A síkfeszültségi állapot általános esete. Síkfeszültség állapot, sík alakváltozás

06.08.2020 | Számítógépek

15. előadás

Példa egy olyan szerkezetre, amelynek minden pontja síkban feszített állapotban van, egy vékony lemez, amelynek végeit a síkjában lévő erők terhelik. Mivel a lemez oldalfelületei feszültségmentesek, vastagságának kicsinysége miatt feltételezhetjük, hogy a lemez belsejében a felületével párhuzamos területeken a feszültségek elhanyagolhatóan kicsik. Hasonló helyzet adódik például vékonyfalú profilú aknák és gerendák rakodásakor.

Általános esetben, amikor síkfeszültség-állapotról beszélünk, nem a teljes szerkezetre gondolunk, hanem csak az elemének tekintett pontjára. Annak jele, hogy egy adott pontban a feszültség állapota lapos, egy olyan platform jelenléte, amely áthalad rajta, és nincs feszültség. Ilyen pontok különösen a test külső felületének olyan pontjai, amelyek mentesek a terheléstől, ami a legtöbb esetben veszélyes. Ez magyarázza az ilyen típusú stresszállapot elemzésére fordított figyelmet.

Egy elemi paralelepipedon lapos feszített állapotban történő ábrázolásakor elegendő az egyik tehermentes oldalát a rajz síkjához igazítva (15.1. ábra), ekkor az elem terhelt felületei a határvonalakhoz igazodnak bemutatott terület. Ebben az esetben a feszültségek jelölési rendszere és az előjelek szabályai változatlanok maradnak - az ábrán látható feszültségállapot összetevői pozitívak. Figyelembe véve a tangenciális feszültségek párosítási törvényét

t xy = t yx, a síkfeszültségi állapotot (PSS) három független komponens írja le - s x, s y, t xy. .

SÍK FESZÜLTSÉGES ÁLLAPOT FESZÜLTSÉGE A DÖNTÉSŰ PLATFOROKRA

ábrán látható elem közül válasszunk. 15.1, háromszög alakú prizma, gondolatban vágva a rajz síkjára merőleges ferde metszettel xOy. A rámpa és a kapcsolódó tengelyek helyzete x 1 , y 1 az a szöggel lesz beállítva, amely pozitívnak tekinthető, ha a tengelyeket az óramutató járásával ellentétes irányba forgatjuk.

Ami a fent leírt általános esetet illeti, az ábrán látható. 15.2, a feszültségek egy ponton hatónak tekinthetők, de eltérő irányultságú területeken. A ferde platformon lévő feszültségeket a prizma egyensúlyi feltételéből találjuk meg, kifejezve az adott feszültségekkel x, s y, t xy az egybeeső arcokon koordinátasíkok. Jelöljük a ferde arc területét dA, akkor a koordinátalapok területei az alábbiak szerint találhatók:

dA x = dA cos a ,

dA y = dA bűn a .

A prizma lapjaira ható erőket vetítsük a tengelyre x 1 és y 1:

Csökkentés egy közös tényezővel dA, és futás elemi átalakulások, kapunk

Tekintve, hogy

a (15.1) kifejezések a következő végső formát adhatják:

ábrán. A 15.3. ábrán az eredetivel együtt egy infinitezimális elem látható a tengelyek mentén x 1 ,y 1 . A tengelyre merőleges felületein feszültségek vannak x 1-et a (15.2) képlet határozza meg. Megtalálni a normál feszültséget a tengelyre merőleges lapon y 1, az a szög helyett az a + 90° értéket kell behelyettesítenie:

Tangenciális feszültségek elforgatott koordinátarendszerben x 1 y 1 betartani a párosítás törvényét, azaz.

A normálfeszültségek összege, amint az a térfogati feszültségállapot elemzéséből ismeretes, annak egyik invariánsa, és állandónak kell maradnia, amikor az egyik koordinátarendszert egy másikkal helyettesítjük. Ez könnyen ellenőrizhető a (15.2), (15.3) képletekből meghatározott normálfeszültségek összeadásával:

FŐ HANGSÚLYOZÁSOK

Korábban megállapítottuk, hogy azokat a területeket, ahol nincs nyírófeszültség, főterületnek, a rájuk eső feszültségeket pedig főfeszültségnek nevezzük. Síkfeszültségi állapotban az egyik fő hely helyzete előre ismert - ez egy olyan hely, amelyen nincsenek feszültségek, pl. a rajzsíkkal kombinálva (lásd 15.1. ábra). Keressük meg a rá merőleges fő platformokat. Ehhez a tangenciális feszültséget nullára állítjuk a (15.1)-ben, amiből megkapjuk

Az a 0 szög mutatja a normál irányát a fő helyhez, vagy fő irány ezért hívják fő szög. Mivel a kettős szög érintője az periodikus függvény p/2 periódussal, majd a szög

a 0 + p/2 is főszög. Így összesen három fő platform van, mindegyik egymásra merőleges. Az egyetlen kivétel az az eset, amikor nem három fő terület van, hanem végtelen sok - például körkörös összenyomásnál, amikor bármelyik választott irány a fő, és a feszültségek azonosak a ponton áthaladó összes területen. .

