Tetszőleges állandó variációs módszere lineáris inhomogén egyenletek megoldására. Tetszőleges állandók variációs módszere

Tekintsünk egy elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletet:
(1) .
Az egyenlet megoldásának három módja van:

• állandó variációs módszer (Lagrange).

Tekintsük egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldását a Lagrange-módszerrel.

Állandó variációs módszer (Lagrange)

Az állandó variációs módszerben az egyenletet két lépésben oldjuk meg. Az első lépésben egyszerűsítjük az eredeti egyenletet, és megoldjuk a homogén egyenletet. A második lépésben a megoldás első szakaszában kapott integrációs állandót egy függvényre cseréljük. Ezután keressük az eredeti egyenlet általános megoldását.

Tekintsük az egyenletet:
(1)

1. lépés A homogén egyenlet megoldása

Megoldást keresünk homogén egyenlet:

Ez egy elválasztható egyenlet

Változók elválasztása – szorozzuk dx-el, osztjuk y-vel:

Integráljuk:

Integrál y felett - táblázatos:

Azután

Potencírozza:

Cseréljük ki az e C állandót C-re, és vegyük ki a modulus előjelét, ami az állandóval való szorzásra redukálódik ±1, amelyet a C-be foglalunk:

2. lépés Cserélje ki a C állandót a függvényre

Most cseréljük le a C állandót x függvényére:
c → u (x)
Vagyis megoldást fogunk keresni az eredeti egyenletre (1) mint:
(2)
Megtaláljuk a származékot.

A komplex függvény differenciálási szabálya szerint:
.
A termékdifferenciálási szabály szerint:

.
Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe (1) :
(1) ;

.
Két kifejezés lecsökkent:
;
.
Integráljuk:
.
Csere be (2) :
.
Ennek eredményeként megkapjuk az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános megoldását:
.

Példa egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldására Lagrange módszerrel

oldja meg az egyenletet

Döntés

Megoldjuk a homogén egyenletet:

Változók elválasztása:

Szorozzuk meg:

Integráljuk:

Táblázat integrálok:

Potencírozza:

Cseréljük ki az e C állandót C-re, és távolítsuk el a modulus előjeleit:

Innen:

Cseréljük le a C állandót x függvényével:
c → u (x)

Megtaláljuk a származékot:
.
Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
;
;
Vagy:
;
.
Integráljuk:
;
Egyenlet megoldás:
.

Tekintsünk egy lineáris inhomogén differenciálegyenletet állandó együtthatók tetszőleges n-edik sorrend:
(1) .
Az állandó variáció módszere, amelyet az elsőrendű egyenletnél vettünk figyelembe, magasabb rendű egyenletekre is alkalmazható.

A megoldást két lépésben hajtják végre. Az első lépésben eldobjuk a jobb oldalt, és megoldjuk a homogén egyenletet. Ennek eredményeként n tetszőleges állandót tartalmazó megoldást kapunk. A második lépésben az állandókat változtatjuk. Vagyis úgy tekintjük, hogy ezek az állandók az x független változó függvényei, és megkeressük ezeknek a függvényeknek az alakját.

Bár itt állandó együtthatójú egyenleteket veszünk figyelembe, de A Lagrange-módszer bármely lineáris megoldásra is alkalmazható inhomogén egyenletek . Ehhez azonban tudni kell alapvető rendszer a homogén egyenlet megoldásai.

1. lépés: A homogén egyenlet megoldása

Mint az elsőrendű egyenletek esetében, először a homogén egyenlet általános megoldását keressük a jobb inhomogén rész nullára:
(2) .
Egy ilyen egyenlet általános megoldása a következőképpen alakul:
(3) .
Itt tetszőleges állandók vannak; - n lineáris önálló döntések homogén egyenlet (2), amelyek ennek az egyenletnek az alapvető megoldási rendszerét alkotják.

