Feltételes optimalizálás. Lagrange-szorzó módszer

A módszer leírása

Hol .

Indoklás

A Lagrange-szorzó módszer alábbi indoklása nem bizonyítja ezt szigorúan. Heurisztikus érvelést tartalmaz, amely segít megérteni a módszer geometriai jelentését.

Kétdimenziós tok

Szintvonalak és görbe.

Meg kell találni két változó valamelyik függvényének szélsőértékét az egyenlet által meghatározott feltétel mellett . Feltételezzük, hogy minden függvény folyamatosan differenciálható, és adott egyenlet sima görbét határoz meg S a repülőn. Ekkor a probléma a függvény extrémumának megtalálására redukálódik f a görbén S. Azt is feltételezzük S nem megy át olyan pontokon, ahol a gradiens f 0-ra fordul.

Rajzoljunk függvényszintvonalakat a síkra f(vagyis görbék). Geometriai megfontolások alapján egyértelmű, hogy a függvény szélsőértéke f a görbén S csak olyan pontok lehetnek, ahol az érintők Sés a megfelelő szintvonal egybeesik. Valóban, ha a görbe Sátlépi a szintvonalat f egy pontban keresztirányban (azaz valamilyen nullától eltérő szögben), majd a görbe mentén haladva S pontból a nagyobb értéknek megfelelő szintvonalakhoz juthatunk f, és kevesebb. Ezért egy ilyen pont nem lehet szélsőpont.

Így esetünkben az extrémum szükséges feltétele az érintők egybeesése. Ha analitikus formában szeretné megírni, vegye figyelembe, hogy ez ekvivalens a függvények gradienseinek párhuzamosságával fés ψ egy adott pontban, mivel a gradiensvektor merőleges a szintvonal érintőjére. Ez a feltétel a következő formában fejeződik ki:

ahol λ egy nem nulla szám, amely Lagrange-szorzó.

Most mérlegeljük Lagrange funkció, és λ-tól függően:

A szélsőértékének szükséges feltétele, hogy a gradiens egyenlő legyen nullával. A megkülönböztetés szabályainak megfelelően a formába írják

Olyan rendszert kaptunk, amelynek első két egyenlete ekvivalens a szükséges feltétellel helyi extrémum(1), a harmadik pedig az egyenlethez . Megtalálhatod belőle. Sőt, mivel egyébként a függvény gradiense f ponton eltűnik , ami ellentmond feltételezéseinknek. Megjegyzendő, hogy az így talált pontok nem feltétlenül a feltételes szélsőség kívánt pontjai – a figyelembe vett feltétel szükséges, de nem elégséges. Feltételes szélsőérték keresése segédfüggvény segítségével Lés az itt két változó legegyszerűbb esetére alkalmazott Lagrange-szorzó módszer alapját képezi. Kiderül, hogy a fenti okfejtés tetszőleges számú, a feltételeket meghatározó változó és egyenlet esetére általánosítható.

A Lagrange-szorzó módszere alapján be lehet bizonyítani néhány elégséges feltételt egy feltételes szélsőséghez, amely a Lagrange-függvény második deriváltjának elemzését igényli.

Alkalmazás

• A Lagrange szorzómódszert nem a problémák megoldására használják lineáris programozás, amely számos területen felmerül (például a közgazdaságtanban).
• A fő módszer az audio- és videoadatok kódolási minőségének optimalizálásának problémájának megoldására egy adott átlagos bitsebességgel (torzításoptimalizálás - angol. Ráte-torzítás optimalizálás).

Lásd még

Linkek

• Zorich V. A. Matematikai elemzés. 1. rész – szerk. 2., rev. és további - M.: FAZIS, 1997.

Wikimédia Alapítvány.

2010.

Nézze meg, mik a „Lagrange szorzók” más szótárakban: Lagrange-szorzók - további tényezők, amelyek átalakítják a konvex programozás (különösen a lineáris programozás) extrém problémájának célfüggvényét, ha azt a klasszikus módszerek valamelyikével oldják meg a szorzók feloldásának módszerével... ...

Közgazdasági és matematikai szótár Lagrange-szorzók - További tényezők, amelyek egy extremális konvex programozási probléma (különösen a lineáris programozás) célfüggvényét átalakítják, ha valamelyik klasszikus módszerrel, a szorzók feloldásának módszerével (Lagrange-módszer) oldják meg.... ...

