Másodrendű sorok.
Ellipszis és kanonikus egyenlete. Kör

Alapos tanulmányozás után egyenes vonalak a síkon folytatjuk a kétdimenziós világ geometriájának tanulmányozását. A tét megduplázódik, és meghívlak, hogy látogassa meg az ellipszisek, hiperbolák, parabolák festői galériáját, amelyek tipikus képviselői másodrendű sorok. A túra már elkezdődött és rövid tájékoztatás a teljes kiállításról a múzeum különböző emeletein:

Az algebrai egyenes fogalma és sorrendje

Egy síkon lévő egyenest ún algebrai, ha bent affin koordinátarendszer egyenletének alakja , ahol egy polinom, amely a (valós szám, nem negatív egész számok) alak tagjaiból áll.

Mint látható, az algebrai egyenes egyenlete nem tartalmaz szinuszokat, koszinuszokat, logaritmusokat és egyéb funkcionális beau monde-okat. Csak "x" és "y" van benne egész szám nem negatív fokon.

Sorrend egyenlő a benne foglalt kifejezések maximális értékével.

A megfelelő tétel szerint az algebrai egyenes fogalma, valamint sorrendje nem függ a választástól affin koordinátarendszer, ezért a könnyebbség kedvéért úgy gondoljuk, hogy minden további számítás ebben a témában történik Derékszögű koordináták.

Általános egyenlet a másodrendű sor alakja , ahol tetszőleges valós számok (szorzóval szokás írni - "kettő"), és az együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával.

Ha , akkor az egyenlet leegyszerűsödik , és ha az együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával, akkor ez pontosan így van "lapos" egyenes általános egyenlete, amely képviseli elsőrendű sor.

Sokan megértették az új kifejezések jelentését, de ennek ellenére az anyag 100%-os asszimilációja érdekében az ujjunkat bedugjuk a foglalatba. A sorok sorrendjének meghatározásához ismételje meg az ismétlést minden kifejezést egyenleteit és mindegyikre találja meg erők összege bejövő változók.

Például:

a kifejezés 1. fokig "x"-et tartalmaz;
a kifejezés 1. fokig tartalmazza az "Y"-t;
a kifejezésben nincsenek változók, így hatványaik összege nulla.

Most nézzük meg, miért állítja be az egyenlet az egyenest második rendelés:

a kifejezés "x"-et tartalmaz a 2. fokozatban;
a tag a változók fokszámainak összegét tartalmazza: 1 + 1 = 2;
a kifejezés "y"-t tartalmaz a 2. fokozatban;
minden egyéb kifejezés - kevesebb fokozat.

Maximális érték: 2

Ha hozzáadjuk az egyenletünkhöz, mondjuk, akkor már meghatározza harmadik rendű sor. Nyilvánvaló, hogy a 3. rendű soregyenlet általános formája a tagok „teljes halmazát” tartalmazza, amelyben a változók fokszámainak összege három:
, ahol az együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával.

Abban az esetben, ha egy vagy több megfelelő kifejezést adnak hozzá, amelyek tartalmazzák , akkor megbeszéljük 4. rendű sorok stb.

A 3., 4. és magasabb rendű algebrai sorokkal többször kell majd foglalkoznunk, különösen a poláris koordináta-rendszer.

Térjünk azonban vissza az általános egyenlethez, és idézzük fel annak legegyszerűbb iskolai változatait. Példaként a parabola önmagát javasolja, amelynek egyenlete könnyen redukálható Általános nézet, és egy ekvivalens egyenlettel rendelkező hiperbola. Azért nem minden olyan sima....

Az általános egyenlet jelentős hátránya, hogy szinte mindig nem egyértelmű, hogy melyik egyenest határozza meg. Még a legegyszerűbb esetben sem fogja azonnal észrevenni, hogy ez hiperbola. Az ilyen elrendezések csak álarcos színekben jók, ezért legyen tudatában analitikus geometria tipikus feladatnak tekintik a 2. rendű egyenes egyenlet kanonikus formára redukálása.

Mi az egyenlet kanonikus formája?

Ez az egyenlet általánosan elfogadott standard formája, amikor pillanatok alatt kiderül, hogy milyen geometriai objektumot határoz meg. Ezenkívül a kanonikus forma nagyon kényelmes számos gyakorlati feladat megoldásához. Tehát például a kanonikus egyenlet szerint "lapos" egyenes, egyrészt azonnal látható, hogy ez egy egyenes, másrészt a hozzá tartozó pont és az irányvektor egyszerűen látható.

Nyilván bármilyen 1. rendű sor egyenest ábrázol. A második emeleten már nem portás vár ránk, hanem egy sokkal változatosabb kilenc szobor társaság:

Másodrendű sorok osztályozása

Egy speciális műveletkészlet segítségével bármely másodrendű soregyenlet a következő típusok egyikére redukálódik:

(és pozitív valós számok)

1) az ellipszis kanonikus egyenlete;

2) a hiperbola kanonikus egyenlete;

3) a parabola kanonikus egyenlete;

4) – képzeletbeli ellipszis;

5) - egy pár metsző vonal;

6) - pár képzeletbeli metszővonalak (az egyetlen valódi metszésponttal az origóban);

7) - egy pár párhuzamos vonal;

8) - pár képzeletbeli párhuzamos vonalak;

9) egy pár egybeeső vonal.

Néhány olvasónak az a benyomása lehet, hogy a lista nem teljes. Például a 7. bekezdésben az egyenlet beállítja a párt közvetlen, párhuzamos a tengellyel, és felmerül a kérdés: hol van az egyenlet, amely meghatározza az y tengellyel párhuzamos egyeneseket? Válaszold meg nem tekinthető kánonnak. Az egyenes vonalak ugyanazt a 90 fokkal elforgatott standard tokot ábrázolják, és a besorolás további bejegyzése felesleges, mivel semmi alapvetően újat nem hordoz.

Tehát kilenc van és csak kilenc különféle fajták 2. rendű sorok, de a gyakorlatban a leggyakoribbak ellipszis, hiperbola és parabola.

Nézzük először az ellipszist. Szokás szerint azokra a pontokra koncentrálok, amelyek megvannak nagyon fontos problémák megoldásához, és ha képletek részletes levezetésére, tételbizonyításra van szüksége, kérjük, olvassa el például Bazylev / Atanasyan vagy Aleksandrov tankönyvét.

Ellipszis és kanonikus egyenlete

Helyesírás ... kérem, ne ismételje meg néhány Yandex-felhasználó hibáit, akiket érdekel "hogyan építsünk ellipszist", "az ellipszis és az ovális különbsége" és az "elebs excentricitás".

Az ellipszis kanonikus egyenlete alakja , ahol pozitív valós számok, és . Az ellipszis definícióját később fogom megfogalmazni, de most ideje szünetet tartani a beszédben, és megoldani egy gyakori problémát:

Hogyan építsünk ellipszist?

Igen, vedd és rajzold le. A feladat gyakori, és a hallgatók jelentős része nem tud kompetensen megbirkózni a rajzzal:

1. példa

Szerkesszünk meg egy ellipszist az egyenlet alapján!

