Kész válaszok a homogén példákra differenciálegyenletek Sok diák az elsőrendűt keresi (az I. rendű vezérlők a legelterjedtebbek a tanításban), akkor ezeket részletesen elemezheti. Mielőtt azonban továbblépne a példákra, javasoljuk, hogy figyelmesen olvassa el a rövid elméleti anyagot.
A P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 alakú egyenleteket, ahol a P(x,y) és Q(x,y) függvények azonos sorrendű homogén függvények, ún. homogén differenciálegyenlet(ODR).

Séma homogén differenciálegyenlet megoldására

1. Először az y=z*x behelyettesítést kell alkalmazni, ahol z=z(x) egy új, ismeretlen függvény (így az eredeti egyenletet egy elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenletté redukáljuk.
2. A szorzat deriváltja y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z vagy dy=d(zx)=z*dx+ differenciálokban x*dz.
3. Ezután behelyettesítjük az új y függvényt és származékát y" (vagy dy) -be DE elválasztható változókkal x-hez és z-hez képest.
4. A differenciálegyenlet elválasztható változókkal való megoldása után megfordítjuk az y=z*x, tehát z= y/x változást, és azt kapjuk, hogy általános megoldás differenciálegyenlet (általános integrálja)..
5. Ha adott az y(x 0)=y 0 kezdeti feltétel, akkor a Cauchy-probléma sajátos megoldását találjuk. Elméletben könnyűnek hangzik, de a gyakorlatban nem mindenkinek van olyan szórakoztató a differenciálegyenletek megoldása. Ezért ismereteink elmélyítése érdekében nézzünk gyakori példákat. A könnyű feladatokról nincs sok tanulnivaló, ezért azonnal térjünk át a bonyolultabbakra.

Elsőrendű homogén differenciálegyenletek számítása

1. példa

Megoldás: Ossza el az egyenlet jobb oldalát azzal a változóval, amely a derivált melletti tényező. Ennek eredményeként eljutunk a 0. rendű homogén differenciálegyenlet

És itt talán sokan érdeklődtek, hogyan határozható meg egy homogén egyenlet függvényének sorrendje?
A kérdés nagyon releváns, és a válasz a következő:
a jobb oldalon a függvény és argumentum helyett a t*x, t*y értéket helyettesítjük. Egyszerűsítéskor a „t” paramétert egy bizonyos k fokig kapjuk, amit az egyenlet sorrendjének nevezünk. Esetünkben a "t" csökken, ami a 0. hatvány ill egy homogén egyenlet nulladrendű.
Ezután a jobb oldalon az új y=zx változóra léphetünk; z=y/x.
Ugyanakkor ne felejtse el kifejezni az „y” deriváltját az új változó deriváltján keresztül. A részek szabálya szerint találunk

Egyenletek differenciálokban formát ölti majd

Töröljük a jobb és bal oldalon található általános kifejezéseket, és továbblépünk a következőre differenciálegyenlet elválasztott változókkal.

Integráljuk a DE mindkét oldalát

A további átalakítások kényelme érdekében a logaritmus alá azonnal beírjuk a konstanst

A logaritmus tulajdonságai szerint a kapott logaritmikus egyenlet a következővel ekvivalens

Ez a bejegyzés még nem megoldás (válasz), vissza kell térni a végrehajtott változócseréhez

Ily módon megtalálják differenciálegyenletek általános megoldása. Ha figyelmesen elolvasta az előző leckéket, akkor azt mondtuk, hogy szabadon használhatja az elválasztott változókkal rendelkező egyenletek kiszámításának sémáját, és az ilyen egyenleteket bonyolultabb típusú távirányítókhoz kell kiszámítani.

2. példa Keresse meg egy differenciálegyenlet integrálját!

Megoldás: A homogén és kombinált vezérlőrendszerek számítási sémája már ismerős. A változót áthelyezzük az egyenlet jobb oldalára, és közös tényezőként kivesszük az x 2-t a számlálóból és a nevezőből

Így nulladrendű homogén differenciálegyenletet kapunk.
A következő lépés a z=y/x, y=z*x változók helyettesítésének bevezetése, amelyre folyamatosan emlékeztetni fogjuk, hogy megjegyezze.

Ezt követően a távirányítót differenciálművekbe írjuk

Ezután a függőséget alakítjuk át differenciálegyenlet elválasztott változókkal

és integrálással oldjuk meg.

Az integrálok egyszerűek, a többi transzformációt a logaritmus tulajdonságai alapján hajtjuk végre. Az utolsó lépés a logaritmus feltárása. Végül visszatérünk az eredeti cseréhez, és írjuk be az űrlapba

A "C" konstans bármilyen értéket felvehet. Mindenkinek, aki levelezőn tanul, problémái vannak az ilyen típusú egyenletekkel a vizsgákon, ezért kérjük, figyelmesen nézze meg, és emlékezzen a számítási diagramra.

3. példa Differenciálegyenlet megoldása

Megoldás: A fenti módszertanból következően az ilyen típusú differenciálegyenleteket megoldjuk új változó bevezetésével.Írjuk át a függőséget úgy, hogy a derivált változó nélküli legyen

Továbbá a jobb oldalt elemezve azt látjuk, hogy az -ee töredék mindenhol jelen van, és új ismeretlenként jelöli.
z=y/x, y=z*x.
Az y származékának megtalálása

A csere figyelembevételével az eredeti DE-t átírjuk az űrlapba

Leegyszerűsítjük az azonos kifejezéseket, és az összes kapott kifejezést DE-re redukáljuk elválasztott változókkal

Az egyenlőség mindkét oldalának integrálásával

logaritmusok formájában jutunk el a megoldáshoz

A talált függőségek feltárásával differenciálegyenlet általános megoldása

amely a változók kezdeti változásának behelyettesítése után azt a formát ölti

Itt C egy állandó, amely a Cauchy-feltételből tovább határozható meg. Ha a Cauchy-probléma nincs megadva, akkor tetszőleges valós értéket vesz fel.
Ennyi a bölcsesség a homogén differenciálegyenletek számításában.

Elsőrendű homogén differenciálegyenlet a forma egyenlete
, ahol f egy függvény.

