Hogyan találjuk meg a hosszt három pont koordinátája ismeretében. Szakasz felezőpontjának koordinátáinak megkeresése: példák, megoldások

27.09.2019 | Számítógépek

A koordinátasíkhoz egy egész feladatcsoport tartozik (amelyek a vizsgatípusú feladatok közé tartoznak). Ezek a legalapvetőbb problémáktól kezdve, szóban megoldott problémák (egy adott pont ordinátájának, abszcisszájának meghatározása, vagy egy adott pontra szimmetrikus pont meghatározása és egyebek), a magas színvonalú tudást, megértést, megértést igénylő feladatok elvégzéséig. jó készségek (egyenes szögegyütthatójával kapcsolatos problémák).

Fokozatosan mindegyiket mérlegelni fogjuk. Ebben a cikkben az alapokkal kezdjük. Ez egyszerű feladatokat meghatározni: egy pont abszcisszáját és ordinátáját, egy szakasz hosszát, egy szakasz felezőpontját, egy egyenes dőlésszögének szinuszát vagy koszinuszát.A legtöbb embert nem fogják érdekelni ezek a feladatok. De szükségesnek tartom kijelenteni őket.

Az tény, hogy nem mindenki jár iskolába. Sokan 3-4 évvel a diploma megszerzése után tesznek egységes államvizsgát, és homályosan emlékeznek arra, hogy mi az abszcissza és az ordináta. A koordinátasíkkal kapcsolatos egyéb feladatokat is elemezzük, ne hagyd ki, iratkozz fel a blogfrissítésekre. Most n egy kis elmélet.

Építsünk tovább koordinátasík A pont x=6, y=3 koordinátákkal.

Azt mondják, hogy az A pont abszcisszán hat, az A pont ordinátája három.

Egyszerűen fogalmazva, az ox tengely az abszcissza tengely, az y tengely az ordináta tengely.

Vagyis az abszcissza az x tengely azon pontja, amelybe a koordinátasíkon megadott pontot vetítjük; Az ordináta az y tengely azon pontja, amelyre a megadott pont ki van vetítve.

Szakasz hossza a koordinátasíkon

Képlet egy szakasz hosszának meghatározására, ha ismertek a végeinek koordinátái:

Amint látja, egy szakasz hossza egyenlő a derékszögű háromszög hipotenuszának hossza egyenlő lábakkal

X B - X A és U B - U A

* * *

A szegmens közepe. A koordinátái.

Képlet egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak megtalálásához:

Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete

A két adott ponton áthaladó egyenes egyenletének képlete a következő:

ahol (x 1;y 1) és (x 2;y 2 ) adott pontok koordinátái.

Ha behelyettesítjük a koordinátaértékeket a képletbe, az a következőre redukálódik:

y = kx + b, ahol k az egyenes meredeksége

Erre az információra szükségünk lesz egy másik, a koordinátasíkkal kapcsolatos problémacsoport megoldása során. Erről is lesz cikk, ne maradj le róla!

Mit tud még hozzátenni?

Egy egyenes (vagy szakasz) dőlésszöge az oX tengely és az egyenes közötti szög, amely 0 és 180 fok között van.

Tekintsük a feladatokat.

A (6;8) pontból merőlegest ejtünk az ordináta tengelyre. Keresse meg a merőleges alapjának ordinátáját!

Az ordináta tengelyre süllyesztett merőleges alapjának koordinátái (0;8) lesznek. Az ordináta egyenlő nyolczal.

Válasz: 8

Keresse meg a távolságot a ponttól A koordinátákkal (6;8) az ordinátatengelyhez.

Az A pont és az ordináta tengely távolsága megegyezik az A pont abszcisszájával.

Válasz: 6.

A(6;8) a tengelyhez képest Ökör.

Az oX tengelyhez viszonyítva az A pontra szimmetrikus pont koordinátái (6;– 8).