Műszaki fordítói útmutató Mechanika. 1) 1. típusú Lagrange-egyenletek, mechanikai mozgás differenciálegyenletei. rendszerek, amelyek téglalap alakú koordinátatengelyekre vetítésben vannak megadva és tartalmazzák az ún. Lagrange-szorzók. J. Lagrange szerezte 1788-ban. Egy holonomikus rendszerhez ... ...

Fizikai enciklopédia Mechanika 2. rendű közönséges differenciálegyenletek, amelyek leírják a mechanika mozgásait. rendszerek a rájuk ható erők hatása alatt. L.u. által megállapított J. Lag körzet két formában: L. u. 1. fajta, vagy egyenletek derékszögű koordinátákkal... ...

1) a hidromechanikában a folyadék (gáz) mozgásának egyenlete Lagrange-változókban, amelyek a közeg koordinátái. Franciát kapott tudós J. Lagrange (kb. 1780). Az L. u. a közeg mozgástörvénye függőségek formájában van meghatározva... ... Mechanika. 1) 1. típusú Lagrange-egyenletek, mechanikai mozgás differenciálegyenletei. rendszerek, amelyek téglalap alakú koordinátatengelyekre vetítésben vannak megadva és tartalmazzák az ún. Lagrange-szorzók. J. Lagrange szerezte 1788-ban. Egy holonomikus rendszerhez ... ...

Lagrange szorzómódszer, egy módszer az f(x) függvény feltételes szélsőértékének megtalálására, ahol m kényszerhez képest i egytől m-ig változik. Tartalom 1 A módszer leírása ... Wikipédia

Számos változó és funkcionális függvény feltételes szélsőségére vonatkozó problémák megoldására használt függvény. L. f. segítségével. rögzítik szükséges feltételeket a feltételes szélsőséges problémák optimálissága. Ebben az esetben nem szükséges csak változókat kifejezni... Mechanika 2. rendű közönséges differenciálegyenletek, amelyek leírják a mechanika mozgásait. rendszerek a rájuk ható erők hatása alatt. L.u. által megállapított J. Lag körzet két formában: L. u. 1. fajta, vagy egyenletek derékszögű koordinátákkal... ...

Feltételes szélsőséges problémák megoldásának módszere; Az L.M.M. abban áll, hogy ezeket a problémákat egy segédfunkció feltétlen szélsőpontján, az ún. Lagrange függvények. Az f (x1, x2,..., xn) függvény extrémumának feladatához... ...

Változók, amelyek segítségével a Lagrange-függvény feltételes szélsőséges problémák tanulmányozása során épül fel. A lineáris módszerek és a Lagrange-függvény alkalmazása lehetővé teszi, hogy feltételes szélsőséges feladatokban egységesen megkapjuk a szükséges optimalitási feltételeket... Mechanika 2. rendű közönséges differenciálegyenletek, amelyek leírják a mechanika mozgásait. rendszerek a rájuk ható erők hatása alatt. L.u. által megállapított J. Lag körzet két formában: L. u. 1. fajta, vagy egyenletek derékszögű koordinátákkal... ...

1) a hidromechanikában egy folyékony közeg mozgásegyenlete, Lagrange-változókkal írva, amelyek a közeg részecskéinek koordinátái. Az L. u. a közeg részecskéinek mozgástörvényét a koordináták időfüggőségei formájában határozzák meg, és ezekből... ... Nagy Szovjet Enciklopédia

Tekintsünk egy elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletet:
(1) .
Az egyenlet megoldásának három módja van:

• állandó variációs módszere (Lagrange).

Tekintsük egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldását Lagrange-módszerrel.

Az állandó változásának módszere (Lagrange)

A konstans módszer variációjában az egyenletet két lépésben oldjuk meg. Első lépésben egyszerűsítjük az eredeti egyenletet és megoldunk egy homogén egyenletet. A második lépésben a megoldás első szakaszában kapott integrációs állandót egy függvényre cseréljük. Ezután általános megoldást keresünk az eredeti egyenletre.

Tekintsük az egyenletet:
(1)

1. lépés Homogén egyenlet megoldása

Megoldást keres homogén egyenlet:

Ez egy elválasztható egyenlet

Elválasztjuk a változókat - szorozzuk dx-el, osztjuk y-vel:

Integráljunk:

Integrál y felett - táblázatos:

Majd

Potencírozzuk:

Cseréljük ki az e C konstanst C-re, és távolítsuk el a modulusjelet, ami egy konstans szorzásához vezet. ±1, amelyet a C-be foglalunk:

2. lépés Cserélje ki a C állandót a függvényre

Most cseréljük le a C állandót x függvényére:
C → u (x)
Vagyis megoldást fogunk keresni az eredeti egyenletre (1) formában:
(2)
A származék megkeresése.