2. lépés: Konstansok variálása – Konstansok helyettesítése függvényekkel

A második lépésben az állandók változásával fogunk foglalkozni. Más szavakkal, az állandókat az x független változó függvényeire cseréljük:
.
Vagyis az eredeti (1) egyenletre keresünk megoldást a következő formában:
(4) .

Ha (4)-et behelyettesítjük (1)-be, egy differenciálegyenletet kapunk n függvényre. Ebben az esetben ezeket a függvényeket további egyenletekkel kapcsolhatjuk össze. Ekkor n egyenletet kapunk, amelyekből n függvényt határozhatunk meg. További egyenletek készíthetők különböző utak. De ezt úgy tesszük, hogy a megoldásnak a legegyszerűbb formája legyen. Ehhez a differenciálás során a függvények deriváltjait tartalmazó nulla tagokat kell egyenlővé tenni. Mutassuk meg ezt.

Ahhoz, hogy a (4) javasolt megoldást behelyettesítsük az eredeti (1) egyenletbe, meg kell találnunk a (4) alakban felírt függvény első n-es rendjének deriváltjait. Differenciálj (4) jelentkezéssel összegdifferenciálási szabályokés működik:
.
Csoportosítsuk a tagokat. Először írjuk ki a kifejezéseket a származékaival, majd a származékaival rendelkező kifejezéseket:

.
Az első feltételt a függvényekre szabjuk:
(5.1) .
Ekkor az első származékra vonatkozó kifejezés egyszerűbb lesz:
(6.1) .

Ugyanígy megtaláljuk a második származékot is:

.
A második feltételt támasztjuk a függvényekre:
(5.2) .
Azután
(6.2) .
Stb. NÁL NÉL további feltételek, a függvények deriváltjait tartalmazó tagokat nullával egyenlővé tesszük.

Így, ha a következő további egyenleteket választjuk a függvényekhez:
(5.k) ,
akkor az első származékok alakja a legegyszerűbb lesz:
(6.k) .
Itt .

Keresse meg az n-edik származékot:
(6.n)
.

Az eredeti (1) egyenletbe behelyettesítjük:
(1) ;






.
Figyelembe vesszük, hogy minden függvény kielégíti a (2) egyenletet:
.
Ekkor a tartalmazó tagok összege nullát ad. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
(7) .

Ennek eredményeként egy lineáris egyenletrendszert kaptunk a deriváltokhoz:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Ezt a rendszert megoldva kifejezéseket találunk a deriváltokra x függvényeiként. Integrálva a következőket kapjuk:
.
Itt vannak olyan állandók, amelyek már nem függnek x-től. A (4)-be behelyettesítve megkapjuk az eredeti egyenlet általános megoldását.

Megjegyezzük, hogy soha nem használtuk azt a tényt, hogy az a i együtthatók állandók a deriváltak értékének meghatározásához. ebből kifolyólag A Lagrange-módszer alkalmazható bármely lineáris inhomogén egyenlet megoldására, ha ismerjük a (2) homogén egyenlet alapvető megoldási rendszerét.

Példák

Oldja meg az egyenleteket az állandók variációs módszerével (Lagrange).

Elméleti minimum

A differenciálegyenletek elméletében létezik egy módszer, amely azt állítja, hogy kellően magas fokú univerzalitása van ehhez az elmélethez.
Egy tetszőleges állandó variációs módszeréről beszélünk, amely különféle differenciálegyenlet-osztályok és azok megoldására alkalmazható.
rendszerek. Pontosan ez az a helyzet, amikor az elmélet - ha az állítások bizonyítását zárójelből kiveszed - minimális, de lehetővé teszi, hogy elérd
jelentős eredményeket, ezért a fő hangsúly a példákon lesz.

