Cramer módszere próbabábukhoz – részletes példák a megoldásokra. Cramer módszere lineáris egyenletrendszerek megoldására

A Cramer-módszer a determinánsok felhasználásán alapul a rendszerek megoldásában lineáris egyenletek. Ez jelentősen felgyorsítja a megoldás folyamatát.

A Cramer-módszerrel annyi lineáris egyenletből álló rendszert lehet megoldani, ahány egyenletben ismeretlen van. Ha a rendszer determinánsa nem egyenlő nullával, akkor Cramer módszere használható a megoldásban, de ha egyenlő nullával, akkor nem. Ezenkívül a Cramer-módszer használható olyan lineáris egyenletrendszerek megoldására is, amelyek egyedi megoldással rendelkeznek.

Meghatározás. Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst a rendszer determinánsának nevezzük, és delta-nak nevezzük.

Meghatározók

úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő ismeretlenek együtthatóit szabad kifejezésekkel helyettesítjük:

;

.

Cramer tétele. Ha a rendszer determinánsa nem nulla, akkor a lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, és az ismeretlen egyenlő a determinánsok arányával. A nevező a rendszer determinánsát tartalmazza, a számláló pedig azt a determinánst, amelyet a rendszer determinánsából kapunk úgy, hogy ennek az ismeretlennek az együtthatóit szabad tagokkal helyettesítjük. Ez a tétel tetszőleges sorrendű lineáris egyenletrendszerre érvényes.

1. példa Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert:

Szerint Cramer tétele nálunk van:

Tehát a (2) rendszer megoldása:

online számológép, Cramer megoldási módszere.

Három eset lineáris egyenletrendszerek megoldásánál

Amint az abból kiderül Cramer tétele, lineáris egyenletrendszer megoldása során három eset fordulhat elő:

Első eset: a lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van

(a rendszer következetes és határozott)

Második eset: egy lineáris egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van

(a rendszer konzisztens és bizonytalan)

** ,

azok. az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatói arányosak.

Harmadik eset: a lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása

(inkonzisztens a rendszer)

Tehát a rendszer m lineáris egyenletek -val n változóknak nevezzük nem ízületi, ha nincs egyetlen megoldása, és közös, ha van legalább egy megoldása. Egy szimultán egyenletrendszert, amelynek csak egy megoldása van, nevezzük bizonyosés több mint egy bizonytalan.

Példák lineáris egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel

Adott legyen a rendszer

.

Cramer tétele alapján

………….
,

Ahol
-

rendszer meghatározó. A fennmaradó determinánsokat úgy kapjuk meg, hogy az oszlopot a megfelelő változó (ismeretlen) együtthatóira cseréljük szabad tagokkal:

2. példa

.

Ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk a determinánsokat

A Cramer-képleteket használva a következőket kapjuk:

Tehát (1; 0; -1) az egyetlen megoldás a rendszerre.

A 3 x 3 és 4 x 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhat egy online számológépet a Cramer megoldási módszerével.

Ha egy lineáris egyenletrendszerben egy vagy több egyenletben nincsenek változók, akkor a determinánsban a megfelelő elemek nullával egyenlők! Ez a következő példa.

3. példa Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer módszerrel:

.

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

Nézze meg figyelmesen az egyenletrendszert és a rendszer determinánsát, és ismételje meg a választ arra a kérdésre, hogy mely esetekben egyenlő a determináns egy vagy több eleme nullával! Tehát a determináns nem egyenlő nullával, ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk az ismeretlenek determinánsait

A Cramer-képleteket használva a következőket kapjuk:

Tehát a rendszer megoldása: (2; -1; 1).

A 3 x 3 és 4 x 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhat egy online számológépet a Cramer megoldási módszerével.

Az oldal tetejére

Továbbra is közösen oldjuk meg a rendszereket Cramer módszerével

Mint már említettük, ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, és az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, akkor a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása. Illusztráljuk a következő példával.

6. példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer módszerrel:

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

A rendszer determinánsa nulla, ezért a lineáris egyenletrendszer vagy inkonzisztens és határozott, vagy inkonzisztens, vagyis nincs megoldása. Az egyértelműség kedvéért kiszámítjuk az ismeretlenek determinánsait

Az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, ezért a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása.

A 3 x 3 és 4 x 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhat egy online számológépet a Cramer megoldási módszerével.