A komplex függvény differenciálási szabálya szerint:
.
A termékdifferenciálási szabály szerint:

.
Helyettesítsd be az eredeti egyenletbe (1) :
(1) ;

.
Két tag csökken:
;
.
Integráljunk:
.
Csere be (2) :
.
Ennek eredményeként általános megoldást kapunk egy elsőrendű lineáris differenciálegyenletre:
.

Példa egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldására Lagrange módszerrel

Oldja meg az egyenletet

Megoldás

Megoldjuk a homogén egyenletet:

Különválasztjuk a változókat:

Szorzás a következővel:

Integráljunk:

Táblázatos integrálok:

Potencírozzuk:

Cseréljük ki az e C állandót C-re, és távolítsuk el a modulusjeleket:

Innen:

Cseréljük le a C állandót x függvényével:
C → u (x)

A származék megkeresése:
.
Helyettesítsd be az eredeti egyenletbe:
;
;
Vagy:
;
.
Integráljunk:
;
Az egyenlet megoldása:
.

Lagrange-szorzó módszer.

A Lagrange-szorzó módszer egyike azoknak a módszereknek, amelyek lehetővé teszik a nemlineáris programozási problémák megoldását.

A nemlineáris programozás a matematikai programozás egyik ága, amely extrém problémák megoldásának módszereit tanulmányozza egy nemlineáris célfüggvénnyel és a nemlineáris megszorítások által meghatározott megvalósítható megoldások tartományával. A közgazdaságtanban ez annak felel meg, hogy az eredmények (hatékonyság) aránytalanul nőnek vagy csökkennek az erőforrás-felhasználás mértékének (vagy ami ugyanaz, a termelési léptéknek) változásaihoz képest: például a termelési költségek megoszlása ​​miatt. a vállalatok változóra és félig állandóra; az áruk iránti kereslet telítettsége miatt, amikor minden következő egység nehezebben értékesíthető, mint az előző stb.

A nemlineáris programozási probléma egy bizonyos célfüggvény optimumának megtalálásának problémája

F(x 1 ,…x n), F (x) → max

amikor a feltételek teljesülnek

g j (x 1,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

Ahol x-a szükséges változók vektora;

F (x) -célfüggvény;

g (x) - kényszerfüggvény (folyamatosan differenciálható);

b - kényszerállandók vektora.

A nemlineáris programozási probléma megoldása (globális maximum vagy minimum) a megengedett halmaz határához vagy belsejéhez tartozhat.

A lineáris programozási feladattól eltérően egy nemlineáris programozási feladatban az optimum nem feltétlenül a megszorítások által meghatározott tartomány határán van. Más szóval, a feladat az, hogy a változók olyan nem-negatív értékeit válasszuk ki, az egyenlőtlenségek formájában megjelenő korlátozási rendszer függvényében, amelyek mellett az adott függvény maximumát (vagy minimumát) elérjük. Ebben az esetben sem a célfüggvény, sem az egyenlőtlenségek formái nincsenek megadva. Lehet, hogy vannak különböző esetek: a célfüggvény nemlineáris, a megszorítások pedig lineárisak; a célfüggvény lineáris, és a kényszerek (legalább az egyik) nemlineárisak; mind a célfüggvény, mind a megszorítások nemlineárisak.

A nemlineáris programozási probléma megtalálható a természettudományokban, a műszaki tudományokban, a közgazdaságtanban, a matematikában, az üzleti kapcsolatokban és a kormányzatban.

A nemlineáris programozás például egy alapvető gazdasági problémához kapcsolódik. Így a korlátozott erőforrások allokációjának problémájában vagy a hatékonyság, vagy ha a fogyasztót vizsgáljuk, a fogyasztás maximalizálódik az erőforrás szűkösségét kifejező megszorítások jelenlétében. Egy ilyen általános megfogalmazásban a feladat matematikai megfogalmazása lehetetlen lehet, de konkrét alkalmazásokban az összes függvény mennyiségi formája közvetlenül meghatározható. Például egy ipari vállalkozás műanyag termékeket gyárt. A termelés hatékonyságát itt a profittal mérjük, a korlátokat pedig úgy értelmezzük, mint a rendelkezésre álló munkaerőt, a termelési területet, a berendezések termelékenységét stb.