A főfeszültségek meghatározásához használhatja a (15.2) képlet közül az elsőt, az a szög helyett szekvenciálisan helyettesítve az a 0 és

Itt figyelembe veszik azt

A trigonometrikus függvények kiküszöbölhetők a (15.5) kifejezésekből, ha a jól ismert egyenlőséget használjuk

És vegye figyelembe a (15.4) képletet is. Akkor kapunk

A képletben szereplő pluszjel az egyik fő feszültségnek, a mínusz jel a másiknak felel meg. Kiszámításuk után használhatjuk az elfogadott jelölést az s 1, s 2, s 3 főfeszültségekre, figyelembe véve, hogy s 1 az algebrailag legnagyobb, s 3 pedig az algebrailag legkisebb feszültség. Más szóval, ha a (15.6) kifejezésekből talált mindkét fő feszültség pozitívnak bizonyul, akkor azt kapjuk

Ha mindkét feszültség negatív, akkor lesz

Végül, ha a (15.6) kifejezés feszültségértékeket ad meg különböző jelek, akkor a főfeszültségek egyenlőek lesznek

A NORMÁLIS ÉS A HANGOLÓ FESZÜLÉSEK LEGMAGASABB ÉRTÉKEI

Ha gondolatban forgatod a tengelyeket x 1 y 1. ábra és a hozzájuk tartozó elem (lásd 15.3. ábra), a lapjain lévő feszültségek megváltoznak, és az a szög bizonyos értékénél a normálfeszültség eléri a maximumot. Mivel az egymásra merőleges területek normál feszültségeinek összege állandó marad, a feszültség ebben a pillanatban a legkisebb lesz.

A helyek ezen pozíciójának megtalálásához meg kell vizsgálni a szélsőség kifejezését, figyelembe véve azt az a argumentum függvényében:

A zárójelben lévő kifejezést (15.2) összehasonlítva arra a következtetésre jutunk, hogy a tangenciális feszültségek nullával egyenlőek a kívánt helyeken. Így a normál feszültségek pontosan a fő helyeken érik el a szélsőséges értékeket.

A legnagyobb tangenciális feszültség meghatározásához a fő területeket vesszük kezdeti területnek, a tengelyeket igazítva xÉs y fő irányokkal. A (15.1) képletek, amelyekben az a szöget most az s 1 irányból mérik, a következő formában lesznek:

Az utolsó kifejezésből az következik, hogy a nyírófeszültség eléri legmagasabb értékeket 45°-kal a főbb oldalakra fordított helyeken, amikor

sin 2a = ±1. Maximális értékük egyenlő

Vegye figyelembe, hogy a (15.8) képlet akkor is érvényes, ha

EGY SÍK FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA. MÓRA KÖREI

A (15.7) képleteknek, amelyek a főhöz képest egy bizonyos α szöggel elforgatott terület feszültségeit határozzák meg, egyértelmű geometriai értelmezésük van. Ha a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy mindkét főfeszültség pozitív, a következő jelölést vezetjük be:

Ekkor a (15.7) kifejezések a σ és τ koordinátájú kör parametrikus egyenletének teljesen felismerhető formáját veszik fel:

A jelölésben szereplő „α” index azt hangsúlyozza, hogy a feszültségek az eredetihez ebben a szögben fordított helyen helyezkednek el. Nagyságrend A meghatározza a kör középpontjának helyzetét a σ tengelyen; a kör sugara az R. ábrán látható. 15.5, a körkörös feszültségdiagramot hagyományosan Mohr-körnek nevezik, nevét a híres német tudósról, Otto Mohrról (1835-1918) nevezték el, aki javasolta. A függőleges tengely irányát a jel figyelembevételével választjuk meg τ α in (15,10). Az α szög minden értéke egy reprezentációs pontnak felel meg K (σ α, τ α ) egy olyan körön, amelynek koordinátái megegyeznek a megforgatott terület feszültségeivel. Az egymásra merőleges platformok, amelyekben a forgásszög 90°-kal eltér, pontoknak felelnek meg KÉs K’ az átmérő ellentétes végein fekszik.

Itt figyelembe veszik azt

hiszen a (15.2) és a (15.7) képlet a szög 90 0-os változása esetén a nyírófeszültség előjelét adja egy elforgatott koordináta-rendszerben, amelyben az egyik tengely irányában egybeesik az eredeti tengellyel, a másik pedig ellentétes irányú. (15.5. ábra)

Ha a kezdeti helyek a főbbek, pl. σ 1 és σ 2 értékei ismertek, a Mohr-kör könnyen megszerkeszthető az 1. és 2. pontok segítségével. A kör középpontjából a vízszintes tengellyel 2a szöget bezáró sugár, a kör metszéspontjában , olyan reprezentációs pontot ad, amelynek koordinátái megegyeznek a megforgatott terület kívánt feszültségeivel. Kényelmesebb azonban egy kör úgynevezett pólusát használni, amelyből a sugarat a szögben irányítjuk. A kör sugarának és átmérőjének nyilvánvaló kapcsolatából a pólus, amelyet a rajzon betűvel jelöltünk A, ebben az esetben egybeesik a 2. ponttal. Általános esetben a pólus az eredeti helyekhez viszonyított normálok metszéspontjában található. Ha a kezdeti területek nem a fő területek, akkor a Mohr-kör a következőképpen épül fel: a reprezentáló pontokat a σ - t síkon ábrázoljuk. K (σ x,t xy) És K’(σ y,-t xy), a függőleges és vízszintes kezdeti területeknek megfelelően. Egy egyenes pontjait összekötve megtaláljuk a kör középpontját a σ tengellyel való metszéspontban, ami után maga a kördiagram készül. A körnek a vízszintes tengellyel való metszéspontja adja a főfeszültségek értékét, a sugár pedig megegyezik a legnagyobb nyírófeszültséggel. ábrán. A 15.7. ábrán látható Mohr köre, amely nem a fő helyszínekből épült fel. Pólus A az eredeti betétek normálértékeinek metszéspontjában van K.A.És K’A. Sugár A.M., a pólusból a vízszintes tengellyel a szögben húzva, a kör metszéspontjában egy reprezentációs pontot ad M(σ a ,t a), melynek koordinátái a számunkra érdekes terület feszültségeit jelentik. A pólusból az 1. és 2. pontba húzott sugarak a 0 és a 0 +90 0 főszögeket mutatják. Így a Mohr-körök kényelmes grafikus eszközt jelentenek a síkfeszültségi állapot elemzésére.

b) Megtaláljuk a feszültséget egy 45 0 -kal elforgatott elem élén a (15.1) segítségével.

