Bernoulli-séma. Példák problémamegoldásra

1

1. Bogolyubov A.N. Matematika. Mechanika: életrajzi útmutató. - Kijev: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. A mezőgazdasági egyetemek közgazdasági szakos hallgatói által tanulmányozott matematikai tudományágak szekcióinak prioritásának elemzése és értékelése // A sztavropoli APK közleménye. - 2013. - 1. szám (9). - P. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Pályázati kilátások matematikai módszerek a gazdaságkutatásban // Agrártudomány, kreativitás, növekedés. - 2013. - S. 255-257.

A matematikában elég gyakran vannak olyan problémák, amelyekben vannak nagyszámú ugyanazon állapot, teszt vagy kísérlet megismétlése. Az egyes tesztek eredményét az előzőtől teljesen eltérő eredménynek tekintjük. Az eredmények függősége szintén nem figyelhető meg. Teszt eredményeként az elemi következmények több lehetősége különböztethető meg: egy esemény bekövetkezése (A), vagy az A-t kiegészítő esemény bekövetkezése.

Ezután próbáljuk meg feltételezni, hogy a Р(А) esemény bekövetkezésének valószínűsége szabályos és egyenlő р (0<р<1).

Ilyen kihívás lehet például számos feladat, mint például egy érme feldobása, fekete-fehér golyók kinyerése egy sötét zacskóból, vagy fekete-fehér nyulak szülése.

Az ilyen kísérletet ismételt független tesztkonfigurációnak vagy Bernoulli-sémának nevezik.

Jacob Bernoulli gyógyszerész családban született. Az apa megpróbálta fiát az orvosi pályára oktatni, de J. Bernoulli magától érdeklődött a matematika iránt, később ez lett a hivatása. Különféle trófeákat birtokol a valószínűség- és számelmélet, a sorozatok és a differenciálszámítás témakörében. Miután tanulmányozta a valószínűség elméletét Huygens egyik művéből, a „Számításokról a szerencsejátékban” című művéből, Jacob érdeklődni kezdett ez iránt. Ebben a könyvben még a „valószínűség” fogalmának sem volt egyértelmű meghatározása. J. Bernoulli volt az, aki a valószínűségszámítás legtöbb modern fogalmát bevezette a matematikába. Bernoulli volt az első, aki kifejtette saját változatát a nagy számok törvényéről. Jacob nevét különféle művek, tételek és sémák hordozzák: „Bernoulli-számok”, „Bernoulli-polinom”, „Bernoulli-differenciálegyenlet”, „Bernoulli-eloszlás” és „Bernoulli-egyenlet”.

Térjünk vissza az ismétléshez. Mint fentebb már említettük, a különböző tesztek eredményeként két kimenetel lehetséges: vagy megjelenik az A esemény, vagy ennek az eseménynek az ellenkezője. Maga a Bernoulli-séma a tipikus szabad kísérletek n-edik számának előállítását jelöli, és ezekben a kísérletekben mindegyikben megjelenhet az az A esemény, amelyre szükségünk van (ennek az eseménynek a valószínűsége ismert: P (A) \u003d p), a Az A eseménnyel ellentétes esemény valószínűségét q \u003d P ( A)=1-p jelzi. Meg kell határozni annak valószínűségét, hogy egy ismeretlen szám tesztelésekor az A esemény pontosan k alkalommal fog bekövetkezni.

Fontos megjegyezni, hogy a Bernoulli-séma segítségével megoldandó problémák fő feltétele az állandóság. Enélkül a séma értelmét veszti.

Ez a séma különféle bonyolultságú problémák megoldására használható: az egyszerűtől (ugyanaz az érme) a bonyolultig (érdeklődés). A Bernoulli-sémát azonban gyakrabban használják olyan problémák megoldására, amelyek a különféle termékek tulajdonságainak ellenőrzéséhez és a különféle mechanizmusokba vetett bizalomhoz kapcsolódnak. Csak a probléma megoldásához, a munka megkezdése előtt minden feltételt és értéket előre ismerni kell.