Megoldás: először hozzuk az egyenletet a kanonikus alakba:

Miért hozza? A kanonikus egyenlet egyik előnye, hogy lehetővé teszi az azonnali meghatározást ellipszis csúcsok, amelyek a pontokon vannak. Könnyen belátható, hogy az egyes pontok koordinátái kielégítik az egyenletet.

Ebben az esetben :


Vonalszakasz hívott főtengely ellipszis;
vonalszakasz – melléktengely;
szám hívott fél-nagy tengely ellipszis;
szám – fél-minor tengely.
példánkban: .

Ha gyorsan elképzelni szeretné, hogyan néz ki ez vagy az az ellipszis, nézze meg kanonikus egyenletének "a" és "be" értékét.

Minden rendben van, ügyes és szép, de van egy figyelmeztetés: a rajzot a program segítségével fejeztem be. És bármilyen alkalmazással rajzolhat. A rideg valóságban azonban egy kockás papírlap hever az asztalon, és egerek táncolnak a kezünk körül. A művészi tehetséggel rendelkezők persze vitatkozhatnak, de neked is vannak egereid (bár kisebbek). Az emberiség nem hiába talált ki egy vonalzót, egy iránytűt, egy szögmérőt és más egyszerű eszközöket a rajzoláshoz.

Emiatt nem valószínű, hogy tudunk pontosan megrajzolni egy ellipszist, ha csak a csúcsokat ismerjük. Még mindig rendben van, ha az ellipszis kicsi, például féltengelyekkel. Alternatív megoldásként csökkentheti a rajz léptékét és ennek megfelelően a méreteit. De általános eset nagyon kívánatos további pontokat találni.

Kétféle megközelítés létezik az ellipszis felépítésére: geometriai és algebrai. Nem szeretek iránytűvel és vonalzóval építeni a rövid algoritmus és a rajz jelentős zűrzavara miatt. Amikor vészhelyzet kérem nézze meg a tankönyvet, de a valóságban sokkal racionálisabb az algebra eszközeit használni. A vázlaton lévő ellipszis egyenletből gyorsan kifejezzük:

Az egyenlet ezután két függvényre oszlik:
– meghatározza az ellipszis felső ívét;
– meghatározza az ellipszis alsó ívét.

A kanonikus egyenlet által adott ellipszis szimmetrikus a koordinátatengelyekre, valamint az origóra. És ez nagyszerű – a szimmetria szinte mindig az ajándékozás előhírnöke. Nyilván elég az 1. koordinátanegyeddel foglalkozni, így kell egy függvény . Azt javasolja, hogy találjon további pontokat abszcisszákkal . Három SMS-t ütöttünk a kalkulátoron:

Persze az is kellemes, hogy ha komoly hiba történik a számításokban, akkor ez a kivitelezés során azonnal kiderül.

Jelölje meg a pontokat a rajzon (piros szín), szimmetrikus pontok más íveken ( Kék szín), és szépen kösse össze az egész céget egy vonallal:


Jobb, ha a kezdeti vázlatot vékonyan és vékonyan rajzolja meg, és csak ezután gyakoroljon nyomást a ceruzára. Az eredmény egy egészen tisztességes ellipszis legyen. Egyébként szeretnéd tudni, hogy mi ez a görbe?

Az ellipszis definíciója. Ellipszis gócok és ellipszis excentricitás

Az ellipszis az ovális speciális esete. Az "ovális" szót nem filiszteri értelemben kell érteni ("a gyerek oválist rajzolt" stb.). Ez egy matematikai kifejezés, részletes megfogalmazással. Ennek a leckének nem az a célja, hogy megvizsgálja az oválisok elméletét és különféle típusait, amelyek gyakorlatilag nem kapnak figyelmet az analitikus geometria standard tanfolyamán. És az aktuálisabb igényeknek megfelelően azonnal rátérünk az ellipszis szigorú meghatározására:

Ellipszis- ez a sík összes pontjának halmaza, amelyek távolságának összege két adott ponttól, ún. trükkök ellipszis, számszerűen állandó érték hosszával egyenlő ennek az ellipszisnek a főtengelye: .
Ebben az esetben a gócok közötti távolság kisebb adott értéket: .

Most már világosabb lesz:

Képzelje el, hogy a kék pont egy ellipszisen "lovagol". Tehát függetlenül attól, hogy az ellipszis melyik pontját vesszük, a szakaszok hosszának összege mindig ugyanaz lesz:

Győződjön meg róla, hogy példánkban az összeg értéke valóban nyolc. Helyezze gondolatban az "em" pontot az ellipszis jobb csúcsába, majd: , amelyet ellenőrizni kellett.

Az ellipszis rajzolásának másik módja az ellipszis definícióján alapul. felsőbb matematika, időnként a feszültség és a stressz okozója, így itt az ideje egy újabb kirakodó alkalomnak. Kérjük, vegyen egy darab papírt vagy egy nagy kartonlapot, és rögzítse két szöggel az asztalhoz. Ezek trükkök lesznek. Kössünk zöld szálat a kiálló szögfejekre, és húzzuk végig ceruzával. A ceruza nyaka egy ponton lesz, ami az ellipszishez tartozik. Most kezdje el vezetni a ceruzát a papírlapon, miközben a zöld cérna nagyon feszes marad. Addig folytasd a folyamatot, amíg vissza nem térsz a kiindulási ponthoz... kitűnő... a rajzot az orvos ellenőrzésre beküldheti a tanárnak =)

Hogyan lehet megtalálni az ellipszis fókuszát?

A fenti példában "kész" fókuszpontokat ábrázoltam, és most megtanuljuk, hogyan vonhatjuk ki őket a geometria mélységeiből.

Ha az ellipszist a kanonikus egyenlet adja, akkor a fókuszpontjainak koordinátái vannak , hol van az egyes fókuszpontok és az ellipszis szimmetriaközéppontja közötti távolság.

A számítások egyszerűbbek, mint a párolt fehérrépa esetében:

! A "ce" jelentéssel lehetetlen azonosítani a trükkök konkrét koordinátáit! Ismétlem, ez van TÁVOLSÁG az egyes fókuszoktól a középpontig(amelynek általában nem kell pontosan az origóban elhelyezkednie).
Ezért a gócok távolsága sem köthető az ellipszis kanonikus helyzetéhez. Más szóval, az ellipszis áthelyezhető egy másik helyre, és az érték változatlan marad, míg a fókuszok természetesen megváltoztatják a koordinátáikat. Kérlek gondold meg Ebben a pillanatban a téma további tanulmányozása során.

Az ellipszis excentricitása és geometriai jelentése

Az ellipszis excentricitása egy olyan arány, amely értéket vehet fel .

A mi esetünkben:

Nézzük meg, hogyan függ az ellipszis alakja az excentricitásától. Ezért rögzítse a bal és a jobb csúcsot a vizsgált ellipszis értéke, vagyis a fél-nagy tengely értéke állandó marad. Ekkor az excentricitási képlet a következő alakot veszi fel: .

