Az x egyenlet megoldása 1. Hogyan oldható meg az egyenletrendszer? Egyenletrendszerek megoldási módszerei

Egy egyenlet egy ismeretlennel, amely a zárójelek kinyitása és a hasonló tagok redukálása után felveszi a formát

ax + b = 0, ahol a és b tetszőleges számok, hívjuk lineáris egyenlet egy ismeretlennel. Ma kitaláljuk, hogyan oldjuk meg ezeket a lineáris egyenleteket.

Például az összes egyenlet:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineáris.

Az ismeretlen értékét, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé alakítja, nevezzük döntés vagy az egyenlet gyöke .

Például, ha a 3x + 7 \u003d 13 egyenletben az ismeretlen x helyett a 2-es számmal helyettesítjük, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk: 3 2 + 7 \u003d 13. Így az x \u003d 2 érték a megoldás, ill. az egyenlet gyöke.

És az x \u003d 3 érték nem változtatja meg a 3x + 7 \u003d 13 egyenletet valódi egyenlőséggé, mivel 3 2 + 7 ≠ 13. Ezért az x \u003d 3 érték nem az egyenlet megoldása vagy gyöke.

Bármely lineáris egyenlet megoldása az alábbi alakú egyenletek megoldására redukálódik

ax + b = 0.

A szabad tagot az egyenlet bal oldaláról átvisszük jobbra, miközben a b előtti jelet az ellenkezőjére változtatjuk, így kapjuk

Ha a ≠ 0, akkor x = – b/a .

1. példa Oldja meg a 3x + 2 =11 egyenletet.

Az egyenlet bal oldaláról átvisszük a 2-t jobbra, miközben a 2 előtti jelet az ellenkezőjére változtatjuk, így kapjuk
3x \u003d 11-2.

Akkor végezzük a kivonást
3x = 9.

Az x megtalálásához el kell osztani a szorzatot egy ismert tényezővel, azaz
x = 9:3.

Tehát az x = 3 érték az egyenlet megoldása vagy gyöke.

Válasz: x = 3.

Ha a = 0 és b = 0, akkor a 0x \u003d 0 egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek végtelen sok megoldása van, hiszen ha tetszőleges számot megszorozunk 0-val, akkor 0-t kapunk, de b is 0. Ennek az egyenletnek a megoldása tetszőleges szám.

2. példa Oldja meg az 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 egyenletet.

Bővítsük ki a zárójeleket:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Íme a hasonló tagok:
0x = 0.

Válasz: x tetszőleges szám.

Ha a = 0 és b ≠ 0, akkor a 0x = - b egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek nincs megoldása, hiszen ha tetszőleges számot megszorozunk 0-val, akkor 0-t kapunk, de b ≠ 0.

3. példa Oldja meg az x + 8 = x + 5 egyenletet!

Csoportosítsuk az ismeretlent tartalmazó kifejezéseket a bal oldalon, a szabad kifejezéseket pedig a jobb oldalon:
x - x \u003d 5 - 8.

Íme a hasonló tagok:
0x = -3.

Válasz: nincs megoldás.

Tovább 1.ábra a lineáris egyenlet megoldásának sémája látható

Készítsünk egy általános sémát egy változós egyenletek megoldására. Tekintsük a 4. példa megoldását.

4. példa Oldjuk meg az egyenletet

1) Szorozzuk meg az egyenlet összes tagját a nevezők legkisebb közös többszörösével, ami egyenlő 12-vel.

2) Redukció után kapjuk
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Az ismeretlen és szabad tagokat tartalmazó tagok szétválasztásához nyissa ki a zárójeleket:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Az egyik részbe az ismeretleneket, a másikba a szabad kifejezéseket csoportosítjuk:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Íme a hasonló tagok:
- 22x = - 154.

6) Oszd el - 22-vel, megkapjuk
x = 7.

Amint látja, az egyenlet gyökere hét.

Általában ilyen egyenletek a következőképpen oldhatók meg:

a) hozza az egyenletet egész alakra;

b) nyitott zárójelek;

c) csoportosítsa az egyenlet egyik részében az ismeretlent, a másikban a szabad tagokat tartalmazó tagokat;

d) hasonló tagokat hozni;

e) oldjunk meg egy aх = b alakú egyenletet, amelyet hasonló tagok hozásával kaptunk.

Ez a séma azonban nem minden egyenlethez szükséges. Sok egyszerűbb egyenlet megoldásánál nem az elsőből kell kiindulni, hanem a másodikból ( Példa. 2), harmadik ( Példa. 13) és még az ötödik szakasztól is, mint az 5. példában.

5. példa Oldja meg a 2x = 1/4 egyenletet!

Megtaláljuk az ismeretlen x \u003d 1/4:2,
x = 1/8 .