A lineáris egyenletrendszereket érintő feladatokban vannak olyanok is, ahol a változókat jelölő betűk mellett más betűk is vannak. Ezek a betűk egy számot jelölnek, leggyakrabban valódit. A gyakorlatban az ilyen egyenletek és egyenletrendszerek problémákhoz vezetnek bármely jelenség és objektum általános tulajdonságainak keresésében. Vagyis feltaláltál valamit új anyag vagy egy eszközt, és annak leírásához, amelyek egy példány méretétől vagy számától függetlenül gyakoriak, egy lineáris egyenletrendszert kell megoldani, ahol a változók együtthatói helyett betűk vannak. Nem kell messzire keresni a példákat.

A következő példa egy hasonló problémára vonatkozik, csak az egyenletek, változók és egy bizonyos valós számot jelölő betűk száma növekszik.

8. példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer módszerrel:

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

Determinánsok keresése ismeretlenekre

A Cramer-módszer vagy az úgynevezett Cramer-szabály egyenletrendszerekből ismeretlen mennyiségek keresésének módszere. Csak akkor használható, ha a keresett értékek száma megegyezik a számmal algebrai egyenletek a rendszerben, vagyis a rendszerből kialakított főmátrixnak négyzet alakúnak kell lennie, és nem tartalmazhat nulla sort, és akkor is, ha a determinánsa nem lehet nulla.

1. tétel

Cramer tétele Ha az egyenletek együtthatói alapján összeállított főmátrix $D$ fődeterminánsa nem egyenlő nullával, akkor az egyenletrendszer konzisztens, és egyedi megoldása van. Egy ilyen rendszer megoldását az úgynevezett Cramer-képletek segítségével számítják ki lineáris egyenletrendszerek megoldására: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Mi az a Cramer-módszer?

Cramer módszerének lényege a következő:

1. Ahhoz, hogy a Cramer-módszerrel megoldást találjunk a rendszerre, először is kiszámítjuk a $D$ mátrix fő determinánsát. Ha a főmátrix számított determinánsa a Cramer-módszerrel számolva nullával egyenlő, akkor a rendszernek nincs egyetlen megoldása, vagy végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a rendszer általános vagy valamilyen alapvető válaszának megtalálásához a Gauss-módszer használata javasolt.
2. Ezután ki kell cserélni a legkülső oszlopot fő mátrix a szabad kifejezések oszlopába, és számítsa ki a $D_1$ determinánst.
3. Ismételje meg ugyanezt az összes oszlopra, és megkapja a determinánsokat $D_1$ és $D_n$ között, ahol $n$ a jobb szélső oszlop száma.
4. Az összes $D_1$...$D_n$ determináns megtalálása után az ismeretlen változók kiszámíthatók a $x_i = \frac(D_i)(D)$ képlettel.

A mátrix determinánsának kiszámítási technikái

A 2 x 2-nél nagyobb dimenziójú mátrix determinánsának kiszámításához többféle módszert használhat:

• A háromszögek szabálya, vagy Sarrus szabálya, amely ugyanerre a szabályra emlékeztet. A háromszög módszer lényege, hogy a determináns kiszámításakor az ábrán a jobb oldali piros vonallal összekötött összes szám szorzatát pluszjellel írjuk, a bal oldali ábrán pedig az összes hasonló módon összekötött szám szorzatát. mínuszjellel vannak írva. Mindkét szabály 3 x 3 méretű mátrixokra alkalmas. A Sarrus-szabály esetén először magát a mátrixot írjuk át, majd mellette annak első és második oszlopát is újraírjuk. A mátrixon átlókat húzunk, és a főátlón fekvő vagy azzal párhuzamosan fekvő további mátrixtagokat pluszjellel, a másodlagos átlón fekvő vagy azzal párhuzamos elemeket pedig mínuszjellel írjuk.