A módszer általános ötlete meglehetősen egyszerűen megfogalmazható. Legyen az adott egyenlet (egyenletrendszer) nehezen megoldható vagy akár érthetetlen,
hogyan kell megoldani. Látható azonban, hogy ha néhány tagot kizárunk az egyenletből, az megoldódik. Aztán csak egy ilyen egyszerűsített megoldást oldanak meg
egyenletet (rendszert), kap egy megoldást, amely bizonyos számú tetszőleges állandót tartalmaz - az egyenlet sorrendjétől függően (a szám
egyenletek a rendszerben). Ekkor feltételezzük, hogy a talált megoldásban lévő állandók valójában nem állandók, a talált megoldás
behelyettesítjük az eredeti egyenletbe (rendszerbe), akkor egy differenciálegyenletet (vagy egyenletrendszert) kapunk az „állandók” meghatározásához.
Egy tetszőleges állandó variációs módszerének különböző problémákra való alkalmazása van bizonyos specifikusságban, de ezek már olyan részletek, amelyek
példákkal mutatjuk be.

Tekintsük külön-külön a magasabb rendű lineáris inhomogén egyenletek megoldását, pl. formaegyenletek
.
A lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása a megfelelő homogén egyenlet általános megoldásának és az adott megoldásnak az összege
adott egyenlet. Tételezzük fel, hogy a homogén egyenlet általános megoldását már megtaláltuk, vagyis az alapvető megoldási rendszert (FSR) felépítettük.
. Ekkor a homogén egyenlet általános megoldása .
Meg kell találni az inhomogén egyenlet bármely konkrét megoldását. Ehhez az állandókat a változótól függőnek tekintjük.
Ezután meg kell oldania az egyenletrendszert
.
Az elmélet garantálja, hogy ez a rendszer algebrai egyenletek a függvények deriváltjai tekintetében egyetlen megoldás létezik.
Maguk a függvények megkeresésekor nem jelennek meg az integrációs állandók: végül is bármelyik megoldást keresik.

Az alak első rendű lineáris inhomogén egyenletrendszereinek megoldása esetén

az algoritmus szinte változatlan marad. Először meg kell találnia a megfelelő FSR-t homogén rendszer egyenleteket, állítsa össze az alapmátrixot
rendszer , amelynek oszlopai az FSR elemei. Ezután az egyenlet
.
A rendszer megoldása során meghatározzuk a függvényeket, így találunk egy konkrét megoldást az eredeti rendszerre
(az alapmátrixot megszorozzuk a talált jellemző oszlopával).
Hozzáadjuk a megfelelő homogén egyenletrendszer általános megoldásához, amely a már talált FSR alapján épül fel.
Megkapjuk az eredeti rendszer általános megoldását.

Példák.

1. példa Elsőrendű lineáris inhomogén egyenletek.

Tekintsük a megfelelő homogén egyenletet (a szükséges függvényt jelöljük):
.
Ez az egyenlet könnyen megoldható a változók szétválasztásával:

.
Most az eredeti egyenlet megoldását ábrázoljuk a formában , ahol a funkció még nem található.
Ezt a típusú megoldást behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
.
Amint látja, a bal oldalon lévő második és harmadik kifejezés kioltja egymást – ez van jellegzetes tetszőleges állandó változtatásának módszere.

Itt már - valóban, tetszőleges állandó. Ily módon
.

2. példa Bernoulli egyenlet.

Az első példához hasonlóan járunk el - megoldjuk az egyenletet

a változók szétválasztásának módja. Ki fog derülni, ezért az eredeti egyenlet megoldását a formában keressük
.
Helyettesítse ezt a függvényt az eredeti egyenletbe:
.
És megint vannak vágások:
.
Itt emlékeznie kell arra, hogy az osztás során a megoldás ne vesszen el. Az eset pedig megfelel az eredeti megoldásának
egyenletek. Emlékezzünk rá. Így,
.
Írjunk .
Ez a megoldás. A válasz megírásakor a korábban talált megoldást is tüntessük fel, mivel az nem felel meg semmilyen végső értéknek
állandók .

3. példa Magasabb rendű lineáris inhomogén egyenletek.