Hogyan határozhatunk meg homogén differenciálegyenletet

Annak megállapításához, hogy egy elsőrendű differenciálegyenlet homogén-e, be kell vezetnünk egy t konstanst, és y-t ty-re, x-et tx-re kell cserélni: y → ty, x → tx. Ha t csökken, akkor ez homogén differenciálegyenlet
.

. Az y′ derivált nem változik ezzel a transzformációval.

Példa

Határozza meg, hogy egy adott egyenlet homogén-e

Megoldás


Az y → ty, x → tx cserét elvégezzük. 2 .

.
Ossza el t

Az egyenlet nem tartalmazza a t-t.

Ezért ez egy homogén egyenlet.
Módszer homogén differenciálegyenlet megoldására
Egy elsőrendű homogén differenciálegyenletet az y = ux behelyettesítéssel elválasztható változókat tartalmazó egyenletté redukálunk.
Mutassuk meg. Tekintsük az egyenletet:
(én)
Csináljunk egy cserét:
y = ux, Módszer homogén differenciálegyenlet megoldására.
,
,
ahol u x függvénye. .
Differenciálj x-hez képest: y′ =.

Helyettesítsd be az eredeti egyenletbe (ii) Válasszuk szét a változókat. Szorozzuk meg dx-el és osszuk el x-szel 0 ( f(u) - u )

A f

(u) - u ≠ 0 Módszer homogén differenciálegyenlet megoldásáraés x ≠

kapunk: Integráljunk:Így megkaptuk az egyenlet általános integrálját

kvadratúrákban:

Cseréljük le a C integráció állandóját C-ben.
, Akkor ahol u x függvénye. A modulus előjelét hagyjuk ki, mivel a kívánt előjelet a C konstans előjelének megválasztása határozza meg. ahol u x függvénye. Ekkor az általános integrál a következő formában lesz: Módszer homogén differenciálegyenlet megoldására.

Ezután meg kell vizsgálnunk az f esetet (u) - u = 0 Ha ennek az egyenletnek vannak gyökei, akkor ezek az egyenlet megoldását jelentik . Mivel az Eq. nem esik egybe az eredeti egyenlettel, akkor győződjön meg arról, hogy a további megoldások megfelelnek az eredeti egyenletnek Amikor az átalakítások során bármely egyenletet elosztunk valamilyen függvénnyel, amelyet g-vel jelölünk.

(x, y)

, akkor a további transzformációk érvényesek g-re

Határozza meg, hogy egy adott egyenlet homogén-e

(x, y) ≠ 0
,
,
.
.

A t állandó csökkent. Ezért az egyenlet homogén.

Elvégezzük az y = ux behelyettesítést, ahol u x függvénye.
Csináljunk egy cserét: (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Helyettesítsd be az eredeti egyenletbe.
,
,
,
.
Ha x ≥ 0 , |x| = x. 0 Amikor x ≤ 0 , |x| = - x . 0 .
,
Írunk |x| = x, ami azt jelenti, hogy a felső jel x ≥ értékekre vonatkozik

, az alsó pedig az x ≤ értékekre 2 - 1 ≠ 0 Szorozzuk meg dx-el és osszuk el -vel.

A f

Amikor u
.

nálunk van:
Táblázat integrálok,.
Alkalmazzuk a képletet:
.
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
.
Tegyük fel a = u, .
.

Vegyük mindkét oldalt modulo és logaritmus,
,
.
Innen

Így rendelkezünk:
,
.
A modulus előjelét elhagyjuk, mivel a kívánt előjelet a C konstans előjelének megválasztásával biztosítjuk.
,
,
.

Szorozzuk meg x-szel, és helyettesítsük ux = y-vel. 2 - 1 = 0 .
Négyzetre.
.
Most fontolja meg az esetet, u

Ennek az egyenletnek a gyökerei

,
,
.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az y = x függvények megfelelnek-e az eredeti egyenletnek.
Válasz Felhasznált irodalom: N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Problémagyűjtemény on

felsőbb matematika

, "Lan", 2003. Homogén Ebben a leckében megnézzük az ún elsőrendű homogén differenciálegyenletek. Együtt szétválasztható egyenletekÉs lineáris inhomogén egyenletek ez a fajta távirányító szinte bármelyikben megtalálható próbamunka a diffúzorok témakörében. Ha egy keresőmotorból érkezett az oldalra, vagy nem nagyon magabiztos a differenciálegyenletek megértésében, akkor először azt javaslom, hogy dolgozzon át egy bevezető órát a témában -

Elsőrendű differenciálegyenletek . A helyzet az, hogy a homogén egyenletek megoldásának sok elve és az alkalmazott technikák pontosan ugyanazok, mint a legegyszerűbb, elválasztható változókkal rendelkező egyenletek esetében..

Mi a különbség a homogén differenciálegyenletek és az egyéb típusú differenciálegyenletek között? Ennek legegyszerűbb módja az, hogy azonnal

konkrét példa
1. példa Megoldás: Mi először is döntéskor elemezni kell bármilyen differenciálegyenlet

első rendelés ? Először is ellenőrizni kell, hogy lehetséges-e a változók azonnali elkülönítése „iskolai” műveletekkel? Ez az elemzés általában mentálisan történik, vagy úgy, hogy megpróbálják szétválasztani a változókat egy piszkozatban. Ebben a példában

a változókat nem lehet szétválasztani

(megpróbálhatod a kifejezéseket részről részre dobni, a tényezőket zárójelből kiemelni stb.). Egyébként ebben a példában az a tény, hogy a változók nem oszthatók, teljesen nyilvánvaló a szorzó jelenléte miatt. Felmerül a kérdés: hogyan lehet megoldani ezt a diffúz problémát?? Az ellenőrzés egyszerű, maga az ellenőrző algoritmus a következőképpen fogalmazható meg:

Az eredeti egyenlethez:

helyett helyettesítjük, helyett helyettesítjük, nem nyúlunk a származékhoz:

A lambda betű feltételes paraméter, és itt a következő szerepet tölti be: ha a transzformációk eredményeként az ÖSSZES lambdát „megsemmisíthetjük” és megkapjuk az eredeti egyenletet, akkor ez a differenciálegyenlet homogén.