Kezdjük közelíteni az excentricitás értékét az egységhez. Ez csak akkor lehetséges, ha. Mit jelent? ...trükkökre emlékezni . Ez azt jelenti, hogy az ellipszis fókuszai az abszcissza tengely mentén az oldalcsúcsok felé "szétoszlanak". És mivel „a zöld szegmensek nem gumik”, az ellipszis elkerülhetetlenül ellaposodni kezd, és egyre vékonyabb, tengelyre felfűzött kolbászsá válik.

És így, minél közelebb van az ellipszis excentricitása egyhez, annál hosszabb az ellipszis.

Most szimuláljuk az ellenkező folyamatot: az ellipszis fókuszát egymás felé mentek, a központ felé közeledve. Ez azt jelenti, hogy a "ce" értéke egyre kisebb, és ennek megfelelően az excentricitás nullára hajlik: .
Ebben az esetben a „zöld szegmensek” éppen ellenkezőleg, „zsúfolttá válnak”, és elkezdik „fel-le tolni” az ellipszis vonalát.

És így, minél közelebb van az excentricitás értéke nullához, annál jobban néz ki az ellipszis... nézd meg a határesetet, amikor a gócok sikeresen egyesülnek az origónál:

A kör az ellipszis speciális esete

Valójában a féltengelyek egyenlősége esetén az ellipszis kanonikus egyenlete ölt formát, amely reflexszerűen átalakul a jól ismert köregyenletté az "a" sugár origójában lévő iskolából.

A gyakorlatban gyakrabban használják a „beszélő” „er” betűt tartalmazó jelölést:. A sugarat a szakasz hosszának nevezzük, míg a kör minden pontját a sugár távolsága távolítja el a középponttól.

Megjegyezzük, hogy az ellipszis definíciója teljesen helyes marad: a fókuszok illeszkednek, és a kör minden pontjára illeszkedő szakaszok hosszának összege állandó érték. Mivel a gócok közötti távolság az bármely kör excentricitása nulla.

Könnyen és gyorsan felépül egy kör, elég, ha felvértezed magad egy iránytűvel. Néha azonban meg kell találni egyes pontjainak koordinátáit, ebben az esetben a megszokott úton járunk - az egyenletet vidám Matan alakra hozzuk:

a felső félkör funkciója;
az alsó félkör funkciója.

Aztán megtaláljuk kívánt értékeket, megkülönböztethető, egyesítés csinálj más jó dolgokat.

A cikk természetesen csak tájékoztató jellegű, de hogyan élhet valaki szerelem nélkül a világon? Kreatív feladat önálló megoldásra

2. példa

Állítsa össze egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha az egyik gócja és a fél-minor tengelye ismert (a középpont az origóban van). Keressen csúcsokat, további pontokat, és húzzon egy vonalat a rajzon. Számítsa ki az excentricitást!

Megoldás és rajz az óra végén

Adjunk hozzá egy műveletet:

Ellipszis elforgatása és lefordítása

Térjünk vissza az ellipszis kanonikus egyenletéhez, mégpedig ahhoz a feltételhez, amelynek rejtvénye e görbe első említése óta gyötri a kíváncsi elméket. Itt egy ellipszist vettünk figyelembe , de a gyakorlatban nem lehet az egyenletet ? Hiszen itt azonban úgy tűnik, ez is olyan, mint egy ellipszis!

Ritka egy ilyen egyenlet, de előfordul. És ez meghatároz egy ellipszist. Eloszlatjuk a misztikumot:

A konstrukció eredményeként natív ellipszisünket kapjuk, 90 fokkal elforgatva. vagyis - Ezt nem kanonikus bejegyzés ellipszis . Rekord!- az egyenlet nem határoz meg más ellipszist, mivel a tengelyen nincsenek olyan pontok (gócok), amelyek megfelelnének az ellipszis definíciójának.

Az ellipszis kanonikus egyenlete alakja

ahol a a fél-nagy tengely; b - kisebb féltengely. Az F1(c,0) és F2(-c,0) − c pontokat hívjuk

a, b - az ellipszis féltengelyei.

Egy ellipszis gócainak, excentricitásának, irányítópontjának megtalálása, ha ismert a kanonikus egyenlete.

A hiperbola definíciója. Hiperbola gócok.

Meghatározás. A hiperbola egy síkban lévő pontok halmaza, amelyeknél a két adott ponttól való távolságkülönbség modulusa, úgynevezett gócok, állandó érték, kisebb, mint a fókuszpontok távolsága.

Definíció szerint |r1 – r2|= 2a. F1, F2 a hiperbola fókuszpontjai. F1F2 = 2c.

A hiperbola kanonikus egyenlete. A hiperbola féltengelyei. Hiperbola szerkesztése, ha ismert a kanonikus egyenlete.

Kanonikus egyenlet:

A hiperbola félnagytengelye a hiperbola két ága közötti minimális távolság fele, a pozitív ill. negatív oldalai tengelyek (az origóhoz képest balra és jobbra). A pozitív oldalon található ágnál a féltengely egyenlő lesz:

Ha a kúpmetszet és az excentricitás segítségével fejezzük ki, akkor a kifejezés a következő alakot ölti:

Hiperbola gócainak, excentricitásának, irányítópontjának megtalálása, ha ismert a kanonikus egyenlete.

A hiperbola excentricitása

Meghatározás. Az arányt a hiperbola excentricitásának nevezzük, ahol c -

a gócok közötti távolság fele, és ez a valódi féltengely.

Figyelembe véve azt a tényt, hogy c2 - a2 = b2:

Ha a \u003d b, e \u003d, akkor a hiperbolát egyenlő oldalúnak (egyenoldalúnak) nevezzük.

A hiperbola irányai

Meghatározás. A hiperbola valós tengelyére merőleges és a középpontra szimmetrikusan a / e távolságra elhelyezkedő egyenest a hiperbola irányítóinak nevezzük. Egyenleteik a következők:

Tétel. Ha r a távolság a hiperbola tetszőleges M pontjától valamilyen fókuszig, d pedig az ugyanannak a pontnak a távolsága az ennek a fókusznak megfelelő irányítóponttól, akkor az r/d arány az excentricitással egyenlő állandó érték.

A parabola definíciója. A parabola fókusza és irányvonala.

Parabola. A parabola a pontok helye, amelyek mindegyike egyforma távolságra van egy adott fix ponttól és egy adott rögzített egyenestől. A definícióban hivatkozott pontot a parabola fókuszának, az egyenest pedig irányítójának nevezzük.

A parabola kanonikus egyenlete. parabola paraméter. Parabola építése.

A parabola kanonikus egyenlete téglalap alakú koordinátarendszerben: (vagy ha a tengelyeket megfordítjuk).