Rögtön megjegyezzük, hogy ez az egyenlet egyszerűbben is megoldható, de célszerű rajta feltüntetni a módszert. Bár néhány előnye
egy tetszőleges állandó variációs módszere ebben a példában is megvan.
Tehát a megfelelő homogén egyenlet FSR-jével kell kezdenie. Emlékezzünk vissza, hogy az FSR, a jellemző megtalálásához
az egyenlet
.
Így a homogén egyenlet általános megoldása
.
Az itt szereplő állandókat módosítani kell. Rendszer összeállítása

Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek és a Bernoulli-egyenlet megoldásának másik módja egy tetszőleges állandó variációs módszere, vagy a Lagrange-módszer.

Lineáris differenciál egyenletek elsőrendűek az y’+p(x)y=q(x) alakú egyenletek. Ha a jobb oldal nulla: y’+p(x)y=0, akkor ez egy lineáris homogén 1. rendű egyenlet. Ennek megfelelően egy egyenlet egy nem nullával jobb oldal, y'+p(x)y=q(x), — heterogén lineáris egyenlet 1. rend.

Tetszőleges állandó variációs módszer (Lagrange-módszer) a következőkből áll:

1) Általános megoldást keresünk az y’+p(x)y=0 homogén egyenletre: y=y*.

2) Az általános megoldásban C-t nem állandónak, hanem x függvényének tekintjük: C=C(x). Megkeressük az (y*)' általános megoldás deriváltját, és behelyettesítjük az y* és (y*)' kapott kifejezést a kezdeti feltételbe. A kapott egyenletből megtaláljuk a С(x) függvényt.

3) A homogén egyenlet általános megoldásában C helyett a talált C (x) kifejezést helyettesítjük.

Tekintsünk példákat egy tetszőleges állandó variációs módszerére. Vegyük ugyanazokat a feladatokat, mint a -ban, hasonlítsa össze a megoldás menetét, és győződjön meg arról, hogy a kapott válaszok megegyeznek.

1) y'=3x-y/x

Írjuk át az egyenletet szabványos formában (ellentétben a Bernoulli módszerrel, ahol csak azért volt szükségünk a jelölésre, hogy lássuk, hogy az egyenlet lineáris).

y'+y/x=3x (I). Most a terv szerint haladunk.

1) Megoldjuk az y’+y/x=0 homogén egyenletet. Ez egy elválasztható változó egyenlet. Jelölje y’=dy/dx, helyettesítse: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Az egyenlet mindkét részét megszorozzuk dx-el, és elosztjuk xy≠0-val: dy/y=-dx/x. Integráljuk:

2) A homogén egyenlet kapott általános megoldásában С-t nem állandónak, hanem x függvényének fogjuk tekinteni: С=С(x). Innen

Az eredményül kapott kifejezéseket behelyettesítjük az (I) feltételbe:

Az egyenlet mindkét részét integráljuk:

itt C már valami új állandó.

3) Az y \u003d C / x homogén egyenlet általános megoldásában, ahol C \u003d C (x), azaz y \u003d C (x) / x-et vettünk figyelembe, C (x) helyett a talált kifejezést x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x vagy y=x²+C/x. Ugyanazt a választ kaptuk, mint a Bernoulli módszerrel történő megoldásnál.

Válasz: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Itt az egyenlet már szabványos formában van felírva, nem kell konvertálni.

1) Megoldunk egy homogén lineáris egyenletet y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integráljuk:

A kényelmesebb jelölés érdekében a kitevőt C hatványára vesszük új C-ként:

Ezt a transzformációt azért hajtottuk végre, hogy kényelmesebb legyen a derivált megtalálása.

2) Egy lineáris homogén egyenlet kapott általános megoldásában С-t nem állandónak, hanem x függvényének tekintjük: С=С(x). Ilyen feltételek mellett

Az eredményül kapott y és y' kifejezések behelyettesítésre kerülnek a következő feltételbe:

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel

Az egyenlet mindkét részét integráljuk a részenkénti integráció képletével, így kapjuk:

Itt C már nem függvény, hanem közönséges konstans.

3) A homogén egyenlet általános megoldásába

behelyettesítjük a talált С(x) függvényt:

Ugyanazt a választ kaptuk, mint a Bernoulli módszerrel történő megoldásnál.

