Integrál számítása részpéldákkal. A határozatlan integrál részenkénti integrálásának módja
Korábban mi adott funkciót, által vezetett különféle képletekés szabályokat, megtalálta a származékát. A deriváltnak számos felhasználása van: ez a mozgás sebessége (vagy általánosabban bármely folyamat sebessége); a függvény grafikonjának érintőjének szögegyütthatója; a derivált segítségével megvizsgálhat egy függvényt monotonitásra és szélsőségekre; segít megoldani az optimalizálási problémákat.
De az ismert mozgástörvény szerinti sebesség megtalálásának problémája mellett van még inverz probléma- a mozgástörvény ismert sebességről való visszaállításának problémája. Tekintsünk egyet ezek közül a problémák közül.
1. példa Egy anyagi pont egyenes vonalban mozog, mozgásának sebességét t időpontban a v=gt képlet adja meg. Találd meg a mozgás törvényét.
Megoldás. Legyen s = s(t) a kívánt mozgástörvény. Ismeretes, hogy s"(t) = v(t). Ez azt jelenti, hogy a feladat megoldásához ki kell választani egy s = s(t) függvényt, amelynek deriváltja egyenlő gt-vel. Nem nehéz kitalálni hogy \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Válasz: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Rögtön jegyezzük meg, hogy a példa helyesen, de hiányosan van megoldva. A következőt kaptuk: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Valójában a feladatnak végtelen sok megoldása van: bármely \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ alakú függvény, ahol C tetszőleges állandó, szolgálhat mozgás, mivel \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \jobbra)" = gt \)
A probléma pontosabbá tételéhez a kiindulási helyzetet kellett rögzítenünk: meg kell adni egy mozgó pont koordinátáját egy adott időpontban, például t = 0-nál. Ha mondjuk s(0) = s 0, akkor a s(t) = (gt 2)/2 + C egyenlőség kapjuk: s(0) = 0 + C, azaz C = s 0. Most a mozgás törvénye egyértelműen meghatározott: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
A matematikában a kölcsönösen inverz műveleteket különböző elnevezésekkel látják el, és speciális jelöléseket találnak ki, például: négyzetesítés (x 2) és kivonás négyzetgyök(\(\sqrt(x) \)), szinusz (sin x) és arcszinus (arcsin x) stb. Egy adott függvény deriváltjának megtalálásának folyamatát ún. különbségtétel, és az inverz művelet, azaz a függvény keresésének folyamata egy adott deriváltból az integráció.
Maga a „származék” kifejezés „hétköznapi értelemben” igazolható: az y = f(x) függvény „szül” egy új y" = f"(x) függvényt. Az y = f(x) függvény „szülőként” működik, de a matematikusok természetesen nem „szülőnek” vagy „termelőnek” mondják, az y" = f függvényre vonatkozóan; x) , elsődleges kép vagy primitív.
Meghatározás. Az y = F(x) függvényt antideriváltnak nevezzük az y = f(x) függvényre az X intervallumon, ha az F"(x) = f(x) egyenlőség teljesül \(x \in X\)-re.
A gyakorlatban az X intervallumot általában nem adják meg, hanem implikálják (mint a függvény definíciójának természetes tartománya).
Mondjunk példákat.
1) Az y = x 2 függvény antideriválta az y = 2x függvényre, mivel bármely x esetén az (x 2)" = 2x egyenlőség igaz
2) Az y = x 3 függvény antideriválta az y = 3x 2 függvényre, mivel bármely x esetén az (x 3)" = 3x 2 egyenlőség igaz
3) Az y = sin(x) függvény antideriválta az y = cos(x) függvényre, mivel bármely x esetén igaz a (sin(x))" = cos(x) egyenlőség
Az antiderivatívák, valamint a származékok megtalálásakor nemcsak képleteket, hanem néhány szabályt is használnak. Közvetlenül kapcsolódnak a derivatívák kiszámításának megfelelő szabályaihoz.
Tudjuk, hogy egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltjainak összegével. Ez a szabály létrehozza a megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.
