Kúp. csonka kúp

Kúpfelület az a felület, amelyet egy adott görbe egyes pontjain és a görbén kívül eső pontokon áthaladó összes egyenes vonal alkot (32. ábra).

Ezt a görbét ún útmutató , egyenes – alakítás , pont – tetejére kúpfelület.

Egyenes körkúpos felület az a felület, amelyet egy adott kör minden pontján átmenő összes egyenes és egy olyan egyenes egy pontja alkot, amely merőleges a kör síkjára és átmegy a középpontján. A következőkben ezt a felületet röviden nevezzük kúpfelület (33. ábra).

Kúp (egyenes körkúp ) egy kúpos felülettel és a vezetőkör síkjával párhuzamos síkkal határolt geometriai test (34. ábra).

Rizs. 32 Fig. 33 Fig. 34

A kúp olyan testnek tekinthető, amelyet úgy kapunk, hogy egy derékszögű háromszöget forgatunk a háromszög egyik szárát tartalmazó tengely körül.

A kúpot körülölelő kört annak nevezzük alapján . A kúpos felület csúcsát ún tetejére kúp A kúp csúcsát az alapja középpontjával összekötő szakaszt nevezzük magasság kúp A kúpos felületet alkotó szakaszokat ún alakítás kúp Tengely A kúp egy egyenes, amely áthalad a kúp tetején és az alapja közepén. Axiális szakasz a kúp tengelyén átmenő szakaszt nevezzük. Oldalfelületi fejlődés a kúp egy olyan szektor, amelynek sugara hosszával egyenlő a kúp generatrixa, és a szektor ívének hossza megegyezik a kúp alapjának kerületével.

A kúp helyes képlete a következő:

Ahol R– alapsugár;

H- magasság;

l– a generatrix hossza;

S alap– alapterület;

S oldal

S tele

V– a kúp térfogata.

Csonkakúp a kúpnak az alap és a vágási sík közé zárt, a kúp alapjával párhuzamos részét nevezzük (35. ábra).

A csonkakúp olyan testnek tekinthető, amelyet úgy kapunk, hogy egy téglalap alakú trapézt egy olyan tengely körül forgatunk, amely a trapéz alapokra merőleges oldalát tartalmazza.

A kúpot körülölelő két kört annak nevezzük okokból . Magasság a csonka kúp alapjai közötti távolság. A csonkakúp kúpos felületét alkotó szakaszokat ún alakítás . Az alapok középpontjain áthaladó egyenest nevezzük tengely csonka kúp. Axiális szakasz csonkakúp tengelyén átmenő szakaszt nevezzük.

A csonka kúphoz a megfelelő képletek a következők:

(8)

Ahol R– az alsó alap sugara;

r– a felső alap sugara;

H– magasság, l – generatrix hossza;

S oldal– oldalsó felület;

S tele– teljes felület;

V– csonkakúp térfogata.

1. példa A kúp alappal párhuzamos keresztmetszete a magasságot a csúcstól számítva 1:3 arányban osztja fel. Határozza meg egy csonka kúp oldalfelületét, ha az alap sugara és a kúp magassága 9 cm és 12 cm.

Megoldás. Készítsünk rajzot (36. ábra).

A csonka kúp oldalfelületének területének kiszámításához a (8) képletet használjuk. Határozzuk meg az alapok sugarait Körülbelül 1 AÉs Körülbelül 1 Vés formálása AB.

Tekintsünk hasonló háromszögeket SO2BÉs SO 1 A, hasonlósági együttható, akkor

Innen

Azóta

A csonka kúp oldalfelülete egyenlő:

Válasz: .

2. példa Egy negyed sugarú kört kúpos felületté hajtunk. Határozza meg az alap sugarát és a kúp magasságát!