A költséghatékonysági módszer is beleillik a nemlineáris programozási sémába. Ezt a módszert a kormányzati döntéshozatalhoz fejlesztették ki. A hatékonyság közös funkciója a jólét. Itt két nemlineáris programozási probléma merül fel: az első a hatás maximalizálása korlátozott költségek mellett, a második a költségek minimalizálása, feltéve, hogy a hatás egy bizonyos minimális szint felett van. Ez a probléma általában jól modellezhető nemlineáris programozással.

A nemlineáris programozási probléma megoldásának eredményei hasznosak a kormányzati döntések meghozatalában. Az így kapott megoldás természetesen ajánlott, ezért a végső döntés meghozatala előtt meg kell vizsgálni a nemlineáris programozási probléma feltételezéseit és pontosságát.

A nemlineáris problémák összetettek, gyakran leegyszerűsítik őket azáltal, hogy lineárisokhoz vezetnek. Ehhez hagyományosan feltételezzük, hogy egy adott területen a célfüggvény a független változók változásával arányosan növekszik vagy csökken. Ezt a megközelítést a darabonkénti lineáris közelítés módszerének nevezik, azonban csak bizonyos típusú nemlineáris problémákra alkalmazható.

A nemlineáris problémákat bizonyos feltételek mellett a Lagrange-függvény segítségével oldjuk meg: a nyeregpontjának megtalálásával a probléma megoldása is megtalálható. A számítási algoritmusok között nagy helyet foglal el az N.P gradiens módszerek. A nemlineáris problémákra nincs univerzális módszer, és úgy tűnik, nem is lesz, mivel rendkívül sokfélék. A multiextremális problémákat különösen nehéz megoldani.

Az egyik módszer, amely lehetővé teszi, hogy egy nemlineáris programozási problémát egyenletrendszer megoldására redukáljon, a határozatlan szorzók Lagrange-módszere.

A Lagrange-szorzó módszerrel lényegében létrejönnek azok a feltételek, amelyek lehetővé teszik az optimális pontok azonosítását az egyenlőségi megszorításokkal járó optimalizálási problémákban. Ebben az esetben a kényszerű probléma egy ekvivalens, feltétel nélküli optimalizálási problémává alakul, amely néhány ismeretlen paramétert, úgynevezett Lagrange-szorzót foglal magában.

A Lagrange-szorzó módszer abból áll, hogy a feltételes szélsőérték problémáit egy segédfüggvény feltétel nélküli szélsőértékére redukáljuk – az ún. Lagrange függvények.

Egy függvény extrémumának problémájához f(x 1, x 2,..., x n) φ feltételek mellett (kényszeregyenletek). én(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, én= 1, 2,..., m, a Lagrange függvény alakja

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,… λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Szorzók λ 1 , λ 2 , ..., λm hívott Lagrange-szorzók.

Ha az értékek x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm a Lagrange-függvény stacionárius pontjait meghatározó egyenletek megoldásainak lényege, nevezetesen a differenciálható függvényekre az egyenletrendszer megoldásai.

akkor meglehetősen általános feltételezések mellett x 1, x 2, ..., x n az f függvény extrémumát adja.

Tekintsük azt a problémát, hogy egy n változóból álló függvényt egyenlőség formájában minimalizálunk, egyetlen megszorítással:

f(x 1, x 2… x n) kicsinyítése (1)

korlátozások mellett h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

A Lagrange szorzómódszernek megfelelően ez a probléma a következő korlátlan optimalizálási problémává alakul:

minimalizálja L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

ahol az L(x;λ) függvényt Lagrange-függvénynek nevezzük,

λ egy ismeretlen állandó, amelyet Lagrange-szorzónak neveznek. A λ előjelére nincsenek követelmények.

Legyen adott λ=λ 0 értéknél az L(x,λ) függvény x-hez viszonyított feltétlen minimuma az x=x 0 és x 0 pontban teljesüljön ki a h 1 (x 0)=0 egyenletből. . Ekkor, amint az könnyen belátható, x 0 minimalizálja (1)-et, figyelembe véve (2), mivel a (2)-t kielégítő x összes értékére h 1 (x)=0 és L(x,λ)=min f(x).