Normál feszültség merőleges területen

(a = 45 0 +90 0) egyenlő lesz

c) A legnagyobb tangenciális feszültségeket a (15.8) segítségével találjuk meg.

2. Grafikus megoldás.

Szerkesszük meg a Mohr-kört a reprezentáló pontok felhasználásával K(160,40) és K’ (60, -40)

Kör pólus A az eredeti területek normálértékeinek metszéspontjában találjuk.

A kör az 1. és 2. pontban metszi a vízszintes tengelyt. Az 1. pont a σ 1 = 174 MPa főfeszültségnek, a 2. pont a σ 2 = 46 MPa főfeszültség értékének felel meg. Az oszlopról vezetett sugár A az 1. és 2. ponton keresztül a fő szögek értékét mutatja. Az eredetihez képest 45 0 -kal elforgatott helyszínen lévő feszültségek megegyeznek a reprezentációs pont koordinátáival M, amely a kör és a pólusból húzott sugár metszéspontjában található A 45 0 -os szögben. Amint látjuk, grafikus megoldás A stresszállapot-elemzés feladata egybeesik az analitikussal.

Ha minden feszültségvektor párhuzamos ugyanahhoz a síkhoz, a feszültségállapotot síknak nevezzük (1. ábra). Ellenkező esetben: a feszültségállapot lapos, ha a három főfeszültség közül az egyik nulla.

1. kép

A síkfeszültségi állapot a kontúrja mentén erőkkel terhelt lemezben valósul meg, melynek eredője a középsíkjában található (a középsík a lemez vastagságát kettéosztó sík).

Feszültségirányok az ábrán. 1 pozitívnak tekinthető. Az α szög pozitív, ha az x tengelytől az y tengelyig ábrázoljuk. Normál n-t tartalmazó webhelyen:

A σ n normálfeszültség pozitív, ha húzó. A pozitív feszültség az ábrán látható. 1. Az (1) képlet előjelszabálya ugyanaz, mint az (1) képlet szerinti feszültségeknél.

Az itt megadott előjelszabály ferde platformokra vonatkozik. A cikkben "Térfogat stressz állapot" előjelszabályt fogalmaztak meg egy pontban lévő feszültségkomponensekre, azaz a koordinátatengelyekre merőleges területek feszültségeire. Ezt az előjelszabályt a rugalmasság elmélete elfogadja.

Főfeszültségek a feszültségsíkra merőleges területeken:

(Mivel itt csak két főfeszültséget veszünk figyelembe, ezeket σ 1 és σ 2 jelöli, bár kiderülhet, hogy σ 2<0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:

Ezek a feszültségek az első és a második főterülettel 45°-os szöget bezáró területekre hatnak.

Ha a σ 1 és σ 2 főfeszültségek azonos előjelűek, akkor a legnagyobb tangenciális feszültség a feszültségsíkkal 45°-os szöget bezárt területre hat (xy sík). Ebben az esetben:

Egy gerenda falában (itt szabályos gerendát értünk, nem gerendafalat) erők hatására meghajlítva egy síkfeszültségi állapot speciális esete valósul meg. A gerenda falaiban az egyik normálfeszültség σ y egyenlő nullával. Ebben az esetben a feszültségeket az (1), (2) és (4) képlet alapján kapjuk meg, ha ezekben a képletekben σ y =0-t teszünk. Az első fő platform helyzetét a (3) képlet határozza meg.

KÉTIRÁNYÚ NYÚJTÁS(2. ábra).

A rugalmasság elméletének alapjai

4. előadás

A rugalmasságelmélet síkproblémája

2. dia

A rugalmasságelméletben a problémák nagy csoportja van, amelyek a gyakorlati alkalmazások szempontjából fontosak, és egyben lehetővé teszik a megoldás matematikai oldalának jelentős egyszerűsítését. Az egyszerűsítés abban rejlik, hogy ezekben a feladatokban a test egyik koordinátatengelyét, például a z tengelyt el lehet vetni, és minden jelenséget a terhelt test egy x0y koordinátasíkjában előfordulónak tekinthetünk. Ebben az esetben a feszültségek, alakváltozások és elmozdulások két koordináta - x és y - függvényei lesznek.

A két koordinátában vizsgált feladatot ún a rugalmasságelmélet síkproblémája.

"" kifejezés alatt a rugalmasságelmélet síkproblémája„Két fizikailag különböző problémát kombinálunk, ami nagyon hasonló matematikai függőségekhez vezet:

1) a sík deformált állapot problémája (síkdeformáció);

2) síkfeszültségi állapot problémája.

Ezeket a problémákat leggyakrabban a vizsgált testek egy geometriai mérete és két másik mérete közötti jelentős különbség jellemzi: az első esetben nagy hosszúság, a második esetben kis vastagság.