1. ábra: Háromszögszabály a Cramer-módszer determinánsának kiszámításához

• A Gauss-módszerként ismert módszert használva ezt a módszert néha a determináns sorrendjének csökkentésének is nevezik. Ebben az esetben a mátrixot átalakítják és háromszög alakúra redukálják, majd a főátlón lévő összes számot megszorozzák. Emlékeztetni kell arra, hogy ha ilyen módon keresünk egy determinánst, akkor nem lehet sorokat vagy oszlopokat számokkal szorozni vagy osztani anélkül, hogy kivennénk őket szorzóként vagy osztóként. Determináns keresése esetén csak akkor lehetséges a sorok és oszlopok egymáshoz való kivonása és összeadása, ha előzőleg a kivont sort egy nullától eltérő tényezővel megszoroztuk. Továbbá, amikor átrendezi a mátrix sorait vagy oszlopait, ne feledje, hogy meg kell változtatnia a mátrix végső jelét.
• Ha Cramer-módszerrel old meg egy 4 ismeretlent tartalmazó SLAE-t, akkor a legjobb a Gauss-módszer használata a determinánsok kereséséhez és megtalálásához, vagy a determináns meghatározásához kiskorúak keresésével.

Egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével

Alkalmazzuk Cramer módszerét 2 egyenletből és két szükséges mennyiségből álló rendszerre:

$\begin(esetek) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(esetek)$

A kényelem kedvéért jelenítsük meg kiterjesztett formában:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Keressük meg a főmátrix determinánsát, amit a rendszer fődeterminánsának is neveznek:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ha a fődetermináns nem egyenlő nullával, akkor a slough Cramer-módszerrel történő megoldásához ki kell számítani még néhány determinánst két mátrixból úgy, hogy a főmátrix oszlopait szabad tagok sorával helyettesítjük:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Most keressük meg a $x_1$ és $x_2$ ismeretleneket:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

1. példa

Cramer módszere SLAE-ek megoldására 3. rendű (3 x 3) főmátrixszal és három kötelező mátrixszal.

Oldja meg az egyenletrendszert:

$\begin(esetek) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(esetek)$

Számítsuk ki a mátrix fődeterminánsát a fent, az 1. pont alatt leírt szabály segítségével:

$D = \begin(tömb)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(tömb) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $

És most három másik meghatározó tényező:

$D_1 = \begin(array)(|cccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 USD

$D_2 = \begin(array)(|cccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 dollár

$D_3 = \begin(array)(|cccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 = - 60 USD

Keressük meg a szükséges mennyiségeket:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(-296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = -1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

2. Egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel (inverz mátrix segítségével).
3. Gauss-módszer egyenletrendszerek megoldására.

Cramer módszere.

A Cramer-módszer lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására szolgál ( SLAU).

Képletek két változós egyenletrendszer példáján.
Adott: Oldja meg a rendszert Cramer módszerével

A változókkal kapcsolatban XÉs at.
Megoldás:
Keressük meg a mátrix determinánsát, amely a Determinánsok számítása rendszer együtthatóiból áll. :

Alkalmazzuk a Cramer-képleteket, és keressük meg a változók értékeit:
És .
1. példa:
Oldja meg az egyenletrendszert:

változókkal kapcsolatban XÉs at.
Megoldás:


Cseréljük le ennek a determinánsnak az első oszlopát a rendszer jobb oldali együtthatók oszlopával, és keressük meg az értékét:

Tegyünk hasonlót, cseréljük le a második oszlopot az első determinánsban:

Alkalmazható Cramer képleteiés keresse meg a változók értékét:
És .
Válasz:
Megjegyzés: Ezzel a módszerrel nagyobb méretű rendszerek is megoldhatók.

Megjegyzés: Ha kiderül, hogy , de nem osztható nullával, akkor azt mondják, hogy a rendszernek nincs egyedi megoldása. Ebben az esetben a rendszernek vagy végtelen sok megoldása van, vagy egyáltalán nincs megoldása.

2. példa(végtelen számú megoldás):

Oldja meg az egyenletrendszert:

változókkal kapcsolatban XÉs at.
Megoldás:
Keressük meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll:

Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel.

A rendszer egyenletei közül az első egy egyenlőség, amely a változók bármely értékére igaz (mivel a 4 mindig egyenlő 4-gyel). Ez azt jelenti, hogy már csak egy egyenlet maradt. Ez a változók közötti kapcsolat egyenlete.
Azt találtuk, hogy a rendszer megoldása bármely olyan változó értékpár, amely az egyenlőséggel kapcsolódik egymáshoz.
Az általános megoldást a következőképpen írjuk le:
Egyedi megoldások határozhatók meg úgy, hogy y tetszőleges értékét választjuk, és ennek a kapcsolati egyenlőségnek a segítségével kiszámítjuk x-et.