Megoldás. A kör kvadránsa a kúp oldalfelületének fejlődése. Jelöljük r- alapjának sugara, H – magasság. Számítsuk ki az oldalfelületet a következő képlettel: . Ez egyenlő egy negyedkör területével: . Kapunk egy egyenletet két ismeretlennel rÉs l(kúpot képez). Ebben az esetben a generatrix egyenlő a negyedkör sugarával R, ami azt jelenti, hogy a következő egyenletet kapjuk: , ahonnan Az alap és a generátor sugarának ismeretében megtaláljuk a kúp magasságát:

Válasz: 2 cm,.

3. példa Egy téglalap alakú trapéz, amelynek hegyesszöge 45 O, alapja kisebb, 3 cm-es, és ferde oldala egyenlő, az alapokra merőleges oldal körül forog. Határozza meg a kapott forgástest térfogatát!

Megoldás. Készítsünk rajzot (37. ábra).

Az elforgatás eredményeként egy csonka kúpot kapunk, hogy megtaláljuk a térfogatát, kiszámítjuk a nagyobb alap sugarát és magasságát. A trapézban O 1 O 2 AB levezényeljük AC^O 1 B. B van: ez azt jelenti, hogy ez a háromszög egyenlő szárú A.C.=i.e.= 3 cm.

Válasz:

4. példa Egy 13 cm, 37 cm és 40 cm oldalú háromszög egy külső tengely körül forog, amely párhuzamos a nagyobb oldallal, és attól 3 cm távolságra helyezkedik el (a tengely a háromszög síkjában található). Keresse meg a kapott forgástest felületét.

Megoldás . Készítsünk rajzot (38. ábra).

A kapott forgástest felülete két csonka kúp oldalfelületéből és egy henger oldalfelületéből áll. Ezen területek kiszámításához ismerni kell a kúpok és a henger alapjainak sugarát ( BEÉs O.C.), kúpokat képez ( i.e.És A.C.) és hengermagasság ( AB). Az egyetlen ismeretlen az CO. ez a távolság a háromszög oldalától a forgástengelyig. meg fogjuk találni DC. Az ABC háromszög területe az egyik oldalán egyenlő az AB oldal felének és a hozzá húzott magasságnak a szorzatával DC, másrészt a háromszög összes oldalának ismeretében a területét a Heron-képlet segítségével számítjuk ki.

Rizs. 1. Az életből származó tárgyak, amelyek csonka kúp alakúak

Szerinted honnan jönnek az új formák a geometriában? Minden nagyon egyszerű: az ember életében hasonló tárgyakkal találkozik, és nevet talál nekik. Vegyünk egy állványt, amelyen oroszlánok ülnek a cirkuszban, egy darab sárgarépát, amelyet akkor kapunk, ha csak egy részét vágjuk le, egy működő vulkánt és például egy zseblámpa fényét (lásd 1. ábra).

Rizs. 2. Geometriai formák

Látjuk, hogy ezek az ábrák mindegyike hasonló alakú - alul és felül is körök határolják őket, de felfelé elvékonyodnak (lásd 2. ábra).

Rizs. 3. A kúp tetejének levágása

Úgy néz ki, mint egy kúp. Csak a teteje hiányzik. Képzeljük el gondolatban, hogy veszünk egy kúpot, és egy éles kard lendítésével levágjuk a felső részét (lásd 3. ábra).

Rizs. 4. Csonkakúp

Az eredmény pontosan a mi ábránk, csonka kúpnak nevezzük (lásd 4. ábra).

Rizs. 5. A kúp alapjával párhuzamos metszet

Kúp legyen adott. Rajzoljunk egy síkot párhuzamos a síkkal ennek a kúpnak az alapja és a kúpot metszi (lásd 5. ábra).

A kúpot két testre osztja: az egyik kisebb kúp, a másikat csonka kúpnak nevezik (lásd 6. ábra).