Sík feszültség

Laposnak nevezzük az alakváltozást, ha a test összes pontjának mozgása egy síkban csak két irányban történhet, és nem függ az erre a síkra merőleges koordinátától, azaz.

u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4,1)

A síkbeli deformáció a z tengellyel párhuzamos tengelyű, hosszú prizmás vagy hengeres testekben fordul elő, amelyek mentén a terhelés az oldalfelület mentén, erre a tengelyre merőlegesen hat, és nagysága nem változik a tengely mentén.

A síkbeli deformációra példa a feszültség-nyúlás állapot, amely egy hosszú egyenes gátban és egy földalatti alagút hosszú ívében lép fel (4.1. ábra).

ábra – 4.1. A gáttestben és a földalatti alagút tetején síkbeli deformáció lép fel

3. dia

A (4.1) eltolási vektor komponenseit behelyettesítve a (2.14), (2.15) Cauchy-képletbe, a következőt kapjuk:

(4.2)

A z tengely irányú lineáris alakváltozások hiánya σ z normálfeszültségek megjelenéséhez vezet. A Hooke-törvény (3.2) képletéből az ε z alakváltozásra az következik, hogy

amelyből megkapjuk a σ z feszültség kifejezését:

(4.3)

Ha ezt az összefüggést behelyettesítjük a Hooke-törvény első két képletébe, azt kapjuk:

(4.4)

4. dia

A (4.2) − (4.4) és (3.2) képletek elemzéséből az is következik, hogy

Így a háromdimenziós rugalmasságelmélet alapegyenletei síkdeformáció esetén jelentősen leegyszerűsödnek.

A Navier-egyensúly (2.2) három differenciálegyenlete közül csak két egyenlet maradt meg:

(4.5)

a harmadik pedig identitássá válik.

Mivel az iránykoszinusz az oldalfelületen mindenhol ott van n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, így a felület három feltételéből (2.4) csak két egyenlet marad:

(4.6)

ahol l, m a külső normális irány koszinuszai v a kontúrfelülethez;

X,Y,X v, Y v– a térfogati erők összetevői és a külső felületi terhelések intenzitása az x, illetve az y tengelyen.

5. dia

A hat Cauchy-egyenlet (2.14), (2.15) háromra redukálódik:

(4.7)

A Saint-Venant-deformációk hat folytonossági egyenletéből (2.17), (2.18) egy egyenlet marad:

(4.8)

a többi pedig identitássá válik.

A Hooke-törvény hat képletéből (3.2), figyelembe véve (4.2), (4.4), három képlet marad meg:

Ezekben az összefüggésekben új rugalmassági állandókat vezettek be a rugalmasságelmélet hagyományos formájához:

6. dia

Síkfeszültségi állapot

Síkfeszültségi állapot akkor következik be, ha ugyanannak a prizmás testnek a hossza kicsi a másik két dimenzióhoz képest. Ebben az esetben vastagságnak nevezzük. A test feszültségei az xOy koordinátasíkon csak két irányban hatnak, és nem függenek a z koordinátától. Ilyen test például egy h vastagságú vékony lemez, amely az oldalfelület (borda) mentén a lemez síkjával párhuzamos erőkkel van megterhelve, és egyenletesen oszlik el a teljes vastagságában (4.2. ábra).

4.2 ábra – Vékony lemez és a rá kifejtett terhelések

Ebben az esetben a sík alakváltozási problémához hasonló egyszerűsítések is lehetségesek. A σ z, τ xz, τ yz feszültségtenzor komponensek a lemez mindkét síkján nullával egyenlőek. Mivel a lemez vékony, feltételezhetjük, hogy a lemezen belül nullával egyenlőek. Ekkor a feszített állapotot csak a σ x, σ y, τ xy komponensek határozzák meg, amelyek nem függenek a z koordinátától, azaz nem változnak a lemez vastagsága mentén, hanem csak x és y függvényei. .

Így egy vékony lemezben a következő feszültségállapot jön létre:

7. dia

A feszültségekkel kapcsolatban a síkfeszültség állapota a feltétel által eltér a sík alakváltozástól

Ezenkívül a Hooke-törvény (3.2) képletéből (4.10) figyelembe véve az ε z lineáris alakváltozásra azt kapjuk, hogy nem egyenlő nullával:

Következésképpen a lemez alja ívelt lesz, ahogy elmozdulások jelennek meg a z tengely mentén.

Ezen feltevések alapján a síkbeli deformáció alapegyenletei: a differenciálegyenletek (4.5), a felületi feltételek (4.6), a Cauchy-egyenletek (4.7) és a deformációs folytonossági egyenletek (4.8) változatlan formában maradnak a síkfeszültségi állapot problémájában. .

A Hooke-törvény képletei a következő formában lesznek:

A (4.11) képletek csak a rugalmassági állandók értékében térnek el a Hooke-törvény síkdeformációra vonatkozó (4.9) képletétől: E és E 1, vÉs v 1 .

8. dia

Fordított formában a Hooke-törvény a következőképpen lesz leírva:

(4.12)

Így e két probléma (síki alakváltozás és síkfeszültségi állapot) megoldása során ugyanazokat az egyenleteket használhatja, és a feladatokat a rugalmasságelmélet egy síkfeladatává kombinálhatja.

A rugalmasságelmélet síkproblémájában nyolc ismeretlen van:

– az u és v eltolásvektor két komponense;

– a feszültségtenzor három komponense σ x, σ y, τ xy;

– a deformációs tenzor három komponense ε x, ε y, γ xy.

Nyolc egyenletet használnak a probléma megoldására:

– két differenciálegyensúlyi egyenlet (4.5);

– három Cauchy-egyenlet (4.7);

– a Hooke-törvény három formulája (4.9), vagy (4.11).