Tekintsük néhány lineáris egyenlet megoldását a fő államvizsgán.

6. példa Oldja meg a 2. egyenletet (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5-6

Válasz: - 0,125

7. példa Oldja meg a - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7 egyenletet.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Válasz: 2.3

8. példa Oldja meg az egyenletet

3 (3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

9. példa Határozzuk meg az f(6)-ot, ha f(x + 2) = 3 7-es

Megoldás

Mivel meg kell találnunk f(6), és tudjuk, hogy f (x + 2),
akkor x + 2 = 6.

Mi döntünk lineáris egyenlet x + 2 = 6,
x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Ha x = 4, akkor
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Válasz: 27.

Ha van még kérdésed, van kedved alaposabban foglalkozni az egyenletek megoldásával, jelentkezz az óráimra a MENETRENDBEN. Szívesen segítek!

A TutorOnline azt is javasolja, hogy nézze meg Olga Alexandrovna oktatónk új oktatóvideóját, amely segít megérteni a lineáris egyenleteket és másokat is.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

A végső tesztelésre való felkészülés szakaszában a középiskolásoknak fejleszteniük kell ismereteiket az "Exponenciális egyenletek" témában. Az elmúlt évek tapasztalatai azt mutatják, hogy az ilyen feladatok bizonyos nehézségeket okoznak az iskolásoknak. Ezért a középiskolásoknak felkészültségüktől függetlenül gondosan el kell sajátítaniuk az elméletet, meg kell jegyezniük a képleteket és meg kell érteniük az ilyen egyenletek megoldásának elvét. Miután megtanulták megbirkózni az ilyen típusú feladatokkal, a végzősök magas pontszámokra számíthatnak a matematika vizsga letételekor.

Készüljön fel a vizsgatesztre Shkolkovóval együtt!

Az átdolgozott anyagok ismétlésekor sok diák szembesül azzal a problémával, hogy megtalálja az egyenletek megoldásához szükséges képleteket. Az iskolai tankönyv nem mindig van kéznél, és a szükséges információk kiválasztása egy témában az interneten sokáig tart.

A Shkolkovo oktatási portál felkéri a diákokat, hogy használják tudásbázisunkat. Teljesen megvalósítjuk új módszer felkészülés az utolsó vizsgára. Oldalunkon tanulmányozva képes lesz felismerni a tudásbeli hiányosságokat, és pontosan azokra a feladatokra figyelni, amelyek a legnagyobb nehézséget okozzák.

A "Shkolkovo" tanárai a legegyszerűbb és leginkább hozzáférhető formában összegyűjtötték, rendszerezték és bemutatták a sikeres vizsga sikeres letételéhez szükséges összes anyagot.

A főbb definíciókat és képleteket az „Elméleti hivatkozás” részben ismertetjük.

Az anyag jobb asszimilációja érdekében javasoljuk, hogy gyakorolja a feladatokat. Tekintse meg a példákat ezen az oldalon. exponenciális egyenletek megoldással a számítási algoritmus megértéséhez. Ezt követően folytassa a „Katalógusok” részben található feladatokkal. Kezdheti a legegyszerűbb feladatokkal, vagy egyenesen a bonyolult exponenciális egyenletek megoldásához, ahol több ismeretlen vagy . A honlapunkon található gyakorlatok adatbázisa folyamatosan bővül és frissül.

Azokat a mutatókat tartalmazó példákat, amelyek nehézségeket okoztak, felveheti a „Kedvencekbe”. Így gyorsan megtalálhatja őket, és megbeszélheti a megoldást a tanárral.

A sikeres vizsga érdekében minden nap tanuljon a Shkolkovo portálon!

Az online törtszámítógép lehetővé teszi, hogy egyszerű számtani műveleteket hajtson végre törtekkel: törtek összeadása, törtek kivonása, törtek szorzása, törtek osztása. A számításokhoz töltse ki a két tört számlálóinak és nevezőinek megfelelő mezőket.

Tört a matematikában az egység egy részét vagy több részét reprezentáló számot nevezzük.

A közönséges tört két számként van írva, amelyeket általában vízszintes vonal választ el egymástól, jelezve az osztásjelet. A sáv feletti számot számlálónak nevezzük. A sáv alatti számot nevezőnek nevezzük. A tört nevezője azt mutatja, hogy hány egyenlő részre van felosztva az egész, a tört számlálója pedig a felvett egész ezen részeinek számát.

A törtek helyesek és rosszak.

• Helyes tört az, amelynek a számlálója kisebb, mint a nevező.
• Nem megfelelő tört az, ha a számláló nagyobb, mint a nevező.

A vegyes tört egy egész számként és megfelelő törtként felírt tört, és e szám és a tört rész összegeként értendő. Ennek megfelelően azt a törtet, amelynek nincs egész része, egyszerű törtnek nevezzük. Bármely vegyes tört nem megfelelő egyszerű törtté alakítható.