Rizs. 6. Az eredményül kapott párhuzamos metszetű testek

Így a csonka kúp a kúpnak az alapja és az alappal párhuzamos sík közé zárt része. A kúphoz hasonlóan a csonka kúpnak is lehet egy kör az alján, ebben az esetben kör alakúnak nevezzük. Ha az eredeti kúp egyenes volt, akkor a csonka kúpot egyenesnek nevezzük. A kúpokhoz hasonlóan itt is kizárólag egyenes kör alakú csonkakúpokat fogunk figyelembe venni, hacsak nincs külön kimondva, hogy közvetett csonkakúpról van szó, vagy annak alapjai nem körök.

Rizs. 7. Téglalap alakú trapéz forgatása

Globális témánk a forradalom testei. Ez alól a csonka kúp sem kivétel! Emlékezzünk vissza arra, hogy egy kúp megszerzéséhez úgy gondoltuk derékszögű háromszögés a láb körül forgatta? Ha a kapott kúpot az alappal párhuzamos sík metszi, akkor a háromszög téglalap alakú trapéz marad. A kisebbik oldal körüli forgása csonka kúpot eredményez. Ismét jegyezzük meg, hogy természetesen csak egy egyenes körkúpról beszélünk (lásd 7. ábra).

Rizs. 8. Csonkakúp alapjai

Tegyünk néhány megjegyzést. A teljes kúp alapját és a kúp egy síkmetszetéből adódó kört csonka kúp (alsó és felső) alapjainak nevezzük (lásd 8. ábra).

Rizs. 9. Csonkakúp generátorai

A teljes kúp generátorainak csonkakúp alapjai közé zárt szegmenseit csonka kúp generátorainak nevezzük. Mivel az eredeti kúp összes generátora egyenlő és a levágott kúp összes generátora egyenlő, ezért a csonka kúp generátorai egyenlőek (ne keverjük össze a levágott és a csonka kúp generátorait!). Ez azt jelenti, hogy a trapéz tengelyirányú metszete egyenlő szárú (lásd a 9. ábrát).

A forgástengely csonkakúpba zárt szakaszát a csonkakúp tengelyének nevezzük. Ez a szegmens természetesen összeköti alapjainak középpontját (lásd 10. ábra).

Rizs. 10. Csonkakúp tengelye

A csonka kúp magassága az egyik alap pontjából a másik alapra húzott merőleges. Leggyakrabban a csonka kúp magasságát tekintik a tengelyének.

Rizs. 11. Csonkakúp tengelyirányú metszete

A csonkakúp tengelyirányú szakasza a tengelyén átmenő szakasz. Trapéz alakú, kicsit később bebizonyítjuk, hogy egyenlő szárú (lásd 11. ábra).

Rizs. 12. Kúp bevezetett jelölésekkel

Határozzuk meg a csonka kúp oldalfelületének területét. Legyen a csonka kúp alapjainak sugara és , a generatrix pedig egyenlő (lásd 12. ábra).

Rizs. 13. A levágott kúp generatrixának megnevezése

Határozzuk meg a csonka kúp oldalfelületének területét az eredeti és a levágott kúp oldalfelületei közötti különbségként. Ehhez jelöljük a levágott kúp generatrixával (lásd 13. ábra).

Akkor mit keresel.

Rizs. 14. Hasonló háromszögek

Nem marad más hátra, mint kifejezni.

Figyeljük meg, hogy a háromszögek hasonlóságából honnan (lásd 14. ábra).

Kifejezhető lenne, osztva a sugarak különbségével, de erre nincs szükségünk, mert a keresett szorzat megjelenik a keresett kifejezésben. Behelyettesítve végre a következőket kapjuk: .

Mostantól könnyen előállítható egy képlet a teljes felületre. Ehhez csak adja hozzá az alapok két körének területét: .

Rizs. 15. A probléma illusztrációja

Legyen egy csonka kúp, ha egy téglalap alakú trapézt a magassága körül elforgatunk. A trapéz középső vonala egyenlő -vel, a nagy oldalsó oldala pedig egyenlő (lásd 15. ábra). Keresse meg a kapott csonka kúp oldalfelületét.

