Képletek másodfokú egyenlet gyökére. A valódi, többszörös és összetett gyökerek eseteit vizsgáljuk. Másodfokú trinomiális faktorálása. Geometriai értelmezés. Példák a gyökerek meghatározására és a faktorálásra.

Alapképletek

Tekintsük a másodfokú egyenletet:
(1) .
Másodfokú egyenlet gyökerei(1) a következő képletekkel határozzák meg:
; .
Ezeket a képleteket a következőképpen lehet kombinálni:
.
Ha egy másodfokú egyenlet gyökei ismertek, akkor egy másodfokú polinom ábrázolható tényezők szorzataként (tényezőként):
.

Ezután feltételezzük, hogy ezek valós számok.
Mérlegeljük másodfokú egyenlet diszkriminánsa:
.
Ha a diszkrimináns pozitív, akkor az (1) másodfokú egyenletnek két különböző valós gyöke van:
; .
Ekkor a másodfokú trinom faktorizálása a következőképpen alakul:
.
Ha a diszkrimináns egyenlő nullával, akkor az (1) másodfokú egyenletnek két többszörös (egyenlő) valós gyöke van:
.
Faktorizáció:
.
Ha a diszkrimináns negatív, akkor az (1) másodfokú egyenletnek két összetett konjugált gyöke van:
;
.
Itt van a képzeletbeli egység, ;
és a gyökerek valós és képzeletbeli részei:
; .
Majd

.

Grafikus értelmezés

Ha épít függvény grafikonja
,
ami egy parabola, akkor a gráf tengellyel való metszéspontjai lesznek az egyenlet gyökei
.
pontban a grafikon két pontban metszi az x tengelyt (tengelyt).
Amikor , a grafikon egy ponton érinti az x tengelyt.
Amikor , a grafikon nem keresztezi az x tengelyt.

Az alábbiakban példákat mutatunk be ilyen grafikonokra.

Hasznos képletek a másodfokú egyenletekhez

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Másodfokú egyenlet gyökeinek képletének levezetése

Transzformációkat hajtunk végre és alkalmazzuk az (f.1) és (f.3) képleteket:




,
Ahol
; .

Tehát megkaptuk a másodfokú polinom képletét a következő formában:
.
Ez azt mutatja, hogy az egyenlet

órakor előadták
És .
Vagyis és a másodfokú egyenlet gyökerei
.

Példák másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározására

1. példa

(1.1) .

Megoldás

.
Az (1.1) egyenletünkkel összehasonlítva megtaláljuk az együtthatók értékeit:
.
Megtaláljuk a diszkriminánst:
.
Mivel a diszkrimináns pozitív, az egyenletnek két valós gyökere van:
;
;
.

Innen megkapjuk a másodfokú trinom tényezőezését:

.

Az y = függvény grafikonja 2 x 2 + 7 x + 3 két pontban metszi az x tengelyt.

Ábrázoljuk a függvényt
.
Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Két ponton metszi az abszcissza tengelyt (tengelyt):
És .
Ezek a pontok az eredeti (1.1) egyenlet gyökerei.

Válasz

;
;
.

2. példa

Keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit:
(2.1) .

Megoldás

Írjuk fel a másodfokú egyenletet általános formában:
.
Az eredeti (2.1) egyenlettel összehasonlítva megtaláljuk az együtthatók értékeit:
.
Megtaláljuk a diszkriminánst:
.
Mivel a diszkrimináns nulla, az egyenletnek két többszörös (egyenlő) gyöke van:
;
.

Ekkor a trinomiális faktorizálása a következőképpen alakul:
.

Az y = x függvény grafikonja 2-4 x + 4 egy ponton érinti az x tengelyt.

Ábrázoljuk a függvényt
.
Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Egy ponton érinti az x tengelyt (tengelyt):
.
Ez a pont az eredeti (2.1) egyenlet gyöke. Mivel ez a gyökér kétszeres tényező:
,
akkor az ilyen gyökeret többszörösnek szokták nevezni. Vagyis azt hiszik, hogy két egyenlő gyökér van:
.

Válasz

;
.

3. példa

Keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit:
(3.1) .

Megoldás

Írjuk fel a másodfokú egyenletet általános formában:
(1) .
Írjuk át az eredeti (3.1) egyenletet:
.
Az (1)-el összehasonlítva megtaláljuk az együtthatók értékeit:
.
Megtaláljuk a diszkriminánst:
.
A diszkrimináns negatív, .

Ezért nincsenek valódi gyökerek.
;
;
.

Összetett gyökereket találhat:


.

Majd

Ábrázoljuk a függvényt
.
A függvény grafikonja nem keresztezi az x tengelyt. Nincsenek igazi gyökerek.

Válasz

Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Nem metszi az x tengelyt (tengelyt). Ezért nincsenek valódi gyökerek.
;
;
.

Nincsenek igazi gyökerek. Összetett gyökerek:

Remélem, hogy a cikk tanulmányozása után megtanulja, hogyan kell megtalálni a teljes másodfokú egyenlet gyökereit. A diszkrimináns segítségével csak a teljes másodfokú egyenleteket oldjuk meg a hiányosak megoldására másodfokú egyenletek

használjon más módszereket, amelyeket a "Hiányos másodfokú egyenletek megoldása" című cikkben talál. Milyen másodfokú egyenleteket nevezünk teljesnek? Ez ax 2 + b x + c = 0 alakú egyenletek

, ahol az a, b és c együtthatók nem egyenlők nullával. Tehát egy teljes másodfokú egyenlet megoldásához ki kell számítanunk a D diszkriminánst.

D = b 2 – 4ac.

A diszkrimináns értékétől függően írjuk le a választ.< 0),то корней нет.

Ha a diszkrimináns negatív szám (D

Ha a diszkrimináns nulla, akkor x = (-b)/2a. Ha a diszkrimináns pozitív szám (D > 0),

akkor x 1 = (-b - √D)/2a, és x 2 = (-b + √D)/2a. Például. Oldja meg az egyenletet x 2

– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Válasz: 2. Oldja meg az egyenletet Oldja meg a 2. egyenletet

+ x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23.

Válasz: 2. Oldja meg az egyenletet Válasz: nincs gyökere.

+ 5x – 7 = 0

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2) = (-5 - 9)/4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1.

Válasz: – 3,5; 1

Ezekkel a képletekkel bármilyen teljes másodfokú egyenletet megoldhat. Csak arra kell vigyázni az egyenletet a standard alak polinomjaként írtuk fel

A Oldja meg az egyenletet + bx + c, különben hibázhat. Például az x + 3 + 2x 2 = 0 egyenlet felírásakor tévesen úgy dönthet, hogy

a = 1, b = 3 és c = 2. Ekkor

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 és akkor az egyenletnek két gyöke van. És ez nem igaz. (Lásd a fenti 2. példa megoldását).

Ezért, ha az egyenletet nem standard formájú polinomként írjuk fel, akkor először a teljes másodfokú egyenletet kell felírni a standard alakú polinomként (a legnagyobb kitevővel rendelkező monom legyen előbb, azaz A Oldja meg az egyenletet , majd kevesebbel – bx majd egy szabad tag Vel.

A redukált másodfokú egyenlet és a második tagban páros együtthatójú másodfokú egyenlet megoldásakor más képleteket is használhat. Ismerkedjünk meg ezekkel a képletekkel. Ha egy teljes másodfokú egyenletben a második tag páros együtthatós (b = 2k), akkor az egyenletet a 2. ábra diagramján látható képletekkel oldhatja meg.