stb.
Végtelenül sok ilyen megoldás létezik.
Válasz: általános megoldás
Privát megoldások:

3. példa(nincs megoldás, a rendszer nem kompatibilis):

Oldja meg az egyenletrendszert:

Megoldás:
Keressük meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll:

A Cramer-képletek nem használhatók. Oldjuk meg ezt a rendszert helyettesítési módszerrel

A rendszer második egyenlete egy egyenlőség, amely nem igaz a változók egyik értékére sem (persze, mivel a -15 nem egyenlő 2-vel). Ha a rendszer egyik egyenlete nem igaz a változók egyik értékére sem, akkor az egész rendszernek nincs megoldása.
Válasz: nincsenek megoldások

Ugyanannyi egyenlettel, mint az ismeretlenek száma a mátrix fődeterminánsával, amely nem egyenlő nullával, a rendszer együtthatóival (az ilyen egyenletekre van megoldás és csak egy).

Cramer tétele.

Ha egy négyzetrendszer mátrixának determinánsa nem nulla, az azt jelenti, hogy a rendszer konzisztens, és egy megoldása van, és ez a Cramer-képletek:

ahol Δ - a rendszermátrix meghatározója,

Δ én a rendszermátrix meghatározója, amelyben ahelyett én A th oszlop a jobb oldalak oszlopát tartalmazza.

Ha egy rendszer determinánsa nulla, az azt jelenti, hogy a rendszer együttműködővé vagy inkompatibilissé válhat.

Ezt a módszert általában kis rendszereknél alkalmazzák nagy számításokkal, és ha szükséges az egyik ismeretlen meghatározása. A módszer összetettsége, hogy sok meghatározó tényezőt kell kiszámítani.

A Cramer-módszer leírása.

Van egy egyenletrendszer:

Egy 3 egyenletrendszer megoldható a Cramer-módszerrel, amelyet fentebb 2 egyenletrendszernél tárgyaltunk.

Az ismeretlenek együtthatóiból egy determinánst állítunk össze:

Az lesz rendszer meghatározó. Amikor D≠0, ami azt jelenti, hogy a rendszer konzisztens. Most hozzunk létre 3 további meghatározót:

,,

A rendszert úgy oldjuk meg Cramer-képletek:

Példák egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerével.

1. példa.

Adott rendszer:

Oldjuk meg Cramer módszerével.

Először ki kell számítania a rendszermátrix determinánsát:

Mert Δ≠0, ami azt jelenti, hogy a Cramer-tételből a rendszer konzisztens és egy megoldása van. További determinánsokat számolunk. A Δ 1 determinánst a Δ determinánsból kapjuk, és ennek első oszlopát egy szabad együtthatók oszlopával helyettesítjük. Kapunk:

Ugyanígy megkapjuk a Δ 2 determinánsát a rendszermátrix determinánsából úgy, hogy a második oszlopot szabad együtthatók oszlopával helyettesítjük:

Legyen a lineáris egyenletrendszer annyi egyenletet, ahány független változó, azaz. úgy néz ki

Az ilyen lineáris egyenletrendszereket másodfokúnak nevezzük. A determinánst, amely a rendszer független változóinak együtthatóiból áll (1.5), a rendszer fő determinánsának nevezzük. Jelölni fogjuk görög levél D. Szóval

. (1.6)

Ha a fődetermináns egy tetszőleges ( j th) oszlopot, cserélje ki a rendszer szabad feltételeinek oszlopára (1.5), akkor megkaphatja n kiegészítő minősítők:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramer szabálya másodfokú lineáris egyenletrendszerek megoldása a következő. Ha az (1.5) rendszer D fődeterminánsa eltér nullától, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amely a következő képletekkel kereshető:

(1.8)

1.5. példa. Oldja meg az egyenletrendszert Cramer módszerével!

.

Számítsuk ki a rendszer fő meghatározóját:

D¹0 óta a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet az (1.8) képletekkel találhatunk meg:

Így,

Műveletek mátrixokon

1. Egy mátrix szorzása egy számmal. A mátrix számmal való szorzásának műveletét a következőképpen definiáljuk.

2. Ahhoz, hogy egy mátrixot megszorozzon egy számmal, minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal. Azaz

. (1.9)

Példa 1.6. .

Mátrix összeadás.

Ezt a műveletet csak azonos sorrendű mátrixoknál vezetjük be.

