Differenciálegyenletek egy speciális forma jobb oldalával. Lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenletek állandó együtthatókkal

Heterogén differenciálegyenletek másodrendű vele állandó együtthatók

Az általános megoldás felépítése Az ilyen típusú lineáris inhomogén egyenletnek a következő alakja van: Ahol p, q− konstans számok (amelyek lehetnek valósok vagy komplexek). Minden ilyen egyenlethez felírhatjuk a megfelelőt: homogén egyenlet Tétel : Általános megoldás Nem homogén egyenlet az általános megoldás összege 0 (y x az általános megoldás összege 1 (y) a megfelelő homogén egyenlet és adott megoldás ) inhomogén egyenlet: Az alábbiakban az inhomogén differenciálegyenletek megoldásának két módját fogjuk megvizsgálni. Az állandók variálásának módszere az általános megoldás összege Ha az általános megoldás A hozzá tartozó homogén egyenlet 0 értéke ismert, akkor az inhomogén egyenlet általános megoldása aállandó variációs módszer . Legyen egy homogén másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása a következő: Állandó helyett C Állandó helyett 1 és Állandó helyett 1 (y A 2. ábrán a segédfunkciókat fogjuk figyelembe venni Állandó helyett 2 (y) És ). Ezeket a függvényeket úgy fogjuk keresni, hogy a megoldás(y kielégítette az inhomogén egyenletet a jobb oldallal Állandó helyett 1 (y A 2. ábrán a segédfunkciókat fogjuk figyelembe venni Állandó helyett 2 (y f ). Ismeretlen funkciók ) két egyenletrendszerből határozható meg: Ezeket a függvényeket úgy fogjuk keresni, hogy a megoldás(y Bizonytalan együttható módszer Jobb oldalt) egy inhomogén differenciálegyenlet gyakran polinomiális, exponenciális vagy trigonometrikus függvény, vagy ezeknek a függvényeknek valamilyen kombinációja. Ebben az esetben kényelmesebb a segítségével megoldást keresni bizonytalan együtthatók módszere α . Hangsúlyozzuk, hogy ez a módszer csak a jobb oldalon lévő függvények korlátozott osztályára működik, mint pl Mindkét esetben az adott megoldás kiválasztásának meg kell felelnie az inhomogén differenciálegyenlet jobb oldalának szerkezetének. 1-es esetben, ha a szám az exponenciális függvényben egybeesik a gyökérrel y karakterisztikus egyenlet, akkor az adott megoldás tartalmazni fog egy további tényezőt karakterisztikus egyenlet s α , Hol − gyök többszörössége egybeesik a karakterisztikus egyenlet gyökével, akkor az adott megoldás kifejezése tartalmazni fog egy további tényezőt y. Az ismeretlen együtthatók úgy határozhatók meg, hogy egy adott megoldás talált kifejezését behelyettesítjük az eredeti inhomogén differenciálegyenletbe. Szuperpozíció elve Ha az inhomogén egyenlet jobb oldala az összeg az űrlap több funkciója akkor a differenciálegyenlet sajátos megoldása lesz a jobb oldalon minden tagra külön-külön megszerkesztett részmegoldások összege is.

1. példa

Differenciálegyenlet megoldása y"" + y= sin(2 y). Megoldás. Először a megfelelő homogén egyenletet oldjuk meg y"" + y= 0. Ebben az esetben a karakterisztikus egyenlet gyökei tisztán képzeletbeliek: Következésképpen a homogén egyenlet általános megoldását a kifejezés adja Térjünk vissza ismét az inhomogén egyenlethez. Megoldását a formában fogjuk keresni konstans variáció módszerével. Funkciók Állandó helyett 1 (y A 2. ábrán a segédfunkciókat fogjuk figyelembe venni Állandó helyett 2 (y) a következő egyenletrendszerből található: Fejezzük ki a derivált Állandó helyett 1 " (y) az első egyenletből: A második egyenletbe behelyettesítve megtaláljuk a deriváltot Állandó helyett 2 " (y): Ebből következik Kifejezések integrálása származékokhoz Állandó helyett 1 " (y A 2. ábrán a segédfunkciókat fogjuk figyelembe venni Állandó helyett 2 " (y), kapjuk: Ahol A 1 , A 2 – integrációs állandók. Most pótoljuk a talált függvényeket Állandó helyett 1 (y A 2. ábrán a segédfunkciókat fogjuk figyelembe venni Állandó helyett 2 (y) a képletbe az általános megoldás összege 1 (y) és írja fel az inhomogén egyenlet általános megoldását:

2. példa

Keresse meg az egyenlet általános megoldását! y"" + y" −6az általános megoldás összege = 36y. Megoldás. Használjuk a határozatlan együtthatók módszerét. Jobb oldalt számára adott egyenlet egy lineáris függvény Ezeket a függvényeket úgy fogjuk keresni, hogy a megoldás(y)= fejsze + b. Ezért egy adott megoldást fogunk keresni az űrlapon A származékok egyenlőek: Ha ezt behelyettesítjük a differenciálegyenletbe, a következőt kapjuk: y Az utolsó egyenlet azonosság, azaz mindenkire érvényes y, ezért a tagok együtthatóit azonos fokozatokkal egyenlővé tesszük bal és jobb oldalon: A = −6, A kapott rendszerből a következőket kapjuk: B = −1. Ennek eredményeként az adott megoldás az űrlapba kerül Most keressük meg a homogén differenciálegyenlet általános megoldását. Számítsuk ki a segédkarakterisztikus egyenlet gyökereit: Ezért a megfelelő homogén egyenlet általános megoldása a következőképpen alakul:

Tehát az eredeti inhomogén egyenlet általános megoldását a képlet fejezi ki

A DE általános integrálja.

Differenciálegyenlet megoldása

De a legviccesebb, hogy a válasz már ismert: , pontosabban hozzá kell adni egy állandót is: Az általános integrál a differenciálegyenlet megoldása.

Inhomogén differenciálegyenletek megoldására a tetszőleges állandók variációs módszerét alkalmazzák. Ez az óra azoknak a diákoknak szól, akik többé-kevésbé jártasak a témában. Ha még csak most kezdi ismerkedni a távirányítóval, pl. Ha teáskanna vagy, azt javaslom, hogy kezdje az első leckével: Elsőrendű differenciálegyenletek. Példák megoldásokra. És ha már befejezi, kérjük, dobja el azt az esetleges előítéletet, hogy a módszer nehéz. Mert egyszerű.

Milyen esetekben alkalmazzák a tetszőleges állandók variálásának módszerét?

1) Egy tetszőleges állandó variációs módszere használható a megoldásra lineáris inhomogén I. rendű DE. Mivel az egyenlet elsőrendű, így az állandó is egy.

2) A tetszőleges állandók variációs módszerét néhány megoldásra használják lineáris inhomogén másodrendű egyenletek. Itt két állandó változik.

Logikus feltételezés, hogy a lecke két bekezdésből áll majd... Így hát megírtam ezt a mondatot, és körülbelül 10 percig fájdalmasan azon gondolkodtam, hogy milyen okos baromságot tudnék még hozzátenni a gyakorlati példákra való gördülékeny átmenethez. De valamiért nincsenek gondolataim az ünnepek után, bár úgy tűnik, nem éltem vissza semmivel. Ezért térjünk közvetlenül az első bekezdésre.

Egy tetszőleges állandó változtatásának módszere elsőrendű lineáris inhomogén egyenlethez

Mielőtt egy tetszőleges állandó variációjának módszerét fontolgatnánk, tanácsos ismerkedni a cikkel Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek. Ezen a leckén gyakoroltunk első megoldás inhomogén 1. rendű DE. Ez az első megoldás, emlékeztetem önöket, az úgynevezett cseremódszer vagy Bernoulli módszer(nem tévesztendő össze Bernoulli egyenlet!!!)

Most megnézzük második megoldás– tetszőleges állandó változtatásának módja. Csak három példát mondok, és a fent említett leckéből veszem át. Miért olyan keveset? Mert valójában a második módon készült megoldás nagyon hasonló lesz az első módon készített megoldáshoz. Emellett megfigyeléseim szerint a tetszőleges állandók variálásának módszerét ritkábban alkalmazzák, mint a helyettesítési módszert.