1. szabály Egy összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével.
Tudjuk, hogy a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből. Ez a szabály létrehozza a megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.
2. szabály Ha F(x) az f(x) antideriváltája, akkor kF(x) a kf(x) antideriváltája.
1. tétel. Ha y = F(x) az y = f(x) függvény antideriváltája, akkor az y = f(kx + m) függvény antideriváltja a \(y=\frac(1)(k)F függvény (kx+m) \)
2. tétel. Ha y = F(x) az y = f(x) függvény antideriváltája az X intervallumon, akkor az y = f(x) függvénynek végtelen sok antideriváltája van, és mindegyik y = F(x) alakú. + C.
Integrációs módszerek
Változó helyettesítési módszer (helyettesítési módszer)
A helyettesítéssel történő integráció módszere egy új integrációs változó (vagyis helyettesítés) bevezetését jelenti. Ebben az esetben az adott integrál egy új integrállá redukálódik, amely táblázatos vagy rá redukálható. Nincsenek általános módszerek a helyettesítések kiválasztására. A helyettesítés helyes meghatározásának képességét gyakorlással sajátítjuk el.
Legyen szükséges a \(\textstyle \int F(x)dx \ integrál kiszámítása). Végezzük el a \(x= \varphi(t) \) behelyettesítést, ahol \(\varphi(t) \) egy olyan függvény, amelynek folytonos deriváltja van.
Ekkor \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) és a határozatlan integrál integrációs képletének invariancia tulajdonsága alapján behelyettesítéssel megkapjuk az integrációs képletet:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) alakú kifejezések integrálása
Ha m páratlan, m > 0, akkor célszerűbb a behelyettesítést sin x = t-re tenni.
Ha n páratlan, n > 0, akkor kényelmesebb a cos x = t helyettesítést elvégezni.
Ha n és m páros, akkor célszerűbb a tg x = t helyettesítést elvégezni.
Integráció alkatrészek szerint
Integrálás részenként – a következő integrációs képlet alkalmazásával:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
vagy:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Egyes függvények határozatlan integráljainak (antideriváltjainak) táblázata
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Mi az alkatrészenkénti integráció? Az ilyen típusú integráció elsajátításához először emlékezzünk egy termék származékára:
$((\left(f\cdot g \right)))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$
Felmerül a kérdés: mi köze ehhez az integráloknak? Most integráljuk ennek az egyenletnek mindkét oldalát. Tehát írjuk le:
$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$
De mi a stroke antiderivatívája? Ez csak maga a funkció, ami az ütésen belül van. Tehát írjuk le:
$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$
IN adott egyenlet Javaslom a kifejezés kifejezését. Nálunk:
$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$
Ez az integráció alkatrész képlet szerint. Így lényegében felcseréljük a deriváltot és a függvényt. Ha kezdetben egy stroke integrálja volt szorozva valamivel, akkor egy új valaminek egy ütéssel szorzott integrálját kapjuk. Ennyi a szabály. Első pillantásra ez a képlet bonyolultnak és értelmetlennek tűnhet, de valójában nagyban leegyszerűsítheti a számításokat. Most pedig lássuk.
Példák integrálszámításra
1. feladat Számítsa ki:
\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]
Írjuk át a kifejezést úgy, hogy a logaritmus elé 1-et adunk:
\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]
Ehhez jogunk van, mert sem a szám, sem a függvény nem változik. Hasonlítsuk össze ezt a kifejezést a képletünkben leírtakkal. A $(f)"$ szerepe 1, ezért ezt írjuk:
$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$
Mindezek a funkciók a táblázatokban találhatók. Most, hogy leírtuk a kifejezésünkben szereplő összes elemet, átírjuk ezt az integrált a részenkénti integráció képletével:
\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ vége(igazítás)\]
Ez az, az integrál megvan.
2. feladat Számítsa ki:
$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$
Ha a $x$ deriváltot vesszük, amelyből most meg kell találnunk az antideriváltat, akkor $((x)^(2))$-t kapunk, és a végső kifejezés a következőt tartalmazza: $((x)^(2) )( (\text(e))^(-x))$.