Természetesen a λ=λ 0 értéket úgy kell kiválasztani, hogy a feltétel nélküli minimumpont x 0 koordinátája kielégítse a (2) egyenlőséget. Ez megtehető, ha λ-t változónak tekintve megkeressük a (3) függvény feltétel nélküli minimumát λ függvény formájában, majd kiválasztjuk azt az λ értékét, amelynél a (2) egyenlőség teljesül. Illusztráljuk ezt egy konkrét példával.

Minimalizálja f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

a h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0 kényszer alatt

A megfelelő korlátlan optimalizálási probléma a következőképpen írható le:

minimalizálja L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Megoldás. Az L gradiens két komponensét nullával egyenlővé téve kapjuk

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

Annak ellenőrzésére, hogy az x° stacionárius pont megfelel-e a minimumnak, kiszámítjuk az L(x;u) függvény Hess-mátrixának elemeit, amelyeket x függvényének tekintünk,

ami pozitív határozottnak bizonyul.

Ez azt jelenti, hogy L(x,u) x konvex függvénye. Következésképpen az x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 koordináták határozzák meg a globális minimumpontot. Optimális érték A λ-t úgy kapjuk meg, hogy az x 1 0 és x 2 0 értékeket behelyettesítjük a 2x 1 + x 2 =2 egyenletbe, amelyből 2λ+λ/2=2 vagy λ 0 =4/5. Így a feltételes minimumot x 1 0 =4/5 és x 2 0 =2/5 értékeknél érjük el, és egyenlő min f(x) = 4/5-tel.

A feladat megoldása során a példából az L(x;λ)-t két x 1 és x 2 változó függvényének tekintettük, és ezen felül feltételeztük, hogy a λ paraméter értékét úgy választottuk meg, hogy a megkötés teljesüljön. Ha a rendszer megoldása

J=1,2,3,…,n

λ nem kapható meg explicit függvény formájában, akkor x és λ értékeit a következő n+1 egyenletekből álló, n+1 ismeretlennel rendelkező rendszer megoldásával kapjuk meg:

J=1,2,3,…,n., h1(x)=0

Mindenkit megtalálni lehetséges megoldások Ez a rendszer használhat numerikus keresési módszereket (például Newton módszerét). A () megoldások mindegyikéhez ki kell számítanunk az L függvény Hess-mátrixának elemeit, amelyeket x függvényének tekintünk, és meg kell állapítanunk, hogy ez a mátrix pozitív határozott (lokális minimum) vagy negatív határozott (lokális maximum). ).

A Lagrange-szorzó módszer kiterjeszthető arra az esetre, amikor a problémának több megszorítása is van egyenlőségek formájában. Vegyünk egy általános problémát, amely megköveteli

f(x) kicsinyítése

korlátozások mellett h k =0, k=1, 2, ..., K.

A Lagrange függvény a következő formában jelenik meg:

Itt λ 1 , λ 2 , ..., λk-Lagrange szorzók, i.e. ismeretlen paraméterek, amelyek értékét meg kell határozni. Ha L parciális deriváltjait x-hez nullával egyenlővé tesszük, a következő n egyenletrendszert kapjuk n ismeretlennel:

Ha a fenti rendszerre nehéznek bizonyul megoldást találni a λ vektor függvényei formájában, akkor a rendszert kibővítheti korlátozások beiktatásával egyenlőségek formájában

Az n + K egyenletekből álló kiterjesztett rendszer megoldása n + K ismeretlennel meghatározza az L függvény stacionárius pontját. Ezután egy minimum vagy maximum ellenőrzési eljárást valósítunk meg, amelyet a számítások alapján hajtunk végre. az L függvény Hess-mátrixának elemei, amelyeket x függvényének tekintünk, hasonlóan ahhoz, mint az egy feltételes probléma esetén. Egyes problémákra előfordulhat, hogy egy kiterjesztett n+K egyenletrendszernek n+K ismeretlennel nincs megoldása, és a Lagrange-szorzó módszer alkalmatlannak bizonyul. Meg kell azonban jegyezni, hogy az ilyen feladatok a gyakorlatban meglehetősen ritkák.

Tekintsük a nemlineáris programozás általános problémájának egy speciális esetét, feltéve, hogy a kényszerrendszer csak egyenleteket tartalmaz, a változók nem-negativitásának nincs feltétele, és és és folytonos függvények parciális deriváltjaikkal együtt. Ezért a (7) egyenletrendszer megoldásával minden olyan pontot megkapunk, ahol a (6) függvény szélsőértékekkel rendelkezhet.