Nyilvánvaló, hogy a lambdákat azonnal csökkenti a kitevő:

Most a jobb oldalon kivesszük a lambdát a zárójelekből:

és ossza el mindkét részt ugyanazzal a lambdával:

Ennek eredményeként Minden A lambdák eltűntek, mint egy álom, mint a reggeli köd, és megkaptuk az eredeti egyenletet.

Következtetés: Ez az egyenlet homogén

Hogyan lehet megoldani egy homogén differenciálegyenletet?

Nagyon jó hírem van. Abszolút mindent homogén egyenletek egyetlen (!) szabványos cserével megoldható.

A „játék” funkciónak kell lennie cserélje ki munka valamilyen funkciót (az „x”-től is függ)és "x":

Szinte mindig röviden írják:

Megtudjuk, hogy egy ilyen helyettesítéssel mivé válik a származék, alkalmazzuk a szorzat differenciálási szabályát. Ha , akkor:

Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

Mit ad egy ilyen csere? Ezt a cserét és az egyszerűsítéseket követően mi garantált elválasztható változókkal rendelkező egyenletet kapunk. EMLÉKEZD mint az első szerelem :) és ennek megfelelően .

Csere után maximális egyszerűsítéseket hajtunk végre:

Mivel „x”-től függő függvény, származéka felírható standard törtként: .
Így:

A változókat szétválasztjuk, míg a bal oldalon csak a „te”-t, a jobb oldalon pedig az „x”-et kell gyűjteni:

A változók el vannak választva, integráljuk:


Az első technikai tippem szerint a cikkből próbamunka sok esetben célszerű egy állandót logaritmus formájában „megfogalmazni”.

Miután az egyenletet integráltuk, végre kell hajtanunk fordított csere, szintén szabványos és egyedi:
Ha, akkor
Ebben az esetben:

20-ból 18-19 esetben a homogén egyenlet megoldását általános integrálként írjuk fel.

Válasz:általános integrál:

Miért adjuk meg a homogén egyenletre a választ szinte mindig általános integrál formájában?
A „játékot” a legtöbb esetben nem lehet kifejezetten kifejezni (általános megoldást kapni), és ha lehetséges, akkor legtöbbször az általános megoldás nehézkesnek és ügyetlennek bizonyul.

Így például a vizsgált példában általános megoldást kaphatunk, ha az általános integrál mindkét oldalán lemérjük a logaritmusokat:

- Nos, ez rendben van. Bár, el kell ismerni, még mindig egy kicsit ferde.

Egyébként ebben a példában nem egészen „tisztességesen” írtam le az általános integrált. Ez nem hiba, de „jó” stílusban emlékeztetem Önt, hogy az általános integrált általában a formában írják. Ehhez az egyenlet integrálása után azonnal fel kell írni az állandót logaritmus nélkül (itt a kivétel a szabály alól!):

És a fordított helyettesítés után kapja meg az általános integrált „klasszikus” formában:

A kapott válasz ellenőrizhető. Ehhez meg kell különböztetni az általános integrált, azaz meg kell találni egy implicit módon meghatározott függvény deriváltja:

Megszabadulunk a törtektől, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk:

Az eredeti differenciálegyenletet megkaptuk, ami azt jelenti, hogy a megoldást helyesen találtuk meg.

Célszerű mindig ellenőrizni. A homogén egyenletek azonban kellemetlenek abból a szempontból, hogy általában nehéz ellenőrizni általános integráljaikat - ehhez nagyon-nagyon tisztességes differenciálási technikát igényel. A vizsgált példában az ellenőrzés során már nem a legegyszerűbb származékokat kellett megtalálni (bár maga a példa meglehetősen egyszerű). Ha meg tudod nézni, nézd meg!

2. példa

Ellenőrizze az egyenlet homogenitását, és keresse meg az általános integrálját.

Írd be a választ az űrlapba!

Ez egy példa arra, hogy önállóan döntsön – így magával a műveletek algoritmusával is kényelmesen elsajátítható. Az ellenőrzést tetszés szerint elvégezheti, mert... itt ez elég bonyolult, és nem is vettem a fáradságot, hogy bemutassam, különben nem jön még egyszer ilyen mániás :)

És most az ígért fontos pont, amelyet a téma legelején említettünk,
Félkövér fekete betűkkel kiemelem:

Ha a transzformációk során „reseteljük” a szorzót (nem állandó)a nevezőbe, akkor a megoldások elvesztését VESZKEZZÜK!

És valójában ezzel találkoztunk az első példában bevezető óra a differenciálegyenletekről. Az egyenlet megoldása során kiderült, hogy az „y” a nevezőben van: , de nyilvánvalóan a DE megoldása, és egy egyenlőtlen transzformáció (osztás) eredményeként minden esély megvan annak elvesztésére! Másik dolog, hogy az általános megoldásban a konstans nulla értékében szerepelt. Az „X” visszaállítása a nevezőben szintén figyelmen kívül hagyható, mert nem felel meg az eredeti diffúzornak.

Hasonló történet ugyanennek a leckének a harmadik egyenletével, aminek megoldása során „beleestünk” a nevezőbe. Szigorúan véve itt kellett ellenőrizni, hogy ez a diffúzor a megoldás? Végül is az! De még itt is „minden rendben volt”, mivel ez a funkció benne volt az általános integrálban at .

És ha ez gyakran működik „elválasztható” egyenletekkel, akkor homogén és néhány más diffúzor esetén nem biztos, hogy működik. Nagyon valószínű.

Elemezzük az ebben a leckében már megoldott problémákat: in 1. példa volt X „reset”, de ez nem lehet megoldás az egyenletre. De be 2. példa részre osztottunk , de ő is „megúszta”: hiszen , a megoldások nem veszhettek el, egyszerűen nincsenek itt. De természetesen szándékosan hoztam létre a „boldog alkalmakat”, és nem tény, hogy a gyakorlatban ezek jönnek be:

3. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Nem egyszerű példa? ;-)

konkrét példa ennek az egyenletnek a homogenitása nyilvánvaló, de mégis - az első lépésnél MINDIG ellenőrizzük, hogy lehetséges-e a változók szétválasztása. Ugyanis az egyenlet is homogén, de a benne lévő változók könnyen szétválaszthatók. Igen, vannak ilyenek!