Ezenkívül a keletkező alakváltozásoknak meg kell felelniük az alakváltozások folytonossági egyenletének (4.8), és a test felületén teljesülniük kell a belső feszültségek és az X külső felületi terhelés intenzitásai közötti egyensúlyi feltételeknek (4.6) v, Y v.

Az eldobott rész hatását a B ponthoz közeli fennmaradó részre feszültségek ábrázolják. Emlékeztetünk arra, hogy az érintőleges feszültségek első indexe a második tengely azon szakaszára vonatkozó merőleges tengelynek felel meg, amelyre a tangenciális feszültség irányul. Feszültségek ferde szakaszokban Tegyük fel a feladatot: Határozzuk meg a födém adott B pontján átmenő tetszőleges szakasz feszültségeit!

Ossza meg munkáját a közösségi hálózatokon

Ha ez a munka nem felel meg Önnek, az oldal alján található a hasonló művek listája. Használhatja a kereső gombot is

Síkfeszültségi állapot

Feszült állapot, amikor normál feszültségek keletkeznek mind az X tengely, mind a tengely irányában Y (például külső nyomással terhelt vékonyfalú edényekben). És a tengelyekre merőleges szakaszokban X és Y tangenciális feszültségek hatnak (a gerendákban hajlítás közben) únlapos (biaxiális) feszültségállapot.

Mutassuk meg, hogy például egy tetszőleges alakú, más méretekhez képest kis vastagságú födém (vagy lemez) síkfeszült állapotban van. Bármely kölcsönösen kiegyensúlyozott külső erőrendszer, amely egyenletesen oszlik el a vastagságban és párhuzamos a középső réteggel, a födém kontúrja mentén hat. A kicsinysége miatt a födém külső síkjaira merőleges irányú feszültségváltozás elhanyagolható. Ugyanakkor, mert külső erők hiányoznak a külső síkokon, akkor ezeknek a felületeknek bármely elemi területe az erők és feszültségek nullával egyenlőek, ezért minden, ezekkel a felületekkel párhuzamos szakaszban nullával egyenlők. Ezek a szakaszok a fő szakaszok, ezért a vizsgált esetben az egyik fő feszültség nulla.

Kapcsoljuk a testet a koordinátatengelyekhez XOY , amely a középső réteg síkjában helyezkedik el. Szellemileg vágja a lapot (lemezt) részekre I. és II , merőleges a tengelyekre X és Y . Az eldobott rész akciója a maradékon, a pont közelében B feszültségekkel fogjuk ábrázolni (emlékezzünk arra, hogy a tangenciális feszültségek első indexe a metszet merőleges tengelyének, a második pedig annak a párhuzamos tengelynek felel meg, amelyre a tangenciális feszültség irányul). Így általános esetben a lemez tetszőleges pontja közelében síkfeszültségi állapot jön létre, amelyben.

Feszültségek a ferde szakaszokban

Tegyük fel a feladatot: Határozzuk meg a feszültségeket egy adott ponton átmenő tetszőleges szakaszban B táblák.

Ehhez egy szakaszt készítünk III végtelenül közel a lényeghez B . A teljes feszültség ebben a szakaszban egyenlőnek tekinthető a ponton áthaladó szakasz teljes feszültségével B. A szakasz helyzetét a tengellyel bezárt szög határozza meg X a szakasz normál N.

Gondolatban válasszon ki egy háromszög alakú lemezt a födémből BCD az egész testhez hasonlóan egyensúlyban van. Tekintettel a lemez végtelenül kis méretére, feltételezzük, hogy a feszültségek egyenletesen oszlanak el a lapok mentén. Ezután a lemez minden felületére ható erők eredője kiszámítható a feszültség és a megfelelő felület területének szorzataként, és az oldal súlypontjára vonatkozik. Helyezzük a koordináták origóját a pontba - az arc súlypontjába CD.

Feltételezzük, hogy a feszültségek ismertek. Keressük meg a teljes feszültség összetevőit S a koordinátatengelyek mentén, valamint az arc normál és nyírófeszültségei CD . Összeállítjuk az egyensúlyi egyenleteket:

Pillanatok összege egy pontról

Csökkentés után kapjuk

(1)

Ez az eredmény a tangenciális erők egyensúlyi feltételét fejezi ki egymásra merőleges szakaszokban egy derékszög közvetlen közelében, a tangenciális feszültségek egyenlő nagyságúak és a derékszög csúcsa felé irányulnak (vagy a csúcsból, ha ellentétes irányba irányulnak). az ábrán láthatók).

Jelöljük tehát, hol vannak az irány koszinuszai.

Vetítési egyenletek

-vel való csökkentés után A

(2)

Keressük meg a teljes feszültség normál és érintőleges összetevőit

Ezt figyelembe véve megkapjuk

(3)

Kimutatható, hogy:

- egymásra merőleges szakaszokon a normálfeszültségek összege állandó, a tangenciális feszültségek moduljai egyenlők;
- párhuzamos metszetekben a normál és érintőleges feszültségek egyenlő nagyságúak és előjelűek.

Aláírási szabályok:

pozitív:

Normál feszültségek, ha húzó;

Tangenciális feszültségek, ha elemelfordulásokat hoznak létre BCD a benne lévő ponthoz képest az óramutató járásával ellentétes irányban, és - az óramutató járásával megegyezően.

Fő feszültségek és szakaszok

A szakaszokat főnek nevezzük, ha:

a normál feszültségek szélsőséges értékeket érnek el;
Tangenciális feszültségek nincsenek (nullával egyenlő).

Ugyanakkor, hogy az egyik jel közömbös, mindig bemutatható a másik következményeként.