Egy tetszőleges állandó változtatásának módszere a megoldásra is alkalmazható.

y’x+y=-xy².

Az egyenletet a standard alakba hozzuk: y’+y/x=-y² (II).

1) Megoldjuk az y’+y/x=0 homogén egyenletet. dy/dx=-y/x. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát dx-el, és osszuk el y-vel: dy/y=-dx/x. Most integráljuk:

A kapott kifejezéseket behelyettesítjük a (II) feltételbe:

Egyszerűsítés:

Kaptunk egy egyenletet elválasztható változókkal C és x esetén:

Itt C már egy közönséges állandó. Az integrálás során C(x) helyett egyszerűen C-t írtunk, hogy ne terheljük túl a jelölést. És a végén visszatértünk C(x)-hez, hogy ne keverjük össze C(x)-et az új C-vel.

3) A talált С(x) függvényt behelyettesítjük az y=C(x)/x homogén egyenlet általános megoldásába:

Ugyanazt a választ kaptuk, mint a Bernoulli módszerrel történő megoldásnál.

Példák önellenőrzéshez:

1. Írjuk át az egyenletet szabványos formában: y'-2y=x.

1) Megoldjuk az y'-2y=0 homogén egyenletet. y’=dy/dx, tehát dy/dx=2y, szorozd meg az egyenlet mindkét oldalát dx-el, oszd el y-vel és integráld:

Innen találjuk y:

Az y és y' kifejezéseket behelyettesítjük a feltételbe (a rövidség kedvéért C (x) helyett C-t, C "(x) helyett C"-t fogunk betáplálni):

A jobb oldalon lévő integrál megtalálásához a részenkénti integráció képletet használjuk:

Most behelyettesítjük az u, du és v karaktereket a képletbe:

Itt C = állandó.

3) Most behelyettesítjük a homogén oldatába

Inhomogén differenciálegyenletek megoldására a tetszőleges állandók variációs módszerét alkalmazzák. Ez az óra azoknak a diákoknak szól, akik többé-kevésbé jártasak a témában. Ha még csak most kezdi ismerkedni a távirányítóval, pl. Ha teáskanna vagy, azt javaslom, hogy kezdje az első leckével: Elsőrendű differenciálegyenletek. Megoldási példák. És ha már befejezi, kérjük, dobja el azt az esetleges előítéletet, hogy a módszer nehéz. Mert ő egyszerű.

Milyen esetekben alkalmazzák a tetszőleges állandók variálásának módszerét?

1) Egy tetszőleges állandó variációs módszere használható a megoldásra lineáris inhomogén I. rendű DE. Mivel az egyenlet elsőrendű, így az állandó (konstans) is egy.

2) A tetszőleges állandók variációs módszerét néhány megoldásra használják másodrendű lineáris inhomogén egyenletek. Itt két állandó (konstans) változik.

Logikus feltételezni, hogy a lecke két bekezdésből fog állni .... Ezért megírtam ezt a javaslatot, és körülbelül 10 percig fájdalmasan gondolkodtam, hogy milyen okos baromságot vegyek még hozzá a zökkenőmentes átálláshoz. gyakorlati példák. De valamiért nincsenek gondolatok az ünnepek után, pedig úgy tűnik, nem éltem vissza semmivel. Tehát ugorjunk rögtön az első bekezdésbe.

Önkényes állandó variációs módszer
lineáris inhomogén elsőrendű egyenlethez

Mielőtt megvizsgálnánk egy tetszőleges állandó variációjának módszerét, kívánatos, hogy ismerjük a cikket Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek. Ezen a leckén gyakoroltunk megoldásának első módja inhomogén I. rendű DE. Ez az első megoldás, emlékeztetem önöket, az úgynevezett cseremódszer vagy Bernoulli módszer(nem tévesztendő össze Bernoulli egyenlet!!!)