A valószínűségszámításban nem minden probléma redukálódik a feltételek mellett állandóságra. Még akkor is, ha példának vesszük a fekete-fehér golyókat egy sötét zacskóban: ha egy golyót húzunk, megváltozik a zsákban lévő golyók számának és színének aránya, ami azt jelenti, hogy maga a valószínűség is megváltozott.

Ha azonban a feltételeink állandóak, akkor pontosan meg tudjuk határozni tőlünk annak szükséges valószínűségét, hogy az A esemény pontosan k-szor fog bekövetkezni, mint n lehetséges.

Ezt a tényt Jacob Bernoulli állította össze egy tételbe, amely később az ő neveként vált ismertté. A "Bernoulli-tétel" a valószínűségszámítás egyik fő tétele. Először J. Bernoulli "The Art of Assumptions" című művében tették közzé. Mi ez a tétel? „Ha az A esemény bekövetkezésének p valószínűsége minden próbában állandó, akkor annak Pk,n valószínűsége, hogy az esemény k-szer bekövetkezik n egymástól független kísérletben, egyenlő: , ahol q=1-p .”

A képlet hatékonyságának bizonyítása során feladatok adhatók.

1. feladat:

Tárolási havi n üvegedényből k törik. Véletlenszerűen elvett m dobozt. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek között az üvegek között l nem fog eltörni. n=250, k=10, m=8, l=4.

Megoldás: Van egy Bernoulli-sémánk a következő értékekkel:

p=10/250=0,04 (a bankok szétesésének valószínűsége);

n=8 (kísérletek száma);

k=8-4=4 (törött üvegek száma).

A Bernoulli-képletet használjuk

Kapott:

Válasz: 0,0141

2. feladat:

A hibás termék gyártásának valószínűsége 0,2. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az ebben a gyártóüzemben gyártott 10 termék közül pontosan k-nak kell jó állapotban lennie. Futtassa a megoldást k = 0, 1, 10 esetén.

Érdekel bennünket az A esemény - szervizelhető alkatrészek gyártása, amely óránként egyszer történik p=1-0,2=0,8 valószínűséggel. Meg kell találnunk annak a valószínűségét, hogy az adott esemény k-szer bekövetkezik. Az A esemény ellentétes a „nem A” eseménnyel, azaz. hibás termék gyártása.

Ezért van: n=10; p=0,8; q=0,2.

Ennek eredményeként azt a valószínűséget kapjuk, hogy 10 legyártott termékből minden termék hibás (k=0), hogy egy termék jó állapotban van (k=1), hogy egyáltalán nincs hibás (k=10) :

Végezetül szeretném megjegyezni, hogy a modern időkben sok tudós próbálja bebizonyítani, hogy a "Bernoulli-képlet" nem felel meg a természet törvényeinek, és hogy a problémákat meg lehet oldani anélkül, hogy használatba vennék. Természetesen ez lehetséges, a valószínűségelmélet legtöbb problémája megoldható a Bernoulli-képlet nélkül is, a lényeg, hogy ne keveredjünk össze nagy számokban.

Bibliográfiai link

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. BERNULLI FORMULA A VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLETBEN // International Student Scientific Bulletin. - 2015. - 3-4. sz.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (elérés dátuma: 2019.12.03.). Felhívjuk figyelmüket a Természettudományi Akadémia kiadója által kiadott folyóiratokra.

Ebben a leckében egy esemény bekövetkezésének valószínűségét fogjuk megtalálni független kísérletekben, amikor a kísérleteket megismétlik. . A kísérleteket függetlennek nevezzük, ha az egyes vizsgálatok egyik vagy másik kimenetelének valószínűsége nem függ attól, hogy más vizsgálatok milyen eredményeket értek el. . Független tesztek elvégezhetők azonos feltételek mellett és eltérő körülmények között is. Az első esetben egy esemény bekövetkezésének valószínűsége minden kísérletben azonos, a második esetben pedig kísérletenként változik.