Az „elválaszthatóság” ellenőrzése után cserét végzünk, és amennyire csak lehetséges, egyszerűsítjük az egyenletet:

A változókat szétválasztjuk, a bal oldalon összegyűjtjük a „te”-t, jobbra az „x”-t:

És itt STOP. -vel való osztásakor azt kockáztatjuk, hogy egyszerre két funkciót veszítünk el. Mivel , ezek a funkciók:

Az első függvény nyilvánvalóan az egyenlet megoldása . Ellenőrizzük a másodikat - a származékát is behelyettesítjük a diffúzorunkba:

– megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy a függvény megoldás.

ÉS kockáztatjuk, hogy elveszítjük ezeket a döntéseket.

Ezenkívül a nevező „X” lett, azonban a csere azt jelenti, hogy nem nulla. Emlékezz erre a tényre. De! Mindenképpen ellenőrizze, az EREDETI differenciálegyenlet megoldása. Nem, nem az.

Vegyük mindezt tudomásul, és folytassuk:

Meg kell mondanom, szerencsém volt a bal oldal integráljával, sokkal rosszabb is lehet.

Egyetlen logaritmust gyűjtünk a jobb oldalon, és levesszük a bilincseket:

És most csak a fordított csere:

Szorozzuk meg az összes kifejezést a következővel:

Most ellenőriznie kell... hogy a „veszélyes” megoldások szerepeltek-e az általános integrálban. Igen, mindkét megoldás bekerült az általános integrálba a konstans nulla értékén: , így ezeket nem kell külön feltüntetni válasz:

általános integrál:

Vizsgálat. Nem is próba, hanem tiszta öröm :)

Az eredeti differenciálegyenletet megkaptuk, ami azt jelenti, hogy a megoldást helyesen találtuk meg.

A megoldás saját kezűleg:

4. példa

Végezzen homogenitási tesztet és oldja meg a differenciálegyenletet

Ellenőrizze az általános integrált differenciálással.

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Nézzünk meg néhány példát, amikor kész differenciálokkal adunk meg egy homogén egyenletet.

5. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Ez egy nagyon érdekes példa, egy egész thriller!

Megoldás Hozzá fogunk szokni a kompaktabb tervezéshez. Először gondolatban vagy vázlaton megbizonyosodunk arról, hogy a változókat itt nem lehet szétválasztani, majd elvégzünk egy homogenitási tesztet - ezt általában nem végleges vázlaton végezzük el. (hacsak nincs külön igény). Így a megoldás szinte mindig a következő bejegyzéssel kezdődik: „ Ez az egyenlet homogén, cseréljük le: ...».

Ha egy homogén egyenlet kész differenciálokat tartalmaz, akkor az egy módosított helyettesítéssel megoldható:

De nem javaslom az ilyen helyettesítést, mivel ez a kínai differenciálművek nagy fala lesz, ahol szükség van egy szemre és egy szemre. Technikai szempontból előnyösebb a derivált „szaggatott” megjelölésére váltani, az egyenlet összes tagját elosztjuk:

És itt már véghezvittünk egy „veszélyes” átalakulást! A nulla differenciál a tengellyel párhuzamos egyenesek családjának felel meg. Ők a DU gyökerei? Helyettesítsük be az eredeti egyenletbe:

Ez az egyenlőség akkor érvényes, ha, vagyis ha osztva kockáztattuk a megoldás elvesztését, és elvesztettük őt- mióta már nem elégít ki a kapott egyenlet .

Megjegyzendő, hogy ha mi kezdetben az egyenlet adott volt , akkor szó sem lenne a gyökérről. De megvan, és még időben elkaptuk.

Folytatjuk a megoldást egy szabványos cserével:
:

A behelyettesítés után a lehető legnagyobb mértékben leegyszerűsítjük az egyenletet:

Különválasztjuk a változókat:

És itt megint STOP: ha osztunk vele, két funkció elvesztését kockáztatjuk. Mivel , ezek a funkciók:

Nyilvánvaló, hogy az első függvény az egyenlet megoldása . Ellenőrizzük a másodikat - a származékát is helyettesítjük:

– kapott igazi egyenlőség, ami azt jelenti, hogy a függvény egyben a differenciálegyenlet megoldása is.

És ha osztunk vele, kockáztatjuk, hogy elveszítjük ezeket a megoldásokat. Azonban beléphetnek az általános integrálba. De lehet, hogy nem lépnek be

Vegyük ezt tudomásul, és integráljuk mindkét részt:

A bal oldal integrálját szabványos módon oldjuk meg a segítségével teljes négyzet kiemelése, de sokkal kényelmesebb diffúzorokban használni bizonytalan együtthatók módszere:

A határozatlan együtthatók módszerével az integrandust elemi törtek összegére bővítjük:


Így:

Az integrálok keresése:

– mivel csak logaritmusokat rajzoltunk, a konstanst is a logaritmus alá toljuk.

Csere előtt ismét leegyszerűsítve mindent, ami egyszerűsíthető:

A láncok visszaállítása:

És a fordított csere:

Most emlékezzünk az „elveszett dolgokra”: a megoldás az általános integrálba bekerült a -nál, de „elrepült a pénztárgép mellett”, mert kiderült a nevező. Ezért a válaszban külön kifejezést kap, és igen - ne feledkezzünk meg az elveszett megoldásról, amely mellesleg alább is kiderült.

Válasz:általános integrál: . További megoldások:

Nem olyan nehéz itt megfogalmazni az általános megoldást:
, de ez már egy mutogatás.

Ellenőrzésre azonban kényelmes. Keressük a származékot:

és helyettesíti az egyenlet bal oldalán:

– ennek eredményeként az egyenlet jobb oldalát kaptuk, amit ellenőrizni kellett.

A következő diffúzor önállóan működik:

6. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Próbáld itt egyúttal kifejezni az általános megoldást a gyakorláshoz.