Két mátrix hozzáadásához hozzá kell adni egy másik mátrix megfelelő elemeit egy mátrix elemeihez:

(1.10)
A mátrixösszeadás műveletének az asszociativitási és kommutativitási tulajdonságai vannak.

Példa 1.7. .

Mátrixszorzás.

Ha a mátrixoszlopok száma A egybeesik a mátrix sorok számával IN, akkor az ilyen mátrixokhoz bevezetjük a szorzási műveletet:

2

Így egy mátrix szorzásakor A méretek m´ n a mátrixhoz IN méretek n´ k mátrixot kapunk VEL méretek m´ k. Ebben az esetben a mátrixelemek VEL a következő képletekkel számítják ki:

Probléma 1.8. Ha lehetséges, keresse meg a mátrixok szorzatát ABÉs B.A.:

Megoldás. 1) Hogy munkát találjak AB, mátrixsorokra van szüksége A szorozzuk meg mátrixoszlopokkal B:

2) Munka B.A. nem létezik, mert a mátrixoszlopok száma B nem egyezik a mátrix sorok számával A.

Inverz mátrix. Lineáris egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel

Mátrix A- 1-et négyzetmátrix inverzének nevezzük A, ha az egyenlőség teljesül:

hol keresztül én a mátrixszal azonos sorrendű identitásmátrixot jelöli A:

.

Ahhoz, hogy egy négyzetmátrixnak legyen inverze, szükséges és elégséges, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen. Az inverz mátrixot a következő képlet segítségével találjuk meg:

, (1.13)

Ahol A ij- algebrai kiegészítések elemekhez a ij mátrixok A(Megjegyzendő, hogy algebrai összeadások mátrixsorokhoz A az inverz mátrixban találhatók megfelelő oszlopok formájában).

Példa 1.9. Keresse meg az inverz mátrixot A- 1 a mátrixhoz

.

Az inverz mátrixot az (1.13) képlet segítségével találjuk meg, amely az esetre n= 3 alakja:

.

Keressünk det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Mivel az eredeti mátrix determinánsa nem nulla, létezik az inverz mátrix.

1) Keress algebrai komplementereket! A ij:

Az elhelyezkedés megkönnyítése érdekében inverz mátrix, az eredeti mátrix soraihoz az algebrai összeadásokat a megfelelő oszlopokba helyeztük.

A kapott algebrai összeadásokból új mátrixot állítunk össze, és elosztjuk a det determinánssal A. Így kapjuk az inverz mátrixot:

A nem nulla fődeterminánsú lineáris egyenletrendszerek másodfokú egyenletrendszerei megoldhatók az inverz mátrix segítségével. Ehhez az (1.5) rendszert mátrix formában írjuk fel:

Ahol

A bal oldali egyenlőség mindkét oldalát (1,14) megszorozva ezzel A- 1, megkapjuk a rendszer megoldását:

, hol

Így egy négyzetes rendszer megoldásához meg kell találni a rendszer főmátrixának inverz mátrixát, és meg kell szorozni a jobb oldalon a szabad tagok oszlopmátrixával.

1.10. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!

az inverz mátrix segítségével.

Megoldás.Írjuk fel a rendszert mátrix alakban: ,

Ahol - a rendszer fő mátrixa, - az ismeretlenek oszlopa és - a szabad kifejezések oszlopa. Mivel a rendszer fő meghatározója , akkor a rendszer fő mátrixa A inverz mátrixa van A-1. Megtalálni az inverz mátrixot A-1 , kiszámítjuk a mátrix összes elemére az algebrai komplementereket A:

A kapott számokból mátrixot állítunk össze (és a mátrix soraihoz algebrai összeadásokat Aírja be a megfelelő oszlopokba), és ossza el a D determinánssal. Így megkaptuk az inverz mátrixot:

Az (1.15) képlet segítségével megtaláljuk a rendszer megoldását:

Így,

Lineáris egyenletrendszerek megoldása a szokásos Jordan eliminációs módszerrel

Legyen egy tetszőleges (nem feltétlenül másodfokú) lineáris egyenletrendszer:

(1.16)

Megoldást kell találni a rendszerre, pl. olyan változóhalmaz, amely kielégíti az (1.16) rendszer összes egyenlőségét. IN általános eset rendszernek (1.16) nem csak egy, hanem számtalan megoldása is lehet. Az is előfordulhat, hogy egyáltalán nincsenek megoldásai.