Algoritmus a Lagrange-szorzó módszerhez

1. Állítsa össze a Lagrange függvényt.

2. Határozza meg a Lagrange-függvény parciális deriváltjait az x J ,λ i változókra vonatkozóan, és egyenlősítse őket nullával!

3. Oldjuk meg a (7) egyenletrendszert, keressük meg azokat a pontokat, ahol a feladat célfüggvényének szélsősége lehet.

4. Az extrémumra gyanús pontok között megkeressük azokat, amelyeknél a szélsőértéket elérjük, és ezekben a pontokban számítjuk ki a (6) függvény értékeit.

Példa.

Kiinduló adatok: A gyártási terv szerint a cégnek 180 terméket kell előállítania. Ezeket a termékeket két technológiai módon lehet előállítani. X 1 termék 1. módszerrel történő előállítása esetén a költségek 4x 1 +x 1 2 rubel, x 2 termék 2. módszerrel történő előállítása esetén pedig 8x 2 +x 2 2 rubel. Határozza meg, hány terméket kell előállítani az egyes módszerekkel, hogy a gyártási költségek minimálisak legyenek.

A megfogalmazott probléma célfüggvényének van formája
® min x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0 feltételek mellett.
1. Állítsa össze a Lagrange függvényt
.
2. Kiszámoljuk a parciális deriváltokat x 1, x 2, λ vonatkozásában, és egyenlővé tesszük őket nullával:

3. Az eredményül kapott egyenletrendszert megoldva azt találjuk, hogy x 1 =91,x 2 =89

4. Az x 2 =180-x 1 célfüggvényben becserélve egy változó függvényét kapjuk, mégpedig f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Kiszámoljuk vagy 4x 1 -364=0 ,

ahonnan x 1 * =91, x 2 * =89.

Válasz: Az első módszerrel gyártott termékek száma x 1 =91, a második módszerrel x 2 =89, míg a célfüggvény értéke 17 278 rubel.

A feltételes szélsőség meghatározásának módszere egy segéd Lagrange-függvény felépítésével kezdődik, amely a megvalósítható megoldások tartományában ugyanazon változóértékek esetén eléri a maximumot. x 1 , x 2 , ..., x n , ami megegyezik a célfüggvénnyel z . Legyen megoldva a függvény feltételes szélsőértékének meghatározásának problémája z = f(X) korlátozások alatt φ én ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, én = 1, 2, ..., m , m < n

Készítsünk függvényt

amelyet úgy hívnak Lagrange funkció. X , - állandó tényezők ( Lagrange-szorzók). Vegye figyelembe, hogy a Lagrange-szorzók megadhatók gazdasági értelemben. Ha f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - a tervnek megfelelő bevétel X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , és a funkció φ én (x 1 , x 2 , ..., x n ) - az e tervnek megfelelő i-edik erőforrás költségei, akkor X , az i-edik erőforrás ára (becslése), amely a célfüggvény szélsőértékének változását jellemzi az i-edik erőforrás méretének változásától függően (marginális becslés). L(X) - funkció n+m változók (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Ennek a függvénynek a stacionárius pontjainak meghatározása az egyenletrendszer megoldásához vezet

Ezt könnyű belátni . Így a függvény feltételes szélsőértékének megtalálása a feladat z = f(X) redukálódik a függvény lokális szélsőpontjának megtalálására L(X) . Ha stacionárius pontot találunk, akkor a szélsőség létezésének kérdése a legegyszerűbb esetekben is megoldódik a szélsőséghez szükséges elegendő feltétel alapján - a második differenciál előjelét tanulmányozva. d 2 L(X) álló pontban, feltéve, hogy a változó növekszik Δx én - kapcsolatok kötik össze

csatolási egyenletek differenciálásával kapjuk.

Nemlineáris egyenletrendszer megoldása két ismeretlenben a Megoldáskereső eszközzel

Beállítások elemre Megoldás keresése lehetővé teszi, hogy megoldást találjon egy nemlineáris egyenletrendszerre, amelyben két ismeretlen:

Ahol
- változók nemlineáris függvénye x És y ,
- tetszőleges állandó.

Ismeretes, hogy a pár ( x , y ) akkor és csak akkor megoldása a (10) egyenletrendszerre, ha ez a következő egyenlet megoldása két ismeretlennel:

VEL másrészt a (10) rendszer megoldása két görbe metszéspontja: f ] (x, y) = C És f 2 (x, y) = C 2 a repülőn XOY.