Határozzuk meg a fő szakaszok helyzetét a második kritérium szerint, feltételezve, hogy a szakasz CD a fő, i.e. , és ennek következtében

, (A)

Ha behelyettesítjük (a)-t (2)-be, azt kapjuk

(4)

Itt - határozza meg a szél helyzetét CD , amikor ez lesz a fő rész. A (4) rendszer az ismeretlenekre nézve homogén, és csak akkor van nem nulla megoldása, ha a (4) rendszer determinánsa egyenlő nullával (Roucher-tétel), azaz.

(5)

Bővített formában, és átalakítások után

(6)

A másodfokú egyenlet megoldása során megtaláljuk a főfeszültségek moduljait

Ahol

(7)

A (6) egyenlet mindkét gyöke (7) valós, ezek adják a két főfeszültség értékét, és a harmadik, amint azt korábban megjegyeztük, a feszített állapot síkbeli esetben nullával egyenlő. Ha, akkor a feltételnek megfelelően azt kapjuk,.

A fő feszültségek és, i.e. a (6) egyenlet gyökereit a feszültségi állapot természete határozza meg, és nem függ attól, hogy melyik koordinátatengely-rendszert fogadták el kiindulásiként. Ezért a tengelyek forgatásakor X, Y együtthatók és egyenletek (6) változatlanok kell, hogy maradjanak (az). Ezért ezeket stresszállapot-invariánsoknak nevezzük.

Határozzuk meg a főfeszültségek irányát, vagy a főszakaszok helyzetét meghatározó iránykoszinuszokat, feltételezve és a (7) kifejezésekből számolva.

Ehhez létezik egy (5) egyenletrendszer, amely azonban homogén, és nem nullától eltérő gyökei nem határozhatók meg. A trigonometria tantárgyból tudjuk

(8)

(V)

akkor egy inhomogén és határozott (8) és (c) egyenletrendszert kapunk, melynek megoldásával megállapítjuk a fő szakaszok helyzetét.

(c)-be behelyettesítve először megvan

(Val vel)

Koordinátatengellyel készített szögek koszinuszai X és Y normális az első főszakaszra, amely ugyanaz a főfeszültség.

A (c) egyenletrendszer megoldásával megkapjuk

(9)

Ugyanígy, a c) pontban helyettesítve

(10)

B (9) és (10) - a tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatással mért szögek x a normálokhoz azokhoz a szakaszokhoz, amelyekben a főfeszültségek és rendre hatnak.

Határozzuk meg a fő szakaszok egymáshoz viszonyított helyzetét. Ehhez szorozzuk meg tagonként a (9) és (10) egyenletet

Behelyettesítéskor ( d ) értékekből és a (7)-ből transzformációk után a következő kifejezéshez jutunk

Mert , akkor írhatsz. Jelenti

Ebből következik, hogy a fő szakaszok egymásra merőlegesek, és (9), (10)

Vegye figyelembe, hogy a (7) képlet mindkét sorát hozzáadva a következőt kapjuk:egymásra merőleges szakaszokban a normálfeszültségek összege állandó.

Fő deformációk

Határozzuk meg az alakváltozásokat a főfeszültségek irányában. Ehhez válasszunk ki gondolatban egy sík feszültségű testből egy téglalap alakú elemet, amelynek élei párhuzamosak a főmetszetekkel. Mert A lapok mentén csak normál feszültségek hatnak, ekkor a főfeszültségek irányai egybeesnek az alakváltozásokkal, úgynevezett főfeszültségekkel. Az általánosított Hooke-törvény képleteit felhasználva és feltételezve azt kapjuk

(11)

Extrém nyírófeszültség

Tegyük fel, hogy az élek mentén BC és BD háromszög alakú lemez BCD főfeszültségek és Ekkor a (3) kifejezések alakját veszik fel

(m)

Vizsgáljuk meg a függvényt ( m ) a végletekig, a létfeltételek alapján. Megkülönböztetni ( m) által.

Általános esetben tehát ( s).

Az at szimbólumot azért kell elhelyezni, hogy meg lehessen különböztetni az egyenlet gyökereit ( s ), meghatározva azon szakaszok helyzetét, amelyekben a szélső értékeket eléri, a (9), (10) egyenletek gyökereiből meghatározva a fő szakaszok helyzetét.

Egyenlet (s ) belül két gyöke van, amelyek különböznek egymástól abban, hogy honnan származnak.

Hogy. azok a szakaszok, amelyekben a tangenciális feszültségek elérik a legnagyobb abszolút értéket, szöget zárnak be a fő szakaszokkal. Ezek a szakaszok is egymásra merőlegesek.

Mikor és a kifejezés (k 0 alakot ölt

(12)

Ugyanazokban a szakaszokban

vagy (13)

Az ábrán és az alábbiakban a szögeket a (2 vagy 3) tengelytől mérjük, amely a legkisebb főfeszültséggel (vagy) irányában egybeesik. Ezután a fentiekkel összhangban a c szakasz normálja ezzel a tengellyel szöget zár be, és - c szögben. A tányér szélein abcd , a tangenciális feszültségek mellett normálfeszültségek is lehetnek, amelyeket a (13) képlet határoz meg. Ne feledje, hogy mindig nagyobb, mint nulla, ezért van egy iránya, amelyben az elem forgását hozza létre abcd a benne lévő bármely ponthoz képest az óramutató járásával ellentétes irányba, - óramutató járásával megegyező irányba. Egy síkfeszültségi állapot általános esetben, amikor a főfeszültségek nincsenek megadva, hanem a szélsőfeszültségek moduljai is meghatározhatók a képlettel

(14)

amelyeket a (7) helyett (12) kapunk.