Most megfontoljuk a megoldás második módja– tetszőleges állandó változtatásának módja. Csak három példát mondok, ezeket a fenti leckéből veszem át. Miért olyan kevesen? Mert valójában a második mód megoldása nagyon hasonló lesz az első módon készített megoldáshoz. Emellett megfigyeléseim szerint a tetszőleges állandók variálásának módszerét ritkábban alkalmazzák, mint a helyettesítési módszert.

1. példa

(Eltérés a lecke 2. példájától I. rendű lineáris inhomogén DE)

Döntés: Ez az egyenlet lineárisan inhomogén, és ismerős formája van:

Az első lépés egy egyszerűbb egyenlet megoldása:
Vagyis hülyén visszaállítottuk a jobb oldalt - helyette nullát írunk.
Az egyenlet Hívni fogok segédegyenlet.

Ebben a példában a következő segédegyenletet kell megoldania:

Előttünk elválasztható egyenlet, aminek a megoldása (remélem) már nem nehéz számodra:

Ilyen módon:
a segédegyenlet általános megoldása.

A második lépésben cserélje ki némelyik állandója még ismeretlen függvény, amely "x"-től függ:

Innen származik a metódus neve – változtatjuk az állandót. Alternatív megoldásként a konstans lehet valamilyen függvény, amelyet most meg kell találnunk.

NÁL NÉL a kezdeti inhomogén egyenlet Cseréljük:

Helyettesítő és az egyenletbe :

vezérlő pillanat - a bal oldalon lévő két kifejezés törli. Ha ez nem történik meg, keresse meg a fenti hibát.

A csere eredményeként egy elválasztható változókkal rendelkező egyenletet kapunk. Változók szétválasztása és integrálása.

Micsoda áldás, a kitevők is csökkennek:

A talált függvényhez hozzáadunk egy „normál” állandót:

Az utolsó szakaszban felidézzük a cserénket:

A funkció most található!

Tehát az általános megoldás:

Válasz: közös döntés:

Ha kinyomtatja a két megoldást, könnyen észreveszi, hogy mindkét esetben ugyanazt az integrált találtuk. Az egyetlen különbség a megoldási algoritmusban van.

Most valami bonyolultabb, a második példához is hozzászólok:

2. példa

Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!
(Eltérés a lecke 8. példájától I. rendű lineáris inhomogén DE)

Döntés: Az egyenletet az alakba visszük :

Állítsd a jobb oldalt nullára, és oldd meg a segédegyenletet:

A segédegyenlet általános megoldása:

Az inhomogén egyenletben végrehajtjuk a behelyettesítést:

A termékdifferenciálási szabály szerint:

Helyettesítő és az eredeti inhomogén egyenletbe:

A bal oldalon lévő két kifejezés hatályát veszti, ami azt jelenti, hogy jó úton járunk:

Alkatrészenként integráljuk. A megoldásban már szerepel egy ízletes betű a részenkénti integráció képletéből, ezért használjuk például az "a" és a "be" betűket:

Most nézzük a cserét:

Válasz: közös döntés:

És egy példa az önálló megoldásra:

3. példa

Keresse meg a differenciálegyenletnek az adott kezdeti feltételnek megfelelő megoldását!

,
(Eltérés a 4. lecke példájától I. rendű lineáris inhomogén DE)
Döntés:
Ez a DE lineárisan inhomogén. Tetszőleges állandók variációjának módszerét alkalmazzuk. Oldjuk meg a segédegyenletet:

Elválasztjuk a változókat és integráljuk:

Közös döntés:
Az inhomogén egyenletben végrehajtjuk a behelyettesítést:

Végezzük el a helyettesítést:

Tehát az általános megoldás:

Keressen egy adott megoldást az adott kezdeti feltételnek megfelelően:

Válasz: privát megoldás:

Az óra végén található megoldás hozzávetőleges modellként szolgálhat a feladat befejezéséhez.