A parabola felépítése a p paraméter adott értékéhez a következő sorrendben történik:

Rajzoljuk meg a parabola szimmetriatengelyét, és fektessük rá a KF=p szakaszt;

A DD1 irányvonalat a szimmetriatengelyre merőleges K ponton keresztül húzzuk;

A KF szakaszt felére osztva megkapjuk a parabola 0 csúcsát;

Számos tetszőleges pontot (1, 2, 3, 5, 6) felülről mérünk, fokozatosan növekvő távolsággal közöttük;

Ezeken a pontokon keresztül a parabola tengelyére merőleges segédvonalak húzódnak;

A segéd egyenes vonalakon a serifeket olyan sugárral készítik, amely megegyezik az egyenes és a direktrix távolságával;

A kapott pontokat sima görbe köti össze.

Meghatározás 7.1. A sík azon pontjainak halmazát, amelyekre két fix pont F 1 és F 2 távolságának összege adott állandó, az ún. ellipszis.

Az ellipszis definíciója a következő módot adja a geometriai felépítésre. Rögzítünk két F 1 és F 2 pontot a síkon, és egy nem negatív állandó értéket jelölünk 2a-val. Legyen az F 1 és F 2 pontok távolsága 2c. Képzeljük el, hogy például két tű segítségével egy 2a hosszúságú nyújthatatlan szálat rögzítünk az F 1 és F 2 pontokhoz. Nyilvánvaló, hogy ez csak ≥ c esetén lehetséges. A szálat ceruzával húzva húzzon egy vonalat, amely ellipszis lesz (7.1. ábra).

Tehát a leírt halmaz nem üres, ha a ≥ c. Ha a = c, akkor az ellipszis F 1 és F 2 végű szakasz, ha pedig c = 0, azaz. ha az ellipszis definíciójában megadott fix pontok egybeesnek, akkor a sugarú körről van szó. Ha elvetjük ezeket a degenerált eseteket, akkor általában azt feltételezzük, hogy a > c > 0.

Az ellipszis 7.1 definíciójában szereplő F 1 és F 2 rögzített pontokat (lásd 7.1. ábra) ún. ellipszis trükkök, a köztük lévő távolságot 2c jelöli, - gyújtótávolság, valamint az F 1 M és F 2 M szakaszok, amelyek az ellipszis egy tetszőleges M pontját kapcsolják össze annak fókuszával, - fókuszsugarak.

Az ellipszis formáját teljesen meghatározza a fókusztávolság |F 1 F 2 | = 2с és az a paraméter, valamint annak helyzete a síkon - F 1 és F 2 pontpárral.

Az ellipszis definíciójából következik, hogy szimmetrikus az F 1 és F 2 fókuszokon áthaladó egyenesre, valamint az F 1 F 2 szakaszt kettéosztó, rá merőleges egyenesre (1. 7.2, a). Ezeket a vonalakat hívják ellipszis tengelyek. Metszéspontjuk O pontja az ellipszis szimmetriaközéppontja, és ún az ellipszis középpontja, valamint az ellipszis és a szimmetriatengelyek metszéspontjai (A, B, C és D pontok a 7.2. ábrán, a) - az ellipszis csúcsai.

Az a számot hívják ellipszis fél-főtengelye, és b = √ (a 2 - c 2) - annak fél-minor tengely. Könnyen belátható, hogy c > 0 esetén az a fő féltengely egyenlő az ellipszis középpontja és azon csúcsai közötti távolsággal, amelyek ugyanazon a tengelyen vannak, mint az ellipszis fókuszai (az A és B csúcsok az ábrán). 7.2, a), és a b kis féltengely egyenlő a középső ellipszis és a másik két csúcs (a 7.2. ábrán a C és D csúcsok a) távolságával.

Ellipszis egyenlet. Tekintsünk néhány ellipszist a síkon, amelynek fókuszai az F 1 és F 2 pontokban, a 2a főtengelyen vannak. Legyen 2c a gyújtótávolság, 2c = |F 1 F 2 |

A síkon egy téglalap alakú Oxy koordináta-rendszert választunk úgy, hogy az origója egybeessen az ellipszis középpontjával, és a fókuszok abszcissza(7.2. ábra, b). Ezt a koordinátarendszert ún kánoni a vizsgált ellipszisre, és a megfelelő változók kánoni.

A kiválasztott koordinátarendszerben a fókuszpontok koordinátái F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). A pontok közötti távolság képletével felírjuk az |F 1 M| feltételt + |F 2 M| = 2a koordinátákban:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ez az egyenlet kényelmetlen, mert két négyzetgyököt tartalmaz. Tehát alakítsuk át. Vigyük át a (7.2) egyenletben szereplő második gyököt ide jobb oldalés négyzet alakú:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

A zárójelek kinyitása és a hasonló kifejezések redukálása után azt kapjuk

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

ahol ε = c/a. A négyzetesítési műveletet megismételjük a második gyök eltávolításához is: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, vagy a megadott ε paraméter értékével (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Mivel a 2 - c 2 = b 2 > 0, akkor

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4.)

A (7.4) egyenletet az ellipszisen fekvő összes pont koordinátái teljesítik. Ennek az egyenletnek a származtatása során azonban az eredeti (7.2) egyenlet nem egyenértékű transzformációit használták – két négyzetre emelést, amelyek eltávolítják a négyzetgyököket. Egy egyenlet négyzetesítése ekvivalens transzformáció, ha mindkét oldalon azonos előjelű mennyiségek vannak, de ezt nem ellenőriztük a transzformációinknál.

Nem biztos, hogy ellenőrizzük a transzformációk egyenértékűségét, ha figyelembe vesszük a következőket. F 1 és F 2 pontpár, |F 1 F 2 | = 2c, a síkon egy ellipsziscsaládot határoz meg ezeken a pontokon fókuszokkal. A sík minden pontja, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait, a jelzett család valamelyik ellipsziséhez tartozik. Ebben az esetben nincs két ellipszis metszéspontja, mivel a fókuszsugarak összege egyértelműen meghatároz egy adott ellipszist. Tehát a metszéspontok nélküli ellipszisek leírt családja lefedi a teljes síkot, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait. Tekintsünk egy olyan ponthalmazt, amelyek koordinátái kielégítik a (7.4) egyenletet az a paraméter adott értékével. Elosztható ez a halmaz több ellipszis között? A halmaz egyes pontjai egy fél-nagy tengelyű ellipszishez tartoznak a. Legyen ebben a halmazban egy pont, amely egy a fél-nagy tengelyű ellipszisen fekszik. Ekkor ennek a pontnak a koordinátái engedelmeskednek az egyenletnek

azok. a (7.4) és (7.5) egyenleteknek van általános megoldások. Könnyű azonban ellenőrizni, hogy a rendszer

ã ≠ a-nak nincs megoldása. Ehhez elegendő például az x-et kizárni az első egyenletből:

amely transzformációk után az egyenlethez vezet

nincs megoldása ã ≠ a-ra, mert . Tehát a (7.4) egyenlet annak az ellipszisnek az egyenlete, amelynek fél-nagy tengelye a > 0 és mellék-féltengelye b = √ (a 2 - c 2) > 0. az ellipszis kanonikus egyenlete.