A teljes másodfokú egyenletet redukáltnak nevezzük, ha az együttható at Oldja meg az egyenletet egyenlő eggyel, és az egyenlet alakját veszi fel x 2 + px + q = 0. Egy ilyen egyenlet megadható a megoldásra, vagy megkapható úgy, hogy az egyenlet összes együtthatóját elosztjuk az együtthatóval A, állva Oldja meg az egyenletet .

A 3. ábra a redukált négyzet megoldásának diagramját mutatja
egyenletek. Nézzünk egy példát az ebben a cikkben tárgyalt képletek alkalmazására.

Példa. Oldja meg az egyenletet

3Oldja meg az egyenletet + 6x – 6 = 0.

Oldjuk meg ezt az egyenletet az 1. ábra diagramján látható képletekkel.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(363) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Válasz: –1 – √3; –1 + √3

Megfigyelhető, hogy az x együtthatója ebben az egyenletben páros szám, azaz b = 6 vagy b = 2k, ahol k = 3. Ezután próbáljuk meg megoldani az egyenletet a D ábra diagramján látható képletekkel. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Válasz: –1 – √3; –1 + √3. Ha észrevesszük, hogy ebben a másodfokú egyenletben az összes együttható osztható 3-mal, és végrehajtva az osztást, megkapjuk az x 2 + 2x – 2 = 0 redukált másodfokú egyenletet. Oldjuk meg ezt az egyenletet a redukált másodfokú képletekkel
egyenletek 3. ábra.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Válasz: –1 – √3; –1 + √3.

Amint látjuk, ennek az egyenletnek a megoldása során különféle képletek ugyanazt a választ kaptuk. Ezért, ha alaposan elsajátította az 1. ábra diagramján látható képleteket, mindig meg tud majd oldani bármilyen teljes másodfokú egyenletet.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

IN modern társadalom a változó négyzetet tartalmazó egyenletekkel való műveletek végrehajtásának képessége számos tevékenységi területen hasznos lehet, és széles körben alkalmazzák a gyakorlatban a tudományos ill. technikai fejlesztések. Ennek bizonyítéka a tengeri és folyami hajók, repülőgépek és rakéták tervezése. Ilyen számítások segítségével sokféle test mozgási pályáját határozzák meg, beleértve az űrobjektumokat is. A másodfokú egyenletek megoldására szolgáló példákat nem csak a gazdasági előrejelzésben, az épületek tervezésében és kivitelezésében, hanem a leghétköznapibb körülmények között is alkalmazzák. Szükség lehet rájuk gyalogtúrák, sportrendezvényeken, üzletekben vásárlás közben és más nagyon gyakori helyzetekben.

Bontsuk fel a kifejezést komponenstényezőire

Az egyenlet mértékét a kifejezésben szereplő változó fokszámának maximális értéke határozza meg. Ha egyenlő 2-vel, akkor egy ilyen egyenletet másodfokúnak nevezünk.

Ha a formulák nyelvén beszélünk, akkor a jelzett kifejezések, akárhogy is néznek ki, mindig formába hozhatók, amikor a kifejezés bal oldala három tagból áll. Köztük: ax 2 (vagyis változó négyzetben az együtthatójával), bx (együtthatós négyzet nélküli ismeretlen) és c (szabad komponens, azaz közönséges szám). Mindez a jobb oldalon egyenlő 0-val. Abban az esetben, ha egy ilyen polinomnak az egyik alkotótagja hiányzik, az ax 2 kivételével, hiányos másodfokú egyenletnek nevezzük. Először az ilyen problémák megoldására szolgáló példákat kell figyelembe venni, amelyekben a változók értékeit könnyű megtalálni.

Ha úgy néz ki, hogy a kifejezésben két tag van a jobb oldalon, pontosabban az ax 2 és a bx, akkor az x megtalálásának legegyszerűbb módja, ha a változót zárójelbe teszed. Most az egyenletünk így fog kinézni: x(ax+b). Ezután nyilvánvalóvá válik, hogy vagy x=0, vagy a probléma abból adódik, hogy keresünk egy változót a következő kifejezésből: ax+b=0. Ezt a szorzás egyik tulajdonsága diktálja. A szabály kimondja, hogy két tényező szorzata csak akkor 0, ha az egyik nulla.

Példa

x=0 vagy 8x - 3 = 0

Ennek eredményeként az egyenlet két gyökét kapjuk: 0 és 0,375.

Az ilyen egyenletek leírhatják azoknak a testeknek a gravitáció hatására történő mozgását, amelyek a koordináták origójának tekintett pontból indultak el. Itt matematikai jelölés a következő alakot veszi fel: y = v 0 t + gt 2 /2. A szükséges értékek behelyettesítésével, a jobb oldal 0-val való egyenlővé tételével és az esetleges ismeretlenek megtalálásával megtudhatja, hogy mennyi idő telik el a test felemelkedésétől a leesés pillanatáig, valamint sok más mennyiséget is. De erről később beszélünk.

Egy kifejezés faktorálása

A fent leírt szabály lehetővé teszi ezeknek a problémáknak a megoldását bonyolultabb esetekben is. Nézzünk példákat az ilyen típusú másodfokú egyenletek megoldására.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ez a másodfokú trinom kész. Először is alakítsuk át a kifejezést és faktoráljuk. Ebből kettő van: (x-8) és (x-25) = 0. Ennek eredményeként két gyökünk van: 8 és 25.

A 9. osztályos másodfokú egyenletek megoldására vonatkozó példák lehetővé teszik, hogy ez a módszer nemcsak másodrendű, hanem akár harmad- és negyedrendű kifejezésekben is változót találjon.

Például: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ha a jobb oldalt változóval faktorokká számoljuk, ezek közül három van, azaz (x+1), (x-3) és (x+) 3).

Ennek eredményeként nyilvánvalóvá válik, hogy adott egyenlet három gyöke van: -3; -1; 3.

Négyzetgyök

A hiányos másodrendű egyenlet másik esete egy olyan kifejezés, amelyet a betűk nyelvén úgy ábrázolnak, hogy jobb oldalon az ax 2 és c komponensekből épül fel. Itt a változó értékének megszerzéséhez a szabad tagot átvisszük a jobb oldalra, majd ezt követően kivonjuk az egyenlőség mindkét oldaláról négyzetgyök. Meg kell jegyezni, hogy ebben az esetben az egyenletnek általában két gyöke van. Kivételt képezhetnek az olyan egyenlőségek, amelyek egyáltalán nem tartalmaznak kifejezést, ahol a változó nulla, valamint a kifejezések olyan változatai, amikor a jobb oldal negatívnak bizonyul. Ez utóbbi esetben egyáltalán nincs megoldás, mivel a fenti műveletek nem hajthatók végre gyökérrel. Példákat kell venni az ilyen típusú másodfokú egyenletek megoldására.

Ebben az esetben az egyenlet gyökerei a -4 és a 4 számok lesznek.

A földterület számítása

Az effajta számítások szükségessége már az ókorban megjelent, mert a matematika fejlődését azokban a távoli időkben nagymértékben meghatározta az az igény, hogy a legnagyobb pontossággal meg kell határozni a földterületek területét és kerületét.

Példákat kell gondolnunk másodfokú egyenletek megoldására is az ilyen jellegű problémák alapján.

Tehát tegyük fel, hogy van egy téglalap alakú telek, amelynek hossza 16 méterrel nagyobb, mint a szélessége. A telek hosszát, szélességét és kerületét meg kell találnia, ha tudja, hogy területe 612 m 2.

A kezdéshez először hozzuk létre a szükséges egyenletet. Jelöljük x-szel a terület szélességét, akkor a hossza (x+16) lesz. A leírtakból az következik, hogy a területet az x(x+16) kifejezés határozza meg, ami a feladatunk feltételei szerint 612. Ez azt jelenti, hogy x(x+16) = 612.

Teljes másodfokú egyenletek megoldása, és ez a kifejezés pontosan ez, nem végezhető el ugyanúgy. Miért? Bár a bal oldal továbbra is két tényezőt tartalmaz, ezek szorzata egyáltalán nem 0, ezért itt különböző módszereket alkalmazunk.

Megkülönböztető

Először is végezzük el a szükséges átalakításokat megjelenés ennek a kifejezésnek a következőképpen fog kinézni: x 2 + 16x - 612 = 0. Ez azt jelenti, hogy a korábban megadott szabványnak megfelelő formában kaptunk egy kifejezést, ahol a=1, b=16, c=-612.

Ez egy példa lehet másodfokú egyenletek diszkrimináns segítségével történő megoldására. Itt a szükséges számításokat a séma szerint végezzük: D = b 2 - 4ac. Ez a segédmennyiség nemcsak a szükséges mennyiségek másodrendű egyenletben való megtalálását teszi lehetővé, hanem meghatározza a lehetséges opciók számát. Ha D>0, akkor kettő van; D=0 esetén egy gyök van. Abban az esetben, ha D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

A gyökerekről és képletükről

Esetünkben a diszkrimináns egyenlő: 256 - 4(-612) = 2704. Ez arra utal, hogy a problémánkra van válasz. Ha ismeri k, akkor a másodfokú egyenletek megoldását az alábbi képlettel kell folytatni. Lehetővé teszi a gyökerek kiszámítását.

Ez azt jelenti, hogy a bemutatott esetben: x 1 =18, x 2 =-34. A második lehetőség ebben a dilemmában nem jelenthet megoldást, mert a telek méretei nem mérhetők negatív mennyiségben, ami azt jelenti, hogy x (vagyis a telek szélessége) 18 m Innen számítjuk a hosszt: 18 +16=34, kerülete pedig 2(34+ 18)=104(m2).

Példák és feladatok

Folytatjuk a másodfokú egyenletek tanulmányozását. Az alábbiakban bemutatunk néhány példát és részletes megoldást.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Tegyünk mindent az egyenlőség bal oldalára, hajtsunk végre egy transzformációt, azaz megkapjuk azt a típusú egyenletet, amelyet általában standardnak neveznek, és egyenlővé tesszük a nullával.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Hasonlóakat összeadva meghatározzuk a diszkriminánst: D = 49 - 48 = 1. Ez azt jelenti, hogy az egyenletünknek két gyöke lesz. Számítsuk ki őket a fenti képlet szerint, ami azt jelenti, hogy az első 4/3, a második pedig 1 lesz.

2) Most oldjunk meg másfajta rejtélyeket.

Nézzük meg, hogy vannak-e itt gyökök x 2 - 4x + 5 = 1? Ahhoz, hogy átfogó választ kapjunk, csökkentsük a polinomot a megfelelő szokásos alakra, és számítsuk ki a diszkriminánst. A fenti példában nem szükséges a másodfokú egyenletet megoldani, mert egyáltalán nem ez a probléma lényege. Ebben az esetben D = 16 - 20 = -4, ami azt jelenti, hogy tényleg nincsenek gyökerek.

Vieta tétele

Kényelmes a másodfokú egyenletek megoldása a fenti képletekkel és a diszkriminánssal, ha ez utóbbi értékéből vesszük a négyzetgyököt. De ez nem mindig történik meg. Ebben az esetben azonban számos mód van a változók értékének megszerzésére. Példa: másodfokú egyenletek megoldása Vieta tételével. Nevét arról kapta, aki a 16. században Franciaországban élt, és matematikai tehetségének és udvari kapcsolatainak köszönhetően ragyogó karriert futott be. Portréja a cikkben látható.

A minta, amelyet a híres francia észrevett, a következő volt. Bebizonyította, hogy az egyenlet gyökei numerikusan -p=b/a-hoz adódnak, szorzatuk pedig q=c/a-nak felel meg.

Most nézzük meg a konkrét feladatokat.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Az egyszerűség kedvéért alakítsuk át a kifejezést:

x 2 + 7x - 18 = 0

Használjuk Vieta tételét, így a következőt kapjuk: a gyökök összege -7, a szorzatuk pedig -18. Innen azt kapjuk, hogy az egyenlet gyökerei a -9 és 2 számok. Ellenőrzés után megbizonyosodunk arról, hogy ezek a változóértékek valóban beleférnek-e a kifejezésbe.

Parabola gráf és egyenlet

A másodfokú függvény és a másodfokú egyenletek fogalma szorosan összefügg. Erre már volt példa korábban. Most nézzünk meg néhány matematikai rejtvényt egy kicsit részletesebben. Bármely leírt típusú egyenlet vizuálisan ábrázolható. Az ilyen, grafikonként megrajzolt összefüggést parabolának nevezzük. Különböző típusait az alábbi ábra mutatja be.

Minden parabolának van egy csúcsa, vagyis egy pont, ahonnan az ágai kilépnek. Ha a>0, akkor magasra mennek a végtelenbe, és amikor a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

A függvények vizuális megjelenítése segít bármilyen egyenlet megoldásában, beleértve a másodfokúakat is. Ezt a módszert grafikusnak nevezik. Az x változó értéke pedig az abszcissza koordinátája azokban a pontokban, ahol a gráfvonal metszi a 0x-et. A csúcs koordinátáit az imént adott x 0 = -b/2a képlet segítségével találhatjuk meg. Ha pedig a kapott értéket behelyettesítjük a függvény eredeti egyenletébe, megtudhatjuk, hogy y 0, vagyis a parabola ordinátatengelyhez tartozó csúcsának második koordinátája.

A parabola ágainak metszéspontja az abszcissza tengellyel

A másodfokú egyenletek megoldására nagyon sok példa van, de vannak általános minták is. Nézzük meg őket. Nyilvánvaló, hogy a gráf 0x tengellyel való metszéspontja a>0 esetén csak akkor lehetséges, ha a 0 negatív értékeket vesz fel. És a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Különben D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

A parabola grafikonjából a gyököket is meghatározhatja. Ennek az ellenkezője is igaz. Vagyis ha nem könnyű egy másodfokú függvény vizuális ábrázolását megszerezni, akkor a kifejezés jobb oldalát 0-val egyenlővé teheti, és megoldhatja a kapott egyenletet. A 0x tengellyel való metszéspontok ismeretében pedig könnyebb grafikont készíteni.

A történelemből

Négyzetes változót tartalmazó egyenletekkel a régi időkben nemcsak matematikai számításokat végeztek, és geometriai alakzatok területeit határozták meg. A régieknek szükségük volt ilyen számításokra a fizika és a csillagászat terén tett nagy felfedezésekhez, valamint az asztrológiai előrejelzésekhez.

A modern tudósok szerint Babilon lakói az elsők között oldották meg a másodfokú egyenleteket. Ez négy évszázaddal korunk előtt történt. Természetesen számításaik gyökeresen eltértek a jelenleg elfogadottaktól, és sokkal primitívebbnek bizonyultak. Például a mezopotámiai matematikusoknak fogalmuk sem volt a negatív számok létezéséről. Nem ismertek más finomságokat sem, amelyeket minden modern iskolás ismer.

Talán még Babilon tudósainál korábban, az indiai bölcs, Baudhayama elkezdte a másodfokú egyenletek megoldását. Ez körülbelül nyolc évszázaddal Krisztus korszaka előtt történt. Igaz, a másodrendű egyenletek, az általa megadott megoldási módszerek voltak a legegyszerűbbek. Rajta kívül a kínai matematikusok is érdeklődtek a hasonló kérdések iránt régen. Európában a másodfokú egyenleteket csak a 13. század elején kezdték megoldani, később azonban olyan nagy tudósok is alkalmazták őket munkáikban, mint Newton, Descartes és sokan mások.

Másodfokú egyenletek. Megkülönböztető. Megoldás, példák.

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

A másodfokú egyenletek típusai

Mi az a másodfokú egyenlet? Hogy néz ki? Termben másodfokú egyenlet a kulcsszó az "négyzet". Ez azt jelenti, hogy az egyenletben Szükségszerűen kell lennie egy x négyzetnek. Ezen kívül az egyenlet tartalmazhat (vagy nem!) csak X-et (az első hatványig) és csak egy számot (ingyenes tag). Kettőnél nagyobb hatványhoz pedig ne legyen X.

Matematikai értelemben a másodfokú egyenlet a következő alakú egyenlet:

Itt a, b és c- néhány szám. b és c- abszolút bármilyen, de A– bármi más, mint nulla. Például:

Itt A =1; b = 3; c = -4

Itt A =2; b = -0,5; c = 2,2

Itt A =-3; b = 6; c = -18

Nos, érted...

Ezekben a bal oldali másodfokú egyenletekben ott van teljes készlet tagjai. X négyzet egy együtthatóval A, x az első hatványhoz együtthatóval bÉs szabad tag s.

Az ilyen másodfokú egyenleteket nevezzük tele.

Mi van ha b= 0, mit kapunk? megvan X elveszik az első hatványra. Ez akkor történik, ha megszorozzuk nullával.) Kiderül például:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Stb. És ha mindkét együttható bÉs c egyenlőek nullával, akkor még egyszerűbb:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Az ilyen egyenleteket, ahol valami hiányzik, nevezzük hiányos másodfokú egyenletek. Ami teljesen logikus.) Vegye figyelembe, hogy az x négyzet minden egyenletben jelen van.

Apropó, miért A nem lehet egyenlő nullával? És te helyettesíted helyette A nulla.) Az X négyzetünk eltűnik! Az egyenlet lineáris lesz. És a megoldás egészen más...

Ez a másodfokú egyenletek fő típusa. Teljes és hiányos.

Másodfokú egyenletek megoldása.

Teljes másodfokú egyenletek megoldása.

A másodfokú egyenletek könnyen megoldhatók. Képletek és világos, egyszerű szabályok szerint. Az első szakaszban az adott egyenletet szabványos alakba kell hozni, pl. az űrlaphoz:

Ha az egyenletet ebben a formában már megadtuk, akkor nem kell elvégeznie az első lépést.) A lényeg az, hogy helyesen határozzuk meg az összes együtthatót, A, bÉs c.

A másodfokú egyenlet gyökereinek megkeresésére szolgáló képlet így néz ki:

A gyökjel alatti kifejezést ún diszkriminatív. De róla alább bővebben. Amint látja, az X megtalálásához használjuk csak a, b és c. Azok. másodfokú egyenletből származó együtthatók. Csak óvatosan cserélje ki az értékeket a, b és c Ebbe a képletbe számolunk. Cseréljük saját jeleivel! Például az egyenletben:

A =1; b = 3; c= -4. Ide írjuk le:

A példa majdnem megoldott:

Ez a válasz.

Ez nagyon egyszerű. És mit gondolsz, lehetetlen hibázni? Hát igen, hogyan...

A leggyakoribb hibák a jelértékekkel való összetévesztés a, b és c. Vagy inkább nem a jeleikkel (hol lehet összetéveszteni?), hanem a negatív értékek helyettesítésével a gyökerek kiszámításának képletében. Ebben segít a képlet részletes rögzítése konkrét számokkal. Ha problémák vannak a számításokkal, tedd azt!

Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a következő példát:

Itt a = -6; b = -5; c = -1

Tegyük fel, hogy tudja, hogy az első alkalommal ritkán kap választ.

Nos, ne légy lusta. Körülbelül 30 másodpercet vesz igénybe egy extra sor írása és a hibák száma erősen csökkenni fog. Tehát részletesen írjuk, minden zárójellel és jellel:

Hihetetlenül nehéznek tűnik ilyen gondosan leírni. De csak úgy tűnik. Próbáljuk meg. Nos, vagy válassz. Mi a jobb, gyors vagy jobb?

Ráadásul boldoggá teszlek. Egy idő után nem kell mindent olyan gondosan leírni. Ez magától is működni fog. Különösen, ha az alábbiakban ismertetett gyakorlati technikákat alkalmazza. Ez a rossz példa egy rakás mínuszokkal egyszerűen és hiba nélkül megoldható!

De gyakran a másodfokú egyenletek kissé eltérőek. Például így: Felismerted?) Igen! Ez.

hiányos másodfokú egyenletek

Hiányos másodfokú egyenletek megoldása. a, b és c.

Általános képlet segítségével is megoldhatók. Csak helyesen kell megértenie, mivel egyenlők itt. Rájöttél? Az első példában a = 1; b = -4; c A ? Egyáltalán nincs ott! Hát igen, ez így van. A matematikában ez azt jelenti c = 0 ! Ennyi. Helyettesítsd be helyette a nullát a képletben c, és sikerülni fog. Ugyanez a második példával. Csak nálunk nincs nulla Vel b !

De a nem teljes másodfokú egyenletek sokkal egyszerűbben is megoldhatók. Mindenféle képlet nélkül. Tekintsük az első hiányos egyenletet. Mit lehet tenni a bal oldalon? A zárójelből kiveheted az X-et! Vegyük ki.

Szóval mi van ebből? És az a tény, hogy a szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha bármelyik tényező nulla! Ne higgy nekem? Oké, akkor jöjjön ki két nem nulla szám, amelyeket szorozva nullát adunk!
Nem működik? Ennyi...
Ezért bátran írhatjuk: x 1 = 0, x 2 = 4.

Minden. Ezek lesznek az egyenletünk gyökerei. Mindkettő alkalmas. Ha bármelyiket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor a helyes azonosságot 0 = 0 kapjuk. Mint látható, a megoldás sokkal egyszerűbb, mint az általános képlet használata. Egyébként hadd jegyezzem meg, hogy melyik X lesz az első és melyik lesz a második - teljesen közömbös. Kényelmes sorrendben írni, x 1- mi a kisebb és Oldja meg az egyenletet- ami nagyobb.

A második egyenlet is egyszerűen megoldható. Mozgassa a 9-et jobb oldalra. Kapunk:

Már csak a gyökér 9-ből való kivonása marad, és ennyi. Ki fog derülni:

Két gyökér is . x 1 = -3, x 2 = 3.

Így oldódik meg az összes hiányos másodfokú egyenlet. Vagy úgy, hogy X-et zárójelbe tesz, vagy egyszerűen mozgatja a számot jobbra, majd kivonja a gyökeret.
Rendkívül nehéz összekeverni ezeket a technikákat. Egyszerűen azért, mert az első esetben ki kell húzni az X gyökerét, ami valahogy érthetetlen, a második esetben pedig nincs mit kivenni a zárójelből...

Megkülönböztető. Diszkrimináns képlet.

Varázsszó diszkriminatív ! Ritkán van olyan középiskolás, aki nem hallotta ezt a szót! A „diszkrimináns révén megoldjuk” kifejezés magabiztosságot és megnyugvást ébreszt. Mert nem kell trükköket várni a megkülönböztetőtől! Használata egyszerű és problémamentes.) Emlékeztetlek a megoldás legáltalánosabb képletére bármilyen másodfokú egyenletek:

A gyökjel alatti kifejezést diszkriminánsnak nevezzük. A diszkriminánst általában betűvel jelöljük D. Diszkrimináns képlet:

D = b 2-4ac

És mi olyan figyelemre méltó ebben a kifejezésben? Miért érdemelt volna külön nevet? Mi a diszkrimináns jelentése? Végül is -b, vagy 2a ebben a képletben konkrétan nem nevezik semminek... Betűk és betűk.

Itt van a dolog. Másodfokú egyenlet megoldásakor ezzel a képlettel lehetséges csak három eset.

1. A diszkrimináns pozitív. Ez azt jelenti, hogy a gyökér kinyerhető belőle. Az, hogy a gyökeret jól vagy rosszul kinyerjük, az egy másik kérdés. Az a fontos, amit elvileg kivonnak. Ekkor a másodfokú egyenletnek két gyöke van. Két különböző megoldás.

2. A diszkrimináns nulla. Akkor lesz egy megoldás. Mivel a nulla összeadása vagy kivonása a számlálóban nem változtat semmit. Szigorúan véve ez nem egy gyökér, hanem két egyforma. De egyszerűsített változatban szokás beszélni egy megoldás.

3. A diszkrimináns negatív. Negatív szám négyzetgyöke nem vehető fel. Na jó. Ez azt jelenti, hogy nincsenek megoldások.

Hogy őszinte legyek, a másodfokú egyenletek egyszerű megoldása során a diszkrimináns fogalmára nincs igazán szükség. Az együtthatók értékeit behelyettesítjük a képletbe, és számolunk. Ott minden magától történik, két gyökér, egy és egy sem. Bonyolultabb feladatok megoldásánál azonban tudás nélkül a diszkrimináns jelentése és képlete nem tud elmenni. Főleg a paraméteres egyenletekben. Ilyen egyenletek a műrepülés az államvizsgára és az egységes államvizsgára!)

Így, hogyan kell megoldani a másodfokú egyenleteket az emlékezett diszkrimináns révén. Vagy megtanultad, ami szintén nem rossz.) Tudod, hogyan kell helyesen meghatározni a, b és c. Tudod hogyan? figyelmesen cserélje be őket a gyökérképletbe és figyelmesen számolja meg az eredményt. Érted, hogy itt a kulcsszó figyelmesen?

Most vegye figyelembe azokat a gyakorlati technikákat, amelyek drámaian csökkentik a hibák számát. Ugyanazok, amik a figyelmetlenségből fakadnak... Amiért később fájdalmassá és sértővé válik...

Első találkozó . Ne légy lusta, mielőtt megold egy másodfokú egyenletet, és hozd szabványos formába. Ez mit jelent?
Tegyük fel, hogy az összes transzformáció után a következő egyenletet kapjuk:

Ne siess a gyökképlet megírásával! Szinte biztosan összekevered az esélyeket a, b és c. Szerkessze meg helyesen a példát! Először X négyzet, majd négyzet nélkül, majd a szabad tag. így:

És még egyszer: ne siess! Az X négyzet előtti mínusz nagyon felzaklathat. Könnyű elfelejteni... Szabadulj meg a mínusztól. Hogyan? Igen, ahogy az előző témában tanítottuk! A teljes egyenletet meg kell szoroznunk -1-gyel. Kapunk:

De most nyugodtan felírhatod a gyökképletet, kiszámolhatod a diszkriminánst és befejezheted a példa megoldását. Döntsd el magad.

Most már 2-es és -1-es gyökerekkel kell rendelkeznie. Fogadás második. Ellenőrizze a gyökereket! Vieta tétele szerint. Ne félj, mindent elmagyarázok! Ellenőrzés utolsó egyenlet. Azok. amelyikkel a gyökképletet felírtuk. Ha (mint ebben a példában) az együttható a = 1 , a gyökerek ellenőrzése egyszerű. Elég megsokszorozni őket. Az eredmény egy ingyenes tag legyen, pl. esetünkben -2. Figyelem, nem 2, hanem -2! Ingyenes tag a jeleddel

. Ha nem sikerül, az azt jelenti, hogy már elcsesztek valahol. Keresse meg a hibát. b Ha működik, hozzá kell adni a gyökereket. Utolsó és utolsó ellenőrzés. Az együttható legyen Vel szemben b ismerős. Esetünkben -1+2 = +1. Egy együttható
Kár, hogy ez csak olyan példák esetében ilyen egyszerű, ahol az x négyzet tiszta, együtthatóval a = 1. De legalább ellenőrizze az ilyen egyenleteket! Egyre kevesebb lesz a hiba.

Fogadás harmadik . Ha az egyenletednek törtegyütthatói vannak, szabadulj meg a törtektől! Szorozza meg az egyenletet egy közös nevezővel a „Hogyan oldjunk meg egyenleteket? Identitástranszformációk” című leckében leírtak szerint. Törtekkel való munka közben valamilyen oknál fogva folyamatosan jönnek a hibák...

Egyébként megígértem, hogy leegyszerűsítem a gonosz példát egy rakás mínuszokkal. Kérem! Itt van.

Annak érdekében, hogy ne keveredjünk össze a mínuszokkal, megszorozzuk az egyenletet -1-gyel. Kapunk:

Ennyi! A megoldás öröm!

Szóval, foglaljuk össze a témát.

Gyakorlati tippek:

1. Megoldás előtt a másodfokú egyenletet szabványos formára hozzuk és megépítjük Jobbra.

2. Ha az X négyzet előtt negatív együttható van, akkor azt úgy szűrjük ki, hogy a teljes egyenletet -1-gyel megszorozzuk.

3. Ha az együtthatók törtek, akkor a törteket úgy távolítjuk el, hogy a teljes egyenletet megszorozzuk a megfelelő tényezővel.

4. Ha x négyzet tiszta, együtthatója eggyel egyenlő, a megoldás könnyen ellenőrizhető Vieta tételével. Tedd meg!

Most dönthetünk.)

Egyenletek megoldása:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Válaszok (rendetlenségben):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - tetszőleges szám

x 1 = -3
x 2 = 3

nincsenek megoldások

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Minden passzol? Nagy! A másodfokú egyenletek nem okoznak fejfájást. Az első három működött, de a többi nem? Akkor nem a másodfokú egyenletekkel van a probléma. A probléma az egyenletek azonos transzformációiban van. Nézd meg a linket, hasznos.

Nem egészen megy? Vagy egyáltalán nem megy? Akkor az 555. szakasz segít Önnek ezek a példák. Megjelenítve fő- hibák a megoldásban. Természetesen szó esik az azonos transzformációk használatáról is különböző egyenletek megoldása során. Sokat segít!

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Belépő szint

Másodfokú egyenletek. Átfogó útmutató (2019)

A „másodfokú egyenlet” kifejezésben a kulcsszó a „másodfokú”. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek szükségszerűen tartalmaznia kell egy változót (ugyanazt az x-et) négyzetesen, és nem lehetnek x-ek a harmadik (vagy nagyobb) hatványhoz.

Sok egyenlet megoldása másodfokú egyenletek megoldásán múlik.

Tanuljuk meg meghatározni, hogy ez egy másodfokú egyenlet, és nem valami más egyenlet.

1. példa

Szabaduljunk meg a nevezőtől, és szorozzuk meg az egyenlet minden tagját ezzel

Vigyünk át mindent a bal oldalra, és rendezzük a kifejezéseket X hatványai szerint csökkenő sorrendbe

Most már bátran kijelenthetjük, hogy ez az egyenlet másodfokú!

2. példa

Szorozzuk meg a bal és a jobb oldalt a következővel:

Ez az egyenlet, bár eredetileg benne volt, nem másodfokú!

3. példa

Szorozzunk meg mindent a következővel:

Ijedős? A negyedik és a második fok... Ha azonban cserét végzünk, látni fogjuk, hogy van egy egyszerű másodfokú egyenletünk:

4. példa

Úgy tűnik, ott van, de nézzük meg közelebbről. Tegyünk mindent a bal oldalra:

Nézze, redukált – és most ez egy egyszerű lineáris egyenlet!

Most próbálja meg eldönteni, hogy az alábbi egyenletek közül melyik másodfokú, és melyik nem:

Példák:

Válaszok:

1. négyzet;
2. négyzet;
3. nem négyzet alakú;
4. nem négyzet alakú;
5. nem négyzet alakú;
6. négyzet;
7. nem négyzet alakú;
8. négyzet.

A matematikusok hagyományosan az összes másodfokú egyenletet a következő típusokra osztják:

• Teljes másodfokú egyenletek- olyan egyenletek, amelyekben az együtthatók és a c szabad tag nem egyenlő nullával (mint a példában). Ezenkívül a teljes másodfokú egyenletek között vannak adott- ezek olyan egyenletek, amelyekben az együttható (az első példa egyenlete nemcsak teljes, hanem redukált is!)

• Hiányos másodfokú egyenletek- olyan egyenletek, amelyekben az együttható és/vagy a c szabad tag egyenlő nullával:

  Hiányosak, mert hiányzik belőlük valamilyen elem. De az egyenletnek mindig X négyzetet kell tartalmaznia!!! Ellenkező esetben ez már nem másodfokú egyenlet lesz, hanem valami más egyenlet.

Miért találtak ki ilyen felosztást? Úgy tűnik, hogy van egy X négyzet, és rendben van. Ezt a felosztást a megoldási módszerek határozzák meg. Nézzük mindegyiket részletesebben.

Hiányos másodfokú egyenletek megoldása

Először is koncentráljunk a hiányos másodfokú egyenletek megoldására – ezek sokkal egyszerűbbek!

A hiányos másodfokú egyenleteknek többféle típusa van:

1. , ebben az egyenletben az együttható egyenlő.
2. , ebben az egyenletben a szabad tag egyenlő.
3. , ebben az egyenletben az együttható és a szabad tag egyenlő.

1. i. Mivel tudjuk, hogyan kell venni a négyzetgyököt, fejezzük ki ebből az egyenletből

A kifejezés lehet negatív vagy pozitív. Egy négyzetszám nem lehet negatív, mert két negatív vagy két pozitív szám szorzásakor mindig pozitív szám lesz az eredmény, tehát: ha, akkor az egyenletnek nincs megoldása.

És ha, akkor két gyökeret kapunk. Ezeket a képleteket nem kell megjegyezni. A lényeg az, hogy tudnod kell, és mindig emlékezned kell arra, hogy nem lehet kevesebb.

Próbáljunk meg néhány példát megoldani.

5. példa:

Oldja meg az egyenletet

Most már csak a gyökér kivonása marad a bal és a jobb oldalról. Végül is emlékszel, hogyan kell kivonni a gyökereket?

Válasz:

Soha ne feledkezz meg a negatív előjelű gyökerekről!!!

6. példa:

Oldja meg az egyenletet

Válasz:

7. példa:

Oldja meg az egyenletet

Ó! Egy szám négyzete nem lehet negatív, ami azt jelenti, hogy az egyenlet

nincsenek gyökerek!

Az ilyen egyenletekhez, amelyeknek nincs gyökere, a matematikusok egy speciális ikont találtak ki - (üres halmaz). A választ pedig így írhatjuk:

Válasz:

Így ennek a másodfokú egyenletnek két gyöke van. Itt nincsenek korlátozások, mivel nem bontottuk ki a gyökeret.
8. példa:

Oldja meg az egyenletet

Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből:

Így,

Ennek az egyenletnek két gyökere van.

Válasz:

A nem teljes másodfokú egyenletek legegyszerűbb típusa (bár mindegyik egyszerű, igaz?). Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van:

Példák nélkül maradunk.

Teljes másodfokú egyenletek megoldása

Emlékeztetünk arra, hogy a teljes másodfokú egyenlet az alakegyenlet egyenlete, ahol

A teljes másodfokú egyenletek megoldása ezeknél kicsit nehezebb (csak egy kicsit).

Emlékezz Bármely másodfokú egyenlet megoldható diszkrimináns segítségével! Méghozzá hiányosan.

A többi módszer segít gyorsabban megtenni, de ha problémái vannak a másodfokú egyenletekkel, először sajátítsa el a megoldást a diszkrimináns segítségével.

1. Másodfokú egyenletek megoldása diszkrimináns segítségével.

A másodfokú egyenletek megoldása ezzel a módszerrel nagyon egyszerű, a lényeg az, hogy emlékezzünk a műveletek sorozatára és néhány képletre.

Ha, akkor az egyenletnek van gyöke. Különös figyelmet kell fordítani a lépésre. A diszkrimináns () az egyenlet gyökeinek számát adja meg.

• Ha, akkor a lépésben szereplő képlet erre csökken. Így az egyenletnek csak gyöke lesz.
• Ha, akkor a lépésnél nem tudjuk kinyerni a diszkrimináns gyökerét. Ez azt jelzi, hogy az egyenletnek nincs gyökere.

Térjünk vissza az egyenletekhez, és nézzünk meg néhány példát.

9. példa:

Oldja meg az egyenletet

1. lépés kihagyjuk.

2. lépés

Megtaláljuk a diszkriminánst:

Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek két gyöke van.

3. lépés

Válasz:

10. példa:

Oldja meg az egyenletet

Az egyenlet szabványos formában kerül bemutatásra, tehát 1. lépés kihagyjuk.

2. lépés

Megtaláljuk a diszkriminánst:

Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek egy gyöke van.

Válasz:

11. példa:

Oldja meg az egyenletet

Az egyenlet szabványos formában kerül bemutatásra, tehát 1. lépés kihagyjuk.