Nyilvánvalóan a probléma nem egyszerűsödik le, ezért a tényezőket az integráljel alá cseréljük:
$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$
Most pedig mutassuk be a jelölést:
$(f)"=((\text(e))^(-x))\Jobbra f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$
Megkülönböztetünk $((\text(e))^(-x))$:
$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ bal(-x \jobb))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$
Más szavakkal, először a mínusz kerül hozzáadásra, majd mindkét oldal integrálódik:
\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Jobbra ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e)))^(- x)) \jobbra))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(igazítás)\]
Most nézzük a $g$ függvényt:
$g=x\Jobbra (g)"=1$
Kiszámoljuk az integrált:
$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \jobbra)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \jobbra)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x) +1 \jobbra)+C \\\end(igazítás)$
Tehát elvégeztük a második integrációt részenként.
3. feladat Számítsa ki:
$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$
Ebben az esetben mit vegyünk $(f)"$-ra és mit $g$-ra? Ha $x$ deriváltként működik, akkor az integráció során $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, és az első faktor nem tűnik el sehol - $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ Ezért cseréljük fel újra a tényezőket:
$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ end(align)$
Eredeti kifejezésünket átírjuk és az integrációs képlet szerint részenként bővítjük:
\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(align)\]
Ennyi, a harmadik probléma megoldva.
Befejezésül vessünk még egy pillantást integráció alkatrész képlet szerint. Hogyan válasszuk ki, hogy melyik faktor lesz a derivált és melyik a valós függvény? Itt egyetlen kritérium van: a megkülönböztetni kívánt elemnek vagy „szép” kifejezést kell adnia, ami aztán redukálódik, vagy a differenciálás során teljesen el kell tűnnie. Ezzel a lecke véget is ér.
Határozott integrállal folytonos függvényből f(x) az utolsó szegmensben [ a, b] (ahol ) néhány antiderivált növekménye ezen a szegmensen. (Általában a megértés észrevehetően könnyebb lesz, ha megismétli a határozatlan integrál témakörét) Ebben az esetben a jelölést használjuk
Amint az az alábbi grafikonokon látható (az antiderivatív függvény növekedését jelöli), egy határozott integrál lehet pozitív vagy negatív szám(Az antiderivatív felső határértéke és alsó határértéke közötti különbségként számítják ki, azaz pl. F(b) - F(a)).
Számok aÉs b az integráció alsó és felső határának, illetve a szegmens [ a, b] – az integráció szegmense.
Így ha F(x) – valamilyen származékellenes funkció a f(x), akkor a definíció szerint
(38)
Az egyenlőséget (38) nevezzük Newton-Leibniz képlet . Különbség F(b) – F(a) röviden a következőképpen van leírva:
Ezért a Newton-Leibniz képletet így fogjuk felírni:
(39)
Bizonyítsuk be, hogy a határozott integrál nem függ attól, hogy az integrandus melyik antideriváltját veszi számítása során. Hadd F(x) és F( X) az integrandus tetszőleges antideriváltjai. Mivel ezek azonos funkciójú antideriválták, egy állandó taggal különböznek egymástól: Ф( X) = F(x) + C. azért
Ez megállapítja, hogy a szegmensen [ a, b] a függvény összes antiderivált növekménye f(x) mérkőzés.
Így egy határozott integrál kiszámításához meg kell találni az integrandus bármely antideriváltját, azaz. Először meg kell találnia a határozatlan integrált. Állandó VEL kizárják a későbbi számításokból. Ezután a Newton-Leibniz képletet alkalmazzuk: a felső határ értékét behelyettesítjük az antiderivatív függvénybe b , tovább - az alsó határ értéke a és kiszámolják a különbséget F(b) - F(a) . A kapott szám egy határozott integrál lesz..
at a = bértelemszerűen elfogadott
1. példa
Megoldás. Először keressük meg a határozatlan integrált:
A Newton-Leibniz képlet alkalmazása az antiderivátumra
(at VEL= 0), kapjuk
Határozott integrál számításakor azonban jobb, ha nem külön keressük meg az antideriváltat, hanem azonnal írjuk az integrált a (39) alakba.