A lecke utolsó részében a témában néhány jellemzőbb feladatot veszünk figyelembe:

7. példa

Differenciálegyenlet megoldása

konkrét példa Menjünk végig a kitaposott úton. Ez az egyenlet homogén, cseréljük le:

Az „X” itt rendben van, de mi a helyzet a másodfokú trinommal? Mivel nem bontható faktorokra: , akkor biztosan nem veszítünk el megoldásokat. Ez mindig így lesz! Válassza ki a teljes négyzetet a bal oldalon, és integrálja:

Itt nincs mit leegyszerűsíteni, ezért a fordított csere:

Válasz:általános integrál:

8. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Így:

Az egyenlőtlen konverziók esetén MINDIG ellenőrizze (legalábbis szóban), Elveszted a megoldásaidat? Mik ezek az átalakulások? Jellemzően lerövidít vagy feloszt valamit. Így például az -el való osztásakor ellenőrizni kell, hogy a függvények megoldásai-e a differenciálegyenletre. Ugyanakkor a -val osztva már nincs szükség ilyen ellenőrzésre - mivel ez az osztó nem megy nullára.

Íme egy másik veszélyes helyzet:

Itt a -tól megszabadulva ellenőriznie kell, hogy a DE megoldás-e. Gyakran „x” és „y” ilyen szorzót használnak, és ezek csökkentésével olyan függvényeket veszítünk el, amelyek megoldásnak bizonyulhatnak.

Másrészt, ha valami KEZDETIBEN benne van a nevezőben, akkor nincs ok az aggodalomra. Így egy homogén egyenletben nem kell aggódnia a függvény miatt, mivel az a nevezőben van „deklarálva”.

A felsorolt ​​finomságok nem veszítik el relevanciájukat, még akkor sem, ha a probléma csak egy adott megoldást igényel. Van, bár kicsi az esélye, hogy pontosan a kívánt megoldást veszítjük el. Igaz-e Cauchy probléma V gyakorlati feladatokat homogén egyenletekkel elég ritkán kérik. A cikkben azonban vannak ilyen példák Homogénre redukáló egyenletek, melynek tanulmányozását javaslom „forrósan a sarkon” a megoldási készség erősítésére.

Vannak bonyolultabb homogén egyenletek is. A nehézség nem a változók megváltoztatásában vagy leegyszerűsítésében rejlik, hanem a változók szétválasztása következtében kialakuló meglehetősen nehéz vagy ritka integrálokban. Vannak példáim az ilyen homogén egyenletek megoldására – ijesztő integrálok és ijesztő válaszok. De nem beszélünk róluk, mert a következő leckéken (lásd lent) Még van időm megkínozni, frissen és optimistán akarlak látni!

Boldog promóciót!

Megoldások és válaszok:

2. példa: konkrét példa Ellenőrizzük az egyenlet homogenitását, erre a célra az eredeti egyenletben helyett helyettesítsük, és helyett cseréljük ki:

Ennek eredményeként az eredeti egyenletet kapjuk, ami azt jelenti, hogy ez a DE homogén.

Egy I. rendű homogén differenciálegyenlet megoldásához használjuk az u=y/x behelyettesítést, vagyis u egy új, x-től függő ismeretlen függvény. Ezért y=ux. Az y’ deriváltot a szorzatdifferenciálási szabály segítségével találjuk meg: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (mivel x’=1). A jelölés másik formája: dy = udx + xdu A behelyettesítés után leegyszerűsítjük az egyenletet, és elválasztható változókkal rendelkező egyenlethez jutunk.

Példák I. rendű homogén differenciálegyenletek megoldására.

1) Oldja meg az egyenletet!

Ellenőrizzük, hogy ez az egyenlet homogén-e (lásd: Homogén egyenlet meghatározása). Miután meggyőződtünk, végrehajtjuk az u=y/x cserét, amelyből y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Helyettesítő: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Mivel egy szorzat logaritmusa egyenlő a logaritmusok összegével, ln(ux)=lnu+lnx. Innen

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Hasonló kifejezések hozása után: u’x+u=u(1+lnu). Most nyissa ki a zárójeleket

u'x+u=u+u·lnu. Mindkét oldal u-t tartalmaz, ezért u’x=u·lnu. Mivel u x függvénye, u’=du/dx. Cseréljük

Kaptunk egy elválasztható változókkal rendelkező egyenletet. A változókat úgy választjuk el, hogy mindkét részt megszorozzuk dx-el és elosztjuk x·u·lnu-val, feltéve, hogy az x·u·lnu≠0 szorzat

Integráljunk:

A bal oldalon egy asztali integrál található. A jobb oldalon a t=lnu helyettesítést végezzük, ahonnan dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. De már megbeszéltük, hogy az ilyen egyenletekben kényelmesebb az ln│C│-t venni C helyett. Majd

ln│t│=ln│x│+ln│C│. A logaritmusok tulajdonsága szerint: ln│t│=ln│Сx│. Ezért t=Cx. (feltétel szerint, x>0). Itt az ideje a fordított helyettesítésnek: lnu=Cx. És még egy fordított csere:

A logaritmus tulajdonságai szerint:

Ez az egyenlet általános integrálja.

Felidézzük az x·u·lnu≠0 szorzat feltételét (és ezért x≠0,u≠0, lnu≠0, ahonnan u≠1). De a feltételből x≠0 marad u≠1, tehát x≠y. Nyilvánvaló, hogy az y=x (x>0) szerepel az általános megoldásban.

2) Határozzuk meg az y’=x/y+y/x egyenlet parciális integrálját, amely teljesül az y(1)=2 kezdeti feltételeknek!

Először is ellenőrizzük, hogy ez az egyenlet homogén-e (bár az y/x és x/y tagok jelenléte már közvetve ezt jelzi). Ezután elvégezzük az u=y/x cserét, amiből y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. A kapott kifejezéseket behelyettesítjük az egyenletbe:

u'x+u=1/u+u. Egyszerűsítsünk:

u'x=1/u. Mivel u x függvénye, u’=du/dx:

Kaptunk egy elválasztható változókkal rendelkező egyenletet. A változók szétválasztásához mindkét oldalt megszorozzuk dx-szel és u-val, és elosztjuk x-szel (x≠0 feltétellel, tehát u≠0 is, ami azt jelenti, hogy nincs megoldásveszteség).

