Mátrix módszer lineáris algebrai egyenletrendszer megoldására. Mátrix módszer online
- kiszámítjuk az A mátrix determinánsát;
- algebrai összeadásokon keresztül megtaláljuk az A -1 inverz mátrixot;
- megoldássablon készül Excelben;
Utasítás. Az inverz mátrix módszerrel történő megoldáshoz meg kell adni a mátrix dimenzióját. Ezután egy új párbeszédablakban töltse ki az A mátrixot és a B eredmény vektorát.
Lásd még: Mátrixegyenletek megoldása.Megoldási algoritmus
- Az A mátrix determinánsát kiszámítjuk. Ha a determináns nulla, akkor a megoldásnak vége. A rendszernek végtelen számú megoldása van.
- Ha a determináns eltér nullától, akkor az A -1 inverz mátrix algebrai összeadásokkal kerül meghatározásra.
- Az X =(x 1, x 2, ..., x n) megoldásvektort úgy kapjuk meg, hogy az inverz mátrixot megszorozzuk a B eredményvektorral.
Algebrai összeadások.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Vizsgálat:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Adott online számológép megoldja a rendszert lineáris egyenletek mátrix módszer. Nagyon adott részletes megoldás. Lineáris egyenletrendszer megoldásához válassza ki a változók számát. Válasszon egy módszert az inverz mátrix kiszámításához. Ezután írja be az adatokat a cellákba, és kattintson a "Számítás" gombra.
×
Figyelmeztetés
Törli az összes cellát?
Bezárás Törlés
Adatbeviteli utasítások. A számok egész számok (például 487, 5, -7623 stb.), tizedesjegyek (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtek formájában kerülnek megadásra. A törtet a/b formában kell megadni, ahol a és b egész vagy tizedesjegy. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.
Mátrix módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására
Tekintsük a következő lineáris egyenletrendszert:
Adva az inverz mátrix definícióját, megvan A −1 A=E, Hol E- identitásmátrix. Ezért a (4) a következőképpen írható fel:
Így az (1) (vagy (2)) lineáris egyenletrendszer megoldásához elegendő az inverzét megszorozni. A mátrix kényszervektoronként b.
Példák lineáris egyenletrendszer megoldására mátrix módszerrel
1. példa Oldja meg a következő lineáris egyenletrendszert a mátrix módszerrel:
Határozzuk meg az A mátrix inverzét Jordan-Gauss módszerrel. A mátrix jobb oldalán AÍrjuk fel az identitásmátrixot:
A főátló alatti mátrix 1. oszlopának elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá a 2,3 sorokat az 1-es sorral, szorozva -1/3-mal, -1/3-mal:
A főátló alatti mátrix 2. oszlopának elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá a 3. sort a 2. sor és -24/51 szorzatával:
A mátrix 2. oszlopának a főátló feletti elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá az 1. sort a 2. sor szorzatához -3/17-tel:
Különálló jobb oldalon mátrixok. A kapott mátrix az inverz mátrix To A :
Lineáris egyenletrendszer felírásának mátrixa: Ax=b, Hol
Számítsuk ki a mátrix összes algebrai komplementerét A:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Az inverz mátrixot a következő kifejezésből számítjuk ki.
Tekintsünk egy sok változós lineáris egyenletrendszert:
ahol aij az ismeretlen xi együtthatók; bi-free tagok;
indexek: i = 1,2,3...m - határozza meg az egyenlet számát és j = 1,2,3...n - az ismeretlen számát.
Definíció: Az (5) egyenletrendszer megoldása egy n számból álló halmaz (x10, x20,....xn0), melyeket a rendszerbe behelyettesítve minden egyenlet helyes numerikus azonossá válik.
Definíció: Egy egyenletrendszert akkor nevezünk konzisztensnek, ha van legalább egy megoldása. Egy konzisztens rendszert határozottnak nevezünk, ha egyedi megoldása van (x10, x20,....xn0), és határozatlannak, ha több ilyen megoldás létezik.
Definíció: Egy rendszert inkonzisztensnek nevezünk, ha nincs megoldása.