Ez egy módszerhez vezet a rendszer gyökereinek megtalálására. nemlineáris egyenletek:

Határozza meg (legalább megközelítőleg) a (10) egyenletrendszer vagy a (11) egyenlet megoldásának létezési intervallumát! Itt figyelembe kell venni a rendszerben szereplő egyenletek típusát, az egyes egyenleteik definíciós tartományát stb. Néha a megoldás kezdeti közelítésének kiválasztását alkalmazzák;

Tabletizálja a (11) egyenlet megoldását az x és y változókra a kiválasztott intervallumon, vagy készítsen függvénygráfokat f 1 (x, y) = C, és f 2 (x,y) = C 2 (rendszer(10)).

Lokalizálja az egyenletrendszer feltételezett gyökereit - keressen meg néhány minimális értéket a (11) egyenlet gyökereit táblázatba foglaló táblázatból, vagy határozza meg a rendszerben szereplő görbék metszéspontjait (10).

4. Keresse meg a (10) egyenletrendszer gyökereit a bővítmény segítségével Megoldás keresése.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

abból áll, hogy az általános megoldásban tetszőleges ck konstansokat helyettesítünk

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

megfelelő homogén egyenlet

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

ck(t) segédfüggvényekre, amelyek deriváltjai kielégítik a lineáris algebrai rendszert

Az (1) rendszer determinánsa a z1,z2,...,zn függvények Wronski-jele, amely biztosítja annak egyedi megoldhatóságát -re vonatkoztatva.

Ha az integrációs állandók fix értékein vett antideriválták, akkor a függvény

megoldása az eredeti lineáris inhomogén differenciálegyenletre. Integráció inhomogén egyenlet a megfelelő homogén egyenlet általános megoldásának jelenlétében így négyzetekre redukálódik.

Lagrange-módszer (tetszőleges állandók változtatásának módszere)

Módszer egy inhomogén egyenlet általános megoldásának megszerzésére, egy homogén egyenlet általános megoldásának ismerete anélkül, hogy konkrét megoldást találnánk.

Egy n-edrendű lineáris homogén differenciálegyenlethez

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

ahol y = y(x) egy ismeretlen függvény, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) ismert, folytonos, igaz: 1) n lineárisan létezik önálló döntések y1(x), y2(x), ..., yn(x) egyenletek; 2) a c1, c2, ..., cn konstansok bármely értékére az y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) függvény egy az egyenlet megoldása; 3) bármely x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 kezdeti értékhez vannak c*1, c*n, ..., c*n értékek, így az y megoldás *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) teljesíti a kezdeti feltételeket y*(x0)=y0, (y*)"( x0) ha x = x0 =y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Az y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) kifejezést ún. általános döntés n-edrendű lineáris homogén differenciálegyenlet.

Az y1(x), y2(x), ..., yn(x) n-edrendű lineáris homogén differenciálegyenlet n lineárisan független megoldásának halmazát az egyenlet alapvető megoldási rendszerének nevezzük.

Egy lineáris homogén differenciálegyenlethez állandó együtthatók létezik egy egyszerű algoritmus egy alapvető megoldási rendszer felépítésére. Az egyenletre az y(x) = exp(lx) alakban fogunk megoldást keresni: exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, azaz az l szám gyök karakterisztikus egyenlet ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. A karakterisztikus egyenlet bal oldalát a lineáris differenciálegyenlet karakterisztikus polinomjának nevezzük: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Így egy n-edrendű lineáris homogén egyenlet állandó együtthatókkal való megoldásának problémája egy algebrai egyenlet megoldására redukálódik.

Ha a karakterisztikus egyenletnek n különböző l1№ l2 № ... № ln valós gyöke van, akkor az alapvető megoldási rendszer az y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), és a homogén egyenlet általános megoldása a következő: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx) ).

alapvető megoldási rendszer és általános megoldás egyszerű valós gyökök esetére.

Ha a karakterisztikus egyenlet bármelyik valós gyökét r-szer megismételjük (r-többgyök), akkor a megoldások alaprendszerében r függvény felel meg; ha lk=lk+1 = ... = lk+r-1, akkor in alapvető rendszer az egyenlet megoldásai r függvényt tartalmaznak: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1(x) =xr-1 exp(lnx).