1. példa

Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását (Diffour a lecke 2. példájából). I. rendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek)

Megoldás: Ez az egyenlet lineárisan inhomogén, és ismerős formája van:

Az első lépésben egy egyszerűbb egyenletet kell megoldani: Vagyis a jobb oldalt hülyén nullára állítottuk - helyette nullát írunk. Meghívom az egyenletet segédegyenlet.

Ebben a példában a következő segédegyenletet kell megoldania:

előttünk elválasztható egyenlet, aminek a megoldása (remélem) már nem nehéz számodra:

Így: – a segédegyenlet általános megoldása.

A második lépésben cseréljük valami állandó egyelőre ismeretlen függvény, amely "x"-től függ:

Innen a metódus neve – változtatjuk az állandót. Alternatív megoldásként a konstans lehet valamilyen függvény, amelyet most meg kell találnunk.

IN eredeti az inhomogén egyenletben behelyettesítjük:

Helyettesítsük be az egyenletbe:

Ellenőrző pont - a bal oldalon lévő két kifejezés törli. Ha ez nem történik meg, keresse meg a fenti hibát.

A pótlás eredményeként egy elválasztható változókkal rendelkező egyenletet kaptunk. Elválasztjuk a változókat és integráljuk.

Micsoda áldás, a kitevők is visszavonják:

A talált függvényhez hozzáadunk egy „normál” állandót:

Az utolsó szakaszban emlékezünk a cserére:

A funkciót most találtuk meg!

Tehát az általános megoldás:

Válasz:általános megoldás:

Ha kinyomtatja a két megoldást, könnyen észreveszi, hogy mindkét esetben ugyanazt az integrált találtuk. Az egyetlen különbség a megoldási algoritmusban van.

Most valami bonyolultabbra, a második példához is hozzászólok:

2. példa

Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását (Diffour a lecke 8. példájából). I. rendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek)

Megoldás: Hozzuk az egyenletet a formába:

Állítsuk vissza a jobb oldalt, és oldjuk meg a segédegyenletet:

Elválasztjuk a változókat és integráljuk: A segédegyenlet általános megoldása:

Az inhomogén egyenletben végrehajtjuk a cserét:

A termékdifferenciálási szabály szerint:

Helyettesítsük be az eredeti inhomogén egyenletbe:

A bal oldalon lévő két kifejezés érvénytelenít, ami azt jelenti, hogy jó úton járunk:

Integráljuk részenként. A részenkénti integráció képletéből származó ízletes betű már benne van a megoldásban, ezért használjuk például az „a” és „be” betűket:

Ennek eredményeként:

Most emlékezzünk a cserére:

Válasz:általános megoldás:

Tetszőleges állandók változtatásának módszere lineáris inhomogén másodrendű egyenlethez állandó együtthatókkal

Gyakran hallottam azt a véleményt, hogy egy másodrendű egyenlet tetszőleges állandóinak megváltoztatása nem egyszerű dolog. De feltételezem a következőket: valószínűleg sokak számára nehéznek tűnik a módszer, mert nem olyan gyakran fordul elő. A valóságban azonban nincsenek különösebb nehézségek - a döntés menete világos, átlátható és érthető. És gyönyörű.

A módszer elsajátításához kívánatos, hogy inhomogén másodrendű egyenleteket tudjunk megoldani úgy, hogy a jobb oldal alakja alapján választunk ki egy adott megoldást. Ez a módszer cikkben részletesen tárgyaljuk Inhomogén 2. rendű DE-k. Emlékeztetünk arra, hogy egy másodrendű lineáris inhomogén egyenlet állandó együtthatókkal a következőképpen alakul:

A fenti leckében tárgyalt kiválasztási módszer csak korlátozott számú esetben működik, amikor a jobb oldal polinomokat, exponenciálisokat, szinuszokat és koszinuszokat tartalmaz. De mi a teendő, ha a jobb oldalon van például egy tört, logaritmus, érintő? Ilyen helyzetben az állandók variálásának módszere jön segítségül.