Ellipszis nézet. Az ellipszis felépítésének fentebb bemutatott geometriai módszere kellő képet ad arról kinézet ellipszis. De az ellipszis alakja a (7.4) kanonikus egyenlet segítségével is vizsgálható. Például, ha y ≥ 0, akkor kifejezheti y-t x-szel: y = b√(1 - x 2 /a 2), és miután megvizsgálta ezt a függvényt, elkészítheti a gráfját. Van egy másik módja az ellipszis felépítésének. Az ellipszis (7.4) kanonikus koordináta-rendszerének origójában lévő a sugarú kört az x 2 + y 2 = a 2 egyenlet írja le. Ha az a/b > 1 együtthatóval tömörítjük végig y tengely, akkor egy görbét kapunk, amelyet az x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2 egyenlet ír le, azaz egy ellipszis.

Megjegyzés 7.1. Ha ugyanazt a kört összenyomjuk az a/b együtthatóval

Ellipszis excentricitás. Az ellipszis fókusztávolságának és főtengelyének arányát nevezzük ellipszis excentricitásés ε-vel jelöljük. Adott ellipszisre

kanonikus egyenlet (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Ha a (7.4)-ben az a és b paramétereket az a egyenlőtlenség kapcsolja össze

Ha c = 0, amikor az ellipszis körré változik, és ε = 0. Más esetekben 0

A (7.3) egyenlet ekvivalens a (7.4) egyenlettel, mert a (7.4) és (7.2) egyenletek egyenértékűek. Ezért (7.3) is ellipszis egyenlet. Ráadásul a (7.3) összefüggés érdekessége, hogy egyszerű gyökmentes képletet ad az |F 2 M| hosszra. az ellipszis M(x; y) pontjának egyik fókuszsugara: |F 2 M| = a + εx.

Hasonló képletet kaphatunk a második fókuszsugárra szimmetria-megfontolások alapján vagy olyan számítások megismétlésével, amelyekben a (7.2) egyenlet négyzetesítése előtt az első gyök kerül át a jobb oldalra, és nem a második. Tehát az ellipszis bármely M(x; y) pontjára (lásd a 7.2. ábrát)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

és ezen egyenletek mindegyike ellipszis-egyenlet.

7.1. példa. Keressük meg egy 5-ös félnagytengelyű és 0,8 excentricitású ellipszis kanonikus egyenletét, és állítsuk össze.

Ismerve az ellipszis fő féltengelyét a = 5 és az excentricitást ε = 0,8, megtaláljuk a b kis féltengelyét. Mivel b \u003d √ (a 2 - c 2), és c \u003d εa \u003d 4, akkor b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Tehát a kanonikus egyenlet alakja x 2 / 5 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Ellipszis készítéséhez célszerű a kanonikus koordináta-rendszer origójának középpontjában álló téglalapot rajzolni, amelynek oldalai párhuzamosak az ellipszis szimmetriatengelyével és egyenlőek az ellipszis szimmetriatengelyével megfelelő tengelyek (7.4. ábra). Ez a téglalap metszi a

az ellipszis tengelyei A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) csúcsaiban, és maga az ellipszis is bele van írva. ábrán. A 7.4 az ellipszis F 1,2 (±4; 0) fókuszát is mutatja.

Az ellipszis geometriai tulajdonságai.Írjuk át a (7.6) első egyenletét |F 1 M|-re = (а/ε - x)ε. Figyeljük meg, hogy a / ε - x értéke a > c esetén pozitív, mivel az F 1 fókusz nem tartozik az ellipszishez. Ez az érték a d függőleges egyenes távolsága: x = a/ε az ettől az egyenestől balra lévő M(x; y) ponttól. Az ellipszis egyenlet így írható fel

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

Ez azt jelenti, hogy ez az ellipszis a sík azon M (x; y) pontjaiból áll, amelyeknél az F 1 M fókuszsugár hosszának és a d egyenes távolságának aránya ε-val egyenlő állandó érték. 7.5).

A d vonalnak van egy "dupla" - egy függőleges d vonala, amely szimmetrikus d-vel az ellipszis középpontjához képest, amelyet az x \u003d -a / ε egyenlet ad meg. A d tekintetében az ellipszist írjuk le ugyanúgy, mint d tekintetében. Mind a d, mind a d" sort hívják ellipszis direktixek. Az ellipszis irányvonalai merőlegesek az ellipszis szimmetriatengelyére, amelyen a gócok találhatók, és az ellipszis középpontjától a / ε = a 2 / c távolsággal választják el őket (lásd 7.5. ábra).

A direktixtől a legközelebbi fókusztól mért p távolságot nevezzük az ellipszis fókuszparamétere. Ez a paraméter egyenlő

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Az ellipszisnek van még egy fontos geometriai tulajdonsága: az F 1 M és F 2 M fókuszsugarak egyenlő szöget zárnak be az ellipszis érintőjével az M pontban (7.6. ábra).

Ennek a tulajdonságnak egyértelmű fizikai jelentése van. Ha egy fényforrást helyezünk az F 1 fókuszba, akkor az ebből a fókuszból kilépő nyaláb az ellipszisről való visszaverődés után a második fókuszsugár mentén megy, mivel visszaverődés után ugyanolyan szögben lesz a görbével, mint a visszaverődés előtt. . Így az F 1 fókuszt elhagyó összes sugár a második F 2 fókuszban koncentrálódik és fordítva. Ezen értelmezés alapján ezt a tulajdonságot ún egy ellipszis optikai tulajdonsága.

Előadások algebráról és geometriáról. 1. félév.

15. előadás Ellipszis.

15. fejezet

1. tétel. Alapvető definíciók.

Meghatározás. Az ellipszis egy sík GMT-je, amelynek a sík két fix pontja, úgynevezett fókuszpont távolságának összege állandó érték.

Meghatározás. A sík tetszőleges M pontja és az ellipszis fókusz közötti távolságát az M pont fókuszsugarának nevezzük.

Megnevezések:
az ellipszis fókuszai,
az M pont fókuszsugarai.

Az ellipszis definíciója szerint egy M pont akkor és csak akkor az ellipszis pontja
állandó érték. Ezt az állandót általában 2a-val jelölik:

. (1)

vegye észre, az
.

Az ellipszis definíciója szerint a fókuszpontjai fix pontok, így a köztük lévő távolság is állandó érték az adott ellipszisnél.

Meghatározás. Az ellipszis fókuszpontjai közötti távolságot gyújtótávolságnak nevezzük.

Kijelölés:
.

Egy háromszögből
ezt követi
, azaz

.

Jelölje b-vel az egyenlő számot
, azaz

. (2)

Meghatározás. Hozzáállás

(3)

az ellipszis excentricitásának nevezzük.

Vezessünk be egy koordinátarendszert az adott síkon, amit az ellipszisre kanonikusnak nevezünk.

Meghatározás. Azt a tengelyt, amelyen az ellipszis gócai helyezkednek el, fókusztengelynek nevezzük.

Szerkesszük meg az ellipszis kanonikus PDSC-jét, lásd a 2. ábrát.

A fókusztengelyt választjuk abszcissza tengelynek, és az ordináta tengelyt a szakasz közepén keresztül rajzoljuk
merőleges a fókusztengelyre.