2. PÉLDA Alapvető megoldási rendszer és általános megoldás több valós gyökér esetére.

Ha a karakterisztikus egyenletnek összetett gyökei vannak, akkor a megoldások alaprendszerében minden lk,k+1=ak ± ibk egyszerű (1 multiplicitású) összetett gyökpár egy yk(x) = exp(akx) függvénypárnak felel meg. cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

4. PÉLDA Alapvető megoldási rendszer és általános megoldás egyszerű összetett gyökök esetére. Képzelt gyökerek.

Ha egy komplex gyökpárnak r multiplicitása van, akkor egy ilyen pár lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, a megoldások alaprendszerében megfelel az exp(akx)cos() függvényeknek. bkx), exp(akx)sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

5. PÉLDA Alapvető megoldási rendszer és általános megoldás több összetett gyökér esetére.

Így egy állandó együtthatós lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldásának megtalálásához: fel kell írni a karakterisztikus egyenletet; keresse meg az l1, l2, ... , ln karakterisztikus egyenlet összes gyökerét; írjuk fel az y1(x), y2(x), ..., yn(x) megoldások alaprendszerét; írjuk fel az y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) általános megoldás kifejezését. A Cauchy-probléma megoldásához be kell cserélni az általános megoldás kifejezését a kezdeti feltételekbe, és meg kell határozni a c1,..., cn konstansok értékeit, amelyek a lineáris rendszer megoldásai. algebrai egyenletek c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

Egy n-edrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlethez

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

ahol y = y(x) egy ismeretlen függvény, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) ismert, folytonos, érvényes: 1 ) ha y1(x) és y2(x) két megoldása egy nem homogén egyenletnek, akkor az y(x) = y1(x) - y2(x) függvény a megfelelő homogén egyenlet megoldása; 2) ha y1(x) egy inhomogén egyenlet megoldása, és y2(x) a megfelelő homogén egyenlet megoldása, akkor az y(x) = y1(x) + y2(x) függvény megoldása az inhomogén egyenlet; 3) ha y1(x), y2(x), ..., yn(x) n lineárisan független megoldása egy homogén egyenletnek, és ych(x) - önkényes döntés inhomogén egyenlet, akkor bármely x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 kezdeti értékhez léteznek olyan c*1, c*n, ..., c*n értékek, amelyek az y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) megoldás teljesíti az y*(x0)=y0 kezdeti feltételeket , (y*)"(x0)=y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Az y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) kifejezést egy n-edrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük.

Inhomogén sajátos megoldásokat találni differenciálegyenletekállandó együtthatókkal a következő alak jobb oldalával: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), ahol Pk(x), Qm(x) polinomok Ennek megfelelően van egy egyszerű algoritmus egy adott megoldás elkészítésére, amelyet szelekciós módszernek nevezünk.

A kiválasztási módszer, vagy a meghatározatlan együtthatók módszere a következő. Az egyenlet szükséges megoldását a következő formában írjuk fel: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, ahol Pr(x), Qr(x ) r = max(k, m) fokú polinomok ismeretlen pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 együtthatókkal. Az xs tényezőt rezonanciatényezőnek nevezzük. Rezonancia akkor lép fel, ha a karakterisztikus egyenlet gyökei között van az s multiplicitás l =a ± ib gyöke. Azok. ha a megfelelő homogén egyenlet karakterisztikus egyenletének gyökei között van olyan, amelynek valós része egybeesik a kitevő kitevőjében lévő együtthatóval, a képzetes rész pedig a jobb oldali trigonometrikus függvény argumentumában szereplő együtthatóval oldalán, és ennek a gyöknek a többszöröse s, akkor a keresett konkrét megoldás xs rezonanciatényezőt tartalmaz. Ha nincs ilyen egybeesés (s=0), akkor nincs rezonanciatényező.

Egy adott megoldás kifejezését behelyettesítve az egyenlet bal oldalába, egy általánosított polinomot kapunk, amelynek alakja megegyezik az egyenlet jobb oldalán lévő polinommal, amelynek együtthatói ismeretlenek.

Két általánosított polinom akkor és csak akkor egyenlő, ha az xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) azonos t hatványú tényezők együtthatói egyenlők. Az ilyen tényezők együtthatóit egyenlítve 2(r+1) lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk 2(r+1) ismeretlenekre. Kimutatható, hogy egy ilyen rendszer konzisztens és egyedi megoldással rendelkezik.