4. példa

Keresse meg egy másodrendű differenciálegyenlet általános megoldását!

Megoldás: Ennek az egyenletnek a jobb oldalán egy tört található, így azonnal kijelenthetjük, hogy az adott megoldás kiválasztásának módszere nem működik. Tetszőleges állandók variációs módszerét alkalmazzuk.

Zivatarnak semmi jele, a megoldás kezdete teljesen hétköznapi:

meg fogjuk találni általános megoldás megfelelő homogén egyenletek:

Állítsuk össze és oldjuk meg a karakterisztikus egyenletet: – konjugált komplex gyököket kapunk, így az általános megoldás:

Ügyeljen az általános megoldás feljegyzésére - ha vannak zárójelek, nyissa meg.

Most szinte ugyanazt a trükköt csináljuk, mint az elsőrendű egyenletnél: az állandókat változtatjuk, ismeretlen függvényekkel helyettesítjük őket. vagyis általános megoldása inhomogén egyenleteket fogunk keresni a következő formában:

hol- egyelőre ismeretlen funkciók.

Úgy néz ki, mint egy szemétlerakó háztartási hulladék, de most mindent megoldunk.

Az ismeretlenek a függvények származékai. Célunk, hogy deriváltokat találjunk, és a talált deriváltoknak ki kell elégíteniük a rendszer első és második egyenletét is.

Honnan jönnek a "görögök"? A gólya hozza őket. Nézzük a korábban kapott általános megoldást, és írjuk:

Keressük a származékokat:

A bal oldali részekkel foglalkoztunk. Mi van a jobb oldalon?

az eredeti egyenlet jobb oldala, ebben az esetben:

Az előadáson az LNDE-ket - lineáris inhomogén differenciálegyenleteket - tanulmányozzák.

Az általános megoldás szerkezetét tekintjük, az LPDE megoldását tetszőleges állandók variációs módszerével, az LDDE megoldását konstans együtthatókkal és egy speciális alak jobb oldalát. A vizsgált kérdéseket a fizika, az elektrotechnika és az elektronika kényszerrezgéseinek, valamint az automatikus vezérlés elméletének tanulmányozásában használják fel.

1. Másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldásának felépítése.

Tekintsünk először egy tetszőleges sorrendű lineáris inhomogén egyenletet:

Ebben az esetben feltételezzük, hogy ennek az egyenletnek az együtthatói és a jobb oldala folytonosak egy bizonyos intervallumon.

Tétel. Egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása egy adott tartományban bármely megoldásának összege és a megfelelő lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása.

Bizonyíték. Legyen Y valamilyen megoldása egy inhomogén egyenletre.

Ezután, amikor ezt a megoldást behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, megkapjuk az azonosságot:

Hadd
- alapvető rendszer lineáris homogén egyenlet megoldásai
. Ekkor a homogén egyenlet általános megoldása így írható fel:

Különösen egy másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet esetében az általános megoldás szerkezete a következő:

Ahol
a megfelelő homogén egyenlet alapvető megoldási rendszere, és
- egy inhomogén egyenlet bármely konkrét megoldása.

Így egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet megoldásához általános megoldást kell találni a megfelelő homogén egyenletre, és valahogyan meg kell találni egy konkrét megoldást az inhomogén egyenletre. Általában kiválasztással találják meg. A következő kérdésekben megvizsgáljuk a privát megoldás kiválasztásának módjait.

2. Variációs módszer

A gyakorlatban kényelmes a tetszőleges állandók változtatásának módszere.

Ehhez először keressen általános megoldást a megfelelő homogén egyenletre a következő formában:

Ezután az együtthatók beállítása Állandó helyett én funkciókat X, megoldást keresünk az inhomogén egyenletre:

Bizonyítható, hogy függvényeket találni Állandó helyett én (y) meg kell oldanunk az egyenletrendszert:

Példa. Oldja meg az egyenletet

Lineáris homogén egyenlet megoldása

Az inhomogén egyenlet megoldása a következő formában lesz:

Hozzunk létre egyenletrendszert:

Oldjuk meg ezt a rendszert:

A relációból megtaláljuk a függvényt Ó).