Példák független újratesztekre :

• az egyik eszközcsomópont vagy két vagy három csomópont meghibásodik, és az egyes csomópontok meghibásodása nem függ a másik csomóponttól, és az egyik csomópont meghibásodásának valószínűsége minden tesztben állandó;
• egy bizonyos állandó technológiai körülmények között gyártott alkatrész, vagy három, négy, öt alkatrész nem szabványosnak bizonyul, és egy alkatrész nem szabványosnak bizonyulhat, függetlenül bármely más alkatrésztől, és annak valószínűsége, hogy az alkatrész nem szabványosnak bizonyul, minden tesztben állandó;
• több célba lövésből egy, három vagy négy lövés találja el a célt, függetlenül a többi lövés kimenetelétől, és a cél eltalálásának valószínűsége minden kísérletben állandó;
• az érme behelyezése után a gép egy, két vagy több alkalommal megfelelően fog működni, függetlenül attól, hogy milyen egyéb érmék voltak behelyezve, és annak a valószínűsége, hogy a gép megfelelően fog működni, minden kísérlet során állandó.

Ezek az események egyetlen sémával írhatók le. Minden esemény minden kísérletben azonos valószínűséggel következik be, ami nem változik, ha a korábbi kísérletek eredményei ismertté válnak. Az ilyen teszteket függetlennek, a sémát pedig ún Bernoulli-séma . Feltételezhető, hogy az ilyen tesztek tetszőleges számú alkalommal megismételhetők.

Ha annak a valószínűsége p esemény A minden kísérletben állandó, akkor annak a valószínűsége, hogy in n független tesztesemény A jönni fog m alkalommal, található Bernoulli képlet :

(Ahol q= 1 – p- annak a valószínűsége, hogy az esemény nem következik be)

Állítsuk be a feladatot – keressük meg annak a valószínűségét, hogy egy ilyen típusú esemény bekerül n független tárgyalások jönnek m egyszer.

Bernoulli-képlet: példák a problémamegoldásra

1. példa Határozza meg annak valószínűségét, hogy öt véletlenszerűen kiválasztott rész közül kettő szabványos, ha annak a valószínűsége, hogy mindegyik rész szabványos, 0,9.

Megoldás. Eseményvalószínűség A, amely abból áll, hogy egy véletlenszerűen vett rész szabványos, az p=0,9 , és annak a valószínűsége, hogy nem szabványos q=1–p=0,1. A probléma feltételében jelzett esemény (jellel jelöljük BAN BEN) akkor fordul elő, ha például az első két rész szabványos, a következő három pedig nem szabványos. De az esemény BAN BEN akkor is előfordul, ha az első és a harmadik rész szabványos, a többi pedig nem szabványos, vagy ha a második és ötödik rész szabványos, a többi pedig nem szabványos. Az eseménynek más lehetősége is van. BAN BEN. Bármelyikükre jellemző, hogy az öt felvett részből kettő, az ötből bármelyik helyet elfoglalva, szabványosnak bizonyul. Ezért egy esemény bekövetkezésének különböző lehetőségeinek száma BAN BEN egyenlő a két szabványos rész öt helyen történő elhelyezési lehetőségeinek számával, azaz. egyenlő öt elemből álló kombinációk számával kettővel, és .

Az egyes lehetőségek valószínűsége a valószínűségi szorzási tétel szerint öt tényező szorzatával egyenlő, amelyek közül kettő a standard részek megjelenésének megfelelő 0,9, a maradék három pedig a nem megjelenésének felel meg. -standard alkatrészek, egyenlők 0,1, azaz. ez a valószínűség . Mivel ez a tíz lehetőség összeférhetetlen esemény, az összeadási tétel szerint egy esemény valószínűsége BAN BEN, amit jelölünk

2. példa 0,6 annak a valószínűsége, hogy a gép egy órán belül a dolgozó figyelmét igényli. Feltételezve, hogy a gépek meghibásodásai függetlenek, határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy óra alatt a dolgozó figyelmét az általa szervizelt négy gép bármelyike ​​igényli.