Megoldás

A képletből tudjuk .

A kúp generatrixa az eredeti trapéz nagyobbik oldala lesz, vagyis a kúp sugarai a trapéz alapjai. Nem találjuk őket. De nincs rá szükségünk: csak az összegükre van szükségünk, és egy trapéz alapjainak összege kétszer akkora, mint a középvonala, azaz egyenlő -vel. Akkor .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy amikor a kúpról beszéltünk, párhuzamot vontunk közte és a piramis között - a képletek hasonlóak voltak. Ugyanez itt is, mert a csonka kúp nagyon hasonlít a csonka gúlára, így a csonkakúp és a gúla oldalsó és teljes felületének területére vonatkozó képletek hasonlóak (és hamarosan lesznek térfogati képletek is).

Rizs. 1. A probléma illusztrációja

A csonka kúp alapjainak sugara egyenlő és , a generatrix pedig egyenlő . Határozza meg a csonka kúp magasságát és tengelyirányú metszetének területét (lásd 1. ábra).

és az alappal párhuzamos sík ( rizs. ). Az Egyesült Királyság térfogata egyenlő , Ahol r 1 és r 2 – alapsugár, h – magasság.

Nagy Szovjet Enciklopédia. - M.: Szovjet enciklopédia. 1969-1978 .

Nézze meg, mi a „csonka kúp” más szótárakban:

Kúpból az alappal párhuzamos síkkal levágott geometriai test (ábra). Egy csonka kúp térfogata egyenlő. * * * CSONKAKÚP CSONKÁZAT, geometrikus test, amelyet az alappal párhuzamos sík vág le a kúpból. Hangerő…… Enciklopédiai szótár

csonka kúp- - Témák olaj- és gázipar HU csonkakúp ... Műszaki fordítói útmutató

CSONKA, csonka, csonka; csonka, csonka, csonka. 1. bek. szenvedő elmúlt vr. csonkától (könyv). 2. Akinek van felső része az alappal párhuzamos síkkal levágva (kb. kúp, gúla; mat.). Csonkakúp. Csonka piramis... Szótár Ushakova

megcsonkított- ó, ó; matematika. Olyan, amelyben a felső részt az alappal párhuzamos sík vágja le. Csonkakúp. A piramis... Sok kifejezés szótára

CSONKULT, ó, ó. Matematikában: olyan, amelyben az apikális rész el van választva, az alappal párhuzamos síkkal levágva. U. kúp. Csonka piramis. Ozhegov magyarázó szótára. S.I. Ozhegov, N. Yu. Shvedova. 1949 1992… Ozsegov magyarázó szótára

Jaj, oh. 1. bek. szenvedő elmúlt csonkatól. 2. jelentésében adj. mat. Olyan, amelyben a felső részt az alappal párhuzamos sík vágja le. Csonkakúp. Csonka piramis. 3. jelentésében adj. gramm., lit. Csonkolással (2 számjegy), ami... Akadémiai kisszótár

Egyenes körkúp. Közvetlen és... Wikipédia

- (latin conus, a görög konos szóból) a kúpos felület a tér egyenes vonalainak (generátorainak) halmaza, amelyek egy bizonyos vonal (vezető) minden pontját összekötik a tér adott pontjával (csúcsával). A legegyszerűbb K. kerek, vagy egyenes kör alakú, a ... Nagy enciklopédikus politechnikai szótár

- (latin conus, görögül konos) (matematika), 1) K., vagy kúpos felület, a tér egyeneseinek (generátorainak) geometriai helye, amely egy bizonyos egyenes (vezető) összes pontját egy adott ponttal (csúccsal) összeköti. a térből…… Nagy Szovjet Enciklopédia