Definíció: Az (5) egyenletrendszer numerikus együtthatóiból (aij) és szabad tagjaiból (bi) álló táblázatokat rendszermátrixnak (A) és kiterjesztett mátrixnak (A1) nevezzük, amelyeket a következőképpen jelölünk:
Definíció: Az A rendszer mátrixát, amelynek sorai és oszlopai nem egyenlő számú (n?m), téglalap alakúnak nevezzük. Ha a sorok és oszlopok száma azonos (n=m), akkor a mátrixot négyzetnek nevezzük.
Ha egy rendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával (n=m), akkor a rendszernek van egy n-edrendű négyzetmátrixa.
Válasszunk k-tetszőleges sort és k-tetszőleges oszlopot (km, kn) az A mátrixban.
Definíció: Az A mátrix kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában elhelyezkedő elemeiből álló k-rendű determinánst az A mátrix k-rendű minorjának nevezzük.
Tekintsük az A mátrix összes lehetséges mollját. Ha minden (k+1)-rendű moll egyenlő nullával, és a k-rendű mollok közül legalább egy nem egyenlő nullával, akkor a mátrixról azt mondjuk, hogy rangja egyenlő k-val.
Definíció: Az A mátrix rangja ennek a mátrixnak a nullától eltérő moll legmagasabb rendje. Egy mátrix rangját r(A) jelöli.
Definíció: A mátrix bármely nem-nulla minora, amelynek sorrendje: ranggal egyenlő mátrixot alapnak neveznek.
Definíció: Ha két A és B mátrix rangsorai egybeesnek r(A) = r(B), akkor ezeket a mátrixokat ekvivalensnek nevezzük és A B-vel jelöljük.
A mátrix rangja nem változik az elemi, ekvivalens transzformációktól, amelyek magukban foglalják:
- 1. Sorok cseréje oszlopokkal és oszlopok megfelelő sorokkal;
- 2. Sorok vagy oszlopok átrendezése;
- 3. Olyan sorok vagy oszlopok áthúzása, amelyek elemei nullák;
- 4. Sor vagy oszlop szorzása vagy osztása nullától eltérő számmal;
- 5. Egy sor vagy oszlop elemeinek összeadása vagy kivonása a másikból, tetszőleges számmal megszorozva.
A mátrix rangjának meghatározásakor ekvivalens transzformációkat használnak, amelyek segítségével az eredeti mátrixot lépcsős (háromszög alakú) mátrixsá redukálják.
Egy lépcsős mátrixban a főátló alatt nulla elemek vannak, és minden sor első nem nulla eleme a másodiktól kezdve az előző sor első nem nulla elemétől jobbra helyezkedik el.
Vegye figyelembe, hogy egy mátrix rangja megegyezik az echelon mátrix nullától eltérő sorainak számával.
Például az A= mátrix lépcsőzetes alakú, és rangja megegyezik az r(A)=3 mátrix nullától eltérő sorainak számával. Valójában a 4. sor nulla elemeivel rendelkező 4. rendű kiskorúak nullával egyenlőek, a 3. rendű minorok pedig nem nullák. Az ellenőrzéshez kiszámítjuk az első 3 sor és 3 oszlop mollának determinánsát:
Bármely mátrix redukálható lépcsős mátrixsá, ha a főátló alatti mátrixelemeket elemi műveletek segítségével nullázzuk.
Térjünk vissza az (5) lineáris egyenletrendszer tanulmányozásához és megoldásához.
A Kronecker-Kapeli-tétel fontos szerepet játszik a lineáris egyenletrendszerek tanulmányozásában. Fogalmazzuk meg ezt a tételt.