Az ordináta mínusz nyolc.

Válasz: - 8

Keresse meg a pontra szimmetrikus pont ordinátáját A(6;8) az eredethez viszonyítva.

Az origóhoz képest az A pontra szimmetrikus pont koordinátái (– 6;– 8).

Az ordinátája – 8.

Válasz: -8

Keresse meg a pontokat összekötő szakasz felezőpontjának abszcisszáját!O(0;0) és A(6;8).

A feladat megoldásához meg kell találni a szakasz közepének koordinátáit. Szakaszunk végeinek koordinátái (0;0) és (6;8).

A képlet segítségével számolunk:

Megkaptuk (3;4). Az abszcissza hárommal egyenlő.

Válasz: 3

*Egy szakasz közepének abszcisszája számítás nélkül meghatározható képlet segítségével, ha ezt a szakaszt egy négyzetben lévő papírlapon koordinátasíkon megszerkesztjük. A szegmens közepét a cellák könnyen meghatározhatják.

Keresse meg a pontokat összekötő szakasz felezőpontjának abszcisszáját! A(6;8) és B(–2;2).

A feladat megoldásához meg kell találni a szakasz közepének koordinátáit. Szakaszunk végeinek koordinátái (–2;2) és (6;8).

A képlet segítségével számolunk:

Kaptunk (2;5). Az abszcissza egyenlő kettővel.

Válasz: 2

*Egy szakasz közepének abszcisszája számítás nélkül meghatározható képlet segítségével, ha ezt a szakaszt egy négyzetben lévő papírlapon koordinátasíkon megszerkesztjük.

Határozzuk meg a (0;0) és (6;8) pontokat összekötő szakasz hosszát!

A szakasz hosszát a végei adott koordinátáin a következő képlettel számítjuk ki:

esetünkben van O(0;0) és A(6;8). Eszközök,

*A koordináták sorrendje kivonáskor nem számít. Az A pont abszcisszáját és ordinátáját kivonhatja az O pont abszcisszájából és ordinátájából:

Válasz: 10

Keresse meg a pontokat összekötő szakasz meredekségének koszinuszát! O(0;0) és A(6;8), x tengellyel.

Egy szakasz dőlésszöge a szegmens és az oX tengely közötti szög.

Az A pontból leeresztünk egy merőlegest az oX tengelyre:

Vagyis egy szakasz dőlésszöge a szögSAIV derékszögű háromszög ABO.

A derékszögű háromszög hegyesszögének koszinusza a

a szomszédos láb és a hypotenus aránya

Meg kell találnunk a hipotenusztOA.

A Pitagorasz-tétel szerint:Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

Így a dőlésszög koszinusza 0,6

Válasz: 0,6

A (6;8) pontból merőlegest ejtünk az abszcissza tengelyre. Keresse meg a merőleges alapjának abszcisszáját!

A (6;8) ponton keresztül az abszcissza tengellyel párhuzamos egyenes vonalat húzunk. Keresse meg a tengellyel való metszéspontjának ordinátáját oU.

Keresse meg a távolságot a ponttól A koordinátákkal (6;8) az abszcissza tengelyhez.

Keresse meg a távolságot a ponttól A koordinátákkal (6;8) az origóhoz.

A hosszt, mint már említettük, a modulusjel jelzi.

Ha a sík két pontja és , akkor a szakasz hosszát a képlet segítségével számíthatjuk ki

Ha a térben két pont és és adott, akkor a szakasz hossza a képlet segítségével számítható ki

Jegyzet: A képletek helyesek maradnak, ha a megfelelő koordinátákat felcseréljük: És , de az első lehetőség szabványosabb

3. példa

Megoldás: a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Az egyértelműség kedvéért készítek egy rajzot

szegmens – ez nem vektor, és természetesen nem mozgathatja sehova. Ezen kívül, ha méretarányosan rajzol: 1 egység. = 1 cm (két jegyzetfüzet cella), akkor a kapott válasz szabályos vonalzóval a szakasz hosszának közvetlen megmérésével ellenőrizhető.