Tetszőleges állandók variációs módszere
lineáris inhomogén másodrendű egyenlethez
állandó együtthatókkal

Gyakran hallani azt a véleményt, hogy a tetszőleges állandók variálásának módszere egy másodrendű egyenlethez nem egyszerű dolog. De a következőre tippelek: valószínűleg sokak számára nehéznek tűnik a módszer, mivel nem olyan elterjedt. A valóságban azonban nincsenek különösebb nehézségek - a döntés menete világos, átlátható és érthető. És gyönyörű.

A módszer elsajátításához kívánatos, hogy másodrendű inhomogén egyenleteket tudjunk megoldani úgy, hogy egy adott megoldást a jobb oldal alakja szerint választunk ki. Ez a módszer cikkben részletesen tárgyaljuk. 2. rendű inhomogén DE. Emlékeztetünk arra, hogy egy másodrendű lineáris inhomogén egyenlet állandó együtthatókkal a következőképpen alakul:

A fenti leckében tárgyalt kiválasztási módszer csak korlátozott számú esetben működik, amikor a polinomok, kitevők, szinuszok, koszinuszok a jobb oldalon vannak. De mi a teendő, ha a jobb oldalon van például tört, logaritmus, érintő? Ilyen helyzetben az állandók variálásának módszere jön segítségül.

4. példa

Keresse meg egy másodrendű differenciálegyenlet általános megoldását!

Döntés: Ennek az egyenletnek a jobb oldalán egy tört található, így azonnal kijelenthetjük, hogy az adott megoldás kiválasztásának módszere nem működik. Tetszőleges állandók variációjának módszerét alkalmazzuk.

Semmi sem utal zivatarra, a megoldás kezdete egészen hétköznapi:

Találjuk ki közös döntés ide vonatkozó homogén egyenletek:

Komponálja és döntse el karakterisztikus egyenlet:


– konjugált komplex gyököket kapunk, így az általános megoldás:

Ügyeljen az általános megoldás feljegyzésére - ha vannak zárójelek, nyissa meg őket.

Most szinte ugyanazt a trükköt csináljuk, mint az elsőrendű egyenletnél: változtatjuk a konstansokat, és ismeretlen függvényekkel helyettesítjük őket. vagyis az inhomogén általános megoldása Az egyenleteket a következő formában fogjuk keresni:

Hol - még ismeretlen funkciók.

Úgy néz ki, mint egy szemétlerakó Háztartási hulladék, de most rendezzünk mindent.

A függvények származékai ismeretlenekként működnek. Célunk, hogy deriváltokat találjunk, és a talált deriváltoknak ki kell elégíteniük a rendszer első és második egyenletét is.

Honnan jönnek a "játékok"? A gólya hozza őket. Nézzük a korábban kapott általános megoldást, és írjuk:

Keressük a származékokat:

A bal oldallal foglalkozott. Mi van a jobb oldalon?

- ez jobb rész az eredeti egyenlet, ebben az esetben:

Az együttható a második derivált együtthatója:

A gyakorlatban szinte mindig, és ez alól a mi példánk sem kivétel.

Minden letisztult, most létrehozhat egy rendszert:

A rendszer általában megoldott Cramer képletei szerint szabványos algoritmus segítségével. Az egyetlen különbség az, hogy számok helyett függvényeink vannak.

Keresse meg a rendszer fő meghatározóját:

Ha elfelejtette, hogyan derül ki a „kettő-kettő” meghatározó, nézze meg a leckét Hogyan kell kiszámítani a determinánst? A link a szégyentáblára vezet =)

Tehát: , tehát a rendszernek van egy egyedi megoldása.

Megtaláljuk a származékot:

De ez még nem minden, eddig csak a származékot találtuk meg.
Magát a funkciót az integráció állítja vissza:

Nézzük a második függvényt:

Itt hozzáadunk egy "normál" állandót

A megoldás utolsó szakaszában felidézzük, milyen formában kerestük az inhomogén egyenlet általános megoldását? Ilyenben:

A szükséges funkciókat most találtuk meg!

Marad a helyettesítés végrehajtása és a válasz leírása:

Válasz: közös döntés:

Elvileg a válasz nyithatja a zárójeleket.