Kronecker-Kapeli tétel: Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha az A rendszermátrix rangja megegyezik az A1 kiterjesztett mátrix rangjával, azaz. r(A)=r(A1). Konzisztencia esetén a rendszer akkor határozott, ha a rendszermátrix rangja egyenlő az ismeretlenek számával, pl. r(A)=r(A1)=n és definiálatlan, ha ez a rang kisebb, mint az ismeretlenek száma, azaz. r(A)= r(A1) Példa. Fedezzen fel egy lineáris egyenletrendszert: Határozzuk meg az A rendszermátrix és az A1 kiterjesztett mátrix rangjait. Ehhez készítünk egy kiterjesztett A1 mátrixot, és redukáljuk lépésenkénti formára. A mátrix csökkentésekor a következő műveleteket hajtjuk végre: Az elvégzett műveletek eredményeként a rendszermátrixban (a vonalig) és a kiterjesztett mátrixban is három nem nulla soros lépésmátrixot kaptunk. Ez azt mutatja, hogy a rendszermátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, és egyenlő 3-mal, de kisebb, mint az ismeretlenek száma (n=4). Válasz: mert r(A)=r(A1)=3 Tekintettel arra, hogy kényelmes a mátrixok rangsorának meghatározása lépcsőzetes formára való redukálással, megvizsgálunk egy módszert lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldására. Gauss módszer A Gauss-módszer lényege az ismeretlenek szekvenciális eliminálása
az A1 kiterjesztett mátrixot lépésenkénti alakra redukálva, amely az A rendszer mátrixát az egyenesig tartalmazza. Ebben az esetben az A, A1 mátrixok rangsorait egyidejűleg meghatározzuk és a rendszert a Kronecker-Kapeli tétel segítségével tanulmányozzuk. . Az utolsó szakaszban lépésenkénti egyenletrendszert oldanak meg, alulról felfelé helyettesítve az ismeretlenek talált értékeit. Tekintsük a Gauss-módszer és a Kronecker-Kapeli-tétel alkalmazását egy példán keresztül. Példa. Oldja meg a rendszert Gauss-módszerrel: Határozzuk meg az A rendszermátrix és az A1 kiterjesztett mátrix rangjait. Ehhez összeállítunk egy kiterjesztett A1 mátrixot, és redukáljuk lépésenkénti formára. Átküldéskor hajtsa végre a következő műveleteket: Kaptunk egy lépésmátrixot, amelyben a sorok száma 3, és a rendszermátrixban (a sorig) szintén nincs nulla bejegyzés. Következésképpen a rendszermátrix és a kiterjesztett mátrix rangjai 3-mal egyenlőek és egyenlők az ismeretlenek számával, azaz. r(A)=r(A1)=n=3.. A Kronecker-Kapeli tétel szerint a rendszer konzisztens és definiált, és egyedi megoldása van. Az A1 mátrix transzformációja, az ismeretlenek együtthatóinak nullázása eredményeként sorra kizártuk őket az egyenletek közül, és lépésenkénti (háromszögletű) egyenletrendszert kaptunk: Alulról felfelé sorban haladva, a harmadik egyenletből a megoldást (x3=1) behelyettesítve a másodikba, a második és harmadik egyenletből a megoldásokat (x2=1, x3=1) pedig az elsőbe, megoldást kapunk az egyenletrendszer: x1=1, x2=1, x3=1. Ellenőrzés: -(!) Válasz: (x1=1, x2=1, x3=1). Jordano-Gauss módszer Ezt a rendszert a továbbfejlesztett Jordano-Gauss módszerrel lehet megoldani, ami abból áll, hogy az A rendszer mátrixát a kiterjesztett mátrixban (a vonalig) redukáljuk az azonosságmátrixra: E= egységdiagonális és nulla nem átlós elemekkel, és azonnali megoldást kapunk a rendszerre további helyettesítések nélkül. Oldjuk meg a fenti rendszert Jordano-Gauss módszerrel. Ehhez a kapott lépésmátrixot egységmátrixmá alakítjuk a következő lépések végrehajtásával: Az eredeti egyenletrendszert a megoldást meghatározó rendszerre redukáltuk. alapműveletek mátrixokkal Legyen két mátrix adott: A=
B=. A mátrixok összegzésénél (kivonásánál) az azonos nevű elemeiket összeadják (kivonják). 3. A k szám és az A mátrix szorzata az egyenlőség által meghatározott mátrix: Ha egy mátrixot megszorozunk egy számmal, a mátrix összes eleme megszorozódik ezzel a számmal. 