Az ilyen problémák megoldása során a jól ismert iskolai tanfolyami módszert alkalmazzák az ismeretlenek kiküszöbölésére, amelyet a szokásos Jordan eliminációs módszernek is neveznek. Ennek a módszernek az a lényege, hogy az (1.16) rendszer egyik egyenletében az egyik változót más változókkal fejezzük ki. Ezt a változót ezután a rendszer más egyenleteibe helyettesítik. Az eredmény egy olyan rendszer, amely egy egyenlettel és egy változóval kevesebb, mint az eredeti rendszer. Emlékszik az egyenletre, amelyből a változót kifejezték.

Ezt a folyamatot addig ismételjük, amíg egy utolsó egyenlet nem marad a rendszerben. Az ismeretlenek kiküszöbölésének folyamata révén egyes egyenletek valódi azonossággá válhatnak, pl. Az ilyen egyenletek ki vannak zárva a rendszerből, mivel a változók bármely értékére teljesülnek, és ezért nem befolyásolják a rendszer megoldását. Ha az ismeretlenek kiküszöbölése során legalább egy egyenlet olyan egyenlőséggé válik, amely nem teljesülhet a változók egyetlen értékére sem (például), akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszernek nincs megoldása.

Ha a megoldás során nem merülnek fel ellentmondó egyenletek, akkor a benne maradt változók egyikét az utolsó egyenletből találjuk meg. Ha csak egy változó maradt az utolsó egyenletben, akkor azt számként fejezzük ki. Ha más változók az utolsó egyenletben maradnak, akkor azokat paramétereknek tekintjük, és a rajtuk keresztül kifejezett változó ezeknek a paramétereknek a függvénye lesz. Ezután megtörténik az úgynevezett „fordított mozgás”. A talált változót behelyettesíti az utoljára emlékezett egyenletbe, és megtalálja a második változót. Ezután a két talált változót behelyettesítjük az utolsó előtti memorizált egyenletbe, és megtaláljuk a harmadik változót, és így tovább, egészen az első memorizált egyenletig.

Ennek eredményeként megoldást kapunk a rendszerre. Ez a megoldás akkor lesz egyedi, ha a talált változók számok. Ha az első talált változó, majd az összes többi a paraméterektől függ, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása lesz (minden paraméterkészlet egy új megoldásnak felel meg). Azokat a képleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy egy adott paraméterkészlettől függően megoldást találjon egy rendszerre, a rendszer általános megoldásának nevezzük.

1.11. példa.

x

Az első egyenlet memorizálása után és hasonló kifejezéseket hozva a második és harmadik egyenletbe, a rendszerhez jutunk:

Kifejezzük y a második egyenletből, és cserélje be az első egyenletbe:

Emlékezzünk a második egyenletre, és az elsőből megtaláljuk z:

Visszafelé dolgozva következetesen azt találjuk yÉs z. Ehhez először behelyettesítjük az utoljára emlékezett egyenletbe, ahonnan megtaláljuk y:

.

Ezután behelyettesítjük az első memorizált egyenletbe hol találhatjuk meg x:

1.12. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert az ismeretlenek kiiktatásával:

. (1.17)

Megoldás. Fejezzük ki az első egyenletből származó változót xés cseréld be a második és harmadik egyenletbe:

.

Emlékezzünk az első egyenletre

Ebben a rendszerben az első és a második egyenlet ellentmond egymásnak. Valóban, kifejezve y , azt kapjuk, hogy 14 = 17. Ez az egyenlőség nem áll fenn a változók egyik értékére sem x, y, És z. Ebből következően az (1.17) rendszer inkonzisztens, i.e. nincs megoldása.

Arra kérjük az olvasókat, hogy saját maguk ellenőrizzék, hogy az eredeti rendszer fő meghatározója (1.17) egyenlő-e nullával.

Tekintsünk egy olyan rendszert, amely csak egy szabad taggal különbözik az (1.17) rendszertől.

1.13. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert az ismeretlenek kiiktatásával:

. (1.18)

Megoldás. Mint korábban, az első egyenletből származó változót fejezzük ki xés cseréld be a második és harmadik egyenletbe:

.