Igen, a megoldás rövid, de van benne még egy-két fontos pont, amit szeretnék tisztázni:

Először is, a válaszban a dimenziót helyezzük el: „egységek”. A feltétel nem mondja meg, MI az, milliméter, centiméter, méter vagy kilométer. Ezért a matematikailag helyes megoldás az általános megfogalmazás: „egységek” - rövidítve „egységek”.

Másodszor, ismételjük meg az iskolai anyagot, amely nemcsak a vizsgált feladathoz hasznos:

Kérjük, vegye figyelembe fontos technika – a szorzó eltávolítása a gyökér alól. A számítások eredményeként eredményt kapunk, és a jó matematikai stílus magában foglalja a faktor eltávolítását a gyökér alól (ha lehetséges). Részletesebben a folyamat így néz ki: . Természetesen nem lenne hiba, ha a választ úgy hagynánk, de ez mindenképpen hiányosság és nyomós érv lenne a tanári civakodás mellett.

Íme más gyakori esetek:

A gyökér gyakran meglehetősen nagy számot produkál, például . Mi a teendő ilyen esetekben? A számológép segítségével ellenőrizzük, hogy a szám osztható-e 4-gyel: . Igen, teljesen felosztották, így: . Vagy esetleg a szám ismét osztható 4-gyel? . Így: . A szám utolsó számjegye páratlan, így a harmadszori 4-gyel való osztás nyilvánvalóan nem működik. Próbáljunk meg osztani kilenccel: . Ennek eredményeként:
Kész.

Következtetés: ha a gyökér alatt olyan számot kapunk, amely egészében nem kinyerhető, akkor megpróbáljuk eltávolítani a faktort a gyökér alól - számológéppel ellenőrizzük, hogy a szám osztható-e: 4, 9, 16, 25, 36, 49 stb.

A különböző problémák megoldása során a gyökerek mindig a gyökér alól igyekeznek kiszedni a tényezőket, hogy elkerüljék az alacsonyabb osztályzatot és a szükségtelen problémákat a tanári megjegyzések alapján történő véglegesítés során.

Ismételjük meg a négyzetgyököket és más hatványokat is:

A fokozattal rendelkező műveletek szabályai általános nézet egy iskolai algebrai tankönyvben megtalálható, de szerintem a megadott példákból már minden vagy majdnem minden világos.

Feladat független megoldáshoz térbeli szegmenssel:

4. példa

Pontokat és kapnak. Keresse meg a szakasz hosszát.

A megoldás és a válasz a lecke végén található.

Három fő koordinátarendszert használnak a geometriában, az elméleti mechanikában és a fizika más ágaiban: derékszögű, poláris és gömbi koordinátarendszert. Ezekben a koordinátarendszerekben a teljes pontnak három koordinátája van. 2 pont koordinátáinak ismeretében meghatározhatja a két pont közötti távolságot.

Szükséged lesz

Egy szakasz végének derékszögű, poláris és gömbkoordinátái

Utasítás

1. Először vegyünk egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszert. Ebben a koordináta-rendszerben egy térbeli pont helyét meghatározzák koordináták x,y és z. Az origótól a pontig sugárvektor rajzolódik ki. Ennek a sugárvektornak a vetületei a koordináta tengelyekre lesznek koordináták Ez a pont most legyen két pont koordináták x1,y1,z1 és x2,y2 és z2. Jelölje r1 és r2 az első és a 2. pont sugárvektorát. Úgy tűnik, a két pont közötti távolság egyenlő lesz az r = r1-r2 vektor modulusával, ahol (r1-r2) a vektor különbsége Az r vektor koordinátái láthatóan a következők lesznek: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Ekkor az r vektor nagysága vagy két pont távolsága egyenlő lesz: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).