A körülöttünk lévő világ dinamikus és változatos, és nem minden tárgyat lehet egyszerűen vonalzóval megmérni. Az ilyen átvitelhez speciális technikákat alkalmaznak, például háromszögelést. Az összetett fejlesztések összeállításának szükségessége, mint általában, ... ... Wikipédia

Előadás: Kúp. Alap, magasság, oldalfelület, generatrix, fejlettség

Kúp- ez egy olyan test, amely egy körből áll, amely az alapon helyezkedik el, a kör minden pontjától egyenlő távolságra lévő ponttól, valamint az ezt a pontot (csúcsot) a körön fekvő összes ponttal összekötő egyenesekből.

Néhány kérdéssel korábban a piramist néztük meg. Tehát a kúp a piramis speciális esete, amelynek alján egy kör található. A piramisok szinte minden tulajdonsága a kúpra vonatkozik.

Hogyan lehet kúpot szerezni? Emlékezzen az utolsó kérdésre és arra, hogyan szereztük meg a hengert. Most vegyünk egy egyenlő szárú háromszöget, és forgassuk el a tengelye körül - egy kúpot kapunk.

A kúp generátorai- ezek a kör pontjai és a kúp csúcsa közé zárt szakaszok. A kúp generátorai egyenlőek egymással.

A generatrix hosszának meghatározásához a következő képletet kell használni:

Ha az összes alkotóelem össze van kötve, akkor megkaphatja a kúp oldalfelületét. Általános felülete egy oldalfelületből és egy kör alakú alapból áll.

A kúpnak van magasság. Megszerzéséhez elegendő a merőlegest leengedni felülről közvetlenül az alap közepére.

Az oldalsó felület meghatározásához használja a következő képletet:

A kúp teljes felületének meghatározásához használja a következő képletet.

Csonkakúpot kapunk, ha egy kisebb kúpot levágunk a kúpból az alappal párhuzamos síkkal (8.10. ábra). A csonka kúpnak két alapja van: az „alsó” - az eredeti kúp alapja - és a „felső” - a levágott kúp alapja A kúp metszetére vonatkozó tétel szerint a csonka kúp alapjai hasonlóak .

A csonkakúp magassága az egyik alap pontjából a másik síkjába húzott merőleges. Minden ilyen merőleges egyenlő (lásd a 3.5. pontot). A magasságot hosszuknak is nevezik, vagyis az alapok síkjai közötti távolságnak.

A csonka forgáskúpot a forgáskúpból kapjuk (8.11. ábra). Ezért az alapjai és az összes velük párhuzamos szakasza körök, amelyek középpontja ugyanazon az egyenesen - a tengelyen - található. Csonka forgáskúpot kapunk, ha egy téglalap alakú trapézt forgatunk az alapokra merőleges oldala körül, vagy elforgatjuk

egyenlő szárú trapéz a szimmetriatengely körül (8.12. ábra).

Csonka forgáskúp oldalfelülete

Ez a része a forgáskúp oldalfelületének, amelyből származik. A csonka forgáskúp felülete (vagy teljes felülete) az alapjaiból és az oldalfelületéből áll.

8.5. A forradalom kúpjai és a forradalom csonkakúpjainak képei.

Egy egyenes körkúpot rajzolunk így. Először rajzoljunk egy ellipszist, amely az alap körét ábrázolja (8.13. ábra). Ezután megtalálják az alap középpontját - O pontot, és rajzolnak egy függőleges PO szakaszt, amely a kúp magasságát ábrázolja. A P pontból húzzon érintő (referencia) vonalakat az ellipszishez (gyakorlatilag ez szemmel, vonalzó segítségével történik), és jelölje ki ezen egyenesek RA és PB szakaszait a P ponttól az A és B érintési pontokig. Vegye figyelembe, hogy az AB szakasz nem az alapkúp átmérője, és az ARV háromszög nem a kúp tengelyirányú metszete. A kúp tengelyirányú metszete egy APC háromszög: az AC szakasz áthalad az O ponton. A láthatatlan vonalakat vonással rajzoljuk; Az OP szakaszt gyakran nem rajzolják meg, hanem csak gondolatban körvonalazzák, hogy a P kúp tetejét közvetlenül az alap - O pont - középpontja felett ábrázolják.