Integráljunk:

és mivel mindkét oldal táblázatos integrálokat tartalmaz, azonnal megkapjuk

Fordított cserét végzünk:

Ez az egyenlet általános integrálja. Használjuk az y(1)=2 kezdeti feltételt, azaz behelyettesítjük y=2, x=1 értékkel a kapott megoldásba:

3) Határozza meg a homogén egyenlet általános integrálját:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Csere u=y/x, innen y=ux, dy=xdu+udx. Cseréljük:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Kivesszük x²-et a zárójelekből, és elosztjuk vele mindkét részt (feltéve, hogy x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Nyissa ki a zárójeleket, és egyszerűsítse:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Csoportosítjuk a kifejezéseket du és dx karakterekkel:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Vegyük ki a gyakori tényezőket a zárójelekből:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Különválasztjuk a változókat:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Ehhez az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk xu(u²+1)≠0-val (ennek megfelelően összeadjuk az x≠0 (már megjegyezve), u≠0) követelményeket:

Integráljunk:

Az egyenlet jobb oldalán van egy táblázatos integrál, és a bal oldalon lévő racionális törtet egyszerű tényezőkre bontjuk:

(vagy a második integrálban a differenciáljel helyettesítése helyett a t=1+u², dt=2udu cserét lehetett elvégezni - kinek melyik metódus tetszik jobban). Kapunk:

A logaritmus tulajdonságai szerint:

Fordított csere

Emlékezzünk az u≠0 feltételre. Ezért y≠0. Ha C=0 y=0, ez azt jelenti, hogy nincs megoldásveszteség, és y=0 benne van az általános integrálban.

Megjegyzés

Más formában írt megoldást kaphat, ha a kifejezést x-szel hagyja a bal oldalon:

Az integrálgörbe geometriai jelentése ebben az esetben egy olyan körcsalád, amelynek középpontja az Oy tengelyen van, és áthalad az origón.

Önellenőrző feladatok:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Ellenőrizzük, hogy az egyenlet homogén-e, majd elvégezzük az u=y/x cserét, ahonnan y=ux, dy=xdu+udx. Helyettesítse be a következő feltételt: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk x²≠0-val, a következőt kapjuk: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Ezért dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Leegyszerűsítve a következőt kapjuk: dx-xudu=0. Ezért xudu=dx, udu=dx/x. Integráljuk mindkét részt:

Úgy gondolom, hogy egy olyan dicsőséges matematikai eszköz történetével kellene kezdenünk, mint a differenciálegyenletek. Mint minden differenciál- és integrálszámítást, ezeket az egyenleteket is Newton találta ki a 17. század végén. Ezt a felfedezését annyira fontosnak tartotta, hogy még egy üzenetet is titkosított, amit ma valahogy így lehet lefordítani: „A természet minden törvényét differenciálegyenletek írják le.” Ez túlzásnak tűnhet, de igaz. A fizika, a kémia, a biológia bármely törvénye leírható ezekkel az egyenletekkel.

Euler és Lagrange matematikusok nagymértékben hozzájárultak a differenciálegyenletek elméletének kidolgozásához és megalkotásához. Már a 18. században felfedezték és továbbfejlesztették azt, amit ma felsőfokú egyetemi kurzusokon tanulnak.

Henri Poincarénak köszönhetően új mérföldkő kezdődött a differenciálegyenletek tanulmányozásában. Megalkotta a „differenciálegyenletek kvalitatív elméletét”, amely egy komplex változó függvényeinek elméletével kombinálva jelentősen hozzájárult a topológia - a tér tudományának és tulajdonságainak - megalapozásához.

Mik azok a differenciálegyenletek?

Sokan félnek egy mondattól. Ebben a cikkben azonban részletesen felvázoljuk ennek a nagyon hasznos matematikai apparátusnak a lényegét, amely valójában nem olyan bonyolult, mint amilyennek a névből látszik. Ahhoz, hogy az elsőrendű differenciálegyenletekről beszélhessünk, először meg kell ismerkednünk azokkal az alapfogalmakkal, amelyek eredendően ehhez a definícióhoz kapcsolódnak. És kezdjük a differenciálművel.

Differenciális

Sokan már iskolás koruk óta ismerik ezt a fogalmat. Nézzük azonban meg közelebbről. Képzeld el egy függvény grafikonját. Annyira növelhetjük, hogy bármely szakasza egyenes alakot öltsön. Vegyünk rá két pontot, amelyek végtelenül közel vannak egymáshoz. A koordinátáik (x vagy y) közötti különbség végtelenül kicsi lesz. Ezt differenciálnak nevezik, és a dy (y differenciál) és a dx (x differenciál) előjellel jelöljük. Nagyon fontos megérteni, hogy a differenciál nem véges mennyiség, és ez a jelentése és a fő funkciója.

Most meg kell vizsgálnunk a következő elemet, amely hasznos lesz számunkra a differenciálegyenlet fogalmának magyarázatában. Ez egy származék.

Származék

Valószínűleg mindannyian hallottuk ezt a fogalmat az iskolában. A derivált az a sebesség, amellyel egy függvény növekszik vagy csökken. Ebből a meghatározásból azonban sok minden nem világos. Próbáljuk meg magyarázni a derivált differenciálokon keresztül. Térjünk vissza egy infinitezimális szegmenshez, amelynek két pontja van egymástól minimális távolságra. De még ezen a távolságon is sikerül bizonyos mértékben megváltoznia a függvénynek. És ennek a változásnak a leírására egy deriválttal álltak elő, amely egyébként a differenciálok arányaként írható fel: f(x)"=df/dx.

Most érdemes megfontolni a származék alapvető tulajdonságait. Csak három van belőlük:

1. Egy összeg vagy különbség deriváltja a következő származékok összegeként vagy különbségeként ábrázolható: (a+b)"=a"+b" és (a-b)"=a"-b.
2. A második tulajdonság a szorzáshoz kapcsolódik. Egy szorzat deriváltja az egyik függvény szorzatának és egy másik függvény deriváltjának összege: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. A különbség deriváltja a következő egyenlőségként írható fel: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Mindezek a tulajdonságok hasznosak lesznek számunkra az elsőrendű differenciálegyenletek megoldásához.