Megoldás. Használata Bernoulli képlete nál nél n=4 , m=1 , p=0,6 és q=1–p=0,4, kapjuk

3. példa Az autóraktár normál működéséhez legalább nyolc autónak kell a vonalon állnia, és ebből tíz van. Annak a valószínűsége, hogy az egyes autók nem lépnek ki a vonalba, 0,1. Határozza meg a depó normál működésének valószínűségét a következő napon.

Megoldás. Az Autobase jól fog működni (esemény F), ha valamelyik vagy nyolc belép a sorba (az esemény A), vagy kilenc (esemény BAN BEN), vagy mind a tíz autó esemény (esemény C). A valószínűségi összeadás tétele szerint

Minden kifejezést megtalálunk a Bernoulli-képlet szerint. Itt n=10 , m=8; 10 és p\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, azóta p annak a valószínűségét kell jelentenie, hogy egy autó belép a sorba; Akkor q=0,1. Ennek eredményeként azt kapjuk

4. példa Legyen 0,25 annak a valószínűsége, hogy egy vásárlónak 41-es méretű férficipőre van szüksége. Határozza meg annak valószínűségét, hogy hat vásárló közül legalább kettőnek 41-es méretű cipőre van szüksége.

Legyen n próba az A eseményre vonatkozóan. Mutassuk be a következő eseményeket: Аk -- А esemény a k-edik teszt során valósult meg, $ k=1,2,\dots , n$. Ekkor $\bar(A)_(k) $ az ellenkező esemény (A esemény nem történt a k-edik próba során, $k=1,2,\dots , n$).

Mik azok a társ- és független vizsgálatok

Meghatározás

A tesztek azonos típusúak az A eseményre vonatkozóan, ha a $A1, A2, \dots , An$ események valószínűsége megegyezik: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (azaz az A esemény bekövetkezésének valószínűsége egy kísérletben minden kísérletben állandó).

Nyilvánvalóan ebben az esetben az ellentétes események valószínűségei is egybeesnek: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.

Meghatározás

A kísérleteket függetlennek nevezzük az A eseményhez képest, ha a $A1, A2, \dots , An$ események függetlenek.

Ebben az esetben

Ebben az esetben az egyenlőség megmarad, ha bármely Ak esemény helyére $\bar(A)_(k) $ kerül.

Végezzünk el egy sor n hasonló független kísérletet az A eseményre vonatkozóan. Viseljük a következő jelölést: p - az A esemény valószínűsége egy tesztben; q az ellenkező esemény valószínűsége. Így P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ bármely k esetén és p+q=1.

Annak valószínűségét, hogy egy n kísérletből álló sorozatban A esemény pontosan k-szor fog bekövetkezni (0 ≤ k ≤ n), a következő képlettel számítjuk ki:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Az (1) egyenlőséget Bernoulli-képletnek nevezzük.

A következő képlettel számítjuk ki annak valószínűségét, hogy n azonos típusú független kísérlet sorozatában az A esemény legalább k1-szer és legfeljebb k2-szer fog bekövetkezni:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

A Bernoulli-képlet alkalmazása nagy n-értékekre nehézkes számításokhoz vezet, ezért ezekben az esetekben jobb más - aszimptotikus - képleteket használni.

A Bernoulli-séma általánosítása

Tekintsük a Bernoulli-séma általánosítását. Ha egy n független kísérlet sorozatában, amelyek mindegyikében m páronként inkompatibilis és lehetséges Ak, megfelelő valószínűséggel Рk= рk(Аk). Ekkor érvényes a polinomiális eloszlási képlet:

1. példa

Az influenza megbetegedésének valószínűsége járvány idején 0,4. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a vállalat 6 alkalmazottja közül megbetegszik

1. pontosan 4 alkalmazott;
2. nem több, mint 4 alkalmazott.

Megoldás. 1) Nyilvánvalóan a probléma megoldására a Bernoulli-képlet alkalmazható, ahol n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0,6. Az (1) képlet alkalmazásával a következőt kapjuk: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \kb. 0.138$.