2. példa Határozott integrál kiszámítása
Megoldás. Képlet segítségével
Határozott integrál tulajdonságai
2. tétel.A határozott integrál értéke nem függ az integrációs változó megnevezésétől, azaz
(40)
Hadd F(x) – antiderivatív for f(x). Mert f(t) az antiderivált ugyanaz a funkciója F(t), amelyben a független változó csak másképp van megjelölve. Ezért,
A (39) képlet alapján az utolsó egyenlőség az integrálok egyenlőségét jelenti
3. tétel.A konstans tényező kivehető a határozott integrál előjeléből, azaz
(41)
4. tétel.Véges számú függvény algebrai összegének határozott integrálja egyenlő ezen függvények határozott integráljainak algebrai összegével, azaz
(42)
5. tétel.Ha az integráció egy szegmense részekre van osztva, akkor a teljes szegmensre vonatkozó határozott integrál egyenlő a részein lévő határozott integrálok összegével, azaz Ha
(43)
6. tétel.Az integrálási határok átrendezésekor a határozott integrál abszolút értéke nem változik, csak az előjele változik, azaz
(44)
7. tétel(átlagérték tétel). Egy határozott integrál egyenlő az integrációs szegmens hosszának és az integrandus értékének a szorzatával egy bizonyos ponton belül, azaz
(45)
8. tétel.Ha az integráció felső határa nagyobb, mint az alsó, és az integrandus nem negatív (pozitív), akkor a határozott integrál is nem negatív (pozitív), azaz. Ha
9. tétel.Ha az integráció felső határa nagyobb, mint az alsó és a függvények és folytonosak, akkor az egyenlőtlenség
terminusonként integrálható, azaz
(46)
A határozott integrál tulajdonságai lehetővé teszik az integrálok közvetlen számításának egyszerűsítését.
5. példa Határozott integrál kiszámítása
A 4. és 3. tétel felhasználásával, és az antideriválták – a (7) és (6) táblázatintegrálok – megtalálásakor azt kapjuk,
Határozott integrál változó felső határértékkel
Hadd f(x) – folyamatos a szegmensen [ a, b] függvény, és F(x) az antideriváltja. Tekintsük a határozott integrált
(47)
és azon keresztül t az integrációs változót úgy jelöljük ki, hogy ne keverjük össze a felső korláttal. Változáskor X a határozott integrál (47) is változik, azaz. az integráció felső határának függvénye X, amivel jelöljük F(X), azaz
(48)
Bizonyítsuk be, hogy a függvény F(X) egy antiderivatív a f(x) = f(t). Valóban, megkülönböztetés F(X), megkapjuk
mert F(x) – antiderivatív for f(x), A F(a) egy állandó érték.
Funkció F(X) – a végtelen számú antiderivatív egyike a f(x), nevezetesen azt, amelyik x = a nullára megy. Ezt az állítást kapjuk, ha a (48) egyenlőségbe tesszük x = aés használja az előző bekezdés 1. tételét.
Határozott integrálok számítása részenkénti integráció módszerével és a változó megváltoztatásának módszerével
ahol definíció szerint F(x) – antiderivatív for f(x). Ha megváltoztatjuk a változót az integrandusban
akkor a (16) képletnek megfelelően felírhatjuk
Ebben a kifejezésben
antiderivatív funkciója számára
Valójában a származéka szerint összetett függvények differenciálási szabálya, egyenlő
Legyen α és β a változó értéke t, amelyhez a függvény
ennek megfelelően értékeket vesz fel aÉs b, azaz
De a Newton-Leibniz képlet szerint a különbség F(b) – F(a) Van
A számológép az integrálokat a műveletek RÉSZLETES orosz nyelvű leírásával és ingyenesen megoldja!