A válasz teljes ellenőrzését a szabványos séma, amiről a leckében volt szó 2. rendű inhomogén DE. Ám az ellenőrzés nem lesz egyszerű, hiszen meglehetősen nehéz származékokat kell találnunk, és nehézkes helyettesítést kell végrehajtanunk. Ez egy csúnya funkció, amikor ilyen különbségeket old meg.

5. példa

Oldja meg a differenciálegyenletet tetszőleges állandók variációs módszerével!

Ez egy „csináld magad” példa. Valójában a jobb oldal is töredék. Emlékeztetünk a trigonometrikus képletre, mellesleg alkalmazni kell az út során.

A tetszőleges állandók variálásának módszere a leguniverzálisabb módszer. Bármilyen megoldható egyenletet meg tudnak oldani egy adott megoldás kiválasztásának módja a jobb oldal formája szerint. Felmerül a kérdés, hogy miért nem alkalmazzuk ott is a tetszőleges állandók variációs módszerét? A válasz nyilvánvaló: egy adott megoldás kiválasztása, amelyet a leckében figyelembe vettünk Másodrendű inhomogén egyenletek, jelentősen felgyorsítja a megoldást és csökkenti a jelölést – nem kell vacakolni a determinánsokkal és integrálokkal.

Vegyünk két példát a Cauchy probléma.

6. példa

Keresse meg a differenciálegyenlet adott kezdeti feltételeknek megfelelő megoldását!

,

Döntés: Ismét egy tört és egy kitevő be érdekes hely.
Tetszőleges állandók variációjának módszerét alkalmazzuk.

Találjuk ki közös döntés ide vonatkozó homogén egyenletek:



– különböző valós gyököket kapunk, így az általános megoldás:

Az inhomogén általános megoldása egyenleteket keresünk a következő formában: , ahol - még ismeretlen funkciók.

Hozzunk létre egy rendszert:

Ebben az esetben:
,
Származékok keresése:
,

Ilyen módon:

A rendszert a Cramer-képletekkel oldjuk meg:
, így a rendszer egyedi megoldást kínál.

A funkciót integrálással állítjuk vissza:

Itt használt egy függvény differenciáljel alá hozásának módszere.

A második funkciót integrálással állítjuk vissza:

Egy ilyen integrál meg van oldva változó helyettesítési módszer:

Magából a cseréből a következőket fejezzük ki:

Ilyen módon:

Ez az integrál megtalálható teljes négyzet kiválasztási módszer, de a szórványos példákban inkább bővítem a törtet bizonytalan együtthatók módszere:

Mindkét funkció megtalálható:

Ennek eredményeként az inhomogén egyenlet általános megoldása a következő:

Keressen egy adott megoldást, amely kielégíti a kezdeti feltételeket .

Technikailag a megoldás keresése szabványos módon történik, amelyet a cikkben tárgyaltunk. Inhomogén másodrendű differenciálegyenletek.

Várj, most megkeressük a talált általános megoldás származékát:

Itt van egy ilyen szégyen. Nem kell leegyszerűsíteni, könnyebb azonnal összeállítani egy egyenletrendszert. A kezdeti feltételek szerint :

Helyettesítsd be az állandók talált értékeit! általános megoldásban:

A válaszban a logaritmusokat kicsit lehet pakolni.

Válasz: privát megoldás:

Mint látható, nehézségek adódhatnak az integrálokban és a deriváltokban, de nem az tetszőleges állandók variációs módszerének algoritmusában. Nem én ijesztettem meg, ez mind Kuznyecov gyűjteménye!

A lazítás kedvéért egy utolsó, egyszerűbb, önmegoldó példa:

7. példa

Oldja meg a Cauchy-problémát

,

A példa egyszerű, de kreatív, amikor rendszert készítesz, nézd meg alaposan, mielőtt döntesz ;-)




Ennek eredményeként az általános megoldás a következő:

Keressen egy adott megoldást, amely megfelel a kezdeti feltételeknek .



Az állandók talált értékeit behelyettesítjük az általános megoldásba:

Válasz: privát megoldás: