kérdés: lehetséges-e bizonyos esetekben mesterségesen rendszerezni a logaritmust? Tud! És még szükséges is.

11. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Nemrég néztünk hasonló példákat. Mit tegyek? Alkalmazhatja egymás után a hányados differenciálási szabályát, majd a szorzat differenciálási szabályát. Ennek a módszernek az a hátránya, hogy a végén egy hatalmas háromemeletes törtet kapunk, amivel egyáltalán nem akarunk foglalkozni.

De elméletben és gyakorlatban van egy olyan csodálatos dolog, mint a logaritmikus derivált. A logaritmusokat mesterségesen is meg lehet szervezni, ha mindkét oldalra „akasztjuk” őket:

Jegyzet : mert egy függvény negatív értékeket vehet fel, akkor általában modulokat kell használni: , amely a differenciálódás következtében eltűnik. Elfogadható azonban a jelenlegi kialakítás is, ahol alapból ezt veszik figyelembe összetett jelentések. De ha teljes szigorral, akkor mindkét esetben fenntartással kell élni, hogy.

Most a jobb oldal logaritmusát kell minél jobban „feltörni” (a képletek a szemed előtt?). Ezt a folyamatot részletesen leírom:

Kezdjük a megkülönböztetéssel.
Mindkét részt a prime alatt zárjuk:

A jobb oldal származéka meglehetősen egyszerű, nem kommentálom, mert ha ezt a szöveget olvassa, akkor magabiztosan kell kezelnie.

Mi van a bal oldallal?

A bal oldalon van összetett funkció. Előre látom a kérdést: „Miért van egy „Y” betű a logaritmus alatt?

Az a tény, hogy ez az „egy betűs játék” - ÖNMAGA FUNKCIÓ(ha nem túl világos, nézze meg az implicit módon megadott függvény származéka című cikket). Ezért a logaritmus egy külső függvény, az „y” pedig egy belső függvény. És a szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére használjuk :

A bal oldalon, mintha varázsütésre, van egy származékunk. Ezután az arányszabály szerint átvisszük az „y”-t a bal oldali nevezőből a jobb oldal tetejére:

És most emlékezzünk, milyen „játékos” funkcióról beszéltünk a megkülönböztetés során? Nézzük a feltételt:

Végső válasz:

12. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A lecke végén egy ilyen típusú minta minta látható.

A logaritmikus derivált segítségével a 4-7. példák bármelyikét meg lehetett oldani, másik dolog, hogy ott egyszerűbbek a függvények, és talán nem nagyon indokolt a logaritmikus derivált használata.

Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Ezt a funkciót még nem vettük figyelembe. A hatvány-exponenciális függvény olyan függvény, amelyre mind a fok, mind az alap az „x”-től függ. Egy klasszikus példa, amelyet bármelyik tankönyvben vagy előadásban megadnak:

Hogyan találjuk meg a hatvány-exponenciális függvény deriváltját?

Az imént tárgyalt technikát kell használni - a logaritmikus deriváltot. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk:

Általában a jobb oldalon a fokszám kikerül a logaritmus alól:

Ennek eredményeként a jobb oldalon két függvény szorzata látható, amelyeket a szabványos képlet szerint különböztetünk meg. .

Ehhez megtaláljuk a származékot, mindkét részt vonjuk be:

A további műveletek egyszerűek:

Végül:

Ha bármely átalakítás nem teljesen egyértelmű, kérjük, olvassa el újra figyelmesen a 11. példa magyarázatait.

IN gyakorlati feladatokat A hatvány-exponenciális függvény mindig összetettebb lesz, mint az előadásban tárgyalt példa.

13. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

A logaritmikus deriváltot használjuk.

A jobb oldalon van egy konstans és két tényező szorzata - „x” és „x logaritmus” (a logaritmus alá egy másik logaritmus van beágyazva). A differenciálásnál, mint emlékszünk, jobb, ha a konstanst azonnal kimozdítjuk a származékjelből, hogy ne álljon útban; és természetesen alkalmazzuk az ismert szabályt :

Amikor egy y = (f (x)) g (x) alakú exponenciális függvényt kell megkülönböztetnünk, vagy egy nehézkes kifejezést törtekkel kell konvertálnunk, használhatjuk a logaritmikus deriváltot. Ennek az anyagnak a részeként számos példát adunk ennek a képletnek az alkalmazására.

A téma megértéséhez ismernie kell a derivált tábla használatát, ismernie kell a differenciálás alapvető szabályait, és meg kell értenie, mi az összetett függvény deriváltja.

Hogyan származtatjuk a logaritmikus derivált képletét

A képlet megszerzéséhez először egy logaritmust kell e bázisra venni, majd a kapott függvényt egyszerűsíteni kell a logaritmus alapvető tulajdonságainak alkalmazásával. Ezután ki kell számítania az implicit módon megadott függvény deriváltját:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y (ln(f(x)))"

Példák a képlet használatára

Mutassuk meg egy példán, hogyan történik ez.

1. példa

Számítsa ki az x változó exponenciális hatványfüggvényének deriváltját x hatványára!

Megoldás

A megadott bázis felhasználásával logaritmációt hajtunk végre, és megkapjuk az ln y = ln x x értéket. A logaritmus tulajdonságait figyelembe véve ez így fejezhető ki: ln y = x · ln x. Most megkülönböztetjük az egyenlőség bal és jobb oldalát, és megkapjuk az eredményt:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

Válasz: x x " = x x (ln x + 1)

Ez a probléma más módon is megoldható, a logaritmikus derivált nélkül. Először is át kell alakítanunk az eredeti kifejezést, hogy az exponenciális hatványfüggvény differenciálásáról egy komplex függvény deriváltjának kiszámítására térjünk át, például:

y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y " = (e x · ln x) " = e x · ln x · x · ln x " = x x · x " · ln x + x · (ln x) " = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1

Nézzünk meg még egy problémát.

2. példa

Számítsa ki az y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x függvény deriváltját!

Megoldás

Az eredeti függvényt törtként mutatjuk be, ami azt jelenti, hogy a problémát differenciálással tudjuk megoldani. Ez a funkció azonban meglehetősen összetett, ami azt jelenti, hogy sok átalakításra lesz szükség. Tehát jobb, ha a logaritmikus deriváltot használjuk itt: y " = y ln (f (x))". Magyarázzuk meg, miért kényelmesebb ez a számítás.

Kezdjük az ln(f(x)) megkeresésével. A további átalakításhoz a logaritmus következő tulajdonságaira van szükségünk:

• egy tört logaritmusa a logaritmusok különbségeként ábrázolható;
• a szorzat logaritmusa összegként is ábrázolható;
• ha a logaritmus alatti kifejezésnek van hatványa, kivehetjük együtthatóként.

Alakítsuk át a kifejezést:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x

Ennek eredményeként egy meglehetősen egyszerű kifejezést kaptunk, amelynek származéka könnyen kiszámítható:

(ln (f (x))) " = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x " = = 1 3 ln (x 2 + 1) " - 3 2 ln x " - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 "- 3 2 1 x - 1 2 1 sin x (sin x) " = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Most, amit kaptunk, be kell cserélni a logaritmikus derivált képletébe.

Válasz: y " = y ln (f (x)) " = x 2 + 1 3 x 3 sin x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Az anyag megerősítése érdekében tanulmányozzon még néhányat a következő példák közül. Itt csak a minimális megjegyzést tartalmazó számításokat adjuk meg.

3. példa

Adott egy y = (x 2 + x + 1) x 3 exponenciális hatványfüggvény. Számítsa ki a származékát!

Megoldás:

y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

Válasz: y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

4. példa

Számítsd ki az y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 kifejezés deriváltját!

Megoldás

A logaritmikus derivált képletét alkalmazzuk.

y " = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " = = y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y · (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

Válasz:

y" = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) ) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2) .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Úgy érzed, sok idő van még a vizsgáig? Ez egy hónap? Két? Év? A gyakorlat azt mutatja, hogy a tanuló akkor birkózik meg a legjobban a vizsgával, ha már előre felkészül rá. Az Egységes Államvizsgán sok nehéz feladat áll az iskolások és a leendő jelentkezők útjába a legmagasabb pontszámig. Meg kell tanulnod leküzdeni ezeket az akadályokat, ráadásul nem is nehéz. Meg kell értenie a jegyekből történő különféle feladatokkal való munka elvét. Akkor nem lesz gond az újakkal.

A logaritmusok első pillantásra hihetetlenül bonyolultnak tűnnek, de részletes elemzéssel a helyzet sokkal egyszerűbbé válik. Ha a legmagasabb pontszámmal szeretné letenni az egységes államvizsgát, akkor meg kell értenie a szóban forgó fogalmat, és ebben a cikkben ezt javasoljuk.

Először is válasszuk szét ezeket a definíciókat. Mi az a logaritmus (log)? Ez annak a teljesítménynek a mutatója, amelyre az alapot fel kell emelni a megadott szám eléréséhez. Ha nem világos, nézzünk egy elemi példát.

Ebben az esetben az alján lévő alapot fel kell emelni a második hatványra, hogy megkapjuk a 4-es számot.

Most nézzük a második koncepciót. A függvény bármilyen formájú deriváltja egy olyan fogalom, amely egy függvény változását jellemzi egy adott pontban. Ez azonban egy iskolai tanterv, és ha ezekkel a fogalmakkal egyénileg is problémái vannak, érdemes megismételni a témát.

A logaritmus deriváltja

IN Egységes államvizsga-feladatok Ebben a témában több probléma is felhozható példaként. Először is a legegyszerűbb logaritmikus derivált. Meg kell találni a következő függvény deriváltját.

Meg kell találnunk a következő származékot

Van egy speciális képlet.

Ebben az esetben x=u, log3x=v. A függvényünk értékeit behelyettesítjük a képletbe.

x deriváltja eggyel lesz egyenlő. A logaritmus kicsit nehezebb. De megérti az elvet, ha egyszerűen helyettesíti az értékeket. Emlékezzünk vissza, hogy lg x deriváltja a decimális logaritmus deriváltja, ln x deriváltja pedig a természetes logaritmus deriváltja (e alapján).

Most csak illessze be a kapott értékeket a képletbe. Próbáld ki te is, akkor ellenőrizzük a választ.

Mi lehet itt a probléma egyeseknek? Bevezettük a természetes logaritmus fogalmát. Beszéljünk róla, és egyúttal kitaláljuk, hogyan oldjuk meg a problémákat vele. Semmi bonyolultat nem fog látni, különösen, ha megérti a működési elvét. Meg kell szokni, mert gyakran használják a matematikában (felsőoktatásban oktatási intézményekben főleg).

A természetes logaritmus származéka

Lényegében ez a logaritmus deriváltja az e bázishoz (amely egy körülbelül 2,7 irracionális szám). Valójában az ln nagyon egyszerű, ezért gyakran használják általában a matematikában. Igazából a probléma megoldása sem lesz gond vele. Érdemes megjegyezni, hogy a természetes logaritmus e bázisra vonatkozó deriváltja egyenlő lesz egy osztva x-szel. A következő példa megoldása lesz a legleleplezőbb.

Képzeljük el úgy összetett funkció, amely két egyszerűből áll.

Elég konvertálni

Az u deriváltját keressük x-re vonatkozóan