Ekkor a gócoknak vannak koordinátái
,
.

2. tétel. Ellipszis kanonikus egyenlete.

Tétel. Az ellipszis kanonikus koordinátarendszerében az ellipszis egyenlet a következőképpen alakul:

. (4)

Bizonyíték. A bizonyítást két szakaszban végezzük. Az első lépésben bebizonyítjuk, hogy az ellipszis bármely pontjának koordinátái kielégítik a (4) egyenletet. A második lépésben bebizonyítjuk, hogy a (4) egyenlet bármely megoldása megadja az ellipszisen fekvő pont koordinátáit. Innen következik, hogy a (4) egyenletet a koordinátasík azon pontjai és csak azok a pontjai teljesítik, amelyek az ellipszisen helyezkednek el. Innen és a görbeegyenlet definíciójából az következik, hogy a (4) egyenlet egy ellipszis egyenlet.

1) Legyen az M(x, y) pont az ellipszis egyik pontja, azaz. fókuszsugarainak összege 2a:

.

Két pont közötti távolság képletét használjuk Koordináta síkés keresse meg egy adott M pont fókuszsugarát a következő képlettel:

,
, honnan kapjuk:

Mozgassunk egy gyökérrel az egyenlőség jobb oldalára, és négyzetre emeljük:

Csökkentve a következőket kapjuk:

Hasonlókat adunk, csökkentjük 4-gyel, és elkülönítjük a gyököt:

.

Nézzünk

Nyissa ki a zárójeleket és rövidítse le
:

honnan kapjuk:

A (2) egyenlőség felhasználásával a következőket kapjuk:

.

Az utolsó egyenlőséget osztva ezzel
, egyenlőséget kapunk (4), p.t.d.

2) Most egy (x, y) számpár teljesítse a (4) egyenletet, és legyen M(x, y) a megfelelő pont az Oxy koordinátasíkon.

Ezután a (4)-ből a következő:

.

Ezt az egyenlőséget behelyettesítjük az M pont fókuszsugarainak kifejezésébe:

.

Itt a (2) és (3) egyenlőséget használtuk.

És így,
. Hasonlóképpen,
.

Most vegyük észre, hogy a (4) egyenlőségből az következik

vagy
és mert
, akkor a következő egyenlőtlenség következik:

.

Ebből viszont az következik

vagy
És

,
. (5)

Az (5) egyenlőségekből következik, hogy
, azaz az M(x, y) pont az ellipszis pontja stb.

A tétel bizonyítást nyert.

Meghatározás. A (4) egyenletet az ellipszis kanonikus egyenletének nevezzük.

Meghatározás. Az ellipszis kanonikus koordinátatengelyeit az ellipszis főtengelyeinek nevezzük.

Meghatározás. Az ellipszis kanonikus koordinátarendszerének origóját az ellipszis középpontjának nevezzük.

3. tétel. Ellipszis tulajdonságai.

Tétel. (Egy ellipszis tulajdonságai.)

1. Az ellipszis kanonikus koordinátarendszerében minden

az ellipszis pontjai a téglalapban vannak

,
.

2. Pontok fekszenek

3. Az ellipszis egy körre szimmetrikus görbe

fő tengelyeiket.

4. Az ellipszis középpontja a szimmetriaközéppontja.

Bizonyíték. 1, 2) Azonnal következik az ellipszis kanonikus egyenletéből.

3, 4) Legyen M(x, y) az ellipszis tetszőleges pontja. Ekkor a koordinátái kielégítik a (4) egyenletet. De akkor a pontok koordinátái is kielégítik a (4) egyenletet, és ezért azok az ellipszis pontjai, amelyekből a tétel állításai következnek.

A tétel bizonyítást nyert.

Meghatározás. A 2a mennyiséget az ellipszis főtengelyének, az a mennyiséget az ellipszis fő féltengelyének nevezzük.

Meghatározás. A 2b mennyiséget az ellipszis melléktengelyének, a b mennyiséget az ellipszis kis féltengelyének nevezzük.

Meghatározás. Az ellipszis főtengelyeivel való metszéspontjait ellipsziscsúcsoknak nevezzük.

Megjegyzés. Egy ellipszist a következő módon lehet megszerkeszteni. Egy síkban „szöget verünk” a trükkökbe, és egy hosszúságú szálat rögzítünk hozzájuk
. Majd veszünk egy ceruzát és azzal feszítjük ki a cérnát. Ezután mozgatjuk a ceruza vezetékét a síkon, ügyelve arra, hogy a cérna feszes állapotban legyen.

Az excentricitás definíciójából az következik

Rögzítünk egy a számot, és hagyjuk, hogy c legyen nulla. Aztán at
,
És
. Abban a határban, amit kapunk

vagy
a kör egyenlet.

Most törekedjünk
. Akkor
,
és azt látjuk, hogy a határértékben az ellipszis vonalszakasszá degenerálódik
3. ábra jelölésében.

4. tétel. Ellipszis paraméteres egyenletei.

Tétel. Hadd
tetszőleges valós számok. Aztán az egyenletrendszer

,
(6)

Az ellipszis kanonikus koordináta-rendszerében az ellipszis parametrikus egyenletei.

Bizonyíték. Elegendő annak bizonyítása, hogy a (6) egyenletrendszer ekvivalens a (4) egyenlettel, azaz. ugyanaz a megoldáskészletük.

1) Legyen (x, y) a (6) rendszer tetszőleges megoldása. Osszuk el az első egyenletet a-val, a másodikat b-vel, négyzetesítsük mindkét egyenletet, és adjuk hozzá:

.

Azok. a (6) rendszer bármely (x, y) megoldása kielégíti a (4) egyenletet.

2) Fordítva, legyen az (x, y) pár megoldása a (4) egyenletre, azaz.

.

Ebből az egyenlőségből következik, hogy a koordinátákkal rendelkező pont
egy egységsugarú körön fekszik, amelynek középpontja az origó, azaz. a trigonometrikus kör egy pontja, amely valamilyen szögnek felel meg
:

A szinusz és koszinusz definíciójából rögtön az következik

,
, Ahol
, amiből az következik, hogy az (x, y) pár a (6) rendszer megoldása stb.

A tétel bizonyítást nyert.

Megjegyzés. Ellipszist kaphatunk az a sugarú körnek az abszcissza tengelyéhez való egyenletes "összenyomódása" eredményeként.

Hadd
az origó középpontú kör egyenlete. A kör "összenyomása" az abszcissza tengelyre nem más, mint a koordinátasík transzformációja, amelyet a következő szabály szerint hajtunk végre. Minden M(x, y) ponthoz egy azonos síkú pontot teszünk
, Ahol
,
a "kompressziós" tényező.

Ezzel a transzformációval a kör minden pontja "átmegy" a sík egy másik pontjába, amelynek ugyanaz az abszcisszán, de kisebb az ordinátája. Fejezzük ki a pont régi ordinátáját az újjal:

és behelyettesítjük a köregyenletbe:

.