A vegyes tört közönséges törtté alakításához hozzá kell adni az egész rész és a nevező szorzatát a tört számlálójához:

Hogyan alakíthatunk át egy közönséges törtet vegyes törtté

Egy közönséges tört vegyes törtté alakításához a következőket kell tennie:

1. Osszuk el egy tört számlálóját a nevezőjével
2. Az osztás eredménye az egész rész lesz
3. Az ág fennmaradó része lesz a számláló

Hogyan alakíthatunk át egy közönséges törtet tizedes törtté

Ha egy tört tizedesjegyre szeretne konvertálni, el kell osztania a számlálóját a nevezővel.

A fordítás érdekében decimális a hétköznapokban szükséges:

Hogyan konvertáljunk tört százalékot

Ahhoz, hogy egy közönséges vagy vegyes törtet százalékra konvertáljon, át kell alakítania tizedes törtté, és meg kell szoroznia 100-zal.

Hogyan lehet a százalékokat törtekre konvertálni

A százalékok törtté alakításához tizedes törtet kell kapni a százalékokból (osztva 100-zal), majd a kapott tizedes törtet át kell alakítani egy közönséges törtre.

Frakciók összeadása

A két tört összeadásának algoritmusa a következő:

1. Adjon hozzá törteket a számlálóik hozzáadásával.

Törtek kivonása

Műveletek algoritmusa két tört kivonásakor:

1. A vegyes törtek átalakítása közönséges törtekké (megszabadul az egész résztől).
2. Hozd a törteket közös nevezőre. Ehhez meg kell szorozni az első tört számlálóját és nevezőjét a második tört nevezőjével, és meg kell szorozni a második tört számlálóját és nevezőjét az első tört nevezőjével.
3. Vonja ki az egyik törtet a másikból úgy, hogy kivonja a második tört számlálóját az első tört számlálójából.
4. Keresse meg a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját (GCD), és csökkentse a törtet úgy, hogy elosztja a számlálót és a nevezőt a GCD-vel.
5. Ha a végső tört számlálója nagyobb, mint a nevező, akkor válassza ki a teljes részt.

Törtek szorzása

Műveletek algoritmusa két tört szorzásakor:

1. A vegyes törtek átalakítása közönséges törtekké (megszabadul az egész résztől).
2. Keresse meg a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját (GCD), és csökkentse a törtet úgy, hogy elosztja a számlálót és a nevezőt a GCD-vel.
3. Ha a végső tört számlálója nagyobb, mint a nevező, akkor válassza ki a teljes részt.

A törtek felosztása

A műveletek algoritmusa két tört felosztása esetén:

1. A vegyes törtek átalakítása közönséges törtekké (megszabadul az egész résztől).
2. A törtek felosztásához a második törtet át kell alakítani a számláló és a nevező felcserélésével, majd meg kell szorozni a törteket.
3. Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével.
4. Keresse meg a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját (GCD), és csökkentse a törtet úgy, hogy elosztja a számlálót és a nevezőt a GCD-vel.
5. Ha a végső tört számlálója nagyobb, mint a nevező, akkor válassza ki a teljes részt.

Online számológépek és konverterek:

Kétféle egyenletrendszert fogunk elemezni:

1. A rendszer megoldása helyettesítési módszerrel.
2. A rendszer megoldása a rendszer egyenleteinek tagonkénti összeadásával (kivonásával).

Az egyenletrendszer megoldása érdekében helyettesítési módszer egy egyszerű algoritmust kell követnie:
1. Kifejezzük. Bármely egyenletből egy változót fejezünk ki.
2. Helyettesítő. A kifejezett változó helyett egy másik egyenletben helyettesítjük a kapott értéket.
3. A kapott egyenletet egy változóval oldjuk meg. Megoldást találunk a rendszerre.

Megoldani rendszer tagonkénti összeadással (kivonás) kell:
1. Válasszunk ki egy változót, amelyre ugyanazokat az együtthatókat készítjük.
2. Összeadjuk vagy kivonjuk az egyenleteket, ennek eredményeként egy változós egyenletet kapunk.
3. Megoldjuk a kapott lineáris egyenletet. Megoldást találunk a rendszerre.

A rendszer megoldása a függvény grafikonjainak metszéspontjai.

Tekintsük részletesen a rendszerek megoldását példákon keresztül.