A probléma megoldására a (2) képlet alkalmazható, ahol k1=0 és k2=4. Nekünk van:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ kb 0.959.) \end(tömb)\]

Megjegyzendő, hogy ezt a feladatot könnyebb megoldani az ellenkező esettel - több mint 4 alkalmazott betegedett meg. Ekkor az ellentétes események valószínűségére vonatkozó (7) képlet figyelembevételével megkapjuk:

Válasz: 0,959 USD.

2. példa

Egy urnában 20 fehér és 10 fekete golyó található. 4 golyót kiveszünk, és minden kivett labdát visszatesszük az urnába, mielőtt a következőt húzzuk, és az urnában lévő golyókat összekeverjük. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a négy kihúzott golyóból 2 fehér golyó lesz az 1. ábrán.

1. kép

Megoldás. Legyen az A esemény -- fehér golyót húznak. Ekkor a $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) valószínűségek $ .

A Bernoulli-képlet szerint a szükséges valószínűség: $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \jobbra)^(2) =\frac(8)(27) $.

Válasz: $\frac(8)(27) $.

3. példa

Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy 5 gyermekes családban legfeljebb 3 lány születik! Feltételezzük, hogy egy fiú és egy lány születésének valószínűsége azonos.

Megoldás. Lány születésének valószínűsége $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-fiú születésének valószínűsége. Egy családban legfeljebb három lány van, ami azt jelenti, hogy vagy egy, kettő, vagy három lány született, vagy az összes fiú a családban.

Mekkora a valószínűsége annak, hogy a családban nincs lány, egy, kettő vagy három lány született: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Ezért a szükséges valószínűség: $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Válasz: $\frac(13)(16)$.

4. példa

Az első lövő egy lövéssel 0,6-os, a kilences 0,3-as, a nyolcast 0,1-es valószínűséggel érheti el a legjobb tízben. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 10 lövéssel tízszer hat, kilencszer háromszor és nyolcszor nyolcszor talál el?

Tekintsük a Binomiális eloszlást, számítsuk ki annak matematikai elvárását, szórást, módusát. Az MS EXCEL BINOM.DIST() függvény segítségével ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt és a valószínűségi sűrűséggráfokat. Becsüljük meg a p eloszlási paramétert, az eloszlás matematikai elvárását és a szórását. Vegye figyelembe a Bernoulli-eloszlást is.

Meghatározás. Hadd tartsák őket n tesztek, amelyek mindegyikében csak 2 esemény fordulhat elő: az esemény "siker" valószínűséggel p vagy az esemény "kudarc" azzal a valószínűséggel q =1-p (az ún Bernoulli-séma,Bernoullipróbatételek).

A pontos megszerzés valószínűsége x siker ezekben n teszt egyenlő:

Sikerek száma a mintában x egy valószínűségi változó, amely rendelkezik Binomiális eloszlás(Angol) Binomiálisterjesztés) pÉs n– ennek az eloszlásnak a paraméterei.

Emlékezzen erre a jelentkezéshez Bernoulli-sémákés ennek megfelelően binomiális eloszlás, a következő feltételeknek kell teljesülniük:

• minden kísérletnek pontosan két eredménnyel kell rendelkeznie, amelyeket feltételesen „sikernek” és „kudarcnak” neveznek.
• az egyes tesztek eredménye nem függhet a korábbi tesztek eredményeitől (tesztfüggetlenség).
• sikerarány p minden vizsgálatnál állandónak kell lennie.

Binomiális eloszlás MS EXCEL-ben

Az MS EXCEL-ben, a 2010-es verziótól kezdődően, for Binomiális eloszlás van egy BINOM.DIST() függvény, angol neve BINOM.DIST(), amely lehetővé teszi annak kiszámítását, hogy a minta pontosan mekkora valószínűségű lesz. x"sikerek" (pl. valószínűségi sűrűségfüggvény p(x), lásd a fenti képletet), és integrál eloszlási függvény(a valószínűsége, hogy a mintában lesz x vagy kevesebb „siker”, beleértve a 0-t).