Most megtaláljuk B(x).

A kapott értékeket behelyettesítjük az inhomogén egyenlet általános megoldásának képletébe:

Végső válasz:

Általánosságban elmondható, hogy a tetszőleges állandók variációs módszere alkalmas bármely lineáris inhomogén egyenlet megoldására. Hanem mert A megfelelő homogén egyenlet alapvető megoldási rendszerének megtalálása meglehetősen nehéz feladat lehet, ezt a módszert főleg inhomogén egyenleteknél alkalmazzák állandó együtthatóval.

3. Egyenletek egy speciális forma jobb oldalával

Elképzelhetőnek tűnik egy adott megoldás típusa az inhomogén egyenlet jobb oldalának típusától függően.

A következő eseteket különböztetjük meg:

I. A lineáris inhomogén differenciálegyenlet jobb oldala a következő alakú:

ahol egy fokszámú polinom m.

Ezután egy konkrét megoldást keresünk a következő formában:

Itt K(y) - azonos fokú polinom, mint P(y) , de meghatározatlan együtthatókkal, és r– egy szám, amely megmutatja, hogy a  szám hányszorosa a megfelelő lineáris homogén differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletének gyöke.

Példa. Oldja meg az egyenletet
.

Oldjuk meg a megfelelő homogén egyenletet:

Most keressünk egy konkrét megoldást az eredeti inhomogén egyenletre.

Hasonlítsuk össze az egyenlet jobb oldalát a jobb oldal fentebb tárgyalt alakjával.

Egy konkrét megoldást keresünk a következő formában:
, Hol

Azok.

Most határozzuk meg az ismeretlen együtthatókat AÉs IN.

Helyettesítsünk egy adott megoldást általános nézet az eredeti inhomogén differenciálegyenletbe.

Teljes, privát megoldás:

Ekkor egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása:

II.

Itt A lineáris inhomogén differenciálegyenlet jobb oldalának alakja: 1 R(X) A lineáris inhomogén differenciálegyenlet jobb oldalának alakja: 2 RÉs m– fokozati polinomok m 2 1 és

illetőleg.

Ekkor az inhomogén egyenlet adott megoldása a következő formában lesz: r hol a szám
megmutatja, hogy egy szám hányszorosa K 1 (y) És K 2 (y) a megfelelő homogén egyenlet karakterisztikus egyenletének gyöke, és m– nem magasabb fokú polinomok, mint m, Hol m 1 - a fokozatok közül a legnagyobb m 2 .

És

A privát megoldások típusainak összefoglaló táblázata

	különböző típusú jobb oldalakhoz	A differenciálegyenlet jobb oldala	karakterisztikus egyenlet
		A magánélet típusai
		1. A szám nem a karakterisztikus egyenlet gyöke
		2. A szám a multiplicitás karakterisztikus egyenletének gyöke 1. Szám
		nem a karakterisztikus egyenlet gyöke 2. Szám
		a multiplicitás karakterisztikus egyenletének gyökere
		1. Számok 2. Számok
		a multiplicitás karakterisztikus egyenletének gyökere a multiplicitás karakterisztikus egyenletének gyökerei
		1. Számok nem gyökei a karakterisztikus multiplicitás egyenletnek

a multiplicitás karakterisztikus egyenletének gyökerei

Vegye figyelembe, hogy ha az egyenlet jobb oldala a fent említett típusú kifejezések kombinációja, akkor a megoldást segédegyenletek megoldásainak kombinációjaként találjuk meg, amelyek mindegyikének van egy jobb oldala, amely megfelel a benne foglalt kifejezésnek. a kombinációban.
Azok. ha az egyenlet:
, akkor ennek az egyenletnek egy sajátos megoldása lesz Ahol 1 (X) Ahol 2 at

(X)

– segédegyenletek konkrét megoldásai

Példa. Oldja meg az egyenletet

Szemléltetésképpen oldjuk meg a fenti példát más módon. Ezeket a függvényeket úgy fogjuk keresni, hogy a megoldás 1 (y) + Ezeket a függvényeket úgy fogjuk keresni, hogy a megoldás 2 (y) = y + (- A differenciálegyenlet jobb oldalát ábrázoljuk két függvény összegeként y).