Vannak részleges származékok is. Tegyük fel, hogy van egy z függvényünk, amely az x és y változóktól függ. Ahhoz, hogy kiszámítsuk ennek a függvénynek a parciális deriváltját, mondjuk x vonatkozásában, az y változót állandónak kell vennünk, és egyszerűen differenciálni kell.

Integrál

Egy másik fontos fogalom az integrál. Valójában ez pontosan az ellenkezője a származékosnak. Többféle integrál létezik, de a legegyszerűbb differenciálegyenletek megoldásához a legtriviálisabbakra van szükségünk

Tehát tegyük fel, hogy f-nek van némi függése x-től. Kivesszük belőle az integrált, és megkapjuk az F(x) függvényt (gyakran antideriváltnak is nevezik), amelynek deriváltja megegyezik az eredeti függvénnyel. Így F(x)"=f(x). Ebből az is következik, hogy a derivált integrálja egyenlő az eredeti függvénnyel.

A differenciálegyenletek megoldása során nagyon fontos megérteni az integrál jelentését és funkcióját, mivel ezeket nagyon gyakran át kell venni a megoldás megtalálásához.

Az egyenletek természetüktől függően változnak. A következő részben megvizsgáljuk az elsőrendű differenciálegyenletek típusait, majd megtanuljuk a megoldásukat.

Differenciálegyenletek osztályai

A "diffúrok" a bennük szereplő származékok sorrendje szerint vannak felosztva. Így van első, második, harmadik és több rend. Több osztályba is oszthatók: közönséges és részleges származékokra.

Ebben a cikkben az elsőrendű közönséges differenciálegyenleteket tekintjük át. A következő részekben példákat és megoldási módokat is tárgyalunk. Csak az ODE-ket fogjuk figyelembe venni, mivel ezek a leggyakoribb egyenlettípusok. A közönségeseket alfajokra osztják: elválasztható változókkal, homogénekre és heterogénekre. Ezután megtudhatja, hogy ezek miben különböznek egymástól, és megtanulják megoldani őket.

Ezenkívül ezeket az egyenleteket kombinálhatjuk, így egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert kapunk. Az ilyen rendszereket is megvizsgáljuk, és megtanuljuk megoldani őket.

Miért csak az első rendelést vesszük figyelembe? Mert valami egyszerűvel kell kezdeni, és egyszerűen lehetetlen mindent leírni, ami a differenciálegyenletekkel kapcsolatos egy cikkben.

Elválasztható egyenletek

Ezek talán a legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek. Ilyenek például a következőképpen felírható példák: y"=f(x)*f(y). Ennek az egyenletnek a megoldásához szükségünk van egy képletre, amely a derivált differenciálarányként ábrázolja: y"=dy/dx. Használatával a következő egyenletet kapjuk: dy/dx=f(x)*f(y). Most rátérhetünk a szabványos példák megoldási módszerére: a változókat részekre bontjuk, vagyis az y változóval mindent áthelyezünk arra a részre, ahol dy található, és ugyanezt tesszük az x változóval. Egy dy/f(y)=f(x)dx alakú egyenletet kapunk, amelyet úgy oldunk meg, hogy mindkét oldalról integrálokat veszünk. Ne feledkezzünk meg a konstansról sem, amelyet az integrál felvétele után kell beállítani.

Bármely „diffúra” megoldása az x y-tól való függésének függvénye (esetünkben), vagy ha numerikus feltétel fennáll, akkor a válasz szám formájában. Nézzük meg a teljes megoldási folyamatot egy konkrét példa segítségével:

Mozgassuk a változókat különböző irányokba:

Most vegyük az integrálokat. Mindegyik megtalálható egy speciális integráltáblázatban. És kapunk:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Ha szükséges, kifejezhetjük az "y"-t "x" függvényében. Most azt mondhatjuk, hogy a differenciálegyenletünk megoldott, ha a feltétel nincs megadva. Megadható egy feltétel, például y(n/2)=e. Ezután egyszerűen behelyettesítjük ezeknek a változóknak az értékeit a megoldásba, és megkeressük az állandó értékét. Példánkban ez az 1.

Elsőrendű homogén differenciálegyenletek

Most térjünk át a nehezebb részre. Homogén elsőrendű differenciálegyenletek írhatók be általános nézet tehát: y"=z(x,y). Megjegyzendő, hogy két változó helyes függvénye homogén, és nem osztható két függőségre: z x-en és z y-n. Elég egyszerű ellenőrizni, hogy Az egyenlet homogén vagy nem: az x=k*x és az y=k*y helyettesítést töröljük előre, azt mondjuk: ezeknek a példáknak a megoldásának elve is nagyon egyszerű.

Cserélnünk kell: y=t(x)*x, ahol t egy bizonyos függvény, amely szintén x-től függ. Ekkor ki tudjuk fejezni a deriváltot: y"=t"(x)*x+t. Mindezt az eredeti egyenletünkbe behelyettesítve és leegyszerűsítve kapunk egy példát t és x elválasztható változókkal. Megoldjuk és megkapjuk a t(x) függést. Amikor megkaptuk, egyszerűen behelyettesítjük az y=t(x)*x-et az előző cserénkbe. Ekkor megkapjuk y függőségét x-től.

Hogy érthetőbb legyen, nézzünk egy példát: x*y"=y-x*e y/x .

A cserével történő ellenőrzéskor minden lecsökken. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet valóban homogén. Most egy másik cserét hajtunk végre, amiről már beszéltünk: y=t(x)*x és y"=t"(x)*x+t(x). Egyszerűsítés után a következő egyenletet kapjuk: t"(x)*x=-e t. Az így kapott példát elválasztott változókkal oldjuk meg és kapjuk: e -t =ln(C*x). Csak ki kell cserélni t y/x-szel (végül is, ha y =t*x, akkor t=y/x), és megkapjuk a választ: e -y/x =ln(x*C).

Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Ideje egy másik átfogó témára tekinteni. Elsõrendû inhomogén differenciálegyenleteket fogunk elemezni. Miben különböznek az előző kettőtől? Találjuk ki. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános formában a következőképpen írhatók fel: y" + g(x)*y=z(x). Érdemes tisztázni, hogy z(x) és g(x) lehetnek állandó mennyiségek.