2. Tekintsünk most egy polárkoordináta-rendszert, amelyben egy pont koordinátáját az r radiális koordináta (sugárvektor az XY síkban) adja meg, szögkoordináta? (az r vektor és az X tengely közötti szög) és a z koordináta, hasonlóan a z koordinátához a derékszögű rendszerben. Egy pont polárkoordinátái a következő módon konvertálhatók derékszögű koordinátákra: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. Ezután a távolság két pont között koordináták r1, ?1 ,z1 és r2, ?2, z2 egyenlő lesz R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

3. Most nézzük meg a gömbi koordináta-rendszert. Ebben a pont helyét három határozza meg koordináták r, ? És?. r – távolság az origótól a pontig, ? És? – azimutális és zenitszög. Sarok? hasonló a polárkoordináta-rendszerben azonos jelölésű szöghez, mi? – az r sugárvektor és a Z tengely közötti szög 0-val<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с koordináták r1, ?1, ?1 és r2, ?2 és ?2 egyenlő lesz R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin? ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Videó a témáról

Szegmens szerint hívjuk egy egyenes részét, amely ennek az egyenesnek az összes pontjából áll, amelyek e két pont között helyezkednek el - ezeket a szakasz végeinek nevezzük.

Nézzük az első példát. Határozzon meg egy bizonyos szakaszt a koordinátasík két pontja. Ebben az esetben a hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével találhatjuk meg.

Tehát a koordinátarendszerben rajzolunk egy szakaszt a végei adott koordinátáival(x1; y1) És (x2; y2) . A tengelyen X És Y Rajzolj merőlegeseket a szakasz végeiből. Jelöljük pirossal azokat a szakaszokat, amelyek az eredeti szakaszból vetületek a koordinátatengelyen. Ezt követően a vetületi szakaszokat a szakaszok végével párhuzamosan visszük át. Háromszöget kapunk (téglalap alakú). Ennek a háromszögnek a befogója maga az AB szakasz lesz, lábai pedig az átvitt vetületek.

Számítsuk ki ezeknek a vetületeknek a hosszát. Tehát a tengelyre Y a vetítési hossz y2-y1 , és a tengelyen X a vetítési hossz x2-x1 . Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Ebben az esetben |AB| a szakasz hossza.

Ha ezt a diagramot használja egy szakasz hosszának kiszámításához, akkor még csak meg sem kell alkotnia a szakaszt. Most számítsuk ki a szakasz hosszát koordinátákkal (1;3) És (2;5) . A Pitagorasz-tételt alkalmazva a következőket kapjuk: |AB|² = (2–1)² + (5–3)² = 1 + 4 = 5 . Ez azt jelenti, hogy szegmensünk hossza egyenlő 5:1/2 .

Tekintsük a következő módszert egy szakasz hosszának meghatározásához. Ehhez ismernünk kell valamelyik rendszer két pontjának koordinátáit. Tekintsük ezt a lehetőséget egy kétdimenziós derékszögű koordinátarendszer segítségével.

Tehát egy kétdimenziós koordinátarendszerben a szakasz szélső pontjainak koordinátái adottak. Ha ezeken a pontokon keresztül egyeneseket húzunk, akkor ezeknek merőlegesnek kell lenniük a koordináta tengelyére, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Az eredeti szegmens a kapott háromszög befogója lesz. A háromszög lábai szegmenseket alkotnak, hosszúságuk megegyezik a befogó vetületével a koordinátatengelyekre. A Pitagorasz-tétel alapján azt a következtetést vonjuk le, hogy egy adott szakasz hosszának meghatározásához meg kell találnunk a két koordinátatengelyre vonatkozó vetületek hosszát.