Az MS EXCEL 2010 előtt az EXCEL-ben volt a BINOMDIST() függvény, amely lehetővé teszi a számításokat is. elosztási függvényÉs valószínűségi sűrűség p(x). A BINOMDIST() a kompatibilitás érdekében megmaradt az MS EXCEL 2010-ben.

A példafájl grafikonokat tartalmaz valószínűségeloszlási sűrűségÉs .

Binomiális eloszlás megnevezéssel rendelkezik B(n; p) .

jegyzet: Építéshez integrál eloszlási függvény tökéletesen illeszkedő diagramtípus Menetrend, Mert eloszlási sűrűség – Hisztogram csoportosítással. Az építési diagramokkal kapcsolatos további információkért olvassa el A diagramok fő típusai című cikket.

jegyzet: A képletek példafájlba való beírásának megkönnyítése érdekében létrehoztuk a paraméterek neveit Binomiális eloszlás: n és p.

A példafájl különböző valószínűségszámításokat mutat be MS EXCEL függvényekkel:

Amint a fenti képen látható, feltételezzük, hogy:

• A végtelen sokaság, amelyből a minta készül, 10% (vagy 0,1) jó elemet (paramétert) tartalmaz p, harmadik függvény argumentum =BINOM.DIST() )
• Annak a valószínűségének kiszámítása, hogy egy 10 elemből álló mintában (paraméter n, a függvény második argumentuma) pontosan 5 érvényes elem lesz (az első argumentum), meg kell írni a képletet: =BINOM.ELOSZTÁS(5; 10; 0,1; HAMIS)
• Az utolsó, negyedik elem értéke = FALSE, azaz. függvény értéke kerül visszaadásra eloszlási sűrűség.

Ha a negyedik argumentum értéke IGAZ, akkor a BINOM.DIST() függvény az értéket adja vissza integrál eloszlási függvény vagy egyszerűen elosztási függvény. Ebben az esetben kiszámíthatja annak valószínűségét, hogy a mintában szereplő jó cikkek száma egy bizonyos tartományba esik, például 2 vagy kevesebb (0-t is beleértve).

Ehhez meg kell írni a képletet:
= BINOM.ELOSZTÁS(2; 10; 0,1; IGAZ)

jegyzet: Nem egész x érték esetén, . Például a következő képletek ugyanazt az értéket adják vissza:
=BINOM.DIST( 2 ; 10; 0,1; IGAZ)
=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0,1; IGAZ)

jegyzet: A példafájlban valószínűségi sűrűségÉs elosztási függvény szintén a definíció és a COMBIN() függvény segítségével számítható ki.

Eloszlási mutatók

BAN BEN példa fájl a lapon Példa vannak képletek egyes eloszlási mutatók kiszámítására:

• =n*p;
• (négyzetes szórás) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*GYÖKÉR(n*p*(1-p)).

Levezetjük a képletet matematikai elvárás Binomiális eloszlás segítségével Bernoulli-séma.

Definíció szerint egy X in. valószínűségi változó Bernoulli-séma(Bernoulli valószínűségi változó) rendelkezik elosztási függvény:

Ezt az eloszlást ún Bernoulli eloszlás.

jegyzet: Bernoulli eloszlás- különleges eset Binomiális eloszlás n=1 paraméterrel.

Generáljunk 3 100 számból álló tömböt különböző siker valószínűségekkel: 0,1; 0,5 és 0,9. Ehhez az ablakban Véletlenszám generálásállítsa be a következő paramétereket minden p valószínűséghez:

jegyzet: Ha beállítja az opciót Véletlenszerű szórás (Véletlenszerű mag), akkor kiválaszthat egy bizonyos véletlenszerű generált számkészletet. Például ennek az opciónak a =25 beállításával ugyanazokat a véletlenszám-készleteket állíthatja elő különböző számítógépeken (ha természetesen a többi eloszlási paraméter megegyezik). Az opció értéke 1 és 32 767 közötti egész számot vehet fel. Opció neve Véletlenszerű szórásösszezavarhat. Jobb lenne így fordítani Állítsa be a számot véletlenszerű számokkal.