Innen kapjuk:

. (7)

Ebből az következik, hogy ha a "kompressziós" transzformáció előtt az M(x, y) pont a körön feküdt, azaz. koordinátái kielégítették a köregyenletet, majd a "kompressziós" transzformáció után ez a pont "átment" a pontba
, melynek koordinátái kielégítik a (7) ellipszis egyenletet. Ha egy b kisebb féltengellyel rendelkező ellipszis egyenletét szeretnénk megkapni, akkor a tömörítési tényezőt kell venni

.

5. tétel. Ellipszis érintője.

Tétel. Hadd
- az ellipszis tetszőleges pontja

.

Ezután ennek az ellipszisnek az érintőjének egyenlete a pontban
úgy néz ki, mint a:

. (8)

Bizonyíték. Elegendő azt az esetet figyelembe venni, amikor az érintési pont a koordinátasík első vagy második negyedében található:
. Az ellipszis egyenlet a felső félsíkban a következőképpen alakul:

. (9)

Használjuk a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét
azon a ponton
:

Ahol
a függvény deriváltjának értéke a pontban
. Az ellipszis az első negyedévben a (8) függvény grafikonjaként tekinthető. Keressük származékát és értékét az érintkezési pontban:

,

. Itt azt a tényt használtuk ki, hogy az érintési pont
az ellipszis egy pontja, ezért koordinátái kielégítik az ellipszis (9) egyenletét, azaz.

.

A derivált talált értékét behelyettesítjük a (10) érintőegyenletbe:

,

honnan kapjuk:

Ez a következőket jelenti:

Osszuk fel ezt az egyenletet
:

.

Azt kell még megjegyezni
, mert pont
az ellipszishez tartozik és koordinátái kielégítik az egyenletét.

A (8) érintőegyenletet a koordinátasík harmadik vagy negyedik negyedében elhelyezkedő érintőponton is hasonlóképpen bizonyítjuk.

És végül könnyen beláthatjuk, hogy a (8) egyenlet megadja a pontokban lévő érintő egyenletét.
,
:

vagy
, És
vagy
.

A tétel bizonyítást nyert.

6. tétel. Az ellipszis tükörtulajdonsága.

Tétel. Az ellipszis érintője egyenlő szögeket zár be az érintőpont fókuszsugarával.

Hadd
- kapcsolattartási pont
,
az érintőpont fókuszsugarai, P és Q a fókuszok vetületei az ellipszisre a pontban húzott érintőre
.

A tétel azt mondja ki

. (11)

Ez az egyenlőség úgy értelmezhető, mint a fókuszából felszabaduló ellipszis fénysugár beesési és visszaverődési szögeinek egyenlősége. Ezt a tulajdonságot az ellipszis tükörtulajdonságának nevezzük:

Az ellipszis fókuszpontjából kibocsátott fénysugár az ellipszis tükréről való visszaverődés után áthalad az ellipszis másik fókuszán.

A tétel bizonyítása. A (11) szögek egyenlőségének bizonyításához bizonyítjuk a háromszögek hasonlóságát
És
, amelyben az oldalak
És
hasonló lesz. Mivel a háromszögek derékszögűek, elegendő az egyenlőség bizonyításához

Az ellipszis a pontok helye egy síkban, az egyes pontok távolságának összege két adott F_1 pontig, az F_2 pedig egy állandó érték (2a), nagyobb, mint az adott pontok közötti távolság (2c). 3.36, a). Ez a geometriai meghatározás kifejezi egy ellipszis fókusztulajdonsága.

Egy ellipszis fókusztulajdonsága

Az F_1 és F_2 pontokat az ellipszis fókuszának nevezzük, a köztük lévő távolság 2c=F_1F_2 a gyújtótávolság, az F_1F_2 szakasz O felezőpontja az ellipszis középpontja, a 2a szám az ellipszis főtengelyének hossza. az ellipszis (illetve az a szám az ellipszis fő féltengelye). Az ellipszis tetszőleges M pontját annak fókuszaival összekötő F_1M és F_2M szakaszokat az M pont fókuszsugarának nevezzük. Az ellipszis két pontját összekötő szakaszt az ellipszis húrjának nevezzük.

Az e=\frac(c)(a) arányt az ellipszis excentricitásának nevezzük. A (2a>2c) definícióból az következik, hogy 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Az ellipszis geometriai meghatározása, amely a fókusztulajdonságát fejezi ki, ekvivalens az analitikai definíciójával - egy ellipszis kanonikus egyenlete által adott egyenes:

Valóban, vezessünk be egy derékszögű koordináta-rendszert (3.36. ábra, c). Az ellipszis O középpontját tekintjük a koordinátarendszer origójának; a fókuszon áthaladó egyenest (a fókusztengelyt vagy az ellipszis első tengelyét) vesszük abszcissza tengelynek (a rajta lévő pozitív irány az F_1 ponttól az F_2 pontig); a fókusztengelyre merőleges és az ellipszis középpontján (az ellipszis második tengelyén) átmenő egyenest vesszük y tengelynek (az y tengely irányát úgy választjuk meg, hogy az Oxy derékszögű koordinátarendszer helyes legyen ).

Fogalmazzuk meg az ellipszis egyenletét annak geometriai definíciójával, amely a fókusztulajdonságot fejezi ki. A kiválasztott koordinátarendszerben meghatározzuk a gócok koordinátáit F_1(-c,0),~F_2(c,0). Az ellipszishez tartozó tetszőleges M(x,y) pontra a következőt kapjuk:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Ezt az egyenlőséget koordináta alakban felírva a következőt kapjuk:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

A második gyököt átvisszük a jobb oldalra, négyzetre helyezzük az egyenlet mindkét oldalát, és hasonló kifejezéseket adunk:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\jobbra nyíl ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4-gyel osztva az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\jobbra nyíl~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Jelölve b=\sqrt(a^2-c^2)>0, kapunk b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Mindkét részt a^2b^2\ne0-val elosztva megkapjuk az ellipszis kanonikus egyenletét:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Ezért a választott koordinátarendszer kanonikus.

Ha az ellipszis fókuszai egybeesnek, akkor az ellipszis egy kör (3.36.6. ábra), mivel a=b. Ebben az esetben tetszőleges téglalap alakú koordinátarendszer, amelynek origója a pontban van O\equiv F_1\equiv F_2, és az x^2+y^2=a^2 egyenlet egy O középpontú és a sugarú kör egyenlete.

Visszafelé gondolkodással kimutatható, hogy minden olyan pont, amelynek koordinátái kielégítik a (3.49) egyenletet, és csak azok tartoznak az ellipszisnek nevezett pontok lokuszához. Más szavakkal, az ellipszis analitikus meghatározása megegyezik a geometriai definíciójával, amely az ellipszis fókusztulajdonságát fejezi ki.

Egy ellipszis könyvtártulajdonsága

Az ellipszis iránytengelyei a kanonikus koordináta-rendszer ordinátatengelyével párhuzamosan elhaladó két egyenes, attól azonos távolságra \frac(a^2)(c). c=0 esetén, amikor az ellipszis egy kör, nincsenek direktrixek (feltételezhetjük, hogy az irányítók végtelenül eltávolítottak).