Emlékezzünk az első egyenletre és mutasson be hasonló kifejezéseket a második és harmadik egyenletben. Megérkezünk a rendszerhez:

Kifejezése y az első egyenletből és behelyettesítjük a második egyenletbe , a 14 = 14 azonosságot kapjuk, ami nem befolyásolja a rendszer megoldását, ezért kizárható a rendszerből.

Az utolsó emlékezett egyenlőségben a változó z paraméternek fogjuk tekinteni. hiszünk. Majd

Cseréljük yÉs z az első emlékezett egyenlőségbe és megtalálni x:

.

Így az (1.18) rendszernek végtelen számú megoldása van, és bármilyen megoldás megtalálható az (1.19) képletekkel, a paraméter tetszőleges értékével t:

(1.19)
Tehát a rendszer megoldásai például a következő változóhalmazok (1; 2; 0), (2; 26; 14) stb. Az (1.19) képletek az (1.18) rendszer általános (bármely) megoldását fejezik ki ).

Abban az esetben, ha az eredeti rendszer (1.16) elegendő nagy számban egyenletek és ismeretlenek, a szokásos Jordan elimináció jelzett módszere nehézkesnek tűnik. Ez azonban nem igaz. Elegendő egy algoritmust levezetni a rendszeregyütthatók egy lépésben történő újraszámítására általános nézetés speciális Jordan-táblázatok formájában fogalmazza meg a probléma megoldását.

Legyen adott egy lineáris alakzat (egyenlet) rendszer:

, (1.20)
Ahol x j- független (keresett) változók, a ij- állandó esélyek
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). A rendszer jobb részei y i (i = 1, 2,…, m) lehetnek változók (függők) vagy állandók. Erre a rendszerre megoldást kell találni az ismeretlenek kiiktatásával.

Tekintsük a következő műveletet, amelyet ezentúl „a szokásos Jordan-kiesések egy lépésének” neveznek. tetszőleges ( r th) egyenlőség tetszőleges változót ( xs) és helyettesíti az összes többi egyenlőséggel. Ez persze csak akkor lehetséges, ha egy rs¹ 0. Együttható egy rs feloldó (néha irányító vagy fő) elemnek nevezzük.

A következő rendszert kapjuk:

. (1.21)

Tól s- rendszeregyenlőség (1.21), ezt követően megtaláljuk a változót xs(miután a többi változót megtaláltuk). S A -edik sort megjegyzi, és ezt követően kizárja a rendszerből. A fennmaradó rendszer egy egyenletet és egy kevésbé független változót fog tartalmazni, mint az eredeti rendszer.

Számítsuk ki a kapott rendszer (1.21) együtthatóit az eredeti rendszer (1.20) együtthatóin keresztül. Kezdjük azzal r egyenlet, amely a változó kifejezése után xs a többi változón keresztül így fog kinézni:

Így az új együtthatók r az egyenleteket a következő képletekkel számítjuk ki:

(1.23)
Most számoljuk ki az új együtthatókat b ij(én¹ r) tetszőleges egyenlet. Ehhez helyettesítsük be az (1.22)-ben kifejezett változót. xs V én rendszer egyenlete (1.20):

Hasonló kifejezések megadása után a következőket kapjuk:

(1.24)
Az (1.24) egyenlőségből olyan képleteket kapunk, amelyekkel kiszámítjuk az (1.21) rendszer fennmaradó együtthatóit (kivéve r egyenlet):

(1.25)
A lineáris egyenletrendszerek transzformációját a szokásos Jordan elimináció módszerével táblázatok (mátrixok) formájában mutatjuk be. Ezeket a táblázatokat „jordániai tábláknak” nevezik.

Így az (1.20) probléma a következő Jordan-táblázathoz kapcsolódik:

1.1. táblázat

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a is		a be
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		egy rj		egy rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		egy mj		a ms		a mn

A Jordan 1.1-es tábla egy bal oldali fejlécoszlopot tartalmaz, amelybe a rendszer jobb oldali részei (1.20), és egy felső fejlécsort tartalmaznak, amelybe a független változókat írják.