Fajlagos potenciális energia

A feszítés (kompresszió) során a külső erők az alkalmazási pontjaik elmozdulása miatt munkát végeznek, és az anyag deformációját okozzák. A deformáció során a belső rugalmas erők is munkát végeznek. Ismeretes, hogy a test által az alakváltozás során felhalmozott energiát potenciális deformációs energiának nevezzük, és ennek az energia egységnyi térfogatra jutó értékét fajlagos potenciális energiának. A központi feszültséget (kompressziót) a kifejezésből számítottuk ki. Sík feszített állapotban a deformáció fajlagos potenciális energiáját két tag összegeként kapjuk meg

Mert és akkor

(15)

Egyéb hasonló művek, amelyek érdekelhetik.vshm>
6543.		Volumetrikus (térbeli) feszültségállapot	228,62 KB
	A vizsgált ponton áthaladó sok szakaszon fellépő feszültségek halmazát a pont közelében lévő feszültségállapotnak nevezzük. A pont közelében bekövetkező stresszváltozások törvényeinek tanulmányozása nem pusztán elvont. A csökkentések után kapunk...
6011.		Az autó műszaki állapota	126,23 KB
	Megtörténik: Az autó üzemképes állapota olyan állapot, amelyben a műszaki specifikáció és a tervdokumentáció minden követelményének megfelel. A hibás állapot a következőkre is osztható: Az autó üzemállapota az az állapot, amelyben az abban meghatározott paraméterekkel képes bizonyos munkát elvégezni. Műszaki adatok. A járműegység vagy alkatrész határállapota olyan állapot, amelyben már nem fogadható el azok üzemeltetése.
8472.		Az anyag folyékony halmazállapota	230,17 KB
	A folyadékban lévő molekula potenciális energiája kisebb, mint a folyadékon kívül. A folyadék belsejében keletkező erő 0. A folyadék felszínén fekvő teljes rétegre a folyadékba normálisan irányított erők hatnak. A külső erők által nem ható folyadéktömegnek gömb alakot kell felvennie.
12293.		A házasság mint jogállam	62,92 KB
	A házasság állapotának kialakulása: a házasság fogalma és formája az orosz családjogban. A házasság, mint jogállam fennállásának és megszűnésének jogkövetkezményei. A házasság jogi következményei. A házasság felbontásának jogi következményei.
9441.		A GÉPEK MŰSZAKI ÁLLAPOTA ÉS AZÉRTÉKELÉSE	109,07 KB
	Az életciklus fontos szakasza az üzemeltetés, amely magában foglalja a szállítást, beszerelést és szétszerelést, rendeltetésszerű használatot Karbantartás gépjavítás és raktározás. Műszaki állapot A gépi berendezés azon tulajdonságainak összessége, amelyek a gyártás és az üzemeltetés során megváltozhatnak, és egy adott időpontban a műszaki dokumentációban megállapított jelekkel jellemezhetők. A legfontosabb benne életciklus Bármely gépen a gyártás és a működés azon szakaszai vannak, amelyeken azt végrehajtják...
7608.		Az oroszországi földpiac helyzete	67,95 KB
	A javítás problémája jogi szabályozás Az oroszországi földviszonyok a közelmúltban az egyik legégetőbb kérdéssé váltak, és nemcsak jogászok, törvényhozók és politikusok, hanem a társadalom egésze is széles körben vitatja ezt. A vitában résztvevő felek véleménye olykor ellentmondásos
18050.		A "Jailau" szanatórium pénzügyi helyzete	114,75 KB
	Számos olyan vállalkozás és szervezet, amely már a válság előtt megkezdte tevékenységét, valamint azok, amelyek közvetlenül a válság után kockáztatták, hogy megkezdjék tevékenységüket, instabil válsághelyzetben érezték meg életüket. Sok vállalkozás csődbe ment, bezárt, beszüntette tevékenységét, és átképzett egy másik, a piacon keresettebb tevékenységre. Ha rátérünk a meglévő vállalkozások, szervezetek tevékenységének kialakítására, amelyek ma felvehetik a versenyt a fejlett nyugati...
9975.		A Voskhod LLC társaság pénzügyi helyzete	204,18 KB
	Fontos szerep ennek a feladatnak a végrehajtása során elemzést adunk pénzügyi helyzet vállalkozások. Segítségével kidolgozzák a vállalkozás fejlesztési stratégiáját és taktikáját, megalapozzák a terveket, és nyomon követik a megvalósításukkal kapcsolatos vezetői döntéseket, azonosítják a kereskedelmi tevékenység hatékonyságának javításának módjait, valamint a vállalkozás tevékenységének eredményeit. részlegeit és alkalmazottait értékelik. Egy szállodakomplexum vállalkozásának pénzügyei fontosak szerves része pénzügyi rendszer. A szállodavállalkozások finanszírozásában szerepel...
18527.		Biztosítás Kazahsztánban - állapot és kilátások	98 KB
	Biztosító intézmény kialakítása és fejlesztése a Kazah Köztársaságban. A Kazah Köztársaság biztosítási piacának alapfogalmai. Egyes biztosítástípusok jogi jellemzői. A biztosítási szerződés fogalma és jellemzői.
4941.		A technika állása és a múzeumi beléptetőrendszerek fejlesztésének módjai	244,26 KB
	A múzeumi SKD információs és oktatási technikák segítségével történő megszervezésének elméleti vonatkozásai. A múzeum társadalmi-kulturális tevékenységének szervezése problémájának állapota. Tájékoztatási és oktatási módszerek jellemzői a múzeum társadalmi-kulturális tevékenységének szervezési folyamatában...