1. példa:

Oldjuk meg helyettesítési módszerrel

Az egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel

2x+5y=1 (1 egyenlet)
x-10y=3 (2. egyenlet)

1. Expressz
Látható, hogy a második egyenletben van egy x változó, amelynek együtthatója 1, így kiderül, hogy a második egyenletből a legkönnyebb az x változót kifejezni.
x=3+10y

2. Kifejezés után az első egyenletben az x változó helyett 3 + 10y-t helyettesítünk.
2(3+10y)+5y=1

3. A kapott egyenletet egy változóval oldjuk meg.
2(3+10y)+5y=1 (nyitott zárójelek)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25 év = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Az egyenletrendszer megoldása a gráfok metszéspontjai, ezért meg kell keresnünk x-et és y-t, mivel a metszéspont x-ből és y-ból áll Keressük meg x-et, ahol az első bekezdésben, ahol kifejeztük, behelyettesítjük y-t.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Szokásos első helyre pontokat írni, az x változót, a második helyre az y változót írjuk.
Válasz: (1; -0,2)

2. példa:

Oldjuk meg tagonkénti összeadással (kivonással).

Egyenletrendszer megoldása összeadásos módszerrel

3x-2y=1 (1 egyenlet)
2x-3y=-10 (2. egyenlet)

1. Válasszunk ki egy változót, tegyük fel, hogy x-et választunk. Az első egyenletben az x változó együtthatója 3, a másodikban - 2. Az együtthatókat azonosnak kell tennünk, ehhez jogunk van az egyenleteket szorozni, vagy tetszőleges számmal osztani. Az első egyenletet 2-vel, a másodikat 3-mal szorozva megkapjuk összarány 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Az első egyenletből vonja ki a másodikat, hogy megszabaduljon az x változótól.. Oldja meg a lineáris egyenletet!
__6x-4y=2

5 év = 32 | :5
y=6,4

3. Keresse meg x-et. Bármelyik egyenletben behelyettesítjük a talált y-t, mondjuk az első egyenletben.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

A metszéspont x=4,6 lesz; y=6,4
Válasz: (4,6; 6,4)

Szeretnél ingyenesen felkészülni a vizsgákra? Oktató online ingyen. Nem viccelek.

matematikát megoldani. Keresse meg gyorsan matematikai egyenlet megoldása módban online. A www.site weboldal lehetővé teszi oldja meg az egyenletet szinte minden adott algebrai, trigonometrikus vagy transzcendentális egyenlet online. Amikor a matematika szinte bármely szakaszát különböző szakaszokban tanulja, döntenie kell egyenletek online. Ahhoz, hogy azonnal választ kapjon, és ami a legfontosabb, hogy pontos választ kapjon, olyan erőforrásra van szüksége, amely lehetővé teszi ezt. Köszönet a www.site-nek egyenleteket online megoldani eltart néhány percig. A www.site fő előnye matematikai megoldások során egyenletek online- a kiadott válasz gyorsasága és pontossága. Az oldal bármelyiket képes megoldani algebrai egyenletek online, trigonometrikus egyenletek online, transzcendentális egyenletek online, és egyenletek ismeretlen paraméterekkel módban online. Egyenletek erős matematikai berendezésként szolgálnak megoldásokat gyakorlati feladatokat. Segítséggel matematikai egyenletek lehetséges olyan tényeket és összefüggéseket kifejezni, amelyek első pillantásra zavarosnak és összetettnek tűnhetnek. ismeretlen mennyiségek egyenletek a probléma megfogalmazásával lehet megtalálni matematikai nyelv a formában egyenletekÉs döntsd el módban a kapott feladatot online a www.site weboldalon. Bármi algebrai egyenlet, trigonometrikus egyenlet vagy egyenletek tartalmazó transzcendentális funkciókat könnyedén döntsd el online, és megkapja a megfelelő választ. A természettudományok tanulmányozása során az ember elkerülhetetlenül találkozik a szükséglettel egyenletek megoldása. Ebben az esetben a válasznak pontosnak kell lennie, és azonnal meg kell kapnia a módban online. Ezért a megoldani a matematikai egyenleteket online ajánljuk a www.site oldalt, amely nélkülözhetetlen számológépe lesz megoldásokat algebrai egyenletek online, trigonometrikus egyenletek online, és transzcendentális egyenletek online vagy egyenletek ismeretlen paraméterekkel. A különféle gyökerek megtalálásának gyakorlati problémáira matematikai egyenletek forrás www.. Megoldás egyenletek online saját magának, célszerű a kapott választ a segítségével ellenőrizni online megoldás egyenletek a www.site weboldalon. Az egyenletet helyesen kell felírni, és azonnal megkapni online megoldás, ezután már csak össze kell hasonlítani a választ az egyenlet megoldásával. A válasz ellenőrzése nem tart tovább egy percnél, elég oldja meg az egyenletet onlineés hasonlítsa össze a válaszokat. Ez segít elkerülni a hibákat döntésés időben javítsa ki a választ egyenletek online megoldása bármelyik algebrai, trigonometrikus, transzcendens vagy az egyenlet ismeretlen paraméterekkel.