4. Az AB mátrixok szorzata a következő egyenlőséggel definiált mátrix: A mátrixok szorzásakor az első mátrix sorainak elemeit megszorozzuk a második mátrix oszlopainak elemeivel és összeadjuk, a szorzatmátrix eleme pedig az i-edik sorban és a j-edik oszlopban egyenlő a az első mátrix i-edik sora és a j-edik oszlop második mátrixa megfelelő elemeinek szorzatának összege. A mátrixok szorzásakor általános esetben nem érvényesül a kommutatív törvény, pl. AB?VA. 5. Az A mátrix transzponálása egy olyan művelet, amelynek eredményeképpen a sorokat oszlopokra, az oszlopokat pedig a megfelelő sorokra cseréljük. Az AT= mátrixot az A= mátrix transzponált mátrixának nevezzük. Ha az A mátrix determinánsa nem egyenlő nullával (D?0), akkor egy ilyen mátrixot nem szingulárisnak nevezünk. Minden nem szinguláris A mátrixhoz létezik egy A-1 inverz mátrix, amelyre az egyenlőség érvényes: A-1 A= A A-1=E, ahol E= az azonosságmátrix. 6. Az A mátrix megfordítása olyan műveletek, amelyek az A-1 inverz mátrixot eredményezik Az A mátrix invertálásakor a következő műveleteket hajtjuk végre. Az egyenletek általában, a lineáris algebrai egyenletek és rendszereik, valamint a megoldásukra szolgáló módszerek különleges helyet foglalnak el a matematikában, mind elméleti, mind alkalmazott értelemben. Ez annak köszönhető, hogy a fizikai, gazdasági, műszaki, sőt pedagógiai problémák túlnyomó többsége sokféle egyenlet és rendszerük segítségével leírható és megoldható. A közelmúltban a matematikai modellezés különös népszerűségre tett szert a kutatók, tudósok és gyakorlati szakemberek körében szinte minden tématerületen, ami azzal magyarázható, hogy nyilvánvaló előnyei vannak a különböző természetű objektumok tanulmányozásának más jól ismert és bevált módszereivel szemben, különösen az ún. rendszerek. A matematikai modellnek nagyon sokféle definíciója létezik a tudósok által különböző időpontokban, de véleményünk szerint a legsikeresebb a következő állítás. A matematikai modell egy egyenlettel kifejezett elképzelés. Így az egyenletek és rendszereik összeállításának és megoldásának képessége a modern szakember szerves jellemzője. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására a leggyakrabban használt módszerek a Cramer, a Jordan-Gauss és a mátrix módszer. A mátrixmegoldási módszer egy nem nulla determinánsú lineáris algebrai egyenletrendszer inverz mátrix segítségével történő megoldására szolgáló módszer. Ha az A mátrixba írjuk ki az xi ismeretlen mennyiségek együtthatóit, az X vektoroszlopba gyűjtjük az ismeretlen mennyiségeket, a B vektoroszlopba pedig a szabad tagokat, akkor a lineáris algebrai egyenletrendszer felírható a következő A · X = B mátrixegyenlet, amelynek csak akkor van egyedi megoldása, ha az A mátrix determinánsa nem egyenlő nullával. Ebben az esetben az egyenletrendszer megoldását a következő módon találhatjuk meg X = A-1 · B, Hol A-1 az inverz mátrix. A mátrix megoldási módszer a következő. Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert azzal n ismeretlen: Átírható mátrix formában: FEJSZE =
B, Hol A- a rendszer fő mátrixa, BÉs X- a rendszer szabad kifejezéseinek és megoldásainak oszlopai: Szorozzuk meg ezt a bal oldali mátrixegyenletet ezzel A-1 - mátrix mátrix inverze A: A -1 (FEJSZE) = A -1 B Mert A -1 A = E, megkapjuk X= A -1 B. Ennek az egyenletnek a jobb oldala adja meg az eredeti rendszer megoldási oszlopát. A módszer alkalmazhatóságának feltétele (valamint annak, hogy egy inhomogén lineáris egyenletrendszerre általában létezik megoldás, ahol az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával) a mátrix nem degeneráltsága. A. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a mátrix determinánsa ne legyen egyenlő nullával A:det A≠ 0. Egy homogén lineáris egyenletrendszerre, vagyis amikor a vektor B = 0
, sőt az ellenkező szabály: a rendszer FEJSZE =
A 0-nak csak akkor van nem triviális (vagyis nem nulla) megoldása, ha det A= 0. Az ilyen kapcsolatot a homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásai között Fredholm-alternatívának nevezzük. Példa inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásai. Győződjön meg arról, hogy a lineáris algebrai egyenletrendszer ismeretleneinek együtthatóiból álló mátrix determinánsa nem egyenlő nullával. A következő lépés az ismeretlenek együtthatóiból álló mátrix elemeinek algebrai komplementereinek kiszámítása. Szükség lesz rájuk az inverz mátrix megtalálásához.