Állítsuk össze és oldjuk meg a karakterisztikus egyenletet:

bűn

Kapjuk: I.e.

Teljes:

Azok. a kívánt konkrét megoldás a következő formában van:

Nem homogén differenciálegyenlet általános megoldása:

Nézzünk példákat a leírt módszerek alkalmazására. Oldja meg az egyenletet

Alkossunk egy karakterisztikus egyenletet a megfelelő lineáris homogén differenciálegyenlethez:

Most keressünk egy konkrét megoldást az inhomogén egyenletre a következő formában:

Használjuk a határozatlan együtthatók módszerét.

Az eredeti egyenletbe behelyettesítve a következőket kapjuk:

Egy adott megoldásnak a következő formája van:

Lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása:

Példa. Oldja meg az egyenletet

Karakterisztikus egyenlet:

A homogén egyenlet általános megoldása:

Az inhomogén egyenlet speciális megoldása:
.

Megkeressük a származékokat, és behelyettesítjük őket az eredeti inhomogén egyenletbe:

Általános megoldást kapunk az inhomogén differenciálegyenletre:

Lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenletek (LNDE-2) konstans együtthatós (PC) megoldásának alapjai

A $p$ és $q$ állandó együtthatójú másodrendű LDDE $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ formájú, ahol $f\left(x \right)$ egy folytonos függvény.

Az LNDU 2 PC-vel kapcsolatban a következő két állítás igaz.

Tegyük fel, hogy valamelyik $U$ függvény egy inhomogén differenciálegyenlet tetszőleges parciális megoldása. Tegyük fel azt is, hogy valamilyen $Y$ függvény a megfelelő lineáris homogén differenciálegyenlet (LODE) általános megoldása (GS) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Ekkor a GS LHDE-2 egyenlő a jelzett privát és általános megoldások, azaz $y=U+Y$.

Ha egy 2. sorrendű LMDE jobb oldala függvények összege, azaz $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, akkor először megtaláljuk a $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ PD-ket a $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ függvények mindegyikéhez, majd ezt követően írja be a CR LNDU-2-t $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ alakban.

Másodrendű LPDE megoldása PC-vel

Nyilvánvaló, hogy egy adott LNDU-2 egyik vagy másik PD $U$ típusa a jobb oldal $f\left(x\right)$ konkrét alakjától függ. A PD LNDU-2 keresésének legegyszerűbb eseteit a következő négy szabály formájában fogalmazzuk meg.

1. szabály.

Az LNDU-2 jobb oldalának alakja $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, ahol $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, azaz a $n$ fokú polinom. Ekkor a $U$ PD-jét $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ formában kell keresni, ahol a $Q_(n) \left(x\right)$ egy másik a $P_(n) \left(x\right)$ fokú polinomja, és $r$ a megfelelő LODE-2 karakterisztikus egyenletének nullával egyenlő gyökeinek száma. A $Q_(n) \left(x\right)$ polinom együtthatóit a határozatlan együtthatók (UK) módszerével találjuk meg.

2. számú szabály.

Az LNDU-2 jobb oldalának alakja $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, ahol $P_(n) A \left(x\right)$ egy $n$ fokú polinom. Ezután a $U$ PD-jét a következő formában kell keresni: $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, ahol $Q_(n ) \ left(x\right)$ egy másik polinom, amely ugyanolyan fokú, mint a $P_(n) \left(x\right)$, és a $r$ a megfelelő LODE-2 karakterisztikus egyenletének gyökeinek száma , egyenlő: $\alpha $. A $Q_(n) \left(x\right)$ polinom együtthatóit az NC módszerrel találjuk meg.

3. számú szabály.

Az LNDU-2 jobb oldalának alakja: $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \jobbra) $, ahol $a$, $b$ és $\beta$ ismert számok. Ezután a PD $U$ értékét a rendszer a következő formában keresi: $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, ahol $A$ és $B$ ismeretlen együtthatók, $r$ pedig a megfelelő LODE-2 karakterisztikus egyenletének gyökeinek száma, egyenlő $i\cdot \beta $. Az $A$ és $B$ együtthatókat roncsolásmentes módszerrel találjuk meg.