És most egy példa: y" - y*x=x 2 .

Két megoldás létezik, és mindkettőt sorban fogjuk megvizsgálni. Az első a tetszőleges állandók változtatásának módszere.

Az egyenlet ily módon történő megoldásához először egyenlíteni kell jobb oldalon nullára, és oldja meg a kapott egyenletet, amely az alkatrészek átvitele után a következő alakot ölti:

ln|y|=x2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2.

Most a C 1 konstanst le kell cserélnünk a v(x) függvényre, amit meg kell találnunk.

Cseréljük le a származékot:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

És cserélje be ezeket a kifejezéseket az eredeti egyenletbe:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Láthatja, hogy a bal oldalon két kifejezés törlődik. Ha valamelyik példában ez nem történt meg, akkor valamit rosszul csináltál. Folytassuk:

v"*e x2/2 = x 2 .

Most megoldjuk a szokásos egyenletet, amelyben el kell különítenünk a változókat:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Az integrál kinyeréséhez itt részenkénti integrációt kell alkalmaznunk. Cikkünknek azonban nem ez a témája. Ha érdekli, megtanulhatja, hogyan hajtson végre ilyen műveleteket saját maga. Nem nehéz, és kellő hozzáértéssel és odafigyeléssel nem sok időt vesz igénybe.

Térjünk rá a második megoldásra inhomogén egyenletek: Bernoulli módszere. Azt, hogy melyik módszer a gyorsabb és könnyebb, döntse el Ön.

Tehát, amikor egy egyenletet ezzel a módszerrel oldunk meg, be kell cserélnünk: y=k*n. Itt k és n néhány x-függő függvény. Ekkor a derivált így fog kinézni: y"=k"*n+k*n". Mindkét helyettesítést behelyettesítjük az egyenletbe:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Csoportosítás:

k"*n+k*(n"+x*n)=x2.

Most nullával kell egyenlővé tenni a zárójelben lévőt. Most, ha a két eredményül kapott egyenletet összevonjuk, egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert kapunk, amelyet meg kell oldani:

Az első egyenlőséget közönséges egyenletként oldjuk meg. Ehhez el kell különíteni a változókat:

Vegyük az integrált, és kapjuk: ln(n)=x 2 /2. Akkor, ha n-t fejezünk ki:

Most behelyettesítjük a kapott egyenlőséget a rendszer második egyenletébe:

k"*e x2/2 =x 2 .

És átalakítva ugyanazt az egyenlőséget kapjuk, mint az első módszernél:

dk=x 2 /e x2/2 .

A további intézkedésekről szintén nem fogunk beszélni. Érdemes elmondani, hogy az elsőrendű differenciálegyenletek megoldása elsőre jelentős nehézségeket okoz. A témában való mélyebb elmélyüléssel azonban egyre jobban kezd működni.

Hol használják a differenciálegyenleteket?

A differenciálegyenleteket nagyon aktívan használják a fizikában, mivel szinte az összes alapvető törvényt differenciál formában írják le, és a képletek, amelyeket látunk, ezeknek az egyenleteknek a megoldásai. A kémiában ugyanazon okból használják őket: az alapvető törvényeket a segítségükkel vezetik le. A biológiában differenciálegyenleteket használnak a rendszerek, például a ragadozók és a zsákmányok viselkedésének modellezésére. Használhatók például egy mikroorganizmus kolónia reprodukciós modelljeinek létrehozására is.

Hogyan segíthetnek a differenciálegyenletek az életben?

A válasz erre a kérdésre egyszerű: egyáltalán nem. Ha nem vagy tudós vagy mérnök, akkor valószínűleg nem lesznek hasznosak az Ön számára. Azonban azért általános fejlődés Nem árt tudni, mi az a differenciálegyenlet, és hogyan kell megoldani. És akkor a fia vagy lánya kérdése: „Mi az a differenciálegyenlet?” nem fog összezavarni. Nos, ha Ön tudós vagy mérnök, akkor maga is megérti ennek a témának a fontosságát bármely tudományban. De a legfontosabb dolog az, hogy most az a kérdés, hogy „hogyan lehet megoldani egy elsőrendű differenciálegyenletet?” mindig tudsz választ adni. Egyetértek, mindig jó, ha megért valamit, amit az emberek még félnek is megérteni.

A tanulás főbb problémái

A téma megértésében a fő probléma a funkciók integrálásának és megkülönböztetésének gyenge készsége. Ha nem vagy jó a deriváltokban és integrálokban, akkor valószínűleg érdemes többet tanulmányozni, elsajátítani az integrálási és differenciálási módszereket, és csak ezután kezdeni a cikkben leírt anyagok tanulmányozását.

Vannak, akik meglepődnek, amikor megtudják, hogy a dx átvihető, mert korábban (az iskolában) azt mondták, hogy a dy/dx tört oszthatatlan. Itt el kell olvasnia a származékkal kapcsolatos szakirodalmat, és meg kell értenie, hogy ez a végtelenül kicsi mennyiségek aránya, amely manipulálható az egyenletek megoldása során.

Sokan nem veszik azonnal észre, hogy az elsőrendű differenciálegyenletek megoldása gyakran nem felvehető függvény vagy integrál, és ez a tévhit sok gondot okoz.

Mit tanulhatsz még a jobb megértés érdekében?

A differenciálszámítás világában való további elmélyülést célszerű speciális tankönyvekkel kezdeni, például a matematikai elemzésről a nem matematikai szakokon tanulók számára. Ezután áttérhet a szakirodalomra.

Érdemes elmondani, hogy a differenciálegyenletek mellett vannak integrálegyenletek is, így mindig lesz mire törekedni és tanulni.

Következtetés

Reméljük, hogy a cikk elolvasása után fogalma lesz arról, hogy melyek a differenciálegyenletek, és hogyan kell helyesen megoldani őket.

Mindenesetre a matematika valamilyen módon hasznunkra válik az életben. Fejleszti a logikát és a figyelmet, ami nélkül minden ember keze nélkül marad.