Csonka forgáskúp ábrázolásakor célszerű először megrajzolni azt a kúpot, amelyből a csonka kúpot kapjuk (8.14. ábra).

8.6. Kúpos szakaszok. Már említettük, hogy a sík ellipszis mentén metszi a forgóhenger oldalfelületét (6.4. szakasz). Szintén ellipszis egy ellipszis egy forgáskúp oldalfelületének egy olyan sík általi metszete, amely nem metszi az alapját (8.15. ábra). Ezért az ellipszist kúpszelvénynek nevezzük.

A kúpos szakaszok más jól ismert görbéket is tartalmaznak - hiperbolákat és parabolákat. Tekintsünk egy határtalan kúpot, amelyet a forgáskúp oldalfelületének meghosszabbításával kapunk (8.16. ábra). Metszük egy olyan a síkkal, amely nem megy át a csúcson. Ha a metszi a kúp összes generátorát, akkor a metszetben, mint már említettük, ellipszist kapunk (8.15. ábra).

Az operációs rendszer síkjának elforgatásával biztosíthatja, hogy a K kúp összes generatricáját metszi, kivéve egyet (amelyhez az operációs rendszer párhuzamos). Ekkor a keresztmetszetben egy parabolát kapunk (8.17. ábra). Végül az OS síkot tovább forgatva olyan helyzetbe hozzuk, hogy a K kúp generátorainak egy részét metszi a többi generátor végtelen számú részét, és kettővel párhuzamos legyen (8.18. ábra). ). Ekkor a K kúp a síkú metszetében egy hiperbolának nevezett görbét (pontosabban annak egyik „elágazását”) kapunk. Így a hiperbola, amely egy függvény grafikonja, a hiperbola speciális esete - egy egyenlő oldalú hiperbola, ahogy a kör az ellipszis speciális esete.

Az egyenlő oldalú hiperbolákból bármilyen hiperbola előállítható vetítéssel, ugyanúgy, ahogy az ellipszist egy kör párhuzamos vetítésével kapjuk.

A hiperbola mindkét ágának megszerzéséhez ki kell venni egy olyan kúpot, amely két „üreggel” rendelkezik, azaz egy kúpot nem sugarak, hanem egyenesek alkotnak, amelyek a kúp oldalfelületeinek generatricáit tartalmazzák. forradalom (8.19. ábra).

A kúpmetszeteket az ókori görög geometriák tanulmányozták, elméletük az ókori geometria egyik csúcsa volt. A kúpszeletek legteljesebb tanulmányozását az ókorban Pergai Apollóniosz (Kr. e. III. század) végezte.

Számos olyan fontos tulajdonság létezik, amelyek az ellipsziseket, a hiperbolákat és a parabolákat egy osztályba egyesítik. Például kimerítik a „nem degenerált”, azaz pontra, egyenesre vagy egyenespárra nem redukálható görbéket, amelyeket a síkon derékszögű koordinátákkal a következő alakú egyenletek határoznak meg.

Kúpos szakaszok játszanak fontos szerepet a természetben: a testek elliptikus, parabolikus és hiperbolikus pályán mozognak gravitációs térben (emlékezzünk a Kepler-törvényekre). A kúpszelvények figyelemre méltó tulajdonságait gyakran használják a tudományban és a technikában, például egyes optikai műszerek vagy keresőlámpák gyártásánál (a reflektorban a tükör felületét a parabola ívének a parabola tengelye körüli elforgatásával kapják meg ). A kör alakú lámpaernyők árnyékának határaiként kúpos metszetek figyelhetők meg (8.20. ábra).