Határozatlan integrálok megoldása
Ez egy online szolgáltatás egy lépést:
Határozott integrálok megoldása
Ez egy online szolgáltatás egy lépést:
- Adja meg az integrandus kifejezést (integrálfüggvény)
- Adja meg az integrál alsó határát
- Adja meg az integrál felső határát
Kettős integrálok megoldása
- Adja meg az integrandus kifejezést (integrálfüggvény)
Nem megfelelő integrálok megoldása
- Adja meg az integrandus kifejezést (integrálfüggvény)
- Adja meg az integráció felső régióját (vagy + végtelen)
- Adja meg az integráció alsó régióját (vagy a végtelent)
Hármas integrálok megoldása
- Adja meg az integrandus kifejezést (integrálfüggvény)
- Adja meg az első integrációs régió alsó és felső határát
- Adja meg a második integrációs régió alsó és felső határát
- Adja meg a harmadik integrációs régió alsó és felső határát
Ez a szolgáltatás lehetővé teszi, hogy ellenőrizze számításokat a helyességért
Lehetőségek
- Támogatja az összes lehetséges matematikai függvényt: szinusz, koszinusz, kitevő, érintő, kotangens, négyzet- és köbgyök, hatványok, exponenciális és mások.
- Vannak példák a bevitelre, mind határozatlan integrálokra, mind helytelen és határozott integrálokra.
- Javítja a beírt kifejezések hibáit, és saját beviteli lehetőségeket kínál.
- Numerikus megoldás határozott és helytelen integrálokhoz (beleértve a kettős és hármas integrálokat is).
- Támogatás komplex számok, valamint különféle paraméterek (az integrandban nem csak az integrációs változót, hanem más paraméterváltozókat is megadhat)
Integráció alkatrészek szerint- határozott és határozatlan integrálok megoldására használt módszer, amikor az egyik integrandus könnyen integrálható, a másik pedig differenciálható. Meglehetősen gyakori módszer a határozatlan és határozott integrálok keresésére. A fő jel, amikor használni kell, egy bizonyos függvény, amely két olyan függvény szorzatából áll, amelyek nem integrálhatók üresen.
Képlet
A módszer sikeres használatához meg kell értenie és meg kell tanulnia a képleteket.
A határozatlan integrál részenkénti integrálásának képlete:
$$ \int udv = uv - \int vdu $$
A részek szerinti integrálási képlet egy meghatározott integrálban:
$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$
Példák megoldásokra
Tekintsünk gyakorlati példákat a részenkénti integráció megoldásaira, amelyeket a tanárok gyakran ajánlanak fel tesztek. Felhívjuk figyelmét, hogy az integrál szimbólum alatt két függvény szorzata található. Ez annak a jele, hogy ez a módszer alkalmas a megoldásra.
| 1. példa |
| Keresse meg a $ \int xe^xdx $ integrált |
| Megoldás |
|
Látjuk, hogy az integrandus két függvényből áll, amelyek közül az egyik a differenciálás hatására azonnal egységgé válik, a másik pedig könnyen integrálható. Az integrál megoldásához a részenkénti integrálás módszerét alkalmazzuk. Tegyük fel, hogy $ u = x \rightarrow du=dx $ és $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ A talált értékeket behelyettesítjük az első integrációs képletbe, és megkapjuk: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. mi biztosítjuk részletes megoldás. Megnézheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától! |
| Válasz |
|
$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$ |
| 4. példa |
| Számítsa ki a $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ integrált |
| Megoldás |
|
Az előző megoldott példák analógiájára kitaláljuk, melyik függvényt kell problémamentesen integrálni, melyiket megkülönböztetni. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ha megkülönböztetünk $ (x+5) $, akkor ez a kifejezés automatikusan egységgé alakul, ami előnyünkre válik. Tehát ezt csináljuk: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Most az összes ismeretlen függvényt megtaláltuk, és be lehet helyezni a második képletbe a részenkénti integráláshoz egy határozott integrálhoz. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3) )-\frac(4)(\ln^2 3) $$ |
| Válasz |
| $$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$ |