Ennek eredményeként 3 100 számból álló oszlopunk lesz, amelyek alapján például meg tudjuk becsülni a siker valószínűségét p képlet szerint: Sikerek száma/100(cm. példa fájllap Bernoulli generálása).

jegyzet: Mert Bernoulli-eloszlások p=0,5 esetén használhatja a =RANDBETWEEN(0;1) képletet, amely megfelel a -nak.

Véletlenszám generálás. Binomiális eloszlás

Tegyük fel, hogy 7 hibás elem van a mintában. Ez azt jelenti, hogy "nagyon valószínű", hogy a hibás termékek aránya megváltozott. p, ami gyártási folyamatunk jellemzője. Bár ez a helyzet „nagyon valószínű”, fennáll annak a lehetősége (alfa kockázat, 1-es típusú hiba, „téves riasztás”), p változatlan maradt, a hibás termékek számának növekedése pedig a véletlenszerű mintavételnek köszönhető.

Amint az az alábbi ábrán látható, 7 a hibás termékek száma, amely elfogadható egy olyan folyamathoz, ahol p=0,21 azonos érték mellett Alpha. Ez azt szemlélteti, hogy ha egy mintában túllépik a hibás tételek küszöbértékét, p„valószínűleg” nőtt. A "legvalószínűbb" kifejezés azt jelenti, hogy csak 10% az esélye (100%-90%) annak, hogy a hibás termékek százalékos küszöbérték feletti eltérése csak véletlen okokra vezethető vissza.

Így a mintában lévő hibás termékek küszöbszámának túllépése azt jelezheti, hogy a folyamat felborult és b O nagyobb arányban a hibás termékek.

jegyzet: Az MS EXCEL 2010 előtt az EXCEL-nek volt egy CRITBINOM() függvénye, amely egyenértékű a BINOM.INV() függvényrel. A CRITBINOM() megmarad az MS EXCEL 2010-ben és újabb verziókban a kompatibilitás érdekében.

A binomiális eloszlás kapcsolata más eloszlásokkal

Ha a paraméter n Binomiális eloszlás a végtelenbe hajlik és p 0-ra hajlik, akkor ebben az esetben Binomiális eloszlás közelíthető.
Lehetőség van feltételek megfogalmazására, amikor a közelítés Poisson-eloszlás jól működik:

• p<0,1 (a kevesebb pés több n, annál pontosabb a közelítés);
• p>0,9 (tekintve, hogy q=1- p, a számításokat ebben az esetben a használatával kell elvégezni q(A x-re kell cserélni n- x). Ezért minél kevesebb qés több n, annál pontosabb a közelítés).

0,1-nél<=p<=0,9 и n*p>10 Binomiális eloszlás közelíthető.

viszont Binomiális eloszlás jó közelítésként szolgálhat, ha a populáció mérete N Hipergeometrikus eloszlás sokkal nagyobb, mint az n mintaméret (azaz N>>n vagy n/N<<1).

A fenti eloszlások kapcsolatáról a cikkben olvashat bővebben. Közelítési példák is szerepelnek ott, és elmagyarázzák a feltételeket, mikor lehetséges és milyen pontossággal.

TANÁCS: Az MS EXCEL egyéb disztribúcióiról a cikkben olvashat.

n kísérletet végeznek a Bernoulli-séma szerint p. Legyen X a sikerek száma. Az X valószínűségi változó tartománya (0,1,2,...,n). Ezeknek az értékeknek a valószínűségét a következő képlet határozza meg: , ahol C m n az n-től m-ig terjedő kombinációk száma.
A disztribúciós sorozat alakja a következő:

x	0	1	...	m	n
p	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	p n

Ezt az eloszlási törvényt binomiálisnak nevezzük.

Szolgálati megbízás. Az ábrázoláshoz online számológépet használnak binomiális eloszlási sorozatés a sorozat összes jellemzőjének kiszámítása: matematikai elvárás, szórás és szórás. A határozatot tartalmazó jegyzőkönyv Word formátumban készül (példa).

Próbák száma: n= , Valószínűség p =
Kis p valószínűséggel és nagy n számmal (np Poisson-képlet.

Videós utasítás

Bernoulli tesztséma

A binomiális törvény szerint elosztott valószínűségi változó numerikus jellemzői

Egy X valószínűségi változó matematikai elvárása, a binomiális törvény szerint elosztva.
M[X]=np

A binomiális törvény szerint elosztott X valószínűségi változó diszperziója.
D[X]=npq

1. példa. A termék p = 0,3 valószínűséggel lehet hibás. Egy kötegből három elem kerül kiválasztásra. X a hibás alkatrészek száma a kiválasztott alkatrészek között. Keresse meg (adja meg az összes választ tizedes tört formájában): a) X eloszlássorozat; b) F(x) eloszlásfüggvény.
Megoldás. Az X véletlenszerű változó tartománya (0,1,2,3).
Keressük az X terjesztési sorozatot.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np (1-p) n-1 = 3 (1-0,3) 3-1 = 0,44

P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027

x i	0	1	2	3
pi	0.34	0.44	0.19	0.027

A matematikai elvárást az M[X]= np = 3*0,3 = 0,9 képlet adja meg
Vizsgálat: m = ∑ x i p i .
Matematikai elvárás M[X].
M[x] = 0 * 0,34 + 1 * 0,44 + 2 * 0,19 + 3 * 0,027 = 0,9
A diszperziót a következő képlet határozza meg: D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Vizsgálat: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
D[X] diszperzió.
D[X] = 0 2 * 0,34 + 1 2 * 0,44 + 2 2 * 0,19 + 3 2 * 0,027 - 0,9 2 = 0,63
Szórás σ(x).

F(X) eloszlási függvény.
F(xF(0F(1F(2F(x>3)) = 1

1. Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egy kísérlet során 0,6. 5 teszt készül. Állítsa össze az X valószínűségi változó eloszlási törvényét - egy esemény előfordulásának számát.
2. Állítsa össze a négy lövéssel teli találatok számának X valószínűségi változójának eloszlási törvényét, ha annak valószínűsége, hogy egy lövéssel célt talál, 0,8!
3. Egy érmét 7-szer dobnak fel. Határozza meg a címer megjelenési számának matematikai elvárását és szórását! Megjegyzés: itt a címer megjelenésének valószínűsége p = 1/2 (mivel az éremnek két oldala van).

2. példa. Annak a valószínűsége, hogy egy esemény egyetlen kísérletben bekövetkezik, 0,6. Bernoulli tételét alkalmazva határozza meg a független próbák számát, amelyből kiindulva egy esemény gyakoriságának valószínőségétől való eltérésének valószínűsége abszolút értékben kisebb, mint 0,1, nagyobb, mint 0,97 . (Válasz: 801)

3. példa. A tanulók az informatika órán teszteket végeznek. A munka három feladatból áll. A jó osztályzat megszerzéséhez legalább két feladatra meg kell találnia a helyes választ. Minden feladatnak 5 válasza van, amelyek közül csak egy helyes. A tanuló véletlenszerűen választ választ. Mennyi annak a valószínűsége, hogy jó osztályzatot kap?
Megoldás. A kérdés helyes megválaszolásának valószínűsége: p=1/5=0,2; n=3.
Ezeket az adatokat be kell írni a számológépbe. A választ lásd a P(2)+P(3) pontban.

4. példa. Annak a valószínűsége, hogy a lövő egy lövéssel eltalálja a célt, (m+n)/(m+n+2) . n + 4 lövést adnak le. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legfeljebb kétszer hibázik.

jegyzet. Annak a valószínűsége, hogy legfeljebb kétszer fog kihagyni, a következő eseményeket tartalmazza: soha nem hagyja ki a P(4), egyszer kihagyja a P(3), kétszer nem hagyja ki a P(2).

5. számú példa. Határozza meg a meghibásodott repülőgépek számának valószínűségi eloszlását, ha 4 repülőgép repül! A repülőgép meghibásodásmentes működésének valószínűsége Р=0,99. Az egyes bevetéseken meghibásodott repülőgépek száma a binomiális törvény szerint oszlik meg.