A táblázat többi eleme alkotja az (1.20) rendszer együtthatóinak fő mátrixát. Ha megszorozod a mátrixot A a felső címsor elemeiből álló mátrixhoz kapunk egy mátrixot, amely a bal oldali címoszlop elemeiből áll. Azaz lényegében a Jordan-tábla egy lineáris egyenletrendszer felírásának mátrixa: . Az (1.21) rendszer a következő Jordan-táblázatnak felel meg:

1.2. táblázat

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b az		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Megengedő elem egy rs Ezeket félkövérrel emeljük ki. Emlékezzünk vissza, hogy a Jordan elimináció egy lépésének végrehajtásához a feloldó elemnek nullától eltérőnek kell lennie. Az engedélyező elemet tartalmazó táblázatsort engedélyező sornak nevezzük. Az engedélyezési elemet tartalmazó oszlopot engedélyezés oszlopnak nevezzük. Amikor egy adott tábláról a következő táblára lépünk, egy változó ( xs) a táblázat felső fejlécsorából a bal oldali fejlécoszlopba kerül, és fordítva, a rendszer egyik szabad tagja ( y r) a táblázat bal oldali fejoszlopából a felső fejsorba lép.

Ismertesse az együtthatók újraszámításának algoritmusát, amikor az (1.1) Jordan táblából az (1.2) táblába lépünk, ami az (1.23) és (1.25) képletekből következik.

1. A feloldó elemet az inverz szám helyettesíti:

2. A feloldó karakterlánc többi elemét felosztjuk a feloldó elemre, és az előjelet az ellenkezőjére változtatjuk:

3. A felbontás oszlop többi elemét a felbontási elemre osztjuk:

4. Az engedélyező sorban és oszlopban nem szereplő elemek újraszámítása a következő képletekkel történik:

Az utolsó képlet könnyen megjegyezhető, ha észreveszi, hogy az elemek, amelyek a tört , a kereszteződésben vannak én-ja és r sorok és jés s oszlopok (feloldó sor, feloldó oszlop, valamint az a sor és oszlop, amelynek metszéspontjában az újraszámított elem található). Pontosabban a képlet memorizálásánál a következő diagramot használhatja:

-21 -26 -13 -37

A Jordan kivételek első lépésének végrehajtásakor az 1.3. táblázat oszlopaiban található bármely elemét kiválaszthatja feloldó elemként x 1 ,…, x 5 (az összes megadott elem nem nulla). Csak ne az utolsó oszlopban jelölje ki az engedélyező elemet, mert független változókat kell találnia x 1 ,…, x 5. Például kiválasztjuk az együtthatót 1 változóval x 3 az 1.3. táblázat harmadik sorában (az engedélyező elem félkövéren van szedve). Az 1.4 táblázatra lépve a változó x A felső fejlécsor 3-a felcserélődik a bal oldali fejlécoszlop (harmadik sor) konstans 0-jával. Ebben az esetben a változó x 3 a fennmaradó változókon keresztül fejeződik ki.

Húr x 3 (1.4. táblázat) előzetes emlékezés után kizárható az 1.4. táblázatból. Az 1.4. táblázatból kimarad a harmadik oszlop, ahol a felső címsor nulla található. A lényeg az, hogy az esélyektől függetlenül ennek az oszlopnak b i 3 az egyes 0 egyenletek összes megfelelő tagját b i 3 rendszer nulla lesz. Ezért ezeket az együtthatókat nem kell kiszámítani. Egy változó kiküszöbölése x 3 és az egyik egyenletre emlékezve az 1.4 táblázatnak megfelelő rendszerhez jutunk (a vonal áthúzva x 3). Az 1.4 táblázatban feloldó elemként kijelölés b 14 = -5, ugorjon az 1.5 táblázathoz. Az 1.5. táblázatban emlékezzen az első sorra, és zárja ki a táblázatból a negyedik oszloppal együtt (nulla a tetején).

1.5. táblázat 1.6

Az utolsó 1.7 táblázatból a következőket találjuk: x 1 = - 3 + 2x 5 .

A már megtalált változókat következetesen behelyettesítve a megjegyzett sorokba, megtaláljuk a fennmaradó változókat:

Így a rendszernek végtelen sok megoldása van. Változó x 5, tetszőleges értékek rendelhetők hozzá. Ez a változó paraméterként működik x 5 = t. Bebizonyítottuk a rendszer kompatibilitását és megtaláltuk az általános megoldást:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Paraméter megadása t különböző jelentések, végtelen számú megoldást kapunk az eredeti rendszerre. Így például a rendszer megoldása a következő változóhalmaz (- 3; - 1; - 2; 4; 0).