4. számú szabály.

Az LNDU-2 jobb oldalának alakja $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, ahol a $P_(n) \left(x\right)$ egy $ n$ fokú polinom, a $P_(m) \left(x\right)$ pedig egy $m$ fokú polinom. Ekkor a PD $U$ értékét a rendszer $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ formában keresi, ahol $Q_(s) \left(x\right)$ és $ R_(s) \left(x\right)$ $s$ fokú polinomok, az $s$ szám a $n$ és $m$ két szám maximuma, az $r$ pedig a gyökök száma a megfelelő LODE-2 karakterisztikus egyenletéből, egyenlő: $\alpha +i\cdot \beta $. A $Q_(s) \left(x\right)$ és $R_(s) \left(x\right)$ polinomok együtthatóit az NC módszerrel találjuk meg.

Az NK módszer a következő szabály alkalmazásából áll. Az LNDU-2 inhomogén differenciálegyenlet parciális megoldásának részét képező polinom ismeretlen együtthatóinak megtalálásához szükséges:

• cserélje ki az általános formában írt PD $U$-t az LNDU-2 bal oldalára;
• az LNDU-2 bal oldalán hajtson végre egyszerűsítéseket és csoportos kifejezéseket ugyanazokkal a hatványokkal $x$;
• a kapott azonosságban a tagok együtthatóit a bal és a jobb oldal azonos hatványaival kell egyenlővé tenni;
• oldja meg a kapott rendszert lineáris egyenletek ismeretlen együtthatókhoz viszonyítva.

1. példa

Feladat: keresse meg a VAGY LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Keresse meg a PD-t is , amely megfelel a $y=6$ kezdeti feltételeknek $x=0$ és $y"=1$ $x=0$ esetén.

Felírjuk a megfelelő LOD-2-t: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Jellemző egyenlet: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. A karakterisztikus egyenlet gyökei: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Ezek a gyökerek érvényesek és különállóak. Így a megfelelő LODE-2 VAGY alakja: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Ennek az LNDU-2-nek a jobb oldala $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ alakú. Figyelembe kell venni a $\alpha =3$ kitevő együtthatóját. Ez az együttható nem esik egybe a karakterisztikus egyenlet egyik gyökével sem. Ezért ennek az LNDU-2-nek a PD alakja $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Az $A$, $B$ együtthatókat NC módszerrel fogjuk megkeresni.

Megtaláljuk a Cseh Köztársaság első származékát:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \jobbra)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Megtaláljuk a Cseh Köztársaság második származékát:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Helyettesítjük a $U""$, $U"$ és $U$ függvényeket a $y""$, $y"$ és $y$ helyett a megadott NLDE-2 $y""-3\cdot y"-ba. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Sőt, mivel a $e^(3\cdot x) $ kitevő szerepel faktorként minden komponensben, akkor az elhagyható.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Az eredményül kapott egyenlőség bal oldalán hajtjuk végre a műveleteket:

-18 $\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

NDT módszert használunk. Lineáris egyenletrendszert kapunk két ismeretlennel:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Ennek a rendszernek a megoldása: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ a problémánkhoz így néz ki: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

A problémánk VAGY $y=Y+U$ így néz ki: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Annak érdekében, hogy megtaláljuk az adott kezdeti feltételeket kielégítő PD-t, megkeressük az OP $y"$ deriváltját:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Behelyettesítjük a $y$ és $y"$ kezdeti feltételeket $x=0$ esetén $y=6$ és $x=0$ esetén $y"=1$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Kaptunk egy egyenletrendszert:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Oldjuk meg. A $C_(1) $ a Cramer-képlet segítségével, a $C_(2) $ pedig az első egyenletből adódik:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ kezdő(tömb)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(tömb)\jobbra|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2)=7-C_(1)=7-4=3,$

Így ennek a differenciálegyenletnek a PD alakja: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \jobbra )\cdot e^(3\cdot x) $.