Ellipszis 0 excentricitással pontok helye a síkban, amelyek mindegyikére egy adott F pont távolságának (fókusz) és egy adott ponton át nem haladó d egyenes távolságának (irányelv) távolságának aránya állandó és egyenlő a excentricitás e ( ellipszis könyvtár tulajdonság). Itt F és d az ellipszis egyik fókuszpontja és egyik iránytengelye, amelyek a kanonikus koordináta-rendszer y tengelyének ugyanazon az oldalán találhatók, azaz. F_1,d_1 vagy F_2,d_2 .

Valójában például az F_2 fókusz és a d_2 direktrix esetén (3.37.6. ábra) a feltétel \frac(r_2)(\rho_2)=e koordináta alakban írható:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Megszabadulni az irracionalitástól és lecserélni e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, eljutunk az ellipszis kanonikus egyenletéhez (3.49). Hasonló érvelés végezhető az F_1 fókusz és a direktrix esetében is d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Ellipszis egyenlet poláris koordinátákban

Az ellipszis egyenlet az F_1r\varphi polárkoordináta-rendszerben (3.37,c és 3.37(2) ábra)

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

ahol p=\frac(b^2)(a) az ellipszis fókuszparamétere.

Valójában válasszuk az ellipszis bal oldali F_1 fókuszát a polárkoordináta-rendszer pólusának, az F_1F_2 sugarat pedig poláris tengelynek (3.37. ábra, c). Ekkor egy tetszőleges M(r,\varphi) pontra az ellipszis geometriai definíciója (fókusztulajdonsága) szerint r+MF_2=2a . Kifejezzük az M(r,\varphi) és F_2(2c,0) pontok közötti távolságot (lásd ):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(igazított)

Ezért koordináta formában az F_1M+F_2M=2a ellipszis egyenlete a következő alakú

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Elkülönítjük az egyenlet mindkét oldalát négyzet alakú gyököt, elosztjuk 4-gyel, és hasonló kifejezéseket adunk:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Kifejezzük az r poláris sugarat és végrehajtjuk a helyettesítést e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Az együtthatók geometriai jelentése az ellipszis egyenletben

Keressük meg az ellipszis metszéspontjait (lásd 3.37. ábra, a) a koordinátatengelyekkel (a zllipek csúcsaival). Az y=0-t behelyettesítve az egyenletbe, megtaláljuk az ellipszis metszéspontjait az abszcissza tengellyel (a fókusztengellyel): x=\pm a . Ezért a fókusztengely ellipszisbe zárt szakaszának hossza 2a. Ezt a szakaszt, amint fentebb megjegyeztük, az ellipszis főtengelyének nevezzük, az a szám pedig az ellipszis fő féltengelye. Az x=0 behelyettesítésével y=\pm b -t kapunk. Ezért az ellipszis második tengelyének az ellipszisbe zárt szakaszának hossza 2b. Ezt a szakaszt az ellipszis melléktengelyének, a b számot pedig az ellipszis kis féltengelyének nevezzük.

Igazán, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, és a b=a egyenlőség csak c=0 esetben érhető el, ha az ellipszis egy kör. Hozzáállás k=\frac(b)(a)\leqslant1 az ellipszis összehúzódási tényezőjének nevezzük.

Megjegyzések 3.9

1. Az x=\pm a,~y=\pm b vonalak határolják a fő téglalapot a koordinátasíkon, amelyen belül az ellipszis található (lásd 3.37. ábra, a).

2. Egy ellipszist úgy definiálhatunk a kör átmérőjére húzásával kapott pontok helye.

Valóban, legyen az Oxy téglalap alakú koordinátarendszerben a köregyenlet x^2+y^2=a^2 . 0-s tényezővel az x tengelyre tömörítve

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(esetek)

A kör egyenletébe behelyettesítve x=x" és y=\frac(1)(k)y" egyenletet kapunk az M(x),y") kép koordinátáira. ,y) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

mivel b=k\cdot a . Ez az ellipszis kanonikus egyenlete.

3. A (a kanonikus koordináta-rendszer) koordinátatengelyei az ellipszis szimmetriatengelyei (ezt az ellipszis főtengelyeinek nevezzük), középpontja pedig a szimmetria középpontja.

Valóban, ha az M(x,y) pont az ellipszishez tartozik. akkor az M pontra a koordinátatengelyekre szimmetrikus M"(x,-y) és M""(-x,y) pontok is ugyanahhoz az ellipszishez tartoznak.

4. Az ellipszis egyenletéből egy poláris koordináta-rendszerben r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(lásd 3.37. ábra, c), tisztázódik a fókuszparaméter geometriai jelentése - ez a fókusztengelyre merőlegesen átmenő ellipszis húrjának a fele (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Az e excentricitás jellemzi az ellipszis alakját, vagyis az ellipszis és a kör közötti különbséget. Minél nagyobb e, annál megnyúltabb az ellipszis, és minél közelebb van e a nullához, annál közelebb van az ellipszis a körhöz (3.38. ábra, a). Valójában, ha e=\frac(c)(a) és c^2=a^2-b^2 , azt kapjuk

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

ahol k az ellipszis összehúzódási tényezője, 0

6. Egyenlet \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 a

7. Egyenlet \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiál egy ellipszist, amelynek középpontja az O "(x_0, y_0) pont, amelynek tengelyei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel (3.38. ábra, c). Ezt az egyenletet párhuzamos fordítással (3.36) a kanonikusra redukáljuk.

A=b=R esetén az egyenlet (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 egy R sugarú kört ír le, amelynek középpontja az O"(x_0,y_0) pont.

Ellipszis paraméteres egyenlete

Ellipszis paraméteres egyenlete a kanonikus koordinátarendszerben az alakja van

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(esetek)0\leqslant t<2\pi.

Valójában ezeket a kifejezéseket a (3.49) egyenletbe behelyettesítve eljutunk az alapvető trigonometrikus azonossághoz \cos^2t+\sin^2t=1.

3.20. példa. rajzoljon ellipszist \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 az Oxy kanonikus koordinátarendszerben. Keresse meg a féltengelyeket, a gyújtótávolságot, az excentricitást, a képarányt, a fókuszparamétereket, a direktrix egyenleteket.

Megoldás. Az adott egyenletet a kanonikus egyenlettel összehasonlítva meghatározzuk a féltengelyeket: a=2 - az ellipszis fő féltengelye, b=1 - az ellipszis kis féltengelye. A fő téglalapot 2a=4,~2b=2 oldalakkal az origóban középre állítjuk (3.39. ábra). Tekintettel az ellipszis szimmetriájára, a fő téglalapba illesztjük. Ha szükséges, meghatározzuk az ellipszis egyes pontjainak koordinátáit. Például, ha x=1-et behelyettesítünk az ellipszis egyenletbe, azt kapjuk

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Ezért a pontok koordinátákkal \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ellipszishez tartoznak.

Számítsa ki a tömörítési arányt k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); gyújtótávolság 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); különcség e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fókusz paraméter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Összeállítjuk a direktrix egyenleteket: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).