Síkfeszültségi állapot

Síkfeszültségi állapot esetén a három feszültség egyike nulla.

Az anyag szilárdságának térfogati feszültségi állapota

A stressz és a megerőltetés kapcsolata

BAN BEN anyagok ellenállása, térfogati feszültségállapot esetén az alakváltozások vizsgálatakor feltételezzük, hogy az anyag

engedelmeskedik Hooke törvényének, és hogy az alakváltozások kicsik. Tekintsünk egy olyan elemet, amelynek élmérete egyenlő

a x b x c, és

Az érvelés egyszerűsége érdekében minden feszültséget pozitívnak tekintünk. A borda deformációja miatt

az elemek megváltoztatják hosszukat és egyenlővé válnak a+^a-val; in+^in; s+^s.

Az elemek élei hosszának növekedésének aránya az eredeti hosszukhoz viszonyítva megadja

fő relatív nyúlások a fő irányokban:

Az xc-ben lévő ax elem teljes relatív alakváltozása az a él irányában összegként lesz kifejezve

Hasonlóképpen megtalálhatjuk a teljes relatív alakváltozásokat a b és c élek irányában.

Ezt a három képletet általánosított Hookey-törvénynek nevezzük. A térfogati deformáció a következőképpen fejezhető ki:

A térfogatváltozás csak a főfeszültségek összegétől függ, arányuktól nem. Ezért ugyanaz

a térfogat változása egy elemi kockát eredményez, amelynek lapjain ugyanazok a feszültségek fognak hatni

Rugalmas alakváltozási energia

A rugalmas alakváltozás potenciális energiája látható alatt a szervezetben felhalmozódott energia

külső erők által okozott rugalmas alakváltozása.

A fajlagos energia (térfogategységre eső rugalmas alakváltozási energia) egyenlő:

Ez az energia 2 részből áll: 1) a térfogat változtatására fordított energia és 2) az energia,

az alak megváltoztatására költött.

A térfogatváltozás energiája:

Az erő-erő elméletei

Erőelméletek, az anyagok szilárdságában, igyekeznek szilárdsági kritériumot felállítani egy összetett feszültségi állapotban (térfogat vagy sík) lévő anyagra. Ebben az esetben a számított alkatrész vizsgált feszültségállapotát egy lineáris feszültségállapottal - feszítéssel vagy összenyomással - hasonlítják össze.

A műanyagok határállapotának azt az állapotot vesszük, amelyben észrevehető maradvány (képlékeny) alakváltozások kezdenek megjelenni.

A rideg, illetve a rideg állapotú anyagoknál azt a határállapotot tekintjük, amelyben az anyag az első repedések megjelenésének határán van, azaz. az anyag integritásának megsértésének határán.

A térfogati feszültség állapot szilárdsági feltétele a következő:

A biztonsági tényező (n) egy adott feszültségi állapotra egy szám, amely megmutatja, hogy a feszültségállapot összes összetevőjét hányszor kell egyszerre növelni, hogy korlátozóvá váljon.

Az ekvivalens feszültség Oeq egy lineáris (egytengelyű) feszültségállapot alatti húzófeszültség, amely egyformán veszélyes egy adott térfogati vagy síkfeszültségi állapot mellett.

Az ekvivalens feszültségek képleteit, amelyek főfeszültségeken keresztül fejezik ki, szilárdsági elméletek állítják fel az egyes elméletek által elfogadott szilárdsági hipotézisek függvényében.

Számos erőelmélet vagy hipotézis létezik a korlátozó stresszállapotokról:

Az első elméletet vagy a legnagyobb normálfeszültségek elméletét és a második elméletet, vagy a legnagyobb lineáris alakváltozások elméletét jelenleg nem használják a gyakorlati számításokban. A harmadik elmélet, vagy a maximális tangenciális feszültségek elmélete. Az elmélet azon a hipotézisen alapul, hogy két feszültségállapot - komplex és lineáris - egyenértékű szilárdságú, ha a legnagyobb nyírófeszültségek azonosak.

Egyenértékű feszültségek térfogati feszültségállapothoz:

A harmadik szilárdsági elmélet kielégítő eredményeket ad olyan műanyagokra, amelyek egyformán ellenállnak a húzásnak és a nyomásnak, feltéve, hogy a főfeszültségek eltérő előjelűek.

Ennek az elméletnek a fő hátránya, hogy nem veszi figyelembe az o"-okat, amelyek, mint a kísérletek mutatják, némileg befolyásolják az anyag szilárdságát.

A negyedik erőelmélet az energia. Azon a feltevésen alapul, hogy a veszélyes állapot (anyagfolyékonyság) kialakulásakor felhalmozódott alakváltozási potenciális energia mennyisége összetett feszültségállapotban és egyszerű húzóállapotban is azonos. Egyenértékű feszültség térfogati feszültségállapotban

A negyedik szilárdsági elméletet jól megerősítik olyan műanyagokkal végzett kísérletek, amelyek húzó- és nyomószilárdságában azonos folyáshatárral rendelkeznek.

A határállapotok elmélete (Mohr elmélete) abból a feltevésből indul ki, hogy a feszültség általános esetben a szilárdság főként a főfeszültségek legnagyobb O1 és legkisebb Oz előjelének értékétől függ. Az átlagos O2 főfeszültség csak kis mértékben befolyásolja a szilárdságot. Kísérletek kimutatták, hogy az O2 elhanyagolása által okozott hiba legrosszabb esetben nem haladja meg a 12-15%-ot, és általában kisebb is.

A térfogati feszültség állapotához: