s x =(1.11)

A továbbiakban megvizsgálunk egy megfigyelhető valószínűségi változó tanulmányozásának fontos problémáját. Legyen néhány minta (jelöljük S) valószínűségi változó X. Ismeretlen értékeket kell becsülni a meglévő mintából. m xÉs .

A különféle paraméterek becslésének elmélete jelentős helyet foglal el a matematikai statisztikában. Ezért először nézzük meg az általános problémát. Legyen szükséges valamilyen paraméter becslése a minta alapján S. Minden ilyen értékelés a* valami funkció a*=a*(S) mintaértékekből. A mintaértékek véletlenszerűek, ezért maga a becslés a* egy valószínűségi változó. Sok különböző becslés (azaz függvény) készíthető a*, de ugyanakkor kívánatos egy bizonyos értelemben „jó” vagy akár „legjobb” értékelés. Általában a következő három természetes követelményt támasztják az értékelésekkel szemben.

1. Kitelepítetlen. Az értékelés matematikai elvárása a* meg kell egyeznie a paraméter pontos értékével: M = a. Más szóval a pontszám a* nem lehet szisztematikus hiba.

2. Gazdagság. A minta méretének végtelen növekedésével a becslés a* pontos értékhez kell konvergálnia, azaz a megfigyelések számának növekedésével a becslési hiba nullára hajlik.

3. Hatékonyság. Fokozat a* Akkor mondjuk hatékonynak, ha elfogulatlan és a lehető legkisebb hibavarianciával rendelkezik. Ebben az esetben a becslések terjedése minimális a* a pontos értékhez képest és a becslés bizonyos értelemben „a legpontosabb”.

Sajnos nem mindig lehet olyan értékelést készíteni, amely mindhárom követelménynek egyszerre megfelel.

A matematikai várakozás becsléséhez leggyakrabban becslést használnak.

= , (1.12)

vagyis a minta számtani átlaga. Ha a valószínűségi változó X véges m xÉs s x, akkor az (1.12) becslés nem torz és konzisztens. Ez a becslés például akkor hatásos, ha X rendelkezik normál eloszlás(1.4. ábra, 1. függelék). Más disztribúciók esetében előfordulhat, hogy nem hatékony. Például egyenletes eloszlás esetén (1.1. ábra, 1. függelék) elfogulatlan, konzisztens becslés lesz

(1.13)

Ugyanakkor a normál eloszlásra vonatkozó becslés (1.13) nem lesz sem konzisztens, sem nem hatékony, sőt a mintaszám növekedésével még romlik is.

Így egy valószínűségi változó minden eloszlási típusára X használja a matematikai elvárás becslését. A mi helyzetünkben azonban az eloszlás típusa csak feltételesen ismert. Ezért az (1.12) becslést fogjuk használni, amely meglehetősen egyszerű, és rendelkezik a torzítatlanság és a konzisztencia legfontosabb tulajdonságaival.

A csoportosított minta matematikai elvárásainak becsléséhez a következő képletet használjuk:

= , (1.14)

amit az előzőből kaphatunk, ha mindent figyelembe vesszük m i a mintaértékeket tartalmazza én-edik intervallum egyenlő a képviselővel z i ezt az intervallumot. Ez a becslés természetesen durvább, de lényegesen kevesebb számítást igényel, különösen nagy mintaméret esetén.

A variancia becslésére leggyakrabban használt becslés a következő:

= , (1.15)

Ez a becslés nem torzított, és bármely valószínűségi változóra érvényes X, amelynek véges pillanatai vannak a negyedik rendig bezárólag.

Csoportosított minta esetén a következő becslést alkalmazzuk:

= (1.16)

Az (1,14) és (1,16) becslések általában torzak és tarthatatlanok, mivel matematikai elvárásaik és határai, amelyekhez közelednek, eltérnek m xés a benne foglalt összes mintaérték cseréje miatt én-edik intervallum, intervallumonként reprezentatív z i.

Vegye figyelembe, hogy nagy n, együttható n/(n – 1) az (1.15) és (1.16) kifejezésekben közel áll az egységhez, ezért elhagyható.

Intervallumbecslések.

Legyen valamelyik paraméter pontos értéke aés a becslését megtalálták mint) minta alapján S. Értékelés a* a numerikus tengely egy pontjának felel meg (1.5. ábra), ezért ezt a becslést nevezzük pont. Az előző bekezdésben tárgyalt valamennyi becslés pontbecslés. Szinte mindig, a véletlennek köszönhetően

a* ¹ a, és csak remélni tudjuk, hogy a lényeg a* van valahol a közelben a. De milyen közel? Minden más pontbecslésnek ugyanaz a hátránya - az eredmény megbízhatóságának mértékének hiánya.

1.5. Pontbecslés paraméter.

E tekintetben konkrétabbak intervallumbecslések. Az intervallum pontszám egy intervallumot jelöl I b = (a , b), amelyben a becsült paraméter pontos értéke adott valószínűséggel megtalálható b. Intervallum Ib hívott konfidencia intervallum, és a valószínűség b hívott megbízhatósági valószínűségés annak tekinthető az értékelés megbízhatósága.

A megbízhatósági intervallum a rendelkezésre álló mintán alapul S, véletlenszerű abban az értelemben, hogy a határai véletlenszerűek mint)És b(S), amit egy (véletlen) mintából fogunk kiszámolni. azért b fennáll annak a lehetősége, hogy a véletlenszerű intervallum Ib nem véletlenszerű pontot fog lefedni a. ábrán. 1.6. intervallum Ib fedte a lényeget a, A Ib*- Nem. Ezért nem teljesen helyes ezt állítani egy " esik" az intervallumba.

Ha megbízhatósági valószínűség b nagy (pl. b = 0,999), akkor szinte mindig a pontos érték a a konstruált intervallumon belül van.

1.6. A paraméter konfidencia intervallumai a különböző mintákhoz.

Tekintsünk egy módszert egy valószínűségi változó matematikai elvárásának konfidenciaintervallumának felépítésére X, alapján központi határérték tétel.

Legyen a valószínűségi változó X ismeretlen matematikai elvárása van m xÉs ismert variancia. Ekkor a centrális határértéktétel alapján a számtani átlag:

= , (1.17)

eredményeket n független tesztek mennyiségeket X egy valószínűségi változó, amelynek teljes eloszlása n, közel a normális eloszláshoz átlaggal m xés szórás. Ezért a valószínűségi változó

(1.18)

figyelembe vehető valószínűségi eloszlása ​​van standard normál eloszlási sűrűséggel j(t), melynek grafikonja az 1.7. ábrán (valamint az 1. függelék 1.4. ábráján) látható.

1.7. ábra. Valószínűségi változó valószínűségi sűrűség-eloszlása t.

Legyen adott a megbízhatósági valószínűség bÉs t b - az egyenletet kielégítő szám

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

Ahol - Laplace függvény. Majd az intervallumba esés valószínűsége (-t b , t b) egyenlő lesz az 1.7. ábra árnyékoltjával. terület, és az (1.19) kifejezés alapján egyenlő b. Ezért

b = P(-t b< < t b) = P( – tb< m x < + t b ) =

= P( – tb< m x < + t b) .(1.20)

Így konfidenciaintervallumnak vehetjük az intervallumot

I b = ( – t b ; + tb ) , (1.21)

mivel az (1.20) kifejezés azt jelenti, hogy az ismeretlen pontos érték m x bent van Ib adott megbízhatósági valószínűséggel b. Építeni Ib szükséges a megadott módon b lelet t b az (1.19) egyenletből. Adjunk meg néhány értéket t b szükséges a jövőben :

t 0,9 = 1,645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.

Az (1.21) kifejezés származtatása során azt feltételeztük, hogy a szórás pontos értéke ismert s x. Ez azonban nem mindig ismert. Használjuk tehát az ő becslését (1.15), és kapjuk meg:

I b = ( – t b ; +tb). (1.22)

Ennek megfelelően a csoportosított minta becslései és az abból nyert adatok a következő képletet adják a konfidenciaintervallumra:

I b = ( – t b ; +tb). (1.23)

A véletlenszerű mintát állítsa elő a megfigyelt ξ valószínűségi változó, a matematikai elvárás és variancia amelyek ismeretlenek. Javasoltuk, hogy ezekre a jellemzőkre a mintaátlagot használják becslésként

és a minta variancia

. (3.14)

Tekintsük a matematikai elvárások és a diszperzió becsléseinek néhány tulajdonságát.

1. Számítsa ki a minta átlagának matematikai elvárását:

Ezért a minta átlaga egy torzítatlan becslés a számára.

2. Emlékezzen arra, hogy az eredményeket A megfigyelések független valószínűségi változók, amelyek mindegyikének ugyanaz az eloszlási törvénye, mint az érték, ami azt jelenti , , . Feltételezzük, hogy a szórás véges. Ekkor a nagy számok törvényéről szóló Csebisev-tétel szerint bármely ε > 0 esetén fennáll az egyenlőség ,

ami így írható: . (3.16) Összehasonlítva (3.16) a konzisztencia tulajdonság (3.11) definíciójával, azt látjuk, hogy a becslés a matematikai várakozás konzisztens becslése.

3. Határozza meg a mintaátlag szórását:

. (3.17)

Így a matematikai várakozási becslés szórása a minta méretével fordított arányban csökken.

Bizonyítható, hogy ha a ξ valószínűségi változó normális eloszlású, akkor a minta átlaga a matematikai elvárás effektív becslése, azaz a variancia legkisebb érték a matematikai várakozás bármely más becsléséhez képest. Más eloszlási törvények esetében ξ ez nem biztos, hogy így van.

A minta variancia a variancia torzított becslése, mert . (3.18)

Valójában a matematikai elvárás és a (3.17) képlet tulajdonságait felhasználva azt találjuk

.

A variancia torzítatlan becsléséhez a (3.14) becslést korrigálni kell, azaz meg kell szorozni -val. Ekkor megkapjuk az elfogulatlan mintavarianciát

. (3.19)

Vegye figyelembe, hogy a (3.14) és (3.19) képletek csak a nevezőben térnek el egymástól, és nagy értékek esetén a minta és a torzítatlan szórások alig térnek el. Kis mintaméret esetén azonban a (3.19) összefüggést kell használni.

Egy valószínűségi változó szórásának becslésére az úgynevezett „korrigált” szórást használjuk, amely egyenlő négyzetgyök torzítatlan varianciából: .

Intervallumbecslések

A statisztikákban két megközelítés létezik az eloszlások ismeretlen paramétereinek becslésére: pont és intervallum. Az előző részben tárgyalt pontbecslésnek megfelelően csak az a pont van feltüntetve, amely körül a becsült paraméter található. Kívánatos azonban tudni, hogy ez a paraméter valójában milyen messze lehet a becslések lehetséges realizálásától a különböző megfigyelési sorozatokban.

Erre a kérdésre – szintén közelítőleg – a választ egy másik paraméterbecslési módszer – intervallum – adja meg. Ezzel a becslési módszerrel találunk egy intervallumot, amely egyhez közeli valószínűséggel lefedi a paraméter ismeretlen számértékét.

Az intervallumbecslés fogalma

Pontbecslés egy valószínűségi változó, és a lehetséges mintamegvalósításokhoz csak megközelítőleg egyenlő értékeket vesz fel a paraméter valódi értékével. Minél kisebb a különbség, annál pontosabb a becslés. Így egy pozitív szám, amelyre , a becslés pontosságát jellemzi és ún becslési hiba (vagy határhiba).

Bizalom valószínűsége(vagy megbízhatóság) valószínűségnek nevezzük β , amellyel az egyenlőtlenség megvalósul , azaz

. (3.20)

Az egyenlőtlenség felváltása ekvivalens kettős egyenlőtlenség , vagy , megkapjuk

Intervallum , valószínûséggel borító β , , ismeretlen paraméter, meghívásra kerül konfidencia intervallum (vagy intervallumbecslés), megfelelő megbízhatósági valószínűség β .

A valószínűségi változó nemcsak becslés, hanem hiba is: értéke a valószínűségtől függ β és általában a mintából. Ezért a konfidenciaintervallum véletlenszerű, és a (3.21) kifejezést a következőképpen kell értelmezni: „Az intervallum valószínűséggel fedi le a paramétert β ”, és nem így: „A paraméter nagy valószínűséggel beleesik az intervallumba β ”.

A konfidenciaintervallum jelentése az, hogy egy mintamennyiség többszöri megismétlésekor az esetek relatív arányában egyenlő β , a konfidenciavalószínűségnek megfelelő konfidencia intervallum β , fedi a becsült paraméter valódi értékét. Így a megbízhatósági valószínűség β jellemzi megbízhatóság bizalomértékelés: annál több β , annál valószínűbb, hogy a konfidenciaintervallum implementációja ismeretlen paramétert tartalmaz.

A matematikai elvárások és variancia becslései.

Megismerkedtünk az eloszlási paraméterek valószínűségszámítási fogalmával. Például a normális eloszlási törvényben, amelyet a valószínűségi sűrűségfüggvény határoz meg

paraméterként szolgálnak A– matematikai elvárás és A– szórás. A Poisson-eloszlásban a paraméter a szám a = pl.

Meghatározás. Egy elméleti eloszlás ismeretlen paraméterének statisztikai becslése annak közelítő értéke, a mintaadatoktól függően(x 1, x 2, x 3,..., xk; n 1, n 2, n 3,..., n k), azaz ezeknek a mennyiségeknek valamilyen függvénye.

Itt x 1, x 2, x 3,..., x k- jellemző értékek, n 1, n 2, n 3,..., n k– a megfelelő frekvenciák. A statisztikai becslés egy valószínűségi változó.

Jelöljük azzal θ a becsült paraméter, és azon keresztül θ * - az övé statisztikai értékelés. Nagyságrend | θ *–θ | hívott értékelési pontosság. Minél kevesebb | θ *–θ |, minél jobb, az ismeretlen paraméter pontosabban definiált.

Pontozni θ * gyakorlati jelentősége volt, nem tartalmazhat szisztematikus hibát, és ugyanakkor a lehető legkisebb szórással rendelkezhet. Ezenkívül a minta méretének növekedésével az önkényesen kis eltérések valószínűsége | θ *–θ | közel kell lennie az 1-hez.

Fogalmazzuk meg a következő definíciókat.

1. A paraméterbecslést torzítatlannak nevezzük, ha a matematikai elvárása M(θ *) egyenlő a becsült θ paraméterrel, azaz

M(θ *) = θ, (1)

és kiszorított, ha

M(θ *) ≠ θ, (2)

2. A θ* becslést konzisztensnek mondjuk, ha bármely δ > 0 esetén

(3)

A (3) egyenlőség így hangzik: becslés θ * valószínűség szerint konvergál θ .

3. Egy θ* becslést akkor nevezünk effektívnek, ha adott n esetén a legkisebb szórása van.

1. tétel.A minta átlaga X B a matematikai elvárás torzítatlan és következetes becslése.

Bizonyíték. Legyen a minta reprezentatív, azaz minden elem lakosság ugyanolyan lehetőségük van a mintába kerülni. Jellemző értékek x 1, x 2, x 3,..., x n független valószínűségi változóknak tekinthetők X 1, X 2, X 3, ..., X n azonos eloszlásokkal és numerikus jellemzőkkel, beleértve az egyenlő matematikai elvárásokat, egyenlő A,

Mivel a mennyiségek mindegyike X 1, X 2, X 3, ..., X p olyan eloszlása ​​van, amely megegyezik a sokaság eloszlásával, akkor M(X)= a. azért

amiből az következik, hogy egy következetes becslés M(X).

Az extrémum kutatásának szabályával bebizonyítható, hogy ez is egy hatékony becslés M(X).

A matematikai elvárás teszteredmények alapján történő becslésének szükségessége akkor jelenik meg problémákban, ha egy kísérlet eredményét egy valószínűségi változóval írjuk le, és ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását tekintjük a vizsgált objektum minőségének mutatójának. A megbízhatóság mutatójaként például felvehető egy rendszer hibamentes működési idejének matematikai elvárása, a termékgyártás hatékonyságának megítélésekor pedig a felhasználható termékek számának matematikai elvárása stb.

A matematikai elvárás becslésének problémáját a következőképpen fogalmazzuk meg. Tegyük fel, hogy az X valószínűségi változó ismeretlen értékének meghatározásához n független és szisztematikus hibáktól mentes mérést kell végezni. X v X 2 ,..., X o. Ki kell választania a matematikai elvárás legjobb becslését.

A gyakorlatban a matematikai elvárás legjobb és legáltalánosabb becslése a teszteredmények számtani átlaga

is hívják statisztikai vagy minta átlag.

Mutassuk meg, hogy a becslés t x megfelel bármely paraméter értékeléséhez szükséges összes követelménynek.

1. Az (5.10) kifejezésből az következik

azaz értékelés t" x- elfogulatlan becslés.

2. Csebisev tétele szerint a teszteredmények számtani átlaga valószínűségben konvergál a matematikai elváráshoz, azaz.

Következésképpen az (5.10) becslés a matematikai várakozás következetes becslése.

3. Becslési variancia t x, egyenlő

A minta méretének növekedésével n korlátlanul csökken. Bebizonyosodott, hogy ha egy X valószínűségi változóra vonatkozik a normális eloszlási törvény, akkor bármelyikre n szórás (5.11) minimális lesz, és a becslés t x- a matematikai elvárás hatékony becslése. A becslés szórásának ismerete lehetővé teszi a matematikai elvárás ismeretlen értékének e becslés segítségével történő meghatározásának pontosságát illetően.

A számtani átlagot a matematikai elvárás becsléseként használjuk, ha a mérési eredmények ugyanolyan pontosak (D szórás, én = 1, 2, ..., n minden dimenzióban ugyanaz). A gyakorlatban azonban meg kell küzdeni olyan problémákkal, amelyekben a mérési eredmények nem egyenlőek (például a tesztelés során különböző műszerekkel végeznek méréseket). Ebben az esetben a matematikai elvárás becslésének formája van

Ahol - a z-edik méret súlya.

Az (5.12) képletben minden mérés eredménye a saját súlyával együtt szerepel VEL.. Ezért a mérési eredmények értékelése t x hívott súlyozott átlag.

Kimutatható, hogy a becslés (5.12) a matematikai elvárás torzítatlan, konzisztens és hatékony becslése. A becslés minimális szórását a

Számítógépen végzett modellekkel végzett kísérletek során hasonló problémák merülnek fel, ha több tesztsorozat eredményeiből becsléseket találunk, és az egyes sorozatokban eltérő a tesztek száma. Például két tesztsorozatot végeztek egy kötettel n 1és p 2, amelyek eredményei alapján becsléseket kaptunk T xi és t x_. A matematikai elvárás meghatározásának pontosságának és megbízhatóságának növelése érdekében ezen tesztsorozatok eredményeit kombinálják. Ehhez használja az (5.12) kifejezést.

A C együtthatók számításakor a D varianciák helyett az egyes sorozatok vizsgálati eredményeiből kapott becsléseiket helyettesítjük.

Hasonló megközelítést alkalmaznak egy véletlenszerű esemény bekövetkezésének valószínűségének meghatározásakor egy tesztsorozat eredményei alapján.

Az X valószínűségi változó matematikai elvárásainak becsléséhez a mintaátlagon kívül más statisztikák is használhatók. A tagokat leggyakrabban erre a célra használják. variációs sorozat, azaz a becslések alapjául szolgáló ordinális statisztika,

megfelelnek a fő követelményeknek, nevezetesen a következetességnek és az elfogulatlanságnak.

Tegyük fel, hogy a variációs sorozat tartalmaz n = 2k tagjai. Ekkor bármelyik átlagot fel lehet venni a matematikai elvárás becsléseként:

Egy időben k-eátlagos

nem más, mint az X valószínűségi változó eloszlásának statisztikai mediánja, mivel nyilvánvaló az egyenlőség

A statisztikai medián előnye, hogy mentes az anomális megfigyelési eredmények befolyásától, ami elkerülhetetlen az első átlag, azaz a legkisebb és legnagyobb számú variációs sorozat átlaga esetén.

Páratlan mintamérethez n = 2k- 1 statisztikai medián a középső eleme, azaz. To variációs sorozat tagja Én = x k.

Vannak olyan eloszlások, amelyeknél a számtani átlag nem hatékony becslése a matematikai elvárásoknak, ilyen például a Laplace-eloszlás. Kimutatható, hogy a Laplace-eloszlás esetén a matematikai elvárás hatékony becslése a minta mediánja.

Bebizonyosodott, hogy ha az X valószínűségi változó normális eloszlású, akkor kellően nagy mintaméret mellett a statisztikai medián eloszlási törvénye numerikus jellemzőkkel közeli a normálishoz.

Az (5.11) és (5.14) képletek összehasonlításából az következik, hogy a statisztikai medián szórása 1,57-szer nagyobb, mint a számtani átlag szórása. Következésképpen a számtani átlag a matematikai elvárás becsléseként annyiszor hatékonyabb, mint a statisztikai medián. A számítások egyszerűsége és az anomális mérési eredményekkel szembeni érzéketlenség (a minta „szennyeződése”) miatt azonban a gyakorlatban a statisztikai mediánt mégis a matematikai várakozás becsléseként használják.

Megjegyzendő, hogy folytonos szimmetrikus eloszlások esetén a matematikai elvárás és a medián megegyezik. Ezért a statisztikai medián csak akkor szolgálhat jó becslésként a matematikai várakozásra, ha a valószínűségi változó eloszlása ​​szimmetrikus.

Aszimmetrikus eloszlások esetén a statisztikai medián Nekem jelentős torzítással rendelkezik a matematikai elváráshoz képest, ezért értékelésére alkalmatlan.