Határozzuk meg a vetületek hosszát (X és Y) az eredeti szakaszt a koordinátatengelyekre. Ezeket úgy számítjuk ki, hogy megkeressük egy külön tengely mentén lévő pontok koordinátáinak különbségét: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Számítsa ki a szakasz hosszát! A , ehhez megtaláljuk a négyzetgyököt:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Ha a szakaszunk olyan pontok között helyezkedik el, amelyek koordinátái 2;4 És 4;1 , akkor hossza ennek megfelelően egyenlő √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Ha jól kihegyezett ceruzával megérinti a jegyzetfüzet lapot, marad egy nyom, ami képet ad a lényegről. (3. ábra).

Jelöljünk egy papírlapon két A és B pontot. Ezeket a pontokat különböző vonalakkal köthetjük össze (4. ábra). Hogyan kötjük össze az A és B pontot a legrövidebb vonallal? Ezt egy vonalzó segítségével lehet megtenni (5. ábra). Az így kapott sort ún szegmens.

Pont és vonal - példák geometriai formák.

Az A és B pontot hívjuk a szegmens végeit.

Egyetlen szakasz van, amelynek végei A és B pontok. Ezért egy szakaszt úgy jelölünk, hogy felírjuk azokat a pontokat, amelyek a végei. Például az 5. ábrán látható szegmens kétféleképpen van megjelölve: AB vagy BA. Olvassa el: "AB szegmens" vagy "BA szegmens".

A 6. ábra három szegmenst mutat be. Az AB szakasz hossza 1 cm Pontosan háromszor illeszkedik az MN szegmensbe, és pontosan 4-szer az EF szegmensbe. Mondjuk úgy szegmens hossza MN egyenlő 3 cm, az EF szegmens hossza pedig 4 cm.

Szokásos azt is mondani: „az MN szegmens egyenlő 3 cm-rel”, „az EF szegmens egyenlő 4 cm-rel”. Azt írják: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Megmértük az MN és EF szakaszok hosszát egyetlen szegmens, melynek hossza 1 cm Szegmensek méréséhez választhat más hosszegységek, például: 1 mm, 1 dm, 1 km. A 7. ábrán a szegmens hossza 17 mm. Mérése egyetlen szegmenssel történik, amelynek hossza 1 mm, beosztásos vonalzóval. Valamint vonalzó segítségével egy adott hosszúságú szakaszt szerkeszthet (rajzolhat) (lásd 7. ábra).

Egyáltalán, egy szegmens mérése azt jelenti, hogy megszámoljuk, hány egységszegmens fér bele.

Egy szakasz hosszának a következő tulajdonsága van.

Ha megjelöli a C pontot az AB szakaszon, akkor az AB szakasz hossza megegyezik az AC és CB szakaszok hosszának összegével(8. ábra).

Írd: AB = AC + CB.

A 9. ábrán két AB és CD szegmens látható. Ezek a szegmensek egymásra helyezve egybeesnek.

Két szegmenst egyenlőnek nevezünk, ha egymásra helyezve egybeesnek.

Ezért az AB és a CD szakaszok egyenlőek. Azt írják: AB = CD.

Az egyenlő szakaszok egyenlő hosszúságúak.

Két egyenlőtlen szakasz közül a hosszabbat tekintjük nagyobbnak. Például a 6. ábrán az EF szegmens nagyobb, mint az MN szegmens.

Az AB szakasz hosszát ún távolság A és B pont között.

Ha több szegmens van elrendezve a 10. ábrán látható módon, akkor egy geometriai alakzatot kapunk, melynek neve szaggatott vonal. Vegye figyelembe, hogy a 11. ábrán látható összes szegmens nem alkot szaggatott vonalat. A szakaszok szaggatott vonalat képeznek, ha az első szakasz vége egybeesik a második, a második szakasz másik vége pedig a harmadik végével stb.

Pontok A, B, C, D, E − szaggatott vonal csúcsai ABCDE, A és E pontok − a vonallánc végei, és az AB, BC, CD, DE szegmensek az linkeket(lásd 10. ábra).

Vonal hossza hívja meg az összes linkje hosszának összegét.