2. lépés

Megtaláljuk a diszkriminánst:

Ez azt jelenti, hogy nem tudjuk kivonni a diszkrimináns gyökerét. Az egyenletnek nincsenek gyökerei.

Most már tudjuk, hogyan kell helyesen leírni az ilyen válaszokat.

Válasz: nincsenek gyökerei

2. Másodfokú egyenletek megoldása Vieta tételével.

Ha emlékszel, van egyfajta egyenlet, amelyet redukáltnak neveznek (amikor az a együttható egyenlő:

Az ilyen egyenleteket nagyon könnyű megoldani Vieta tételével:

Gyökerek összege adott másodfokú egyenlet egyenlő, és a gyökök szorzata egyenlő.

12. példa:

Oldja meg az egyenletet

Ez az egyenlet megoldható Vieta tételével, mert .

Az egyenlet gyökeinek összege egyenlő, azaz. megkapjuk az első egyenletet:

És a termék egyenlő:

Állítsuk össze és oldjuk meg a rendszert:

• És. Az összeg egyenlő;
• És. Az összeg egyenlő;
• És. Az összeg egyenlő.

és ezek a megoldások a rendszerre:

Válasz: ; .

13. példa:

Oldja meg az egyenletet

Válasz:

14. példa:

Oldja meg az egyenletet

Az egyenlet adott, ami azt jelenti:

Válasz:

QUADRATE EGYENLETEK. KÖZÉPSZINT

Mi az a másodfokú egyenlet?

Más szavakkal, a másodfokú egyenlet olyan alakú egyenlete, ahol - az ismeretlen, - néhány szám, és.

A számot a legmagasabb ill első együttható másodfokú egyenlet, - második együttható, A - ingyenes tag.

Miért? Mert ha az egyenlet azonnal lineárissá válik, mert el fog tűnni.

Ebben az esetben és egyenlő lehet nullával. Ebben a székben az egyenletet hiányosnak nevezik. Ha az összes kifejezés a helyén van, akkor az egyenlet teljes.

Megoldások különböző típusú másodfokú egyenletekre

Nem teljes másodfokú egyenletek megoldási módszerei:

Először is nézzük meg a hiányos másodfokú egyenletek megoldásának módszereit – ezek egyszerűbbek.

A következő típusú egyenleteket különböztethetjük meg:

I., ebben az egyenletben az együttható és a szabad tag egyenlő.

II. , ebben az egyenletben az együttható egyenlő.

III. , ebben az egyenletben a szabad tag egyenlő.

Most pedig nézzük meg az egyes altípusok megoldását.

Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van:

A négyzetes szám nem lehet negatív, mert ha két negatív vagy két pozitív számot megszorozunk, az eredmény mindig pozitív szám lesz. Ezért:

ha, akkor az egyenletnek nincsenek megoldásai;

ha két gyökerünk van

Ezeket a képleteket nem kell megjegyezni. A legfontosabb, hogy ne feledje, hogy nem lehet kevesebb.

Példák:

Megoldások:

Válasz:

Soha ne feledkezz meg a negatív előjelű gyökerekről!

Egy szám négyzete nem lehet negatív, ami azt jelenti, hogy az egyenlet

nincsenek gyökerei.

Ahhoz, hogy röviden leírjuk, hogy egy problémának nincs megoldása, használjuk az üres készlet ikont.

Válasz:

Tehát ennek az egyenletnek két gyökere van: és.

Válasz:

Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből:

A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek van megoldása, ha:

Tehát ennek a másodfokú egyenletnek két gyökere van: és.

Példa:

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Tekintsük az egyenlet bal oldalát, és keressük meg a gyökereket:

Válasz:

Teljes másodfokú egyenletek megoldási módszerei:

1. Diszkrimináns

A másodfokú egyenletek megoldása így egyszerű, a lényeg az, hogy emlékezzünk a műveletek sorrendjére és néhány képletre. Ne feledje, hogy bármilyen másodfokú egyenlet megoldható diszkrimináns segítségével! Méghozzá hiányosan.

Észrevetted a gyökeret a diszkriminánsból a gyökérképletben? De a megkülönböztető lehet negatív is. Mit tegyek? Különös figyelmet kell fordítanunk a 2. lépésre. A diszkrimináns megmondja az egyenlet gyökeinek számát.

• Ha, akkor az egyenletnek gyökerei vannak:
• Ha, akkor az egyenletnek ugyanazok a gyökerei, sőt, egy gyöke:

  Az ilyen gyökereket kettős gyökérnek nevezzük.

• Ha, akkor a diszkrimináns gyökerét nem nyerjük ki. Ez azt jelzi, hogy az egyenletnek nincs gyökere.

Miért lehetséges a különböző számú gyökér? Térjünk rá a másodfokú egyenlet geometriai jelentésére. A függvény grafikonja egy parabola:

Egy speciális esetben, ami egy másodfokú egyenlet, . Ez azt jelenti, hogy a másodfokú egyenlet gyökerei az abszcissza tengellyel (tengellyel) való metszéspontok. Egy parabola egyáltalán nem metszi a tengelyt, vagy egy (ha a parabola csúcsa a tengelyen van) vagy két pontban metszi azt.

Ezenkívül az együttható felelős a parabola ágainak irányáért. Ha, akkor a parabola ágai felfelé, és ha, akkor lefelé irányulnak.

Példák:

Megoldások:

Válasz:

Válasz: .

Válasz:

Ez azt jelenti, hogy nincsenek megoldások.

Válasz: .

2. Vieta tétele

A Vieta-tétel használata nagyon egyszerű: csak olyan számpárt kell választani, amelynek szorzata egyenlő az egyenlet szabad tagjával, és az összeg egyenlő az ellenkező előjellel vett második együtthatóval.

Fontos megjegyezni, hogy Vieta tétele csakis alkalmazható redukált másodfokú egyenletek ().

Nézzünk néhány példát:

1. példa:

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Ez az egyenlet megoldható Vieta tételével, mert . Egyéb együtthatók: ; .

Az egyenlet gyökeinek összege:

És a termék egyenlő:

Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek szorzata egyenlő, és ellenőrizzük, hogy összegük egyenlő-e:

• És. Az összeg egyenlő;
• És. Az összeg egyenlő;
• És. Az összeg egyenlő.

és ezek a megoldások a rendszerre:

Így és ezek az egyenletünk gyökerei.

Válasz: ; .

2. példa:

Megoldás:

Válasszunk ki a szorzatban szereplő számpárokat, majd ellenőrizzük, hogy összegük egyenlő-e:

és: összesen adnak.

és: összesen adnak. Megszerzéséhez elegendő egyszerűen megváltoztatni a feltételezett gyökerek jeleit: és végül is a terméket.

Válasz:

3. példa:

Megoldás:

Az egyenlet szabad tagja negatív, ezért a gyökök szorzata negatív szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyik gyökér negatív, a másik pozitív. Ezért a gyökök összege egyenlő moduljaik különbségei.

Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek megadják a szorzatot, és amelyek különbsége egyenlő:

és: különbségük egyenlő - nem illik;

és: - nem alkalmas;

és: - nem alkalmas;

és: - alkalmas. Csak emlékezni kell arra, hogy az egyik gyökér negatív. Mivel összegüknek egyenlőnek kell lennie, a kisebb modulusú gyöknek negatívnak kell lennie: . Ellenőrizzük:

Válasz:

4. példa:

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Az egyenlet adott, ami azt jelenti:

A szabad tag negatív, ezért a gyökök szorzata negatív. Ez pedig csak akkor lehetséges, ha az egyenlet egyik gyöke negatív, a másik pedig pozitív.

Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek szorzata egyenlő, majd határozzuk meg, hogy melyik gyöknek legyen negatív előjele:

Nyilvánvalóan csak a gyökerek alkalmasak az első feltételre:

Válasz:

5. példa:

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Az egyenlet adott, ami azt jelenti:

A gyökök összege negatív, ami azt jelenti, hogy legalább az egyik gyökér negatív. De mivel a termékük pozitív, ez azt jelenti, hogy mindkét gyökérnek mínusz jele van.

Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek szorzata egyenlő:

Nyilvánvaló, hogy a gyökerek a számok és.

Válasz:

Egyetértek, nagyon kényelmes szóban kitalálni a gyökereket, ahelyett, hogy ezt a csúnya megkülönböztetőt számolnánk. Próbálja meg minél gyakrabban használni Vieta tételét.

De Vieta tételére azért van szükség, hogy megkönnyítsük és felgyorsítsuk a gyökerek megtalálását. Ahhoz, hogy hasznot húzzon a használatából, a műveleteket automatizálni kell. És ehhez oldj meg még öt példát. De ne csalj: nem használhatsz megkülönböztetőt! Csak Vieta tétele:

Az önálló munkavégzés feladatainak megoldásai:

1. feladat ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta tétele szerint:

A válogatást szokás szerint a darabbal kezdjük:

Nem alkalmas, mert az összeg;

: az összeg pont annyi, amennyire szüksége van.

Válasz: ; .

2. feladat.

És ismét a kedvenc Vieta-tételünk: az összegnek egyenlőnek kell lennie, és a szorzatnak egyenlőnek kell lennie.

De mivel nem kell, hanem, megváltoztatjuk a gyökök jeleit: és (összesen).

Válasz: ; .

3. feladat.

Hmm... Hol van az?

Az összes kifejezést egyetlen részbe kell helyeznie:

A gyökerek összege egyenlő a szorzattal.

Oké, állj! Az egyenlet nincs megadva. De Vieta tétele csak az adott egyenletekben alkalmazható. Tehát először meg kell adni egy egyenletet. Ha nem tudsz vezetni, add fel ezt az ötletet, és oldd meg más módon (például diszkrimináns segítségével). Hadd emlékeztesselek arra, hogy másodfokú egyenlet megadása azt jelenti, hogy a vezető együtthatót egyenlővé kell tenni:

Nagy. Ekkor a gyökök összege egyenlő és a szorzat.

Itt olyan egyszerű a választás, mint a körte héjánál: végül is prímszámról van szó (elnézést a tautológiáért).

Válasz: ; .

4. feladat.

Az ingyenes tag negatív. Mi ebben a különleges? És az a tény, hogy a gyökereknek különböző jelei lesznek. És most a kiválasztás során nem a gyökök összegét, hanem a moduljaik különbségét ellenőrizzük: ez a különbség egyenlő, de szorzat.

Tehát a gyökerek egyenlőek és -vel, de az egyik mínusz. Vieta tétele azt mondja, hogy a gyökök összege egyenlő a második, ellenkező előjelű együtthatóval, azaz. Ez azt jelenti, hogy a kisebb gyökérnek mínusza lesz: és, mivel.

Válasz: ; .

5. feladat.

Mit kell először csinálni? Így van, adja meg az egyenletet:

Ismét: kiválasztjuk a szám tényezőit, és különbségük egyenlő legyen:

A gyökerek egyenlőek és -vel, de az egyik mínusz. Melyik? Összegüknek egyenlőnek kell lennie, ami azt jelenti, hogy a mínusznak nagyobb gyöke lesz.

Válasz: ; .

Hadd foglaljam össze:

1. Vieta tétele csak a megadott másodfokú egyenletekben használatos.
2. Vieta tételét használva kiválasztással, szóban megtalálhatja a gyökereket.
3. Ha az egyenlet nincs megadva, vagy nem található a szabad tag megfelelő tényezőpárja, akkor nincsenek egész gyökök, és ezt más módon kell megoldani (például diszkrimináns segítségével).

3. A teljes négyzet kiválasztásának módja

Ha az összes ismeretlent tartalmazó tagot rövidített szorzóképletekből származó tagok formájában ábrázoljuk - az összeg vagy a különbség négyzete -, akkor a változók cseréje után az egyenlet egy ilyen típusú hiányos másodfokú egyenlet formájában is bemutatható.

Például:

1. példa:

Oldja meg az egyenletet: .

Megoldás:

Válasz:

2. példa:

Oldja meg az egyenletet: .

Megoldás:

Válasz:

Általában az átalakítás így fog kinézni:

Ebből következik: .

Nem emlékeztet semmire? Ez diszkriminatív dolog! Pontosan így kaptuk a diszkriminancia képletet.

QUADRATE EGYENLETEK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Másodfokú egyenlet- ez egy olyan alakú egyenlet, ahol - az ismeretlen, - a másodfokú egyenlet együtthatói, - a szabad tag.

Teljes másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együtthatók nem egyenlőek nullával.

Csökkentett másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együttható, azaz: .

Hiányos másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együttható és/vagy a c szabad tag egyenlő nullával:

• ha az együttható, az egyenlet így néz ki: ,
• ha van szabad tag, akkor az egyenletnek a következő alakja van: ,
• ha és, az egyenlet így néz ki: .

1. Algoritmus hiányos másodfokú egyenletek megoldására

1.1. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:

1) Fejezzük ki az ismeretlent: ,

2) Ellenőrizze a kifejezés jelét:

• ha, akkor az egyenletnek nincs megoldása,
• ha, akkor az egyenletnek két gyöke van.

1.2. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:

1) Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelből: ,

2) A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Ezért az egyenletnek két gyökere van:

1.3. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:

Ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van: .

2. Algoritmus hol alakú teljes másodfokú egyenletek megoldására

2.1. Megoldás diszkrimináns használatával

1) Tegyük szabványos alakba az egyenletet: ,

2) Számítsuk ki a diszkriminánst a következő képlettel: , amely az egyenlet gyökeinek számát jelzi:

3) Keresse meg az egyenlet gyökereit:

• ha, akkor az egyenletnek gyökei vannak, amelyeket a következő képlettel találunk meg:
• ha, akkor az egyenletnek van gyöke, amelyet a következő képlettel találunk meg:
• ha, akkor az egyenletnek nincs gyöke.

2.2. Megoldás Vieta tételével

A redukált másodfokú egyenlet (ahol az alak egyenlete) gyökeinek összege egyenlő, a gyökök szorzata pedig egyenlő, azaz. , A.

2.3. Megoldás a teljes négyzet kiválasztásának módszerével

Ha az alak másodfokú egyenletének vannak gyökei, akkor a következő formában írható fel: .

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Minek?

Az egységes államvizsga sikeres letételéért, költségvetésből főiskolára való felvételért, és ami a LEGFONTOSABB, egy életre.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldottad meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövetsz egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz időd.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben - 299 dörzsölje.
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - 499 dörzsölje.

Igen, a tankönyvünkben 99 ilyen cikk található, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.

És befejezésül...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!